Retroactive habituation: Exploring the time reversed amygdalar response to pictures of facial affect
Chapter 5 Time Response - Prince of Songkla...
Transcript of Chapter 5 Time Response - Prince of Songkla...
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 1240-209 : Time Response
Chapter 5
Time Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 2240-209 : Time Response
Outline
1 Poles, Zeros, and System Response2 First order systems3 Second order systems4 Time domain Solution of State equations
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 3240-209 : Time Response
Poles of a Transfer Function
The values of the Laplace transform variable,s, that cause the transfer function to infinite.Any roots of the denominator of transfer function that are common to roots of the numerator.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 4240-209 : Time Response
Zeros of a Transfer Function
The values of the Laplace transform variable,s, that cause the transfer function to zero.Any roots of the numerator of transfer function that are common to roots of the denominator.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 5240-209 : Time Response
C s =s2s s5
Unit step response of systems
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 6240-209 : Time Response
Pole–Zero plot of the system on s-plane
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 7240-209 : Time Response
C s =s2s s5
=As
Bs5
A=[ s2s5]s 0
= 25
By using Partial Fraction Expansion
B=[ s2s ]
s 5= 3
5
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 8240-209 : Time Response
c t = 25
35 e−5t
By Inverse Laplace transform
C s = 2 /5s 3/5
s5
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 9240-209 : Time Response
System response and response component generated by the pole or zero.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 10240-209 : Time Response
Effect of a real-axis pole upon transient response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 11240-209 : Time Response
First-Order Systems
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 12240-209 : Time Response
Pole plot of first order system
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 13240-209 : Time Response
Unit-step response of First-Order System
C s =R s G s = as sa
c t =c f t c n t =1−e−at
By Inverse Laplace Transform
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 14240-209 : Time Response
At t = 1/a , 2/a and 3/a
Unit-step response of First-Order System
c(t) = 1 – e-at
c(t) = 0.63, 0.86 and 0.95
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 15240-209 : Time Response
Time response definition
Rise time is define as the time for the waveform to go from 0.1 to 0.9 of its final value.
Tr = 2.31/a – 0.11/a
Settling time is the time for the response to reach, and stay within 2% of its final value.
Ts = 4/a
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 16240-209 : Time Response
First-order system response to a unit step
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 17240-209 : Time Response
Laboratory results of a system unit step response test
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 18240-209 : Time Response
Second-Order Systems
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 19240-209 : Time Response
Overdamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 20240-209 : Time Response
Poles plot of Overdamped System
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 21240-209 : Time Response
Overdamped Response
C s = 9s s29s9
= 9s s7.854s1.146
c t =K 1K 2 e−7.854tK 3 e
−1.146t
By Inverse Laplace Transform
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 22240-209 : Time Response
Overdamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 23240-209 : Time Response
Underdamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 24240-209 : Time Response
Poles plot of Underdamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 25240-209 : Time Response
Underdamped Response
C s = 9s s22s9
s=−1± j 8
C s =K 1
s K 2
s−1 j 8
K 3
s−1− j 8
c t =1−e−t cos8 t88 sin8 t
c t =1−1.06 e−t cos8 t−19.470
By Inverse Laplace Transform
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 26240-209 : Time Response
Underdamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 27240-209 : Time Response
Second-order unit step response components generated by complex poles
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 28240-209 : Time Response
Undamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 29240-209 : Time Response
Poles plot of Undamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 30240-209 : Time Response
Undamped Response
C s = 9s s29
s=± j3
c t =K 1K 4 cos 3t−
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 31240-209 : Time Response
Undamped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 32240-209 : Time Response
Critically Damped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 33240-209 : Time Response
Critically Damped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 34240-209 : Time Response
Critically Damped Response
C s = 9s s26s9
s=−3
c t =K 1K 2e−3tK 3 te
−3t
K 1=1
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 35240-209 : Time Response
Critically Damped Response
Two real poles at same point
c t =K 1e−1 tK 2 t e
−2 t
c t =1−3te−3t−e−3t
Then
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 36240-209 : Time Response
Critically Damped Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 37240-209 : Time Response
Natural responses of second order system
1. Overdamped response
c t =K 1e−p 1 tK 2e
−p 2 t
Poles : two real at - 1 ,
2
Natural response :
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 38240-209 : Time Response
2. Underdamped response
c t =K 1e−d t cosd t−
Poles : two real at - d ± j
d
Natural response :
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 39240-209 : Time Response
3. Undamped response
c t =A cos1 t−
Poles : two real at ± jn
Natural response :
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 40240-209 : Time Response
4. Critically damped responses
c t =K 1e−p 1 tK 2 t e
−p 1 t
Poles : two real at - 1
Natural response :
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 41240-209 : Time Response
Step responses for second-order system damping cases
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 42240-209 : Time Response
The General Second-Order Systems
G s =n
2
s22n sn2
Transfer function
- Natural Frequency- Damping Ratio
n
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 43240-209 : Time Response
Poles of the Transfer function
s1,2=−n±n 2−1
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 44240-209 : Time Response
The General Second-Order Systems Second-order response as a function of damping ratio.
=0
Poles Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 45240-209 : Time Response
Poles Response
01
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 46240-209 : Time Response
Poles Response
=1
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 47240-209 : Time Response
Poles Response
1
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 48240-209 : Time Response
Step response for the general second-order system
C s =n
2
s s22n sn2
C s = 1s−
sn
1−2n1−2
sn2n
2 1−2
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 49240-209 : Time Response
Inverse Laplace Transform
c t =1−e−n tcosn1−2 t
1−2sin n1−2 t
=1− 1
1−2e−n t cosn1−2 t−
=tan−1/1−2
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 50240-209 : Time Response
Underdamped Second-Order Systems
Second-orderunderdampedresponses fordamping ratio values
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 51240-209 : Time Response
Second-order underdamped response specifications
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 52240-209 : Time Response
Natural FrequencyNatural Frequency of a second order system is the frequency of oscillation of the system without damping.
Damping ratioDamping ratio is the proportion between exponential decay frequency and natural frequency (rad/second)
= Exponentialdecay frequencyNatural frequency rad / second
= 12
natural period seconds Exponential time constant
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 53240-209 : Time Response
Peak timePeak time is the time require to reach the first, or maximum, peak.
T P=
n1−2
Settling timeSettling time is the time it takes for the amplitude of the output c(t) to reach 0,98 or 98%
T s=−ln 0.021−2
n
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 54240-209 : Time Response
Percent overshootPercent overshoot is a ratio between the different between system time response and final value.
OS=c max−c final
c final×100
OS=e−/1−2×100
%
%
= −ln OS /100
2ln2 OS /100
%
%
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 55240-209 : Time Response
Percent overshoot vs. damping ratio
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 56240-209 : Time Response
Time constantTime constant has the units (1 seconds), or frequency, thus we call the parameter a the exponential frequency.
c t =1−e−at
t= 1a
Time constantTime constant is the time require for step response to rise to 63% of its final value.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 57240-209 : Time Response
Delay timeDelay time is the time require for the system time response y(t) to reach 50% of final value.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 58240-209 : Time Response
Normalized risetime vs. damping ratio for a second-order underdamped response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 59240-209 : Time Response
Pole plot for an underdamped second-order system
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 60240-209 : Time Response
Note: Ts2 < Ts
1 ; Tp
2 < Tp
1; %OS1 < %OS2
Lines of constant peak time,Tp , settlingtime,Ts , and percent overshoot, %OS
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 61240-209 : Time Response
Constant real part
Step responses of second-order underdamped systems as poles move
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 62240-209 : Time Response
Constant imaginary part
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 63240-209 : Time Response
Constant damping ratio
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 64240-209 : Time Response
System Response with Additional Poles
Component responses of a three-pole system : Case I : non-dominant pole is near dominant second-order poles pair. Case II : non-dominant pole is far from the pair. Case III : non-dominant pole is at infinity.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 65240-209 : Time Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 66240-209 : Time Response
Example 4.8 (Nise)
T 1s =24.542
s24s24.542
T 2 s=24.542
s10s 24s24.542
T 3s =24.542
s3s24s24.542
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 67240-209 : Time Response
c 1t =1−1.09 e−2t cos4.532t−23.8
c 2 t =1−0.29e−10t−1.189e−2t cos4.532t−53.34
c 3t =1−1.14 e−3t−0.707 e−2t cos4.532t78.63
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 68240-209 : Time Response
Step responsesof system T1(s),system T2(s), andsystem T3(s)
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 69240-209 : Time Response
T s =sa
sb sc =A
sbB
sc
T s =−ba/−bc
sb −ca /−cb
sc
If zero is far from poles, then a is large compared to b and c.
T s = asb sc
System Response with Zeros
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 70240-209 : Time Response
Effect of addinga zero to a two-pole system
System Response with Zeros
p 1,2=−1± j2.282
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 71240-209 : Time Response
Step response of a nonminimum-phase system
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 72240-209 : Time Response
a. Effect of amplifiersaturation on loadangular velocityresponse;b. Simulink blockdiagram
Effects of Non-linearities Upon Time Response
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 73240-209 : Time Response
a. Effect ofdeadzone onload angulardisplacementresponse;b. Simulink blockdiagram
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 74240-209 : Time Response
a. Effect of backlashon load angulardisplacementresponse;b. Simulink blockdiagram
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 75240-209 : Time Response
Time domain Solution of State equations
e at=1at 12! a
2 t 2... 1k ! a
k t k...
e A t=IA t 12! A
2 t 2... 1k ! A
k t k...
x.=ax x t =e at x 0
Scalar differential equation
x.=Ax x t =eAt x 0
Vector-matrix differential equation
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 76240-209 : Time Response
x.=Ax t Bu t
e−A t [x.t −Ax t ]=e−A t Bu t
Rearrange and multiply both sides by e−A t
ddt [e
−A t x t ]=e−A t x.t −Ae−A t x t
Derivative of the product e−A t x t
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 77240-209 : Time Response
Integrating both sides yields
[e−A t x t ]0t=e−A t x t −x 0=∫0
te−A Bu d
We obtain
x t =e A t x 0∫0
te A t−Bu d
t =e A t - state-transition matrix
=t x 0∫0
tt−Bu d
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 25 ต�ลาคม 2547 หน�า 78240-209 : Time Response
s I−A−1 is the Laplace transform of the state-transtion
matrix t
L−1[s I−A−1]=t
det s I−A=0 - characteristic equation