Chapter10_1

自動控制

Chapter 10 狀態變數分析

NTU-BIME-自控講義_Joe-Air Jiang

Automatic Control Systems_F. Golnaraghi & B. C. Kuo


1010--1 1 前言前言Chapter 2Chapter 2：：介紹線性連續介紹線性連續--資料與離散動態系統的狀態變數與狀態方程式的觀念與定資料與離散動態系統的狀態變數與狀態方程式的觀念與定

義，並舉例說明了如何選擇狀態變數，要如何寫出線性與非線性系統的狀態方程式。義，並舉例說明了如何選擇狀態變數，要如何寫出線性與非線性系統的狀態方程式。

狀態變數法的基本特性是線性和非線性系統、時變和非時變系統、單變數和多變數狀態變數法的基本特性是線性和非線性系統、時變和非時變系統、單變數和多變數

系統均可用同一模式處理。系統均可用同一模式處理。

1010--2 2 BLOCK DIAGRAMS, TRANSFER FUNCTIONS, BLOCK DIAGRAMS, TRANSFER FUNCTIONS, AND STATE DIAGRAMSAND STATE DIAGRAMS

1010--22--1 Transfer Functions (Multivariable Systems)1 Transfer Functions (Multivariable Systems) The definition of a transfer function is easily extended to a system with multiple

inputs and outputs. A system of this type is often referred to as a multivariable system. In a multivariable system, a differential equation of the form of Eq. (2-217) may

be used to describe the relationship between a pair of input and output variables, when all other inputs are set to zero.

This equation is restated as

2



Chapter 10 狀態變數分析1

1 1 01

1

1 1 01

( ) ( ) ( )... ( )

( ) ( ) ( )... ( )

n n

nn n

m m

m mm m

d y t d y t d y ta a a y tdt dt dt

d u t d u t d u tb b b b u tdt dt dt

(10(10--1)1)

The coefficients a0, a1, …, an–1 and b0, b1, …, bm–1 are real constants. Because the principle of superposition is valid for linear systems, the total effect

on any output due to all the inputs acting simultaneously is obtained by adding up the outputs due to each input acting alone.

In general, if a linear system has p inputs and q outputs, the transfer function between the jth input and the ith output is defined as

( )( )( )

iij

j

Y sG sR s

(10(10--2)2)

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )i i i ip pY s G s R s G s R s G s R s (10(10--3)3)

Note that Eq. (10-2) is defined with only the jth input in effect, whereas the other inputs are set to zero. When all the p inputs are in action, the ith output transform is written

with Rk(s) = 0, k = 1, 2, ..., p, k≠ j.

3




It is convenient to express Eq. (10-3) in matrix-vector form:

( ) ( ) ( )Y G Rs s s (10(10--4)4)

(10(10--5) 5)

where

1

2

( )( )

( )

( )

Y

q

Y sY s

s

Y s

(10(10--6)6)

1

2

( )( )

( )

( )

R

p

R sR s

s

R s

the q x 1transformed output

vector

the p x 1 transformed input

vector

(10(10--7)7)

11 12 1

21 22 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

... ...

G ...

...

p

p

q q qp

G s G s G sG s G s G s

s

G s G s G s

the q x p transfer-

function matrix

4




1010--22--2 Block Diagrams and Transfer Functions of 2 Block Diagrams and Transfer Functions of Multivariable SystemsMultivariable Systems

In this section, we shall illustrate the block diagram and matrix representations of multivariable systems.

Two block-diagram representations of a multivariable system with p inputs and qoutputs are shown in Fig. 10-1(a) and (b).

In Fig. 10-1(a), the individual input and output signals are designate, whereas in the block diagram of Fig. 10-1(b), the multiplicity of the inputs and outputs is denoted by vectors.

The case of Fig. 10-1(b) is preferable in practice because of its simplicity. Fig. 10-2 shows the block diagram of a multivariable feedback control system.

The transfer function relationships of the system are expressed in vector-matrix form (see Section 10-3 for more detail):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Y G UU R BB H Y

s s ss s ss s s

(10(10--8) 8) (10(10--9) 9)

(10(10--10) 10)

where Y(s) is the q x 1 output vector; U(s), R(s), and B(s) are all p x 1 vectors; and G(s) and H(s) are q x p and p x q transfer-function matrices, respectively.

5




Figure 10Figure 10--1 1 Block diagram representations of a Block diagram representations of a multivariable system.multivariable system.

6




Substituting Eq. (10-9) into Eq. (10-8) and then from Eq. (10-8) to Eq. (10-10), we get

Figure 10Figure 10--22 Block diagram of a multivariable feedback control system.Block diagram of a multivariable feedback control system.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y G R G H Ys s s s s s (10(10--11)11)Solving for Y(s) from Eq. (10-11) gives

(10(10--12)12) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y I G H G Rs s s s s

Provided that I + G(s)H(s) is nonsingular.

7




1( ) ( ) ( ) ( )M I G H Gs s s s (10(10--13)13)

(10(10--14)14)( ) ( ) ( )Y M Rs s s

The closed-loop transfer matrix is defined as

Then Eq. (10-12) is written

EXAMPLE 10EXAMPLE 10--22--11Consider that the forward-path transfer function matrix and the feedback-path transfer function matrix of the system shown in Fig. 10-2 are

(10(10--15)15)

1 11 01( ) ( )

1 0 122

G H

s ss s

s

respectively. The closed-loop transfer function matrix of the system is given by Eq. (10-14) and

is evaluated as follows:

8




(10(10--16)16)

1 1 2 111 1( ) ( )

1 32 1 22 2

I G H

ss s s ss s

ss s

The closed-loop transfer function matrix is

(10(10--17)17) 1

3 1 1 11 2 1( ) ( ) ( ) ( )

2 12 21 2

ss s s ss s s s

ss s

M I G H G

where

(10(10--18)18)22 3 2 5 2

1 2 ( 1)s s s ss s s s s

9




10

Thus,2

2

3 9 4 1( 1)( 2)( 1)( )

5 2 3 22( 1)

M

s ss s s ss ss

s s ss s

(10(10--19)19)

1010--22--3 State Diagram3 State Diagram In this section, we introduce the state diagram, which is an extension of the SFG

to portray state equations and differential equations. The significance of the state diagram is that it forms a close relationship among

the state equations, computer simulation, and transfer functions. A state diagram is constructed following all the rules of the SFG using the

Laplace-transformed state equations. The basic elements of a slate diagram are similar to the conventional SFG,

except for the integration operation.




Let the variables x1(t) and x2(t) be related by the first-order differentiation:

12

( ) ( )dx t x tdt

(10(10--20)20)

(10(10--21)21)0

1 2 1 0( ) ( ) ( )t

tx t x d x t

Integrating both sides of the last equation with respect to t from the initial time t0, we get

Because the SFG algebra does not handle integration in the time domain, we must take the Laplace transform on both sides of Eq. (10-20). We have

11

0

0

0

1 0 1 01 2 2 20 0

2 1 020

( ) ( )X ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

t t t

t

t

x t x ts x d x d x ds s

X s x tx ds s

± ±

±(10(10--22)22)




Because the past history of the integrator is represented by x1(t0), and the state transition is assumed to start at τ = t0, x2(τ) = 0 for 0 < τ < t0. Thus, Eq. (10-22) becomes

(10(10--23)23)1 021 0

( )X ( )X ( ) x tss ts s

Eq. (10-23) is now algebraic and can be represented by an SFG, as shown in Fig. 10-3.

Fig. 10-3 shows that the output of the integrator is equal to s –1 times the input, plus the initial condition x1(t0)/s.

An alternative SFG with fewer elements for Eq. (10-23) is shown in Fig. 10-4. Before embarking on several illustrative examples on the construction of state

diagrams, let us point out the important uses of the state diagram.

12




Figure 10Figure 10--33 SignalSignal--flow graph representation flow graph representation of Xof X11 (s) = [X(s) = [X22(s)/s] + [x(s)/s] + [x11 (t(t00)/s].)/s].

Figure 10Figure 10--44 SignalSignal--flow graph flow graph representation of Xrepresentation of X11(s) = [X(s) = [X22(s)/s] (s)/s] + [x+ [x11(t(t00)/s].)/s].

13




1. A state diagram can be constructed directly from the system’s differential equation. This allows the determination of the state variables and the state equations.

2. A state diagram can be constructed from the system’s transfer function. This step is defined as the decomposition of transfer functions (Section 10-10).

3. The state diagram can be used to program the system on an analogcomputer or for simulation on a digital computer.

4. The state-transition equation in the Laplace transform domain may be obtained from the state diagram by using the SFG gain formula.

5. The transfer functions of a system can be determined from the state diagram.

6. The state equations and the output equations can be determined from the state diagram.

14

The details of these techniques will follow.




1010--22--4 From Differential Equations to State Diagrams4 From Differential Equations to State Diagrams When a linear system is described by a high-order differential equation,

a state diagram can be constructed from these equations, although a direct approach is not always the most convenient.

Consider the following differential equation:

15

1

2 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

nn n

d y t d y t d y ta a a y t r tdt dt dt

(10(10--24)24)

1

2 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

nn n

d y t d y t d y ta a a y t r tdt dt dt

(10(10--25)25)

To construct a state diagram using this equation, we rearrange the equation as

As a first step, the nodes representing R(s),s nY(s),s n–1Y(s), … , sY(s), and Y(s) are arranged from left to right, as shown in Fig. 10-5(a).

Because s iY(s) corresponds to d iy(t)/dt i, i = 0, 1, 2, . . . , n, in the Laplace domain, as the next step, the nodes in Fig. 10-5(a) are connected by branches to portray Eq. (10-25), resulting in Fig. 10-5(b).




16

Figure 10Figure 10--55 StateState--diagram diagram representation of the representation of the differential equation of Eq. differential equation of Eq. (10(10--24).24).




The complete state diagram is drawn as shown in Fig. 10-5(c). The outputs of the integrators are defined as the state variables, x1, x2, ..., xn. This is usually the natural choice of state variables once the state diagram is

drawn. When the differential equation has derivatives of the input on the right side, the

problem of drawing the state diagram directly is not as straightforward as just illustrated.

We will show that, in general, it is more convenient to obtain the transfer function from the differential equation first and then arrive at the state diagram through decomposition (Section 10-10).

17

Finally, the integrator branches with gains of s –1 are inserted, and the initial conditions are added to the outputs of the integrators, according to the basic scheme in Fig. 10-3.

EXAMPLE 10EXAMPLE 10--22--22 Consider the differential equation

(10(10--26)26)2

2

( ) ( )3 2 ( ) ( )d y t dy t y t r tdt dt




2

2

( ) ( )3 2 ( ) ( )d y t dy t y t r tdt dt

(10(10--27)27)

Equating the highest-ordered term of the last equation to the rest of the terms, we have

Following the procedure just outlined, the state diagram of the system is drawn as shown in Fig. 10-6.

The state variables x1 and x2 are assigned as shown.

Figure 10Figure 10--66 State diagram for Eq. State diagram for Eq. (10(10--26).26).

18



Chapter 10 狀態變數分析1010--22--5 From State Diagrams to Transfer Functions5 From State Diagrams to Transfer Functions The transfer function between an input and an output is obtained from

the state diagram by using the gain formula and setting all other inputs and initial states to zero.

The following example shows how the transfer function is obtained directly from a state diagram.

EXAMPLE 10EXAMPLE 10--22--33 Consider the state diagram of Fig. 10-6. The transfer function between R(s) and Y(s) is obtained by applying the gain

formula between these two nodes and setting the initial states to zero. We have

2

( ) 1( ) 3 2

Y sR s s s

(10(10--28)28)

1010--22--6 From State Diagrams to State and Output Equations6 From State Diagrams to State and Output Equations The state equations and the output equations can be obtained directly from the

state diagram by using the SFG gain formula. The general form of a state equation and the output equation for a linear system is

described in Chapter 2 and presented here.

19




State equation:

Output equation:( ) ( ) ( )y t cx t dr t

(10(10--29)29)

(10(10--30)30)where x(t) is the state variable; r(t) is the input; y(t) is the output; and a, b, c,and d are constant coefficients.

20

( ) ( ) ( )dx t ax t br tdt

Based on the general form of the state and output equations, the following procedure of deriving the state and output equations from the state diagram are outlined:

1. Delete the initial states and the integrator branches with gains s –1 from the state diagram, since the state and output equations do not contain the Laplace operator s or the initial states.

2. For the state equations, regard the nodes that represent the derivatives of the state variables as output nodes, since these variables appear on the left-hand side of the state equations. The output y(t) in the output equation is naturally an output node variable.




3. Regard the state variables and the inputs as input variables on the state diagram, since these variables are found on the right-hand side of the state and output equations.

4. Apply the SFG gain formula to the state diagram.

EXAMPLE 10EXAMPLE 10--22--44 Fig. 10-7 shows the state diagram of Fig. 10-6 with the integrator branches and

the initial states eliminated. Using dx1(t)/dt and dx2(t)/dt as the output nodes and x1(t), x2(t), and r(t) as input nodes, and applying the gain formula between these nodes, the state equations are obtained as

12

21 2

( ) ( )

( ) 2 ( ) 3 ( ) ( )

dx t x tdt

dx t x t x t r tdt

(10(10--31)31)

(10(10--32)32)

21




Figure 10Figure 10--77 State diagram of Fig. 10State diagram of Fig. 10--6 with the initial states 6 with the initial states and the integrator branches left out.and the integrator branches left out.

Applying the gain formula with x1(t), x2(t), and r(t) as input nodes and y(t) as the output node, the output equation is written

1( ) ( )y t x t (10(10--33)33)

22

EXAMPLE 10EXAMPLE 10--22--55As another example on the determination of the state equations from the state diagram, consider the state diagram shown in Fig. 10-8(a). This example will also emphasize the importance of applying the gain formula.




23

Figure 10Figure 10--88 (a) State diagram. (a) State diagram. (b) State diagram in part (a) (b) State diagram in part (a) with all initial states and with all initial states and integrators left out.integrators left out.




Notice that, in this case, the state diagram in Fig. 10-8(b) still contains a loop. By applying the gain formula to the state diagram in Fig. 10-8(b) with ẋ1(t), ẋ2(t),

and ẋ3(t) as output-node variables and r(t), x1(t), x2(t), and x3(t) as input nodes, the state equations are obtained as follows in vector-matrix form:

1

12 3 0 22

1 20 3 0 3

33

( )0 1 0 ( ) 0

( ) 1( ) ( ) 0 ( )1 1

1( )( ) 0 0 0

dx tdt x t

a a a adx t a x t r tdt a a a a

x tdx tdt

(10(10--34)34)

24

Fig. 10-8(b) shows the state diagram with the initial states and the integrator branches deleted.

The output equation is

01 3

0 3 0 3

1( ) ( ) ( )1 1

ay t x t x ta a a a

(10(10--35)35)




1010--3 3 狀態方程式的向量狀態方程式的向量--矩陣表示法矩陣表示法

1.1. nn 階動態系統的階動態系統的 nn 個狀態方程式個狀態方程式

1 2 1 2 1 2( ) [ ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( )]i

i n p vdx t f x t x t x t u t u t u t w t w t w t

dt

(10-36) i = 1，2，…，n

xxi i ((tt) ) 表示第表示第 ii 個狀態變數，個狀態變數，uujj ((tt))，，jj = 1= 1，，22，，……，，pp ，表示第，表示第 jj 個輸入，而個輸入，而 wwkk((tt) ) 表表示第示第 kk 個干擾輸入，個干擾輸入，kk = 1= 1，，22，，……，，vv。。

2. 2. 動態系統的輸出方程式動態系統的輸出方程式

(10-37) 變數變數 yy11((tt))，，yy22((tt))，，……，，yyqq((tt) ) 為系統的為系統的 qq 個輸出變數。個輸出變數。

j = 1，2，…，q

動態方程式動態方程式 (dynamic equation)(dynamic equation)

25




3. 3. 動動態方程式以向量態方程式以向量--矩陣形式表示矩陣形式表示

1) 1) 狀態向量狀態向量 2) 2) 輸入向量輸入向量

(10-38)

3) 3) 輸出向量輸出向量

(10-39)

(10-40)

4) 4) 干擾向量干擾向量

(10-41)

(10-42) f 代表包含函數 f1，f2，…，fn 為

元素的 n 1 行矩陣(10-43)

g 代表包含函數 g1，g2，…，gq為元素的 q 1 行矩陣

4. 4. 對一線性非時變系統，動態方程式可寫成對一線性非時變系統，動態方程式可寫成

26


Automatic Control Systems_F. Golnaraghi & B. C. Kuo27

狀態方程式狀態方程式

輸出方程式輸出方程式

(10-44)

其中其中

(10-45)

(10-46) (10-47)

(10-48) (10-50)

(10-49) (10-51)





在給定起始狀態，向量在給定起始狀態，向量 x(x(tt00))，輸入狀態向量，輸入狀態向量 u(u(tt))，及干擾向量，及干擾向量

w(w(tt))，，((t t tt00) ) 的條件下，求解狀態方程式的條件下，求解狀態方程式：

( ) ( ) ( ) ( )x Ax Bu Ewd t t t t

dt

齊次部分外部激勵部分

1. 1. 線線性齊次狀態方程式性齊次狀態方程式

(10-52)

2. 2. 狀態變換矩陣的定義為狀態變換矩陣的定義為一滿足於線性齊次狀態方程式的矩陣一滿足於線性齊次狀態方程式的矩陣。。

令令 ((tt) ) 為一為一 n n nn 矩陣，代表狀態變換矩陣；則它必須滿足方程式矩陣，代表狀態變換矩陣；則它必須滿足方程式

(10-53)

(10-44)

令令 x(0) x(0) 代表在代表在 tt = 0 = 0 的起始狀態；則的起始狀態；則 ((tt) ) 也可由矩陣方程式來定義也可由矩陣方程式來定義

(10-54) 齊次狀態方程式在 t 0 時的解

1010--4 4 狀態變換矩陣狀態變換矩陣



Chapter 10 狀態變數分析3. 3. 求解狀態變換矩陣：求解狀態變換矩陣：

<<方法一方法一> > 對對 (10(10--52) 52) 式等號兩邊各取式等號兩邊各取拉氏拉氏轉換轉換

(10-55) (10-56)

(10-57) 假設矩陣 (sI A) 為非奇異的

比較比較 (10(10--54) 54) 式和式和 (10(10--57) 57) 式，則狀態變換矩陣式，則狀態變換矩陣 ((tt) ) 等於等於

(10-58) <<方法二方法二> > 假設一個解：令假設一個解：令 tt 0 0 時時 (10(10--52) 52) 式的解為式的解為

(10-59) eeAAtt 代表矩陣代表矩陣 AAtt 的冪級數，即的冪級數，即

(10-60)

(10-61)

另一個狀態變換矩陣的表示法為：另一個狀態變換矩陣的表示法為：

(10-62)




※※ 狀態變換矩陣的意義狀態變換矩陣的意義

1. 1. 狀態變換矩陣滿足齊次的狀態方程式，它代表系統的自由響應狀態變換矩陣滿足齊次的狀態方程式，它代表系統的自由響應 (free response)(free response)。。2. 2. 當輸入為零時，狀態變換矩陣當輸入為零時，狀態變換矩陣 ((tt) ) 完全定義了由起始時間完全定義了由起始時間 tt = 0 = 0 變換至任何時間變換至任何時間 tt

的狀態。的狀態。

※※ 狀態變換矩陣的特性狀態變換矩陣的特性1.1. ((單位矩陣單位矩陣) ) 2.2.

(10-63) (10-64)

<pf.><pf.> 對對 (10(10--62) 62) 式等號兩邊後乘以式等號兩邊後乘以 ee AAtt，可得，可得

(10-65) 對對 (10(10--65) 65) 式等號兩邊前乘以式等號兩邊前乘以 11(t(t))，可得，可得

(10-66)

(10-67) ★★ (10(10--59) 59) 式可以重新排列成式可以重新排列成

(10-68)

狀態變換過程可視為對時狀態變換過程可視為對時間是雙向的。亦即時間的間是雙向的。亦即時間的

變換可在任一方向發生。變換可在任一方向發生。

換言之，其響應只受起始條件的激勵而影響。




，對任何，對任何 tt00，，tt11，，tt223.3. (10-69) <pf.><pf.>

(10-70)

狀態變換過程可以分割成許多序列的變換。狀態變換過程可以分割成許多序列的變換。

圖圖 1010--9 9 說明了由 t = t0 變換至 t = t2 等於由 t0 變換至 t1再由t1 變換至 t2。當然，通常是可以將變換的過程分割成任意多個部份。

圖圖 1010--9 9 狀態變換矩陣的特性狀態變換矩陣的特性

4.4. kk = = 正整數正整數 (10-71) <pf.><pf.>

(10-72) ((kk 項項) )




狀態變換方程式的定義是，線性非狀態變換方程式的定義是，線性非

齊次狀態方程式的解。齊次狀態方程式的解。1. 1. 線性非時變狀態方程式線性非時變狀態方程式

2. 2. 拉氏拉氏轉換法轉換法

(10-73)

(10-74) (10-75)

(10-76)

x(0) 代表在 t = 0 所得的起始狀態向量

當起始時間定當起始時間定

為為 tt = 0 = 0 才有用才有用

令令 tt0 0 代表起始時間，而以代表起始時間，而以 x(x(tt00) ) 代表響應的起始狀態，並假設輸入代表響應的起始狀態，並假設輸入 u(u(tt) ) 與干擾與干擾 w(w(tt) ) 是在是在 tt 0 0 時加進來的。時加進來的。

由由 (10(10--76) 76) 式開始，設式開始，設 tt == tt00 並解出並解出 x(0) x(0)

(10-77)

使用了 (10-64) 式 (t) 的特性

(10-64)

1010--5 5 狀態變換方程式狀態變換方程式




(10-78)

(10-79)

(10-77) 式代入 (10-76) 式

用 (10-78) 式的特性，並將 (10-69) 式中最後兩個積分結合

3. 3. 輸出向量輸出向量

(10-80)

將將 x(x(tt) ) 由由 (10(10--79) 79) 式代入式代入 (10(10--45) 45) 式式

►► 例題例題 1010--55--11 考慮狀態方程式考慮狀態方程式

(10-81)

當在當在 t t 0 0 時輸入時輸入 uu ((tt) = 1) = 1，求出在，求出在 t t 0 0 時的狀態變換矩陣時的狀態變換矩陣 ((tt) ) 與狀態向量與狀態向量 x(tx(t))。。

狀態變換方程式狀態變換方程式




<Sol.><Sol.>1. 1. 係數矩陣係數矩陣 A A 和和 B B

(10-82)

(10-83)

2. A 的狀態變換矩陣

(10-84)

(10-85)

3. 3. 在在 tt 0 0 時的狀態變換方程式時的狀態變換方程式

(10-86)

(10-87) 或

(10-85) 式，B 及 u (t) 代入 (10-76) 式




★★ 另一個方法，將另一個方法，將 ((ssII AA) ) 11BU(BU(ss) ) 取反取反拉氏拉氏轉換，即可獲得狀態變換方轉換，即可獲得狀態變換方程式的第二項。程式的第二項。

(10-88)

※※ 由狀態圖求出狀態變換方程式由狀態圖求出狀態變換方程式

1. SFG 1. SFG 增益公式和第三章所敘述的狀態圖，可用來解在增益公式和第三章所敘述的狀態圖，可用來解在拉氏拉氏轉換領域的狀態方程式轉換領域的狀態方程式(10(10--75) 75) 式。式。

2. 2. 設起始時間為設起始時間為 tt00，則，則 (10(10--75) 75) 式可寫成式可寫成

(1010--7575)

3. 3. 利用增益公式，以利用增益公式，以 XXi i ((ss))，，i i = 1= 1，，22，，……，，nn 為輸出節點，上式可直接由狀態圖寫出。為輸出節點，上式可直接由狀態圖寫出。

(10-89)

4. 4. 求解狀態方程式：取反求解狀態方程式：取反拉氏拉氏轉換轉換




►► 例題例題 1010--55--22 試利用狀態圖，求解試利用狀態圖，求解例題例題 1010--55--11。。

1.1. (10(10--81) 81) 式所描式所描

述的系統之狀述的系統之狀

態圖示於態圖示於圖圖 1010--1010，且以，且以 tt00 為為

起始時間。積起始時間。積

分器的輸出視分器的輸出視

為狀態變數。為狀態變數。

<Sol.><Sol.>

圖圖 1010--10 (1010 (10--81) 81) 式的狀態圖式的狀態圖

2. 2. 以以 XX11((ss) ) 和和 XX22((ss) ) 為輸出節點，為輸出節點，xx11((tt00))，，xx22((tt00))，和，和 UU((ss) ) 為輸入節點為輸入節點

3. 3. 應用增益公式至應用增益公式至圖圖 1010--1010 之狀態圖，則可得之狀態圖，則可得

(10-90)

(10-91)

(10-92) 其中其中

(10-81)




4. 4. 向量向量--矩陣形式矩陣形式︰︰

(10-93)

(10-93) 式等號兩邊取反拉氏轉換，可求得 t t0 時之狀態變換方程式。

5. 5. 若在若在tt = = tt00 將單位步階函數之輸入將單位步階函數之輸入 uu((tt) ) 加至系統，則下列的反加至系統，則下列的反拉氏拉氏轉換關係成立轉換關係成立︰︰

(10-94)

(10-95)

因為起始時間定在 t0，所以在此

拉氏轉換的式子沒有延遲因子。

6. (6. (10-93))式的反式的反拉氏拉氏轉換為轉換為

(10-96)

可將此結果與 t 0 時求得的 (10-87) 式相比較

★★ 狀態變換法在具有不連續輸入的系統中的用途狀態變換法在具有不連續輸入的系統中的用途

►► 例題例題 1010--1111 如如圖圖 1010--12 12 所示的一個所示的一個 RLRL 網路，它在網路，它在 tt = 0 = 0 以前的狀態，完全由以前的狀態，完全由 tt = 0 = 0 時電感的電流時電感的電流 i i (0) (0) 來代表。考慮在來代表。考慮在 tt = 0 = 0 時，如時，如圖圖 1010--1212 的電壓施加到此網路上，試的電壓施加到此網路上，試

求求t t > 0 > 0 時時的的 i i ((tt) = ? ) = ?




圖圖 1010--11 11 RLRL網路網路

圖圖 1010--12 12 在圖在圖 1010--11 11 中網路的輸入電壓波形中網路的輸入電壓波形<Sol.><Sol.>

<<方法一方法一> > 傳統解法傳統解法

1. 1. 網路的狀態方程式網路的狀態方程式

(10-97)

(10-98)

上式與 (10-44) 式比較

2. 2. 狀態變換矩陣狀態變換矩陣

(10-99)

1. 1. 將將輸入電壓表示成輸入電壓表示成




1. 1. 將變換週期分割成兩個部份將變換週期分割成兩個部份︰︰tt = 0 = 0 至至 tt == tt1 1 及及tt == tt11 至至 tt = = 。。<<方法二方法二> > 狀態變換法狀態變換法

(10-100) us(t) 是單位步階函數

(10-101)

(10-102)

2. 2. 在在 tt 0 0 的電流的電流 ii ((tt))︰︰

(10-103)

將 (10-102) 式代入 (10-76) 式的狀態變換方程式

2. 2. 在第一個時間區間在第一個時間區間 0 0 tt tt11 時，輸入為時，輸入為

(10-104)

(10-105)

(10-106)

3. 3. 在時間區間在時間區間 0 0 tt tt11 的狀態變換方程式為的狀態變換方程式為

將將 tt = = tt11 代入上式代入上式




(10-107)

4. 4. 在時間區間在時間區間 tt11 tt 的狀態變換方程式的狀態變換方程式

ii ((tt) ) 在在 tt = = tt11 之值，即當作下一個變換週期之值，即當作下一個變換週期 tt11 tt << 的起始狀態。在這個區間輸入的起始狀態。在這個區間輸入

幅度為幅度為 22EEinin。因此，第二個變換週期時的狀態方程式是。因此，第二個變換週期時的狀態方程式是

(10-108) i (t1) 是由 (10-107) 式而來

★★ 第二種方法：把在第二種方法：把在 t t == tt11 時的狀態當作下一個時的狀態當作下一個以以tt11 為變換週期起始點的初值狀態。為變換週期起始點的初值狀態。

1. 1. 線線性性nn階微分方程式系統：階微分方程式系統：

(2-97)

2. 2. 狀態變數：狀態變數：

(2-105)

1010--6 6 狀態方程式和高階微分方程式之關係狀態方程式和高階微分方程式之關係




3. 3. 狀態方程式狀態方程式

n 個狀態方程式

(2-106)

(10-109)

(10-110) (10-111)

其中其中

注意矩陣 A 的最後一列，它是微分方程式齊次部份的係數，以其負值依升冪順序排列而成。

相位變數標準典型式相位變數標準典型式 (phase(phase--variable canonical form, PVCF) variable canonical form, PVCF) 或控制性標準型或控制性標準型 (controllability (controllability

canonical form, CCF)canonical form, CCF)。。

4. 4. 狀態方程式可以寫成向量狀態方程式可以寫成向量--矩陣的形式矩陣的形式︰︰



Chapter 10 狀態變數分析5. 5. 輸出方程式輸出方程式

(10-112)

(10-113) 其中其中

一個系統的狀態變數並非是唯一的

►► 例題例題 1010--66--11 考慮微分方程式考慮微分方程式

(10-114)

試求代表此系統的動態方程式。試求代表此系統的動態方程式。

<Sol.><Sol.>1. 1. 上上式重新排列式重新排列

(10-115)

2. 2. 定義狀態變數：定義狀態變數：

(10-116)



Chapter 10 狀態變數分析3. 3. 狀態方程式的向量狀態方程式的向量--矩陣方程式形式矩陣方程式形式

(10-117)

(10-119)

(10-118)

其中，其中， x(x(tt) ) 為為 3 3 1 1 的狀態向量，的狀態向量，uu((tt) ) 為純量輸入，而且為純量輸入，而且

4. 4. 輸出方程式：輸出方程式：

1( ) ( ) 1 0 0 ( )y t x t t x

State-Space Representation of nth-Order Systems of Linear DifferentialEquation in which the Forcing Function Involves Derivative Terms

補充：參考Ogata一書第三章，§3-5。

1. 1. nnthth--order system: order system:

ububububyayayay nn

nn

nn

nn

1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)( (O-1)

The state variable must be chosen such that they will eliminate the derivatives of u in the state equation.

2. 2. nn state variables: state variables:




1 0

2 0 1 1 1

x y ux y u u x u

3 0 1 2 2 2x y u u u x u

uxuuuuyx nnnn

nnn

n 1112

)2(

1

)1(

0

)1(

(O-2)

where 0 1 2, , , , n are determined from

0 0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

bb ab a a

3 3 1 2 2 1 3 0b a a a

01111 nnnnn aaab

With the present choice of state variables, we obtain

(O-3)




uxxuxx

232

121

uxx nnn 11

1 1 2 1n n n n nx a x a x a x u

(O-4)

In terms of vector-matrix equations, Equation (3-36) and the output equation can be written as

u

xx

xx

aaaaxx

xx

n

n

n

n

nnnn

n

1

2

1

1

2

1

121

1

2

1

.

.

.

.

.

.

1000............01000010

.

.

.

u

x

xx

y

n

0

2

1

.

.

.001

and



1. 1. 線性非時變系統的動態方程式：線性非時變系統的動態方程式：

(10-120)

x(t) = n 1 狀態向量，y(t) = q 1 輸出向量u(t) = p 1 輸入向量，w(t) = v 1 干擾向量

(10-121) 其中其中

A，B，C，D，E 和 H 為適當維度的係數矩陣

(10-122) (10-123)

(10-124) 2. 2. 轉移函數：將轉移函數：將起始條件定為零，即起始條件定為零，即 x(0) = 0x(0) = 0 ，，(10(10--124) 124) 式變成式變成

(10-125)

(10-126) (10-127)

1010--7 7 狀態方程式與轉移函數之關係狀態方程式與轉移函數之關係

1 1( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y C I A x C I A BU EW DU HWs s s s s s s

1 1( ) ( ) ) ( ) ( )Y C I A B D U( C I A E+H Ws s s s s




GGuu((ss) ) 是當是當 w(w(tt) = 0 ) = 0 時時 uu((tt) ) 和和 yy((tt) ) 之間的之間的 q q pp 轉移函數矩陣，而轉移函數矩陣，而GGww((ss) ) 則是當則是當 uu((tt) = 0 ) = 0 時時 ww((tt) ) 和和 yy((tt) ) 之間的之間的 q q vv 轉移函數矩陣。轉移函數矩陣。

(10(10--125) 125) 式式 (10-128)

►► 例題例題 1010--77--11 考慮以下列微分方程式所描述的多變數系統考慮以下列微分方程式所描述的多變數系統

(10-129)

(10-130)

系統的狀態變數可設定如下系統的狀態變數可設定如下

(10-131)

試求試求 1) 1) uu((tt) ) 和和 yy((tt) ) 之間的轉移函數矩陣，之間的轉移函數矩陣，2) 2) ww((tt) ) 和和 yy((tt))之間的轉移函數矩陣之間的轉移函數矩陣。。

<Sol.><Sol.>

1. 1. 狀狀態方程式：態方程式：

<<方法一方法一>> 觀察與直接代入運算之觀察與直接代入運算之




2. 2. 輸出方程式輸出方程式︰︰

(10-132)

(10-133)

3. 3. 矩陣矩陣 ((sII A)A)︰︰

(10-134)

(10-135)

(10-136)

A B E




4. u(t) 和和 y(y(tt)) 之間的轉移函數矩陣之間的轉移函數矩陣

(10-137)

(10-138)

傳統式的作法傳統式的作法<<方法二方法二>>(10(10--129) 129) 式和式和 (10(10--130) 130) 式等號兩邊各取式等號兩邊各取拉氏拉氏轉換並設起始條件為零轉換並設起始條件為零

(10-139)

由由 ((10-139) ) 式解得式解得 Y(Y(ss))，可得，可得

(10-140)

(10-141)

(10-142)

其中其中對 (10-137) 和 (10-138) 式分別取反矩陣後所獲得的結果相同




1010--8 8 狀態方程式、特徵值、特徵向量狀態方程式、特徵值、特徵向量1010--88--1 1 根據微分方程式來定義特性方程式根據微分方程式來定義特性方程式

1. 1. 描述線性非時變系統的微分方程式描述線性非時變系統的微分方程式

(10-143)

2. 2. 定義運算子定義運算子 ss 為為

n > m

(10-144)

(10(10--143) 143) 式式 (10-145) 3. 3. 系統的特性方程式系統的特性方程式

(10-146) 將 (10-143) 式的齊次部份設為零而得

► 例題 10-8-1 考慮 (10-114) 式中的微分方程式，，試求其特性方程式特性方程式。

(10-114)




<Sol.><Sol.> (10-147) 1010--88--2 2 根據轉移函數來定義特性方程式根據轉移函數來定義特性方程式

(10(10--143)143)的轉移函數的轉移函數: :

(10-148)

將轉移函數的分母設為零即可獲得特性方程式。將轉移函數的分母設為零即可獲得特性方程式。

►► 例題例題 1010--88--2 2 考慮 (10-114) 式中的微分方程式，，試求其特性方程式特性方程式。

<Sol.><Sol.> (10(10--114)114)式的轉移函數式的轉移函數: :

特性方程式：特性方程式： (10-147)

★★ 根據狀態方程式來定義特性方程式根據狀態方程式來定義特性方程式

(10(10--126)126)式式 (10-150)

(10-149)

特性方程式：特性方程式： (10-151) 如果 A 的係數為實數，則 sI A 的係數亦為實數。

(10-114)




►► 例題例題 1010--88--3 3 (10(10--114)114) 式中的微分方程式，其狀態方程式的係數矩陣式中的微分方程式，其狀態方程式的係數矩陣 AA已寫在已寫在 (10(10--128)128)式中。式中。 A A 的特性方程式為的特性方程式為

1010--88--4 4 特徵值特徵值特性方程式的根通常稱為矩陣特性方程式的根通常稱為矩陣 A A 的特徵值。的特徵值。

特徵值的一些重要特性：特徵值的一些重要特性：

AA的特徵值亦是特性方程式的根的特徵值亦是特性方程式的根

1.若 A 的係數都是實數，則其特徵值不是實數就是一對共軛複數。2.若 1，2，，n 是 A 的特徵值，則

亦即 A 的跡是 A 所有特徵值的和。3.若 i，i = 1，2，，n 是 A 的一個特徵值，則它亦是 A' 的一個特徵值。

4.若 A 是非奇異的，其特徵值為 i，i = 1，2，，n，則 1/i，i = 1，2，，n 是

A1的特徵值。

(10-153)

►► 例題例題 1010--88--4 4 試求(10-118) 式中，矩陣 A 的特徵值。

<Sol.><Sol.> 可由解 (10-152) 式的根得之，其解為

(10-152)

(10-118)




(10-154)1010--88--5 5 特徵向量特徵向量

設設 ii，，ii = 1= 1，，22，，，，n n 代表矩陣代表矩陣 A A 的特徵值，則任何一個滿足下列矩陣方程式的的特徵值，則任何一個滿足下列矩陣方程式的

非零向量非零向量 ppii

(10-155) 就稱為就稱為 A A 相關於特徵值相關於特徵值 ii 的特徵向量的特徵向量。。

►► 例題例題 1010--88--55 考慮考慮 (10(10--44) 44) 式中的狀態方程式，其具有下列的係數矩陣式中的狀態方程式，其具有下列的係數矩陣

(10-156)

試求矩陣 A 的特徵向量。

<Sol.><Sol.>1. A1. A 的特性方程式為的特性方程式為

(10-157) 2. 2. 特徵值為特徵值為 11 = 1= 1，和，和 22 = = 11。。3. 3. 令特徵向量為令特徵向量為

(10-158)





將 1=1 和 p1 代入 (10-155) 式可得

(10-159) 111

21

10

ppp

針對 2 = 1，(10-155) 式成為

(10-160) 122

22

12

ppp

(10-161)

結論：結論：(10-162)

1010--88--6 6 廣義特徵向量廣義特徵向量

1. 若 A 有多階特徵值且 A 不是對稱的矩陣，則並非所有的特徵向量皆可用 (10-155) 式找出來。

2. 若 A 的 n 個特徵值中，有 q(< n) 個是相異的。則對應這 q 個相異特徵值的特徵向量，可由一般的方式求得

(10-163) 其中 i 代表第 i 個特徵值，i = 1，2，，q。

3. 其餘的高階特徵值中，令j 的階數為 m (m n q)，則其對應的特徵向量，稱為廣廣

義特徵向量義特徵向量，可由下列 m 個向量方程式求得︰




(10-164)

►► 例題例題 1010--88--66 已知矩陣已知矩陣 A A 為為

(10-165)

試求試求AA矩陣的特徵向量。矩陣的特徵向量。

<Sol.><Sol.>1. A 的特徵值為 1 = 2，2 = 3 = 1。2. 1 = 2 相關的特徵向量可由 (10-163) 式來決定：

令 p11 = 2，則可解得 p21 = 1 和 p31 = 2

(10-166)

(10-167)

3. 3. 與二階特徵值相關的廣義特徵與二階特徵值相關的廣義特徵向量：向量：

將 2 = 1 代入 (10-164) 式，可得

(10-168)

(10-169)

將 3 = 1 代入 (10-164) 式的第

二個方程式，可得




11

3 3 21 2

31

1 6 1( ) 1 1 2 3/ 7

3 2 3 / 7

5

5I A p p

ppp

(10-170)

(10-171)

1010--9 9 相似轉換相似轉換1. 單輸入-單輸出 (SISO) 系統的動態方程式:

(10-172)

(10-173)

x(t) 為 n 1 的狀態向量，u(t) 和y(t) 分別為純量輸入與輸出。

2. 2. 相似轉換：相似轉換：

(10-174) P 為 n n 的非奇異矩陣

(10-175) 3. 3. 轉換後的動態方程式：轉換後的動態方程式： (10-176)

(10-177)




4. 4. 取取 (10(10--175) 175) 式等號兩邊對於式等號兩邊對於 tt 的微分的微分

(10-178) 比較 (10-178) 式和 (10-176) 式可得：

(10-179) (10-180)

利用 (10-174) 式，(10-177) 式可寫成：

(10-181) 比較 (10-181) 式與 (10-173) 式可知： (10-182)

轉換後的系統，其特性如特性方程式、特徵向量、特徵值及轉移函數，不會因轉換而有所改變。

1010--99--1 1 相似轉換的不變性相似轉換的不變性

相似轉換的重要特性之一是相似轉換的重要特性之一是︰︰特性方程式、特徵值、特徵向量和轉移函數在相似轉特性方程式、特徵值、特徵向量和轉移函數在相似轉

換之下是換之下是不變的不變的。。

1. 1. 特性方程式、特徵值、特徵向量特性方程式、特徵值、特徵向量

系統的特性方程式為系統的特性方程式為 ssII A = 0= 0，可寫成，可寫成

(10-183) (10-184)

特性方程式並未改變；因此，可得到與轉換前相同的特徵值與特徵向量。



Chapter 10 狀態變數分析2. 2. 轉移函數矩陣轉移函數矩陣

系統的轉移函數矩陣為

(10185)

(10-186) 1010--99--2 2 控制性標準型控制性標準型 (CCF) (CCF) 1. 動態方程式

(10-172)

(10-173) 2. A 的特性方程式： (10-187) 3. 3. 控制性標準型的轉換方式控制性標準型的轉換方式

(10-188)

藉著 (10-174) 式的轉換，(10-172) 式和(10-173) 式中的動態方程式可轉換成 10-176) 式和 (10-177) 式中的控制性標準型(Controllability Canonical Form, CCF)

(10-189)

(10-190) 其中其中




(10-191)

(10-192) 要將 A 和 B 轉成控制性標準型，S 必須是非奇異的

可由 (10-182) 式得之，但並未有任何特定的型式。和矩陣 C D◆ (10-189) 式中 n n 的矩陣 S 在稍後會定義為控制性矩陣 (controllability matrix)。►► 例題例題 1010--99--11 (10(10--172) 172) 式中的狀態方程式，其係數矩陣為式中的狀態方程式，其係數矩陣為

(10-193)

試將此狀態方程式轉成控制性標準型。試將此狀態方程式轉成控制性標準型。




<Sol.><Sol.>1. A 的特性方程式： (10-194)

特性方程式的係數為特性方程式的係數為 aa00 = = 33，，aa11 = = 1 1 及及 aa22 = = 33。由。由 (10(10--190) 190) 式可得式可得

(10-195)

2. 2. 控制性矩陣：控制性矩陣：

(10-196)

3. 將S 和 M 代入 (10-188) 式：

(10-197)

由 (10-191) 式和 (10-192) 式，控制性標準型可由下式得之

(10-198)




1100--99--3 3 觀測性標準型觀測性標準型 (OCF) (OCF) 1. 動態方程式： (10-172)

(10-173)

控制性標準型轉換的對偶式就是觀測性標準型 (Observability

Canonical Form, OCF)。

2. 轉換式：

(10-199) 3. 轉換後的動態方程式：

(10-176)

(10-177) (10-200)

其中其中

(10-201)

(10-202)




4. 觀測性標準型的轉換矩陣

(10-203)其中其中 M M 示於示於 (5(5--155) 155) 式中，且式中，且

(10-204)

矩陣矩陣 V V 常被定義為常被定義為觀測性矩陣觀測性矩陣 ((observabilityobservability matrix)matrix)，且，且 V V 11 必須必須存在存在以使得以使得OCF OCF 轉換能實現。轉換能實現。

(10-190)

►► 例題例題 1010--99--22 (10-172) 和 (10-138) 式所描述的系統，其係數矩陣為

(10-205)

試將此系統轉換程觀測性標準型式。試將此系統轉換程觀測性標準型式。

<Sol.><Sol.>1. 矩陣 M 與 (10-195) 式中的相同。 (10-195)




2. 2. 觀觀測矩陣：測矩陣：

(10-206)

3. OCF 3. OCF 轉換矩陣：轉換矩陣：

(10-207)

4. 系統的 OCF 可以下式描述

(10-208)

則不遵循任何的形式。B

1010--99--4 4 對角標準型對角標準型 (DCF) (DCF) 1. 1. 動態方程式：動態方程式：

(10-172)

(10-173) 2. 若 A 的特徵值皆互不相同，則存在一個非奇異的轉換

(10-209)

動態方程式轉成：動態方程式轉成： (10-176) (10-177)




其中其中 (10-210) 矩陣是對角矩陣A

(10-211)

其中 1，2，，n 是 A 的 n 個相異特徵值。

係數矩陣，和給定在 (10-210) 式中，且不遵循任何形式。

B C D

▼▼ 對角標準型對角標準型 (DCF) (DCF) 的好處之一是的好處之一是︰︰轉換後的狀態方程式是轉換後的狀態方程式是互相解耦的互相解耦的，因此可以個，因此可以個

別來解。別來解。

3. 形成 DCF的轉換矩陣 T：(10-212)

以A 的特徵向量為行向量

其中 pi，i = 1，2，，n 表示相關於特徵值 i 的特徵向量。

4. 證明： (10-213) 組成一個 n n 的矩陣

(10-214)




(10-215) 其中可由 (10-211) 式得之

A

若令若令 (10-216) (10-215) 式可寫成： (10-217) 如果矩陣 A 是 CCF 且其特徵值互不相同，則 DCF 轉換矩陣為范得蒙(Vandermonde) 矩陣，

(10-218)

其中 1，2，，n 為 A 的特徵值。

►► 例題例題 1010--99--33 考慮矩陣

(10-219)

試將它轉成 DCF型式。

<Sol.><Sol.>1. 特徵值 1 = 1，2 = 2 和 3 = 3。



Chapter 10 狀態變數分析2. 因 A 為 CCF，若要將它轉成 DCF，則轉換矩陣為 (10-218) 式中的

范得蒙矩陣。因此

(10-220)

3. A 的 DCF 可寫成

(10-221)

10-9-5 喬頓標準型 (JCF) 1. 當矩陣 A 有多階特徵值時，除非這矩陣為對稱的且其元素為實數，否則，它無法轉

成一個對角矩陣。

2. 2. 典型的典型的 JCFJCF：：

(10-222)

其中假設 A 有三階的特徵值 1，

以及相異的特徵值 2 和 3。




◆◆ 喬頓喬頓標準型通常有下列特性標準型通常有下列特性︰︰

1. A 的主對角的元素是矩陣的特徵值。

2. A 的主對角以下的元素全為零。

3. 在主對角上多階根特徵值上方緊鄰的第一個元素為 1，這可由 (10-222) 式中的例子

看出。

4. 由 1 及特徵值所組合形成的典型方塊稱為喬頓方塊。在 (10-222) 式中的喬頓方塊是

以虛線包圍者。

5. 當非對稱的 A 矩陣有多階特徵值時，其特徵向量並非線性獨立。對一 n n 的 A，

僅有 r 個 (r < n) 線性獨立特徵向量。

6. 喬頓方塊的數目等於獨立特徵向量數目 r。只存在有一個，且只有一個線性獨立的特

徵向量與每一喬頓方塊有關。

7. 主對角上方之 1 的數目等於 n r。

3. 相似轉換： (5-182) 使得 A 能幾乎是對角的，而 A 就稱為喬頓標準型 (Jordan canonical form, JCF)。

4. 我們可用特徵向量和廣義特徵向量為行來形成轉換矩陣T ，執行 JCF JCF 轉換轉換。

(10(10--217)217)




►► 例題例題 1010--99--44 考慮 (10-165) 式中的矩陣

(5-130)

試藉由試藉由 (10(10--167) 167) 式、式、(10(10--169) 169) 式和式和 (10(10--171) 171) 式中的特徵向量如廣義特徵向量，來式中的特徵向量如廣義特徵向量，來形成形成 AA矩陣的矩陣的DCF DCF 轉換矩陣。轉換矩陣。

<Sol.><Sol.>1. 矩陣A的特徵值為 2，1，1。2. DCF 轉換矩陣：

(10-223)

所以，DCF 為

(10-224)

在此例中有兩個喬頓方塊，且有一個為 1 的元素在主對角線的上方。

(10-165)




1010--10 10 轉移函數的分解轉移函數的分解

線性系統描述法之間的關線性系統描述法之間的關

係：係：圖圖 1010--1313。。

圖圖 1010--13 13 描述系統的各種方法之間描述系統的各種方法之間的關係方塊圖的關係方塊圖

通常有三種分解轉移函通常有三種分解轉移函數的基本方法數的基本方法︰︰直接分直接分解法、串聯分解法和並解法、串聯分解法和並

聯分解法。聯分解法。

轉移函數分解轉移函數分解



Chapter 10 狀態變數分析1010--1010--1 1 直接分解法直接分解法

1. 直接分解法是用於沒有轉成因式分解形式的轉移函數。

2. n 階SISO 系統，其輸入 U(s) 與輸出 Y(s) 之間的轉移函數為

(10-225) 假設分母的階數至少比分子的高一階

◆◆ 直接分解成直接分解成 CCF CCF 步驟如下：

1. 改變轉移函數使其只含有 s 的負指數。

2. 以一個虛擬變數 X(s) 來乘轉移函數的分子和分母。(10-225) 式變成

(10-226)

3. 令 (10-226) 式等號兩邊的分子和分母彼此相等。

(10-227)

(10-228) 4. 寫出適當的因果關係，使用 (10-227) 式和 (10-228) 式兩方程式作出狀態圖。 (10-

227)式已經滿足了這個先決要求。但 (10-228) 式有輸入位於方程式的左邊必須重新排列。




(10-228) (10-229) 5. 狀態圖示於圖圖 1010--1414 中：

圖圖 1010--14 (1014 (10--225) 225) 式的轉式的轉移函數直接分解成移函數直接分解成 CCF CCF 狀狀態圖態圖

1) 定義狀態變數 x1(t)，x2(t)，，xn(t) 為積分器的輸出，並依由右至左的順序排列於

狀態圖上。

2) 以狀態變數的導數當作輸出和狀態變數，以 u(t) 為輸入，忽略有積分器的分枝，就可得到狀態方程式。

3) 動態方程式：

s nX(s) x1

s n+1X(s) x2

s 1X(s) xn ， X(s) xn




(10-230)

(10-231)

State equation:

Output equation:其中其中

(10-232)

(10-233)

(5-197) 式中的 A 和B 明顯地為 CCF。

◆◆ 直接分解求直接分解求 OCF OCF

1. 轉移函數： (10-225)

2. 將 (10-225) 式等號右邊的分子與分母同乘以 s n

(10-234) 或




(10-235)

3. 狀態圖示於圖圖 1010--1515：：

圖圖 1010--15 (1015 (10--225) 225) 式式的轉移函數直接分解成的轉移函數直接分解成OCF OCF 狀態圖狀態圖

積分器的輸出被標示為狀態變數。

狀態變數由右至左以降階的順序排列。狀態變數由右至左以降階的順序排列。

4. 動態方程式：




其中其中

(10-236)

(10-237)

將 SFG 增益公式應用於此狀態圖

給定一系統的動態方程式，則輸入給定一系統的動態方程式，則輸入--輸出之間的轉移函數是唯一的；然而給定轉移函輸出之間的轉移函數是唯一的；然而給定轉移函數，所對應的數，所對應的狀態模型卻非唯一狀態模型卻非唯一的，它可以是的，它可以是 CCFCCF、、OCFOCF、、DCF DCF 或其它很多種可能。或其它很多種可能。

►► 例題例題 1010--1010--11 考慮下列輸入-輸出的轉移函數︰

(10-238)

試求此系統的CCF 狀態圖，系統 CCF 的動態方程式，OCF狀態圖，及OCF 的動態方程式。

<Sol.><Sol.>

(5-195)

(5-196)

State equation:

Output equation:

(10-230)

(10-231)



Chapter 10 狀態變數分析1. 系統 CCF 狀態圖示於圖 10-16：

圖圖 1010--16 (1016 (10--238) 238) 式的式的轉移函數直接分解成轉移函數直接分解成CCF CCF 狀態圖狀態圖

其中其中

(10-239) (10-240)

2. 系統 CCF 的動態方程式：

(10-241)

(10-242)




3. 系統的 OCF 狀態圖示於圖圖 1010--1717 中：

圖圖 1010--17 (1017 (10--238) 238) 式中式中轉移函數的轉移函數的 OCF OCF 狀態圖狀態圖

其中利用(10-238) 式展開成

(10-243) 4. OCF 的動態方程式：

(10-244) (10-245) 及及




1010--1010--2 2 串聯分解法串聯分解法

1. 串聯補償是指寫成簡單的一階或二階項乘積的轉移函數。考慮下列的轉移函數，它是兩個一階轉移函數的乘積。

2

2

1

1

)()(

asbs

asbsK

sUsY

(10-246) a1，a2，b1 和 b2 為實數的常數。

2. 每一個一階的轉移函數先做直接分解，再將所得的狀態圖以串聯的方式接在一起，所得如圖 10-18 所示。

圖圖 1010--18 (1018 (10--246) 246) 式中的轉移函數以串聯分解而得的狀態圖式中的轉移函數以串聯分解而得的狀態圖

3. 將狀態變數的微分視為輸出，而狀態變數和 u(t) 視為輸入，並將 SFG 增益公式應用於圖圖 1010--1818中的狀態圖，即可得到狀態方程式。




(10-247)

應用增益公式時，積分器分支忽略不計

4. 視狀態變數和 u(t) 為輸入，y(t) 為輸出，並應用增益公式於圖圖 1010--1818，即可得輸出方程式。

(10-248) ◆◆ 轉移函數有複數的極點或零點時，與這些極點或零點相關的項應為二階的形式。轉移函數有複數的極點或零點時，與這些極點或零點相關的項應為二階的形式。

1. 考慮下列轉移函數

43

5.125

)()(

2 sss

ss

sUsY (10-249)

第二項的極點為複數

2. 系統狀態圖示於圖 10-19。3. 系統的動態方程式： (10-250)

(10-251)




圖 10-19 (10-249) 式中的轉移函數以串聯分解而得的狀態圖

43

5.125

)()(

2 sss

ss

sUsY

(10-250)

(10-251)




1010--1010--3 3 並聯分解法並聯分解法

1. 當轉移函數的分母是因式分解的形式，即可以利用部份分式將轉移函數展開。

2. 狀態圖將由簡單的一階或二階系統以並聯的方式組成，這可導得 DCF 或 JCF 的狀態方程式，後者是多階特徵值的情形。

3. 考慮以下列轉移函數所表示的二階系統︰

(10-252) Q(s) 為階數低於 2 的多項式，而

a1 和 a2 為相異的實數。

4. (10-253) 式以部份分式展開

(10-253) K1 和 K2 為實數的常數。

5. 系統的狀態圖，如圖圖 1010--2020 所示。

6. 系統的動態方程式：

(10-254) (10-255)

所得的狀態方程式是DCF。




圖圖 1010--20 (1020 (10--252) 252) 式的轉移函式的轉移函數以並聯分解而得的狀態圖數以並聯分解而得的狀態圖

結論︰若是相異極點的轉移函數，並聯分解將會得到 DCF 的狀態方程式；若轉移函數有多階特徵值，則利用最少積分器的並聯分解將導出JCF 的狀態方程式。

►► 例題例題 1010--1010--22 考慮下列轉移函數及其部份分式展開︰

(10-256)

試繪出系統的狀態圖並求出系統的狀態方程式。

<Sol.><Sol.>1. 在 (10-256) 式右邊的整體階數是四，但應只用三個積分器於狀態圖中，如圖 10-21

所示。

(10-253)




圖圖 1010--21 (1021 (10--256) 256) 式的轉移函式的轉移函數以並聯分解而得的狀態圖數以並聯分解而得的狀態圖

圖中使用了最少的三個積分器，其中一個為兩個通道所共用。

2. 系統的狀態方程式：

(10-257)

此式為 JCF

(10-256)




Homework:10-1: (c)10-2: (d)10-410-6: (c) and (f)10-11: (c)10-13: (b) and (e)10-15: (b) and (e)10-17: (c) and (d)10-18: (e) and (f)10-19: (e) and (f)10-20 10-2210-2610-2810-3110-33 (d)10-3610-38

10-3910-4010-4310-4410-4610-4710-4810-4910-5210-5310-5410-5510-5910-6010-6210-6410-66

Chapter10_1

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