數學、摺紙及GeoGebra :

等邊三角形的探究

關樹培、陳詠心

香港教育學院

正方形紙張摺疊成等邊三角形

方法一：

正方形紙張摺疊成等邊三角形

方法一：

正方形紙張摺疊成等邊三角形

方法一：

equitri01.ggb

方法二：

正方形紙張摺疊成等邊三角形

方法二：

正方形紙張摺疊成等邊三角形

equitri02.ggb

方法二：

正方形紙張摺疊成等邊三角形

思考：

比較兩種摺紙方法，長處和短處在那兒?

還有別的方法証明嗎?

你能夠說出另一個摺法嗎?

如何在正方形紙內找最大的等邊三角形 ?

equitri02.ggb equitri01.ggb

這個最大面積的問題，曾引起許多愛思考的學者的興趣。若將一最大的正多邊形放置於一對固定距離的平行綫之間(如下圖)，David Dureisseix (2006)以 opt

表示其傾斜於平行綫的角度，且証得：

設 n 為正多邊形的邊數。若 n 為奇數，則 opt = /(4n) (modulo /(2n))

若 n 為偶數，則 opt = /(2n) (modulo /n)

圖: n =7 的情況

(Dureisseix, D., 2006)

a(opt )

利用GeoGebra作驗證 n = 3

Optri01.mp4

一個等邊三角形可以被分割為四個既全等且邊長是原來一半的小等邊三角形，形成正四面體(三角錐)的其中一個摺紙圖樣(如下圖)。

圖：正四面體的摺紙圖樣

References John Montroll (2002). A Plethora of Polyhedra in Origami, pp.12-17. Antroll

Publishing Company. L. Christine Kinsey & Teresa E. Moore (2002). Symmetry, Shape, and Space,

pp.239-242. Key College Publishing.

思考右圖最後添上的兩條山線(一短一長的虛線) 摺痕是怎樣構作出得來的呢?

如何求得正四面體的體積?

正四面體還有別的摺紙圖樣嗎?

16. 下列哪一個摺紙圖樣可摺成一個正四面體？2010 TSA 9MC4

正四面體的另一摺紙圖樣

正四面體的另一摺紙圖樣

正四面體的另一摺紙圖樣

正四面體的另一摺紙圖樣

A

D

B

C

正四面體的另一摺紙圖樣

A&B

C&D

公文袋製作正四面體1. 取一公文袋，封口向上。

2. 先把它裁成正方形(如下圖)，

3. 把它看作正方形紙張，在上面摺疊等邊三角形，

4. 趟開向上的口縫。便輕而易舉的獲得正四面體!

A4 紙摺正四面體取一A4紙張，摺出下面的等邊三角形網格

(如下圖) 。

A4 紙摺正四面體

思考正方形紙不能循以上的摺法獲得正四面體。要摺得該模型，究竟長方形紙張的長闊比最小值是多少?

以一平面把正四面體分割成兩立體，怎樣獲得一等邊三角形的截面?

又如何能獲得一正方形的截面?

正四面體的等腰三角形截面

regtetrahedron 01.ggb

沿著兩鄰面的高把正四面體均分為兩等份

沿等邊三角形的高作分割，如下圖所示沿AMB及CND剪開，公文袋驟然變成一個環狀物體。細心觀察會發覺它由四個矩形組合而成，四條摺痕是矩形的對角綫。這個環狀物體可以重組為一缺頂缺底的四角柱，且柱底呈正方形。若再沿四條棱剪開，便獲得四個矩形。

思考

反過來想，隨意取四個全等的矩形，可拼貼如上圖的角柱體，再依圖示摺對角綫。你能夠還原出一個正四面體嗎?

要還原出一個正四面體，矩形的長、闊和對角綫有甚麼關係? (Kirkby, D. & Short, G., 1994)

等腰三角形截面

思考

取一公文袋製成的正四面體，用箱頭筆於其上繪畫高AM, MB, CN, ND，然後把它還原為扁平的公文袋。請細心觀察，尋找小變身的箇中奧妙。

正四面體的進一步簡單製作方法

圖: 1:8 的紙條

圖: 四個全等且具特定長闊比例的矩形

思考 1:8是怎樣訂定出來的呢?

截面等邊三角形的邊長是原表面的一半，則祗有四個可能性，而分割出來的是四個相同的小正四面體。猜一猜餘下的立體是甚麼模樣?

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A: 正四面體 B : 台體 C : 正八面體

猜一猜餘下的立體是甚麼模樣?

思考

估計各小立體的體積。

利用兩張 A4紙或兩張卡片摺出的等邊三角形網格

兩張 A4 紙或兩張卡片摺正八面體

(Business Card Origami, 2013; Mitchell, D., 2002)

思考怎樣挑選卡片來摺拼正八面體呢 ?

把紙打開，看見這些摺痕

沿中線對摺

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收起部份三角形

另一角度看

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兩個相同組件

組合過程完成 !

33

台體

正四面體、正八面體

正四面體

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立體拼砌活動

思考

八個相同的等邊三角形能組合為正八面體，

六個相同的等邊三角形能組成正多面體嗎?

學生普遍對正多面體的認識薄弱

11. 圖中顯示立體 I 和立體 II。在每一個立體內，它的所有邊長都是相等的。 2011 TSA 9MC3

學生普遍認為立體 I 是正多面體。

思考

怎樣切割正八面體，成為兩個全等的四角錐?又如何求得該四角錐的體積?

取若干個相同棱長的正四面體(Tx)和正八面體(Ox)，拼砌成棱長兩倍的正四面體(T2x) 或

正八面體嗎(O2x)?

亦即求解正整數a, b, p, q 令 T2x = aTx + bOx 及

O2x = pTx + qOx 成立 (張家麟、關樹培, 2010) 。

它們可給你一些啟示嗎？

正四面體的正方形截面

regtetrahedron 02.ggb

思考這樣的切割有多少個可能性?

http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/

思考

請你也來嘗試用GeoGebra繪畫五面體的摺紙圖樣。

這個五面體可以再分割成小正四面體嗎?怎麼辦?

求這個五面體的體積。

五面體的摺紙圖樣

以下是一群高中學生的探究堂課記錄。這一組同學知道五面體的體積是原正四面體

(設邊長為2x)的一半，他們正在計算原三角錐的體積。你會怎樣批改和給他們提供回饋呢?

Thank you !