CH 5
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CH 5 CH 5 Integration Integration 積積 積積
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CH 5. Integration 積分. 學習內容. 面積與距離. Area and Distance The Definite Integral The Fundamental Theorem of Calculus Indefinite Integrals and the Net Change Theorem Tne Substitution Rule. 定積分. 微積分基本定理. 不定積分. 代換法. 5.2. The Definite Integral 定積分. 學習重點. 用定積分符號表示不規則區域的面積 知道均值定理 - PowerPoint PPT Presentation
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CH 5CH 5CH 5CH 5
IntegrationIntegration積分積分
學習內容• Area and DistanceArea and Distance
• The Definite IntegralThe Definite Integral
• The Fundamental Theorem of CalculusThe Fundamental Theorem of Calculus
• Indefinite Integrals and the Net Change Indefinite Integrals and the Net Change TheoremTheorem
• Tne Substitution RuleTne Substitution Rule
面積與距離
微積分基本定理定積分
不定積分
代換法
5.25.25.25.2
The Definite IntegralThe Definite Integral
定積分
學習重點
• 用定積分符號表示不規則區域的面積用定積分符號表示不規則區域的面積• 知道均值定理知道均值定理• 利用均值定理求函數的平均值利用均值定理求函數的平均值• 知道廣義的定積分定義知道廣義的定積分定義
面積與定積分的關係
n
iii
nxxf
1
)(limb
adx
Example 1
3
1
lim ( sin )n
i i i in
i
x x x x
Expressas an integral on the interval [0, π].
3
1
lim ( sin )n
i i i in
i
x x x x
0
dxx x x
什麼情形下有定積分 ?
若函數在 [a, b] 是連續的，
則函數在 [a, b] 的定積分存在。
連續函數在 [a, b] 是可積分的。
魔術手法－如何將不規則面積變規則 ?
面積 = 22π/2 = 2π 面積 = 4 ． π/2 = 2π=
平均值
積分均值定理
．面積1/寬
平均值
X 軸下方的面積
f(ck) > 0
面積 > 0
f(ck) < 0
面積 < 0
b
cdxxf 0)(
c
adxxf 0)(
b
adxxf )( 上 (正 )下 (負 )面積抵銷 !
• Evaluate the following integrals by interpreting each in terms of areas.
• a.
• b.
1 2
01 x dx
3
0( 1)x dx
Example 4
= ?
= ?
1 2 2140
1 (1)4
x dx
2( ) 1 0f x x
21y x
1 2
01 x dx
y2 = 1 - x2
x2 + y2 = 1
單位圓
Figure 5.2.10, p. 306
3
0( 1)x dxy = x – 1
2
3
2
11
2
2221
AA
積分的性質
零面積 係數法則 加法法則
加法性 不等性 優勢性
•If it is known that
10 8
0 0( ) 17 and ( ) 12f x dx f x dx
10
8( )f x dx
Example 7
•Find
= ?
8 10 10
0 8 0( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx
10 10 8
8 0 0( ) ( ) ( )
17 12
5
f x dx f x dx f x dx
10 8
0 0( ) 17 and ( ) 12f x dx f x dx
