Chap2 : Polynomes
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POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 39
POLYNOMES
EQUATIONS ALGEBRIQUES
Cours
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 40
I. DEFINITIONS
1. Monôme
2. Polynôme
3. Equation algébrique
4. Zéro d’un polynôme
II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
1. Identité de deux polynômes
2. Addition de deux polynômes
3. Multiplication de deux polynômes
4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire
5. Division de deux polynômes suivant les puissance s décroissantes (Euclidienne)
6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1
7. Division de deux polynômes suivant les puissance s croissantes (division non Euclidienne)
III. FACTORISATION D'UN POLYNOME
1. Définition
2. Factorisation dans C
3. Factorisation dans R
4. Utilisation de la décomposition d'un polynôme
IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A COEFFICIENTS REELS
1. Forme générale
2. Nombre de racines réelles
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 41
I. DEFINITIONS
1. Monôme
Un monôme est une expression de la forme aizi dans laquelle :
- i est un entier positif ou nul, appelé degré du monôme , - z est la variable, réelle ou complexe, - ai est un coefficient réel ou complexe.
Exemples : 2z3, 5z6,
3
2z,
5
4z4
2. Polynôme
Un polynôme de degré p est une somme algébrique de monômes qui peut être ordonnée suivant les puissances croissantes ou décroissantes :
P(z) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + ... + ai z
i + ... + ap−2zp−2 + ap−1zp−1 + apzp
ou P(z) = apzp + ap−1z
p−1 + ap−2zp−2 + ... + ai zi + ... + a3z3 + a2z2 + a1z + a0
Le degré d’un polynôme est égal au degré du monôme le plus élevé.
Exemples : Suivant les puissances croissantes: z+ z6 + 3z8 : degré = 8 Suivant les puissances décroissantes: 2z4 + 3z2 + 5z + 1 : degré = 4
Dans les deux cas on écrira un polynôme sous la forme générale : P(z) = aiz
i
i =0
p
∑
Remarques : ● L'indice i repère également le degré de chacun des monômes qui forment le polynôme.
● Un polynôme de degré 0 est un scalaire puisque z0 = 1 alors a0z
0 = a0.
3. Equation algébrique
On appelle équation algébrique une expression de la forme P(z) = 0 dans laquelle P(z) est un polynôme comme défini précédemment dont la variable, z, et les coefficients, ai , sont réels ou complexes.
Exemples: z+ z6 + 3z8 = 0
2z4 + 3z2 + 5z + 1 = 0
4. Zéro d’un polynôme
Toute valeur de z qui annule le polynôme P(z) est appelée racine de l'équation P(z) = 0 ou zéro du polynôme P(z) .
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 42
Théorème de D'Alembert : Toute équation algébrique de degré p admet au moins une racine réelle ou complexe.
II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
1. Identité de deux polynômes
a) Polynôme identiquement nul
Un polynôme est identiquement nul lorsqu'il prend la valeur P(z) = 0 quelle que soit la variable z. On ne lui attribue pas de degré. Tous les coefficients ai de ce polynôme sont nuls.
b) Polynômes identiques
On dit que deux polynômes P(z) = aiz
i
i =0
p
∑ et Q(z) = biz
i
i=0
q
∑ sont identiques si ai = bi
quel que soit l'indice i considéré. Il en résulte que P(z) et Q(z) ont même degré (p = q).
2. Addition de deux polynômes
Soient deux polynômes ∑=
=p
0i
ii za)z(P et ∑
==
q
0i
ii zb)z(Q .
On appelle polynôme somme, le polynôme : ∑=
=+=s
0i
ii zc)z(Q)z(P)z(S
dont les coefficients ci sont tels que: ci = ai + bi Puisque : 0 ≤ i ≤ p pour P(z)
0 ≤ i ≤ q pour Q(z) Alors pour S(z) : degré[S(z)] = s = max(p,q)
Le degré du polynôme somme est inférieur ou égal au plus grand des degrés.
Exemple:
P(z) = 2z3 + 4z2 − 8z + 6
Q(z) = 5z2 + 2z − 3
S(z) = 2z3 + 9z2 − 6z + 3
3. Multiplication de deux polynômes
Soient deux polynômes ∑=
=p
0i
ii za)z(P et ∑
==
q
0i
ii zb)z(Q .
On appelle polynôme produit, le polynôme : Π(z) = P(z).Q(z) = ckzk
k=0
r= p+ q
∑
dont les coefficients ck sont d'une manière générale tels que :
ck = aibji+ j =k∑
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 43
Voici l’expression des 4 premiers d’entre eux :
+++=++=
+==
031221303
0211202
01101
000
babababac
bababac
babac
bac
En particulier, le coefficient du terme de plus haut degré est : cr = apbq avec r = p+ q.
Ce qui montre que :
degré(Π) = degré(P) + degré(Q)
Le degré du polynôme produit est égal à la somme de s degrés des deux polynômes.
Exemple:
zz5z3z2zz5z6z15z11z6)z(Q)z(P)z(
1z5z3z2 )z(Q
zzz3)z(P
23567891012
24
68
+++++++++==Π
+++=
++=
4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire
Soit le polynôme P(z) = aiz
i
i =0
p
∑ .
Le produit du polynôme P(z) par le scalaire λ est le polynôme : λP(z) = λai z
i
i =0
p
∑
Chacun des coefficients est multiplié par le scalaire λ.
Le degré du polynôme est inchangé.
Exemple:
18z24z12z6)z(P
3
6z8z4z2)z(P
23
23
+−+=λ
=λ+−+=
5. Division de deux polynômes suivant les puissance s décroissantes (Euclidienne)
a) Définition
Soient deux polynômes A(z) et B(z) ordonnés selon les puissances décroissantes. Diviser A(z) par B(z) c'est trouver deux polynômes Q(z) et R(z) tels que :
A(z) = B(z)Q(z) + R(z)
degré[R(z)] < degré[B(z)]
A(z) est appelé le dividende, B(z) le diviseur, Q(z) le quotient et R(z) le reste.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 44
Remarques: ● Dans une division, le reste est unique. Si l'on cherche à effectuer la division de A(z) = z3 + z2 + z par
B(z) = z + 1, on obtient : 321434213214434421)z(R
) 1 (
)z(Q
) 1z (
)z(B
)1z(
)z(A
)zzz( 223 −+++=++ .
Degré[B(z)] = 1 alors degré[R(z)] = 0.
● Si le degré du dividende est inférieur au degré du diviseur, alors le quotient est nul et le reste est égal au dividende. La division euclidienne est alors impossible.
4342132143421321)z(R
) 1z (
)z(Q
) 0 (
)z(B
)z2z(
)z(A
)1z( 232 +++=+
● Si le reste est nul, on dit que le polynôme A(z) est divisible par B(z).
b) Pratique de la division
Considérons les deux polynômes :
011n
1nn
n aza .... zaza)z(A ++++= −− et 01
1p1p
pp bzb .... zbzb)z(B ++++= −
− avec p ≤ n.
Nous allons considérer simultanément l’exemple suivant :
( )5=nsoit 2z4zz)z(A 345 +++= et ( )3=psoit 1z2z)z(B 3 ++=
Puisque p < n le monôme anzn est divisible par le monôme bpzp . Désignons par
Q1(z) le monôme quotient.
anzn = bpzp an
bp
zn−p = bpzpQ1(z) avec Q1(z) =
an
bp
zn−p
Dans l'exemple que nous considérons : { { )z(Qzz.
pzpb
z nzna
z 13235 == 2
1 z)z(Q =avec
Si nous évaluons maintenant le polynôme reste R1(z) = A(z) - B(z)Q1(z), ce polynôme ne contient plus de terme de degré n.
En effet :
A(z) − B(z) Q1(z) = A(z) − B(z)an
bp
zn− p
)z(R... zbb
aazb
b
aa)z(Q)z(B)z(A 1
2n2p
p
n2n
1n1p
p
n1n1 =+
−+
−=− −
−−−
−−+ 0
Ainsi : degré[R1(z)] < degré[A(z)]
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 45
Pour l'exemple :
2zz2z)z(R
zz2z2z4zz
z)1z2z(2z4zz
)z(Q)z(B)z(A)z(R
2341
235345
23345
11
+−+=
−−−+++=
++−+++=
−=
Deux cas sont alors possibles :
● degré[R1(z)] < degré[B(z)]; la division est terminée : Q(z) = Q1(z) et R(z) = R1(z).
● degré[R1(z)] ≥ degré[B(z)]; on réitère le procédé. Il existe Q2(z) et R2(z) tels que : R2(z) = R1(z) - B(z)Q2(z)
avec degré[R2(z)] < degré[R1(z)]
C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degré de R1(z) est z4, le terme de plus haut degré de B(z) est z3.
{ { z)z(Q avec )z(Qzz.
)z(B
de degréhaut
plus de terme z
)z(R
de degréhaut
plus de terme z 22
33
1
4 ===
R1(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2
R2(z) = R1(z) − B(z)Q2(z)
R2(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2R1(z)
1 2 4 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z +1)
B(z)1 2 4 4 3 4 4 z
Q2(z){
R2(z) = z4 + 2z3 − z2 + 2− z4 − 2z2 − z
R2(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2
De nouveau, deux cas sont alors possibles:
● degré[R2(z)] < degré[B(z)]; la division est terminée.
Nous avons obtenu successivement : A(z) − B(z)Q1(z) = R1(z)
Puis R1(z) − B(z)Q2(z) = R2(z)
Soit
A(z) − B(z)Q1(z)( )R1(z)
1 2 4 4 4 3 4 4 4 − B(z)Q2(z) = R2(z)
A(z) − B(z)Q1(z) − B(z)Q2(z) = R2(z)
A(z) = B(z) Q1(z) +Q2(z)( )Q(z)
1 2 4 4 3 4 4 + R2(z)
R(z)1 2 3
Le quotient de la division de A(z) par B(z) est égal à Q(z) = Q1(z) + Q2(z)
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 46
Le reste est R(z) = R2(z) .
● degré[R2(z)] ≥ degré[B(z)]; on réitère le procédé une fois de plus et ainsi de suite jusqu'à l'ordre m tel que degré[Rm(z)] < degré[B(z)].
C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degré de R2(z) est z3, le terme de plus haut degré de B(z) est z3. Donc on réitère le procédé une dernière fois :
R2(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2
R3(z) = R2(z) − B(z)Q3(z)
R3(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2R2(z)
1 2 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z + 1)
B(z)1 2 4 4 3 4 4 2
Q3(z){
R3(z) = 2z3 − 3z2 − z + 2 − 2z3 − 4z − 2
R3(z) = −3z2 − 5z
Puisque degré[R3(z)] = 2 < degré[B(z)] = 3, la division est terminée.
En résumé, nous avons obtenu successivement :
]degré[B(z)(z)]degré[R m <<=−
≥<=−≥<=−≥<=−
−− )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R
...
)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R
)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Rdegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(R
)]z(Bdegré[)]z(Rdegré[ )]z(Adegré[)]z(Rdegré[ )z(R)z(Q)z(B)z(A
1mmmm1m
323332
212221
1111
La division est alors terminée et
Quotient : Q(z) = Q1(z) + Q2(z) + Q3(z) + .... +Qm(z)
Reste : R(z) = Rm(z)
Dans le cas de notre exemple :
( ) ( )( ) ( )( ) z5z321z2z2zz3z2
2zz3z2z1z2z2zz2z
2zz2zz1z2z2z4zz
2323
233234
23423345
−−++=+−−
+−−+++=+−+
+−++++=+++
43421434214342144 344 21
)z(R
)z5z3(
)z(Q
)2zz(
)z(B
)1z2z()z(A
2z4zz 223345 −−++++=+++ +
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 47
c) Unicité du quotient et du reste
Supposons que par un procédé différent nous ayons obtenu deux polynômes Q '(z) et R' (z) différents respectivement de Q(z) et R(z) et tels que :
A(z) = B(z)Q(z) + R(z) degré [R(z)] < degré [B(z)]
A(z) = B(z)Q ' (z) + R' (z) degré [R' (z)] < degré [B(z)]
Alors, par différence : ( ) )z('R)z(R)z(Q)z('Q)z(B −=− (1)
Le degré de la différence R(z) − R' (z) est inférieur ou égal au plus grand des degrés de R(z) ou R' (z) .
Dans ces conditions, on a : degré[R(z)-R’(z)] < degré[B(z)] donc degré[R(z)-R’(z)] < degré[B(z)(Q’(z)-Q(z))]
Ainsi, R(z)-R’(z) d’une part et B(z)(Q’(z)-Q(z)) d’autre part sont deux polynômes de degré différents. Or nous avons vu que l’égalité de deux polynômes n’est possible que s’ils ont même degré. Donc la seule solution à cette égalité est que R(z) − R' (z) = 0, alors Q(z) − Q' (z) = 0 .
On aboutit donc aux deux égalités:
==
)z('R)z(R
)z('Q)z(Q
Dans la division euclidienne de deux polynômes, le quotient et le reste sont uniques. d) Présentation pratique de l'opération
On adopte la même présentation que pour la division habituelle. Reprenons l'exemple précédent :
{ { {
)z(Q
)z(Q 2
)z(Q z
)z(Q z
)z(B
1z2z
z5z3 )z(R
2z4z2 )z(Q)z(B
2zz3z2 )z(R
zz2z )z(Q)z(B
2zz2z )z(R
zz2z )z(Q)z(B
2z4zz )z(A
321
2
3
23
33
232
242
2341
2351
345
4444 34444 21
48476
++
++
−−−−−−+−−+
−−−−+−+
−−−−+++
6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1
a) Critère de divisibilité par (z-a) (a réel ou complexe)
L'équation A(z) = B(z)Q(z) + R(z) avec degré[R(z)] < degré[B(z)] s'écrit dans le cas particulier où B(z) = z - a : A(z) = (z − a)Q(z) + R(z) .
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 48
On a forcément : degré[R(z)] < degré[z - a]
soit degré[R(z)] < 1.
Donc le degré de R(z) est nul.
R(z) se résume à un scalaire (réel ou complexe), R(z) = R, unique. D'autre part, pour la valeur particulière z = a, le terme (z - a) est nul et A(z=a) = A(a) = R.
Finalement, on peut écrire : A(z) = (z − a)Q(z) + A(a)
Si A(a) = 0, A(z) = (z − a)Q(z) , le polynôme A(z) est divisible par (z - a) et on peut écrire le théorème suivant.
Théorème: Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un p olynôme A(z) soit divisible par ( z - a) est que A(a) = 0.
Exemple: Soit à diviser le polynôme A(z) = z3 − 2z + 1 par (z – 2).
A(2) = 8− 4+ 1 = 5 et A(z) = (z − 2)Q(z) + A(2) = (z − 2)Q(z) + 5
Il en résulte que le polynôme A(z) − 5 = (z3 − 2z+ 1) − 5 = z3 − 2z − 4 doit être divisible par (z – 2), ce que nous vérifions :
z3 −2z −4
−z3 +2z2
+2z2 −2z −4
−2z2 +4z
2z −4
−2z +4
0 0
z− 2
z2 + 2z + 2
A(z) − A(2) = A(z) − 5
= z3 − 2z − 4
= (z − 2)(z2 + 2z + 2)
Donc :
A(z) = z3 − 2z + 1
= (z − 2)(z2 + 2z + 2)+ A(2)
= (z − 2)(z2 + 2z + 2)+ 5
b) Division de zn - an par (z-a) (a réel ou complexe)
Remarquons tout de suite que le polynôme P(z) = zn - an s'annule pour z = a, et qu'il est donc divisible par z - a.
Effectuons la division :
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 49
zn −an
−zn +azn−1
azn−1 −an
−azn−1 +a2zn−2
a2zn−2 −an
−a2zn−2 +a3zn−3
a3zn−3 −an
an−2z2
−an−2z2 +an−1z −an
an−1z −an
−an−1z +an
0 0
z − a
zn−1 + azn−2
+a2zn−3 + . ...
.... + an−3z2
+an− 2z + an−1
On en déduit l'identité remarquable, valable quel que soit n et pour a réel ou complexe
zn − an = (z − a)(zn−1+ azn−2 + a2zn−3 + ... .... + an−3z2 + an−2z + an−1)
Exemples: On peut vérifier à titre d'exemple que : z4 − a4 = (z − a)(z3 + az2 + a2z + a3)
3223
43
43
322
422
223
43
34
44
azaazz
az
aza
aza
zaza
aza
zaaz
aaz
azz
az
+++
−
+−−
+−−
+−−
+−−
De même :
+−=−
++−=−
+++−=−
)1z)(1z(1z
)1zz)(1z(1z
)1zzz)(1z(1z
2
23
234
ces trois exemples correspondent à la recherche des racines nième (n = 4, 3 ou 2) de l’unité.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2233 j1zj1zj1zj1z +++++−=+−
c) Division de zn - an par (z+a) (a réel ou complexe)
La division par (z+a) implique que le critère de divisibilité devienne : P(-a) = 0.
Cela nous conduit à rechercher les solutions de l'équation (-a)n - an = 0.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 50
Cette équation n'est vérifiée que si n est un entier pair que nous écrirons n = 2p.
On en déduit l'identité remarquable, valable quel que soit n pair (n = 2 p) et pour a réel ou complexe (attention à l'alternance des sign es) :
z2p − a2p = (z + a)(z2p−1 − az2p−2 + a2z2p− 3 − ....... − a2p− 3z2 + a2p−2z − a2p−1)
Exemples:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )3223444
2
234
23456
j1zj1zj1zj1zj1z4z
)1z)(1z(1z
)1zzz)(1z(1z
)1zzzzz)(1z(1z
+−+++−++=+−=+
−+=−
−+−+=−
−+−+−+=−
d) Divisibilité de zn +an (a réel ou complexe)
On remarque tout de suite que le critère de divisibilité P(z) = 0 ne peut être vérifié pour z = a car l'égalité an +an = 0 n'est jamais vérifiée. On peut donc en conclure que zn +an n'est pas divisible par ( z – a).
Par contre, la division par (z+a) implique d’avoir (-a)n + an = 0. Cette équation admet des solutions si n est un entier impair que nous écrirons n = 2p + 1.
On obtient l'identité remarquable, valable quel que soit n impair (n = 2p+1) et pour a réel ou complexe (attention à l'alternance des sig nes) :
z2p+1 + a2p+1 = (z+ a)(z2p − az2p−1 + a2z2p−2 − . ...... + a2p−2z2 − a2p−1z + a2p)
Exemples:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2233
23
2345
j1zj1zj1zj1z
)1zz)(1z(1z
)1zzzz)(1z(1z
+++−++=++
+−+=+
+−+−+=+
7. Division de deux polynômes suivant les puissance s croissantes (division non Euclidienne)
a) Définition
Soient deux polynômes A(z) et B(z) ordonnés suivant les puissances croissantes :
A(z) = a0 + a1z+ a2z2 + .. . + anzn
B(z) = b0 + b1z + b2z2 + .. . + bpzp avec b0 ≠ 0
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 51
Théorème: Etant donné un entier k positif et deux polynômes A(z) et B(z) (avec b0
différent de zéro) à coefficients réels ou complexe s, il existe un polynôme Q(z) et un seul, tel que
A(z)=B(z).Q(z) + zk+1.R'(z)
avec degré[ Q(z)] ≤ k et le reste R(z) = zk+1.R'(z) de degré tel que degré[ R(z)] ≥ k + 1
Remarques : ● Dans le cas de la division non euclidienne, il n’y a pas de condition
particulière sur le degré des deux polynômes A(z) et B(z). Elle est donc toujours possible.
● Une application de le division non euclidienne sera vue dans le calcul des développements limités (cours d’analyse).
b) Pratique de la division
Dans la pratique, les polynômes Q(z) et R(z) sont obtenus en utilisant le même procédé que pour la division Euclidienne, les calculs étant arrêtés lorsque le reste R(z) contient au moins zk+1 en facteur (ou bien sûr lorsqu'il est identiquement nul). On dit alors que l'on a pratiqué la division à l'ordre k.
Il faut remarquer que cette division n'est pas unique, puisque les expressions obtenues pour les polynômes Q(z) et R(z) dépendent de la valeur choisie pour k.
k est l'ordre maximal du quotient.
Exemple: soit à diviser à l'ordre 2, le polynôme A(z) = 1+ z par le polynôme
B(z) = 1− z2 + z4
A(z) 1 +z
−B(z).Q1(z) −1 +z2 −z4
R1(z) +z +z2 −z4
−B(z).Q2(z) −z +z3 −z5
R2(z) +z2 +z3 −z4 −z5
−B(z).Q3(z) −z2 +z4 −z6
R3(z) +z3 −z5 −z6
B(z) = 1− z2 + z4
1 Q1(z){ + z
Q2(z){ + z2
Q3(z)1 2 3
Q(z)1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4
degré [Q(z)] = 2
degré [Q(z)] ≤ k = 2
Dans l'expression du reste ( )3421 zz1zzzz)z(R −+=−+= , il n'est pas possible de
faire apparaître en facteur un terme de la forme zk+1 = z3. La division doit être poursuivie.
De même ( )32254322 zzz1zzzzz)z(R −−+=−−+= ne fait apparaître que z2 en
facteur.
Ce n'est qu'avec ( )3236533 zz1zzzz)z(R −−=−−= que l'on peut mettre z3 en
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 52
facteur. La division à l'ordre 2 est alors terminée :
( ) ( )( ){
( )44 344 21
434214342143421321
)z(R
)z('R
zz1
z
z
)z(Q
zz1
)z(B
zz1
)z(A
z1 32
1k
3242 −−++++−=++
Si nous voulons effectuer la même division à l'ordre 3, il faut poursuivre le procédé jusqu'à ce que l'on puisse mettre z4 en facteur dans l'expression du reste.
Et on remarque alors que le reste ( )z1zzz)z(R 6764 −−=−−= permet de faire
apparaître non seulement z4 mais z6 en facteur, de sorte que la division est en fait effectuée jusqu'à l'ordre 5 .
A(z) 1 +z
−B(z).Q1(z) −1 +z2 −z4
R1(z) +z +z2 −z4
−B(z).Q2(z) −z +z3 −z5
R2(z) +z2 +z3 −z4 −z5
−B(z).Q3(z) −z2 +z4 −z6
R3(z) +z3 −z5 −z6
−B(z).Q4(z) −z3 +z5 −z7
R4(z) −z6 −z7
B(z) = 1− z2 + z4
1 Q1(z){ + z
Q2(z){ + z2
Q3(z)1 2 3 + z3
Q4(z)1 2 3
Q(z)1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4
degré [Q(z)] = 3
degré [Q(z)] ≤ k = 3
( ) ( )( )
{( )
43421
4342144 344 2143421321
)z(R
)z('R
z1
z
z
)z(Q
zzz1
)z(B
zz1
)z(A
z11k
63242 −−+++++−=++
Pour être complet signalons que si la division avait été effectuée jusqu'à l'ordre 1 seulement, nous nous serions arrêtés dès que le reste aurait permis de mettre z2 en facteur c'est à dire dès R2(z).
( ) ( )( ){
( )444 3444 21
44 344 2132143421321
)z(R
)z('R
zzz1
z
z
)z(Q
z1
)z(B
zz1
)z(A
z1 32
1k
242 −−++++−=++
c) Cas particulier
Considérons la division à l'ordre n de A(z) = 1 par B(z) = 1 - z.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 53
1
−1 +z
z Ordre 0
−z +z2
z2 Ordre 1
−z2 +z3
z3 Ordre 2
.
.
.
−zn +zn+1
zn+1 Ordre n
1− z
1+ z + z2 + z3 + ... . + zn
Nous pouvons donc écrire, en considérant la division aux ordres successifs:
à l'ordre 0: ( ) z1.z11 +−=
à l'ordre 1: ( )( ) 2zz1z11 ++−= à l'ordre 2: ( )( ) 32 zzz1z11 +++−=
et à l'ordre n: ( )( ) 1nn2 zz ... zz1z11 ++++++−=
Ainsi, si z est différent de 1, on obtient l'identité remarquable :
1− zn+1
1− z= 1+ z + z2 + . .. + zn = zi
i =0
n
∑
En outre, si z < 1 , alors lim n→∞ zn+1 = 0 et on peut écrire :
1
1− z= 1+ z + z2 + ... + zn + ... = zi
i =0
∞∑
Remarque : Ce résultat bien connu figure dans les développements usuels du
formulaire mathématique aide mémoire distribué.
III. FACTORISATION D'UN POLYNOME
1. Définition
Factoriser un polynôme P(z) dans R (resp. C) revient à chercher tous les zéros réels (resp. réels et complexes) de P(z) et à écrire P(z) sous la forme d’un produit de plusieurs polynômes, chacun relatif à 1 ou 2 zéros.
Remarque : Les zéros d’un polynôme P(z) sont aussi appelés les racines de l’équation algébrique P(z) = 0.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 54
Exemple : ( )1z3
1z31z4z3 2 −
−=+−
2. Factorisation dans C
a) Définition
Soit un polynôme P(z) , de degré n.
D'après le théorème de D'Alembert, il admet au moins une racine, réelle ou complexe z1. Donc ce polynôme P(z) est divisible par z - z1 et l'on peut écrire:
P(z) = (z− z1)P1(z)
degré [P1(z)] = n −1
D'après le théorème de D'Alembert, P1(z) , de degré n - 1 admet au moins une racine, réelle ou complexe z2. Donc ce polynôme est divisible par z - z2 et l'on peut écrire:
P1(z) = (z− z2 )P2(z)
degré [P2(z)] = n − 2
On poursuit ainsi n fois, jusqu'aux polynômes Pn−1(z) et Pn(z) tels que :
Pn−1(z) = (z − zn )Pn(z)
degré [Pn(z)] = n − n = 0
Le polynôme Pn(z), de degré zéro est une constante, notée k, et l'on obtient:
P(z) = k(z − z1)(z− z2 )(z− z3) ... (z − zn−1)(z − zn )
Il suffit de développer cette expression et d'identifier le terme de degré n avec celui du polynôme pour en déduire la valeur de la constante k.
P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 et k = an
Finalement, on en conclut qu'un polynôme de degré n admet n zéros z1, z2, ..., zn et se factorise sous la forme :
P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0
P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) .. . (z − zn−1)(z− zn )
b) Ordre d’un zéro
Dans une telle factorisation, il est possible que plusieurs zéros soit identiques. On définit l'ordre d'un zéro égal au nombre de fois que cette valeur intervient dans la factorisation.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 55
Exemples : ( ) ( )( ) →+−+=+−−+ 1z1zjz33jz6z6jz6z3 2234 j racine d’ordre 2 1 racine d’ordre 1 (-1) racine d’ordre 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →
+−+=+−++−−−3
1z1zjz31zj22zj44zj62z3 2234
j racine d’ordre 2 1 racine d’ordre 1
3
1− racine d’ordre 1
Supposons que les n zéros du polynôme P(z) se répartissent en r valeurs distinctes. Plus précisément, supposons que parmi les zéros de P(z) la valeur z1 intervienne α1 fois, que la valeur z2 intervienne α2 fois, etc ... jusqu'à la valeur zr que nous supposons intervenir αr fois. Le polynôme P(z) se factorise sous la forme :
P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0
P(z) = an(z − z1)α1(z − z2)α2 (z − z3)α3 ... (z− zr )αr
avec α1 + α2 + α3 + . .. + α r = n
c) Relations entre coefficients et zéros d’un polynôme
Considérons l'équation algébrique : P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0
et désignons par z1, z2, ..., zn ses n racines, distinctes ou confondues. La factorisation du polynôme P(z) nous conduit à:
P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) ... (z − zn−1)(z− zn ) = 0
Le développement de cette expression va nous fournir des relations importantes entre les coefficients du polynôme P(z) et les racines z1, z2, ..., zn de l'équation
P(z) = 0 .
• Considérons d'abord le cas simple d'un polynôme du premier degré :
P1(z) = a1z + a0 = 0
P1(z)
a1= z +
a0a1
L'équation admet une racine unique, z1 et s'écrit :
P1(z)
a1= z − z1 = 0 avec
z1 = −
a0a1
• Considérons maintenant le cas d'un polynôme du second degré :
P2(z) = a2z2 + a1z + a0 = 0
Cette équation admet deux racines, z1 et z2 et l'on peut écrire :
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 56
P2(z)
a2= z2 + a1
a2z+ a0
a2
= (z − z1)(z− z2 )
= z2 − z1z− z2z + z1z2
Soit :
P2(z)
a2= z2 − (z1 + z2)z+ z1z2 = 0
Par identification, on obtient l'expression de la somme des racines : z1 + z2 = −
a1a2
ainsi que celle de leur produit z1z2 = +
a0a2
Remarque : On retrouve le résultat page 18 dans le chapitre 1 pour les équations de la forme az2 + bz + c = 0 :
a
czzP
a
bzzS
21
21
==
−=+=
• Le cas d'un polynôme du troisième degré est un peu plus compliqué.
L'équation P3(z) = a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0 admet trois racines, z1, z2 et z3 et l'on peut écrire :
P3(z)
a3= z3 + a2
a3z2 + a1
a3z + a0
a3
= (z − z1)(z− z2)(z− z3)
Soit :
P3(z)
a3= z3 − (z1 + z2 + z3 )z2 + (z1z2 + z2z3 + z3z1)z − z1z2z3 = 0
Par identification, on obtient différentes expressions en en fonction des coefficients du polynôme :
- la somme des racines: z1 + z2 + z3 = −
a2a3
- le produit des racines : z1z2z3 = −
a0a3
- la somme des produits deux à deux des racines : z1z2 + z2z3 + z3z1 = +
a1a3
• Considérons maintenant le cas général d'une équation de degré n:
P(z) = anzn + an−1zn−1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 57
En développant l'expression factorisée et en identifiant les termes de même degré, on obtient la suite de calculs ci-après :
P(z) = an(z − z1)(z− z2)(z− z3) ... (z − zn−1)(z− zn ) = 0
P(z)
an= zn + an−1
anzn−1 + an−2
anzn−2 + ... + a2
anz2 + a1
anz + a0
an
= (z− z1)(z − z2)(z − z3) ..... (z − zn−1)(z − zn)
P(z)
an= zn − (z1 + z2 + z3 + ... + zn−1 + zn )zn−1
+(z1z2 + z1z3 + . .. + z1zn + z2z3 + z2z4 + ... + z2zn + ... + zn−1zn )zn−2
− .. ... + (−1)nz1z2z3.. .zn
on obtient les expressions générales suivantes :
- la somme des n racines : σ1 = z1 + z2 + z3 + .. . + zn−1 + zn = −
an−1an
= (−1)1an−1an
- la somme des produits 2 à 2 des racines :
σ2 = z1z2 + z1z3 + ... + zn−1zn = +
an−2an
= (−1)2an−2an
-la somme des produits 3 à 3 des racines :
σ3 = z1z2z3 + ... + zn−2zn−1zn = −
an−3an
= (−1)3an− 3an
- la somme des produits 4 à 4 des racines :
σ4 = z1z2z3z4 + .. . + zn− 3zn−2zn−1zn = +
an− 4an
= (−1)4 an− 4an
et ainsi de suite.
Le terme général de la somme des produits k à k des racines est :
σk = z1z2z3. ..zk + ....+zn−k+1...zn− 2zn−1zn = (−1)k an−k
an
Enfin le dernier terme donne le produit des n racines: σn = z1z2z3...zn = (−1)n
a0an
Remarques : ● Si certains des coefficients du polynôme P(z) que l’on cherche à factoriser sont complexes alors la factorisation dans C est la seule possible. ● En revanche, si tous les coefficients de P(z) sont réels, on peut alors factoriser ce polynôme dans R.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 58
3. Factorisation dans R
a) Définition
Seuls les polynômes P(z) à coefficients réels peuvent être factorisés dans R.
b) Propriétés de la factorisation dans C
Soit un polynôme P(z) à coefficients réels. Soit 000 jyxz += un nombre complexe.
Alors le polynôme ( ) )y,x(jB)y,x(A)jyx(PzP 0000000 +=+= est lui aussi un nombre complexe. Les coefficients de P(z) étant réels , A(x0,y0) et B(x0,y0) sont réels et on
peut démontrer que ( ) )z(PzP 00 =
soit )y,x(jB)y,x(A)jyx(P 000000 −=− .
Si z0 est racine de l’équation algébrique P(z) = 0 alors l'égalité
0)y,x(jB)y,x(A 0000 =+ impose que :
==
0)y,x(B
0)y,x(A
00
00
Dans ces conditions, ( ) 0zP)z(P)y,x(jB)y,x(A 000000 ===−
Ceci montre que 000 jyxz −= est aussi racine de P(z) = 0 .
Théorème: Si un nombre complexe est racine d'ordre ββββ d'une équation algébrique à
coefficients réels , son conjugué est également racine d'ordre ββββ.
Conséquence : Toute équation algébrique à coefficients réels P(z) = 0 admet donc :
• des racines réelles x1, x2, ... , xu d'ordres respectifs α1, α2, ... , αu,
• des couples de racines complexes conjuguées (z1, z 1),(z2, z 2 ), ... , (zv ,z v) d'ordres respectifs β1,β2 ,...,β v.
La factorisation de P(z) s'écrit alors :
[ ] [ ] v1u21 )zz)(zz(...)zz)(zz()xz...()xz()xz(a)z(P vv11u21nββααα −−−−−−−=
Posons z1 = p1 + jq1 donc z1 = p1 − jq1
Il s'ensuit que
(z − z1)(z − z1) = (z − p1 − jq1)(z − p1 + jq1)
= (z − p1) − jq1[ ](z − p1) + jq1[ ]= (z − p1)2 − ( jq1)2
Soit : (z − z1)(z − z1) = (z − p1)2 + q1
2
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 59
Finalement : [ ] [ ] v1u21 2
v2
v2
12
1111n q)pz(...q)pz()xz...()xz()xz(a)z(Pββααα +−+−−−−=
avec α1 + α2 + ... + αu + 2(β1 + β2 + ... + βv ) = n
Cette factorisation ne fait apparaître que des termes réels, du premier ou du second degré.
Remarques : • Pour une équation algébrique à coefficients réels, le nombre de racines complexes est toujours pair (deux à deux conjuguées).
Exemple : ( )( )( )( )1z2zj1zj1z4z2z2z3z 234 −+−+++=−−++
• Une équation algébrique à coefficients réels dont le degré est impair possède au moins une racine réelle.
Exemple : ( )( )( )2zj1zj1z4z6z4z 23 +−+++=+++
c) Factorisation dans R
Soit un polynôme P(z) à coefficients réels que l’on veut factoriser sur R.
On peut obtenir cette factorisation à partir de sa factorisation dans C. Il suffit de réassocier deux à deux les termes relatifs aux racines complexes conjuguées pour donner des polynômes d’ordre 2.
Exemple : Soit à factoriser le polynôme P(z) = z4 + 1.
Les zéros de ce polynôme sont les racines quatrièmes de -1.
Posons z = ρejθ
Il vient z4 = ρ4ej 4θ = −1 = ejπ .
On en déduit le module et l'argument des racines :
ρ = 1
θ =π4
+ kπ2
Explicitement les racines sont :
)j1(2
2z
ez
1
4j
1
+=
=π
)j1(2
2z
ez
2
4
3j
2
+−=
=π
23
4
5j
3
z)j1(2
2z
ez
=+−=
=π
14
4
7j
4
z)j1(2
2z
ez
=−=
=π
La factorisation du polynôme sur C est:
−−
++
+−−
+−=
−−−−=
−−−−=ππππ
)j1(2
2z)j1(
2
2z)j1(
2
2z)j1(
2
2z
)ez)(ez)(ez)(ez(
)zz)(zz)(zz)(zz()z(P
4
7j
4
5j
4
3j
4j
4321
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 60
En regroupant les termes complexes conjugués,
)12zz(2
1
2
2z)j1(
2
2z)j1(
2
2z
)12zz(2
1
2
2z)j1(
2
2z)j1(
2
2z
2
2
2
2
++=+
+=
++
+−−
+−=+
−=
−−
+−
On aboutit à la factorisation dans R suivante :
P(z) = (z2 − z 2 +1)(z2 + z 2 + 1)
IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A COEFFICIENTS REELS
1. Forme générale
On appelle équation algébrique du troisième degré à coefficients réels une expression de la forme ay3+by²+cy+d = 0 dans laquelle la variable z est complexe (ou réelle) et les coefficients, a, b, c, d, sont réels.
Pour étudier une telle équation, on effectue le changement de variable a3
bxy −=
Il vient alors : 0da3
bxc
a3
bxb
a3
bxa
23
=+
−+
−+
−
0da3
bxc
a9
b
a3
bx2xb
a27
b
a9
bx3
a3
bx3xa
2
22
3
3
2
223 =+
−+
+−+
−+−
On constate que les termes en b² s'éliminent.
Après division de l'ensemble par a, il vient : x3 + px + q = 0
C'est sous cette forme que l'on résout l'équation du 3ème degré.
2. Nombre de racines réelles On écrit l’équation algébrique précédente sous la forme : x
3 + px = −q
On étudie alors le graphe des deux fonctions :
y1 = x3 + px = x(x2 + p)
y2 = −q (droite )
dont les intersections donnent les racines de l'équation x3 + px + q = 0
Considérons la première fonction.
Sa dérivée est :
dy1dx
= 3x2 + p
Elle ne s'annule que si p est négatif , aux points x0 =
p
3 et
−x0 = −
p
3.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 61
L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction y1 est croissante si x < -x0 et
pour x > x0 puis décroissante de -x0 à x0 avec
dy1dx
= 3x2 − p = 3(x − x0 )(x + x0) .
x −x0 x0
x − x0 − − +x + x0 − + +
dy1
dx+ − +
y1 croissante décroissante croissante
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0
3 racines réelles
y 0
1 racine réelle, 2 racines complexes conjuguées
1 racine réelle, 2 racines complexes conjuguées
-y 0
x
y
y2 = -q
q2 < y0
2
p < 0
y2 = -q; q2 > y0
2
y2 = -q; q2 > y0
2
Si on trace le graphe de y2 = -q, on aura 3 intersections avec la courbe représentant la fonction y1, donc 3 racines réelles, si et seulement si q ≤ y0 c'est à dire si
q2 ≤ y0
2
Or 27
p4
9
p4
3
pp
3
p
3
p)px(xy
32222
02
02
0 −=
−=
+−−=+=
On aura donc 3 racines réelles si 4p3 + 27q2 ≤ 0
L'égalité correspond au cas où l'une des racines est double .
Le cas où 4p3 + 27q2 > 0 correspond à une seule intersection, donc une seule racine réelle . Les deux autres racines sont imaginaires conjuguées .
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 62
Par contre si p est positif , la courbe ne présente plus ni maximum ni minimum. On
a seulement un point d'inflexion à l'origine. En effet la dérivée seconde
d2y1
dx2 = 6x
s'annule et change de signe en x = 0. Le graphe prend l'allure suivante:
-12
-8
-4
0
4
8
12
-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
p > 01 racine réelle
2 racines imaginaires conjuguées
y2 = -q
y
x
Il ne peut y avoir qu'une seule racine réelle , les deux autres étant imaginaires conjuguées . Une méthode de calcul utilise la relation trigonométrique ϕ−ϕ=ϕ cos3cos43cos 3 . En posant x = λcosϕ, on obtient une équation du troisième degré :
03cosx
3x
43
=ϕ−λ
−
λ soit 03cos
4x
43x
323 =ϕλ−λ−
qui est formellement identique à x3 + px + q = 0 avec
ϕλ−=
λ−=
3cos4
q
43p
3
2
On calcule donc λ à partir de la première égalité, puis on en déduit cos3ϕ,. On en tire ϕ, donc cosϕ, et on obtient x.
Examinons les conditions d'application de cette méthode.
On élimine λ entre les deux équations, ϕ=−⇒
ϕλ=
λ−=3cos
p4
q27
3cos16
q
2427p
23
2
26
2
63
Or 0 ≤ cos23ϕ ≤ 1.
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES 63
On obtient les deux conditions : 3
2
p4
q270 -≤ soit p < 0
et
-
27q2
4p3 ≤ 1 qui conduit à 4p3 + 27q2 ≤ 0
Cette méthode est donc applicable dans le cas de trois racines réelles.
Si 4p3 + 27q2 > 0 la méthode précédente n'est plus applicable.
On utilise alors la méthode de Cardan consiste à poser x = u + v
L'équation devient : 0q)vu(p)vu( 3 =++++
0)puv3)(vu(qvu
0q)vu(pvuv3vu3u
0q)vu(p)vu(
33
3323
3
=+++++=++++++
=++++
Cette équation peut être satisfaite si on a simultanément
u3 + v3 + q = 0
(u + v)(3uv + p) = 0
soit u3 + v3 = −q
3uv + p = 0
Remarque : le cas u + v = 0 est impossible car on aurait alors u = −v et
u3 + v3 = 0 ≠ −q
Finalement, il apparaît que la somme et le produit de u3 et v3 sont donnés par :
−=
−=+
27
pvu
qvu3
33
33
u3 et v3 sont donc les solutions T1 et T2 d'une équation du second degré :
T2 + qT −
p3
27= 0
à la condition que le discriminant ∆ soit tel que ∆ = q2 +
4p3
27> 0 .
On retrouve la condition 4p3 + 27q2 > 0 . Les racines x sont alors données par:
x = T1( )13 + T2( )13
C'est la formule de Cardan .