ANDORRATOURS. Quel est le nom de lentreprise ? Le nom de lentreprise est ANDORRATOURS.
Chapitre 10 Technologie. Technologies La technologie dune entreprise est le nom donné à lensemble...
-
Upload
basile-deschamps -
Category
Documents
-
view
105 -
download
0
Transcript of Chapitre 10 Technologie. Technologies La technologie dune entreprise est le nom donné à lensemble...
Chapitre 10
Technologie
Technologies
La technologie d’une entreprise est le nom donné à l’ensemble des procédés permettant à l’entreprise de convertir certains biens – des inputs – en d’autres biens - des outputs.
Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de l’électricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon.
Dans ce cours, on supposera toujours qu’un seul output est produit
Technologies
Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant l’ordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies).
Y a t-il des procédés « meilleurs » que d’autres?
Comment comparer différents procédés? Comment décrire l’ensemble des procédés
disponibles à la firme ?
Combinaisons d’inputs
xi désigne la quantité utilisée de l’input i.
Une combinaison d’inputs est une liste de quantités d’inputs; (x1, x2, … , xn).
E.g. (x1, x2, x3) = (6, 0, 9).
Fonctions de production
y désigne le niveau d’output.La fonction de production associe à
chaque combinaison d’inputs la quantité maximale d’output qu’il est techniquement possible de produire à partir de la dite combinaison.
y f x xn ( , , )1
Fonctions de production
y = f(x) décrit laFonction de de production.
x’ xNiveau d’Input
Niveau d’output
y’y’ = f(x’) représente le niveau maximal d’output que l ‘on peut produire à partir de x’ unités d’input.
un input, un output
Ensembles de production
Une activité productive est une combinaison d’inputs et un niveau d’output; (x1, … , xn, y).
Une activité productive est réalisable si
L’ensemble de toutes les activités
productives réalisables est appelé
ensemble de production.
y f x xn ( , , )1
Ensembles de production
y = f(x) décrit la fonction de production.
x’ xNiveau d’input
Niveau d’output
y’
y”
y’ = f(x’) : niveau maximal d’output qui peut être produit de x’ unités d’input.
Un input, un output
y” < f(x’) : niveau d’output réalisable avec x’ unités d’input.
Ensembles de production
L’ensemble de production:
}.0,,0
),,(|),,,{(
1
11
n
nn
xx
etxxfyyxxT
Ensembles de production
x’ xNiveau d’input
Niveau d’Output
y’
Un input, un output
y”
L’ensemble deproduction
Ensembles de production
x’ xNiveau d’input
Niveau d’output
y’
Un input, un output
y”
Ensemble deproduction
Activités productivestechniquementinefficaces
Activités productivesefficaces
Technologies avec plusieurs inputs
Comment décrire la technologie lorsqu’il y a plusieurs inputs?
Considérons le cas où il n’y a que deux inputs, dont les quantités sont notées x1 et x2. La quantité d’output est notée y.
Supposons que la fonction de production soit
y f x x x x ( , ) .1 2 11/3
21/32
Technologies avec plusieurs inputsE.g. le niveau maximal d’output
possible à partir de la combinaison d’ input(x1, x2) = (1, 8) est
Alors que le niveau maximal d’output possible à partir de (x1,x2) = (8,8) est
y x x 2 2 1 8 2 1 2 411/3
21/3 1/3 1/3 .
y x x 2 2 8 8 2 2 2 811/3
21/3 1/3 1/3 .
Technologies avec plusieurs inputs
Output, y
x1
x2
(8,1)(8,8)
Technologies avec plusieurs inputs
On appelle isoquante associée au niveau de production y l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant de produire exactement y comme niveau maximal d’output.
Isoquantes avec deux inputs
y
y x1
x2
Isoquantes avec deux inputs
Les isoquantes peuvent être représentées graphiquement en ajoutant un axe pour les niveaux d’output level et en « découpant » chaque isoquante à la hauteur du niveau d’output associée à la dite isoquante.
Isoquantes avec deux inputs
Output, y
x1
x2
y
y
Isoquantes avec deux inputs
L’ajout d’isoquantes supplémentaires fournit une information de plus en plus précise sur la technologie de la firme.
Isoquantes avec deux inputs
y
y
x1
x2
y
y
Isoquantes avec deux inputs
Output, y
x1
x2
y
y
y
y
Technologies à plusieurs inputs
La collection complète des isoquantes est parfois appelée la carte d’isoquantes.
La carte d’isoquantes est équivalente à la fonction de production.
E.g. 3/12
3/1121 2),( xxxxfy
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
x2
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Technologies à plusieurs inputs
x1
y
Ensemble d’inputs requis
On appelle l’ensemble des inputs requis à la production de y unités d’output (noté V(y)) l’ensemble de toutes les combinaisons d’inputs permettant au moins de produire y
Formellement: V(y) = {(x1,…,xn)Rn
+: f(x1,…,xn) y}
Ensemble d’inputs requis
y
y x1
x2
x2
x1
I(y)
Ensemble d’inputs requis
V(y)
y x1
x2
x2
x1
I(y)
Analogie avec la théorie du consommateur
D’un point de vue mathématique, la fonction de production ressemble à la fonction d’utilité du consommateur
La carte d’isoquantes ressemble à la carte d’indifférence
Les ensembles d’inputs requis ressemblent aux ensembles des paniers faiblements préférés
Analogie avec la théorie du consommateur
Il y a toutefois une différence essentielle: Les nombres associés par la fonction d’utilité aux courbes d’indifférence n’ont pas d’autre signification que d’ordonner ces courbes de manière conforme aux préférences du consommateur
Par contre les nombres associés aux isoquantes par la fonction de production ont une signification plus précise (cardinale) : ce sont des niveaux physiques d’output.
Technologies Cobb-Douglas
Comme pour le consommateur, la fonction de production Cobb-Douglas s’écrit
Par ex:avec
y Ax x xa anan 1 2
1 2 .
y x x 11/3
21/3
.31
31
,1,2 21 aetaAn
x2
x1
Les isoquantes sont hyperboliques,asymptotiques aux axes sansjamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a 1 21 2
x2
x1
Les isoquantes sont hyperboliques,asymptotiques aux axes sansjamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a 1 21 2
x x ya a1 21 2 "
x2
x1
Les isoquantes sont hyperboliques,asymptotiques aux axes sansjamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a 1 21 2
x x ya a1 21 2 "
x x ya a1 21 2 '
x2
x1
Les isoquantes sont hyperboliques,asymptotiques aux axes sansjamais les toucher.
Technologies Cobb-Douglas
y x xa a 1 21 2
x x ya a1 21 2 "
x x ya a1 21 2 '
y" > y'
Technologies à coefficients de production fixes (Léontieff)
Une fonction de production Léontieff est de forme
E.g.
avec
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
y x xmin{ , }1 22
.21,2 21 aetan
Technologies Léontieff
x2
x1
min{x1,2x2} = 14
4 8 14
247
min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4
x1 = 2x2
y x xmin{ , }1 22
Technologie Léontieff
Décrit des situations de parfaite complémentarité entre facteurs de production
Ex: il faut une pelle et un travailleur pour creuser un trou. Deux pelles et deux travailleurs pour creuser deux trous, etc.
Augmenter le nombre de travailleurs sans augmenter le nombre de pelles n’augmentera pas le nombre de trous
Technologies à parfaite substituabilité
Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme
E.g.
avec
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
y x x 1 23
.31,2 21 aetan
Technologies à parfaite substituabilité
9
3
18
6
24
8
x1
x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
x1 + 3x2 = 48
Isoquantes linéaires et parallèles
y x x 1 23
Technologie à parfaite substituabilité Décrit des situations de parfaite
substituabilité entre facteurs de production Ex: On a besoin de 1000 heures de travail
efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage
Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1
Produit Marginal Physique d’un input
Le produit marginal de l’input mesure la variation de l’output qu’entraîne une variation infinitésimale d’input i,toutes choses égales par ailleurs.
Mathématiquement:
y f x xn ( , , )1
ii x
fPM
Produit marginal physique
E.g. siy f x x x x ( , ) /
1 2 11/3
22 3
alors le produit marginal de l’input 1 est
Produit marginal physique
E.g. siy f x x x x ( , ) /
1 2 11/3
22 3
alors le produit marginal de l’input 1 est3/2
23/2
11
1 31
xxxy
PM
Produit marginal physique
E.g. siy f x x x x ( , ) /
1 2 11/3
22 3
alors le produit marginal de l’input 1 est3/2
23/2
11
1 31
xxxy
PM
et le produit marginal de l’input 2 est
Produit marginal physique
E.g. siy f x x x x ( , ) /
1 2 11/3
22 3
alors le produit marginal de l’input 1 est3/2
23/2
11
1 31
xxxy
PM
et le produit marginal de l’input 2 est
.32 3/1
23/1
12
2 xx
xy
PM
Produit marginal physique
En général, le produit marginal physique d’un input dépend de la quantité utilisée des autres inputs. E.g. si
3/22
3/211 3
1xxPM alors
3/21
3/23/211 3
48
31 xxPM
Et si x2 = 27 alors
si x2 = 8,
.32731 3/2
13/23/2
11 xxPM
Produit marginal physique
On suppose souvent que le produit marginal physique de l’input i est décroissant par rapport à l’emploi de cet input, toutes choses égales par ailleurs. Formellement:
.02
2
iiii
i
xf
xf
xx
PM
Produit marginal physique
On justifie usuellement cette décroissance du produit marginal par la loi dite « des rendements décroissants ». On obtient moins de la quarantième heure de travail que de la trente neuvième!
Produit marginal physique
3/22
3/211 3
1xxPM 3/1
23/1
12 32 xxPMet
E.g. si y x x 11/3
22 3/ alors
Produit marginal physique
3/22
3/211 3
1xxPM 3/1
23/1
12 32 xxPMet
E.g. si y x x 11/3
22 3/ alors
Et donc0
92 3/2
23/5
11
1 xxxPM
Produit marginal physique
3/22
3/211 3
1xxPM 3/1
23/1
12 32 xxPMet
E.g. si y x x 11/3
22 3/ alors
Et donc0
92 3/2
23/5
11
1 xxxPM
et.0
92 3/4
23/1
12
2 xxxPM
Produit marginal physique
3/22
3/211 3
1xxPM 3/1
23/1
12 32 xxPMet
E.g. si y x x 11/3
22 3/ alors
Et donc0
92 3/2
23/5
11
1 xxxPM
et.0
92 3/4
23/1
12
2 xxxPM
Les deux produits marginaux sont décroissants.
Rendements d’échelle La notion de produit marginal physique décrit le
changement de niveau d’output qui résulte d’un changement (marginal) dans l’emploi d’un seul input.
La notion de rendements d’échelle décrit la manière avec laquelle le niveau d’ output est affecté lorsque toutes les quantités d’input sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux d’input doublés, ou divisés par deux).
Très importante notion pour comprendre l’émergence de grandes firmes
Rendements d’échelle
Si, pour chaque combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie décrite par lafonction de production f est l’objet de rendements d’échelle constants.E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux d’input Double la quantité maximal d’output Que l’on peut produire.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ xNiveau d’input
Niveau d’output
y’
un input, un output
2x’
2y’
Rendementsd’échelle constants
Rendements d’échelle
Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendementsd’échelle décroissants.E.g. (k = 2) doubler le niveau d’emploi de tous les inputs fait moins que doublerla quantité maximale d’output possible.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ xNiveau d’input
Niveau d’output
f(x’)
Un input, un output
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Rendements d’échelledécroissants
Rendements d’échelle
Si, pour toute combinaison d’inputs (x1,…,xn),
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2
pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait l’objet de rendements d’échelle croissants.E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les input fait plus que doubler la quantitémaximale d’output.
Rendements d’échelle
y = f(x)
x’ xNiveau d’Input
Niveau d’output
f(x’)
Un input, un output
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Rendements d’ échellecroissants
Rendements d’échelle
Une technologie peut localement faire montre de différents types de rendements d’échelle.
La notion de rendements d’échelle est, de fait, une notion locale
Rendements d’échelle
y = f(x)
xInput
Output
Un input, un output
Rendements d’échelledécroissants
Rendements d’échellecroissants
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la Quantité d’output:
a kx a kx a kxn n1 1 2 2( ) ( ) ( )
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la Quantité d’output:
a kx a kx a kx
k a x a x a xn n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
Exemples de Rendements d’échelle
y a x a x a xn n 1 1 2 2 .
La fonction de production avec parfaitesubstituabilité est
Si on augmente proportionellement tous les niveaux d’input par k, on obtiendra la quantité d’output:
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
.
Cette technologie fait donc l’objet de rendements d’échelle constants.
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:
min{ ( ), ( ), , ( )}a kx a kx a kxn n1 1 2 2
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
a kx a kx a kx
k a x a x a xn n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
Exemples de rendements d’échelle
y a x a x a xn nmin{ , , , }.1 1 2 2
La fonction de production Léontieff:
L’augmentation proportionnelle de tous les niveaux d’input par k permet au mieuxla production du niveau d’output:
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
.
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
La technologie Léontieff fait donc l’objetde rendements d’échelle constants.
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kxa an
an1 2
1 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kx
k k k x x x
a an
a
a a a a a a
n
n n
1 21 2
1 2 1 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )kx kx kx
k k k x x x
k x x x
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
n
n n
n n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( )
.
kx kx kx
k k k x x x
k x x x
k y
a an
a
a a a a a a
a a a a ana
a a
n
n n
n n
n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.
Exemples de Rendements d’échelle
y x x xa anan 1 2
1 2 .La fonction de production Cobb-Douglas:
L’augmentation proportionnelle des niveauxd’input par k va conduire au niveau d’output:
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k ya an
a a an n1 2
1 2 1
La technologie Cobb-Douglas fait donc l’objetde rendements d’échelle:constants si a1+ … + an = 1croissants si a1+ … + an > 1décroissants si a1+ … + an < 1.
Mesure locale de rendements d’échelle
Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements d’échelle dont elle fait l’objet ?
La notion d’élasticité d’échelle fournit une réponse à cette question
L’élasticité d’échelle donne le taux d’augmentation du niveau d’output qu’entraîne une augmentation proportionnelle d’un pour cent du niveau d’emploi des inputs
Mesure locale de rendements d’échelle
Soit une fonction de production f(x1,…,xn)
A tout niveau d’emploi des inputs (x1,…,xn) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau d’emploi d’un montant k (proche de 1).
Cela définit une fonction g(k) de la manière suivante: g(k)= f(kx1,…,kxn)
Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)
Mesure locale de rendements d’échelle
Cette dérivée s’écrit:
Si on l’évalue à k = 1, elle s’interprète comme le taux de variation du niveau d’output par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau d’emploi des inputs
nnn x
xxkxkf
xx
xkxkfkkg
1
11
1
1 ),...,(...
),...,()(
Mesure locale de rendements d’échelleUne mesure locale d’élasticité d’échelle E serait
donc:
E > 1 Rendements d’échelle croissants E = 1 Rendements d’échelle constants E < 1 Rendements d’échelle décroissants
),...,(
),...,(...
),...,(
)1(
)1(
1
1
11
1
1
n
nn
E
xxf
xx
kxfx
xxxf
gkg
Mesure locale de rendements d’échelleExemple: trouver l’élasticité l’échelle associée
à la fonction de production f(x1,x2) = (1+x1)1/2 (1+x2)1/2
Les dérivées partielles de f sont:
f1(x1,x2) = ½((1+x1)-1/2 (1+x2)1/2 et
f2(x1,x2) = ½((1+x1)1/2 (1+x2)-1/2
On a donc:
1)1(2)1(2
)1()1(
])11()
11[(21
2
2
1
1
2/12
2/11
22/1
2
11
2/1
1
2
xx
xx
xx
xxx
xxx
E
Rendements d’échelle
Q: Une technologie peut elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?
Rendements d’échelle
Q: Une technologie peut-elle faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?
R: Oui.E.g. y x x 1
2 322 3/ / .
Rendements d’échelley x x x xa a 1
2 322 3
1 21 2/ /
134
21 aaE donc, cette technologie faitl’objet de rendements d’échelle croissants.
Rendements d’échelley x x x xa a 1
2 322 3
1 21 2/ /
134
21 aaE donc, cette technologie faitl’objet de rendements d’échelle croissants.
mais 3/22
3/111 3
2xxPM est décroissant en x1
Rendements d’échelley x x x xa a 1
2 322 3
1 21 2/ /
134
21 aaE donc, cette technologie faitl’objet de rendements d’échelle croissants.
mais 3/22
3/111 3
2xxPM est décroissant en x1
3/12
3/212 3
2 xxPMet est décroissant en x2
Rendements d’échelle
Donc, une technologie peut faire l’objet de rendements d’échelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants. Pourquoi?
Rendements d’échelle
Le produit marginal décrit le taux de variation de l’output par rapport à la variation d’un niveau d’input (toutes choses égales par ailleurs).
Le produit marginal décroît parce que les autres inputs restent fixés de sorte que les unités additionnelles de l’input ont de moins d’autres input avec lesquels elles peuvent être combinées.
Rendements d’échelle
Lorsque tous les niveaux d’input sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements d’échelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante
Taux marginal de Substitution technique
A quel taux la firme peut-elle substituer un input à un autre sans modifier son niveau de production ?
Taux marginal de substitution technique
x2
x1
y
x2'
x1'
Taux marginal de substitution technique
x2
x1
y
x2'
x1'
Pente = taux maximal auquel le niveau d’input 2 peut être réduit lorsque l’input 1 est augmenté et que la firme désire garder constant son niveau de production. La pente de l’ isoquante est donc ce taux marginal de substitution technique
Taux marginal de Substitution technique
Comment calculer le Taux Marginal de substitution technique ?
Taux marginal de Substitution technique
Comment calculer le Taux Marginal de Substitution Technique TMST ?
On utilise, comme pour le TMS de la théorie du consommateur, le théorème des fonctions implicites
Rappel le théorème des fonctions implicites
Dans un monde à deux inputs, la courbe de l’isoquante associée à un niveau de production y, qui définit une relation entre le niveau d’input 1, x1, et le niveau d’input 2, x2
y(x1), est définie par l’identité:
yxxxf y ))(,( 121
Calcul du TMST par le théorème des fonctions implicites
Si les produits marginaux sont toujours positifs et si la fonction de production est continue, la relation
est fonctionnelle (elle
associe à toute quantité d’input 1 l’unique quantité d’input 2 qui permet à l’entreprise de produire y)
:2ux
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas
dérivable)
1
1221
)(),(
xzx
zzTMSTy
1
12
2
121
1
121 )())(,())(,(0
xzx
xzxzf
xzxzf yyy
Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)
2
121
1
121
1
12
))(,(
))(,()(
xzxzf
xzxzf
xzx
y
y
y
Taux marginal de substitution technique: Un exemple Cobb-Douglas
y f x x x xa b ( , )1 2 1 2
donc ba xaxxf
21
11
.1212
baxbxxf
et
Le TMST est donc
.//
1
21
21
21
1
2
1
1
2
bxax
xbxxax
xfxf
xx
ba
bay
x2
x1
Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxax
TMST
32
31
;3/223/1
1 betaxxy
x2
x1
Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxax
TMST
32
31
;3/223/1
1 betaxxy
4
81
428
2 1
2
xx
TMST
x2
x1
Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas
1
2
1
2
1
2
2)3/2()3/1(
xx
xx
bxax
TMST
32
31
;3/223/1
1 betaxxy
6
12
41
1226
2 1
2
xx
TMST
Hypothèses sur les Technologies
On suppose souvent d’une technologie qu’elle estmonotone, etconvexe.
Monotonie
Monotonie: Augmenter le niveau d’emploi de n’importe quel input ne réduit jamais l’ output.
y
x
y
x
monotone nonmonotone
Convexité
Convexité: Si les combinaisons d’ inputs x’ et x” permettent chacune de produire au moins y unités d’output, le mélange tx’ + (1-t)x” des deux combinaisons doit également permettre de produire au moins y unités d’output et, quelque soit 0 < t < 1.
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
y
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )
y
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )
yy
Convexité
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
La convexité implique que leTMST augmente (devienne moins négatif) au fur et àmesure que x1 augmente.
Technologies monotones
x2
x1
yy
y
Plus grande quantitéd’output
Une distinction importante: Le long terme vs le court terme
Le long terme décrit l’horizon temporel sur lequel l’entreprise n’est pas du tout restreinte en terme de ses choix de combinaisons d’input.
Le court terme est un horizon temporel dans lequel l’entreprise est restreinte d’une manière ou d’un autre dans ses choix de combinaisons d’input.
Il y a plusieurs horizons de court terme.
Long terme vs court terme
Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix d’activité productive dans le court terme:Incapacité temporaire d’installer ou de
détruire un équipement lourd ou une chaîne de montageObligation légale de satisfaire certaines
normes environnementalesObligation légale de satisfaire des
exigences en termes de contenu national.
Long terme vs court terme
Quelle type de restrictions l’horizon de court terme impose t-il à la technologie de la firme ?
De manière spécifique, supposons que la restriction de court terme fixe le niveau disponible d’input 2.
L’input 2 sera donc l’input fixe dans le court terme. L’input 1 restera variable.
Long terme et court termex2
x1y
Long terme et court terme
x2
x1y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2
x1
y
Long terme et court terme
x2 x1
y
Long terme et court terme
x1
y
Long terme et court terme
x1
y
Long terme et court terme
x1
y
Quatre fonctions de production de court terme.
Long terme et court terme
y x x 11/3
21/3
est la fonction de productionde long terme (x1 and x2 sont tous les deux variables).La fonction de production de court terme pour x2 1 est .x1xy 3/1
13/13/1
1
La fonction de production de court terme pour x2 8 est .28 3/1
13/13/1
1 xxy