CHƢƠNG III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. H …

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official

CHƢƠNG III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị

lần lượt là: i, j,k

II. Tọa độ của vectơ: u x; y; z u xi y j zk

Đặc biệt: 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

III. Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x;y;z) (x : hoành độ, y : tung độ, z :

cao độ)

Đặc biệt:

M (Oxy) Mz 0

M (Oyz) Mx 0

M (Oxz) My 0

M Ox M My z 0

M Oy M Mx z 0

M Oz M Mx y 0

Hình chiếu vuông góc của điểm M M MM(x ;y ;z ) lên:

Trục Ox là: 1 MM (x ;0;0)

Trục Oy là: 2 MM (0;y ;0)

Trục Oz là: 3 MM (0;0;z )

mp(Oxy) là: 12 M MM (x ;y ;0)

mp(Oxz) là: 13 M MM (x ;0;z )

mp(Oyz) là: 23 M MM (0;y ;z )

IV. Các công thức về tọa độ: Nếu 1 2 3 1 2 3a (a ;a ;a ), b (b ;b ;b ) thì:

1 1 2 2 3 3a b (a b ; a b ; a b )



1 2 3ka (ka ; ka ; ka ),k

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

“Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”

a cùng phương b(b 0) tồn tại một số k sao cho: a kb

1 1

1 2 32 2 1 2 3

1 2 3

3 3

a kba a a

a kb , (b , b , b 0)b b b

a kb

Tọa độ vectơ B A B A B AAB (x x ;y y ;z z )

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

A BI

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

z zz

2

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

3

y y yy

3

z z zz

3

V. Tích vô hƣớng của hai vectơ:

+) Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng: Nếu 1 2 3a (a ;a ;a ), 1 2 3b (b ;b ;b )

thì: 1 1 2 2 3 3a.b a .b a .b a .b “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao

nhân cao”

+) Ứng dụng:

Độ dài vectơ: Nếu 1 2 3a (a ;a ;a ) thì 2 2 2

1 2 2a a a a

Độ dài đoạn thẳng AB:

2 2 2

B A B A B AAB (x x ) (y y ) (z z )



Góc giữa hai vectơ:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.b a b a b a bcos(a, b)

a . b a a a . b b b

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

1 1 2 2 3 3a b a.b 0 a b a b a b 0

VI. Tích có hƣớng của hai vectơ:

+) Định nghĩa: Cho hai vectơ 1 2 3

1 2 3

a (a , a , a )

b (b , b , b )

. Tích có hướng của hai vectơ

a và b là 1 vectơ được xác định như sau:

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa,b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

Quy tắc: 23-31-12

+) Cách tính tích có hƣớng của hai vectơ bằng máy tính

1. Máy 570VN PLUS

ON MODE 8 1 1: Nhập tọa độ Vectơ a

AC MODE 8 2 1: Nhập tọa độ Vectơ b

AC SHIFT 5 3 X SHIFT 5 4 =

2. Máy 570ES PLUS

ON MODE 8 1 1: Nhập tọa độ Vectơ a

AC SHIFT 5 2 2 1: Nhập tọa độ Vectơ b

AC SHIFT 5 3 X SHIFT 5 4 =

3. Máy 570MS

ON SHIFT 5 1 1 3: Nhập tọa độ Vectơ a

AC SHIFT 5 1 2 3: Nhập tọa độ Vectơ b

AC SHIFT 5 3 1 X SHIFT 5 32

=

+) Tính chất của tích có hƣớng:

- Nếu n a,b

thì n a và n b

3

2

1



- Hai vectơ a và b cùng phương với nhau [a, b] 0

- Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau [a, b].c 0

([a, b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)

+) Ứng dụng của tích có hƣớng:

- A, B, C thẳng hàng AB,AC 0

- A, B, C, D đồng phẳng AB,AC .AD 0

Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)

AB,AC .AD 0

- Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB,AD

- Diện tích tam giác ABC: ABC

1S AB, AC

2

- Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD.A 'B'C'D 'V [AB, AD].AA'

- Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1V [AB, AC].AD

6

VII. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua

0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTPT n (A;B;C) là:

0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0

- Nếu () có phương trình Ax By Cz D 0 thì () có VTPT là

n (A;B;C)

- Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT

của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP

của mặt kia.

- Khoảng cách từ điểm 0 0 0 0M x ;y ;z đến mặt phẳng

( ) : Ax By Cz D 0 : 0 0 0

0 2 2 2

Ax By Cz Dd M ,( )

A B C

- Đặc biệt:

mp(Oxy) : z 0

mp(Oxz) : y 0

mp(Oyz) : x 0



Các dạng toán viết phƣơng trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng

() ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.

Dạng 1: () đi qua điểm 0 0 0M x ;y ;z có VTPT n A;B;C :

(): 0 0 0A x x B y y C z z 0

Dạng 2: () đi qua điểm 0 0 0M x ;y ;z có cặp VTCP a,b :

Khi đó VTPT của () là n a,b .

Dạng 3: () đi qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và song song với mặt phẳng (): Ax

+ By + Cz + D = 0:

Khi đó VTPTn VTPTn (A;B;C) .

Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó VTPT của () là n AB,AC

Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN:

():{

Dạng 6: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (),

():

α

β

α

n

C

B

A

α

α

I NM



Khi đó VTPT của () là ( )n VTPTn ,VTPTn

Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt

cầu (S) tại H):

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

–( )

Qua H( ) :

VTPT n IH

Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 và tiếp xúc

với mặt cầu (S):

– Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng

Ax By Cz m 0(m D)

– Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,( )) R Giải phương trình này

ta tìm được m . Dạng 9: () đi qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và vuông góc với đường thẳng AB:

Khi đó VTPT của () là n AB

Dạng 10: () đi qua điểm 0 0 0M x ;y ;z và vuông góc với đường thẳng

nγ

γβ

α

nβ

α



0

0

0

x x at

d : y y bt

y z ct

:

Khi đó VTPT của () là dn VTCPu (a;b;c)

Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo

nhau (hoặc cắt nhau):

1 2d d

Qua M( ) :

VTPT n VTCPu ,VTCPu

Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2

chéo nhau):

1 2

1 1

d d

Qua M d( ) :

VTPT n VTCPu ,VTCPu

Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

- Trên d lấy 1 điểm A

- d

Qua M( ) :

VTPT n AM,VTCPu

Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

udd

α

M

d2

d1

α

M

d2

d1

α

ud

A M

d

α



– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M ().

– 1 2d d

Qua M( ) :

VTPT n VTCPu ,VTCPu

Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2

–1

1

d1 2

Qua M( ) :

VTPT n M M ,VTCPu

Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ():

– Lấy một điểm M thuộc d M ().

– d

Qua M( ) :

VTPT n VTCPu ,VTPTn

VIII. Phƣơng trình mặt cầu:

- Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 2 2 2(x a) (y b) (z c) R

- Dạng 2: Phương trình 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0 với điều kiện

2 2 2a b c d 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = 2 2 2a b c d

- Điều kiện mặt cầuS(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d(I,(P)) R

Các dạng toán viết phƣơng trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta

cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

d1

α

Md2

M2

M1 d1

αd2

β

α

Mud



(S): 2 2 2 2(x a) (y b) (z c) R

Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

– Bán kính R = IM

Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

A BI

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

z zz

2

.

– Bán kính R = IA = AB

2.

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0 (S).

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4

phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Phương trình mặt

cầu (S).

Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):

Ax By Cz D 0 :

– Bán kính: 2 2 2

Aa Bb Cc DR d(I,(P))

A B C



IX.Phƣơng trình của đƣờng thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm

0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c) thì d có

Phương trình tham số là:

o

o

o

x x at

y y bt ( t )

z z ct

Phương trình chính là: 0 0 0x x y y z z

a b c

(nếu a, b, c đều khác 0)

Các dạng toán viết phƣơng trình đƣờng thẳng: Để lập phương trình đường

thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c) :

o

o

o

x x at

d : y y bt ( t )

z z ct

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

d

Qua Ad :

VTCPu AB

Dạng 3: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và song song với đường thẳng cho

trước:

0

d

Qua Md :

VTCPu VTCPu

Dạng 4: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho

trước:

0

Pd

Qua Md :

VTCPu VTPT n



Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

– Tìm toạ độ một điểm M d: bằng cách giải hệ phương trình (P)

(Q)

(với việc

chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x 0 )

– P Qd

Qua Md :

VTCPu VTPTn ,VTPTn

Dạng 6: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d1,

d2:

1 2

0

d d d

Qua Md :

VTCPu VTCPu ,VTCPu

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với

đường thằng :

Pd

Qua Md :

VTCPu VTPTn ,VTCPu

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

d

nQ

Q

P

nP

ud

ud2

ud1

ud

d2

d1

d

nP

d

Δ

P

uΔ



– Tìm các giao điểm A = d1 (P), B = d2 (P).

– Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) , vuông góc và cắt đường thẳng :

d qua 0M và hình chiếu H của 0M trên đường thẳng

Dạng 10: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

– Gọi (P) = 0 1(M ,d ) , (Q) = 0 2(M ,d ) .

– Khi đó d = (P) (Q). Do đó, VTCP của d là d P Qu n ,n .

Dạng 11: d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

– Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 song song :1

1 1

p d

Qua M d(P) :

VTPTn u ,u

BA

P

d

d2

d1

P

H

M0

Δ

d

Q

PM0

d

d2

d1

Q

P

d

Δ

d2

d1



– Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 song song :2

2 2

Q d

Qua M d(Q) :

VTPTn u ,u

– Khi đó d = (P) (Q).

Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

1 1

1 1 1

1 1

x x a t

d : y y b t

z z c t

và

2 2

2 2 2

2 2

x x a t

d : y y b t

z z c t

chéo nhau:

– Giả sử d cắt 1d tại I, d cắt 2d tại J.

– Vì1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

I d I(x a t ;y a t ;z c t )

J d I(x a t ;y a t ;z c t )

,

– Giải hệ phương trình: 1

2

d

d

IJ.u 0

IJ.u 0

ta tìm được 1 2t , t từ đó suy ra tọa độ I, J.

– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P):

– Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa và vuông góc với mặt phẳng (P)

bằng cách:

J

I

d2

d1

P

Q

Δ

d

nP

uΔ



Q P

Qua M(Q) :

VTPTn n ,u

– Khi đó d = (P) (Q).

Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.

– Tìm giao điểm N của (P) và d2

– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN

X. Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.

- Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) bằng

cách: pd

Qua Md :

VTCPu VTPT n

– Khi đó: H d (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung

điểm của MM’ nên:

M ' H M

M ' H M

M ' H M

x 2x x

y 2y y

z 2z z

+) Tìm hình chiếu H của điểm M trên đƣờng thẳng d:

d2

MN

Pd

d1

H

M'

M

P



– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d bằng cách:

p d

Qua M(P) :

VTPT n VTCPu

– Khi đó: H d (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm

của MM’ nên:

M ' H M

M ' H M

M ' H M

x 2x x

y 2y y

z 2z z

Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1(P) : A x B y C z D 0 và

2 2 2 2(Q) : A x B y C z D 0

(P), (Q) cắt nhau 1 1 1 2 2 2A : B : C A : B : C

(P) // (Q) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

(P) (Q) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D

Đặc biệt: (P) (Q) P Q P Q 1 2 1 2 1 2n n n .n 0 A A B B C C 0

XII. Vị trí tƣơng đối giữa một đƣờng thẳng và một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0 và đường thẳng d:

0

0

0

x x ta

y y tb

z z tc

Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1

phương trình bậc nhất ẩn t:

0 0 0A(x at) B(y bt) C(z ct) D 0 (*)

- TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)

- TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)

M'

H

M

d

P



- TH3: (*) có vô số nghiệm thì d (P)

Đặc biệt: d (P) pn cùng phương du P, dn u 0

XIII. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng:

Cho hai đƣờng thẳng

1 1

1 1 1

1 1

x x a t

d : y y b t

z z c t

và

2 2

2 2 2

2 2

x x a t

d : y y b t

z z c t

1d qua 1 1 1A(x ;y ;z ) có VTCP 1 1 1 1u (a ;b ;c )

2d qua 2 2 2B(x ;y ;z ) có VTCP 2 2 2 2u (a ;b ;c )

+ 1d chéo 2d 1 2u ,u .AB 0

+ 1d cắt 2d1 2

1 2

u ,u 0

u ,u .AB 0

hoặc hệ phương trình

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x a t x a t

y b t y b t

z c t z c t

có 1 nghiệm.

+ 1d // 2d 1 2

2

u ,u 0

A d

+ 1 2d d1 2

2

u ,u 0

A d

Đặc biệt: 1 2d d1 2d d u .u 0 1 2 1 2 1 2a a b b c c 0

XIV. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ d(I,( )) R thì () và (S) không có điểm chung.

d1 chéo d2

d1 cắt d2

d1 // d2

d1 ≡ d2

u1,u2[ ]AB ≠ 0

u1,u2[ ]AB = 0

A không thuộc d2

A thuộc d2

Tính u1,u2[ ]AB

Xét A và d2

u1 không cùng phương u2

u1 cùng phương u2

u1,u2[ ] ≠ 0

u1,u2[ ] = 0

Tính u1,u2[ ]



+ d(I,( )) R thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói

() tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp

diện của (S) tại H.

Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp().

+ d(I,( )) R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C).

Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên mp(), bán kính của (C)

là 2 2r R d với d d(I,( )) .

XV. Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By +

Cz + D = 0

0 0 0

0 2 2 2

Ax By Cz Dd M ,( )

A B C

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1

điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

M

α

M



+) Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song: Bằng

khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

+) Khoảng cách từ một điểm M đến một đƣờng thằng :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng đi qua 0M và có vectơ chỉ phương là

u . Ta có:

0M M,u

d M,u

- Cách 2:

– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng .

– Khi đó d(M, ) MH

+) Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng song song 1 và 2 : Bằng

khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng 1 đến đường thẳng 2

1 2 1 2d( , ) d(M , ) MH

+) Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau 1 và 2 :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm 1M và có vectơ chỉ phương

là 1u , đường thẳng 2 qua điểm 2M và có vectơ chỉ phương là 2u . Ta

có:

H

M d

P

HΔ

P

M

M2

Δ1

HΔ2

P

M1



1 2 1 2

1 2

1 2

u ,u .M Md( , )

u ,u

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 bằng

khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó

chứa đường thẳng kia.

– Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song song với 2 bằng

cách:

1 2

1

( )

Qua M( ) :

VTPTn VTCP u ,VTCP u

– Khi đó: 1 2 2d( , ) d(M ,( ))

M2

Δ1H

Δ2

M1

α

CHƢƠNG III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. H …

Documents

Transcript of CHƢƠNG III. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. H …