Chương 2

Chương 2

Bài gi ng ả TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC (Tài liệu cập nhật – 2009)

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT HDXB-2009…

www.math.hcmus.edu.vn/~ntchuyen/ispaceMail: [email protected]

1. Nguyên lý cộngGiả sử để làm công việc A có 2 phương pháp - Phương pháp 1 có n cách làm - Phương pháp 2 có m cách làmKhi đó số cách làm công việc A là n+m

Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái áo thì An có mấy cách


I. Các nguyên lý A. Tính toán

2. Nguyên lý nhânGiả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước - Bước 1 có n cách làm - Bước 2 có m cách làmKhi đó số cách làm công việc A là n.m

Ví dụ:

A B C

Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C

Phép đếm


I. Các nguyên lý

Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia

hết cho 2 Giải. Gọi số có 3 chữ số là abcTH1 . c=0. Khi đó c có 1 cách chọn a có 5 cách chọn ( aX\{0} ) b có 4 cách chọn ( bX\{a, 0} )

TH1 có 1.4.5 =20

TH2 . c≠0. Khi đó c có 2 cách chọn a có 4 cách chọn ( aX\{c, 0} ) b có 4 cách chọn ( bX\{a, c} )

TH2 có 2.4.4 =32

Vậy có 20+32 =52


I. Các nguyên lý

3- Nguyên lý Dirichlet

k

n

k

n

k

n

k

n

1

k

n

k

n

k

n

Nếu có n vật đặt trong k hộp

vật

là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện

hay

[x] gọi là hàm sàn trên của x

tồn tại 1 hộp chứa ít nhất

5

41

5

4

4

52

4

5

5

40

5

4

,

,

Ví dụ 2.9:


I. Các nguyên lý

Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên

- Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày

3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)

Gọi là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.

Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít

nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên. /n k

x


I. Các nguyên lý

x

Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật?

Một năm có 365 ngày n=365, k=366 Theo Nguyên lý Dirichlet

3662

365

tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật

Giải:

Ví dụ


I. Các nguyên lý

Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái?

28 282

26 26

ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái

Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu tự n=26, k=28

Theo Nguyên lý Dirichlet

Giải:

a b c d e f g h i j k l m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

n o p q r s t u v w x y z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ví dụ


I. Các nguyên lý

Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có tổng bằng 10.

Giải. Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5}Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra đpcm


I. Các nguyên lý

Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6 SV có cùng một điểm trong thang điểm 5?

6 15 5

n n 516

5

n

255*5 n

Theo Nguyên lý Dirichlet

Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp

Giải:

261)5*5( n

Ví dụ

Cách 1:

Cách 2:


I. Các nguyên lý

Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10?

Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):

Bài 3.1:

Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7. CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học cùng ngày?

Bài 3.2:



Bài 3.3:Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất:

a/ 2 SV có quê cùng tỉnh

b/ 10 SV có quê cùng tỉnh

c/ 50 SV có quê cùng tỉnh

Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái?

Bài 3.4:


CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có tổng bằng 9?

CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10?


Bài 3.5:

Bài 3.6:


4. Nguyên lý bù trừ.

Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó

|A B|= |A|+|B| - |A B|

A B BA


I. Các nguyên lý

A B

A C BC

A B C

A B

C

|A B C|=?


I. Các nguyên lý

Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người

Giải. Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp B là những học sinh học Tiếng AnhKhi đó. Số học sinh của lớp là |A B |. Theo nguyên lý bù trừ ta có |A B|= |A|+|B| - |A B|=24+26-15=35


I. Các nguyên lý

10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A

9,7,5,3,1A1

10,8,6,4,2A2

8,5,4,1A3

133221321321321 AAAAAAAAAAAAAAA

Ví dụ 2.2:

Cho các tập hợp như sau

Hãy chứng minh

1

2

3

4

5

8

6

7

9

10


I. Các nguyên lý

THỰC HÀNH: 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1X

9,7,3,1X1

,10,6,4,2X2

11,10,7,5X3

321133322211321 XXXXXXXXXXXXXXX

.............................XXX 321

..............?.................X3

................?................XXX 321

21 XX

................?...............XX 32

................?................XX 13

?

1X

..............?.................X2

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

…………………………………..

Ví dụ 2.3:


I. Các nguyên lý

1. Hoán vịĐịnh nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt

có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn

Pn = n! = n.(n-1).(n-2)…1 Quy ước 0! =1

Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau abc,acb, bac,bca, cab,cba


II. Giải tích tổ hợp

Ví dụ. Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X 5!



2. Chỉnh hợp.Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm kphần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là

- Công thức

!

!kn

nA

n k

knA

Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb.



Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6.

Kết quả: 36A



3.Tổ hợp.

Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay

knC

k

n

!

! !kn

nC

k n k

Tính chất n k kn nC C 1

1k k kn n nC C C



Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}

Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn

- Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30. 1030C




Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau:a) Không có điều kiện gì thêm.b) Tổ có 5 nam và 3 nữ.c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ.d) Tổ có ít nhất một nữ.d) Tổ trưởng là nữ.e) Tổ có cả nam lẫn nữ.



Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp sau:a) Không có điều kiện gì thêm.b) Chứa đúng 3 bit 1.c) Chứa ít nhất 3 bit 1.d) Không có hai bít 1 nào gần nhau.e) Không có ba bít 1 nào gần nhau.



Sự kiện ngẫu nhiên

B. Xác suất

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:

PHÉP THỬ

SỰ KIỆN

KHÔNG GIAN MẪU

NGẪU NHIÊN

Không gian mẫu hữu hạnKhông gian mẫu vô hạn đếm đượcKhông gian mẫu vô hạn không đếm được

Sự kiện cơ bảnSự kiện chắc chắnSự kiện không thểSự kiện A hoặc BSự kiện đồng thời A và BSự kiện A mà không BSự kiện xung khắcSự kiện đối lập

Rời rạc

Liên tục


13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Xác suất

PHÉP THỬ = Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng)

SỰ KIỆN

KHÔNG GIAN MẪU

SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN

= Kết quả của Phép Thử Ký hiệu: A, B,C

= kết quả không đoán trước (tiên đoán) được

= Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên

Card A = Số phần tử của A


13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Xác suất

Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên

( , ) (0,1)Sap Ngua

Không gian mẫu

Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu

Card R = 2 (0 và 1) , 0,1Sap Ngua

Ví dụ 2.13:

Card R = cặp (0,1)


Xác suất

Tung đồng tiền 3 lần

(0,0,0), (0,0,1)(0,1,1), (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)

Không gian mẫu ?

Tung đồng tiền 2 lần

(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Không gian mẫu

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

ĐỒ THỊ

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)

Card R = 4

Card R = ?

Ví dụ 2.14:

Ví dụ 2.15:


Xác suất

Gieo một con xúc xắc

Không gian mẫu 1 2 3 4 5 61,2,3,4,5,6 , , , , ,w w w w w w

Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc

Không gian mẫu ?

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,4), (,5), (4,6),

(5,5), (5,6),

(6,6)

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)

Card R = 6

Card R = ?

Ví dụ 2.16:

Ví dụ 2.17:


Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)

KHÔNG GIAN MẪU = Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên

hữu hạn

vô hạn đếm được

vô hạn không đếm được

Card = hữu hạn

Card = N (Số tự nhiên)

Card = Không đếm được

Rời rạc

Liên tục



SỰ KIỆNSK ngẫu nhiên

= Kết quả của Phép Thử Ký hiệu: A, B,C

= kết quả không đoán trước (tiên đoán) được

Card A = 1SK cơ bản

Card A = SK chắc chắn

Card A = ØSK không thể

ĐẠI SỐ SK (các Quan hệ-Phép toán SK)

SK hoặc A hoặc B HỢP

SK đồng thời A và B

SK A mà không B

SK xung khắc

SK đối lập và

SK tất yếu

Nhóm đđủ các SK (phân hoạch)

BA

BABA BA

A AA A ji AA

1

n

iA



A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S)

B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2

C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)

, , , , , , ,A B S N N S N N S S

Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử:

SNBA CB B và C là 2 SK xung khắc

SK tất yếu

SS,NSBA

Ví dụ 2.18:


1/ Định nghĩa cổ điển

Xác suất

Các định nghĩa-khái niệm về xác suất

Xác suất của A là tỉ số của số kết quả thích hợp cho A (m) trên số kết quả đồng khả năng (n) của phép thử

số trường hợp xảy ra A

số trường hợp của không gian mẫu

n

m)A(P

Xác suất của A

SK không thể

SK tất yếu

SK bất kỳ

0n

0)A(P0m

1n

n)A(Pnm

1n

n)A(P0nm0

HỆ QUẢ


Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt)

Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống nhau.Trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút được .......... là bao nhiêu?

a/ quả trắng?

b/ quả xanh?

c/ quả đỏ?

d/ quả đen?

e/ quả trắng hoặc xanh?

f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ?

Ví dụ 2.19:


Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt)

Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11 tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện:

a/ Mặt màu cam?

b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh?

c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen?

Ví dụ 2.20:


Bài tập 4.1:


Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau.Trong đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam. Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút được 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu?

a/ cùng xanh? b/ xanh và cam?

c/ cam và đỏ? d/ khác màu?


Bài tập 4.2:

a/ 2 mặt màu trắng?

b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng?

c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng?

d/ 2 mặt có tổng bằng 10?

e/ 2 mặt có hiệu bằng 8?

f/ 2 mặt có màu khác nhau?


Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện:


Bài tập 4.3:


Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trường hợp có thể xảy ra khi xuất hiện:

a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau

c/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen

e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9


Định nghĩa

Nhóm các biến cố của một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất:

Hệ đầy đủ các biến cố

1 2 3, , ,..., nA A A A

1 2 3 ... nA A A A i jA A


Xác suất

Ví dụ:Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố

A1= “xuất hiện mặt sấp” A2= “xuất hiện mặt ngửa”P(A1)=P(A2)=0,5khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố

Giải: = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú”a) A= A1A2A3 (ít nhất 1 viên trúng)

b) B= (cả ba xạ thủ đều bắn trượt)

Ví dụ:

Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú.

Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3.

Hãy biểu diễn Ai qua các biến cố sau:

a) A= “thú bị trúng đạn”

b) B= “thú không bị trúng đạn”

c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”

d) D= “thú bị trúng 1 viên đạn”

1 2 3 1 2 3A A A A A A A

iA


Xác suất

c) C= A1A2A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú)

1 2 3 1 2 3 1 2 3) ( ) ( ) ( )d D A A A A A A A A A


Xác suất

Ví dụ 1:

Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp.

a. Xác suất lấy được 1 bi trắng:

b. Xác suất lấy được 1 bi xanh:

12( )

20P T

8( )

20P X


Xác suất

Ví dụ 2:

Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy được:

a) 2 quả cầu màu trắng

b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.

Giải

a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng”

b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”

2328

3( )

28

CP A

C

1 13 5

28

. 15( )

28

C CP B

C


Xác suất

Các tính chất cơ bản của xác suất

Giả sử A là một biến cố . Khi đó

1) và

2) Nếu thì

3) Tính cộng tính:

a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc:

P(A B)= P(A) + P(B)

b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ:

P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB)

0 ( ) 1P A ( ) 1 ( )P A P A

A B ( ) ( )P A P B


Xác suất

Giải. Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”.Khi đó = “lấy được 3 bi xanh”

Ví dụ 1:

Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3

bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

A

36310

( ) 1 ( )

1

0,8333

P A P A

C

C


Xác suất

Ví dụ 2:

Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi

Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn.

Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh

viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn.

( ) ( ) ( ) ( )

40 50 20 7

100 100 100 10

P T V P T P V P T V


Xác suất

Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán”

V=“sinh viên được chọn giỏi Văn”

Khi đó

TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn”

TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn”

Ví dụ 3: Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xácsuất để:a) Cả 3 cầu cùng màu (A)b) Có đúng 2 cầu cùng màu (B)c) Có ít nhất 2 cầu cùng màu (C)d) Cả 3 cầu khác màu nhau (D)


Xác suất

Giải:a) Đặt:At= “3 cầu rút được màu trắng”

Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ”

Ax= “3 cầu rút được màu xanh”

Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nênA= At Ađ Ax

Do At, Ađ, Ax xung khắc nên

P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax)3 3 35 4 3

312

3

44

C C C

C


Xác suất

b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng

Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen

Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh

P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx)2 1 2 1 2 15 7 4 8 3 9

312

. . . 29

44

C C C C C C

C


Xác suất

c) P(C)= P(B) + P(A)

3 29 32

44 44 44

)

P D 1 P C

d D C

32 121

44 44


Xác suất

Xác suất có điều kiệnCông thức đầy đủCông thức Bayes

Xác suất


Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A, B. Xác suất của A với điều kiện B,

ký hiệu là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.

( / ),P A B

( )( / )

( )

P A BP A B

P B



• Ví dụ (xác suất có điều kiện):

Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Tính xác suất người thứ hai bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu tiên đã bốc được một vé trúng thưởng. (mỗi người chỉ được bốc 1 vé).

Đặt A=“người thứ nhất bốc được vé trúng thưởng”

B=“người thứ hai bốc được vé trúng thưởng”

Xác suất của B sau khi A đã xảy ra:

2( / )

9P B A



• Ví dụ (xác suất có điều kiện):

Một hộp điều tra về sở thích mua sắm quần áo của dân cư trong một vùng. Trong số 500 người được điều tra (gồm 240 nam và 260 nữ), có 136 nam và 224 nữ trả lời “thích”.

a) Chọn một người nữ của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm.

b) Chọn một người nam của vùng. Tính xác suất người đó thích mua sắm.

Đặt: A=“người được chọn thích mua sắm”

B=“người được chọn là nữ”

C=“người được chọn là nam”

( ) 224) ( / )

( ) 260

P A Ba P A B

P B

( ) 136) ( / )

( ) 240

P A Cb P A C

P C



Công thức nhân xác suất• Cho A, B là hai biến cố.

• Khi A, B là hai biến cố độc lập

P(AB)= P(A). P(B)

( ) ( ). ( / )P A B P A P B A



Giải

Đặt Ai=“máy i hỏng trong một ngày làm việc”

a) A=“có máy hỏng”

khi đó = “không có máy nào hỏng”

Ví dụ. Một xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày làm việc, xác suất để hai máy này bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc xưởng có:

a) máy hỏng

b) một máy hỏng

A

1 2

( ) 1 ( )

1 ( ). ( )

1 0,9.0,95 0,145

P A P A

P A P A



b) B=“có một máy hỏng”

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ). ( ) ( ). ( )

0,1.0,95 0,9.0,05 0,14

P B P A A P A A

P A P A P A P A



b) trường hợp lấy không hoàn lại

P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1 A2).P(A4/A1 A2 A3)

Giải. Đặt A= “lô hàng được mua”.

Ai=“lấy được sản phẩm tốt lần thứ i”

a) trường hợp lấy có hoàn lại

P(A)=P(A1A2 A3 A4)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) (xác suất các lần lấy độc lập)

94 94 94 94. . . 0,781

100 100 100 100

94 93 92 91. . . 0,7777

100 99 98 97



Ví dụ : Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không mua lô hàng. Tính xác suất lô hàng được mua trong 2 trường hợp: hoàn lại và không hoàn lại.

Công thức xác suất đầy đủ

• Nếu trong một phép thử có biến cố A và một hệ đầy đủ A1, A2,…, An xảy ra thì ta có công thức xác suất đầy đủ:

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+… +P(An).P(A/An)

1

( ). ( / )n

i ii

P A P A A



Công thức Bayes• Công thức Bayes cho ta biết xác suất của các biến cố trong nhóm

đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra.

1

( ). ( / )( / )

( ). ( / )

i ii n

i ii

P A P A AP A A

P A P A A



• Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ)

Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản phẩm do máy I sản xuất là 65% và do máy II sản xuất là 35%. Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 0,02 và của máy II là 0,03. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để lấy được phế phẩm.



Giải. Đặt Ai=“sản phẩm chọn được do máy i sản xuất”

B=“sản phẩm chọn được là phế phẩm”

P(A1)=0,65 ; P(A2)=0,35

Hệ hai biến cố A1, A2 là một hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất đầy đủ

P(B)=P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)

=0,65.0,02 + 0,35.0,03= 0,0235

• Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes)

Một loại nón bảo hiểm sản xuất trên thị trường xuất phát từ ba nguồn I, II, III với tỷ lệ thị phần tương ứng là 35%, 40% và 25%. Tỷ lệ được kiểm định chất lượng tương ứng là 70%, 80% và 90%. Mua ngẫu nhiên một nón loại này.

a) Tính xác suất để mua được nón đã được kiểm định chất lượng.

b) Giả sử đã mua được nón đã được kiểm định. Tính xác suất để nón này xuất xứ từ nguồn II.



a) Giải. Đặt A1=“mua được nón từ nguồn I”

A2=“mua được nón từ nguồn II”

A3=“mua được nón từ nguồn III”

A=“mua được nón đã được kiểm định chất lượng”

b) Xác suất để nón này có xuất xứ từ nguồn II:

2 22

( ). ( / )( / )

( )

0,4.0,80,405

0,79

P A P A AP A A

P A



P(A1)=0,35

P(A2)=0,4

P(A3)=0,25

A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố.

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)

=0,35.0,7 + 0,4.0,8 + 0,25.0,9 = 0,79

Bài tập



Bài tập 1:

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh

khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác

suât để trong 3 học sinh đó có:

a) 1 học sinh trung bình, 1 hsinh khá và 1 hsinh giỏi.

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi.



Bài tập 2:

Có hai hộp đựng bút chì. Hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu xanh, hộp II có 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất sao cho trong hai but lấy ra có:

a) Ít nhất 1 bút màu đỏ.

b) Chỉ có 1 bút màu đỏ.

c) Hai bút có màu giống nhau.



Bài tập 3:

Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp. Xác suất để hai xe chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0,7 và 0,6. Tính xác suất sao cho:

a) Chỉ có một xe chở hàng về đến xí nghiệp

b) Xí nghiệp nhận được hàng.



Bài tập 4:

Một hộp gồm có 24 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại), đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại. Tìm xác suất để quá trình kiểm tra kết thúc sau không quá 3 lần lấy.



Bài tập 5:

Một người say mê xổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ cho đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng, biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01.



Bài tập 6:

Học kỳ này sinh viên được thi môn Toán ứng dụng 3 lần. Xác suất để sinh viên thi đậu ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt ở lần thi thứ nhất thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ hai là 0,7. Còn nếu thi trượt ở cả hai lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ 3 là 0,9. Tìm xác suất để sinh viên nói trên thi đậu học kỳ này.



Bài tập 7:

Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của trường học Toán và 2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường. Tìm xác suất:

a) Tìm xác suất sinh viên là nữ, biết rằng sinh viên đó học Toán.

b) Tìm xác suất sinh viên học Toán, biết rằng sinh viên đó là nữ.



Bài tập 8:

Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ làm ra chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,8. Từ một kho chứa 1/3 số sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai), lấy ra một sản phẩm để kiểm tra.

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.

b) nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra.



Bài tập 9:

Có 2 hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 12 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm; hộp thứ hai có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm.

a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một sản phẩm. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 phế phẩm.

b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được phế phẩm.

c)* Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ qua hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ hai. Tính xác suất lấy được phế phẩm từ hộp thứ hai.



Bài tập 10:

Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều, tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm được sản xuất ca chiều, 20% sản phẩm được sản xuất ca tối. Tỷ lệ phế phẩm trong các ca tương ứng là 5%, 10% và 20%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra.

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm.

b) Giả sử đã lấy được sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm đó do ca sáng sản xuất.



CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh

Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

TOÁN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB-2009…

Kết thúc Chương 2:

TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT

Chương 2

Documents

Transcript of Chương 2