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Chapitre 5 : Proportionnalité
I) Activité
II) Proportionnalité et représentation graphique
Repère : un repère est composé
• de 2 axes perpendiculaires :
• les abscisses (horizontal)
• les ordonnées (vertical)
• d’une origine
• d’une échelle (que l’on indique pour chaque axe)
1) Représentation graphique
Coordonnées :
chaque point d’un graphique est repéré par ses coordonnées.
On note : 𝐴 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝐴; 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝐴 .
Ordonnée de A
Abscisse de A
On note 𝑨 (𝟑, 𝟒 ; 𝟑, 𝟏)
Exemple : construire un repère (en choisissant judicieusement
les échelles) pour représenter le tableau ci-dessous.
Nombre de t-shirt 1 3 8
Prix (en €) 7,50€
75€
30€
Constat :
• Tous les points sont alignés
• Si on prolonge la droite elle passe par l’origine
2) Proportionnalité
Le graphique d’une situation de proportionnalité est une
droite qui passe par l’origine du repère.
Inversement, si un graphique représente des points alignés
avec l’origine, alors il représente une situation de
proportionnalité.
III) Quatrième Proportionnelle
Dans une situation de proportionnalité, la quatrième
proportionnelle est le quatrième nombre (noté 𝑥) calculé à partir
des 3 autres nombres déjà connus (𝑎, 𝑏 et 𝑐).
𝒂 𝒄
𝒃 𝒙? On a :
𝑏
𝑎=
𝑥
𝑐
Donc (produit en croix) :
𝑎 × 𝑥 = 𝑏 × 𝑐
Exemple :
5 baguettes de pain coûtent 4,25€. Combien vais-je payer
pour 3 baguettes ?
Méthode 1 : je reviens à l’unité.
5 baguettes coûtent 4,25€, donc 1 baguette coûte
4,25
5= 0,85€
Donc 3 baguettes vont coûter :
0,85€ × 3 = 2,55€
Méthode 2 : j’utilise la quatrième proportionnelle (produit en
croix).
Nombre de baguettes 𝟓 𝟑
Prix en euros 𝟒, 𝟐𝟓€ 𝒙?
5 × 𝑥 = 3 × 4,25 donc
𝑥 =
3 × 4,25
5= 2,55€
IV) Applications
1) Vitesse
Si un mobile parcourt une distance 𝑑 en un temps 𝑡 alors :
la vitesse moyenne 𝑣 de ce mobile est 𝑣 =𝑑
𝑡
Remarque :
Grâce à l’égalité des produits en croix, on a aussi :
• 𝑑 = 𝑣𝑡
• 𝑡 = 𝑑/𝑣
Exemple :
Sur un parcours de 60 km, la vitesse moyenne d’un cycliste est
de 30 km/h. Calculer la durée de son trajet.
Je pars de la formule 𝑣 =𝑑
𝑡 donc
𝑡 =
𝑑
𝑣 =
60 km
30 km/h = 2 h
La durée de son trajet est donc de 2 heures.
2) Pourcentages
Exemple :
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un
devoir commun.
60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons.
Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant
obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont
obtenu la moyenne dans les deux classes.
25 filles et 20 garçons de deux classes de 4ème ont effectué un devoir commun. 60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons. Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans les deux classes.
Nombre de filles ayant la moyenne :
Nombre de garçons ayant la moyenne :
Nombre total d’élèves :
Nombre d’élèves ayant la moyenne :
60
100× 25 filles
50
100× 20 ga.
=60 × 25
100 filles = 15 filles
=50 × 20
100 ga. = 10 ga.
20 + 25 = 45 élèves
15 + 10 = 25 élèves
Nombre d’élèves ayant eu la moyenne
25 n ?
Nombre TOTAL d’élèves 45 100
PO
URC
ENT
AG
E 𝑛 =
25 × 100
45
𝑛 ≈ 56
56% des élèves des 2 classes
ont eu la moyenne.
3) Agrandissement / Réduction
Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les longueurs de la
figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs de la figure
de départ ; les angles ne sont pas modifiés.
Remarque :
• Si le coefficient de proportionnalité est plus grand que 1,
c’est un agrandissement ;
• Si le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1,
c’est une réduction.