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Chapitre 21
Polynomes
Mathematiques PTSI
Lycee Deodat de Severac
Mathematiques PTSI (Lycee Deodat de Severac) Polynomes 1 / 44
notations :
Dans tout le cours, K = R ou C.
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Generalites
Plan
1 GeneralitesDefinition et operationsDegre d’un polynomeDiviseurs et multiplesDivision euclidienne
2 Polynomes derives et racines d’un polynome
3 Factorisations d’un polynome
4 Polynomes et algebre lineaire
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Generalites Definition et operations
Definition :1 On appelle polynome a une indeterminee et a coefficients dans K
toute expression P de la forme :
P = a0 + a1X + . . .+ anXn =
n∑k=0
akXk; ou
• X est un symbole formel appele indeterminee ;• a0, a1, . . . , an sont des elements de K appeles coefficients du polynome
P ;
2 On dit que deux polynomes sont egaux lorsque leurs coefficients sontegaux.
notation : On note K[X] l’ensemble des polynomes a une indeterminee et acoefficients dans K.
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Generalites Definition et operations
REMARQUES :
(1) Le polynome dont tous les coefficients sont nuls est appele polynome nul etest note 0 ;
(2) Si P = a0 + a1X + . . .+ anXn, on ecrit aussi P =
+∞∑k=0
akXk avec ak = 0
pour k > n.
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Generalites Definition et operations
operations usuelles :
ñ somme : Si P =
+∞∑k=0
akXk et Q =
+∞∑k=0
bkXk, on appelle somme de P et Q, et
on note P +Q le polynome :
P +Q =
+∞∑k=0
(ak + bk)Xk.
ñ multiplication par λ ∈ K :
Si P =
+∞∑k=0
akXk, on note λP le polynome :
λP =
+∞∑k=0
(λak)Xk.
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Generalites Definition et operations
operations usuelles :
ñ produit :
Si P =
+∞∑k=0
akXk et Q =
+∞∑k=0
bkXk, on appelle produit de P et Q, et on note
PQ le polynome :
PQ =
+∞∑k=0
ckXk, avec ck =
k∑j=0
ajbk−j =
k∑j=0
ak−jbj .
ñ puissance : On note P 0 = 1, P 1 = P et pour n ∈ N Pn+1 = PnP .
ñ composition :
Si P =
+∞∑k=0
akXk et Q =
+∞∑k=0
bkXk, on note P ◦Q ou P (Q) le polynome :
P ◦Q = P (Q) =
+∞∑k=0
akQk.
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Generalites Definition et operations
::::::::::Exemple :
Pour P = X2 +X + 1 et Q = X + 1 :
• P +Q = X2 + 2X + 2 ;
• PQ = X3 + 2X2 + 2X + 1 ;
• P ◦Q = (X + 1)2 + (X + 1) + 1 = X2 + 3X + 3 ;
• Q ◦ P = (X2 +X + 1) + 1 = X2 +X + 2.
REMARQUE : Les proprietes des operations precedentes sont les memes que pourles fonctions.
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Generalites Degre d’un polynome
Definition :
1 Soit P un polynome non nul. Si P =
+∞∑k=0
akXk, on appelle degre de
P , et on note deg(P ) le plus grand entier k tel que ak 6= 0 ;
2 Par convention on pose : deg(0) = −∞.
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Generalites Degre d’un polynome
Proposition (proprietes du degre)
Soient P et Q deux elements de K[X] et λ ∈ K. Alors :
1 deg(λP ) =
{−∞ si λ = 0deg(P ) sinon
;
2 deg(P +Q) ≤ max(deg(P ),deg(Q)). Si de plus deg(P ) 6= deg(Q),alors deg(P +Q) = max(deg(P ),deg(Q)) ;
3 deg(PQ) = deg(P ) + deg(Q).
4 Si deg(Q) ≥ 1, alors deg(P ◦Q) = deg(P )deg(Q).
REMARQUE :
1 Par convention, pour Q ∈ K[X], on pose : −∞+ deg(Q) = −∞ ;
2 On pose egalement, pour Q ∈ K[X] de degre superieur ou egal a 1,−∞× deg(Q) = −∞.
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Generalites Diviseurs et multiples
Definition :1 Soient (A; B) ∈ K[X]2. On dit que A divise B, et on note A|B,
lorsqu’il existe C ∈ K[X] tel que : B = AC ;
2 Pour A ∈ K[X], l’ensemble des diviseurs de A est l’ensemble despolynomes B tels que B|A ;
3 Pour A ∈ K[X], l’ensemble des multiples de A est l’ensemble despolynomes B tels que A|B.
Proposition1 Soient P et Q deux polynomes de K[X] tels que Q|P , avec P 6= 0.
Alors deg(P ) ≤ deg(Q).
2 Si P divise Q et Q divise R alors P divise R
3 Si P divise Q et R alors P divise λQ+ µR avec (λ;µ) ∈ K2.
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Generalites Division euclidienne
Theoreme
Soient A et B deux elements de K[X] avec B 6= 0. Alors il existe un uniquecouple (Q,R) d’elements de K[X] tels que :
A = QB +R avec deg(R) < deg(B).
• Q est appele le quotient de la division euclidienne de A par B ;
• R est appele le reste de la division euclidienne de A par B.
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Polynomes derives et racines d’un polynome
Plan
1 Generalites
2 Polynomes derives et racines d’un polynomeLes fonctions polynomialesRacine d’un polynomeDerivees successivesMultiplicite d’une racine
3 Factorisations d’un polynome
4 Polynomes et algebre lineaire
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Polynomes derives et racines d’un polynome Les fonctions polynomiales
Definition :
Soit P =
n∑k=0
akXk ∈ K[X]. Pour tout x ∈ K, on note P : K → K la
fonction telle que : ∀x ∈ K, P (x) =
n∑k=0
akxk. On dit que l’on substitue
le nombre x a l’indeterminee X et on appelle P la fonction polynomialeassociee au polynome P .
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Polynomes derives et racines d’un polynome Racine d’un polynome
Definition :
Soit P =
n∑k=0
akXk ∈ K[X]. On dit que α ∈ K est racine de P lorsque α
est un zero de P , c’est a dire : P (α) = 0.
Proposition
Soit P ∈ K[X] et α ∈ K. Alors :
1 Le reste de la division euclidienne de P par X − α est P (α). Enparticulier, α est racine de P si et seulement si X − α divise P .
2 Plus generalement si α1, . . . , αr sont r elements de K distincts, alors :
α1, . . . , αr sont des racines de P si et seulement si :r∏
k=1
(X − αk)
divise P .
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Polynomes derives et racines d’un polynome Racine d’un polynome
Exercice
On pose : A =
(4 −61 −1
).
1 Determiner le reste de la division euclidienne de Xn par X2− 3X + 2.
2 Montrer que A2 − 3A+ 2I2 = 02.
3 En deduire An =
(−2 + 3.2n 6− 6.2n
2n − 1 3− 2n+1
).
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Polynomes derives et racines d’un polynome Derivees successives
Definition :
1 Soit P =
n∑k=0
akXk ∈ K[X] de degre n. On appelle polynome derive
de P , et on note P ′, le polynome defini par :
P ′ =
n∑
k=1
kakXk−1 =
n−1∑k=0
(k + 1)ak+1Xk si n ≥ 1
0 sinon
2 On definit la suite des polynomes derives P (n), en posant : P (0) = P ,et pour n ∈ N, P (n+1) = (P (n))′
:::::::Exemple : Pour P = X2 + 3X, nous avons P ′ = 2X + 3, P (2) = 2, P (n) = 0pour n ≥ 3.
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Polynomes derives et racines d’un polynome Derivees successives
REMARQUES :
(1) Si deg(P ) ≥ 1, alors deg(P ′) = deg(P )− 1;
(2) Si deg(P ) = n, alors P (n) est un polynome constant et pourr ≥ n+ 1, P (r) = 0 ;
(3) Les regles de derivation des polynomes sont identiques a celles des fonctions.En particulier la formule de Leibniz reste valable.
Proposition (formule de Taylor)
Soient P ∈ K[X] tel que deg(P ) = n et x0 ∈ K. Alors :
P =
n∑k=0
P (k)(x0)
k!(X − x0)k.
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Polynomes derives et racines d’un polynome Multiplicite d’une racine
Definition :
Soient P ∈ K[X] et α ∈ K. On dit que α est racine de P de multiplicitek ∈ N∗ lorsque :
• (X − α)k|P ;
• P = (X − α)kQ avec Q(α) 6= 0.
Proposition
Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) = n ∈ N∗.1 Si α est racine de P d’ordre k, alors 1 ≤ k ≤ n ;
2 Si α1, . . . , αr sont des racines distinctes de P d’ordres respectifs
k1, . . . , kr, alorsr∏
j=1
(X − αj)kj |P .
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Polynomes derives et racines d’un polynome Multiplicite d’une racine
Theoreme (caracterisation pratique)
Soient P ∈ K[X] un polynome non nul et α ∈ K. Alors α est racine de P
d’ordre k si et seulement si
P (α) = 0P ′(α) = 0...P (k−1)(α) = 0P (k)(α) 6= 0.
Exercice
Montrer que 1 est racine de P = X5 − 7X4 + 19X3 − 25X2 + 16X − 4 etdeterminer sa multiplicite.
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Factorisations d’un polynome
Plan
1 Generalites
2 Polynomes derives et racines d’un polynome
3 Factorisations d’un polynomePolynomes scindesFactorisation dans C[X]Factorisation dans R[X].
4 Polynomes et algebre lineaire
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Factorisations d’un polynome Polynomes scindes
Definition :Un polynome est dit scinde s’il peut s’ecrire comme produit de polynomesde degre 1 dans K[X].
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Factorisations d’un polynome Factorisation dans C[X]
Theoreme (d’Alembert-Gauss)
Tout polynome non constant de C[X] admet au moins une racine dans C.
Tout polynome dans C[X] non nul est scinde dans C[X]. Ainsi, un polynomenon nul de degre n ≥ 1 admet exactement n racines (comptees avec leurmultiplicite).
consequence :
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Factorisations d’un polynome Factorisation dans C[X]
Proposition (relations coefficients/racines)
Soient P = a0 + a1X + .... + anXn ∈ C[X] (an 6= 0) et α1, . . . , αn les n
racines de P (non necessairement distinctes). Alors :
1
n∑k=1
αk = −an−1
an;
2
n∏k=1
αk = (−1)na0
an.
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Factorisations d’un polynome Factorisation dans R[X].
Proposition
Si P ∈ R[X] admet une racine α ∈ C, alors α est egalement racine de P .
�Ceci est faux pour des polynomes a coefficients complexes non reels : lesdeux racines de (X+i)(X+2i) = X2 +3iX−2 ne sont pas conjuguees.
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Factorisations d’un polynome Factorisation dans R[X].
Theoreme
Soit P non nul de R[X]. Alors, il s’ecrit comme le produit de po-lynomes de degre 1 et de polynome de degre 2 de discriminant strictementnegatif. Autrement dit : il existe λ, α1; · · · ;αr ∈ R, (β1; γ1); · · · ; (βq; γq) ∈R2, (k1; · · · ; kr; l1; · · · ; lq) ∈ Nr+q avec (r; q) ∈ N2 − {(0; 0)} tels que
P = λ(X−α1
)k1
· · ·(X−αr
)kr(X2+β1X+γ1
)l1· · ·(X2+βqX+γq
)lqtels que ∀k ∈ {1; · · · ; q}, β2
k − 4γk < 0.
Exercice
Factoriser X4 − 1, X4 + 1 puis X9 −X dans R[X].
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Polynomes et algebre lineaire
Plan
1 Generalites
2 Polynomes derives et racines d’un polynome
3 Factorisations d’un polynome
4 Polynomes et algebre lineaireStructure d’espace vectorielFamilles de polynomes libresBase de K[X], de Kn[X]
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Polynomes et algebre lineaire Structure d’espace vectoriel
Proposition
(K[X]; +; .) est un K espace vectoriel.
Definition :
Soit n ∈ N. Alors on note Kn[X] l’ensemble des polynomes de degre inferieurou egal a n.
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Polynomes et algebre lineaire Familles de polynomes libres
Definition :
Soit F = (P1, . . . , Pn) une famille de polynomes. On dit que F est etagee(ou encore de degres echelonnes) lorsque −∞ < deg(P1) < deg(P2) <. . . < deg(Pn).
Proposition
Toute famille de degres echelonnes est libre.
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Polynomes et algebre lineaire Base de K[X], de Kn[X]
Proposition
Kn[X] est un sous-espace vectoriel de K[X] dont une base, dite canonique,est B = (1, X, . . . ,Xn)︸ ︷︷ ︸
n+1elements
.
� Kn[X] n’est pas stable par produit.
Exercice
Montrer que F = (1, X − 1, (X − 1)2, (X − 1)3) est une base de K3[X] etdeterminer les coordonnees de X3 dans F .
REMARQUE : Plus generalement, la famille (1; (X − 1); · · · ; (X − 1)n) est unebase de Kn[X].
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