Chapter 4 열전도방정식본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니다. 참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011

<학습목표>1. 위치에 따른 온도변화를 고려하지 않고 시간에 대해 거의 균일하게 온

도가 변하는 경우, 단순화된 집중계 해석을 적용한다.

2. 변수 분리법을 이용하여 사각형, 원통, 구 형상에 대한 비정상 1차원

전도 해석해를 도출하고, 단일항 해가 항상 성립하는 이유에 대해 이

해한다.

3. 유산 변수를 이용하여 큰 매질에 대한 비정상 전도를 풀고, 시간과 외

부 표면으로부터 떨어진 거리에 따른 온도변화를 예측한다. product

solution을 이용하여 다차원 비정상 전도 해를 구한다.

4.1 집중계 해석집중계 해석(lumped system analysis) :

내부의 온도가 언제든지 거의 균일하게 유지되어 집중(lump)되는 물체

(이 경우 물체의 온도는 시간만의 함수 T(t)로 나타낼 수 있다.)

정확도가 크게 떨어지지 않으면서 열전달 문제를 단순화

(4-1)

(dt동안 물체로의 열전달)=(dt동안 물체에서의 에너지 증가)

m = ρV = 일정 , dT=d(T- T ∞ )이므로

∞

∞

(4-2)

T= T i에서 t=0부터, T=T(t)에서 임의 시간 t까지를 적분

ln∞

∞

(4-3)

양변에 지수를 취하고 이를 다시 정리

∞

∞ (4-4)

(1/s) (4-5)

그림 4-3과 위의 관계로부터 다음 두 가지를 알 수 있다.

1. 식 4-4로 시간 t에서 물체의 온도T(t), 그리고 또한 주어진 온도 T(t)에

도달하기 위한 시간을 알 수 있다.

2. 물체의 온도는 주위 온도 T ∞에 지수함수의 형태로 접근하다.

b값이 큰 경우 물체의 주위 온도에 빠르게 접근하다.

지수 b가 클수록 온도변화는 커진다.

(b는 표면적에 비례하지만 물체의 질량과 비열에는 반비례 )

대류 열전달률 :

(W) (Newton의 냉각법칙) (4-6)

총 열전달량 = 에너지 저장량

(kJ) (4-7)

∞, 최대 열전달량 :

max ∞ (kJ) (4-8)

집중계 해석의 기준

특성길이(characterisric length) :

Bi수 : 물체의 열전도에 대한 내부저항과 대류에 대한 외부저항의 비

(4-9)

∆∆

체내부의전도물체표면에서의대류

물체표면의대류저항

물체내부의전도저항

Bi수 감소 → 전도에 대한 저항 감소 → 온도구배 감소

집중계 해석은 물체 내의 온도가 균일하다고 가정 (열저항 = 0)

Bi수가 적을수록 집중계 해석은 보다 정확

Bi≤0.1 (일반적인 집중계 해석)

(온도차는 5%미만)

※ Bi<0.1인 경우에는 물체 내부의 온도 변화는 작으며 균일하다고 가정

집중계 열전달에 대한 부언

대류에 의한 물체의 열전달이 큰 경우,

물체의 내부와 외부의 온도차는 커짐

최대 온도차 :

(표면으로 전도할 수 있는 능력)=(표면으로부터 대류할 수 있는 능력)

단위표면적당 열전도

q=-k∂T/∂n

예제 4.1 열전대를 이용한 온도측정

흐르는 기체의 온도를 열전대를 이용해 특정하려고 하며 이때 열전대의 접

함점(junction)은 지름 1mm의 구로 생각할 수 있다. 접함점의 특징은

k=35W/m =8500kg/㎥ 그리고 C p=320J/kgㆍ℃ 그리고 접함점과 기체 사이

의 대류열전달계수 h=210W/㎡ㆍ℃이다. 열전대가 초기온도가의 99%까지 정

확히 특정하기 위해서 필요한 시간을 구하라.

sol) [가정] 1. 접함점은 지름D=0.001m인 구 모양이다. 2. 접함점의 물성치와

열전달계수는 일정하다. 3. 복사효과는 무시할 만하다.

[해석] 접함점의 특성길이는

×

그때 Bi수는

℃

㎡ㆍ℃×

따라서 짐중계 해석의 사용이 가능하며 이 경우 발생하는 오차 무시.

접함점과 기체 사이의 온도차가 99%가 되기 위해서는

∞

∞

이 되어야 한다. 예를 들어 T i=0℃, T ∞=100℃일 때 열전대를 사용하

여 특정한 온도가 T(t)=99℃라면 이 때 열전대는 실제 온도의 99%를 나

타낸다고 할 수 이다.

지수 b의 값은

℃×

㎡℃

이 값을 식4-4에 적용하면

∞

∞ →

, t=10s

예제4-2 강철 막대의 경화 담금질

경화 담금질을 위해, 강철막대 (ρ=7832kg/㎥, C p=434J/kgㆍK ,

k=63.95W/mㆍK)는 850℃ 화로에서 가열된 뒤 물이 담긴 수조에서 평균온도

95℃로 다시 냉각된다.

아래 그림에 나타나있다. 물수조는 40℃로 균일하게 유지되며, 대류 열전달

계수는 h=450W/㎡ㆍK 이다. 강철막대 지름이 50mm, 길이가 2m인 경우,

(a) 수조에 담겨서 850℃에서 95℃로 냉각되는 데 걸리는 시간을 구하라.

(b) 한 개의 강철 막대가 경화되는 동안 총 열전달량을 구하여라.

[가정]1. 강철 막대의 열 물성치는 모두 상수이다.

2. 대류열전달계수는 균일하다.

3. 복사에 의한 열전달은 고려하지 않는다.

[해석] (a) 원통 막대의 특성길이와 Biot수는

·

·

Bi 수가 0.1보다 작으므로 집중계 해석이 가능하다.

수조에서 강철 막대가 850℃에서 95℃로 냉각되는데 걸리는 시간은

·

·

∞

∞ →

∞

∞

(b) 총 열전달량은

·

×

4.2 대형 평면벽, 긴 원통, 구에서의 비정상 열전도

본 절에서는 대형 평면벽, 긴 원통 및 구와 같은 1차원, 비정상상태에서의

온도면화를 다루게 될 것이다. 초기 온도가 T i인 두께 2L의 평면벽, 반지름

r 0인 긴원통 그리고 반지름 r 0인 구를 생각하자. 시간 t=0에서 이들 각 물

체를 온도 T ∞으로 유지되는 대단히 큰 매체에 t>0만큼 노출시켰다. 물체와

주위 사이에는 대류에 의해 열전달이 발생하며 열전달계수 h는 상수이고 일

정하다. 세 가지 경우 모두 기하학적으로 그리고 열적으로 대칭임에 유의해

야 한다. 평면벽은 중심면(x=0)에 대해, 원통은 중심선(r=0)에 대해, 그리고

구는 중심(r=0)에 대해 대칭이다.

평면벽에서 시간에 따른 온도변화 [그림4-12] 를 나타내면 벽이 시간 t=0

에서 온도 T ∞< T i인 매체에노출될 때, 벽 전체의 온도는 초기온도인 T i이

다. 그러나 벽과 표면근처는 주위매체와 열전달이 발생하기 때문에 온도가

떨어지게 된다. 이로 인하여 벽에는 온도구배가 발생하고 벽면의 내부에서

외부로 향한 전도가 시작된다. 벽 중심에서의 온도는 t= t 2가 될 때까지 T i

를 유지하며 벽 내부에서의 온도분포는 중심에 대해 항상 대칭이 된다. 온도

분포는 열전달에 의하여 점점 평평해지며, 결국 T= T ∞가 되면서 일정하게

된다. 이때 벽은 주위와 열적평형을 이루었다고 하며 더 이상 온도차가 존재

하지 않기 때문에 열전달은 정지된다. 원통과 구의 경우에도 마찬가지 현상

이다.

무차원화된 1차원 비정상 열전도 문제

평면벽에서 시간에 따른 온도변화를 그림 4-12에 나타내었다. 벽이 시간

t= 0에서 온도 T∞ < T∞인 매체에 노출될 때, 벽 전체의 온도는 초기온도인

T i이다. 그러나 벽과 표면근처는 주위 매체와 열전달이 발생하기 때문에 온

도가 떨어지게 된다. 이로 인하여 벽에는 온도구배가 발생하고 벽면의 내부

에서 외부로 향한 전도가 시작된다. 벽 중심에서의 온도는 t=t 2가 될 때까

지 T i를 유지하며 벽 내부에서의 온도분포는 중심에 대해 항상 대칭이 된

다. 온도분포는 열전달에 의하여 점점 평평해지며, 결국 T=T∞가 되면서 일

정하게 된다. 이때 벽은 주위와 열적평형을 이루었다고 하며 더 이상 온도차

가 존재하지 않기 때문에 열전달은 정지된다. 원통과 구의 경우에도 마찬가

지 현상이다.

벽에서의 1차원 비정상상태의 온도분포 T(x,t)를 구하기 위해서는 편미분방

정식을 고등수학을 이용하여 풀어야 한다. 이들의 해답은 일반적으로 사용하

기 불편하고 계산하기에 많은 시간이 소요되는 무한급수의 형태로 얻어진다.

따라서 해를 표나 그래프의 형태로 나타낼 필요가 있다. 그러나 해는 x, L, t,

k, α, h, T i, T∞와 같은 수많은 변수와 관계되므로 그래프로 나타내기에는 어

려움이 있다. 변수들의 수를 줄이기 위해서 다음과 같은 무차원계수를 정의

한다.

무차원화를 위하여 체인룰을 이용한다.

∞

∞

∞

1차원 비정상상태 온도분포 T(x,t)를 구하기 위해서 무차원 계수를 정의하면

무차원 온도 : ∞

∞

중심으로부터의 무차원 거리 :

무차원 열전달 계수 :

(Biot 수)

무차원 시간 :

(Fourier 수)

무차원화함으로서 우리는 온도를 세 가지 변수(X, Bi, τ)로 나타낼 수 있게

되어 해를 실용적으로 그래프에 나타낼 수 있다.

근사해법과 도식법에 따른 해석

앞에 나온 것들을 다 계산해서 그래프로 나타내었다. 세가지 기하학적 형상

에 대한 1차원 비정상 열전도 문제는 정확한 해를 구할 수 있으나 이 해는

다루기가 까다로운 무한급수를 포함하고 있다. 그러나 해석해는 시간이 증가

하면 급격히 수렴하며 τ>0.2인 경우에는 급수해 중 첫 번째 항만을 이용하

여도 오차는 2%이하가 된다. 통상적으로 필요한 해는 τ>0.2인 경우가 많기

때문에 이 경우 다음과 같이 단항 근사해법(one term approximation)으로

나타낼 수 있다.

평면벽: ∞

∞ cos

(4-23)

원통 : ∞

∞

(4-24)

구: ∞

∞

sin (4-25)

여기서 상수 A 1과 λ 1는 Bi만의 함수이며, 표 4-2에 세가지 기하학적

형상에 대해 Bi수의 함수로 나타내었다.

함수 J 0은 1종 0차 Bessel함수이며 이것의 값은 표 4-3에 나타내었다.

또 cos(0)= J 0(0)=1이고 (sinx)/x의 임계치도 역시 1이기 때문에 평면벽, 원

통 및 구의 중심에서는 다음과 같이 된다.

평면벽의 중심(x=0) : ∞

∞

(4-26)

원통의 중심(r=0) : ∞

∞

(4-27)

구의 중심(r=0) : θ ∞∞

λτ

(4-28)

Bi수만 구할 수 있다면 상기 식을 사용하여 매체 어디에서든지 온도를 구

할 수 있다. 표 대신 차트를 이용하고자 하는 경우를 위해, 위의 관계식과

단항 근사해를 그래프로 나타내었으며 이것을 비정상 온도차트라고한다.

<Midplane temperature>

<Temperature distribution>

<Heat transfer>

<Centerline temperature>

<Temperature distribution>

<Heat transfer>

<Midpoint temperature>

<Temperature distribution>

<Heat transfer>

Heisler 차트는 1961년 H.Grober에 의해 만들어진 비정상 차트를 이용하여

보강되었다. 개개의 기하학적 형상에 대해 세 가지의 차트가 있다. 첫 번째

차트는 주어진 시간 t에서 중심온도 T 0를 구하는 것이고, 두 번째는 같은

시간에 T의 함수로서 기타 다른 부위의 온도를 나타낸다. 세 번째 차트는

시간t까지의 총 열전달을 구할 수 있으며 이들 차트는 τ>0.2인 경우에 한해

유효하다.

물체의 온도는 초기온도 T i로부터 비정상 열전도가 끝날 때 주위온도 T ∞

까지 변하게 된다. 따라서 물체가 얻는 최대 열전달은 ( T i> T ∞인 경우에

는 열손실)물체의 에너지 변화량과 같다. 즉

max ∞ ρ∞ (kJ) (4-30)

여기서 m은 질량, V는 체적, ρ는 밀도, C p는 물체의 비열이다. 따라서

Q max는 t→∞일때의 열전달량을 나타낸다. 한정된 시간t에서의 열전달량 Q

는 당연히 이 최대치보다 적을 것이다.

열전달의 비율은 앞에서 설명한 단항근사해법에 의해 다음과 같은 관계식

으로도 구할 수 있다.

평면벽 : max

θ λsinλ

(4-33)

원통 : max

θ λλ

(4-34)

구 : max

θ λsinλλcosλ

(4-35)

Heisler/Grober 차트나 단항근사해법을 이용하기 위해서는 이 절의 처음에

명시하였던 다음 주건을 만족해야만 한다.: 초기에 물체의 온도는 동일해야

한다. 물체 주위의 온도와 대류열전달계수는 일정하고 또한 동일해야 한다.

물체 내부의 에너지 발생은 없어야 한다.

Fourier 수 τ의 물리적 의미를 이해하기 위해 이를 그림 4-18에 나타내었

다.

τ α ρ Δ Δ

적 인물체의열저장률체적 인물체에서길이까지의전도

Fourier 수는 물체의 열전도와 열저장의 상대적인 비를 나타낸다. 따라서

Fourier수가 큰 경우에는 열은 물체 속으로 빨리 전달하게 된다.

예제 4-3 달걀삶기

달걀은 보통 지름 5cm의 구로 생각할 수 있다. 초기온도가 5℃로 균일한 달

걀을 95℃의 끓는 물에 집어넣었다. 대류열전달계수 h=1200W/㎡ㆍ℃라고 할

때 달걀의 중심온도가 70℃가 되는데 걸리는 시간은 얼마인가?

sol)

[가정] 1. 달걀은 지름 5cm인 구이다.

2. 중심점에 대해 달걀은 대칭이기 때문에 전도는 1차원이다.

3. 달rif의 열물성치와 열전달계수는 상수이다. 4. fourier 수

τ>0.2이므로 단항해의 적용이 가능하다.

[물성치] 달걀의 수분함량은 74%정도이므로 달걀의 열전도도와

열확산계수는(5=70)/2 = 37.5℃의 물과 유사하다.

(k=0.627W/mㆍ℃, α=k/ρ C p=0.151× 10 -6㎡/s ,표 A-9)

[해석] 달걀 내부의 온도는 반경방향과 시간에 따라 변하며, 특정 위치에서

의 온도는 Heisler 차트나 단항해를 이용하여 구할 수 있다. 여기서

는 예로서 단항해를 사용한다.

Bi수는

℃

㎡ㆍ℃

0.1보다 매우 크기 때문에 집중계 해석은 적용 불가능하다.

구에서 이 Bi수에 해당하는 계수 λ 1와 A 1는 표4-1에서

λ 1=3.0753 A 1=1.9958

이다. 이들 값을 식 4-15에 대입하여 τ를 풀면

∞

∞

→

→

이것은 0.2보다 크기 때문에 단항해를 사용하여도

오차는 2%이내가 된다. Fourier수를 이용한 삶는 시간은

×

min

따라서 달걀 중심온도가 5℃에서 70℃가 되는 데는

약 15분 정도 소요된다.

예제 4-4 오븐에서 대형 황동판의 가열

어떤 생산공장에서 두께가 4cm이고 초기에 20℃로 균일한 온도에 있는 황

동판을 500℃로 우지되는 오븐 속으로 통과시킨다. 판은 오븐속에 7분 동안

머물게 된다. 대류와 복사를 합친 열전달계수 h=120W/㎡ㆍ℃일 때 오븐에서

나오는 판 표면의 온도를 구하라.

sol)

[가정] 1. 판에서의 열전도는 1차원

2. 판의 열물성치와 열전달계수는 상수

3. Fourier 수는 τ>0.2이므로 단항해법의 사용이 가능

[물성치] 실온에서의 황동의 물성치는 (표 A-3 참조)

k=110W/mㆍ℃

ρ=8530kg/㎥

=380J/kgㆍ℃

α=33.9× 10 - 6㎡/s

[해석] Heisler차트를 이용하여 구한다.

(판의 두께의 1/2) = L = 0.02m

ㆍ℃

ㆍ℃

× ㎡×

∞

∞

또한

∞

∞

그러므로

∞

∞∞

∞∞

∞ ×

∞∞ ℃

따라서 오븐에서 나올 때 표면 온도는 282℃이다.

예제4-5 긴 스테인레스 강과 원통축의 냉각

스테인레스 강304로 만들어진 지름 20cm인 긴 원통 모양의 축이 600℃의

오븐에서 나오고 있다. 축은 주위 온도 200℃이고 열전달계수 h=80W/㎡ㆍ℃

인 방에서 서서히 냉각된다. 냉각시작 45분 후 축 중심의 온도를 구하라. 또

한 이 기간 동안 축의 단위길이당 열전달을 구하라.

sol)

[가정] 1. 열전도는 1차원

2. 축의 열물성치와 열전달계수 일정 (상수)

3. Fourier 수 τ>0.2이기 때문에 단항근사해법이 유효

[물성치] 실내에서 스테인레스강 304의 물성치는

k=14.9W/mㆍ℃,

ρ=7900kg/㎥,

=477J/kgㆍ℃,

α=3.95× 10 - 6㎡/s

[해석] 축의 온도는 반지름 방향과 시간에 따라 변하며,

주어진 시간 및 위치에서의 온도는

Heisler 차트를 이용하여 구할 수 있다.

축의 반지름 r 0=0.1m이다.

ㆍ℃

ㆍ℃

× ㎡×

∞

∞

그리고

∞∞ ℃

따라서 축의 중심온도는 45분 후 600℃에서 360℃로 떨어진다.

실제의 열전달량을 구하기 위해서 우선 원통에서 주위로 전달되는

최대 열량(이 경우에는 감지에너지)을 구해야 한다. L=0.1이므로

max ∞ ㆍ℃℃

그림 4-14c에서 긴 원통에 대한 무차원 열전달비는 다음과 같이 결정된다.

max

이므로,

max ×

따라서 45분간의 냉각기간 동안 축에서의 총열전달량은 29,360kJ이다.

4.3 반무한 고체에서의 비정상 열전도

◆반무한 고체 :

그림 4-22와 같이 모든 방향으로 무한하게 긴 이상적인 단면 판.

(이러한 이상적인 물체는 표면의 온도변화가 한 방향에 국한될 때 사용.)

◆비정상 온도분포 :

1-θ(x,t)= 1-T(x,t)- T ∞

T i- T ∞

=T(x,t)- T i

T ∞- T i(4-21)

체 온도 표면온도 열전달계수

(해를 구하기 위해 그림 4-23 참조)

-무차원 온도, 변수 x/(2 αt)에 의해 여러 가지 변수 (h αt)/k에 대한 그래프-

◆1차원 비정상 열전도의 엄밀해 :

(초기온도 T로 균일한 반무한 물체가 t=0에서 대류에 갑자기 노출)

T(x,t)- T i

T ∞- T i

=erfc(x

2 αt)- exp(

hxk

+h 2αtk 2 )[er fc(

x2 αt

+h αtk

)] (4.22)

◆erfc( ξ) : 보충 오차함수 (complementary error function)

(4-23)

(표 4-3 참조)

h→∞, 표면온도 T s = 유체의 온도 T∞

(4-24)

예제 4-6 동파를 방지하기 위한 수도관의 최소 매설 깊이

기온이 0℃ 이하로 오랫동안 내려가 있는 지역에서는 지하에 매설된 수도

관의 동파가 문제가 된다.

어떤 지역이 3개월 동안 계속해서 -10℃의 눈으로 뒤덮여 있고 흙의 물성

치 k=0.4W/mㆍ℃, × 와 같다. 흙의 초기온도를 15℃라고 할

때 수도관이 얼지 않을 최소의 매설 깊이는 얼마인가? (동절기에 흙은 영하

의 차가운 공기에 대해 수도관의 단열재 역할을 한다.)

sol)

[가정] 1. 흑은 표면온도가 -10℃인 반무한체로 생각한다.

2. 흙의 열적물성치는 일정

[해석] 최소 매설 깊이에서 3개원 후 수도관 주위의 흙의 온도는 0℃이다.

∞ (h→∞이므로)

∞

∞

t=(90day)(24h/day)(3600s/h)=7.78× 10 6s

그래서

× × ×

따라서 도관은 겨울철 혹독한 날씨에서 얼지 않으려면 최소

77cm깊이에 매설해야 한다.

예제 4-7 가열된 블록의 표면온도 상승

20℃의 검은색 페인트가 칠해진 두꺼운 나무 블록이 1250W/㎡의 일정한 태

양열에 노출되어 있다. 20분후에 블록의 표면온도를 구하여라. 블록의 재질

이 알루미늄이라면 표면온도가 어떻게 달라질 것인가?

sol) [가정] 1. 태양복사로 입사되는 에너지는 블록에 모두 흡수됨

2. 블록의 열손실 무시

3. 반무한체로 가정할만큼 블록이 충분히 두껍고, 물성치는 상수

[해석] 일정한 표면 열유속과 온도 조건이 주어진 반무한체의 비정상

열전도에 대한 것으로, 다음과 같이 표현 할 수 있다.

주어진 값들을 수식에 대입하여 나무와 알루미늄에 대한 표면온도를

구할 수 있다.

·

× ×

알루미늄에도 똑같은 식을 적용하면

·

× ×

4.4 다차원에서의 비정상 열전도

product solution이라고 불리는 중첩 접근방법을 적절하게 사용하면, 짧은

원통, 긴 사각 막대기, 반무한 원통이나 평판에 대한 2차원 온도분포를 구할

수 있으며 사각 기둥이나 반무한 사각 막대기와 같은 3차원 문제도 해결할

수 있다. 그러나 이 경우 모든 물체 표면은 동일한 온도 T인 유체에 노출되

어야 하며, 동일한 열전달계수 h 그리고 내부 열발생이 없는 경우에는 3차원

문제도 다룰 수 있다.

초기온도 T i, 높이 a, 반지름 r 0인 짧은 원통을 생각하자. 원통 내부에서

열발생은 없다. 시간 t=0에서 원통은 온도가 T ∞이고 열전달계수가 h인 조

건으로 대류에 노출되어 있다. 원통에서 열전달은 상부, ㅏ부, 그리고 측면

표면 모두에서 발생하기 때문에 내부의 온도는 r와 시간 t뿐만 아니라 x에

대해서도 바뀔 것이다. 즉 T=T(r,x,t)가 되며 2차원 비정상열전도 문제가 된

다. 물성치가 일정할 때, 2차원 문제의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있다

(T( r ,x,t)- T ∞

T i- T ∞

)shor tcyl.

= (T(x,t)- T ∞

T i- T ∞

)planewall

(T( r ,t)- T ∞

T i- T ∞

)∞initecyl.

(4-25)

높이 a, 반지름 r 0인 2차원 짧은 원통의 해는 두께 a인 평면 벽과 반지름

r 0인 긴 원통에 대한 각각의 1차원 문제에 대해서 얻어진 각각의 무차원

해를 서로 곱한 것과 같다는 것이다. 다차원 기하학적 형상의 해는 이들의

교차가 다차원에서 이루어지는 1차원 해를 곱함으로서 얻을 수 있다.

편의를 위해 1차원 해를 다음과 같이 나타낸다.

∞

∞

∞

∞∞ (4-26)

i f ∞∞

i f예를 들어 단면적이 a×b인 긴 고체 막대기의 해는 두께가 a, b인 두 개의

무한 평판에 대한 해를 이용하여 구할 수 있으며, 따라서 이 사각 막대기의

비정상 온도분포는 다음과 같다.

∞

∞ (4-27)

표4-4에 다른 기하학적 형상에서 product solution을 구하는 방법을 나타내

었다. 여기서 주의할 점은 x축은 반무한 물체의 표면에서부터 그리고 평면벽

의 중심에서부터 택하였다. 또한 반지름방향 거리 r은 항상 중심에서 시작한

다. 또한 2차원 문제는 두 개의 1차원 해를 곱하여 구할 수 있으며, 3차원

문제는 세 개의 1차원 문제의 해를 곱하여 얻어진다.

두 개의 1차원 형상 1과 2가 서로 교차하여 생긴 2차원 형상에 대한

비정상 열전달은

max

max

max

max

(4-28)

세 개의 1차원 형상 1, 2, 3이 교차하여 생성된 3차원 형상에 대한 비정상

열전달은

max

max

max

max

max

max

max

(4-29)

예제 4-8 짧은 황동 원통의 냉각

지름 10cm, 높이 12cm 그리고 초기온도 120℃인 짧은 황동 원통이 있다.

25℃의 대기에 원통이 노출되어 있고, 이 때 열전달계수 h=60W/㎡ㆍK이다.

노출 15분 후에 다음의 온도를 계산한다. (a)원통 중심의 온도, (b)원통 상부

표면의 중심부 온도.

sol) [가정] 1. 2차원 -온도는 축방향과 반지름 방향으로 변한다.

2. 원통의 물성치와 열전달계수는 일정

3. Fourier 수(τ)>0.2 이므로 단행근사해법을 적용할 수 있다.

[물성치] 상온에서 황동의 물성치는 k=110W/mㆍ℃, α=33.9× 10 - 6㎡/s

[해석] (a) 이 짧은 원통은 그림과 같이 반지름 r 0=5cm인 긴 원통과

두께 2L=12cm인 평판으로 구성되었다. 평판 중심의 무차원 온도를 구

하면

×

㎡ㆍ℃

ㆍ℃

∞

∞

원통의 중심에서는

× ㎡

㎡ㆍ℃

ㆍ℃

∞

∞

그러므로

∞

∞ × ×

∞∞ ℃

따라서 짧은 원통중심온도(긴 원통과 평판의 중심온도)는 63℃이다.

(b) 원통 상부의 중심은 긴 원통의 중심과 동일하지만(r=0), 평판의 외

부표면이 되기도 한다(x=L). 따라서 우선 벽의 표면 온도를 구하면

x=L=0.06 이므로

ㆍ℃

ㆍ℃

∞

∞

∞

∞ ∞

∞∞

∞

×

∞

∞

×

∞∞ ℃

따라서 원형 상부 중심에서의 온도는 62.2℃이다.

예제 4-9 짧은 원통에서의 열전달

앞에 예제 4-8에서 다뤘던 짧은 황동 원통(ρ=8530kg/㎥, C p =0.380kJ/kg

ㆍ℃)에 대하여 총열전달량을 구하라.

sol) 원통으로부터 주위로 전달되는 최대 열전달을 구하면

max ∞ ℃℃

모든 형상에 대하여 무차원 열전달비를 구하여라. 먼저 평판에 대해서는

max

i f

이와 유사하게, 원통에 대해서 계산하면

max

i f

식 4-28로부터 짧은 원통의 열전달비를 구하면

max

max

max

max

= 0.23+0.47(1-0.23)=0.592

처음 15분 동안 원통으로부터의 총 열전달량은 171.8kJ이다.

max ×

예제 4-10 물에 위한 긴 원통의 냉각

지름 20cm, 초기온도가 균일하게 200℃인 반무한 알루미늄 원통이 있다. 원

통을 15℃ 물 속에 집어넣었으며 이 때 열전달계수 h=120W/㎡ㆍ℃이다. 냉

각이 시작된 5분 후, 끝에서 15cm 떨어진 원통 중심의 온도를 구하라.

sol) [가정] 1. 2차원: x축 방향과 반지름 r방향 2. 물성치, 열전달계수 일정

3. Fourier 수 τ>0.2이므로 단항 근사해 적용.

[물성치] 알루미늄의 물성치는 k=237W/mㆍ℃, α=9.71× 10 - 6㎡/s

[해석] 무한히 긴 원통의 Bi수는

℃

㎡ㆍ℃

표 4-2로부터 λ 1=0.3126, A 1=1.0124 가 된다. 이 값을 4-27에 대입하면

이 경우 Fourier 수는

× ㎡×

τ>0.2보다 크므로 단항해를 사용하여 반무한체의 해를 구하면

i f

exp

괄호 안의 값들을 산출하면

×㎡×

℃

㎡ㆍ℃ × ㎡

ㆍ℃㎡ㆍ℃

위의 값을 대입하여 표 4-4 보충 오차 함수를 구하면

∞ = 1-erfc(0.44)+exp(0.0759+0.0074)erfc(0.44+0.086)

= 1-0.5338+exp(0.0833)×0.457

= 0.963

product solution을 적용하면

∞

∞∞

∞

×

T(x,0,t) = T ∞+0.734( T i- T ∞)=15+0.734(200-15)=151℃

따라서 노출된 밑면에서 15cm 상부면의 중심온도는 151℃이다.

예제 4-11 얼지 않게 스테이크를 냉각하기

육류가공 공장에서 5 ℉로 유지되는 커다란 냉장실에서 초기온도 75℉인 1

인치 두께의 스테이크를 냉각시키고 있다. 스테이크들은 서로 가까이 놓여

있기 때문에 1인치 두께의 모서리 영향은 없는 것으로 간주한다. 스테이크는

45℉까지 냉각하려고 하고 있지만 고기부위에 얼음이 맺히는 것을 방지하기

위하여 어느 부분이든 온도는 35℉이상이 되어야 한다. 대류열전달계수, 다

시말해 열전달률은 냉동실에 장치된 공기순환 홴의 속도를 변화시켜 조정한

다. 냉동시간을 최소화하면서 앞에서 말한 두 가지 온도조건을 만족시키는

열전달계수 h는 얼마인가?

스테이크는 ρ=74.9lbm/ft3, C p=0.98Btu/lbmㆍ℉, k=0.26Btu/hㆍftㆍ℉, α

=0.0035ft2/h 인 물성치를 갖는 균일체로 생각할 수 있다.

sol) [가정] 1. 1차원 열전도도 2. 스테이크의 물성치와 열전달계수는 일정

3. fourier 수 τ>0.2이기 때문에 단항해를 사용한다.

[해석] 스테이크는 표면의 온도가 가장 낮을 것이며, 중심의 온도는 냉

각에 시간이 걸리므로 가장 높을 것이다. 주변부 온도 –15℃인 냉동기

내에서 중심으로 떨어진x=L=1.5cm인 표면의 온도 2℃ , 스테이크 중심

부의 온도는 8℃를 유지해야 한다.

∈

∞

∞

ㆍ℃

ㆍ℃

따라서 구하고자 하는 열전달계수는 h=20W/㎡·℃이다.

예제 4-12 육류 가공 공장에서의 쇠고기 냉각

육가공 공장의 냉각실 크기는 × × 이고 450마리의 쇠고기를 처

리할 수 있다. 냉각실의 팬과 전등에 소요되는 전력은 각각 26kW, 3kW이고

방의 벽면으로 들어오는 열은 13kW이다. 쇠고기의 평균 질량은 285kg이다.

증발냉각을 위해 물에 씻은 직후 냉각실에 입고되는 쇠고기의 평균온도는

36℃이고 10시간 동안 15℃까지 냉각된다. 물의 증발률은 0.080kg/s이다. 공

기는 냉장시스템에 0.7℃로 유입되어 –2℃로 유출된다. 증발기의 공기 쪽

부분은 많은 팬이 장착되었으며 증발기 공기 쪽의 열전달계수는 20W/㎡·K

이다. 또한 공기와 증발기 냉매와의 평균 온도차는 5.5℃이다. (a) 냉각실의

냉장부하, (b) 공기의 체적유동률, (c) 증발기의 모든 증기와 안개는 언다고

생각하고, 공기쪽 증발기의 열전달면적을 구하라.

sol) [가정] 1. 물은 0.080kg/s 속도로 증발 2. 공기중의 모든 습기는 증발기

에서 얼게된다.

[물성치] 0℃물의 응고열과 증발열은 각각 333.7kJ/kg과 2501kJ/kg(표

A-9), 0℃에서의 공기의 밀도와 비열은 1.292kg/㎥, 1.006kJ/kg·K(표

A-15), 쇠고기의 비열은 표 A-7b의 관계로부터

×

× ·

[해석]

(a) 냉각실 구조가 그림4-56에 제시되어있다. 단위 시간당 냉각해야 할

쇠고기의 질량은

×

냉장부하는 쇠고기를 3.56 kg/s의 속도로 36℃에서 15℃로 냉각하는 데

필요한 에너지라고 생각할 수 있다.

·℃

냉각실의 총 냉장부하는

각실

따라서 냉각실의 냉장부하는 277kW이다

물의 증발냉각에 의한 소고기의 양은

200/235=85이므로, 총 생산 냉각부하의 85%를 차지한다. 나머지 15%의

열은 대류와 복사에 의한 것이다.

(b) 277kW만큼의 열이 공기로 전달되고, 이로 인해 공기 온도는 –2℃

에서 0.7℃로 상승한다. 그러므로 공기의 질량유량은

·℃

이때 공기의 체적유량은

따라서 공기의 체적유동률은 78.9㎥/s 이다.

(c) 액체 상태로 증발기에 주입되는 물이 –2℃로 냉각되며 얼기 때문

에, 증발기에서는 응고 잠열도 함께 제거해야 한다. 응고잠열은

증발기에서 제거하는 총 열전달은

냉각실

이때 공기쪽 측면에서 증발기의 열전달 면적은

이므로

·℃

따라서 공기 쪽 측면에서의 열전달 면적은 2764㎡이다.