Chapitre 5

Volumes de solides de révolution

Objectifs Être capable d’utiliser l’intégrale définie afin de calculer

Un volume de solides de révolution :

Méthode des disques

Méthode des beignes ou anneaux

Méthode des tubes

2

3.1 Volume d’un solide de révolution

Définition d’un solide de révolution Solide engendré par la rotation d’une région plane autour d’un axe de

révolution. Volume à visualiser Méthode

Observation représentation de la région, de l’axe de révolution et d’un rectangle

type. Ce rectangle type engendrera un disque, un tube ou un anneau

(beigne) selon sa disposition par rapport à l’axe de révolution. Le volume de chaque disque, tube ou anneau type donne une

approximation du volume d’une portion du solide de révolution. Mathématisation

Calcul d’un volume élémentaire ΔVi .

Calcul de l’élément différentiel dV. Calculs

Recherche des bornes d’intégration Calcul du volume en utilisant le théorème fondamental du calcul.

1lim d

n b

in ai

V V V

3

3.2 Méthode des disques

Introduction L’axe de révolution est une frontière de la région plane. La longueur du rectangle type est perpendiculaire à l’axe de révolution

et elle correspond au rayon du disque Méthode dans le cas

Observation

ri =distance entre la courbe et l’axe de rotation

ΔE= épaisseur = (Δx ou Δy)

MathématisationComme ΔVi = π ·ri

2 · ΔE alors dV= π ·r2 ·dE

Calculs:

2

1lim d d

n b b

in a aiV V V r E

x

f

a b

y

f(ci)

ci

ΔE

xa b

y ri

ΔE

r

4

Exemple

33 3

1 1 1

3

d d2

9 14 u

2 2

xV V x x

( ) d

d ( ) d

d

r f x x dE x

dV r x x x

x x

Soit la rotation autour de l’axe des x de la surface bornée par:

0 et entre les droites =1 et =3.y x et y x x

b

a

V r dE

x

f

1 3

y

f(ci)

ci

Δx

r

5

Méthode des tubes

2tubeV Rh E hR

E

Les rectangles sont parallèles à l’axe de rotation

La révolution du rectangle autour de l’axe de rotation génère alors un tube

1

2n

total i ii

V R h E

RE

h

6

Volume du solide

2b

a

V RhdE 1

lim 2n

total i in

i

V R h E

hR

E

où

R: rayon du tube (distance entre le rectangle et l’axe de rotation)

h: hauteur du tube (hauteur du rectangle)

dE: élément différentiel d’épaisseur du tube (dx ou dy)

7

2y x

y x

dE

R H

1

2

0

2V x x x dx

21 2

2

3 2 3

d

2 d 2 ( )d

2 ( )d

R x dE x

h y y x x

dV R h x x x x x

x x x

Soit la rotation autour de l’axe des y de la surface bornée par:2y x et y x

2b

a

V RhdE

13 2 3

0

2 x x dx 15 2 4

0

25 2 4

x x

2 12 0

5 4

33

10u

Exemple