Chapitre6.Exe

8/18/2019 Chapitre6.Exe

1/24

B- Poutres en t re i l l i s ar t icu lés 119

6.4 EXERCICES

Calculer les moments aux appuis et les réactions et tracer les

diagrammes du moment fléchissant et de l'effort tranchant des

poutres continues ci-dessous.Exercice 6.1

Exercice 6.2

Exercice 6.3

Exercice 6.4

(0)

(0)

2I

l=4m

2I

l=4m

I

l=4m

I

l=4m

3I

l=4m

3I

l=4m

(1)

(1)

(2)

(2)

P=12t

l=4m

P=12t

l=4m

q=4.5t/m

l=4m

q=4.5t/m

l=4m

q=2t/m

l=4m

q=2t/m

l=4m

12m

l=4m

12m

l=4m

4m

l=4m

4m

l=4m

4m

l=4m

4m

l=4m

4m

l=4m

4m

l=4m

(3)

(3)

EI=Cte

3m

EI=Cte

3m

8m

3m

8m

3m

6m

3m

6m

3m

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

(4)

(4)4m

3m

4m

3m

2m

3m

2m

3m

P=5t

3m

P=5t

3m

3m

3m

3m

3m

3m

3m

3m

3m

5m

3m

5m

3m

P=2t

3m

P=2t

3m

q=1t/m

3m

q=1t/m

3m

C=4tm

3m

C=4tm

3m

(2)

3m

(2)

3m

(3)

3m

(3)

3m

(1)

3m

(1)

3m

EI=Cte

3m

EI=Cte

3m

2m

3m

2m

3m

2m

l=4m

2m

l=4m

EI=Cte

EI=Cte

q=1t/m

l=4m

q=1t/m

l=4m

q=1t/m

l=4m

q=1t/m

l=4m

C=3tm

l=4m

C=3tm

l=4m

(0)

l=4m

(0)

l=4m

(1)

l=4m

(1)

l=4m

(2)

l=4m

(2)

l=4m

3m

l=4m

3m

l=4m

3m

l=4m

3m

l=4m

2m

l=4m

2m

l=4m

2m

l=4m

2m

l=4m


2/24


Exercice 6.5

Exercice 6.6

Exercice 6.

Exercice 6.!

P=2t

P=2t

(2)

(2)1m

l=4m

1m

l=4m

3m

l=4m

3m

l=4m

2m

l=4m

2m

l=4m

(1)

(1)

(0)

(0)

C=4tm

C=4tm

q=6t/m

q=6t/m

EI=Cte

EI=Cte

EI=Cte

EI=Ctel

l

P=ql/2

P=ql/2

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

q

q

l/2

l=4m

l/2

l=4m

l/2

l=4m

l/2

l=4m

EI=Cte

EI=Cte1

l=4m

1

l=4m

l/2

l=4m

l/2

l=4m

l/2

l=4m

l/2

l=4m

(1)

(1)

P=ql

P=ql

(4)

(4)

(3)

(3)

q

q

q

q(2)

(2)

l

l=4m

l

l=4m

A

A

C

C

D

D

E

E

1.5t/m

1.5t/m

1.5t/m

1.5t/m

F 2=4.8t

F 2=4.8t

2.8t/m

2.8t/m

F 1=2.375t

F 1=2.375t

2.8t/m

2.8t/m

2m

l=4m

2m

l=4m

1m

l=4m

1m

l=4m

1m

l=4m

1m

l=4m

5m

l=4m

5m

l=4m

7m

l=4m

7m

l=4m

3m

l=4m

3m

l=4m

B

l=4m

B

l=4m


3/24


4/24


,oit la poutre représentée ci-dessus dont la rigidité fléxionnelle est

constante et &aut 1200 tm2.

1% uelle &aleur faut-il donner ( 1 pour ue les moments en A et B soient égaux.

2% /renons 1=4 m. 0n demande de )

2.1% tracer les diagrammes de % et de & #

2.2% calculer la rotation de la section B#

2.3% calculer la flche de l'extrémité lire de la poutre.

3% "a mme poutre est lire de toute charge mais son appui B suit

un affaissement de 20 mm. Calculer le moment ui apparat dans

l'encastrement.

Réponses :

Exercice 6.1 ) % 1=1.6 tm % 2=1.3 tm % 3=4.0 tm

R1=1.04 t R2=2.12 t R3=3.03 t.

Exercice 6.2 ) % 0=2.0 tm % 1 * =0.5 tm % 1

+ =2.5 tm % 2=2.0 tm

R0=2.5 t R1=2t R2=3.5t.Exercice 6.3 ) % 1=0.27 tm % 2=0.54 tm % 3=2.16 tm

R1=0.10 t R2=0.55 t R3=3.4 t R4=8.04 t.

Exercice 6.4 ) % 1=25.6 tm % 2=5.5 tm % 3=6.2 tm

R0=. t R1=22.6 t R2=12.3 t R3=.2 t .

Exercice 6.5 ) % 0=2.0 tm# % 1 * =1.3 tm# % 1

+ =2.7 tm# % 2=1.7 tm#

R0=3.11 t R1=5.3 t R2=5.50 t.

Exercice 6.6 ) % 1=17ql 2 /12 % 2=14ql

2 /12 % 3=11ql 2 /12

R1=ql/12 R2=3ql/12 R3=45ql/12.

Exercice 6. ) % 1=117ql 2 /72 % 2=4ql

2 /72

R1=51ql/72 R2=15ql/72.Exercice 6.! ) % B=11.5 tm % C =10. tm % D=1.4 tm

R B=16.761 t RC =1.327 t R D=8.737 t.

Exercice 6.* ) % 1=7.35 tm % 2=5.31 tm % 3=20.00 tm

R1=10.51 t R2=15.54 t R3=20.5 t.

Exercice 6.1+ ) % 1=q$2 /52 % 2=2q$

2 /52 R3=7q$2 /52 R4=

28q$/52.

R1=3q$/52 R2=12q$/52 R3=42q$/52

R4=85q$/52.Exercice 6.11) % 0=0 % 1=548.4 ,*m % 2=443.0 ,*m % 4=8.4

,*m

R0=4.00 t R1=11.10 t R2=34.5 t R3=25.5 t.

Exercice 6.12 ) 1=3 m % A=1125 ,*m % &m$=72 ,*m (=4.42

m)

(1)

(1)

(3)

(3)

(2)

(2)1

l=4m

1

l=4m

1

l=4m

1

l=4m

1

l=4m

1

l=4m


5/24


% B=3600 ,*m R A=884.1 ,* R B=2 615. ,*

γ B=0.003726 -+ =2.6 #m % e#=578 ,*m.,ignes ) "es poutres considérées étant toutes horiontales# un moment positif

signifie ue les fires inférieures sont tendues# et in&ersement. ne réaction

&erticale positi&e est orientée &ers le haut. /our les déplacements# une rotation

est positi&e si la section tourne dans le sens horlogiue alors u'une flche est

positi&e uand le déplacement se fait &ers le as.

6.5.4 Exercices

Exercice 6.13 ) /outre en .

7éterminer les efforts dans les arres sui&antes) 5-6 8 5-* 8 6-* 8 *-13 8 12-13.

R. 56 =5.44 t 5=0.1 t 6=0.26 t 13=0.26 t 1213=5.44 t .

Exercice 6.14

Calculer les efforts dans les arres.

R. 1= 12=1.5 t 2= 3= 11=2.5 t 4= 8=2.7 t 5=0.75 t 6 =1.25 t 7 = 10= 13=0 =0.5 t.

Exercice 6.15

Calculer les efforts dans les arres ( l'aide du tracé de Cremona.

$ $ $ $ $ $=2m $ $

$

$

1

23 4 5 6

7 8

10 11 12 13 12'

'

5' 4'

8'

11'

F 1=6t F

2=3t

13

3m

3m

11 1210

45

1

6 7 8

32

2m 4m 2m

2t

2t


6/24


R. )

0n trace )

⇒

⇒

53

45 7e/7 )5(

3+e $-t- 8(53)CE 8 P$-$ll9le4)

4+e $-t- 8(45)CD8 P$-$ll9le )3

43

14 7e/7 )4(

3+e $-t- 8(43) AC 8 P$-$ll9le )2

1+e $-t- 8(14) AD8 P$-$ll9le )1

(1)(2)

$3)

(4)5 :14:

2

3

1

4

6m4m

4m 4m 4m

P=20t F 12

41

26

65 54

53

45

34

C E

B A

1 2

6 5

4

3

D

14

43


7/24


Exercice 6.16

7éterminer les efforts dans les arres numérotées de 1 ( 3.

R. 1=3.86P 2=2.45P 3=4.46P .

Exercice 6.1

F 31=10 t

F 23=10 t

6m4m

4m 4m 4m

P=20t F 12

41

26

65

54

53

45

34

C E

B A

1 2

6 5

4

3

D

14

43

P

$

$

1 2

3

$

30;


8/24


7éterminer les efforts dans les montants 1# 2 et 3 ainsi ue

l'expression générale donnant l'effort m dans le montant courant m.

R. 1=0 2=P/2 3=P m=P(m1)/2.

$ $ $ $ $ $ $

m3 2

α 1

P P P P P P P


9/24


6.6 SYSTÈMES HYPERSTATIQUES EN TREILLIS ARTICULÉS

9ous allons maintenant appliuer la méthode générale des forces

au calcul des s:stmes h:perstatiues en treillis articulés.

9ous a&ons &u ue le degré d':perstaticité est égal ( ) < b l = + − 2

b ; nomre de arres

l ; nomre de liaisons

; nomre de n


10/24


@insi dans l'exemple cité# les éuations de continuité s'écri&ent )

δ δ δ

δ δ δ

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0

0

= > >

> >

=

F

= =

F

+ + =

+ + =

"es coefficients δ 5?=

et δ F se calculent par les formules &ues

précédemment c'est-(-dire )

δ ?= , ,?

, l ,

b

EA+

,

= ∫ ∑=

( )1

δ F ,F ,

, l ,

b 4

EA+

,

= ∫ ∑=

( )1

,i EA est constante pour chaue arre# il &ient )

δ ?= , ,?

, ,

,

b

EAl =

=

∑( )

1

δ F ,F ,

, ,

,

b 4

EAl =

=

∑ ( )1

oA )

b ; nomre de arres

l , ; longueur de la arre ,

6.6.2 Poutre en treillis avec montants et diagonales croisées

Chacun des panneaux du s:stme comporte une diagonale

suraondante. "e s:stme fondamental $isostatiue% s'otient en

effectuant des coupures dans les diagonales suraondantes."es efforts 1(> 1 ) @ ,1 , ,1 @ dans les diagonales

sectionnées s'otiennent ( partir des éuations générales. "e

s:stme d'éuations s'écrit )

δ δ δ δ δ δ δ

δ δ δ

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 1

0

,

, ,

, ,

,

F

,

,

,,

+ + + + + + + + =

+ + +

− − + +

−

.. . .. .

..............................................................................................

.. . , ,,

, ,,

, ,

,F

,

, ,

, ,

,

− + +

− − + +

+ + + + + =

+ + + + + + +

1 1 1

1 1 2 2 1 1 1 1

0δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

.. .

..............................................................................................

.. . .. . F + =

δ 0

?ntéressons-nous ( la , 9me éuation $relati&e ( la diagonale , %.

Figure 6.3

1 =


11/24


δ δ δ δ δ δ δ ,

,

,,

, ,,

, ,,

, ,

,F 1 1 2 2 1 1 1 1 0+ + + + + + + + =− − + +.. . . ..

"e coefficient général δ ,= est donné par )

δ ,5 -, -5

- -

-

b

EA l ==∑

.

( )1

-, ; effort dans la arre courante - sous l'action du couple de forces unitaires

appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale , .

- ; effort dans la arre courante - sous l'action du couple de forces unitaires

appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale .

0n montre aisément ue les forces unitaires appliuées aux l&res d'une

coupure uelconue n'introduisent des efforts ue dans les six arres appartenant

au panneau correspondant.

@insi le coefficient δ ,= sera nul ds ue , diffre de de plus d'une

unité.

"'éuation générale de continuité s'écrit donc )

δ δ δ δ ,,

, ,,

, ,,

,F − − ++ + + =1 1 1 0

Brois efforts normaux apparaissent dans cette éuation d'oA son

nom de -mle +e t- .

"es coefficients δ δ , , =

,, =

−1 et δ ,, =

+1 sont otenus ( partir des

expressions simples sui&antes )

,1

=1

1

1 m ' 1 m

($)

, =1

m A 11

1 m

(b)

,1

=1

m A 1 1

1

(#)

Figure 6.3!


12/24


δ ,, m, m,

mm

EAl −

−=1

1.

( )

δ ,, = -,

- -

-

b

EA l = ≠=∑

2

1 ( ) (6 te-me 0)

δ ,, m , m ,

mm

EAl +

+ + +

+

+=11 1 1

11

.

( )

m, ; effort dans le montant m sous l'action des sollicitations

unitaires appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale , .

m,1 ; effort dans le montant m sous l'action des sollicitations

unitaires appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale ,1.

m1 , ; effort dans le montant m1 sous l'action des sollicitationsunitaires appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale , .

m1 ,1 ; effort dans le montant m1 sous l'action des sollicitations

unitaires appliuées aux l&res de la coupure de la diagonale ,1.

/our δ ,, = # il : a les six arres des panneaux correspondant ui

inter&iennent.

E-t -m$l tt$l

> , ,F 5 ,55


13/24


1re méthode ) on supprime l'appui intermédiaire.

Euation de continuité )

δ δ 11 1 1 0

F > + =

a&ec )

δ 111

2

1

7

12

1

7 1= ,

, l ,

, ,

,

EA+

EA l

,

= =∫ ∑ ∑= =

( )

et )

δ 11

1

7

1

1

7 1

F ,F ,

, ,

,F , ,

,

4

EA+

EA 4 l = =∫ ∑ ∑

= =( )

. .

Calcul des efforts dans les arres.a% Efforts ,F

@ppliuons la méthode des n


14/24


Σ

Σ

F P

F

P

F

F F

F F

= ⇔ + =

⇒

= ⇔ + =

⇒ = − =

0 2 0

0 2 0

2

1

2 1

2 1

/

/

/

= P 2

1F

/ar s:métrie on a ) F F F F 1 1 2 2= =' ' et

• 9


15/24


1 a D 2 E@ −/ 2 2 2D −a/ 2 2 a 2 4 +.!2!/ -+.5!6/

2 a / -1D2 -a/D2 aD4 -+.5!6/ +.414/

3 a D 2 +-

2 2D+ a 2 4 -+.!2!/ -+.!2!/

4 a -/ 1 a/ a 1.12/ +.12/

1' a D 2 −/ 2 2 2D −a/ 2 2 a 2 4

2' a / -1D2 -a/D2 aD4

3' a D 2 +-

2 2D+ a 2 4

∑ − +$P( 2a$2 2

2

"es coefficients δ 11= et δ 1F s'otiennent par sommation sur les

colonnes correspondantes. "es sommes otenues sont ensuite

di&isées par EA.

"'éuation de continuité s'écrit alors )1

22 2 3

12 2 01

EA

$ >

EA$P( ( ) )+ − + =

d'oA ) > P 12 2 2

2 2 3=

+

+

( ) > P 1 1172= .

"'effort total , dans la arre , s'otient par addition des efforts dus

( F $sollicitation gloale externe% et aux inconnues > .

4 4 > , ,F ,

= +=

∑ .1

?l est pratiue d'a=outer les deux dernires colonnes du taleau

comme indiué.

2me méthode ) on effectue une coupure dans la arre 4 $Figure 6.32%.


16/24


"'éuation de continuité ne change pas ) δ δ 11 1 1 0

F > + =

/our déterminer les coefficients δ δ 11 1

F et il faut calculer les

efforts dans les arres sous l'action de la sollicitation unité > 1;1 et

des forces P $sollicitation générale externe%.a% Efforts ,F $effort dans chaue arre sous l'action des charges extérieures%.

- "a arre 4 ui est sectionnée n'inter&ient pas dans ce cas.

- 0n a deux s:stmes isostatiues s:métriues.

Σ F P F = ⇒ = −0 21 / et par s:métrie 1F = 3F P

P/2 P/2

1 3

2

P/2

1F

2F

45;

31

".F.

2

4

3' 1'

2'

($)

P P

".E.

> 1

(b)

Figure 6.32

P P

R=P/2 R=P R=P/2

Figure 6.33


17/24


En résumé# on a ) 4 4 4 4 P

4 4 P

F F F F

F F

1 3 1 3

2 2

2

2

= = = = −

= =

' '

'

/

/ % Efforts ,

• 9

1=1

13

2 1 1

1/2 1/2 1/2 1/2

1'

2'

3'

Figure 6.34

(b)

B B'

> 1=1 >

1=1

A A' C

R A=1/2 RC =1 R A' =1/2


18/24


Σ F

= ⇔ − + + =

⇒ = −

02

2

1

21

20

2 2

31

31

( )

/

En utilisant la s:métrie on peut résumer les efforts )

11 1 1 21 2 1

31 3 1 41

2

2

1

2

2

21

= = = = −

= = − =

' '

'

)arre l !E"# $ % ni $ % .ni .l n2i l ni .& i

$ * % (ni & i

1 a D 2 E@ − P / 2 2 2D −$P 2 4 a 2 4 +.121/ -+.5!6/

2 a /D2 -1D2 -a/D4 aD4 -+.+!6/ +.414/

3 a D 2 − P / 2-

2 2D

$P 2 4 / a 2 4 -+.121/ -+.!2!/

4 a + 1 + a +.12/ +.12/

1' a D 2 − P / 2 2 2D −a/ 2 4 a 2 4

2' a /D2 -1D2 -a/D4 aD4

3' a D 2 − P / 2-

2 2D$P 2 4 a 2 4

∑ -a/D2 a$2 2

2

145;

0;

31

B


19/24


δ 11= et δ 1F étant connus# on peut calculer > 1

> P

1

2 2 3

=

+# > P 1 0 172= .

0n peut &érifier ue les efforts dans les arres sont exactement

ceux trou&és a&ec la premire méthode.

6.6.6 Exercice

Calculer les efforts dans les arres de la poutre représentée.

,olution

Euations canoniues du s:stme )

δ δ δ

δ δ δ

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0

0

F

F

> >

> >

+ + =

+ + =

A B

l

l l l

1

2

3

4

5

6

7

8

10

P P

".F.

".E.

> 2

> 1

P P


20/24


1- Efforts ,F

• 9


21/24


• 9


22/24


Σ

Σ

F

F

= ⇒ =

= ⇒ =

0 0

0 1

11

21

et par s:métrie

1 1010 1= = D 9.. ) 51 = 0# car la arre 5 est coupée.

• 9


23/24


,eules les arres du panneau central supportent des efforts

différents de + $dé=( montré précédemment%. 12 22 2 102 0= = = =

• 9


24/24


Calcul des coefficients

δ

δ δ

δ

δ

δ

111

2

1

10

12 211 2

1

10

222

2

1

10

11

1

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@prs simplification# les éuations canoniues s'écri&ent )

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