Chapitre 2 equations_du_mouvement_d_un_fluide_homogene

Source : www.almohandiss.com

1

EQUATIONS DU MOUVEMENT POUR UN FLUIDE

HOMOGENE

I. LOI EXPERIMENTALE DE DARCY

Les figures 1 et 2 schématisent le principe de cette expérience.

En faisant varier la charge (h1 – h2), Darcy a pu établir une relation (loi de Darcy),

permettant de déterminer le débit transitant par la matrice poreuse homogène:

L

hhAKQ 21..

(1)

où K est un coefficient de proportionnalité.

h désigne en réalité la charge totale qui se réduit ici à la somme de la hauteur de pression et de

la position par rapport à un plan de référence horizontal.

La même expérience conduite sur une matrice poreuse homogène inclinée (figure 2) montre

la validité de la relation plus générale suivante :

L

AKQ 21..

(2)

qui détermine le débit transitant par la colonne.

Dans l’expression (2) :

i

ii

pz (3)

Le débit spécifique correspondant est :

L

Kq 21.

(4)

Il est à noter que le débit spécifique ainsi calculé est apparent dans le sens qu’il considère la

section brute de l’échantillon et non la section effective se réduisant à l’espace vide offert à

l’écoulement interstitiel.

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ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


2

Figure 1.

Figure 2.

A

L

h2

h1 Q

L

1p

2p

1

2 z1

z2

21

Q


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


3

Les termes constituant l’équation (4) se rangent comme suit:

- est une perte d’énergie causée par les frottements dans les espaces

intergranulaires; c’est la charge hydraulique ou la charge motrice.

- J = (1 – 2)/L est le gradient moteur ou gradient hydraulique.

- K est la conductivité hydraulique ou perméabilité.

Admettant pour le moment la constance du paramètre K, la relation (4) peut s’écrire sur un

parcours infinitésimal suivant la direction x supposée de l’écoulement en considérant le gradient

hydralique au point considéré:

dx

dKKJq

II. LOI DE DARCY GENERALISEE

II.1. Milieu isotrope

La loi de Darcy peut en réalité être étendue à un écoulement étudié en trois dimensions en

commençant par l’exprimer sur une direction donnée ; le débit spécifique suivant cette direction

sera :

JKq .

Le milieu isotrope offre la même résistance à l’écoulement dans toutes les directions ; ceci permet

d’écrire la loi de Darcy sous la forme :

ii JKq . (5)

où qi et Ji sont les composantes du débit spécifique et du gradient hydraulique.

Nous pouvons écrire, dans un repère orthonormé d’axes Ox1, Ox2 et Ox3, la relation de Darcy

généralisée sous la forme vectorielle suivante :

JKq

. i

ix

Kq

. (6)

où la conductivité hydraulique apparaît comme un scalaire.


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


4

II.2. Milieu anisotrope

La conductivité hydraulique sera dans ce cas un tenseur euclidien de composantes

Kij ; nous parlerons de tenseur de conductivité hydraulique ; il s’exprime explicitement dans

l’espace rapporté au système Oxi ; i = 1, 2, 3 :

333231

232221

131211

KKK

KKK

KKK

K (7)

Le débit spécifique s’exprimera alors par :

.Kq

(8)

ou explicitement par :

j

ijix

Kq

. (9)

III. MASSIFS POREUX STRATIFIES SIMPLES

Les massifs poreux constituant les aquifères sont généralement non homogènes et

rarement isotropes. Quand un massif est constitué de couches (ou strates), il est cependant

possibles dans certains cas, particuliers mais assez fréquents dans la nature, de l’approcher par

un ensemble de strates poreuses homogènes et, selon la nature des calculs, de le remplacer par

un seul massif homogène équivalent ; ci-après deux exemples de massifs stratifiés où

l’écoulement est supposé horizontal.

Ceci suppose que l’aquifère est emprisonné entre deux couches imperméables, le plafond et

l’assise étant horizontaux.

III.1 Ecoulement parallèle aux strates.

Il s’agit de l’écoulement de Darcy dans un massif stratifié où les strates sont

horizontales et reposant sur un font imperméable horizontal (Figure 3.)


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


5

Figure 3.

Les couches de terrain composant le massif sont supposées homogènes et isotropes ; sur une

unité de largeur, le débit total Q écoulé par le massif peut être calculé comme la somme des

débits Qi écoulés par les différentes couches constituant le massif.

Nous avons les relations suivantes :

LbKQ

bb

QQ

iii

N

i

i

N

i

i

..

1

1

(10)

où le gradient

J = /L

est maintenu constant.

Q

K1

K2

2

K3 Q3

Q2

Q1

b


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


6

Le débit total Q peut s’exprimer comme :

LbKQQ

N

i

ii

N

i

i

11

Soit :

N

i

iTL

Q1

(11)

Ti est la transmissivité de la couche i, et on parlera ultérieurement de ce paramètre.

iii bKT (12)

La conductivité hydraulique (ou la transmissivité) équivalente permet de remplacer le

massif stratifié réel par un massif homogène filtrant le même débit Q sous le même gradient

hydraulique, et ayant la même épaisseur, soit :

LT

LbKQ ee

Ceci permet décrire :

N

i

i

N

i

ii

e

b

bK

K

1

1 et

N

i

i

e TT1

(13)

Dans le cas où la conductivité hydraulique réelle du massif se présente comme une

fonction de la position z, K = K(z), un calcul similaire est présenté ci-après :

Débit élémentaire sur une épaisseur dz de massif :

dzL

zKdQ

)( .

Débit total filtré par une unité de largeur de massif :

b

dzzKL

Q0

)(


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


7

Conductivité et transmissivité équivalentes :

b

e dzzKb

K0

)(1

;

b

ee dzzKbKT0

)( (14)

III.1 Ecoulement perpendiculaire aux strates.

Il s’agit de l’écoulement de Darcy dans un massif stratifié où les strates sont verticales

et reposant sur une assise imperméable horizontale (Figure 4.)

Figure 4.

Les couches de terrain composant le massif sont supposées là aussi homogènes et

isotropes.

Q

K1 K2

2 K3 b


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


8

En écrivant que la chute totale de la hauteur piézométrique entre la section d’entrée et la

section de sortie du massif est la somme des chutes partielles dans les différentes couches le

composant, il vient :

N

i

i

1

L’épaisseur totale du massif est :

N

i

iLL1

Le débit commun à toutes les couches est :

i

i

iL

bKQ

La différence de charges entre l’entrée et la sortie d’une couche i est :

b

Q

K

L

i

i

i

La différence de charge totale est calculée comme la somme sur les couches traversées par le

débit Q :

N

i i

iN

i

iK

L

b

Q

11

La conductivité équivalente Ke est la suivante :

N

i i

i

e K

L

K

L

1

(15)

IV. ANALYSE DE LA LOI DE DARCY

IV.1 Porosités absolue et effective

La porosité n dont il est question est celle qui correspond au fluide interstitiel libre au

mouvement.


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


9

Si n0 est le rapport des vides au volume total apparent et si n’ est le rapport du volume du

fluide de rétention (fluide non égouttable par gravité) au volume total apparent, alors la

porosité n en question ici est :

'0 nnn (16)

Le paramètre n est appelé coefficient d’emmagasinement ou porosité efficace ou encore

porosité effective. Quand il n’y a pas de confusion on parlera de porosité tout court.

Citons à titre indicatif la formule de C.E. Jacob pour les nappes donnant n pour les nappes

captives :

0

0 ...n

Hnn

(17)

n0 porosité totale ou absolue

poids volumique de l’eau

H épaisseur de la nappe

compressibilité verticale du terrain

compressibilité volumique de l’eau

Le rangement et l’enchevêtrement des grains constituant le squelette solide influencent

beaucoup la porosité. En réalité, les grains sont de dimensions diverses et réparties de manière

aléatoire, ce qui rend n dépendant fortement de la granulométrie en ce sens que les mêmes

grains peuvent générer des porosités différentes pour des rangements différents.

Pour les sables et graviers, n varie de 0.4 à 0.3 ; n peut même descendre jusqu’à 0.25

pour les graviers sableux très compacts et peut monter jusqu’à 0.5 pour des sols très meubles

à granulométrie très fine.

Les dimensions des vides intergranulaires auront, dans le même ordre d’idées, un effet

déterminant sur les caractères de l’écoulement interstitiel.

Ces dimensions dépendent de celles des grains, ceci implique que les grains fins réduisent la

perméabilité plus par l’effet des dimensions que par la réduction de la porosité. En effet, dans

la réalité, à porosité égale, un milieu formé de grains fins est moins perméable qu’un milieu

formé de gros grains.

En conclusion, les facteurs à considérer au sujet de la porosité sont principalement :

- la dimension des grains (diamètre représentatif)

- la courbe granulométrique

- l’enchevêtrement

- la compacité


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


10

IV.2 Perméabilité intrinsèque

IV.2.1 Généralités sur les modèles

Plusieurs modèles ont simulé l’écoulement dans un milieu poreux dans le but d’en

déterminer la forme mathématique et d’en dégager l’influence des paramètres qui le

gouvernent.

Parmi ces modèles, il y en a qui simulent directement l’écoulement interstitiel en étudiant

l’écoulement laminaire à travers une matrice poreuse de géométrie interne simple à

déterminer tel que le modèle capillaire, d’autre sont de nature stochastique en liaison avec la

nature de la géométrie réelle interne de la matrice solide et d’autre semi empiriques dont un

plus simple est présenté ci-après.

IV.2.2 Modèle capillaire

La matrice solide témoin est remplacée par un parallélépipède formé par des tubes de

Poiseuille distribués selon une densité déterminée et dont les axes parallèles sont orientés

suivant la direction moyenne de l’écoulement interstitiel réel (figure 5.)

Chaque tube est supposé donc écouler, en régime laminaire, un débit propre qui peut être

calculé à partir d’une relation linéaire entre la vitesse moyenne et la perte de charge.

Figure 5.

Supposant un gradient hydraulique constant d/ds, le débit spécifique à travers la section

apparente du parallélépipède peut s’exprimer par :

ds

dgdN

ba

Qq

.

.128

...

.

4

(18)

où N est le nombre de tubes contenus dans la section considérée.

ds Q

D

a

b


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


11

Introduisons la porosité absolue de la matrice solide qui se calcule comme :

4

2dNn

dans l’expression du débit spécifique :

32

2ndk

ds

dgkq

(19)

La formule précédente est analogue à celle de Darcy. La conductivité hydraulique apparaît

comme le produit de deux paramètres :

- k, qui ne dépend que de la matrice solide

-

g, qui ne dépend que du fluide

Le modèle capillaire ci-dessus peut être amélioré dans le sens d’une meilleure

approche de l’écoulement interstitiel réel en considérant cette fois-ci des diamètres non

uniformément répartis sur la section ab.

Si Ni est le nombre de tubes de diamètre di et si m est le nombre de diamètres présents dans la

matrice, alors le débit spécifique s’exprime par :

ds

dgdNq i

m

i

i

128

4

1

(18’)

En séparant les termes relatifs à chaque constituant matrice solide et fluide, on peut exprimer

le débit spécifique sous la forme analogue à celle du modèle à diamètre uniforme :

128

; 4

i

i

dNk

ds

dgkq

(19’)

Le modèle capillaire est exposé ici dans sa forme la plus simple vu qu’on a pas tenu

compte du caractère microscopique tridimensionnel de l’écoulement d’infiltration ; quoiqu’il

en soit, on dispose maintenant d’une forme générale de la loi exprimant la conductivité

hydraulique du milieu poreux dans le cas où l’écoulement y est laminaire.


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


12

IV.2.3 Modèle adimensionnel

La théorie de l’analyse dimensionnelle permet de déterminer la forme de la

dépendance de la conductivité hydraulique K. En collectant tous les paramètres pouvant

influencer cette grandeur (sauf la température et le gradient hydraulique), on peut écrire :

K = F(, , d, n) (20)

n étant un paramètre sans dimensions, les grandeurs , et d étant indépendantes en

dimensions, on peut chercher K sous la forme :

321).(xxx

dnfK (21)

où f est une fonction quelconque mais sans dimension de la porosité. Les dimensions

suivantes :

010111

221110

.. ..

.. ..

TLMdTLM

TLMTLMK

Impliquent, après résolution que la conductivité hydraulique doit prendre la forme suivante :

2).( dnfK (22)

IV.2.4 Perméabilité intrinsèque

La forme généralement admise pour la conductivité hydraulique K est en effet :

kK (23)

k est la perméabilité intrinsèque.

k ne dépend que de la matrice solide véhiculant le fluide interstitiel et elle possède la

dimension d’une surface.


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


13

A titre d’indication, pour l’eau à 20 °C, nous avons approximativement la correspondance

suivante :

K = 1 cm/s ; k = 1.02x10-5

cm2 (24)

IV.3 Quelques formules pour K

La formule générale de K fait intervenir une dépendance fonctionnelle de la porosité n,

qui peut être représentée par f(n).

La fonction f est généralement déterminée par l’expérience, ce qui conduit à une formulation

semi empirique pour la conductivité hydraulique.

La fonction f dépend en outre de la granulométrie du sol en question et des dimensions

caractéristiques usuelles des grains ainsi que de l’enchevêtrement.

Dans la pratique, les essais in-situ sont souvent incontournables pour une estimation

réelle de la conductivité hydraulique d’un sol donné, ceci sera abordé dans un chapitre

ultérieur. Des formules empiriques existent cependant pour une approche de ce paramètre et

elles sont nombreuses ; pour les utiliser, il faut tout de même être attentif à leur domaine de

validité et éventuellement aux conditions dans lesquelles elles étaient établies.

Formule de Hazen

L’auteur remplace le sol réel par un sol fictif de granulométrie uniforme dont la

conductivité K serait la même.

Il définit K en fonction du diamètre du grain de ce sable qu’il prend égal au diamètre effectif

d10 du sol en question.

Il a enfin mené ses expériences sur l’eau à la température de 10°C et une porosité n = 0.45.

Ses essais aboutissent à la formule suivante :

2

10.dAK (25)

où K est en cm/s et d10 en cm.

Le coefficient A varie de 45.8 pour les sables très argileux à 142 pour les sables non argileux ;

on peut prendre pour une approximation la valeur moyenne de 100.

La formule de Hazen est valable pour 0.1 mm < d10 < 3 mm et d60/d10 < 5.

Formule de Casagrande

La formule précédente ne fait pas figurer explicitement la porosité. Casagrande

propose à cet effet pour un sable sa formule suivante :

2

85.04.1 nKKn (26)


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


14

Dans cette formule :

- Kn est la conductivité hydraulique pour un sable de porosité n

- K0.85 est la conductivité hydraulique pour un sable de porosité 0.85.

IV.4 Dépendance de la température

Pour un fluide interstitiel donné dans une matrice solide spécifiée, la conductivité

dépendra de la température puisqu’elle contient dans sa formule générale les paramètres

rhéologiques du fluide.

Pour l’eau qui nous concerne en tant qu’ingénieurs civils, si les fluctuations de la température

sont assez faibles, leurs effets sur la conductivité hydraulique peuvent parfois être source

d’erreur en les négligeant.

Si on désigne par K0 et 0 respectivement la conductivité et la viscosité cinématique du fluide

à la température de 0°C, K et seront telles que :

00 KK

et la conductivité à la température sera :

0

0KK (27)

Pour avoir un ordre de grandeur de l’influence de la température sur K, pour l’eau :

= 0.018 Stoke et 3 = 0.008 Stoke ; 030 25.2 KK

IV.5 Validité de la loi de Darcy

Il est observé qu’au fur et à mesure que le débit spécifique augmente à travers

l’échantillon de l’expérience de Darcy, la loi de Darcy cesse de décrire l’écoulement

d’infiltration (disparition de la proportionnalité entre q et J.)

Ceci est prévisible puisque la vitesse effective dans les canaux élémentaires constitués par les

interstices du milieu poreux en question devient très grande au point que l’écoulement y

devient turbulent.

Il existe en effet une valeur limite d’un nombre de Reynolds (analogue au nombre de

Reynolds pour les conduites en charge) au-delà de laquelle la loi de Darcy cesse de décrire

l’écoulement ; ce nombre est généralement défini sous sa forme usuelle :


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


15

qdRe (28)

d étant une longueur caractérisant la matrice poreuse, c’est une grandeur qui doit renseigner

sur l’espace offert par la matrice à l’écoulement interstitiel du fluide considéré.

Citons à titre indicatif les expressions suivantes pour d :

- d = d10

- d = d50

- n

kd

k est la perméabilité intrinsèque, n est la porosité, les indices sont ceux usuellement utilisés en

géotechnique.

Figure 6.

Dans la pratique, on situe la valeur limite du nombre de Reynolds entre 1. et 10.

A grands nombres de Reynolds, plusieurs formules sont proposées dont on cite deux pour

mémoire :

2.. ; . qqJqJ m (29)

Pour plus de détails le lecteur est invité à consulter la littérature spécialisée ; en ce qui

concerne cependant la première loi, l’exposant est situé entre les valeurs 1 et 2.

Ehrenberger a à ce sujet mené des essais à travers lesquel il s’est avéré que la loi de Darcy est

applicable pour des débits spécifiques q inférieurs à 0.4 cm/s.

Les résultats de ces expériences sont résumés sur le tableau de la figure 7.

q

J

Loi de Darcy

Recr


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


16

IV.6 Quelques valeurs indicatives (à saturation)

Nature du sol Conductivité hydraulique K

en m/s en m/j

Argile de surface 10-7

à 10-6

0.01 à 0.1

Limon de surface 10-6

à 10-5

0.1 à 1

Sable fin 10-5

à 5.10-5

1 à 5

Sable moyen 5.10-5

à 2.5.10-4

5 à 20

Sable grossier 2.5.10-4

à 10-3

20 à 100

Gravier > 10-3

> 100

V. QUELQUES PROPRIETES DE

LA CONDUCTIVITE HYDRAULIQUE

V.1 Directions principales de K

Les composantes du tenseur K jouissent des propriétés des tenseurs euclidiens dans

un espace orthonormé.

Il est intéressant de déterminer les directions propres de K et d’écrire les équations du

mouvement dans le repère propre.

Rappelons à ce propos que et x

sont respectivement valeur propre et vecteur propre du

tenseur de composantes ijK dans la base ji ee

, si :

ijij xxK .. (30)

En outre, est déterminé comme racine du polynôme caractéristique :

0.det ijijK (31)

Si on considère les deux groupes de composantes du tenseur K dans deux bases ie

et 'ie

sont liés par la transformation :

ijqjpipq KK ..' (32)

où :

nmmn ee

,cos ' (33)


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


17

L’application de (32) au tenseur de second ordre en deux dimensions :

2221

1211

KK

KK

donne les relations entre groupes de composantes, étant l’angle 1

'

1 ,ee

et le tenseur étant

symétrique :

.2cos..2sin.2

.2sin..2cos.22

.2sin..2cos.22

122211'

12

1222112211'

11

1222112211'

11

KKK

K

KKKKK

K

KKKKK

K

(34)

Les directions principales sont déterminées en annulant la composante non diagonale dans le

système ci-dessus :

2211

12.2.2tan

KK

K

(35)

Les composante principales de K sont après ce calcul :

2

1

2

12

2

22112211'

22

2

1

2

12

2

22112211'

11

22

22

KKKKK

K

KKKKK

K

(36)

Dans le système propre, le tenseur K s’écrit :

'

22

'

11

0

0

K

K (37)


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


18

En général, en trois dimensions et dans les axes principaux (Ox, Oy, Oz) la loi de Darcy

s’écrit :

zzz

yyy

xx

JKq

JKq

JKq

.

.

.1

(38)

V.2 Conductivités hydrauliques directionnelles

La relation de Darcy sous sa forme générale (9) montre que le débit spécifique q

et le

gradient hydraulique J

ne sont pas nécessairement colinéaires, et les lignes de courants ne

sont pas forcément perpendiculaires aux surfaces d’égale charge (équipotentielles.)

Soit en l’occurrence

zyx

T

zyx

T

JJJJ

qqqq

(39)

L’angle entre ces deux vecteurs est donné par :

Jq

Jq

.

.cos

(40)

où :

JJqq

et (41)

Si maintenant Ox, Oy et Oz sont les axes principaux de la conductivité hydraulique, alors (41)

s’écrit :

Jq

JKJKJK zzyyxx

.

...cos

222 (42)

La non colinéarité du débit spécifique et du gradient hydraulique a conduit à définir

deux conductivités hydrauliques dites directionnelles :


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


19

- Une conductivité hydraulique directionnelle dans la direction de l’écoulement ou

du débit spécifique qK

- Une conductivité hydraulique directionnelle dans la direction du gradient

hydraulique JK

Conductivité hydraulique directionnelle qK

Kq est définie en un point comme le rapport du débit spécifique à la projection du

gradient hydraulique sur la direction de q

.

Selon la figure ci-dessous, on peut écrire successivement :

cos.J

qKq

JJK

q

Jq

qKq

...

22

222

222222

...

...

zzyyxx

zzyyxx

qJKJKJK

JKJKJKK

Notons i l’angle ieq

, où i désigne une des directions x, y ou z ; les composantes du

débit spécifique peuvent s’exprimer comme suit :

zz

yy

xx

qq

qq

qq

cos.

cos.

cos.

Ceci donne la conductivité directionnelle :

z

z

y

y

x

x

q KKKK

222coscoscos1

Conductivité hydraulique directionnelle JK

Supposons maintenant que l’on connaisse la direction du gradient hydraulique J

.


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


20

La conductivité hydraulique directionnelle dans la direction du gradient, JK , est définie

comme le rapport de la projection du débit spécifique sur la direction du gradient, au gradient

hydraulique :

J

qK J

cos.

Si i, est l’angle ieJ

, , alors la conductivité JK sera donnée par :

2

222 ...

J

JKJKJKK

zzyyxx

J

y

x

J

q

2

1

yK

2

1

xK

qz

qy

qx

J

q

z

y

x

cos.J


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle


21


ISSAM

Rectangle

ISSAM

Rectangle

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