Chapter 6:

Sampling Distributions

• 1Def : กลุ่��มตั�วอย่�าง X1, X2, …, Xn ซึ่��งเราสุ่��มจาก infinite population จะถื�อเป็�น ramdom sample ก�ตั�อ

เม��อ X1, X2, …, Xn เป็�น independent and identically distributed (iid) r.v.

• DDD 2: ถื�า X1, X2, …, Xn เป็�น ramdom sample จะได้�ว�า

เร�ย่กว�า sample mean

เร�ย่กว�า sample variance

1

n

ii

XX

n

22 1

1

n

ii

X XS

n

6.2 Distribution of the Mean• 1Th’m : ถื�า X1, X2, …, Xn เป็�น ramdom sample

จาก infinite population ซึ่��งม� mean แลุ่ะ variance จะได้�ว�า

แลุ่ะ • 2Th’m :สุ่!าหร�บทุ�กค่�าค่งทุ��ทุ��เป็�นบวก c ค่วามน�าจะเป็�นทุ��

ม�ค่�าระหว�าง แลุ่ะ จะม�ค่�าไม�น�อย่กว�า เสุ่มอแลุ่ะเม��อ ค่�าค่วามน�าจะเป็�นจะม�ค่�าเข้�าใกลุ่� 1

“ Law of Large Numbers”(พิ)สุ่*จน+จาก Chebyshev’s Theorem

ตัรงๆ)

E X 2

var Xn

Xc c 2

21nc

n

2

• 3Th’m : (Central Limit Theorem ) ถื�า X1, X2, …, Xn เป็�น ramdom sample จาก infinite population ทุ��ม� mean แลุ่ะ variance จะได้�ว�า limiting distribution of เม��อ จะเข้�าสุ่*� standard normal distribution

• พิ)สุ่*จน+ CLT:

2

/

XZ

n

n

2 / 21lim

/ 2

b z

an

XP a b e dz

n

• 4Th’m : ถื�า เป็�น mean ข้อง random sample ข้นาด้ n จาก normal distribution ทุ��ม� mean แลุ่ะvariance จะได้�ว�า sampling distribution (distribution of ) จะเป็�น normal distribution ทุ��ม� mean แลุ่ะvariance เสุ่มอ ไม�ข้�-นก�บข้นาด้ข้อง n

X

2

2

n

X

6.3 Distribution of the Mean : Finite Populations

• 3Def : สุ่มมตั)ให� X1 เป็�นค่�าแรกทุ��สุ่��มได้�จาก finite population of size N, X2 เป็�นค่�าลุ่!าด้�บสุ่อง ,…, Xn เป็�นค่�าลุ่!าด้�บ n ถื�า joint pdf ข้องตั�วแป็รสุ่��มทุ�-ง n ตั�ว ม�ค่�าเป็�น

เราจะสุ่ร�ป็ได้�ว�า X1, X2, …, Xn เป็�น random sample จาก finite population จร)ง

1 2

1, ,...,

1 ... 1nf x x xN N N n

• 4Def : ค่�า mean แลุ่ะ variance ข้อง finite population of size N (ซึ่��งม�ค่�าเป็�น c1, c2, …, cN ) จะม�ค่�าเทุ�าก�บ

ค่�อ

แลุ่ะ

1

1N

ii

cN

22

1

1N

ii

cN

• Th’m 5: ถื�า แลุ่ะ ค่�อ rv ลุ่!าด้�บทุ�� r แลุ่ะ s ข้อง random sample ข้นาด้ n จาก finite population จะได้�ว�า

• Th’m 6: ถื�า ค่�อ mean ข้อง random sample ข้นาด้ n จาก finite population ข้นาด้ N จะได้�ว�าแลุ่ะ

rX sX

1 2, ,..., Nc c c

2

cov ,1r sX X

N

X

E X 2

var1

N nX

n N

6.4 The Chi-square Distribution

• จ�ด้เด้�นข้อง Chi-Sq Distribution:ถื�า r.v. X เป็�น Normal Dist --> X2

จะเป็�น Chi-Square Dist• pdf ข้อง Chi-Sq:

• ถื�า r.v. X เป็�น Chi-Square r.v.

2

2 2

2

10

( ) 2 / 2

0

x

x e for xf x

elsewhere

/ 2

( )

( ) 2

( ) (1 2 )X

E X

Var X

M t t

6.4 The Chi-square Distribution

• Th’m 7: ถื�า X ม� standard normal distribution จะได้�ว�า X2 จะม� Chi-square distribution with ( degree of freedom )

• Th’m 8: ถื�า เป็�น independent rv ทุ��ม� standard normal distributions จะได้�ว�า

• Th’m 9: ถื�า เป็�น independent rv ทุ��ม� chi-square distribution with degree of freedom จะได้�ว�า

1

1 2, ,..., nX X X

2 2( )

1

n

i ni

Y X

1 2, ,..., nX X X

1 2, ,...., n 2

( )1

i

n

ii

Y X

• ’ 10: ถื�า แลุ่ะ เป็�น independent rv โด้ย่ทุ�� แลุ่ะ จะได้�ว�า

• ’ 11: ถื�า แลุ่ะ เป็�น mean แลุ่ะ variance ข้อง random sample ข้นาด้ n จาก normal distribution ทุ��ม� mean แลุ่ะ variance จะได้�ว�า

1. แลุ่ะ เป็�นอ)สุ่ระตั�อก�น2. ตั�วแป็รสุ่��ม

1X 2X 1

21 ( )X

X 2S

2

X 2S

22( 1)2

1n

n S

1 2

21 2 ( )X X

2

22 ( )X

6.5 The t Distribution

• ’ 12: ถื�า Y แลุ่ะ Z เป็�น independent rv แลุ่ะ จะได้�ว�า

จะม� t distribution โด้ย่ทุ�� d.f. = • pdf of T จะเป็�น

for

2( ) ,Y

1

2 2

12

1

2

tf t

t

(0,1)Z N

/

ZT

Y

• ’ 13: ถื�า แลุ่ะ ค่�อ mean แลุ่ะ variance ข้อง random sample ข้นาด้ n จาก normal population ทุ��ม� mean แลุ่ะ varianceจะได้�ว�า

ม�การแจกแจงแบบ t ม� degrees of freedom

/

XT

S n

X 2S

2

1n

6. 6 The F Distribution• Th’m 14: ถื�า U แลุ่ะ V เป็�น independent

rv ม�การแจกแจงแบบ chi-square with d.f. แลุ่ะ จะได้�ว�า

เป็�น rv ทุ��ม�การแจกแจงแบบ F แลุ่ะม� pdf เป็�น

for แลุ่ะ elsewhere

1 2

1

2

U

FV

11 2

1

11 22 21

1 12

1 2 2 2

21

2 2

g f f f

0f 0g f

• Th’m 15: ถื�า แลุ่ะ ค่�อ variance ข้อง independent random sample ข้นาด้ แลุ่ะ จาก normal populations ทุ��ม� variance เป็�น แลุ่ะ จะได้�ว�า

ค่�อ rv ทุ��ม�การแจกแจงแบบ F ทุ��ม� degrees of freedomแลุ่ะ

21S

22S

1n 2n21 2

221

2 2 21 2 1

2 2 22 1 2

22

SS

FS S

1 1n

2 1n