Ch.10 평면의 면적 2차모멘트 -...

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Ch.10 평면의 면적 2 차모멘트

* 평면의 면적 2 차모멘트(Second Moment of Area)

r

y

x

dA

z

y

x

0

Area A

Ix = 면적 2 차모멘트(단면 2 차모멘트) - 단위 m∫A

2 dAy 4 , ft4

Iy = (Second Moment of Area, or, Moment of Inertia) ∫A

2 dAx

Iz = = 극단면 2 차모멘트 ∫A

2 dAr ∫ +A

22 dA)yx(

= (Polar Second Moment of Area) yxA

2

A

2 IIdAydAx +=+ ∫∫


* 평행축 정리(Parallel-Axis Theorem)

y' yc

- 하나의 단면

Note: yyxx II,II ′=′=

Ix′ = Ix = Ixc + A(y′)2 Ixc = Ix′ - A(y′)2 = Ix - A(y′)2

Iy′ = Iy = Iyc + A(x′)2 Iyc = Iy′ - A(x′)2 = Iy - A(x′)2

- 복합 단면

xcI = ∑ [ Ixc + A(y)2 ]

ycI = ∑ [ Iyc + A(x)2 ]

0 x'

xc

y

x

c

dAx'

y'

(임의의 축)

⇒


Ex≫ 면적의 2 차모멘트(단면 2 차모멘트)를 구하여라.

ⅰ) x와 y축 (Ix, Iy , or, Ix′, Iy′ = ?)

ⅱ) 도심을 통과하는 축 (Ixc , Iyc = ?)

ⅲ) 면적에 수직인 도심을 통과하는 축 (Izc = Jzc = ?)

y

h

x0 b

Sol≫

ⅰ) Ix = = ∫∫ ⋅= h

02

A

2 )dyb(ydAy3

bh3

by 3h

0

3

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

y y

dA = h⋅dx dA = b⋅dy

x

b

h

0

dyh

y

x0x dx


Iy = = ∫∫ ⋅= b

02

A

2 )dxh(xdAx3hb

3hx 3b

0

3

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ⅱ)

yyxx II,II ′=′=

평행축 정리에 의해서

2xcx AyII +=

2ycy AxII +=

∴ Ixc = Ix – Ay2 = 12

bh)2h)(bh(

3bh 3

23

=−

Iyc = Iy – Ax2 =

12hb)

2b)(bh(

3hb 3

23

=−

ⅲ) Izc = Jzc = Ixc + Iyc = )bh(12bh

12hb

12bh 22

33

+=+

y

C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2h,

2b yc

x

h

0 b

xcc

x

y


Ex≫ 음영부분의 Ix, Iy, Jz =?

y

h

b

dy

2y

xdydA2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

ⅰ) Ix = 42

1

52

1

2

A

2 in10.310ydy)

2y(ydAy 2 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

ⅱ) 미소면적 ⇒ Iy = 3

hb3

h ⇒ dy , b ⇒ x 에 해당한다.

Iy = dI∫A

ydI y = 3

)2y(dy

3)x(dy

32

3

=

Iy = = ∫A

ydI 42

1

72

1

6

in756.0168ydy

24y

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

ⅲ) Jz = Ix + Iy = 3.10in4 + 0.756in4 = 3.86in4

x

y2=2x

dA

dy1in

y1in

2in


* 면적의 회전반경(Radius of Gyration, k)

- 기둥의 좌굴강도 산정 시 이용

회전 반경이 大 ⇒ 좌굴강도가 大 ⇒ 좌굴에 대한 저항력 大

Ix = ⇒ k2x

A

2 AkdAy =∫ x = AIx : x축에 대한 회전반경

Iy = ⇒ k2y

A

2 AkdAx =∫ y = AI y

Iz = ⇒ k2z

A

2 AkdAr =∫ z = AI z

⇒ See text page 557 Ex 10-1 ⇒ 개념예제, 동일한 면적 시 좌굴강도

⇒ See text page 565 표 10-1, 표 10-2:

다양한 단면에 대한 단면 2 차모멘트


In Class Exam≫ Ix , Ixc , Iy, Iyc = ?

y

xb/2 b/2

h

Sol≫ ydA=wdy

hd

yhw

=−

⇒ w = )yh(hb

−

ⅰ) Ix = ∫∫∫∫ −=−== h

032h

02

A2

A2 dy)yhy(

hbdy)yh(

hby)wdy(ydAy

= 12

bh4

y3

hyhb 3h

0

43

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ⅱ) Ixc = Ix – Ay2 = 36

bh3h

2bh

12bh 323

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3h,0

:See 215 쪽 표 5-1 dy h

wy

xb/2 b/2


ⅲ) 대칭 형태이므로,

y = h2

b)yh(xhxbh2hx

2bh −

=⇒+−=+−

Iy = dy3

xdIxb,dyh3

hb 3

1y

3

=∴==⇒

Iy1 = 96

hbdyh2

b)yh(31dyx

31dI

33h

0

h

03

A 1y =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

== ∫∫∫

Iy = 2Iy1 = 48

hb3

ⅳ) Iyc = Iy – Ax2 = 48

hb)0(2

hb48

hb 32

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

H.W. 11≫ 10-2, 10-4, 10-10, 10-17, 10-18


* 복합 단면의 2 차모멘트

평행축 정리에 의해서,

Ixc = ∑ [ Ixci + Ai(yi)2 ]

Iyc = ∑ [ Iyci + Ai(xi)2 ]

Ex≫ 도심축에 대한 단면 2 차모멘트를 구하라( Ixc , Iyc =?).

1

2

y

x

4in 2in

6in

2in

3in

4inC

Sol≫

Step 1) 도심을 구한다

xc = ( ) ( )

in46226

26622

2426

AxA ii =

×+×

××++××=∑

yc = ( ) ( )

in36226

22622

6226

AyA ii =

×+×

××++××=∑


Step 2) 평행축 정리를 써서 Ixc, Iyc를 구한다

Ixc = Ixc1 + Ay12 + Ixc2 + Ay2

2

= 2323

223)62(

12263

262)62(

1262

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+

×+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×+

×

= 136 in4

Iyc = Iyc1 + Ax12 + Iyc2 + Ax2

2

= 2323

264)62(

12624

224)62(

1226

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+

×+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×+

×

= 64 in4

Extra≫ x축과 y축에 대한 Ix , Iy = ?

Ix = Ixc + Ay2 = 42 in352)3()2662(136 =×+×+

Iy = Iyc + Ax2 = 42 in448)4()24(64 =+


Summary≫

Ixc = 136 in4 Ix = 352 in4

Iyc = 64 in4 Iy = 448 in4

H.W. 12 10≫ -33 , 10-34 , 10-44, Extra 10-37

yc

y 1

2

4in xc

3in

x


In Class Exam≫ Ixc , Iyc = ?

2in

8in

4in2in4in

Sol≫


* 관성 모멘트(Moment of Inertia for mass): 질량과 관계

z

dm(질량요소)

I = : I∫m2dmr x = dm)zy(dmr m

22m

2x ∫∫ +=

Iy = dm)xz(dmr m22

m2

y ∫∫ +=

Iz = dm)yx(dmr m22

m2

z ∫∫ +=

Ix′ = Ix = IxG + my2

Iy′ = Iy = IyG + mx2

rxr

z

x

y

ry

rz

x

y

질량에 관한 평행축 정리


* 관성 적(Product of Inertia)

Ixy = I∫m dmxy xy = ∫A dAxy

Iyz = I∫m dmyz yz = ∫A dAyz

Izx = ∫m dmzx

질량

x

r

y

0

y축에 대칭 : x2 = -x1 ,

∴ )Ayx y(x I 2211xy +=

Note: 최소한 대칭축이

x2

dA2

y2

Izx = ∫A dAzx⇔⇔

면적(단면상승모멘트)

y

dm or dA

x

Ixy = ∫ dAxy

y

y2 = y1

0 )Ayx - y(x 1111 ==

한 축 이상이면 ⇒ Ixy = 0

x

x1

dA1

y1

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