Chapitre 4: Le modèle à effetsfixes

• Buts d e c e c h a p i tr e :

1. Rappels sur les méthodes d’analyse de la variance et de lacovariance

2. Introduction à l’estimation de modèles sur donnéeslongitudinales ou données de panel

3. Présentation du modèle dit à effets fixes comme un casparticulier de l’analyse de la covariance

1

1. Analyse de la variance à unfacteur

• On o b s e r v e de s r é a li s a t i o ns de s v a r i a b le s dé p e nda nt e s y ij

a v e c i = 1, . . . , I e t j = 1, . ,J i

• L’i ndi c e i dé c r i t u ne v a r i a b le c a t é g o r i s é e – p a r e x e m p le de s r é g i o ns o ude s g r o u p e s d’é du c a t i o n

• L’i ndi c e j e s t c e ns é dé c r i r e de s i ndi v i du s a p p a r t e na nt à c e s c a t é g o r i e s .

• P r é h i s t o i r e de c e m o dè le (a g r o no m i e ) : i e s t le t y p e de t e r r e s , j dé c r i tle s di f f é r e nt s t y p e s de p la nt e s c u lt i v é e s s u r c e s t e r r e s , y ij r e p r é s e nt e le sr e nde m e nt s o b t e nu s

• U n e x e m p le é c o no m i q u e s i m p le : l’i ndi c e i dé c r i t le s r é g i o nsf r a nç a i s e s , y ij s o nt le s r e v e nu s de s i ndi v i du s j r é s i da nt da ns c e s r é g i o ns

2

• Notations :

J+ =

I

i=1

∑ J i

y i. =1J i

Ji

j=1

∑ y ij et y i+ =

Ji

j=1

∑ y ij = J iy i.

y .. =1J+

I

i=1

∑Ji

j=1

∑ y ij =1J+

I

i=1

∑ J iy i.

• L e s d e u x notations l e s p l u s im p or tante s:

▪ l e s m oy e nne s p ar c até g or ie y i.

▪ l a m oy e nne g é né r al e y .. d e l a v ar iab l e d é p e nd ante y

3

1.1 Le modèle• Ojectif: m es u r er l’effet m o y en d e la m o d a lité i s u r les v a r ia b les y ij

• On s u p p o s er a d o n c q u e:

y ij = β i + u ij p o u r i = 1, . . . , I et j = 1, . . . , J i

• H y p o th è s es :

u ij in d é p en d a m m en t d is tr ib u é es

E u ij = 0, V u ij = σ2

• On em p ile les o b s er v a tio n s en g r o u p a n t les in d iv id u s p a r m o d a lité s :

Y = y11, . . . , y1J1 , . . . , yI1, . . . , yIJI ′

• S o it

β = β1⋯βI ′

4

• Puis o n n o t e jJile v e c t e ur c o lo n n e J i, 1 d o n t t o us le s é lé m e n t s v a le n t

1 p o ur c o n st r uir e :

X =

jJ1 0 ⋯ 0

0 jJ2 0 ⋮

⋮ 0 ⋱ 0

⋯ ⋯ 0 jJI

J+,I

• F o r m e m a t r ic ie lle d u m o d è le :

Y = Xβ + U

o ù si I d J+e st la m a t r ic e id e n t it é d e d im e n sio n J+:

E U = 0 e t V U = σ2 I d J+

• C’e st un m o d è le lin é a ir e e t l’e st im a t e ur d e s M CO e st d o n c d o n n é p a rla f o r m ule h a b it ue lle

5

β =

X′X

−1

J1 0

⋱

0 JI

−1

X′Y

y1+

⋮

yI+

=

y1.

⋮

yI.

• L’e s t i m a t e u r d e s M C O e s t d o n c s i m p le m e n t l’e m p i le m e n t d e sm o y e n n e s p a r c a t é g o r i e s

• S a m a t r i c e d e v a r i a n c e s -c o v a r i a n c e s e s t d o n n é e p a r :

Vβ = σ2

J1 0

⋱

0 JI

−1

= σ2Ω−1

6

• Pour dé dui re le s p rop ri é t é s a s y m p t ot i q ue s de c e t e s t i m a t e ur, i l n ousf a ut p ré c i s e r un e c on di t i on q ui dé c ri t le s c om p ort e m e n t du n om b red’ob s e rv a t i on s p a r m oda li t é q ua n d le n om b re d’ob s e rv a t i on s t e n d v e rsl’i n f i n i

• O n s up p os e ra q ue :

∀i,J+→∞

li mJ i

J+

= p i > 0

• E n e f f e t , s i c e t t e c on di t i on e s t v é ri f i é e , la m a t ri c e X ′X/J+ c on v e rg e v e rsE x ij

′ x ij = p i i=1,...,I don t c h a c un de s é lé m e n t s di a g on a ux e s t n on n ul

e t f i n i . L’e s t i m a t e ur de s M C O e s t i de n t i f i é .

• U n e s t i m a t e ur c on v e rg e n t de σ2 e s t don n é p a r la s om m e de s c a rré s de s

ré s i dus di v i s é e p a r le n om b re t ot a l d’ob s e rv a t i on s :

σ̂2 =

1J+

I

i=1

∑Ji

j=1

∑ y ij − y i. 2

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1.2 Forme usuelle du modèle• Il y a p lu s i e u r s f aç o n s d’é c r i r e le m o dè le d’an alys e de la v ar i an c e

• L a p lu s c o m m u n e :

y ij = μ + α i + u ij

μ : e f f e t m o ye n

α i : e f f e t p r i n c i p al o u e f f e t s p é c i f i q u e de la m o dali t é i

• R e lat i o n e n t r e c e m o dè le e t le m o dè le p r é c é de n t :

β i = μ + α i

• N o t at i o n s :

1. le vecteur jJ+est un vecteur de taille J+ dont tous les

éléments valent 1

2. le vecteur e1 est un vecteur de taille J+ dont tous leséléments sont nuls, sauf les éléments 1 à J1 qui sont égauxà 1

8

3. le vecteur e i i = 2, . . . , I est un vecteur de taille J+ donttous les éléments sont nuls, sauf les éléments∑

k=1

i−1Jk + 1 à

∑k=1

iJk qui sont égaux à 1

4. β ′= μ, α1, . . . , αI et X = jJ+

∣ e1 ∣ e2 ∣ ⋯ ∣ eI

• O n p e u t a l o r s r é -é c r i r e l e m o d è l e c o m m e :

Y = μ. jJ++∑

i=1

I

α i. e i + U = Xβ + U

• O r l e s c o l o n n e s d e X s o n t c o l i n é a i r e s p u i s q u e : jJ+= ∑

i=1

Ie i

• D o n c l e s p a r a m è t r e s μ, α i i=1,.,n n e s o n t p a s i d e n t i f i a b l e s

• O n p e u t a l o r s c o n s i d è r e r p l u s i e u r s t y p e s d e contraintes id entif iantes:

1. Si μ = 0, on retrouve le cas développé dans la sous sectionprécédente

2. Si on considère un indice i0 tel que α i0 = 0, la population i0

est dite population de référence

9

En effet dans ce cas, on a :

μ = β i0 et α i = β i − β i0

Ces dernières quantités sont appelées des contrastespuisqu’elles sont la différence entre l’effet de chaquemodalité et l’effet de la modalité de référence

3. Si∑i=1

nα i = 0, on obtient :

μ =1I∑i=1

I

β i et α i = β i − μ

Les contrastes mesurent ici l’écart de l’effet de la modalité i

à la moyenne des effets• C h a n g e r de co n t r a i n t e , c’e s t do n c s i m p l e m e n t ch a n g e r de n i v e a u de

r é f é r e n ce

• P a r e x e m p l e , s i o n v e u t co n s t r u i r e u n t e s t d’é g a l i t é de s e f f e t s β i, l ade r n i è r e co n t r a i n t e s e m b l e l a p l u s n a t u r e l l e

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• Dans c e c as, l’h y p o t h è se nu lle s’é c r i t :

H0 : ∀i, α i = 0

• O n r e m ar q u e r a au ssi q u e du p o i nt de v u e de l’e st i m at i o n, t o u t m o dè lee st é q u i v ale nt au m o dè le v u dans la so u s se c t i o n p r é c é de nt e

• O n p e u t do nc e n dé du i r e le s e st i m at e u r s q u i , p ar e x e m p le so u s lade r ni è r e c o nt r ai nt e i de nt i f i ant e , so nt :

μ̂ =1I∑i=1

I

β̂ i =1I∑i=1

I

y i. e t α̂ i = β̂ i − μ̂

• Dans le c as p ar t i c u li e r o ù le no m b r e d’o b se r v at i o ns e st le m ê m e p o u rc h aq u e m o dali t é , so i t J i = J ∀i, o n o b t i e nt :

μ̂ = y .. e t α̂ i = y i. − y ..

L’e st i m at e u r de l’e f f e t m o y e n e st la m o y e nne g é né r ale e t le se st i m at e u r s de c h aq u e e f f e t sp é c i f i q u e so nt le s é c ar t s de la m o y e nnep ar c at é g o r i e à la m o y e nne g é né r ale

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1.3 Test d’homogénéité• On p e u t é c r i r e l’h y p o t h è s e nu lle d’h o m o g é né i t é c o m m e :

H0 : Id I × α = 0

o ù Id I e s t la m a t r i c e i de nt i t é de di m e ns i o n I e t α ′= α1, . . . , αI

• On dé du i t le t e s t de W a ld de c e t t e h y p o t h è s e de la p r o p o s i t i o n s u i v a nt e

• Proposition: S o i t le m o dè le li né a i r e

y = x1β1 + x2β2 + u

o ù u e s t i ndé p e nda m m e nt di s t r i b u é , no n c o r r é lé a v e c le s v a r i a b le se x p li c a t i v e s e t h o m o s c é da s t i q u e . S i le no m b r e d’o b s e r v a t i o ns e s t é g a là n, a lo r s la s t a t i s t i q u e de W a ld de l’h y p o t h è s e

H0 : β2 = 0

e s t é g a le à

Wn = nS C R 0 − S C R a

S C R a

12

où SCR0 e st la som m e d e s c a r r é s d e s r é si d u s d u m od è le

y = x1β1 + v

e t SCRa e st la som m e d e s c a r r é s d e s r é si d u s d u m od è le g é n é r a l n onc on t r a i n t . S ou s H0,

Wn

l o i

n→∞

ˆ χ2d i m β2

• R a p p e l: Théorème d e F ri s c h-W a u g h:

S u p p oson s q u e l’on v e u i lle e st i m e r le m od è le li n é a i r e :

y = x1β1 + x2β2 + u

L e s e st i m a t e u r s M C O β̂1 e t β̂2 p e u v e n t s’ob t e n i r e n d e u x é t a p e s :

1. β̂2 s’obtient par la régression de MX1Y sur MX1

X2

où MX1est le projecteur orthogonal sur l’espace orthogonal

à l’espace engendré par les variables X1

2. β̂1 s’obtient par la régression des résidus Y − X2β̂2 sur X1

13

• Preuve d e l a p ro p o s i t i o n :

Par ap p li c at i o n d u t h é o rè m e d e F ri sh -W au g h ,

β̂2 = X2′MX1

X2−1X2′MX1

Y

L a v ari an c e asy m p t o t i q u e d e c e t e st i m at e u r p e u t ê t re ap p ro c h é e d ef aç o n c o n v e rg e n t e p ar :

σ̂n2X2

′MX1

X2−1

o ù

σ̂n2 =

S C R a

n

L a st at i st i q u e d e W ald asso c i é e à l’h y p o t h è se n u lle H0 : β2 = 0s’é c ri t :

Wn =1

σ̂n2

β̂2′ X2

′MX1

X2β̂2

so i t e n c o re :

14

Wn =n

S C R a

Y ′MX1X2X2

′MX1

X2−1X2′MX1

Y

En u t i li s a nt la d e u x i è m e é t a p e d e la p r o c é d u r e d e F r i s h -W a u g h , o nm o nt r e q u e le s r é s i d u s d e la r é g r e s s i o n s o u s l’h y p o t h è s e a lt e r na t i v es o nt :

MX1Y − X2β̂2 = MX1

I − X2X2′MX1

X2−1X2′MX1

Y

A i ns i la s o m m e d e s c a r r é s d e s r é s i d u s s o u s l’h y p o t h è s e a lt e r na t i v e e s té g a le à :

S C R a = Y ′MX1− MX1

X2X2′MX1

X2−1X2′MX1

× MX1− MX1

X2X2′MX1

X2−1X2′MX1

Y

e t d o nc :

S C R a = Y ′MX1Y − Y ′MX1

X2X2′MX1

X2−1X2′MX1

Y

= S C R 0 − Wn

S C R a

n

p u i s q u e S C R 0 = Y ′MX1Y ■

15

• Le t est d’h o m o g é n é i t é da n s le m o dè le d’a n a ly se de la v a r i a n c e r ep o sedo n c su r la st a t i st i q u e :

WJ+= J+

S C R 0

S C R a− 1

o ù S C R 0 est la so m m e des c a r r é s des r é si du s so u s l’h y p o t h è se n u lleq u i c o r r esp o n d i c i a u m o dè le t r i v i a l o ù seu le u n e c o n st a n t e μ estest i m é e

• C et t e so m m e des c a r r é s des r é si du s est do n c é g a le à la v a r i a b i li t ét o t a le de la v a r i a b le dé p en da n t e :

S C R 0 =

I

i=1

∑Ji

j=1

∑ y ij − y .. 2

• La so m m e des c a r r é s des r é si du s so u s l’h y p o t h è se a lt er n a t i v e s’é c r i tc o m m e la v a r i a b i li t é de la v a r i a b le dé p en da n t e p a r r a p p o r t a u xm o y en n es i n di v i du elles :

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SCRa=

i=1

∑I Ji

j=1

∑ y ij −

μ+

α i

y i.

2

• Cette der n i è r e es t do n c n é c es s a i r em en t p lu s f a i b le : S C R0 ≥ S C Ra

(c a r le R2 c r o î t a v ec le n b de v a r i a b les ex p li c a ti v es ) et WJ+≥ 0

• N é a n m o i n s , s i les m o y en n es i n di v i du elles n e s o n t p a ss i g n i f i c a ti v em en t di f f é r en tes de la m o y en n e g lo b a le,

S C R0 ≃ S C Ra

et la s ta ti s ti q u e WJ+n e di f f è r e p a s tr o p de 0

• C’es t s u r c ette i n tu i ti o n q u ’es t b â ti c e tes t, p u i s q u e s o u s l’h y p o th è s en u lle H0 d’h o m o g é n é i té :

WJ+

l o i

J+→∞

ˆ χ2I − 1

17

2. Analyse de la variance àdeux facteurs: l’exemple des

données de panel• Observations y it (ind ivid u s i = 1, … , n et p é riod es t = 1, … , T

• P as d e val eu rs m anq u antes : l e p anel est d it cylindré

• N otations:

y i. =1T∑t=1

T

y it et y .t =1n

n

t=1

∑ y it

y .. =1

nT∑i=1

n

∑t=1

T

y it =1n ∑

i=1

n

y i. =1T∑t=1

T

y .t

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• Equation de dé c om p os ition de la v ar ianc e (dé c om p os ition de lav ar iab ilité totale de la v ar iab le dé p e ndante ):

∑i,t

y it − y .. 2

=∑i

y i. − y .. 2

+∑t

y .t − y .. 2

+∑i,t

y it − y i. − y .t + y .. 2

• = v ar iab ilité inte r -indiv idue lle

+ v ar iab ilité inte r -te m p or e lle

+ v ar iab ilité intr a-indiv idue lle intr a-te m p or e lle (ou v ar ianc e r é s idue lle )

• D é m ons tr ation à l’aide d’op é r ate ur s de p r oj e c tion

2.1 Définition des projecteurs• S oit la m atr ic e c ar r é e de dim e ns ion K :

JK =

1 ⋯ 1

⋮ ⋱ ⋮

1 ⋯ 1

19

• Définition 1: L’op ér ate u r G d it d e m o ye n n e p r i n c i p a l e e s t:

G =JnT

n T⇒

nT,nT

GnT,1

Y =

y ..

⋮

y ..nT,1

• Le v e c te u r InT − GY a d onc p ou r él ém e nts l e s éc ar ts à l a m oy e nnetotal e y i t − y ..

• Définition 2: L’op ér ate u r Bn d it d e m o ye n n e i n d i v i d u e l l e ou o p é r a t e u r

i n t e r -i n d i v i d u e l e s t d éfini p ar :

nT,nT

Bn =In ⊗ JT

T− G

20

• Remarque:

JT

T

y i1

⋮

y iT

=

y i.

⋮

y i.T,1

Le v ec t eur BnY a d o n c p o ur é l é men t s l es d i f f é ren c esi n t er-i n d i v i d uel l es , o u d i f f é ren c es i n d i v i d uel l es à l a mo y en n ep ri n c i p al e y i. − y ..

• D é f i n i t i o n 3: L’o p é rat eur BT d i t d e m o ye nne t e m p o r e l l e o u o p é r a t e u r

i nt e r t e m p o r e l es t d é f i n i p ar:

nT,nT

BT =

Jn ⊗ IT

n − G

• Remarque: l e v ec t eur BTY a p o ur é l é men t s l es d i f f é ren c esi n t ert emp o rel l es , o u d i f f é ren c es t emp o rel l es à l a mo y en n e p ri n c i p al e

y .t − y ..

21

• Définition 4: L’op ér ate u r W, dit o p é r a t e u r i n t r a -i n d i v i d u e l e t

i n t r a -t e m p o r e l , e s t défini p ar :

W = I − BN − BT − G

• Le v e c te u r WY a donc p ou r él ém e nts l e s éc ar ts au x m oy e nne sindiv idu e l l e s , te m p or e l l e s e t p r inc ip al e :

y it − y i. − y .. − y .t − y .. − y ..

2.2 Propriétés des opérateurs• C e tte fam il l e d’op ér ate u r s p e r m e t l a déc om p os ition de tou t v e c te u r de

RnT e n s e s p r oj e c tions s u r de s s ou s -e s p ac e s v e c tor ie l s or th og onau x

• E n e ffe t :

I = G + Bn + BT + W

e t tou s c e s op ér ate u r s s ont de s p r oj e c te u r s c ar :

P2= P e t P ′

= P

22

(à v é r i f i e r e n e x e r c i c e )

• De p l u s, c e s o p é r a t e u r s G, Bn, BT, W so n t o r t h o g o n a u x e n t r e e u x

• E x e m p l e :

BnBT =In ⊗ JT

T− G

Jn ⊗ IT

n− G

O r G p e u t a u ssi s’é c r i r e c o m m e :

G =JnT

nT=

Jn ⊗ JT

nT

D’o ù :

BnBT = In −Jn

n⊗

JT

T

Jn

n⊗ IT −

JT

T

⇒ BnBT = In −Jn

nJn

n⊗

JT

TIT −

JT

T= 0

p u i sq u e Jn2

= nJn e t JT2

= TJT ■

23

• Par ap p li c at i o n du t h é o rè m e de Py t h ag o re , i l v i e n t :

‖I − GY‖2 = ‖Bn + BT + WY‖2 = ‖BNY‖2 + ‖BTY‖2 + ‖WY‖2

p u i s q u e Bn, BT, W s o n t o rt h o g o n au x

• D é f i n i t i o n s u p p lé m e n t ai re : l’o p é r a t e u r i n t r a -i n d i v i d u e l e s t do n n é p ar:

Wn = BT + W

• Wn e s t au s s i u n p ro j e c t e u r o rt h o g o n al, o rt h o g o n al à l’o p é rat e u ri n t e r-i n di v i du e l Bn e t à l’o p é rat e u r de m o y e n n e p ri n c i p ale G

• I l e s t do n c p o s s i b le d’o b t e n i r u n e dé c o m p o s i t i o n de l’e s p ac e e n u n edi m e n s i o n i n t e r-i n di v i du e lle e t u n e di m e n s i o n i n t ra-i n di v i du e lle . I l e ne s t de m ê m e s i l’o n c o n s i dè re la dé c o m p o s i t i o n i n t e rt e m p o re lle

24

2.3 Estimation et tests• On é c r i t le m o d è le à d o u b le i nd i c e c o m m e :

y it = μ + α i + β t + u it

• μ e s t le p a r a m è t r e d e m o y e nne p r i nc i p a le

α i l’e f f e t p r i nc i p a l – o u s p é c i f i q u e – i nd i v i d u e l

β t l’e f f e t p r i nc i p a l – o u s p é c i f i q u e – t e m p o r e l

• H y p o t h è s e s p r i nc i p a le s e t s e c o nd a i r e s :

u it i nd é p e nd a m m e nt d i s t r i b u é

E u it = 0 e t V u it = σ2

• C o m m e d a ns le c a s d e l’a na ly s e d e la v a r i a nc e à u n f a c t e u r , le sp a r a m è t r e s d e c e m o d è le ne s o nt p a s i d e nt i f i é s

25

• On p e u t r é é c r i r e l e m o d è l e c o m m e :

Y = μjn ⊗ jT +∑i=1

n

α ie i

n⊗ jT +∑

t=1

T

β tjn ⊗ e tT + U (1)

o ù

1. le vecteur jn est un vecteur de taille n dont tous leséléments valent 1

2. le vecteur e i

n est un vecteur de taille n dont tous leséléments sont nuls, sauf l’élément i qui est égal à 1

• I l y a d e u x s o u r c e s d e m u l t i c o l i né ar i t é d ans c e m o d è l e :

jn ⊗ jT =∑i=1

n

e i

n⊗ jT

jn ⊗ jT =∑t=1

T

jn ⊗ e tT

26

• Deux c o n di t i o n s i den t i f i a n t es (d’a ut r es p o ur r a i en t ê t r e c h o i s i es ):

∑i=1

n

α i = 0 et ∑t=1

T

β t = 0

O n s up p o s e a i n s i q ue les ef f et s s p é c i f i q ues i n di v i duels et t em p o r elss o n t “c en t r é s ”

• P o ur es t i m er (1), i l s uf f i t de r em a r q uer :

1. que le vecteur jn ⊗ jT est une base de l’espace image dela projection G = Jn ⊗ JT /nT

2. que les vecteurs e i

n⊗ jT

i=1,.,nforment une base de

l’espace image de la projection Bn + G = In ⊗ JT /T

3. et que les vecteurs jn ⊗ e tT

t=1,.,Tsont une base de l’espace

image de la projection BT + G = Jn ⊗ IT /n

• I l s uf f i t a lo r s d’a p p li q uer le t h é o r è m e de F r i s c h W a ug h de m a n i è r er é p é t é e p o ur m o n t r er q ue l’es t i m a t i o n de (1) es t é q ui v a len t e a uxm o dè les p r o j et é s da n s les di f f é r en t es di m en s i o n s

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• Ceux-c i s’é c r i v en t :

GY = μjN ⊗ jT + GU

BnY =∑i=1

n

α ie i

n⊗ jT + BnU

BTY =∑t=1

T

β tjn ⊗ e tT + BTU

• D é m o n st r a t i o n

GY = G μ

∈G

jN ⊗ jT +∑i=1

nα i

∈Bn+G

e i

n⊗ jT +∑

t=1

Tβ t

∈BT+G

jn ⊗ e tT +U

= μjN ⊗ jT +

=0

∑i=1

nα i jn ⊗ jT +

=0

∑t=1

Tβ t jn ⊗ jT +GU

28

car :

GBn = GBT = 0,G2 = G,GBn + G = G, e t GBT + G = G

BnY = Bn μ

∈G

jN ⊗ jT +∑i=1

nα i

∈Bn+G

e i

n⊗ jT +∑

t=1

Tβ t

∈BT+G

jn ⊗ e tT +U

=∑i=1

nα ie i

n⊗ jT +BnU

car BnG = BnBT = 0 e t Bn2 = Bn

• L e s ré s u lt at s de l’an aly s e de la v ari an ce à u n f act e u r av e c é g ali t é de sn o m b re s d’o b s e rv at i o n s p ar m o dali t é i m p li q u e n t :

μ̂ = y .. ,α i = y i. − y .. ,

β

t= y .t − y ..

• O n p e u t do n c u t i li s e r t o u s le s ré s u lt at s q u e l’o n o b t i e n t dan s le cas del’an aly s e de la v ari an ce à u n f act e u r, e n p art i cu li e r ce u x q u i s o n tre lat i f s au x t e s t s d’h o m o g é n é i t é

29

3. Analyse de la covarianceExtension de l’analyse de la variance au cas où l’on inclut desvariables explicatives dans le modèle.

3.1 Analyse de la covariance à un facteur• Revenons a u c a s t r a i t é d a ns la p r em i è r e sec t i on

• S u p p osons q u e l’on ob ser ve:

1. les variables y ij pour j = 1, . . . ,J i pour chaque modalitéi ∈ 1, . , I

2. les valeurs de K variables explicatives xkij pour k = 1, . . . ,K

• L e m od è le d e la c ova r i a nc e s’é c r i t c om m e :

y ij = μ + α i +

K

k=1

∑ xkijβk + u ij (2)

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• Hypothèses:

1. pour tout k, Exkij′ u ij = 0

2. Eu ij = 0 et les perturbations sont indépendammentdistribuées et homoscédatiques

• P a r ex em pl e, si l es v a r i a b l es y ij son t l es r ev en u s d’u n i n di v i du j da n su n e r é g i on i:

1. les paramètres α i s’interprétent comme des effetsrégionaux, et donc comme des coefficients d’analyse de lavariance

2. les paramètres βk sont par exemple les effets de variablescomme l’éducation, l’expérience: ce sont ces paramètreséconomiques qui nous intéressent en premier lieu

• R em a r q u es:

1. les βk ne dépendent pas de la région i (“égalité despentes”)

2. Seul le niveau de la variable y ij est influencé par la région

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3. On pourrait étudier le cas général dans lequel lesparamètres βk dépendent d’un effet régional (voir parexemple Hsiao, 1986)

• Pour e st i m e r le s p a ra m è t re s βk on ut i li se l’e st i m a t e ur di t de lac ov a ri a n c e

• R e m a rq uon s d’a b ord q ue le s p a ra m è t re s de (2) n e son t p a s i de n t i f i é s(i de m a u c a s de l’a n a ly se de la v a ri a n c e à un f a c t e ur)

• I l f a ut i m p ose r un e re st ri c t i on i de n t i f i a n t e c om m e

∑i=1

I

α i = 0

• L e m odè le e m p i lé s’é c ri t :

Y = μ.b a s e d e G

jJ++

I

i=1

∑ α i

b a s e d e BI+G

e i +Xβ + U

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• Il s u f f i t a lo r s de p r o j e t e r s u r l’e s p a c e o r t h o g o n a l à l’e s p a c e e n g e n dr ép a r le s v e c t e u r s jJ+

e t e i i=1,.,I

• S o i t WI l’o p é r a t e u r de p r o j e c t i o n o r t h o g o n a le da n s la di m e n s i o ni n t r a -m o da li t é (i) q u i s e dé f i n i t de m a n i è r e s i m i la i r e – m a i s p a si de n t i q u e c a r le n o m b r e d’o b s e r v a t i o n s p a r m o da li t é e s t g é n é r a le m e n tdi f f é r e n t – à c e q u i e s t f a i t da n s la s e c t i o n p r é c é de n t e WI≡ I − G − BI

• L e t h é o r è m e de F r i s c h -W a u g h é n o n c e q u e l’e s t i m a t e u r M C O de (2)e s t i de n t i q u e à l’e s t i m a t e u r M C O de β da n s le m o dè le li n é a i r e p r o j e t é :

WIY = WIXβ + WIU

• P o u r i de n t i f i e r le p a r a m è t r e β, i l f a u t i m p o s e r la c o n di t i o n de r a n g

r g X ′WIX = K

c e q u i r e v i e n t à i m p o s e r q u e le s r é g r e s s e u r s X v a r i e n t da n s ladi m e n s i o n i n t r a -m o da li t é

• P o u r e s t i m e r le s e f f e t s de s m o da li t é s i, i l s u f f i t de c o n s t r u i r e le s r é s i du sY − Xβ̂ e t d’e f f e c t u e r u n e a n a ly s e de la v a r i a n c e à u n f a c t e u r

33

3.2 Données de panel : le modèle à effetsfixes• Le m o d è l e d i t à effets ind iv id uel s fixes s’é c r i t p o u r d es i n d i v i d u s

i = 1, . . . ,n, o b ser v é s a u x p é r i o d es t = 1, . . . ,T (f i c h i er su p p o séc y l i n d r é ) c o m m e:

y it = μ + α i + δ t + x itβ + u it

• Les c o n d i t i o n s d e m o m en t h a b i t u el l es so n t su p p o sé es sa t i sf a i t es :

E x it

′ u it = 0, E u it = 0

• Les p er t u r b a t i o n s so n t i n d é p en d a m m en t d i st r i b u é es en t r e i n d i v i d u s etp é r i o d es, et h o m o sc é d a st i q u es

• E n em p i l a n t l es o b ser v a t i o n s, o n o b t i en t l a f o r m e m a t r i c i el l e su i v a n t e:

Y = μjn ⊗ jT +∑i=1

n

α ie i

n⊗ jT +∑

t=1

T

δ tjn ⊗ e tT + Xβ + U

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• Ce m o d è le es t d i t à ef f et s f i x es c a r les ef f et s i n d i v i d u els α i s o n t t r a i t é sc o m m e d es p a r a m è t r es

• S eu ls les t er m es u it s o n t s u p p o s é s a lé a t o i r es

• L o r s q u e α i es t a lé a t o i r e, et s o u s c er t a i n es c o n d i t i o n s r ela t i v es à s ad i s t r i b u t i o n , le m o d è le es t d i t à e r r e ur s c o m p o s é e s (c h a p i t r e 5)

• Co m m en t c h o i s i r en t r e c es d eu x m o d è les ? V o i r c h a p i t r e 6

• P o u r es t i m er c e m o d è le p a r M CO , o n u t i li s e le p r o j ec t eu r o r t h o g o n a lW s u r l’es p a c e o r t h o g o n a l a u x ef f et s i n d i v i d u els et t em p o r els p o u ro b t en i r le m o d è le p r o j et é :

WY = WXβ + WU a v ec W = I − G − Bn − BT

• S o u s la c o n d i t i o n d e r a n g r g X ′WX = K, l’es t i m a t eu r d e la c o v a r i a n c ees t d o n n é p a r :

β

c o v= X ′WX

−1X ′WY

et s a v a r i a n c e es t :

Vβ

c o v= σ2X ′WX

−1

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• Pour ob t e n i r le s e f f e t s i n di v i due ls e t t e m p ore ls , i l s uf f i t à n ouv e a u dere m a rq ue r q ue la de ux i è m e é t a p e de F ri s c h -W a ug h c on s i s t e à f a i re un ea n a ly s e de v a ri a n c e à de ux f a c t e urs s ur le s ré s i dus Y − Xβ̂cov

• O n p roc é de don c à la m a n i è re de l’a n a ly s e de la v a ri a n c e , e t onob t i e n t :

α̂ i = y i. − x i.β̂cov − y..

− x..

β̂cov

δ̂ t = y.t − x

.tβ̂cov − y..

− x..

β̂cov

• O n t e s t e l’h om og é n é i t é s oi t i n di v i due lle , s oi t t e m p ore lle , p a r lam é t h ode dé v e lop p é e da n s le c a dre de l’a n a ly s e de la v a ri a n c e

• R e v e n on s e n c on c lus i on s ur la c on di t i on de n on c oli n é a ri t é oud’i de n t i f i c a t i on de l’e s t i m a t e ur de la c ov a ri a n c e :

r g X ′ W X = K

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• Cette c o n di ti o n p eu t s’ex p r i m er c o m m e u n e c o n di ti o n su r la v ar i ab i li téi n tr a-i n di v i du elle et i n tr a-p é r i o de des v ar i ab les ex p li c ati v es

• S i to u tes les v ar i ab les ex p li c ati v es so n t v ar i ab les au c o u r s du tem p s eten tr e i n di v i du s, c ette c o n di ti o n est v é r i f i é e

• P ar c o n tr e, si l’o n su p p o se q u e c er tai n es v ar i ab les ex p li c ati v es so n tf i x es au c o u r s du tem p s, i.e. ∀i, t, x it

k= x i

k, alo r s i l y a u n p r o b lè m ed’i den ti f i c ati o n

• E n ef f et, o n p eu t r é -é c r i r e l’ef f et i n di v i du el c o m m e:

α̃ i = α i + x ikβk

et le c o u p le de p ar am è tr es α̃ i, 0 est “o b ser v ati o n n ellem en té q u i v alen t” au c o u p le α i,βk

• S an s h yp o th è se su p p lé m en tai r e, o n n e p eu t i den ti f i er l’ef f et desv ar i ab les ex p li c ati v es c o n stan tes

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