Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita...
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi delle Decisioni
Probabilita’ condizionate
Chiara Mocenni
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Probabilità condizionate
• Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi
• Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate
P(A|B)
probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: ecografia
• Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino:
• M il nascituro è maschio
• F il nascituro è femmina
• EM l’ecografia prevede “maschio”
• EF l’ecografia prevede “femmina”
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Esempio: ecografia
• Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta):
P(M,EM)
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Esempio: ecografia
• Valgono le seguenti espressioni:
P(M,EM) = P(M|EM) P(EM)
P(M,EM) = P(EM|M) P(M)
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Teorema di Bayes
• Quindi:
P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M)
ossia
P(M|EM) =P(EM|M) P(M)
P(EM)
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Esempio: ecografia
Supponiamo
• P(M) = 0.5 P(F) = 0.5
• P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05
e di conseguenza
• P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95
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Esempio: ecografia
Possiamo ora calcolare
P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475
P(EF) = 1- P(EM) = 0.525
Possiamo ora applicare la formula di Bayes
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Esempio: ecografia
P(M|EM) =P(EM|M) P(M)
P(EM)
=0.9 0.5
0.475= 0.947
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Esempio: ecografia
P(F|EF) =P(EF|F) P(F)
P(EF)
=0.95 0.5
0.525= 0.904
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Teorema di Bayes
• In generale, dati due eventi A e B:
P(A|B) =P(B|A) P(A)
P(B)
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Teorema di Bayes
P(A|B) =P(B|A) P(A)
P(B)
Probabilità a-prioriProbabilità condizionate
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Teorema di Bayes
• È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)
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Esempio: il concerto
• Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani
• Questa informazione non è perfetta
• Come determinare il valore di questa informazione?
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Attendibilità dell’informazione
• Caratterizziamo l’attendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata:
P(“Sereno”|Sereno) = 0.8
P(“Pioggia”|Pioggia) = 0.8
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Attendibilità dell’informazione
• L’informazione a-priori in questo caso è data da:
P(Ser) = 0.4
P(Piog) = 0.6
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Attendibilità dell’informazione
• La probabilità che la nuova informazione indichi “sereno”sarà:
P(“Ser”) = P(“Ser”|Ser) P(Ser) +
P(“Ser”|Piog) P(Piog) =
0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44
P(“Piog”) = 1- 0.44 = 0.56
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Attendibilità dell’informazione
• Con Bayes possiamo calcolare
= 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727
P(Piog|”Ser”) = 1- P(Ser|”Ser”) = 0.273
P(Ser|”Ser”) =P(“Ser”|Ser) P(Ser)
P(”Ser”)
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Attendibilità dell’informazione
• E analogamente
= 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857P(Ser|”Piog”) = 1- P(Piog|”Piog”) =
0.143
P(Piog|”Piog”) =P(“Piog”|Piog) P(Piog)
P(”Piog”)
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Valore dell’informazione imperfetta• Per molti decisori il valore
dell’informazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione
• Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate
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aperto
chiuso
sereno (0.727)
sereno (0.727)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)1
0
0.57
0.67
0.95
0.32
0.727
0.5970.778
portico
aperto
chiuso
sereno (0.143)
sereno (0.143)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)0.143
0.6550.178
portico
L’oracolo prevede“sereno” (0.44)
L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)
0.778
0.655
0.7091
0
0.57
0.67
0.95
0.32€ 5,470
Informazione gratuita(Avi)
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Il valore dell’informazione (Avi)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Avi è:
equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,470
-
equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,600
= € 870
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Informazione e decisioni
• Il valore dell’informazione perfetta per Avi era di € 2,000
• L’imperfezione nell’informazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui l’oracolo preveda tempo sereno)
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aperto
chiuso
sereno (0.727)
sereno (0.727)
sereno (0.727)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)
pioggia (0.273)1
0
0.4
0.5
0.9
0.2
0.727
0.4270.709
portico
aperto
chiuso
sereno (0.143)
sereno (0.143)
sereno (0.143)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)
pioggia (0.857)0.143
0.4850.3
portico
L’oracolo prevede“sereno” (0.44)
L’oracolo prevede“pioggia” (0.56)
0.727
0.485
0.591
0
0.4
0.5
0.9
0.2€ 5,900
Informazione gratuita(Inat)
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Il valore dell’informazione (Inat)
Quindi il valore dell’informazione imperfetta per Inat è:
equivalente certo della decisione con informazione gratuita: € 5,900
-
equivalente certo della decisione in assenza di informazione: € 4,800
= € 1,110
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori: Avi
• Senza informazione: Chiuso
• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso
![Page 27: Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate Chiara Mocenni.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062701/5542eb4e497959361e8bc781/html5/thumbnails/27.jpg)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori: Inat
• Senza informazione: Portico
• Con informazione imperfetta: se l’oracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso
![Page 28: Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate Chiara Mocenni.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062701/5542eb4e497959361e8bc781/html5/thumbnails/28.jpg)
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Confronto tra decisori
• Il valore dell’informazione imperfetta per Inat è di € 1,110, per Avi è di € 870
• Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Analisi di sensibilità rivistaUna volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere l’analisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò l’esempio della tavola di decisione.
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
a1
Stati di natura
110
< -3 [-3,+2] > +2
a2
a3
110 110
100 105 115
90 100 120
Decisioni
probabilità 0.2 0.4 0.4
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
I valori di utilita’ degli eventi elementari erano:
u(90)=0
u(100)=0.4
u(105)=0.6
u(110)=0.8
u(115)=0.95
u(120)=1
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Osserviamo nuovamente che
P(2) = P(3).
Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali.
Poniamo allora
P(2) = p
P(3) = q
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
P(1) = 1 - p - q
Inoltre
U[a1] = 0.8, U[a2] = 0.7, U[a3] = 0.56.
U[a1] > U[a2]
0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 8 > 4p+11q
Ne consegue che
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
U[a1] > U[a3]
0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1 4 > 2p + 5q
U[a2] > U[a3]
(1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95> (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1
8 > 4p+9q
Analogamente
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
1.0
0.5 1.00
0.5
D
C
B
A
(0.4,0.4)
p + q = 1
p
q
4p + 9q = 8
2p + 5q = 4
4p + 11q = 8
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Nella regione A si ha U[a1] > U[a2] > U[a3]
Nella regione B si ha U[a2] > U[a1] > U[a3]
Nella regione C si ha U[a2] > U[a3] > U[a1]
Nella regione D si ha U[a3] > U[a2] > U[a1]
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Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Il punto (0.4,0.4) si trova all’interno della regione A. Quindi l’investimento a1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza.Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga all’interno della regione A.