はじめに

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 1

Part 2

流れ

青本9.1 Dialのアルゴリズム

（経路を限定するロジット型確率配分）

青本9.2 経路を限定しないロジット型確率配分への拡張

青本9.3 プロビット型確率配分への拡張

（ところどころsheffi11章の内容を盛り込みます。）

はじめに

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 1

Part 2

交通量計算→経路列挙を伴うが、

可能経路→多すぎ、無理。

また、経路交通量よりもリンク交通量がわかればよい場合が多いから、可能ならば避けたい。

→リンクとノードを変数にとって議論。

Dialのアルゴリズム

Step0(準備)

起点rから他の全てのノードへの最小交通費用c(i)

を計算する。𝑐 𝑖 ← 𝐶𝑚𝑖𝑛[𝑟 → i]

全リンクについて、リンク尤度を計算する。

𝐿 𝑖 → j = exp 𝜃 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 − 𝑡𝑖𝑗 𝑖𝑓 𝑐 𝑖 ≤ 𝑐(𝑗)

0 𝑖𝑓 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


Step1(前進処理)

起点rからc(i)の値の昇順(rから近い順)にノードを考える。各ノードiから流出するリンクのリンクウェイトW[i→j]を次式により計算する。𝑊 𝑖 → j

=

𝐿 𝑖 → 𝑗 𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 𝑟

𝐿[𝑖 → 𝑗]

𝑚∈𝐼𝑖

𝑊[𝑚 → 𝑖] 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

※𝐼𝑗はノードiに流入するリンクの始点集合

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


Step2(後退処理）

C(j)の値の降順（rから遠い順)にノードを考える。各ノードjに流入するリンクの交通量𝑥𝑖𝑗を次式により

計算する。

𝑥𝑖𝑗 = (𝑞𝑟𝑗 + 𝑚∈𝑂𝑗

𝑥𝑗𝑚)𝑊[𝑖 → 𝑗]

𝑚∈𝐼𝑗𝑊[𝑚 → 𝑗]

※𝑞𝑟𝑗は始点からjに向かおうとするトリップ数（－

交通量）

※𝐼𝑗はノードiに流入するリンクの始点集合

※𝑂𝑗はノードiから流出するリンクの終点集合

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

1 2 3

4

7

65

8 9

1 1

2

2

2 3

1

2

2 2

2

2

想定するネットワーク

※9個のノードに対してノード番号を、12本のリンクに対してリンクコストをそれぞれ与える。


Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

Step0

最小交通費用の計算＝前回のDijkstra法で求める。

𝐿 𝑖 → j

= exp 𝜃 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 − 𝑡𝑖𝑗 𝑖𝑓 𝑐 𝑖 < 𝑐(𝑗)


𝐿 4 → 5 = exp 3 − 2 − 1 = exp 0 = 1

𝐿 7 → 8 = exp 5 − 4 − 2 = exp −1 = 0.3679

例

リンク尤度の計算(θ=1とする)


Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

Step1

𝑊 𝑖 → j =

𝐿 𝑖 → 𝑗 𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 𝑟

𝐿[𝑖 → 𝑗]

𝑚∈𝐼𝑖

𝑊[𝑚 → 𝑖] 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

リンクウェイトの計算

Step2

例𝑊 5 → 6 = 1.0 1.0 + 0.3679 = 1.367

𝑊 3 → 6 = 0.0 1.0 = 0.0

𝑊 8 → 9 = 0.3679 0.3679 + 1.3679 = 0.6386

𝑥𝑖𝑗 = (𝑞𝑟𝑗 + 𝑚∈𝑂𝑗

𝑥𝑗𝑚)𝑊[𝑖 → 𝑗]

𝑚∈𝐼𝑗𝑊[𝑚 → 𝑗]

リンク交通量の計算（𝑞𝑟𝑗=1000)

例𝑥 8 → 9= 1000 + 0 0.6386/(0.6386 + 1.3679) = 318𝑥 5 → 8= 0 + 318 1.3679/(1.3679 + 0.3679) = 251

𝑥 1 → 4 = 0 + 67 + 682 1.0/1.0 = 749


<Sheffiの記述>

・今紹介したのが”single-pass”アルゴリズム

𝑐 𝑖 ≤ 𝑐(𝑗)で経路を限定している。

＝一回の最小経路探索問題を解くことになる。

・Sheffiは、”double-pass”の方から導入している

「始点から離れる、かつ、終点に近づく」という条件で経路を限定している。

＝二回の最小経路探索問題を解くことになる。

・”There is no a priori behavioral reason or any empirical

evidence that would favor the original(double-pass)

algorithm over the single-pass version.” とも言っています。

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


<SheffiさんのDialアルゴリズム>

Step0(準備)

起点rから他の全てのノードへの最小交通費用c(i)を計算する。𝑐 𝑖 ← 𝐶𝑚𝑖𝑛[𝑟 → i]

終点sに対し、ほかの全てのノードiからの最小交通費用s(i)を計算する。

𝑠 𝑖 ← 𝐶𝑚𝑖𝑛[𝑖 → s]全リンクについて、リンク尤度を計算する。

𝐿 𝑖 → j

= exp 𝜃 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 − 𝑡𝑖𝑗 𝑖𝑓 𝑐 𝑖 < 𝑐 𝑗 𝑎𝑛𝑑 𝑠 𝑖 > 𝑠(𝑗)


Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


・リンク尤度の置き方

𝐿 𝑖 → j = exp 𝜃 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 − 𝑡𝑖𝑗 𝑖𝑓 𝑐 𝑖 < 𝑐(𝑗)


→何故このような形になったのか？

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

（答）ロジットモデルとの等価性を持たせるため

Dialのアルゴリズム<Dialのアルゴリズムとロジットモデルの等価性>

（式的な理解）Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

ODペアrsがk番目経路(r→A→B…Y→Z→s)を選択する確率𝑃𝑘は、

𝑃𝑘 =𝑊[𝑍 → 𝑠]

𝑚𝑊[𝑚 → 𝑠]

𝑊[𝑌 → 𝑍]

𝑚 𝑊[𝑚 → 𝑍]

⋯𝑊[𝐴 → 𝐵]

𝑚 𝑊[𝑚 → 𝐵]

𝑊[𝑟 → 𝐴]

𝑚 𝑊[𝑚 → 𝐴]リンクウェイトの定義

𝑊 𝑖 → 𝑗 = 𝐿[𝑖 → 𝑗]

𝑚∈𝐼𝑖

𝑊[𝑚 → 𝑖]

を用いると、𝑃𝑘 = 𝐿 𝑍 → 𝑠 𝐿 𝑌 → 𝑍

⋯𝐿 𝐴 → 𝐵 𝐿 𝑟 → 𝐴 /

𝑚

𝑊[𝑚 → 𝑠]

さらにリンク尤度の定義

𝐿 𝑖 → 𝑗 = exp 𝜃 𝑐 𝑗 − 𝑐 𝑖 − 𝑡𝑖𝑗を用いると、

𝑃𝑘 = 𝑒𝑥𝑝 𝜃 𝑐 𝑠 − 𝑐 𝑍 − 𝑡𝑍𝑠

× 𝑒𝑥𝑝 𝜃 𝑐 𝑍 − 𝑐 𝑌 − 𝑡𝑌𝑍

⋯𝑒𝑥𝑝 𝜃 𝑐 𝐵 − 𝑐 𝐴 − 𝑡𝐴𝐵

× 𝑒𝑥𝑝 𝜃 𝑐 𝐴 − 𝑐 𝑟 − 𝑡𝑟𝐴/ 𝑚 𝑊[𝑚 → 𝑠]

= 𝑒𝑥𝑝[𝜃 𝑐 𝑠− (𝑡𝑟𝐴 + 𝑡𝐴𝐵 + ⋯+ 𝑡𝑌𝑍


<Dialのアルゴリズムとロジットモデルの等価性>

経路列挙することなしに、

あたかも経路をロジット型確率で選択しているかのように表現できている！！

（すごい！？）

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


<Sheffiの記述>

・Dialがロジットベースであるがゆえに生じる不適切な配分例

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

r s

1

r s

1

←ほぼ３経路と認識される

←ほぼ２経路と認識される

↑どちらの場合でも、計算上３つの経路はそれぞれ1/3ずつ交通量を分担することになる

↓

Overlapping routesに過剰に配分してしまう！


<Sheffiの記述>

・コストの「差」に基づいて確率が決定するという仮定による不適切な配分例

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

rs

125min

120min

r s

10min

5min

←直感的には、ほぼ全ての利用者が5minの方を利用する

↑直感的には、結構な数の利用者が125minの方も利用する

が、ロジット型配分では両者とも同じ配分になってしまう！！！


<Sheffiの記述>

・これらの二つの問題点は、

ロジット型における「誤差項」を見直すことで解消できる。

Overlapping→誤差項相関が考慮されていないこと

「差」→誤差項の分散が同一定数であること

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

つまり、プロビット型を考えればよいことになる！（スライドPart4でやります。）


<Sheffiの記述>

・Dial法では、前段階として経路を”reasonable”

か”unreasonable”に分類している。

・”reasonable”経路にのみOD交通量を振り分ける。

・”unreasonable”経路は、実際には選択肢にすら含まれない。

・最短経路探索では「一つの視点から全てのノードへの最短経路」が求まるが、その性質を生かしきれていない。

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1


<Dialのアルゴリズムの問題点>

・経路の限定が行われてしまっていること

・それゆえに生じる非現実的なフローパターンが存在すること

Part 3

Part 4

Part 5

→ Part 2

Part 1

r s

2

18 1

110

C(1)=8

C(s)=9

C(2)=10

r→１→sとr→2→sの二つの経路

は実際にはコストが近く、どちらも選択されうるが、Dial法ではr→2→sの方はリンク尤度の時点で0と判断され、交通量が割り振られない。

ロジット型確率配分（経路限定無し）

・Markov連鎖配分（Markov Chain Assignment)

（佐佐木）を応用する。

Part3の概要

①MCAの概要説明

②ロジット型確率配分とMCAの関係性

③実際の計算、実装のために

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

①MCA（マルコフ連鎖配分）

・マルコフ性＝その過程の将来状態の条件付き確率分布が、現在状態のみに依存し、過去のいかなる状態にも依存しない特性（wikipediaより）

・ノードから各ノードへの移動確率を表す遷移確率行列

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

123

0 1/2 1/23/4 0 1/40 0 1

2

1

3

1/2

1/4

3/41/2

1 2 3


・一般に遷移確率行列は、終点の数をa個、全ノード数をn個として

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑷 =𝑰 𝟎𝑹 𝑸

𝑎 𝑛 − 𝑎𝑰：終点の移動を表す単位行列𝑹:終点以外から終点に移る𝑸:終点以外から終点以外に移る

・実際のネットワークで効いてくるのは行列Q。

起点の数をg個として

𝑸 =𝟎 𝑸𝟏

𝟎 𝑸𝟐

𝑔 𝑛 − 𝑎 − 𝑔

いかなるノードも始点には戻らない𝑸𝟏:始点から始点以外に移る𝑸𝟐:始点以外から始点以外に移る


・最終的に得たいのはリンク交通量。

・直感的には𝑸𝒏計算したらなんかできそう。

・𝑸𝒏の(i,j)要素が何を表すのか！？

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑸𝟐 = = (𝑖, 𝑗)i行目

j 列目

つまり、i→(任意のノード)→jとなる確率を表す。

𝑸𝟑 =

= = (𝑖, 𝑗)

i行目

i行目

j 列目

つまり、i→(任意のノード)→(任意のノード）→j

となる確率を表す。


・𝑸𝒏の(i,j)要素は、最初iにいた人（車）が、n回後にjにいる確率を表す。

・リンク交通量は、通過する人が現在何回目の遷移状態なのかは問わない。(=全部足せばよい）

・以下の行列の無限級数の(i,j)要素は、「iからjに向かうある一台の車が各ノードを通る回数の期待値」を表すといえる。

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑰 + 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 + ⋯+ 𝑸𝒏 + ⋯ = (𝑰 − 𝑸)−1

𝑸 =𝟎 𝑸𝟏

𝟎 𝑸𝟐より、(𝑰 − 𝑸)−1=

𝑰 𝑸𝟏(𝑰 − 𝑸𝟐)−1

𝟎 (𝑰 − 𝑸𝟐)−1


・(𝑰 − 𝑸)−1からわかるのは「ノード選択確率」 𝑷(𝒊)

・ほしいのは「リンク選択確率」𝑷𝒊𝒋

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑷𝒊𝒋 = 𝑷(𝒊) ∙ 𝒑(𝒋|𝒊)

・リンク選択率＝ノード選択率×遷移確率

・𝒑(𝒋|𝒊)はノードiからjへの遷移確率であるが、これは遷移確率行列から既に与えられている。

＝上の式は既に完成！！

→じゃあもう終わり？

②ロジット型確率配分とMCAの関係性

・MCAでは遷移確率行列を観測交通量などから算出することになっている。

・つまり、選択にかかる行動論的な視点が一切ない。

・「行列ですべてのパターンを考慮する」というところは変えずに、ロジットモデル的な性質を与えてみよう。

つまり、

𝑃𝑘𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝑝(𝑗|𝑖)𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠,𝑛

=exp[−𝜃𝑐𝑘

𝑟𝑠]

𝑘=1∞ exp[−𝜃𝑐𝑘

𝑟𝑠]

を満たすように、遷移確率行列𝑝(𝑗|𝑖)を与える。

𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠,𝑛：ODペアrs間のk番目経路がリンクijをn回通過す

るならn,そうでないなら0をとる！！

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

（𝑐𝑘𝑟𝑠はODペアrsのk番目経路の計測可能コスト）

・結論から言うと・・・

𝑝 𝑗 𝑖 = exp −𝜃𝑡𝑖𝑗𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠

𝑉𝑖𝑠 = 𝑘=1

∞

exp[−𝜃𝑐𝑘𝑖𝑠]

（証明）

𝑃𝑘𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝑝(𝑗|𝑖)𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠,𝑛

=

𝑖𝑗

exp −𝜃𝑡𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠,𝑛

𝑖𝑗

𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠

𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠,𝑛

= exp[−𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠] 𝑖𝑗

𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1②ロジット型確率配分とMCAの関係性

𝑖𝑗

𝑉𝑗𝑠𝑉𝑖𝑠


= exp 𝑖𝑗(𝑙𝑛𝑉𝑗𝑠 − 𝑙𝑛𝑉𝑖𝑠) 𝛿𝑖𝑗,𝑘

𝑟𝑠,𝑛

= exp (𝑙𝑛𝑉𝑠𝑠 − 𝑙𝑛𝑉𝑟𝑠) =1

𝑉𝑟𝑠=

1


𝑟𝑠]

よって

𝑃𝑘𝑟𝑠 =

exp[−𝜃𝑐𝑘𝑟𝑠]


𝑟𝑠]■

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1②ロジット型確率配分とMCAの関係性

（証明続き）


・行列Vはどのように計算すればよいか？

𝑉𝑖𝑠 = 𝑘=1∞ exp[−𝜃𝑐𝑘

𝑖𝑠]を見ればわかるが、サイク

ル含む無限経路を考慮しているため、経路列挙では評価できない。

・先ほどと同様の行列演算アプローチが有効！

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑰 + 𝑸𝟏 + 𝑸𝟐 + ⋯+ 𝑸𝒏 + ⋯ = (𝑰 − 𝑸)−1

・こんな感じのやつ。無限級数がVに等しくなれば、簡単。では今回はどういった𝑸を定義すればよいだろうか？


・またまた結論から言うと、次のような行列Wを置きます。

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑤𝑖𝑗 = exp[−𝜃𝑡𝑖𝑗] リンク𝑖𝑗が存在

0 その他

・この行列のべき乗𝑾𝑛の要素(i,j)は、先の𝑸𝑛と同様に考えると、

𝑤𝑖𝑗𝑛 =

𝑘∈𝐾𝑛𝑖𝑗exp[−𝜃𝑐𝑘,𝑛

𝑖𝑗]

・n本のリンクを通過してノードiとノードjを結ぶ

経路の集合𝐾𝑛𝑖𝑗に対して、経路コスト𝑐𝑘,𝑛

𝑖𝑗を足しあ

わせたものを表す。


・ Vを求める上で、何本のリンクで結ばれているかという情報は関係ない。（全て足せばよい）

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

V = 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 + ⋯+ 𝑾𝒏 + ⋯ = 𝑰 − 𝑾 −1 − 𝑰

・これは計算可能！


・結果として逆行列計算が二つある。(𝑰 − 𝑸𝟐)

−1＆ 𝑰 − 𝑾 −1

・これは計算量的に高負荷。

・以下のような工夫で、逆行列計算を一回にできる。

・多起点・1終点のODペアに分割する。（以下の操作を、終点の数だけ繰り返すことになる。）

このとき、

Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑾 =0 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝑾𝟏

𝑾𝒔𝟐 𝟎 𝑾𝟐

1 g n − g − 1

※𝑔:起点の数

のように表現することが可能！


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑾 =0 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝑾𝟏

𝑾𝒔𝟐 𝟎 𝑾𝟐

[𝑰 − 𝑾]−1=1 𝟎 𝟎

𝑽𝒔𝟏 𝑰 𝑽𝟏

𝑽𝒔𝟐 𝟎 𝑽𝟐

で表されるならば、

𝑽𝒔𝟏 = 𝑾𝟏[𝑰 − 𝑾𝟐]−1𝑾𝒔𝟐

𝑽𝒔𝟐 = [𝑰 − 𝑾𝟐]−1𝑾𝒔𝟐

𝑽𝟏 = 𝑾𝟏[𝑰 − 𝑾𝟐]−1

𝑽𝟐 = [𝑰 − 𝑾𝟐]−1

と、表すことができる。

※時間的に、これを示すことはしません。が、暇なときに手を動かしてみてください。

ただし、


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

遷移確率行列 𝑸 =𝟎 𝑸𝟏

𝟎 𝑸𝟐は、𝑝 𝑗 𝑖 を表す。

𝑞𝑖𝑗 = 𝑝 𝑗 𝑖 = exp −𝜃𝑡𝑖𝑗𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠、𝑤𝑖𝑗 = exp[−𝜃𝑡𝑖𝑗]より、行列𝑸と𝑾

と𝑽には何らかの関係が成り立ってそう。

成分表記では𝑞𝑖𝑗 = 𝑤𝑖𝑗𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠であるから、これを行列表記に直すと、

iが起点、jが起点以外のとき 𝑸𝟏 = 𝑽𝒔𝟏−1

𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐

iもjも起点以外のとき 𝑸𝟐 = 𝑽𝒔𝟐−1

𝑾𝟐𝑽𝒔𝟐

ただし、

𝑾 =0 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝑾𝟏

𝑾𝒔𝟐 𝟎 𝑾𝟐

1 g n − g − 1

𝑽 = [𝑰 − 𝑾]−1 − 𝑰 =1 𝟎 𝟎

𝑽𝒔𝟏 𝟎 𝑽𝟏

𝑽𝒔𝟐 𝟎 𝑽𝟐 − 𝑰

1 g n − g − 1

𝑽𝒔𝟏は𝑽𝒔𝟏を対角要素にしたg×g対角行列𝑽𝒔𝟐は𝑽𝒔𝟐を対角要素にもつn-g-1×n-g-1対角行列


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

（結論）

𝑸𝟏 = 𝑽𝒔𝟏−1

𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐、𝑸𝟐 = 𝑽𝒔𝟐−1

𝑾𝟐𝑽𝒔𝟐をもとに、求めるべき

ノード選択率行列𝑷(𝒊)=(𝑰 − 𝑸)−1=𝑰 𝑸𝟏(𝑰 − 𝑸𝟐)

−1

𝟎 (𝑰 − 𝑸𝟐)−1 の逆行列

計算(𝑰 − 𝑸𝟐)−1を省くことができる。

（証明）

𝑸𝟏(𝑰 − 𝑸𝟐)−1= 𝑽𝒔𝟏

−1𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐(𝑰 − 𝑽𝒔𝟐

−1𝑾𝟐𝑽𝒔𝟐)

−1

= 𝑽𝒔𝟏−1

𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐 𝐼 + 𝑽𝒔𝟐−1

𝑾𝟐−1 − 𝑽𝒔𝟐 ∙ 𝑽𝒔𝟐

−1 −1𝑽𝒔𝟐

= 𝑽𝒔𝟏−1


−𝑰 + 𝑰𝑾𝟐−1𝑰

−1𝑽𝒔𝟐

= 𝑽𝒔𝟏−1


−𝐼 − 𝑾𝟐 − 𝑰 −1}𝑽𝒔𝟐

逆行列の補助定理

(𝑨 + 𝑩𝑫𝑪)−𝟏

= 𝑨−𝟏 − 𝑨−𝟏𝑩(𝑫−𝟏 + 𝑪𝑨−𝟏𝑩)−𝟏𝑪𝑨−𝟏


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

𝑸𝟏(𝑰 − 𝑸𝟐)−𝟏= 𝑽𝒔𝟏

−1𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐 𝐼 + 𝑽𝒔𝟐

−1 −𝐼 − 𝑾𝟐 − 𝑰 −1}𝑽𝒔𝟐

= 𝑽𝒔𝟏−𝟏

𝑾𝟏𝑽𝒔𝟐 −𝑽𝒔𝟐−𝟏

𝑾𝟐 − 𝑰 −𝟏}𝑽𝒔𝟐

= 𝑽𝒔𝟏−1

𝑾𝟏[𝑰 − 𝑾𝟐]−1𝑽𝒔𝟐

= 𝑽𝒔𝟏−1

𝑽𝟏𝑽𝒔𝟐

つまり、(𝑰 − 𝑸𝟐)−𝟏において逆行列計算をする必要はない！

交通量が始点からのみ発生するとすれば、この𝑸𝟏(𝑰 − 𝑸𝟐)−𝟏を計算すれ

ば事足りるからである。とくにトリップが始点rで発生し終点sに向かう形で発生したときの、ノードiの選択確率𝑷(𝒊)𝒓𝒔は、

𝑃(𝑖)𝑟𝑠 = 𝑉𝑟𝑖𝑉𝑖𝑠/𝑉𝑟𝑠よってリンク選択確率は、

𝑃𝑖𝑗𝑟𝑠 = 𝑝 𝑗 𝑖 𝑃(𝑖)𝑟𝑠 = 𝑤𝑖𝑗

𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑖𝑠×

𝑉𝑟𝑖𝑉𝑖𝑠

𝑉𝑟𝑠=

𝑉𝑟𝑖𝑤𝑖𝑗𝑉𝑗𝑠

𝑉𝑟𝑠

ここで、𝑽𝟏 = 𝑾𝟏[𝑰 − 𝑾𝟐]−1を用いると、


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

・しかし、逆行列計算一回にしても、実際はかなり高負荷・SOR法（Successive Over Relaxation method) を用いる。

SOR法（逐次加速緩和法）・n元連立一次方程式を反復法で解く手法の一つであり、

ガウス＝ザイデル法に加速パラメータを導入してその修正量を拡大することで、更なる加速を図った手法である。

（wikipediaより引用）


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

SOR法（に入る前に・・・）・今求めたいのは「リンク交通量」

・𝑃𝑖𝑗𝑟𝑠 =


𝑉𝑟𝑠より、行列𝑽の中でも必要な要素は𝑉𝑟𝑖と

𝑉𝑗𝑠と𝑉𝑟𝑠のみ。（全ての要素を計算する必要はない。）


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

SOR法（に入る前に・・・）～Markov連鎖を用いた確率的配分の流れ（まとめ）～Step1

行列𝑾の値を設定𝑤𝑖𝑗 = exp(−𝜃𝑡𝑖𝑗)

Step2起点rに対して、𝑽𝒓 = [𝑉r1, … , 𝑉r𝑛]を以下の線形連立方程式より算出。

[𝑰 − 𝑾]𝑻𝑽𝒓𝑻 = 𝑾𝒓

𝑻

終点sに対して、𝑽𝒔 = [𝑉1𝑠, … , 𝑉𝑛𝑠]𝑇を以下の線形連立方

程式より算出。𝑰 − 𝐖 𝑽𝒔 = 𝑾𝒔


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

SOR法（に入る前に・・・）～Markov連鎖を用いた確率的配分の流れ（まとめ）～Step3𝑽𝟑は以下のように簡単に求まる。

𝑽𝟑 = 𝑽𝟏𝑾𝟐 or 𝑽𝟑 = 𝑾𝟏𝑽𝟐

Step4ODペア別のリンク交通量𝑦𝑖𝑗

𝑟𝑠は以下で計算される。

𝑦𝑖𝑗𝑟𝑠 = 𝑞𝑟𝑠


𝑉𝑟𝑠


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

SOR法連立方程式

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑛

を解くとき、適当な初期値𝑥(0)に対して以下の式で解の改訂を繰り返す。𝑥𝑖 𝑡 + 1

= 1 − 𝜔 𝑥𝑖 𝑡 +𝜔

𝑎𝑖𝑖𝑏𝑖 −

𝑗<𝑖

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑡 + 1 −

𝑗>𝑖

𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 𝑡

一分でわかる線形連立方程式求解のためのアルゴリズム

𝑗=1𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 𝑖 = 1,… , 𝑛 を解くために・・・

線形連立方程式求解直接法掃き出し法等

反復法ヤコビ法

ガウスザイデル法

SOR法

計算量𝑂(𝑁3)

計算量𝑂 𝑁2

？？

直接法だと、（係数行列のタイプにもよるが、）計算量𝑂(𝑁3)が確実にかかるし、計算が終わるまで解がわからない。反復法では、途中で計算を止めても、多少は真の解にちかいものが得られる。また、工夫次第で計算量を抑えることも可能である。


𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

𝑥1

⋮𝑥𝑛

=𝑏1

⋮𝑏𝑛

・ヤコビ法

K回目の反復における解の推定値𝑥(𝑘) =𝑥1

(𝑘)

⋮

𝑥𝑛(𝑘)

に対して

次ステップの推定値

𝑥1(𝑘+1)

=1

𝑎11𝑏1 − 𝑎12𝑥2

𝑘⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑘

⋮

𝑥𝑛(𝑘+1)

=1

𝑎𝑛𝑛𝑏𝑛 − 𝑎𝑛1𝑥1

𝑘⋯− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑘


𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

𝑥1

⋮𝑥𝑛

=𝑏1

⋮𝑏𝑛

・ガウスザイデル法次ステップの推定値

𝑥1(𝑘+1)

=1

𝑎11𝑏1 − 𝑎12𝑥2

𝑘− 𝑎13𝑥3


𝑘

𝑥2(𝑘+1)

=1

𝑎22𝑏2 − 𝑎21𝑥1

𝑘+1− 𝑎23𝑥3


𝑘

𝑥3(𝑘+1)

=1

𝑎33𝑏3 − 𝑎31𝑥1

𝑘+1− 𝑎32𝑥2

𝑘+1⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑘

⋮

𝑥𝑛(𝑘+1)

=1


𝑘+1⋯− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑘+1

各段階で得られる最新のデータを代入している！


𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛

𝑥1

⋮𝑥𝑛

=𝑏1

⋮𝑏𝑛

・SOR法各段階に、同一のパラメータ𝜔をかませる。

𝑥1(𝑘+1)

=1

𝑎11𝑏1 − 𝑎12𝑥2

𝑘− 𝑎13𝑥3


𝑘

𝑥1𝑘+1

= 𝑥1𝑘

+ 𝜔( 𝑥1𝑘+1

− 𝑥1𝑘

)

𝑥2(𝑘+1)

=1

𝑎22𝑏2 − 𝑎21𝑥1

𝑘+1− 𝑎23𝑥3


𝑘

𝑥2𝑘+1

= 𝑥2𝑘

+ 𝜔( 𝑥2𝑘+1

− 𝑥2𝑘

)

𝑥3(𝑘+1)

=1

𝑎33𝑏3 − 𝑎31𝑥1

𝑘+1− 𝑎32𝑥2

𝑘+1⋯− 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑘

⋮

𝑥𝑛(𝑘+1)

=1


𝑘+1⋯− 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥𝑛−1

𝑘+1

𝑥𝑛𝑘+1

= 𝑥𝑛𝑘

+ 𝜔( 𝑥𝑛𝑘+1

− 𝑥𝑛𝑘

)


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1Step2起点rに対して、𝑽𝒓 = [𝑉r1, … , 𝑉r𝑛]を以下の線形連立方程式より算出。

[𝑰 − 𝑾]𝑻𝑽𝒓𝑻 = 𝑾𝒓

𝑻

ここにSOR法を適用する。起点rに対して、𝑉𝑟𝑗 𝑘 + 1

=

1 − 𝜔 𝑉𝑟𝑗 𝑘 − 𝜔 1 −

𝑖𝑗∈𝐼𝑛(𝑗)

𝑊𝑖𝑗 𝑉𝑟𝑖 𝑖𝑓 𝑗 ∈ 𝐸(𝑟)

1 − 𝜔 𝑉𝑟𝑗 𝑘 + 𝜔

𝑖𝑗∈𝐼𝑛(𝑗)

𝑊𝑖𝑗 𝑉𝑟𝑖 𝑖𝑓 𝑗 ∉ 𝐸(𝑟)


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1Step2終点sに対して、𝑽𝒔 = [𝑉1𝑠, … , 𝑉𝑛𝑠]

𝑇を以下の線形連立方程式より算出。

𝑰 − 𝐖 𝑽𝒔 = 𝑾𝒔

終点sに対してもまったく同様に、𝑉𝑖𝑠 𝑘 + 1

=

1 − 𝜔 𝑉𝑖𝑠 𝑘 − 𝜔 1 −

𝑖𝑗∈𝑂𝑢𝑡(𝑖)

𝑊𝑖𝑗 𝑉𝑗𝑠 𝑖𝑓 𝑖 ∈ 𝐸(𝑠)

1 − 𝜔 𝑉𝑖𝑠 𝑘 + 𝜔

𝑖𝑗∈𝑂𝑢𝑡(𝑖)

𝑊𝑖𝑗 𝑉𝑗𝑠 𝑖𝑓 𝑖 ∉ 𝐸(𝑠)


Part 2

Part 4

Part 5

→ Part 3

Part 1

MCA利用した配分のまとめ（利点）・Dial法での経路制限問題は解消。（問題点）・非現実的に過大なcycle flowの発生可能性・行列Wの収束条件が満たされず解が発散する可能性

（特に、１サイクルのコストが比較的小さいサイクルが存在する場合に顕著！）・ロジット型の欠点であるIIA特性の増幅可能性

→この配分法は、「万能」であると解釈するのではなく、「Dialのアルゴリズムで問題が発生しうる場合の救護策」として用いるべき。→この配分法の課題はつまるところcycle flowの適切な削除である。

プロビット型確率配分

本来のプロビットモデルとは、

「誤差項の多重正規分布を決定するための共分散行列の全ての要素をパラメータとするモデル」

→現実的には推定できない？

→実際は共分散構造に何らかの仮定を設定し、パラメータ個数を減らす。

今回は、

①パラメータを唯一つだけ与えた場合を考え、

②Monte Carlo Simulation法で計算する

という感じで学習します。

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

プロビット型確率配分①単一パラメータのとき

・単一パラメータを仮定 𝑡𝑖𝑗 = 𝑡𝑖𝑗 + 휀𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗:利用者が認知するリンクコスト

𝑡𝑖𝑗:測定可能なリンクコスト

휀𝑖𝑗:誤差項は、各リンクごとに独立に、以下のような正

規分布に従うと仮定する。（𝛽は全リンクを通して共通）

휀𝑖𝑗~𝑁(0, 𝛽𝑡𝑖𝑗)

→分散が𝑡𝑖𝑗に比例するとしているのはなぜ？（Sheffi11)

→リンクごとに独立な誤差項を仮定したとき、経路ごとの認知コストはどんな感じになるか？

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1


<Sheffiの一言>

「認知旅行時間の不確実性は、旅行時間よりもむしろリンクの長さに関係している。」

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

提案① 휀𝑖𝑗~𝑁 0, 𝛽𝑙𝑖𝑗

ただし、𝑙𝑖𝑗 :リンクijの長さ

提案② 휀𝑖𝑗~𝑁 0, 𝛽𝑡(0)𝑖𝑗

ただし、𝑡(0):フリーフロー時の測定可能リンクコスト

リンクコストのフロー依存性は、認知旅行時間の不確実性にかませるべきではない（？？？）


<Sheffiの一言>

「リンクコストが正規分布なのは現実にそぐわない」

なぜなら、「リンクコストは非負」だから。

非負の分布であるガンマ分布等を用いるべき？

しかし、

・誤差項の大きさは確定項に比べ小さい

・計算は、ガンマ分布が正規分布でよく近似できるところでしか行わない。

から、このまま正規分布を用いても不適切ではない！

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1


・経路コストとリンクコストの関係は

𝑐𝑘𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠

𝑐𝑘𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠

・認知経路コスト 𝑐𝑘𝑟𝑠の平均、分散共分散を求める

平均は、𝐸 𝑐𝑘𝑟𝑠 = 𝐸

𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠 = 𝐸

𝑖𝑗

𝑡𝑖𝑗 + 휀𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠

= 𝑐𝑘𝑟𝑠

分散は、𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑘𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝑉𝑎𝑟 𝑡𝑖𝑗 + 휀𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠

=

𝑖𝑗

𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠 2

𝑉𝑎𝑟 휀𝑖𝑗 =

𝑖𝑗

𝛽 𝑡𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘𝑟𝑠 = 𝛽𝑐𝑘

𝑟𝑠

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1


共分散は、𝐶𝑜𝑣 𝑐𝑘1𝑟𝑠 , 𝑐𝑘2

𝑟𝑠 = 𝐸 ( 𝑐𝑘1𝑟𝑠 − 𝑐𝑘1

𝑟𝑠)( 𝑐𝑘2𝑟𝑠 − 𝑐𝑘2

𝑟𝑠)

= 𝐸

𝑖𝑗

휀𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘1𝑟𝑠

𝑖𝑗

휀𝑖𝑗𝛿𝑖𝑗,𝑘2𝑟𝑠

= 𝐸

𝑖𝑗

휀𝑖𝑗2𝛿𝑖𝑗,𝑘1

𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘2𝑟𝑠 =

𝑖𝑗

𝛿𝑖𝑗,𝑘1𝑟𝑠 𝛿𝑖𝑗,𝑘2

𝑟𝑠 𝐸 휀𝑖𝑗2

=

𝑖𝑗


𝑟𝑠 𝐸 ( 휀𝑖𝑗 − 𝐸( 휀𝑖𝑗))2 =

𝑖𝑗


𝑟𝑠 𝛽𝑡𝑖𝑗

= 𝛽𝑐𝑘1,𝑘2𝑟𝑠

(𝑐𝑘1,𝑘2𝑟𝑠 :経路k1と経路k2が共に通るリンクコストの和）

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

→経路間の重なりが大きいほど、認知コスト間の相関が高くなる！


結局、利用者の認知経路コストは、

平均ベクトル𝑐𝑘1𝑟𝑠

⋮𝑐𝑘𝑛𝑟𝑠

分散共分散行列

𝛽𝑐𝑘1𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘2,𝑘1𝑟𝑠


⋮𝛽𝑐𝑘𝑛,𝑘1

𝑟𝑠


𝛽𝑐𝑘2𝑟𝑠


⋮𝛽𝑐𝑘𝑛,𝑘2

𝑟𝑠

…⋮⋱⋮…

𝛽𝑐𝑘1,𝑘𝑛−1𝑟𝑠

⋮𝛽𝑐𝑘𝑛−2,𝑘𝑛−1

𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘𝑛−1𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘𝑛,𝑘𝑛−1𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘1,𝑘𝑛𝑟𝑠

⋮𝛽𝑐𝑘𝑛−2,𝑘𝑛

𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘𝑛−1,𝑘𝑛𝑟𝑠

𝛽𝑐𝑘𝑛𝑟𝑠

の多重正規分布に従うことになる。が、ロジットモデルのようにクローズドフォームでないので、近似的求解手法をとることになる。

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

プロビット型確率配分②Monte Carlo Simulation法

・モナコ公国にある賭博のまち「モンテカルロ」由来

・乱数を用いたシミュレーション法

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

Wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD)より転載

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%AD


モンテカルロ法による

プロビット型確率配分のアルゴリズム

Step0(初期化）

サンプリング繰り返しカウンタm=1

Step1(サンプリング)

各リンク(i,j)について、𝑡𝑖𝑗(𝑚)を 𝑡𝑖𝑗~𝑁(𝑡𝑖𝑗 , 𝛽𝑡𝑖𝑗)からサンプ

リング

Step2

𝑡𝑖𝑗(𝑚)に基づいて、各ODペア間の最短経路を探索し、

その最短経路にOD交通量𝑞𝑟𝑠を配分する。その結果のリ

ンクフローパターンを 𝑦𝑖𝑗(𝑚)

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1


モンテカルロ法によるプロビット型確率配分のアルゴリズムStep3(平均化操作)

𝑥𝑖𝑗(𝑚)

= 1 −1

𝑚𝑥𝑖𝑗

(𝑚−1)+

1

𝑚𝑦𝑖𝑗

(𝑚)

Step4(終了判定)

各リンク(i,j)において、𝑥𝑖𝑗(𝑚)の標準偏差を計算

𝜎𝑖𝑗(𝑚)

=1

𝑚(𝑚 − 1)

𝑛=1

𝑚

𝑦𝑖𝑗(𝑛)

− 𝑥𝑖𝑗(𝑚) 2

𝐼𝑓 max𝑖𝑗

𝜎𝑖𝑗(𝑚)

𝑥𝑖𝑗(𝑚)

≤ 휀 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑠𝑡𝑜𝑝.

𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 𝑚 = 𝑚 + 1 𝑎𝑛𝑑 𝑔𝑜 𝑡𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑝 1.

Part 2

Part 3

Part 5

→ Part 4

Part 1

まとめ

・Dialアルゴリズム（Part2)

・MCA理論を用いた経路非制限アプローチ(Part3)

・ロジット型とプロビット型の比較(Part4)

Part 2

Part 3

Part 4

→ Part 5

Part 1

参考文献

■吸収マルコフ過程による交通量配分理論（佐々木綱）

ネットに落ちてます。

■確率過程の基礎（R.デュレット,丸善出版）

研究室に常備してあります。

■線形連立方程式求解については以下を参照(http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/edu/em/mom/linear_system/lin_eqs.pdf)

Part 2

Part 3

Part 4

→ Part 5

Part 1

Chapter11 “Stochastic Network Loading Models” 交...

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Transcript of Chapter11 “Stochastic Network Loading Models” 交...