CHAPITRE 1 – Nombres et Fonctions

A) Les nombres

1) HistoriqueAu départ, les nombres ont été inventés pour compter les objets : 1, 2, 3, 4 etc...On les appelle maintenant les entiers naturels.

Puis, pour faire des partages (héritage par exemple) ou pour changer d'unité (heure à minute ou autre), on a ajouté les fractions (Mésopotamie, Égypte).

Les mathématiciens grecs ont généralisé l'usage des fractions et pensaient qu'on n'avait pas besoin d'autres nombres... mais comme ils ont découvert par la géométrie la nécessité de racines carrés par le théorème de Pythagore, et ont pu démontrer que 2 ne peut pas être une fraction.

Le zéro est venu plus tard, avec la numération à base dix inventée en Inde et amenée par les mathématiciens arabes jusqu'en Europe (le mot chiffre vient de l'arabe).

Enfin, les mathématiciens européens inventèrent les nombres négatifs et les nombres complexes (ceux-ci pour résoudre l'équation x² + 1 = 0).

2) La racine carrée de 2Voici une démonstration de l'irrationalité (impossibilité de mettre sous forme de fraction de deux entiers) de 2 :

Pour cela, on va supposer que l'on peut trouver p et q, entiers, tels que 2=pq et on supposera cette

fraction irréductible (si elle ne l'était pas, on peut toujours la mettre sous forme irréductible).On montrera ensuite que cela amène à une impossibilité et donc que l'hypothèse de départ est fausse (ceci s'appelle un raisonnement par l'absurde).

Soit doncpq=2 : on a alors en multipliant des deux côtés par q, p=q×2 .

Si deux nombres sont égaux, leurs carrés le sont aussi, d'où p2=q2×22=q2×2=2q2 .

Ainsi, on a démontré que p² est pair, or cela implique que p l'est aussi !En effet, si p n'était pas pair, soit p = 2 n + 1, on aura p² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1 et p² serait donc impair !

p étant donc pair, il est de la forme p = 2 n, d'où p² = (2 n)² = 2² n² = 4 n².On a donc 4 n² = 2 q², et en divisant par 2, on obtient 2 n² = q².Par le même raisonnement que ci-dessus appliqué à q, on voit dont que q est pair !

Or p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux, puisque la fraction pq est irréductible !

Il y a contradiction, et donc l'hypothèse de départ est fausse, ce qui signifie qu'on ne peut pas mettre 2 sous forme de fraction de deux entiers !

3) Les ensembles de nombresEntiers naturels : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ,,,}Entiers relatifs : ℤ = {… -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

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Décimaux : D = {p

10n , avec p∈ℤet n∈ℕ }

Rationnels : ℚ = {pq , où p∈ℤet q∈ℕ avec q0 }

Réels : ℝ = tous les rationnels, plus les irrationnels tels que 2 , 5 , π, etc...

On a ℕ⊂ℤ⊂ D ⊂ℚ⊂ℝ .

Remarques :. " n∈ℕ " veut dire "n appartient à N, c'est à dire n est un entier naturel.

. " ℕ⊂ℤ " veut dire "N est inclus dans Z", c'est à dire que tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs.

. On note ℕ* pour désigner les entiers naturels non nuls.

. On note ℤ+ pour désigner les entiers relatifs positifs ou nuls, ℤ- pour les entiers relatifs négatifs, et on peut combiner, par exemple ℚ*- pour les rationnels strictement négatifs, etc...

Exemples :Trouver le plus petit ensemble de nombres auquel appartiennent les nombres suivants :

5;−2; 13

; 35

;−486

;49 ; 5 –151; 27

;π

B) La droite des réels

1) Définition et propriétésOn peut représenter tout nombre réel par un point sur une droite sur laquelle on a défini deux points distincts O et A, représentant respectivement 0 et 1.

Inversement, tout point de la droite correspond à un nombre réel : ce nombre est le rapport de sa distance à O à celle de A à O, avec le signe + si il est sur [OA) et – sinon, et bien sûr 0 si c'est le point O.

De même que sur la droite, on peut dire qu'un point est à droite d'un autre (la position de O et celle de A créant un sens sur la droite), tout couple (a, b) de réels distincts est tel que a < b ou a > b.

2) Intervallesa) Intervalles finisOn note [a ; b] ("intervalle fermé a b") l'ensemble des nombres réels x tel que x ≥ a et x ≤ b (on peut noter a ≤ x ≤ b).

Remarquons que cela implique que a doit être plus petit que b !!!

Donc, dans un intervalle, on mettra TOUJOURS le plus petit nombre à gauche et le plus grand à droite.

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AO

0 1

Sur la droite des réels, si on appelle A le point correspondant à a et B celui de b, cela correspondra à tous les points compris entre A et B.

Si l'on veut exclure de l'intervalle l'une des bornes, a ou b, on change l'orientation du crochet correspondant.

Par exemple, ]a ; b] exclut a mais pas b, [a ; b[ exclut b et pas a, et ]a ;b[ exclut a et b.

Les crochets qui excluent une borne sont tournés vers l'extérieur de l'intervalle et s'appellent des crochets ouverts.

Ceux qui autorisent les bornes sont tournés vers l'intérieur de l'intervalle et s'appellent des crochets fermés.

Exemples :Vrai ou faux ?3∈[2 ;2,99] Faux car 3 > 2,992,14∈] 2,14 ;2,5 ] Faux car 2,14 est ici exclusπ∈]3,14 ;4] Vrai car π > 3,14 et π ≤ 4π∈[2 ;3,14] Faux car π > 3,14

b) Intervalles infinisLorsqu’on ne veut pas limiter l’intervalle d’un côté, on remplace la borne en question par +∞ si c’est à droite, ou -∞ si c’est à gauche.

[a ; +∞[ veut dire tous les nombres supérieurs ou égaux à a (ou égaux car le crochet côté a est fermé). Remarquez que le crochet est TOJOURS ouvert du côté infini.

]-∞ ; b[ veut dire tous les nombres inférieurs à b (b exclus car son crochet est ouvert).

Exemple :Vrai ou faux ?3∈[3,1 ;∞ [ Faux car 3 < 3,12,14∈] 2,14 ;∞ ] Faux car 2,14 est ici exclusπ∈]−∞ ; 4] Vrai car π ≤ 4π∈]−∞ ;3,14 ] Faux car π > 3,14

C) Notion de fonction

1) DéfinitionSoit Df un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ .On appelle fonction de Df dans ℝ une règle qui à tout élément x de Df fait correspondre un réel unique de ℝ que l'on notera f(x).Df est appelé l'ensemble (ou domaine ) de définition de f.On dit que f est définie sur Df.

Le réel f(x) est l' image de x par f et x est un antécédent de f(x).

Remarque importante : Un réel peut avoir plusieurs antécédents par f, mais l'image d'un élément de Df par f est unique.

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Exemples : a) Soit la fonction f qui à tout x∈ℝ fait correspondre f(x) = x² – 3.Elle est définie sur D f =]−∞ ; ∞ [ .. L'image de 3 est 6. Quelle est l'image de -3 par f ? (6 aussi !). 6 a donc pour antécédents -3 et +3.

b) Soit g avec g(x) = 5x + 2. Trouver l'image de 3 et de -3 par g. Quel est ou quels sont le(s) antécédent(s) de 12 par g ?

2) Notations et domaine de définitionPour définir une fonction, on peut dire :

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² +2ou :Soit f : x → 3x² +2, x∈ℝ .

Le domaine de définition d'une fonction peut être précisé dans l'énoncé. Dans le cas contraire, on considèrera que ce domaine est l'ensemble des réels pour lesquels l'expression de f(x) est calculable.

Les deux règles pour déterminer un ensemble de définition :

a ) S'il y a un quotient, le dénominateur doit être différent de zéro .

b) S'il y a une racine carrée, l'expression sous le signe racine doit être positive ou nulle.

Exemples :Trouver le domaine de définition des fonctions suivantes :f x =x−5

f x = 2 xx−4

f x = 3 xx5

f x =4– 2 xf x =5 x – 2

x5f x = x – 2

x55 x−2

f x = 5x – 7 x1

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D) Représentation graphique d'une fonction

1) DéfinitionLa représentation graphique (ou courbe représentative) Cf d'une fonction f dans un repère donné xOy où (Ox) est l'axe des abscisses et (Oy) l'axe des ordonnées est l'ensemble des points ayant comme coordonnées (x ; f(x)) avec x dans Df.

Les réels x de Df sont donc les abscisses, et les valeurs f(x) sont les ordonnées des points de la courbe Cf.Autrement dit, x est l'abscisse et f(x) est l'ordonnée des points de Cf.En général on utilise des repères orthogonaux avec la même unité sur les deux axes : on les appelle des repères orthonormés (ou orthonormaux).

On peut aussi utiliser des repères simplement orthogonaux (les deux axes sont perpendiculaires), ou même des repères non orthogonaux...

Exemples :Soit la fonction f(x) = x² + 3.Pour construire sa courbe, il me suffit de choisir des valeurs pour x, qui seront les abscisses, et de calculer les ordonnées correspondantes en prenant x² + 3 :Soit x = -1, on aura f(x) = (-1)² + 3 = 4, donc le point M1(-1 ; 4) est sur la courbe.Calculer les coordonnées des points de la courbe d'abscisses 0, 1, 2, 3 et 4.Placer ces points dans un repère xOy et les relier en arrondissant les angles : on obtient une ébauche de la courbe de f.

Remarques :

• Puisqu'un réel n'a qu'une image, à une abscisse ne correspondra qu'une ordonnée, donc une droite parallèle à (Oy) ne peut couper la courbe d'une fonction qu'en un seul point !

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• Certaines courbes ne peuvent donc pas représenter une fonction, comme par exemple :

2) Équation d'une courbeSoit Cf la courbe représentative d'une fonction f. On dit que Cf est la courbe d'équation y = f(x).

En effet, c'est bien l'ensemble des points dont l'ordonnée y est égale à l'image par f de leur abscisse x, soit f(x).

Exemples :Soit la fonction f qui à x fait correspondre f(x) = 5x.La courbe représentative de f a pour équation y = 5x (c'est une droite passant par l'origine car f est une fonction linéaire).

Soit f(x) = x² + 3 : sa courbe représentative a pour équation y = x² + 3.

Remarque :Pour savoir si un point M(x,y) appartient à la courbe représentative C de la fonction f, on calcule f(x) et on compare le résultat à y : si c'est égal la réponse est oui, sinon, c'est non !

Exemples :Les points suivants appartiennent-ils à la courbe d'équation y = 3x² –x ?M1 (0,0)M2 (0,1)M3 (1,1)M4 (1,2)M5 (2,10)M6 (2,12)

Exercices :Page 84 ex 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (4 au moins)

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Quizz1) Trouvez le domaine de définition dea) f x = x−3

b) f x = 1x−8

c) f x = 1x – 3 1 – 2 x

d) f x = xx−1

e) f x = x –52 x1

2) Les points suivants appartiennent-ils à la courbe C représentant f(x) = 4 – 2x ² ?a) (-2 ; -4)b) (-2 ; 12)c) (1 ; 3)d) (3 ; -14)

3) Quelles sont les coordonnées des points de C ' d'équation y = 2x - x² dont l'abscisse esta) 1b) -2

E) Résolution graphique

1) DéfinitionOn effectue la résolution graphique d'une équation ou d'une inéquation lorsqu'on détermine ses solutions par l'examen de la courbe représentative des fonctions utilisées.

Exemple :

Cf est la courbe représentative d'une fonction f(x).

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Comment, d'après ce graphique, peut-on trouver les solutions de f(x) = 0 qui sont situées dans l'intervalle [-3 ; 2] ?

2) Équation f(x) = b, avec b∈ℝb étant un réel donné, trouver l'ensemble des réels x tels que f(x) = b, c'est trouver l'abscisse des points de C qui ont pour ordonnée b.

Graphiquement, on trace la droite d'équation y = b, c'est à dire la parallèle à (Ox) passant par le point (0 ; b) et on cherche ses intersections avec b.

On trouve ensuite les abscisses de ces intersections en traçant la parallèle à (Oy) passant par ces points.

Cas particulier :Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, on cherche simplement les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (Ox).

Exemple : (D f = [-4 ; 5])a) Résoudre f(x) = 0b) Résoudre f(x) = 4c) Résoudre f(x) = 1

3) Résolution de f(x) ≥ bIci, on cherche les points de C qui ont une ordonnée supérieure ou égale à b.

Il s'agit donc de tous les points de C situés au-dessus de la droite d'équation y = b.

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Exemples :

On étudie f(x) sur [0 ; 3].a) Résoudre f(x) >4 S = ]0,15 ; 0,9[ U ]2,05 ; 2,96[b) Résoudre f(x) ≤ 0 S = [1 ; 2]c) Résoudre f(x) ≥4 S = [0,15 ; 0,9] U [2,05 ; 2,96]d) Résoudre f(x) > 8 S = ∅

Exercices :Page 85 ex 14, 15, 17, 20

Quizz :1) Les points suivants appartiennent-ils à la courbe d'équation y = 4-2x²M1 (2 ; -4) M2 (-2 ; 12) M3 (1 ; 3) M4 (3 ; -14)2) Quelles sont les ordonnées des points de la courbe y = 2x – x² dont l'abscisse esta) 1 b) -23) Résoudre graphiquement a) f(x) = 2 b) f(x) = 3 c) f(x) > 0 d) f(x) ≤ 0

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F) Fonctions affines (Rappel)

1) Définitiona et b étant deux réels donnés, on appelle fonction affine une fonction du type f(x) = ax + b.

Lorsque b = 0, on parle de fonction linéaire.

Lorsque a = 0, la fonction f est une fonction constante.

2) Représentation graphique

Théorème 1La courbe représentative d'une fonction affine est une droite, de coefficient directeur (pente) a et qui passe par le point (0 ; b). Le nombre b s'appelle donc l'ordonnée à l'origine.

Les droites représentatives de fonctions linéaires passent par le point O (0 ; 0).

Les droites représentatives de fonctions constantes sont des parallèles à l'axe des abscisses.

RemarqueLes seules droites non représentatives de fonctions affines sont les droites parallèles à l'axe des ordonnées.

Exercices :page 84 n° 3, 4, 7, 8, 11 page 85 n° 18 et 19 page 86 n° 21, 22, 23, 28, 29

3) Fonctions affines et taux de variation

Théorème 2Soit f une fonction affine f(x) = ax + bL'accroissement de la fonction f est proportionnel à l'accroissement de la variable, soit

Pour tous u et v réels , on aura : f u – f v u – v

=a

a est appelé le taux de variation de f entre u et v

Démonstrationf u – f v

u – v = a ub– a vb

u – v = aub– av – b

u – v = a u – av

u – v = a u – v

u – v = a

Théorème 3Si une fonction f définie sur ℝ a un taux de variation constant a pour tout x∈ℝ , Alors f est la fonction affine y = ax + b, avec b = f(0).

Démonstration :Prenons v = 0 et u = x, on aura :

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f x – f 0x – 0

= a , soit f x – f 0x

= a , d'où f x – f 0=a×x , donc f x =a x f 0.

On a donc bien f(x) = ax + b, en posant b = f(0).

Autrement dit :Les fonctions affines ont un taux de variation constant, et ce sont les seules dans ce cas.

G) Sens de variation

1) DéfinitionsSoit f une fonction et I un intervalle contenu dans son domaine de définition.

On dit que :• f est croissante sur I si pour tout couple (u,v) de réels de I tels que u < v, on a f(u) ≤ f(v)• si cela est vrai avec f(u)<f(v), f est strictement croissante sur I.• f est décroissante sur I si pour tout couple (u,v)) de réels de I tels que u < v, on a f(u) ≥ f'v)• f est strictement décroissante sur I si c'est vrai avec f(u)>f(v).

Exemplesa) f(x) = 3x + 2 sur ℝSoit u et v, u < v : alors, 3u < 3v et 3u + 2 < 3v + 2Donc f(u) < f(v).La fonction f est croissante sur ℝ .

b)

Sur I, f est strictement croissante.Sur I, g est décroissante mais pas strictement.Sur [-6 ; 0], h est strictement croissante. Sur [0 ; 6], h est strictement décroissante.

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3) Minimums et Maximums (on dit aussi minima et maxima)Soit f(x)une fonction définie sur Df .

Si sur un certain intervalle ]a ; b] f(x) est strictement croissante et qu'elle est ensuite strictement décroissante sur un intervalle [b ; c[, on dit que f passe par un maximum en b, de valeur f(b).

En effet, sur l'intervalle ]a ; c[, la plus grande valeur atteinte par f(x) est nécessairement f(b).Ceci peut s'écrire "Pour tout x de ]a ; c[, o a f(x) ≤ f(b)", ou encore ∀ x∈]a ; c[ , f ( x)≤ f (b) .

De même, si sur un certain intervalle ]a ; b] f(x) est strictement décroissante et qu'elle est ensuite strictement croissante sur un intervalle [b ; c[, on dit que f passe par un minimum en b, de valeur f(b).

En effet, sur l'intervalle ]a ; c[, la plus petite valeur atteinte par f(x) est nécessairement f(b).Ceci peut s'écrire "Pour tout x de ]a ; c[, o a f(x) ≥ f(b)", ou encore ∀ x∈]a ; c[ , f ( x )≥ f (b) .

Remarques :

- Il peut y avoir plusieurs minima et/ou maxima pour une fonction.- Une fonction peut ne pas avoir de maximum et/ou de minimum sur un intervalle.

Exemple : les fonctions affines (comme f(x) = 2x - 3) sur ℝ .- On parle aussi d'extremums pour qualifier les minimums et maximums.- Une fonction non croissante sur I n'est pas forcément décroissante sur I. Exemple : h entre -6

et +6.- On parle aussi de maximum absolu (respectivement minimum absolu) d'une fonction lorsque

l'on peut trouver un nombre b tel que pour toute valeur x de l'ensemble de définition de f(x), on a f(x) ≤ f(b) (resp. f(x) ≥ f(b)). On peut aussi préciser "local" quand il ne s'agit pas d'un extremum absolu.

Exemple :

Sur I = [-4 ; 7], le minimum absolu est f(-4) et le maximum absolu est f(7).Mais f(-1) est un maximum (local) et f(3) est un minimum (local) dans I.

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H) Étude du sens de variation

1) Procédure à suivreÉtudier le sens de variation d'une fonction, c'est chercher les plus grands intervalles dans lesquels elle est strictement croissante, strictement décroissante ou constante.

On résume le résultat dans un tableau de variation.

Exemple :Tableau de variation de la fonction f de l'exemple précédent :

x - 4 -1 3 7f(x) 0,5 6,9

-3,5 -1,1

2) Cas d'une fonction affineSoit f(x) = ax + b, définie sur ℝ .

- Si a = 0, f(x) = b, f est donc constante sur ℝ .

- Si a > 0, soit u et v deux réels avec u < v :

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = au – av = a (u – v)

Donc, comme a > 0 et u – v < 0 on aura a(u - v) < 0 donc f(u) < f(v)f est donc strictement croissante sur ℝ

- Si a < 0, le même raisonnement amènera u < v ⇒ f(u) > f(v), doncf est strictement décroissante sur ℝ .

En représentation graphique on voit que :

Si a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses.Si a > 0, la droite monte de la gauche vers la droite.Si a < 0 la droite descend de la gauche vers la droite.

Notes :⇒ veut dire "implique". Dans le cas ci-dessus, cela signifie "Si u < v, Alors f(u) < f(v)".De même, ⇔ signifie "est équivalent à", ce qui veut dire que l'implication est dans les deux sens.

Par exemple, ∀ u et v ∈ℝ , f (u)− f (v )u−v

=a ⇔ f est affine et son coefficient directeur est a.

Remarque : Si∀u et v∈ℝ f (u+v )= f (u)+ f (v) , Alors f est une fonction linéaire.

Démontrez-le pour tout x dans ℚ .

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3) Signe d'une fonction affineSoit f(x) = ax + b, définie sur ℝ .

Si a = 0, f(x) garde toujours la même valeur b, donc elle a le signe de b.

Si a > 0, la droite monte, donc elle passe d'abord par des points au-dessous de l'axe des abscisses , donc d'ordonnée négative (f(x) < 0), puis coupe cet axe (avec f(x) = 0), et passe ensuite par des points d'ordonnée positive (f(x) > 0).

Si a < 0, la droite descend, donc elle passe d'abord par des points au-dessus de l'axe des abscisses , donc d'ordonnée positive (f(x) > 0), puis coupe cet axe (avec f(x) = 0), et passe ensuite par des points d'ordonnée négative (f(x) < 0).

Pour trouver la valeur pour laquelle f(x) = 0, il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0, soit :ax + b = 0 <=> ax = - b <=> x = - b/a.

Ceci peut se résumer dans les tableaux suivants, qui donnent le signe de f(s) = ax + b :

Si a > 0 :x - ∞ -b/a + ∞

f(x) __ + ∞ 0 +- ∞

Si a < 0 :x - ∞ -b/a + ∞

f(x) + ∞ __ + 0 - ∞

ExercicesPage 86 ex 21, 23, 25, 27, 28, 34Page 87 ex 40, 43, 44, 47, 48, 49

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