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Chapitre 7 :
Equation : (Leçon)
3. Tester une égalité
2. Définition 4. Résoudre une équation
5. Résolution de problèmes
Sommaire
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
1. Prérequis
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QCM et prérequis
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, appelées membres de l’équation, et où figurent une ou plusieurs inconnues (Les inconnues sont des grandeurs à déterminer).
Premier membre Second membre
: Ceci est un exemple d’équation d’inconnue x
3 x+5 = 6 x - 7
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs s’il y en a pour lesquelles l’égalité est vérifiée.
A Savoir :
…/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
à recopier dans le cahier de leçon
1. Savoir : Définition
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Exemple n°1 : Un rectangle a pour largeur 10 mètres et son aire vaut 200m² Quel est la mesure de sa Longueur?
Choix de l’inconnue : …………………………………………
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution :
Vérification :
…………….
…………………
Phrase donnant la réponse : la longueur du rectangle est 20 m
10 x x = 200
10 x x = 200
x = 20
10 x 20 = 200
…/…
Aire de 200m² l = 10m
L= ?
10 x ….. = 200
Rappel : Aire d’un rectangle = Longueur x largeur
soit x la longueur du rectangle.
Dans 200, combien de fois on a 10 ? La longueur du rectangle
devrait mesurer 20 m Vérifions cela !
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Exemple n°2 : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de cet âge et que l’on retire 42, on trouve 51.
Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : …………….
(3 x x ) - 42 = 51
3 x - 42 = 51
x = ????
…/…
On s’aperçoit qu’il est difficile de trouver la solution.
On va donc par la suite, apprendre une méthode pour résoudre ce type d’ équation.
Exemple 2
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II. Tester une égalité : Nous allons tester cette égalité : 3 x+ 5 = 6 x - 7 , pour cela, nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :
Valeur de X 3 x+ 5 6 x - 7 Egalité
vraie ou fausse ?
3 -1 0 4
1,5
14 11 2 - 13
Fausse
Fausse
5 -7 Fausse
17 17 Vraie 9,5 2 Fausse
On dit que 4 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!
= ?
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x, s’il y en a, pour lesquelles l’égalité est vraie.
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2. Savoir Faire : Tester une égalité
Le nombre 2 est-il solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7 ?
Pour x = 2 :
D’une part : 3 x +5 = 3 x (2) + 5 =
(2)
D’autre part : 6 x - 7 = 6 x 2 - 7 =
Donc :
11 ≠ 5
x = 2 n’est pas solution de l’équation : 3x + 5 = 6x – 7
6 + 5 = 11
12 - 7 = 5
…/…
à recopier dans le cahier de leçon Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
(2)
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Nous allons tester cette égalité : x X x = 4 Nous allons utiliser un tableur ou utiliser votre calculatrice :
Valeur de X x X x 4 Egalité
vraie ou fausse ?
3 -1 0 2 -3
9 4 1 4
Fausse
Fausse
0 4 Fausse
4 4 Vraie 9 4 Fausse
On dit que 2 est une solution de cette équation Mais pas forcément la seule !!
= ?
En effet : -2 est aussi solution de l’équation : x X x = 4
Autre exemple :
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Attention !!! □ Tester une équation avec la calculatrice ou un tableur
Par la suite, nous allons voir comment : - on résout une équation - et comment on trouve toutes les solutions…
ne donne pas forcément touts les solutions de l’équation.
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1) « al- jabr » : « On enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation» . Par exemple , 8 x - 5 = 4 x + 11 devient 8 x = 4 x + 16 en ajoutant 5 dans les deux membres
Abu Djafar Muhammad ibn Musa
al Khwarizmi
Bagdad - Perse (780 ; 850)
Ce mathématicien est le premier à proposer une méthode de résolution des équations en notation modernes :
2) « al - muqalaba » : « On soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres » (sur l'exemple précédent , 4 x = 16 en soustrayant 4 x dans chaque membre)
3) « al - hatt » , méthode consistant à multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre . (sur l'exemple précédent , x = 4 en divisant par 4 dans chaque membre)
Cette méthode est la méthode de résolution utilisée de nos jours . …/… Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
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Cette méthode de résolution des équations par al Khwarizmi
est similaire à la méthode des balances suivantes :
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90g 30g
Combien pèse la pomme ? 60 g
Traduction mathématique : x + = x + 30 = 90
La solution de cette équation est : x = 60
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
…/…
60g 30g 90g
x + 30 - 30 = 90 - 30
On enlève 30g de chaque côté :
x = 60
Regardez bien la balance …
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= 0 = 60
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210g
70 g
3 x = 210
La solution de cette équation est : x = 70
x x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite... Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
= Traduction mathématique :
On divise par 3 de chaque côté :
x = 70
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 210 ÷ 𝟑𝟑
x = 210g ÷ 𝟑𝟑
On ne peut rien enlever de similaire de chaque côté
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85g
85g = 2x = x + 85
La solution de cette équation est : x = 85
x x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
85 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
Traduction mathématique :
= x
x = 85 2 x − 𝒙𝒙 = x + 85 − 𝒙𝒙
On enlève une pomme de chaque côté :
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Traduction mathématique :
=
2x + 20 = 100
Résolution de l’équation utilisation de la balance
100g 20g x + + x
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
40 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
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100g 20g en équilibre
80g 20g 20g en équilibre
80g 20g 20g
en équilibre
80g
en équilibre
…/… La solution est : 40 g
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Traduction mathématique: 4x + 10 = 2x + 110
110g 10g
Ici, la balance est en équilibre : cela signifie que le plateau de gauche est aussi lourd que celui de droite...
50 g Combien pèse la pomme ? Regardez bien la balance …
Résolution de l’équation utilisation de la balance
= x + x + x + x x + x +
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en équilibre
en équilibre
en équilibre
en équilibre
110g 10g
100g 10g 10g
100g
100g 10g 10g
…/… La solution est : 50 g
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Propriétés :
Pour résoudre une équation, on la transforme en une succession d’équations ayant les mêmes solutions que l’équation initiale, de façon à isoler le ou les inconnues. De telles équations sont dites équivalentes.
■ Lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
■ Lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul, les deux membres d’une équation on obtient une équation équivalente.
…/…
3 . Savoir : Résoudre une équation
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Méthode : Avant de commencer , il faut que chaque membre de l’équation soit développé, réduit et simplifié,
On doit isoler les inconnues d’un seul côté de l’égalité, puis en avoir qu’un seul ■ Supprimer les termes constants à gauche. Puis réduire les deux membres. ■ Supprimer les termes inconnus à droites. Puis réduire les deux membres. ■ A la fin, il faut diviser (ou multiplier) les deux membres par un même nombre pour isoler l’inconnue. à recopier dans le cahier de leçon
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L’équation admet une seule solution :
x = 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x = 0 + 5 = 5 4. On vérifie que si on remplace x par 5 dans l’équation de départ cela donne « 0 »
= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !
On vient d’isoler l’inconnue : x
Exemple n°1 :
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Résoudre l’équation : x – 5 = 0
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
x – 5 = 0 1. On enlève le « -5 » en ajoutant 5 des deux côtés de l’égalité.
On veut, à gauche, seulement des inconnues.
2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : 5 - 5 = 0
…/…
![Page 20: Chapitre 1 : Théorème de Pythagore › file...Chapitre 7 : Equation : (Leçon) 3. Tester une égalité . 2. Définition . 4. Résoudre une équation . 5. Résolution de problèmes](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060320/5f0d0b957e708231d438680c/html5/thumbnails/20.jpg)
L’équation admet une seule solution :
x = 5
x – 5 + 5 = 0 + 5
x = 5 = 0
Exemple n°1 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x – 5 = 0
Sans explication :
x – 5 = 0
vérification : 5 - 5 = 0
…/…
= 5
à recopier dans le cahier de leçon
![Page 21: Chapitre 1 : Théorème de Pythagore › file...Chapitre 7 : Equation : (Leçon) 3. Tester une égalité . 2. Définition . 4. Résoudre une équation . 5. Résolution de problèmes](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022060320/5f0d0b957e708231d438680c/html5/thumbnails/21.jpg)
L’équation admet une seule solution :
x = - 22
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x = - 18 - 4 = - 22 4. On vérifie que si on remplace x par - 22 dans l’équation de départ cela donne - 18
= 0 : l’inconnue x se retrouve seule !
On vient d’isoler l’inconnue : x
Exemple n°2 :
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Résoudre l’équation : x + 4 = - 18
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
x + 4 = - 18 1. On enlève le « +4 » en soustrayant 4 des deux côtés de l’égalité.
On veut, à gauche, seulement des inconnues.
2. On a pas besoin de supprimer les inconnues du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : -22 + 4 = -18
…/…
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…/…
L’équation admet une seule solution :
x = - 22
x = - 22 = 0
Exemple n°2 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : x + 4 = - 18
Sans explication :
vérification :
= - 22
x + 4 - 4 = - 18 - 4
x + 4 = - 18
-22 + 4 = -18
à recopier dans le cahier de leçon
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L’équation admet une seule solution :
x = 𝟏𝟏𝟑𝟑
x = 1 ÷ 𝟑𝟑 = 13
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏𝟑𝟑
dans l’équation de départ cela donne « 1 »
= 1x : On obtient une seule inconnue !
Mais nous voulons connaître la valeur d’1x
Exemple n°3 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 3 x = 1
Rappel : il ne faut pas deviner la solution, mais utiliser la méthode de résolution des équations
3 x = 1 1. On a, ici, un cas particulier : l’inconnue x est déjà isolée. Et il n’y a pas d’ inconnue du côté droit de l’égalité .
5. On Conclut.
vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑
= 1
…/…
3 x = 1
On divise alors par 3 de chaque côté de l’égalité 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑
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…/…
x = 13
= 1 x
Exemple n°3 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 3 x = 1
Sans explication :
= 𝟏𝟏𝟑𝟑
L’équation admet une seule solution :
x = 𝟏𝟏𝟑𝟑
3 x = 1
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 1 ÷ 𝟑𝟑
vérification : 3 x 𝟏𝟏𝟑𝟑 = 1
à recopier dans le cahier de leçon
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L’équation admet une seule solution :
x = 1
7 x = 7
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟏𝟏 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.
= 7x
Exemple n°4 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x Rappel : il faut utiliser la méthode de résolution des équations
4 x = 7 – 3 x 1. On a pas besoin de supprimer des nombres du côté droit de l’égalité car il n’y en a pas dans cet exemple.
5. On Conclut.
vérification : 4 x 1 = 4
…/…
Mais, à droite, on ne veut pas d’inconnue.
2. On va donc supprimer, à droite, - 3x en faisant + 3x de chaque côté de l’égalité.
4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0
On vient d’isoler l’inconnue : x Mais il y en a 7x
On divise alors par 7 de chaque côté de l’égalité 7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1
et 7 - 3 x 1 = 4
x = 1
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…/…
Exemple n°4 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 4 x = 7 - 3 x
Sans explication :
4 x = 7 – 3 x
L’équation admet une seule solution :
x = 1
7 x = 7 = 7x
vérification : 4 x 1 = 4
4 x + 3 x = 7 – 3 x + 3 x = 0
7 x ÷ 𝟕𝟕 = 7 ÷ 𝟕𝟕 = 1x = 1
et 7 - 3 x 1 = 4
x = 1
à recopier dans le
cahier de leçon
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L’équation admet une seule solution :
x = 3
3 x = 9
4. On vérifie que si on remplace x par 𝟑𝟑 des 2 côtés de l’égalité de départ cela donne bien le même résultat.
= 3x
Exemple n°5 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x
5 x + 2 = 11 + 2 x
5. On Conclut.
vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17
…/…
Car, à gauche, on veut que des inconnues.
5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x = 0 On vient d’isoler l’inconnue : x
Mais il y en a 3x
On divise alors par 3de chaque côté. 3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑
= 1x = 3
et 11 + 2 x 3 = 17
1. On enlève le « +2 » en soustrayant 2 des deux côtés de l’égalité.
5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0
5 x = 9 + 2 x 2. On ne veut pas, à droite d’inconnue. On va donc supprimer + 2x en faisant - 2x de chaque côté de l’égalité.
x = 3
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…/…
Exemple n°5 :
Mr Monastier Collège de l'Europe Jean Monnet
Résoudre l’équation : 5 x + 2 = 11 + 2 x
Sans explication :
L’équation admet une seule solution :
x = 3
3 x = 9 = 3x
5 x + 2 = 11 + 2 x
vérification : 5 x 𝟑𝟑 + 𝟐𝟐 = 17 5 x - 2 x = 9 + 2 x - 2 x
= 0
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 9 ÷ 𝟑𝟑 = 1x = 3
et 11 + 2 x 3 = 17
5 x + 2 - 2 = 11 + 2 x - 2 = 0
5 x = 9 + 2 x
x = 3
= 11 - 2 = 9
à recopier dans le
cahier de leçon
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Autre Exemple :
Résoudre l’équation : 2 x + 3 = 6 x – 5
Résoudre l’équation : 2(3x +2) = – 2(7x – 7)
−×
41
L’ équation admet une seule solution :
L’ équation admet une seule solution :
−×
41
2 x + 3 - 6 x = 6 x – 5 - 6 x 2x + 3 - 6 x = - 5
2x - 6x + 3 = - 5 - 4 x + 3 = - 5
- 4 x + 3 - 3 = - 5 - 3 - 4 x = - 5 - 3 - 4 x = - 8
- 4 x = – 8
x = 2
6 x +4 + (14 x) = – 14 x +14 +(14 x)
2 x(3x ) +2 x(2) = – 2 x(7 x ) – 2 x(-7)
6 x +4 = – 14 x +14
x = ½
6 x + 4 +(14 x ) = 14 20 x +4 = 14 20 x +4 - 4 = 14 – 4 20 x = 14 – 4 20 x = 10 x = 10/20
48x =
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Choix de l’inconnue : ex : soit x : le prix d’une baguette.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ex : 8 + 10 x = 45
Résolution de l’équation : Méthode vue précédemment.
Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.
Phrase donnant la réponse au problème :
…/…
4 . Savoir Faire : Résoudre un problème
Il y a cinq étapes obligatoires :
ou soit x : l'âge de Martine.
à recopier dans le cahier de leçon
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Exercice : Si on prend quatre fois son prix et que l’on retire 7, on trouve 18 euros. A quel prix est cet article ?
Choix de l’inconnue : soit x le prix de l’article.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : …………….
(4 x x ) - 7 = 18
4 x – 7 = 18
…/…
Vérification : On vérifie que la valeur trouvée est bien la solution du problème.
Phrase donnant la réponse au problème :
4 x – 7 + 7 = 18 + 7 4 x = 25 Puis on divise par 4 les deux membres x = 2𝟓𝟓 ÷ 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟓𝟓
𝟒𝟒= 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟓𝟓
4 fois son prix : 4 x 6,25 = 25 Et on y retire 7 : 25 – 7 = 18
Le prix de cet article est de 6,25 €
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Exemple : Quel âge a-t-elle ? Si on prend le triple de son âge et que l’on retire 42, on trouve 51.
Choix de l’inconnue : soit x l’âge de la personne.
Mise en équation en utilisant l’énoncé : ……
Résolution : L’ âge trouvée
pourrait être la solution
Vérification :
…………….
…………………
Phrase donnant la réponse : la personne à 31 ans
(3 x x ) - 42 = 51
3 x - 42 = 51 3 x = 93
3 x 31 - 42 = 93 - 42 = 51
3 x ÷ 𝟑𝟑 = 93 ÷ 𝟑𝟑
x = 31
…/…
x = 93 ÷ 𝟑𝟑
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FIN
…/…
FIN FIN FIN FIN
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Explication
Explication
Explication
Explication
Explication
…/…
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Si X = -2 On a : 3X + 5 = (-6) + 5 = -1 3 x (-2) + 5 =
Donc, l’expression vaut : -1
Réponse : a)
Retour
…/…
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(prèrequis)
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Si X = 3
On a : -2X + 5 = l’égalité est vrai lorsque x = 3
a) D’une part : -2 x ( 3) + 5 = -1
D’autre part : On a : X – 4 = (3) - 4 = -1
Donc :
? ?
Si X = 0
On a : -2X + 5 = Les 2 expressions ne sont pas égale lorsque x = 0
b)
D’une part : -2 x ( 0) + 5 = 5
D’autre part : On a : X – 4 = (0) - 4 = -4
Donc :
(-6)
(0)
…/…
Retour
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(prèrequis)
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? ?
Si X = -1 On a : -2X + 5 = Les 2 expressions
ne sont pas égale lorsque x = -1
c) D’une part : -2 x (-1) + 5 = 7
D’autre part : On a : X – 4 = (-1) - 4 = -5
Donc :
(+2)
…/…
Retour
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21 42 35
- 4 x 2 - 7 : 5
x = 7
Réponse : X = 7
…/…
Retour
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(prèrequis)
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Le nombre de départ est : ??
x 6
….
+ 3
15
- 3
: 6
12 2
…/…
Retour
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12 + 3n
□ Si je vois « n films », je vais payer : ( 3 x n ) €
Chaque film coûte 3 €
□ Mais il ne faut pas oublier « l’abonnement » qui est de 12 euros
Coût total annuel :
…/…
Retour
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Fin
…/…
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Facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 5 - 10 8
? ? ?
- 2 1
3
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Moins facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 5
- 3 8 ? ?
?
- 10
- 2
7
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? ? ?
Encore moins facile !
Chaque brique contient la somme des deux briques qui sont au dessus.
- 11
2 3
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- 11
2 3 ? x
x + 3 x + 2 2x + 5
Equation : 2x + 5 = -11 -11 = 5 - 16
Equation : 2x + 5 = 5 - 16 Equation : 2x = - 16 Solution: x = - 8
? ? ?
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Vérifions que la solution x = - 8 convient.
3 2
- 11
- 8
? - 5 ? - 6
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Avant de démarrer
Je remplace x par -2 dans l’équation : 3X + 5 = 3 x (-2) +5
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-2X+ 5 = X - 4
Si X= 3 On a : -2X + 5 =
et X – 4 = -2X + 5 = -6 + 5 = -1 X – 4 = - 1
Donc : -2X+ 5 = X – 4 pour X = 3
Si X= 0 On a : -2X + 5 = -2 x (0) + 5
et X – 4 = (0) - 4 -2X + 5 = 0 + 5 = 5 X – 4 = - 4
Donc : -2X+ 5 ≠ X - 4
Si X= -1 On a : -2X + 5 = -2 x (-1) + 5
et X – 4 = (-1) - 4 -2X + 5 = 2 + 5 = 10
Donc : -2X+ 5 ≠ X – 4 pour X = 0
= - 5
Que vaut X pour que L’égalité soit vraie ?
-2 x (3) + 5 (3) - 4
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Si X = -2 On a : 3X + 5 = 3 x (-2) + 5 = (-6) + 5 = -1
Si X = 3 On a : -2X + 5 = X - 4 Donc : -2x(3) + 5 = -1 et (3) - 4 = -1
21 42 35
-4 x2 -7 :5
x = 5
((X x (-3)) + 5) x 7 = ((-3X) + 5) x 7 = 7 x (-3X + 5)
Donc : l’égalité est vrai lorsque x = 3
Réponse X = 5
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(X x (6) + 3) = 15 donc (6X + 3) = 15
6X = 12 X = 2
12 € + (n place à 3€) = 12 € + (n x 3€) 12 + 3n
12 + 3n = 42 3n = 42 - 12 = 30 3n = 30 n = 10
donc 6X + 3 = 15
6X = 15 - 3 6
12 X =