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Chapitre IX Intégrales de surface
1. SURFACE PARAMÉTRÉE - PLAN TANGENT - VECTEUR NORMAL. ....................................................... 2
1.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 2 1.2 VECTEUR NORMAL ..................................................................................................................................................... 4
2. AIRE D'UNE SURFACE PARAMÉTRÉE ............................................................................................................ 6
2.1 SURFACE PARAMÉTRÉE .............................................................................................................................................. 6 2.2 SURFACE EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES .............................................................................................................. 7 2.3 AIRE D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION. .................................................................................................................... 10
3. INTÉGRALE DE SURFACE. ............................................................................................................................... 11
4. FLUX D'UN CHAMP DE VECTEUR À TRAVERS UNE SURFACE. ............................................................ 12
4.1 DÉFINITION .............................................................................................................................................................. 12
5. THÉORÈME DE LA DIVERGENCE OU D'OSTROGRADSKI OU THÉORÈME DE GREEN DANS L’ESPACE ........................................................................................................................................... 15
5.1 PREMIER ÉNONCÉ ..................................................................................................................................................... 15 5.2 ENONCÉ GÉNÉRAL .................................................................................................................................................... 18
6. THÉORÈME DE STOKES .................................................................................................................................... 19
7. MASSE, CENTRE D’INERTIE, MOMENT D’INERTIE ................................................................................. 24
7.1 MASSE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................................... 24 7.1.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 24 7.2 CENTRE D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ............................................................................................................. 24 7.2.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.2.2 Exemple ................................................................................................................................................................ 25 7.3 MOMENT D’INERTIE D’UNE PLAQUE GAUCHE ........................................................................................................... 26 7.3.1 Exemple ................................................................................................................................................................ 27
C H A P I T R E 9
Leila Richa
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Part 1
1. Surface paramétrée - Plan tangent - Vecteur normal. 1.1 Surface paramétrée Rappelons qu’une courbe parametrée est une application de R dans R2 ou R 3 ;
C(t) =(x(t), y(t)) ou C(t)=(x(t), y(t), z(t)), t a b∈[ , ]
( ) ( )( )2, cos ,3 2 ; 0 2C t t t t t π= + ≤ ≤
0
2
4
6 −1−0.5
00.5122.533.54
0
2
4
6
22
Figure 1
Une surface parametrée est par contre, une application de R 2 dans
R 3
X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R 2
( ) ( )( )2 3, , cos 2 , 1 ; 0 ; 0 1X t v t v t v v t vπ= + + + ≤ ≤ ≤ ≤
01
23
4 −1
0
1
2
3
11.251.5
1.752
01
23
4
Figure 2
C H A P I T R E 9
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E X E M P L E
L’équation de la sphère centrée à l’origine et de rayon ;avec 0a a > est en coordonnées sphériques:
( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ; 0 ;0 2X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤
P L A N T A N G E N T
Considérons une surface S, définie par:
X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆. R 2 .
Pour chaque valeur fixée de u, la courbe :
C t X t u1 ( ) ( , )=
est une courbe appartenant à la surface S.
De même pour t fixée, la courbe:
C u X t u2 ( ) ( , )=
est aussi une courbe de S. Le vecteur
C tXt
t u1' ( ) ( , )=
∂∂
est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C t1 ( ) et par contre celui de la tangente à la surface S au point X(t, u).
De même le vecteur
C uXu
t u2' ( ) ( , )=
∂∂
est le vecteur directeur de la tangente à la courbe C u2 ( ) et par contre celui de la tangente à la surface S au même point X(t, u). Nous pouvons énoncer:
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Définition
Pour une surface S définie comme ci-dessus, le plan passant par
le point X(t, u) et parallèle aux deux vecteurs ∂∂ Xt
t u( , ) et ∂∂ Xu
t u( , ) (lorsqu'il existe) est par définition le plan tangent à la
surface S au point (t, u)
1.2 Vecteur normal Le vecteur normal à la surface S au point X(t, u) est par définition le vecteur normal au plan tangent en ce point.
( , ) ( , ) X XN t u t ut u
∂ ∂= ∧∂ ∂
Le vecteur unitaire de cette normale est alors:
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
X Xt u t ut unX Xt u t ut u
∂ ∂∧
∂ ∂=∂ ∂
∧∂ ∂
E X E M P L E
Soit la sphère donnée par son équation paramétrique:
( ) ( ), sin cos , sin sin , cos ;0 ;0 2X a a aθ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤
Nous avons alors:
( , ) ( cos cos , cos sin , sin ) sin ( , )
( , ) ( sin sin , sin cos ,0)
X a a aX X a X
X a a
ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕϕ ϕ ϕ θ
ϕ θϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ
∂ ⎫= − ⎪ ∂ ∂∂ ⎪⇒ ∧ =⎬ ∂ ∂∂ ⎪= − ⎪∂ ⎭
2 sin ( , ) sinX X a X aϕ ϕ θ ϕϕ θ
∂ ∂∧ = =
∂ ∂ 1 ( , )n X
aϕ θ⇒ =
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∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j
∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑q
∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ q
^ ∑XÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑j
Figure 3
R E M A R Q U E 1
Trouvons la normale à cette sphère à l’aide du gradient. Posons :
2 2 2 2( , , ) 0f x y z x y z a= + + − =
2 2 2
2( , , ) 2( , , ) 12( , , ) ( , , )22
x y z x y zgradf x y z n x y za ax y z
= ⇒ = = =+ +
Or ( , )X ϕ θ et (x, y, z) ne sont autre que le rayon vecteur OM.
R E M A R Q U E 2
X Xθ ϕ
∂ ∂∧
∂ ∂ étant aussi un vecteur normal à la surface de même
direction que le premier, mais dans le sens opposé, nous choisissions pour n le vecteur dirigé vers l’extérieur de la surface. Si le contour de la surface est non fermé, et si il est parcouru dans le sens direct, n a la direction du bonhomme d’Ampère.
0 0.5 1 1.5
11.5 22.530.5
1
1.5
2
Figure 4
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2. Aire d'une surface paramétrée 2.1 Surface paramétrée
0
2
4
6
0
12
34
0
1
2
3
4
θ
0
2
4
0
12
3
Figure 5
Considérons deux vecteurs non nuls et non colinéaires A et B de l’espace. Ces deux vecteurs engendrent un parallélogramme dont la surface est égale à:
sins A B θ= θ étant l’angle des deux vecteurs.
Or A B A B∧ = sinθ
Soit la surface parametrée suivante:
X(t, u)=(x(t, u), y(t, u), z(t, u)) (t, u)∈ A ⊆ R2.
Si A et B sont les tangentes et X Xt u
∂ ∂∂ ∂
à cette surface en un point
(t, u), alors :
X Xt u
∂ ∂∂ ∂
∧
est égale à l’aire du parallélogramme engendré par et X Xt u
∂ ∂∂ ∂
;
Ce parallélogramme appartient au plan tangent.
Ajoutons alors la condition suivante:
1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )t u t u X t u X t u≠ ⇒ ≠
autrement dit la surface est injective ou dite " surface à deux faces".
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Alors si les composantes x(t, u), y(t, u), z(t, u), (t, u) ∈ A sont de classe C1 on définit l'aire de la surface S par:
( ) S A
X XAire S d dtdut u
σ ∂ ∂= = ∧
∂ ∂∫∫ ∫∫
On écrit symboliquement :
X Xd dtdut u
σ ∂ ∂= ∧
∂ ∂
E X E M P L E
Dans l’espace ( ), ,θ ϕ ρ la sphère est réduite au plan aρ = qui est
une surface à deux faces.
Calculons l’aire d’une sphère de rayon a. Nous savons que : 2
2 2 2 2
0 0
sin sin sin 4S R
X X a S d a d d a d d aπ π
ϕ σ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ πϕ θ
∂ ∂∧ = ⇒ = = = =
∂ ∂ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
{0 ; 0 2 }R ϕ π θ π= ≤ ≤ ≤ ≤
2.2 Surface en coordonnées cartésiennes Soit la surface donnée en coordonnées cartésiennes par z= f(x, y). Une représentation paramétrique de cette surface peut s'écrire:
X(x, y)=(x, y, f(x, y) )
d’où
( )'1,0, xX fx
∂=
∂ et ( )'0,1, y
X fy
∂=
∂⇒ ( )' ' , ,1
x yX X f fx y
∂ ∂∧ = − −
∂ ∂
⇒ '2 '2 1 x yX X f fx y
∂ ∂∧ = + +
∂ ∂
22 1 S A
f fd dxdyx y
σ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫ ∫∫
E X E M P L E 1
Calculer l’aire de la portion de paraboloïde définie par:
2 2 , 0 2z x y z= + ≤ ≤
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En appliquant la formule précèdent, on obtient: 2 2 2 21 4 4 {( , ) / 2}
D
S x y dxdy avec D x y x y= + + = + ≤∫∫
En passant en coordonnées polaires, on obtient: 2 2
2
0 0
131 43
S d r r drπ
θ π= + =∫ ∫
E X E M P L E 2
Calculer l’aire d’une sphère d'équation: 2 2 2 2x y z a+ + =
Dans l’espace ( ), ,x y z la sphère n’est pas une surface à deux
faces. Elle en a quatre, deux faces pour 2 2 2z a x y= + − − et deux
autres pour 2 2 2z a x y= − − − .
Nous calculerons l’aire de l’hémisphère 2 2 2z a x y= − − et nous multiplions le résultat par 2.
'
2 2 2x
xza x y
−=
− −; '
2 2 2y
yza x y
−=
− −;
' 2 ' 2
2 2 21 x y
az za x y
+ + =− −
' 2 ' 21 2 2 2
2 2
0 0 2 2
1
2
x yS R R
a
aS d z z dxdy dxdya x y
ard dr aa r
π
σ
θ π
= = + + =− −
= =−
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫
212 4S S aπ= =
R E M A R Q U E I M P O R T A N T E
Soit S une surface à deux faces et Dxy sa projection sur le plan
xOy. Supposons que l’équation de S soit donnée par :
z= f(x, y)
où f est une fonction continue et bijective. Soit n la normale à la surface en un point :
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γ
γ
S
D Figure 6
coscos
D DSS
γγ
= ⇒ =
P= (x, y, f(x, y))
Considérons en ce point une surface élémentaireΔS . On a :
1 1cos cos
S D dxdyγ γ
Δ = Δ =
avec (cos ,cos ,cos )α β γ coefficient directeur du vecteur unitaire normal n:
(cos ,cos ,cos )n α β γ= => ( ). (cos ,cos ,cos ). 0,0,1 cosn k α β γ γ= =
γ étant l’angle que fait la normale à la surface avec l’axe des z, nous pouvons écrire:
'2 '2
' '
'2 '2
1 1 1 1cos . ( , ,1)
(0,0,1)1
x y
x y
x y
f fn K f f
f f
γ= = = + +
− −⋅
+ +
On peut donc conclure :
'2 '21 1cos
xy xy
x yD D
S dxdy f f dxdyγ
= = + +∫∫ ∫∫
Ainsi si nous projetons le domaine sur les plans yOz ou xOz, nous démontrons facilement que:
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' 2 ' 21 1cos
yz yz
y zD D
S dydz x x dydzα
= = + +∫∫ ∫∫
' 2 ' 21 1cos
xz xz
x zD D
S dxdz y y dxdzβ
= = + +∫∫ ∫∫
2.3 Aire d'une surface de révolution. Soit une courbe plane z= z(x), allant du point A x zo o= ( , ) au point B x z= ( , )1 1 Quand cette courbe tourne autour de l'axe des z, elle décrit une surface S.
A
B
x y
z
Figure 7
x y
z
Figure 8
Chaque point de cette courbe décrit un cercle de périmètre p(x)=2πx.
L'aire de cette surface, est donnée par:
2 B
AS x dsπ= ∫
ds étant la longueur élémentaire de la courbe z(x). Donc ' 21 xds z dx= +
Enfin
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1
0
22 1 'x
xxS x z dxπ= +∫
3. Intégrale de surface. Soit S une surface paramétrée déterminée par sa représentation paramétrique X t u t u A( , ), ( , ) ∈ Soit f une fonction définie sur S. On définit l'intégrale de surface de f sur S et on note:
X X( ( , )) t uS A
f d f X t u dtdu∂ ∂σ∂ ∂
= ∧∫∫ ∫∫
Lorsque f=1, l’intégrale de surface de f est l’aire de la surface S.
E X E M P L E
Soit S la surface definie par z x y= +2 avec {0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}. Calculer l’intégrale de surface de la fonction f(x, y, z) =x.
1 1' 2 ' 2 2
0 11
32 2
0
1 2 4
1 22(1 3 ) 63 3
x yS D
xd x z z dxdy x x dx dy
x
σ−
= + + = +
⎤= + = − +⎥⎦
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
0 0.25 0.5 0.75 1
-1-0.5
00.5
1
-1
0
1
2-1-0.5
00.5
1
Figure 9
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4. Flux d'un champ de vecteur à travers une surface. 4.1 Définition Soit S une surface déterminée par sa représentation paramétrique X(t, u). Supposons que S est contenue dans un certain ouvert U de R3. Soit F un champ de vecteurs de R3 défini dans U.
Soit n le vecteur unitaire normal à la surface dirigé vers son extérieur. Le produit scalaire F . n est la composante normale du champ F.
On appelle flux du champ F à travers la surface S, la quantité
. S
flux F n dσ= Φ = ∫∫
Ce flux est donc égal à:
. ( ( , )). S A
X XF n d F X t u n dtdut u
∂ ∂σ∂ ∂
Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫
avec ( ),t u A∈
or
n
Xt
Xu
Xt
Xu
=∧
∧
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
donc
. ( ( , )) S U
X XF n ds F X t u dtduu t
∂ ∂∂ ∂
Φ = = ⋅ ∧∫∫ ∫∫
. S U
F n ds F N dtduΦ = = ⋅∫∫ ∫∫
C’est ∂∂
∂∂
Xt
Xu
∧ ou ∂∂
∂∂
u
X Xt
∧ selon l'orientation de ce vecteur
normal.
R E M A R Q U E
Il n’est pas toujours possible d’orienter la surface de manière à avoir un extérieur et un intérieur. Nous nous limiterons dans ce cours aux cas où cette orientation est possible géométriquement.
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E X E M P L E 1
Calculer le flux du champ de vecteurs : F(x, y, z) = (x, y, 0)
à travers l’hémisphère z a x y= − −2 2 2
Figure 10
2 2 23 3 3 2 3
0 0 0
4. . sin 2 sin (1 cos )3S D
F nd F Nd d d a d a d aπ π
π
σ ϕ θ θ ϕ ϕ π ϕ ϕ ϕ πΦ = = = = − =∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫E X E M P L E 2
Calculer le flux du champ de vecteurs : F x y z y x z( , , ) ( , , )= − 2
à travers le paraboloïde z x y z= + ≤ ≤2 2 0 1;
Figure 11
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Paramétrisons cette paraboloïde:
X x y x y x y x y D x y x y( , ) ( , , ); ( , ) {( , ) / }= + ∈ = + ≤2 2 2 2 1
( )'(1,0, 2 ); (0,1, 2 ); ( 2 , 2 ,1) ', ,1x yX X X Xx y x y f fx y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= = ⇒ ∧ = − − = − −
Ce vecteur est dirigé vers l'intérieur de la paraboloïde, nous prenons alors pour vecteur normal:
∂∂
∂∂
Xy
Xx
x y∧ = −( , , )2 2 1
Ainsi le flux est égal: 2 2 2
2 15
0 0
( )
3
S D D
F nd F Ndxdy x y dxdy
d r drπ
σ
πθ
Φ = ⋅ = ⋅ = − +
= − = −
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫
Part 2 R A P P E L 1
On appelle divergence d’un champ de vecteurs F de composantes: ( )1 2 3, ,f f f le scalaire:
31 2 ff fdivF
x y z∂∂ ∂
∂ ∂ ∂= + +
R A P P E L 2
On appelle rotationnel d’un champ de vecteurs U de composantes: U P Q R= ( , , ) le scalaire:
, ,Q QR P R ProtUy z z x x y
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
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5. Théorème de la divergence ou d'Ostrogradski ou Théorème de Green dans l’espace 5.1 Premier énoncé
Soit U une région de l'espace R3 formant l'intérieur d'une surface fermée S de classe C1 à l'exception peut-être d'un nombre fini de surfaces de classe C1 .
Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert A contenant S.
Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S.
Alors le flux du champ F à travers la surface S est donné par:
. S U
F n d divF dVσΦ = =∫∫ ∫∫∫
Figure 12
D E M O N S T A R T I O N
Soit S une surface fermée telle que toute parallèle à l’un ou à l’autre des axes de coordonnées, coupe S en deux point tout au plus. Considérons le champ de vecteurs
1 2 3( , , )F f f f=
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Supposons que les équations des parties inférieures et supérieures soient: 1 1 2 2( , ); ( , )z g x y z g x y= = et que D, la projection de la surface sur le plan xOy.
-1 01
-1 0 1
0
0.5
1
1.5
2
z1=g1Hx,yL
z2=g2Hx,yL
D0
Figure 13
Nous avons alors:
2
1
3 3
3 2 3 1[ ( , , ( , )) ( , , ( , ))]
z
U D z
D
f fdxdydz dxdy dz
z z
f x y g x y f x y g x y dxdy
∂ ∂∂ ∂
=
= −
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫
Pour la portion supérieur S2 la normale n2 à S2 fait un angle aigu γ 2 avec k.
2 2cosdxdy dsγ= ⇒ 2 2.dxdy k n ds=
Pour la portion inférieur S1 :
1 1cosdxdy dsγ= − ⇒ 1 1.dxdy k n ds= −
puisque la normale n1 à S1 fait un angle obtus γ 1 avec k.
Alors:
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2 1
33 2 2 3 1 1
3
( , , ) . ( , , ) .
( , , ) .
U S S
S
fdxdydz f x y z k n ds f x y z k n ds
z
f x y z k nd
∂∂
σ
= +
=
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
33 ( , , ) .
U S
fdxdydz f x y z k nd
z∂
σ∂
=∫∫∫ ∫∫ (1)
De la même façon, en projetant S sur les autres plans de coordonnées on obtient:
22 ( , , ) .
U S
f dxdydz f x y z j ndy
∂σ
∂=∫∫∫ ∫∫ (2)
11( , , ) .
U S
f dxdydz f x y z i ndx
∂ σ∂
=∫∫∫ ∫∫ (3)
En additionnant (1), (2) et (3), nous obtenons:
1 2 3 [ ). . U S S
divF dV f i f j f k nd F n dσ σ= + + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫
Notons que ce flux peut s’écrire:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
. [ ).
. . .
cos cos cos
S S
S
S
S
F n d f i f j f k nd
f i nd f j nd f k nd
f d f d f d
f dydz f dxdz f dxdy
σ σ
σ σ σ
α σ β σ γ σ
= + +
= + +
= + +
= + +
∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫
E X E M P L E 1
Calculer le flux du champ:
( )2 2 2( , , ) , ,F x y z x y z=
sortant à travers le cube de côté 1 (rép. 3)
E X E M P L E 2
Calculer le flux du champ:
F(x, y, z) = (x, y, z)
à travers la sphère de rayon 1 centrée à l’origine. (rép. 4π)
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5.2 Enoncé général Soit U une région de l'espace R3 dont la frontière est la réunion d'un nombre fini de surfaces orientées de sorte que U se trouve à l'intérieur (dans le sens opposé à la normale) de chacun d'elle.
Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant U et S . Soit n le vecteur unitaire normal dirigé vers l'extérieur de S. Alors:
Φ = =∫∫ ∫∫∫F n d divF dVS U
. σ
E X E M P L E
Soit U la région comprise entre deux sphères concentriques, S1 et S2 , et soit F un champ de vecteurs vérifiant : div F=0
S1
S2
Alors
divF dV F nd F nd F nd F ndU
S S S S
∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫= ⇒ + = ⇒ = −0 01 2 1 2
. . . .σ σ σ σ
Si on change l’orientation de n dans S2 nous aurons:
F nd F ndS S
. .σ σ1 2
∫∫ ∫∫=
D’où le corollaire suivant:
Corollaire
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Si S1 et S2 sont deux surfaces fermées telle que S1 est dans l'intérieur de S2 . Si F est un champ vectoriel tel que: divF=0, alors le flux de F à travers S1 est égal au flux de F à travers S2 .
rotF n d F dCS C
. σ∫∫ ∫=
6. Théorème de Stokes Enoncé
Soit S un domaine superficiel à deux faces, limité par une courbe fermée C.
Orientons C de sorte que S soit située à sa gauche.
Soit F un champ de vecteurs défini dans un ouvert contenant S et sa frontière .
Alors :
. S CrotF n d F dCσ
+=∫∫ ∫
F I G U R E 1 4
D E M O N S T R A T I O N
Soit une surface “à deux faces” S donnée par
z = f(x, y)
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Supposons que S est comprise à l’intérieur d’un domaine U de l’espace, et que C est sa frontière.
Rappel
La normale à cette surface étant donnée par le gradient de “z - f(x, y)=0”, on a:
' '
'2 ' 2
( , ,1)
1x y
x y
f fn
f f
− −=
+ + ⇒
'
'2 ' 2.
1x
x y
fn i
f f
−=
+ + et
'
'2 ' 2 .
1y
x y
fn j
f f
−=
+ +
Comme
'2 ' 2
1 .1 x y
n kf f
=+ +
⇒ '. . ; xn i f n k= − et '. - .yn j f n k=
D’autre part, nous savons que :
1.S D
d dxdyn k
σ =∫∫ ∫∫ autrement dit .D S
dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫
Fin du rappel
Considérons alors un champ de vecteurs de classe C1 défini dans U.
( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , , , , , ,F x y z X x y z Y x y z Z x y z=
Nous voulons montrer que:
rotF n d F dCS C
. σ∫∫ ∫=
C’est à dire:
. . .S C
Z Y X Z Y Xi n j n k n d Xdx Ydy Zdzy z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + − = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫∫ ∫
Soit D la projection de S sur le plan xOy et L le contour de D.
Calcul de C
Xdx∫
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( , , ) ( , , ( , ))C L
X x y z dx X x y f x y dx=∫ ∫
Posons P =X et Q =0, et appliquons le théorème de Green:
C D D
Q P PXdx dxdy dxdyx y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫∫ ∫∫
Or
( ) ( )( ), , , ,P x y X x y f x y= ⇒ P X X zy y z y
∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂
Alors
C D
fX XXdx dxdyy z y
∂∂ ∂∂ ∂ ∂
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫∫ ;
.D S
dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫ ⇒ .C S
X X fXdx n kdy z y
σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫
'- . .yf n k n j= ⇒ . . .S S S
X X f X Xn kd n kd n jdy z y y z
σ σ σ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫
⇒ . .C S S
X XXdx n kd n jdy z
σ σ∂ ∂= − +
∂ ∂∫ ∫∫ ∫∫
Calcul de C
Ydy∫
( , , ) ( , , ( , ))C L
Y x y z dx Y x y f x y dx=∫ ∫
Posons Q=Y et P(x, y)=0, et appliquons le théorème de Green:
C D D
Q P QYdy dxdy dxdyx y x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫∫ ∫∫
Or
( ) ( )( ), , , ,Q x y Y x y f x y= ⇒ Q Y Y zx x z x
∂ ∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂ ∂
Alors
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C D
Y Y fYdy dxdyx z x
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫
.D S
dxdy n kdσ=∫∫ ∫∫ ⇒
.C S
Y Y fYdy n kdx z x
∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫∫
' . .xf n k n i− = ⇒
. . .S S S
Y Y f Y Yn kd n kd n idx z x x z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫∫
⇒ . .C S S
Y YYdy n kd n idx z
∂ ∂σ σ∂ ∂
= − +∫ ∫∫ ∫∫
Calcul de C
Zdz∫
' '( , , ( , )) ( , , ( , ))( )x yC L L
Zdz Z x y f x y dz Z x y f x y f dx f dy= = +∫ ∫ ∫
Posons
'
'
( , ) ( , , ( , )) ( , )
( , ) ( , , ( , )) ( , )x
y
P x y Z x y f x y f x y
Q x y Z x y f x y f x y
=
=
et appliquons le théorème de Green:
' ' '' ' ' ''
' '
C D
x y xy y x xyD
y xD
Q PZdz dxdyx y
Z Z Z Zf f Zf f f Zf dxdyx z y z
Z Zf f dxdyx y
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂∂ ∂
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫∫
∫∫
∫∫
. .C D
Z ZZdz n j n i dx y
∂ ∂ σ∂ ∂
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫∫
Faisons la somme C
Xdx Ydy Zdz+ +∫
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. . .
.C S
S
Z Y X Z Y XF n i n j n k dy z z x x y
rotF nd
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
σ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫ ∫∫
∫∫c.q.d.f.
E X E M P L E
Vérifier le théorème de Stokes pour le champ:
F(x, y, z) = (z - y, x + z, -x - y)
sur le domaine
2 24 ; 0z x y z= − − =
(rép. 8π)
−1−0.500.51
−1 −0.5 0 0.5 11
1.25
1.5
1.75
2
R E M A R Q U E
Le théorème de Stokes peut être appliqué à une surface contenant plusieurs trous (comme dans le gruyère). L’intégrale de surface de rotF.n, est alors égale à l’intégrale curviligne le long de TOUTES les frontières de S.
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Part 3
7. Masse, Centre d’inertie, Moment d’inertie 7.1 Masse d’une plaque gauche On appelle plaque gauche tout couple ( ),S ρ où S est une surface de 3R et
: S Rρ +→ une application continue appelée densité superficielle de la plauqe gauche ( ),S ρ
On appelle masse d’une plaque gauche ( ),S ρ de 3R le réel m défini par :
( )S
m M dρ σ= ∫∫
où M désigne le point courant de S et dS est l’élément de surface.
7.1.1 Exemple Calculer la masse de la plauqe gauche ( ),S ρ où S est le morceau de cône défini par :
2 2 ;0 1;0 1z x y x y= + ≤ ≤ ≤ ≤ et ( ) 2, ,x y z xρ =
00.2
0.40.6
0.81 0
0.2
0.4
0.6
0.81
00.5
1
00.2
0.40.6
0.8
2 2
2 ' 2 ' 2 2 22 2 2 21 1 2x yD D D
x ym x z z dxdy x dxdy x dxdyx y x y
= + + = + + =+ +∫∫ ∫∫ ∫∫
1 12
0 0
223
m x dx dy= =∫ ∫
7.2 Centre d’inertie d’une plaque gauche Le centre d’inertie d’une plaque gauche ( ),S ρ est le point G de 3R défini par :
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( )
( )
( )
1 , ,
1 , ,
1 , ,
GD
GD
GD
x x x y z dm
y y x y z dm
z z x y z dm
ρ σ
ρ σ
ρ σ
⎧=⎪
⎪⎪
=⎨⎪⎪
=⎪⎩
∫∫
∫∫
∫∫
Pour une plaque gauche homogène, on emploie le terme centre de gravité au lieu de centre d’inertie.
7.2.1 Exemple Trouver le centre de gravité de l’hémisphère : z a x y= − −2 2 2 de densité constante 1. On vérifie facilement, par symétrie, que G Gx =y 0= .
G 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 22
1 1 z
1
2 2
S S
S
D
az d z dxdym m a x y
aa x y dxdym a x ya a a adxdy a am m a
ρ σ
π ππ
= =− −
= − −− −
= = = =
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫
7.2.2 Exemple Déterminer le centre de gravité de la plaque homogène ( ),1S où S est la surface définie par :
( ) [ ] [ ]cos ; sin ; ; , 0,1 0,1v v vx ue v y ue v z e u v= = = ∈ × 0 0.5 1 1.5
0 0.5 1 1.5 2
1
1.5
2
2.5
1
1.5
2
2.5
Figure 15
On a :
cossin0
v
v
e vX e vu
⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
; ( )( )cos sinsin cos
v
v
v
ue v vX ue v vv
e
⎛ ⎞−∂ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
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2
sincosv
vX X e vu v
u
⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟∧ = −⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ 2 21vX X e uu v
∂ ∂∧ = +
∂ ∂
La masse m est donnée :
( )( )( )( )( )
1 12 2
0 0
2
1
1 2 ln 1 2 1 3.6674
v
S
X Xm dudv u du e dvu v
e
∂ ∂= ∧ = +
∂ ∂
= + + − ≅
∫∫ ∫ ∫
7.3 Moment d’inertie d’une plaque gauche Soit H un point ou une droite ou un plan de 3R ; pour tout point M de 3R , on note ( ),d M H la distance de M à H.
Le moment d’inertie d’une plaque gauche ( ),S ρ par rapport à H est le réel HI défini par :
( ) ( )( )2,H
S
I M d M H dρ σ= ∫∫
où ( ), ,M x y z décrit S.
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7.3.1 Exemple Calculer le moment d’inertie par rapport à l’axe z’z dela plauqe homogène ( ),1S où
S est la surface définie par { }; 0 1; 0 1S z xshy x x= = ≤ ≤ ≤ ≤
00.20.40.60.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.25
0.5
0.75
1
00.20.40.60.8 1
0
0.25
0.5
0.75
1
Figure 16
' 2 ' 2 2 2 2 21 1 1x yz z sh y x sh y x chy+ + = + + = +
( ) ( )( )1 12 2 2 2 2' 0 0
1 1z zS
I x y x chydxdy x x dx chydyρ= + + = +∫∫ ∫ ∫
' 1.59z zI =
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A
Aire d'une surface de révolution · 10 d'une surface paramétrée · 6
C
centre d’inertie d'une plaque gauche · 24
F
flux · 12
I
Intégrale de surface · 11
M
masse plaque gauche · 24
moment d’inertie d'une plaque gauche · 26
O
Ostrogradski Théorème · 16
P
parametrée courbe · 2 surface · 2
plan tangent · 4
S
Stokes Théorème · 20
V
vecteur normal · 4