Chapter 4: Work and heat

○ 열역학에서 문제의 올바른 해석 여부는 일과 열의 구분에 달려 있다 할 수 있다. 열을 통해서

일을 어떻게 할 수 있는가 혹은 열은 어떻게 일로 전환되는가의 문제가 열역학적 문제이다.

이런 열역학 시스템을 해석하기 위해서는 일과 열을 상태량이나 또는 시스템의 특성을

나타내는 기타변수들의 함수들로 모델링 할 필요가 있다.

■ 일의 정의

1) 정의

○ 물체에 힘이 작용하여 움직일 때 힘과 변위의 곱으로 주어지는 물리량

○ 일반적으로는 일은 이동중인 에너지의 형태, 즉 시스템 경계를 통해 전달되고 있는

에너지이다 (피스톤이 기체를 압축하면 경계가 바뀌면서 경계를 통해 일을 한다)

○ 수학적으로는 열역학에서의 일은 아래와 같이 힘을 𝒅𝒙 (미소변위)에 대해 경로 1→2로

(선)적분한 값이다. (미소변위를 1에서 2로 선적분하면 1과 2사이의 변위가 된다)

𝑊 = � 𝐹𝐹𝐹2

1

2) 일의 부호

○ 일의 부호는 시스템에 의해 수행된 일, 즉 시스템에서 주위로 전달 혹은 빠져나간 일을 +,

주위에서 시스템에 가한 일, 즉 주위에서 시스템으로 일을 전달한 경우 – 이다.

○ 다시 말해, 에너지가 유출되면 +, 유입이 되면 – 가 된다.

<유입과 유출에 따른 일의 부호>

3) 일과 힘의 단위

1. 힘의 단위는 N이고 뉴턴의 제 2법칙에 의해 정의됨: <질량 X 가속도>, 즉 1kg의 물체를 1

m/s2의 가속도로 움직이는데 필요한 힘이고 단위는 𝑘𝑘 ∙ 𝑚/𝑠2 = 𝑁이라 정의함

2. 일은 힘과 변위 곱이므로 단위는 𝑁 ∙ 𝑚 = 𝐽이라고 정의함. 즉, 단위 중량을 단위 거리만큼

들어 올리는 것. 일반적으로, 단위 힘을 단위길이 만큼 작용

3. 동력(=일률)은 일의 시간당 비율이고 기호 (단위가 아님)는 W이다. 수학적으로는, 시간에

대한 일의 미분 값. 동력=일률의 단위는 𝐽/𝑠 = 𝑊 이다 (동력의 단위와 일의 기호가

헷갈리지 않게 주의)

�̇� =𝛿𝑊𝐹𝑑

4. 비일은 시스템내 단위질량당 일로. 기호는 w이다. 단위는 단위질량당 일이므로, J/kg.

(비체적과 비열은 무엇이고 단위는? = 비체적은 단위질량당 부피 (m3/kg), 비열은 물체

1kg을 1C 높이는데 필요한 열량 (kcal/kg∙C)

𝑤 =𝑊𝑚

<일 및 힘의 단위>

■ 단순 압축 시스템의 경계 이동에 의한 일

○ 피스톤에서의 일은 기체가 팽창 혹은 수축을 하면서 시스템의 경계가 바뀌고, 시스템 경계의

이동에 의해 일을 한다. 이때 실린더와 피스톤 장치내의 물질(주로 기체)의 변화를 통해서

수행된 일을 어떻게 구할 수 있는지 알아본다.

○ 피스톤에 가해지는 힘은 압력×피스톤의 면적이 되고, 피스톤의 움직인 정도를 𝐹𝑑이라고 하면

일 𝛿𝑊는 압력×피스톤 면적× 𝐹𝑑로 쓸수 있다.

𝛿𝑊 = 𝑃𝑃 ∙ 𝐹𝑑

○ 면적과 길이의 곱이 체적이므로 일은 <압력 × 체적>으로 쓸 수 있으므로, 어떤 순간에서

미소한 경계변화에 의한 일은 <압력×미소체적변화>로 쓸 수 있다.

♠ 왜 굳이 전체 일을 압력과 면적과 변위 곱이나 압력 × 부피로 바로 쓰지 않고, 𝛿𝑊 와

미소변화의 곱을 적분을 할까?

첫째 이유는 일이 경로에 따라서 달라지기 때문이고, 둘째로는 미소변화를 포함함으로써

준평형과정을 가정하기 위해서 이다 (준평형과정: 시스템이 조금씩 단계적으로 변하기 때문에

변화시 평형상태로부터 벗어나는 정도가 매우 작은 과정으로 단계적으로 평형상태가 연속되는

과정이다). 즉, 시스템은 평형일 때 실제 상태를 나타내게 됨으로 준평형과정의 연속을

가정함으로써 시스템의 변화를 계산할 수 있다.

○ 전체 일(경로 1에서 2까지)은 앞선 식을 적분함으로써 구할 수 있다. 이 경우 경로 1에서 2로

힘을 가하여 시스템에 일을 했다라고 할 수 있을 것이고, 그렇기 때문에 부호는 음수가 된다.

1𝑊2 = � 𝛿𝑊2

1= � 𝑃 ∙ 𝐹𝑑

2

1

○ 여기서 식을 통해 알 수 있는 것은, 식에 P와 V가 포함되어 있으므로, 적분을 통해서 일을

구하기 위해서는 PV사이의 관계식이 필요하다는 점이다.

<단순 압축 시스템의 경계 이동에 의한 일>

▶ 관계식이 필요한 이유는 일이 경로에 따라 달라진다는 점을 통해서 확인이 가능하다. 아래의

Figure의 그래프에서 일=적분의 값은 그래프 아래의 면적이기 때문에 A, B, C의 경로에 따라

달라짐을 알 수 있다. 즉, 일은 최종상태뿐만 아니라 중간경로에 따라서도 달라지므로, PV 사이의

관계식이 필요하다 (수학적으로 함수를 알아야 적분이 가능). 그래서, 일을 경로함수라 하고,

𝐹𝑊라 하지 않고 𝛿𝑊 (불완전 미분량)이라 쓴다 – 이 경우 “상태1에서 2까지 변화하는 과정에서

일을 했다” 라고 표현 할 수 있다.

<P-V 변화 경로에 따른 일>

♠ 경로함수와 대비되는 말로써 – 점함수: 처음과 최종상태에만 의존 (완전 미분량) – 부피의

변화는 경로에 관계없다.

� 𝐹𝑑2

1= 𝑑2 − 𝑑1

■ PV 관계식의 몇가지 예

1) 폴리트로프 과정

○ 단열(매우 빠른) 압축/팽창, 풍선 등에 사용할 수 있는 모델

○ 기체의 압축과 팽창에 유용한 모델로써(e.g., 4행정 싸이클기관에서 압축이나 팽창)

일반적으로 이상기체 등온과정과 단열과정 사이의 대부분의 과정은 폴리트로프 과정이라 할

수 있다.

𝑃𝑑𝑛 = 일정

𝑃𝑑𝑛 = 𝐶 = 𝑃1𝑑1𝑛 = 𝑃2𝑑2𝑛

𝑃 =𝐶𝑑𝑛

=𝑃1𝑑1𝑛

𝑑𝑛=𝑃2𝑑2𝑛

𝑑𝑛

1𝑊2 = � 𝑃 ∙ 𝐹𝑑2

1= 𝐶�

1𝑑𝑛

𝐹𝑑2

1= 𝐶 �

𝑑−𝑛+1

−𝑛 + 1��

1

2

=𝐶

1 − 𝑛(𝑑21−𝑛 − 𝑑11−𝑛) =

𝑃2𝑑2𝑛𝑑21−𝑛 − 𝑃1𝑑1𝑛𝑑11−𝑛

1 − 𝑛=𝑷𝟐𝑽𝟐 − 𝑷𝟏𝑽𝟏

𝟏 − 𝒏 𝑛 ≠ 1

2) 이상기체등온압축/팽창과정 (폴리트로프 과정에서 n=1인 경우와 동일)

𝑃V = 일정 = 𝑃1𝑑1 = 𝑃2𝑑2

1𝑊2 = � 𝑃 ∙ 𝐹𝑑2

1= 𝑃1𝑑1 �

𝐹𝑑𝑑

2

1= 𝑷𝟏𝑽𝟏 𝒍𝒏

𝑽𝟐𝑽𝟏

3) 등압과정/냉각과정

𝑃 = 일정 → 𝑃1 = 𝑃2 = 𝐶

1𝑊2 = � 𝐶 ∙ 𝐹𝑑2

1= 𝐂(𝑽𝟐 − 𝑽𝟏)

4) 선형 스프링으로 지지되는 피스톤/실린더 내부 유체: 피스톤이 선형 스프링으로 지지될 때,

압력은 부피와 일차함수 관계를 가진다

𝑃 = 𝑃 + 𝐵𝑑; 𝑃1 = 𝑃1 + 𝐵𝑑1; 𝑃2 = 𝑃2 + 𝐵𝑑2

1𝑊2 = � (𝑃 + 𝐵𝑑) ∙ 𝐹𝑑2

1= 𝑃(𝑑2 − 𝑑1) +

𝐵2

(𝑑22 − 𝑑12) =𝑷𝟏 + 𝑷𝟐

𝟐(𝑽𝟐 − 𝑽𝟏)

<P-v 관계에 따른 일의 과정. P-v와 선도를 통해 P-v 관계에 따른 일을 알 수 있다>

등압과정의 경우, 직사각형의 넓이가 한 일이 되며, P-v 선도에서 폴리트로프 과정은 지수의 값이

등온과 단열사이에 존재함을 알 수 있다. 한가지 알아 두어야 할 점은 등적/정적 (부피가 일정)

과정은 체적 축에 대해서 상수값을 갖는다. 즉, dV = 0 (P-v 사이의 선 아래의 면적이 = 0)이 되어,

정적과정에서의 일은 0 이 된다.

<예제 1>

▶ 초기압력 200 kPa, 초기체적 0.04 m3 의 실린더에 기체가 채워져 있을 때 다음 물음에

답하여라.

a. 일정한 압력에서 체적이 0.1 m3 까지 증가하게 한 과정에서의 일

b. 버너와 추를 조절하여 등온과정을 형성한 후 체적이 0.1 m3까지

증가하게 한 과정에서의 일 (이상기체모델을 따른다고 가정)

c. 추를 제거하는 속도 조절을 통해 PV1.3 = 일정 관계 유지를 통해

체적을 0.1 m3 팽창시킬 때의 일

d. 피스톤을 핀으로 고정하여 체적은 일정하게 유지되지만 열이

빠져나가 압력이 100 kPa로 하강할 때 일

풀이)

a. 등압과정에 해당하기 때문에

1𝑊2 = � 𝐶 ∙ 𝐹𝑑2

1 = 𝐶(𝑑2 − 𝑑1)

를 이용해서 일을 계산할 수 있다. 압력은 200kPa이고 체적은 0.04에서 0.1까지 변했으므로

200× (0.1 – 0.04)하면 12kJ이다.

b. 조건에 의해 이상기체 등온과정이므로, 𝑃𝑑 = 𝑚𝑚 를 사용한다. 질량과 기체상수는

일정하고 (기체상수는 고유한 값이고 기체자체는 피스톤이 상승/하강에 관계없이 같은

기체이므로, 기체상수는 과정 내에서 일정하다), 또한 온도도 일정하기 때문에 𝑃𝑑 =

일정이다. (이상기체등온과정은 PV = 일정). 그러므로 다음과 같이 일을 구할 수 있다.

𝑊2 = � 𝑃 ∙ 𝐹𝑑2

1= 𝑃1𝑑1 �

𝐹𝑑𝑑

2

1= 𝑃1𝑑1 𝑙𝑛

𝑑2𝑑1

계산하면 일은 7.33kJ이 된다.

c. n=1.3인 폴리트로프 과정이므로

1𝑊2 = � 𝑃 ∙ 𝐹𝑑2

1=𝑃2𝑑2 − 𝑃1𝑑1

1 − 𝑛

를 이용해서 일을 구할 수 있다. 주어진 식을 풀기 위해서는 P2, 즉 체적팽창후의 압력이

필요로 하고, 그 압력은 PV1.3 = 일정 관계식을 통해서 구할 수 있다. 구한 압력값은

60.77kPa 이고, 폴리트로프 과정에서 일을 구하는 식에 대입하면 일은 6.41kJ이 된다.

4. 앞서 말했듯이 체적이 일정하게 유지 되므로 𝐹𝑑 = 0 이고, 한 일은 없다.

위의 문제로부터, P-v 그래프에서 볼 수 있듯이 같은 체적변화에서는 정압과정이 가장 많은 일을

하고, 지수가 올라갈수록 일이 적어지며, 정적과정에서 한일은 0이다. 일의 부호가 모두

양수이므로, 일을 외부로 해준 경우라 할 수 있다. 이 경우는 기체가 팽창하면서 피스톤을

밀어냈으므로 외부로 일을 한 것이 된다.

<예제 2>

▶ 피스톤과 실린더로 이루어진 밀폐시스템 내에 기체가 채워져 있으며, 다음 그림과 같이

3개의 과정으로 사이클을 구성한다. 각각의 과정에 대한 일(J)을 다음과 같이 계산하라 (사이클

방향: A → B → C)

1. A → B

2. B → C

3. C → A

4. A → B → C → A: 싸이클의 순일 (net work)

풀이)

1. A→B: 직사각형 – 반지름이 1인 ¼의 원형태이다. A에서 B까지 경로에서 P-v사이의

관계식이 주어지지는 않았지만, 형태를 통해서 A에서 B까지의 일은 직사각형 – 반지름이

1인 ¼의 원형태로 계산할 수 있다. 값은 1.215J이고, 이만큼 기체 부피증가를 통해서

외부로 일을 해주었다.

2. B→C: 정적과정이므로 일은 0이다.

3. C→A: 이 과정은 정압과정으로 체적이 감소하였다: 정압으로 기체를 압축하였다고 볼수

있다. 이때 한일은 압력 곱하기 부피변화 이므로 -2J이 된고, 외부에서 기제 압축을 위해서

2J 만큼의 일이 들어왔다.

4. Net work (순일)

순일은 전체 경로 혹은 사이클 동안에 이루어진 일을 말하며, (1에서 일 + 2에서 일 + 3에서 일)로

계산할 수 있고, 값은 −0.785J이다. 이는 폐다각형 ABCA의 면적과 동일하다. 즉, 순일은 경로로

둘러싸인 부분의 면적을 계산함으로써 구할 수 있다. 이 시스템은 한 사이클로 보았을 때 -

0.785J만큼의 일을 외부로부터 들여왔다라고 할 수 있다

♠ P-v 선도상의 사이클에서 순일의 부호는 사이클이 반시계 방향이면 음수, 즉 순일은

주위로부터 일을 받은 것이 되고, 사이클이 시계방향이면 순일의 부호는 양수가 되고, 주위로

일을 해준 것이 된다.

■ 일의 여러 가지 모습

■ 다른 시스템에서의 일

○ 단순압축시스템의 경계이동에 의한 일처럼, 다른 종류의 시스템에서도 이동하는 경계에서

일이 발생할 수 있다. 여기서는 세가지 경우의 다른 시스템에서의 일을 살펴본다 (Figure

4.5). 단순 압축시스템에서처럼 다른 시스템에서의 이동하는 경계에서 일의 발생 역시 적분을

통해서 구할 수 있다.

<단순압축시스템 외의 세가지 시스템에서 경계를 통한 일의 발생>

1) 와이어의 인장

인장력 t가 작용하여 늘어나는 와이어를 시스템이라 할 때, 와이어의 길이가 𝐹𝑑만큼 늘어나면

시스템이 한일은

𝛿𝑊 = −𝑑𝐹𝑑

이 된다. 늘어나는 와이어에서 일을 했다는 것은 와이어를 늘리기 위해서 외부에서 일을 시스템에

가했다는 것이므로 부호가 음수가 된다. t와 L의 관계가 주어지면 적분을 통해 일을 구할 수 있다.

1𝑊2 = −�ℑ𝐹𝑑2

1

예시) 금속와이어를 인장할 때 일을 탄성계수와 연율로 표시하라

응력(물체에 외력이 작용하였을 때, 그 외력에 저항하여 물체의 형태를 그대로 유지하려고

물체내에 생기는 내력. 변형력이라고도 함)은 단위면적당 힘으로 계산하거나 탄성계수와 연율의

곱으로 정의할 수 있다 (연율은 원래길이에 대해 늘어난 길이의 비율).

σ =ℑ𝑃

= 𝐸𝐸 (σ: 응력, 𝐸: 연율,𝐸: 탄성계수)

응력이 단위 면적당 힘이므로 구하고자 하는 인장력은 응력과 면적의 곱이 되므로, 인장력을

면적과 탄성계수와 연율로 표시할 수 있다.

𝑑 = 𝑃𝐸𝐸

연율의 정의에 따라 𝐹𝑑 역시 원래의 길이와 𝐹𝐸로 바꿀 수 있으므로, 일을 면적, 탄성계수, 연율,

길이 그리고 연율의 변화로 나타낼 수 있고, 최종적으로는 적분을 (0에서 늘어난 길이까지)

통하여 일을 구할 수 있다.

𝐹𝐸 =𝐹𝑑𝑑0

𝛿𝑊 = −𝐼𝐹𝑑 = −𝑃𝐸𝐸𝑑0𝐹𝐸

𝑊 = −𝑃𝐸𝑑0 � 𝐸𝐹𝐸𝑒

𝑒=0

= −𝑃𝐸𝑑0

2(𝐸)2

2) 표면액막의 인장

마찬가지로, 표면장력이 s인 액체의 막으로 이루어진 시스템은 일을 표면장력과 면적의

변화( 𝐹𝑃 )로 표시 할 수 있고, 이를 면적에 대해서 적분함으로써 일을 계산할 수 있다. 역시,

표면장력과 면적의 관계가 필요하다.

𝛿𝑊 = −𝑠𝐹𝑃

1𝑊2 = −�S 𝐹𝑃2

1

<표면 액막의 인장>

3) 전기적 일 (콘덴서, 전지등)

전위차 e가 유지되고, 시스템으로 유입된 전하를 𝐹𝑑라 하면 일은 전위차와 전하의 변화로 표시할

수 있다.

𝛿𝑊 = −𝐸𝐹𝑑

전류는 시간당 흐르는 전하로서 𝑖 = 𝐹𝑑/𝐹𝑑로 쓸 수 있으므로, 일은 전위차와 전류, 시간의 함수로

나타낼 수 있고, 구한 식을 시간에 대해 적분함으로써 특정시간 동안 전기에너지에 의한 일을

구할 수 있다.

𝑖 =𝐹𝑑𝐹𝑑

𝛿𝑊 = −𝐸𝑖 𝐹𝑑

1𝑊2 = −�E i 𝐹𝑑2

1

또한 전기에너지에 의한 일은 변화율로도 나타낼 수 있는데, 이 식은 전위의 단위인 볼트를

정의하는 식으로 생각할 수 있다. 즉, 1볼트는 1초당 1J의 전기에너지를 1암페어로 나눈 것이다.

�̇� =𝐹𝑊𝐹𝑑

= E i

♠ 일에 대한 표현식을 기억하고 (주로 강성적 상태량과 종량적 상태량의 곱: 단순 압축성

시스템에서는 압력(강성적)×부피(종량적)로 나타내었음), 준평형과정이라는 전제가 있었다는 것,

그리고 여기서 배운 일은 경계이동에 의한 일이라는 것을 기억해야 한다 (이 정의에 의하면

시스템내의 에너지 변화는 일이 아니다).

■ 열의 정의

가열된 구리공을 물속에 넣으면, 시간이 지남에 따라 구리의 온도는 내려가고 물의 온도는 올라가서

결국은 둘의 온도가 같아져서 평형이 된다. 이는 구리공으로부터 물로 에너지가 전달되었기

대문이다. 좀더 자세히 말해서, 온도가 높은 구리공으로부터 온도가 낮은 물로 에너지가 전달되었다.

이로부터 에너지 전달로부터 열을 정의할 수 있다.

1) 열의 정의

○ 열은 두 시스템 사이의 온도 차에 의해 전달되는 에너지의 한 형태 (일은 시스템에 힘을 가해

움직임으로서 전달되는 에너지의 형태).

○ 따라서 열은 에너지의 교류과정에서 발생하고, 교류과정에서 발생하기 때문에 어느 시스템도

열을 보유하고 있다라고 할 수 없음 (열에너지를 보유하고 있다라고 표현하는 것이 옳다).

반대로, 두 시스템의 에너지가 교류할 때 비로소 열이 있다라고 표현할 수 있다. 열은

천이현상으로, 일과 마찬가지로 시스템의 경계를 통과하는 에너지이다.

2) 열의 부호

○ 에너지가 시스템으로 전달 (열을 얻으면) 양수, 에너지가 시스템으로부터 빠져나가면 (열을

빼았기면) 음수이다 – 일의 경우와는 반대 (일은 일이 시스템에 유입이 되면 음수, 일을

시스템 외부로 유출하면 양수). 열의 유출이나 유입, 즉 열전달이 없는 경우를 단열과정이라

한다,

<열의 부호>

▶ 열은 일과 마찬가지로 경로함수이고 불완전 미분량으로 표시 – 시스템이 상태 1→2로

변하는 과정을 겪을 때 전달된 열의 양이 상태가 변하는 동안 시스템이 경험하는 경로에 따라

달라짐

▶ 열의 단위는 일과 같이 에너지의 한 형태이므로 J을 쓰거나, 열의 단위로서 Kcal를 사용

▶ 열전달률: 단위시간당 열이 전달되는 비율 (단위는 J/s=W로서 일에 있어서 동력 (일률)의

단위와 같다)

▶ 비열전달: 단위질량당 열전달 (‘비’가 들어갈 경우 단위질량당이 된다)

3) 열전달 방식: 열전달의 방식에는 세가지가 있다 – 전도, 대류, 복사.

∙ 전도는 열에너지가 직접적이 접촉에 의해서 전달되는 현상

∙ 대류는 열에너지가 분자들의 운동에 의해 전달되는 현상

∙ 복사는 전자기장에의해 열에너지가 전달되는 현상

전도와 대류의 경우에는 열에너지는 온도의 차이에 의해 발생한며, 모든 열전달은 단면적에

비례한다.

<열전달의 세가지 방식>

■ 열과 일의 비교

1) 열과 일의 공통점

∙ 천이 현상: 시스템이 보유하고 있는 상태량이 아니라 시스템의 상태가 변할 때 시스템의

경계를 통과하는 에너지이다.

∙ 경계 현상: 시스템의 경계를 통과하는 에너지이므로 시스템의 경계에서만 관찰된다.

∙ 경로 함수: 시작과 끝 상태가 같더라도 과정에 따라 다른 값을 가질 수 있다

2) 열과 일의 차이점

∙ 에너지의 이동원리: 열 → 온도, 일 → 힘, 압력, 전기장, 자기장 등 (온도 이외의 모든

것)

∙ 부호의 개념적 차이: 일은 유입이 되면 음수이고, 유출이 되면 양수인 반면에 열은

유입이 되면 양수고, 유출이 되면 음수이다.

♠ 열역학에서 에너지의 전달방법은 두 가지 밖에 없다: 일과 열

경계 현상이므로 시스템 설정기준에 따라 에너지 전달 형태의 변화: 즉, 시스템의 경계를

어떻게 설정하느냐에 따라 에너지의 전달 형태가 다를 수 있다.

■ 연습문제

1. 어떤 시스템의 압력과 체적은 P = 10V−3 관계를 가진다. 시스템에 공기가 유입되어 체적이 처음

0.5m3에서 1m3으로 증가한다. 공기 온도를 25℃로 가정할 때, 공기의 최종질량과 수행한 일을

구하여라(단, 압력의 단위는 kPa이며, 공기는 이상기체로 간주하고, 공기의 기체상수는 0.287

kJ/kg∙K 이다).

주어진 관계에 의해 𝐏𝐕𝟑 = 𝟏𝟏이므로, 𝐧 = 𝟑인 폴리트로프 과정이다. 각 상태의 압력은 다음과 같이 구할 수 있다.

𝐏𝟏 = 𝟏𝟏 × 𝟏.𝟓−𝟑 = 𝟖𝟏 𝐤𝐏𝐤, 𝐏𝟐 = 𝟏𝟏 × 𝟏−𝟑 = 𝟏𝟏 𝐤𝐏𝐤 그러므로, 일은

𝐖 =𝐏𝟐𝐕𝟐 − 𝐏𝟏𝐕𝟏

𝟏 − 𝐧 =𝟏𝟏 × 𝟏 − 𝟖𝟏 × 𝟏.𝟓

𝟏 − 𝟑 = 𝟏𝟓 𝐤𝐤

이상기체로 간주하면 최종 질량은

𝐦 =𝐏𝟐𝐕𝟐𝐑𝐓𝟐

=𝟏𝟏 × 𝟏

𝟏.𝟐𝟖𝟐 × 𝟐𝟐𝟖 = 𝟏.𝟏𝟏𝟐 𝐤𝐤

2. 물질을 담을 수 있는 정육면체 모양 상자의 내부 온도는 한 변의 길이의 제곱에 비례한다고 한다. 이 상자에 공기를 불어 넣어 체적을 팽창시킨다고 하자. 상자에는 압력계를 설치하여 압력을 측정할 수 있다고 한다. 압력계는 초기 상태에는 500 kPa을 가리키고 있었으며, 외부에 설치된 수은 기압계는 750.3 mmHg라 한다. 다음 물음에 답하여라. 1) 이 시스템이 수행하는 과정의 형태를 정의하여라. 주어진 조건을 수식화 하면,

𝐓 = 𝐤𝐋𝟐; 𝑽 = 𝑳𝟑 → 𝑻 = 𝒌𝑽𝟐 𝟑� 공기는 이상기체로 간주할 수 있으므로, 이상기체상태 방정식에 의해서,

𝐏𝐕 = 𝐦𝐑𝐓 → 𝐏𝐕 = 𝐦𝐑𝒌𝑽𝟐 𝟑� → 𝐏𝐕𝟏 𝟑� = 𝒎𝒎𝒌 = 𝑪(𝐜𝐜𝐧𝐜𝐜𝐤𝐧𝐜) 그러므로, 𝐧 = 𝟏/𝟑인 폴리트로픽 과정이다.

2) 정사각형 상자의 한 변의 초기길이는 1 m이고, 최종 길이는 2 m였다, 이 시스템이 수행한 일을 구하여라. 폴리트로픽 과정이므로, 일은 다음과 같이 구할 수 있다.

𝑾 =𝑷𝟐𝑽𝟐 − 𝑷𝟏𝑽𝟏

𝟏 − 𝒏

일을 구하기 위해서는 최종상태의 압력이 필요하므로, 폴리트로픽 과정을 이용하면,

𝑷𝟏𝑽𝟏𝟏/𝟑 = 𝑷𝟐𝑽𝟐

𝟏/𝟑 → 𝑷𝟐 = 𝑷𝟏 �𝑽𝟏𝑽𝟐�𝟏/𝟑

주어진 압력은 계기압력이므로, 수은 압력계의 값을 이용하여, 절대압력으로 변환하면,

𝑷𝟏 = 𝟓𝟏𝟏 +𝟐𝟓𝟏.𝟑𝟐𝟕𝟏 × 𝟏𝟏𝟏.𝟑 = 𝟕𝟏𝟏 𝒌𝑷𝒌

𝑽𝟏 = 𝟏 𝒎𝟑, 𝑽𝟐 = 𝟖 𝒎𝟑

∴ 𝑷𝟐 = 𝑷𝟏 �𝑽𝟏𝑽𝟐�𝟏/𝟑

= 𝟕𝟏𝟏 × �𝟏𝟖�

𝟏/𝟑

= 𝟑𝟏𝟏 𝒌𝑷𝒌

그러므로, 시스템의 일은

𝑾 =𝑷𝟐𝑽𝟐 − 𝑷𝟏𝑽𝟏

𝟏 − 𝒏 =𝟑𝟏𝟏 × 𝟖 − 𝟕𝟏𝟏 × 𝟏

𝟏 − (𝟏 𝟑⁄ ) = 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑾

3) 이 시스템은 일을 수행하는가 받는가? 일이 양수이므로, 외부로 일을 수행함