工業用ゴム材料の非線形粘弾性シミュレーションに...

Title 工業用ゴム材料の非線形粘弾性シミュレーションに関する研究( Text_全文 )

Author(s) 前田, 成人

Citation

Issue Date 2017-03

URL http://hdl.handle.net/20.500.12000/36486

Rights

博士工学学位論文 Doctoral Dissertation of Engineering

工業用ゴ材料

非線形粘弾性シューションに関する研究 A Study on Nonlinear Viscoelastic Simulation

for Industrial Rubber Materials

2017年 3月 March 2017

前田成人

Naruto Maeda

琉球大学

大学院理工学研究科

生産エネギー工学専攻

Material, Structural and Energy Engineering Course

Graduate School of Engineering and Science

University of the Ryukyus

博士工学学位論文 Doctoral Dissertation of Engineering

工業用ゴ材料

非線形粘弾性シューションに関する研究 A Study on Nonlinear Viscoelastic Simulation

for Industrial Rubber Materials

2017年 3月 March 2017

前田成人

Naruto Maeda

琉球大学

大学院理工学研究科

生産エネギー工学専攻

Material, Structural and Energy Engineering Course

Graduate School of Engineering and Science

University of the Ryukyus

指導教員：宮﨑達二郎 Supervisor : Tatsujiro Miyazaki

ii

概要

本論文，ゴ材料微小変形大変形対象し統一的力学シ

ューション法開発目的しいこ目的達成，従来

材料試験数値シューション関問題解決取組

，ゴ材料微小変形領域け粘弾性特性表スター曲線算

出方法い検討し本論文，従来手法困難あ周波数一

定温度散動的粘弾性試験結果スター曲線時間―温度換算

則算出実用的手法提案し幾ゴ材料実験結果本法適

用し，良好予測結果得こ確認し

，ゴ材料大変形特性計測二軸引張試験法い提案

し単軸引張試験矩形型試験片使用し，純断試験一様二軸引

張試験付試験片使用し，付試験片け

半径数値実験結果基い決定し本法有効性い数値解析

実験両面検証し，正確応力― 関係得こ示さ

提案し二軸引張試験方法正確計測しゴ応力― 関係

用い，超弾性構成則性能評価行具体的， 1 ) ゴ単軸

二軸引張試験結果再現性能， 2 ) 単軸場多軸場へ予測性能，

3 ) カーボンラッ充量材料定数相関性い検証し以上

こ基検討し，右 C a u c h y – G r e e n ンソ第一変量関数し表

さ超弾性構成則優性能得，超弾性構成則け第

二変量項や絡合い項要あ可能性示唆さ，カーボン

ラッ充 S B R 最適しい超弾性モ e i g h t c h a i n モあ

こわ

最後，微小変形大変形時ゴ材料粘弾性特性再現非線形

粘弾性構成則提案し提案し材料モ，超弾性挙動表ネッワ

ー A 微小変形時粘弾性挙動表ネッワー B ，大変形時粘弾性挙

動表ネッワー C 構成さ，ネッワー B C 全

体力学挙動及ぼ寄率，スイッチン関数制御し

提案モ有効性検証カーボンラッ充 S B R 材料

試験行提案モ，微小変形時ゴスター曲線再現可能

あ，，大変形時粘弾性特性い概再現こし

，提案モ使用こ，広い変形度域変形領

域ゴ材料粘弾性特性統一的シューションこ可能

iii

Abs t ra c t

The objective of this study is to develop a numerical simulation technique for

studying the properties of industrial rubber materials under various degrees of

deformation, ranging from infinitesimal to large. In order to achieve this objective,

technical issues with respect to material testing and numerical simulations were

investigated.

First , the method for calculating the master curve representing the dynamic properties

of rubber materials at infinitesimal deformation was investigated. In this study, a new

technique for predicting the master curve from limited data, measured under

temperature variance and constant frequency in a dynamic measurement tester, has been

proposed. Investigations of the method’s effectiveness and stability have been

performed with some materials. As a result , the new method showed an excellent

predictive performance.

Second, the biaxial tensile testing method was proposed to measure the properties of

rubber materials at large deformation. The proposed method employs sheet-shaped

specimens with notches for pure shear and equibiaxial tension tests. The notch radius

was based on detailed numerical investigations. Performance evaluations, based on both

numerical calculations and experiments, revealed that the proposed method enables the

precise calculation of the nominal stress–stretch relationship for uniform deformations.

The performance of each of the major hyperelastic models for rubbers was evaluated

with the data obtained from the method proposed above. The following three

characteristics of the models were examined: 1) reproducibility, 2) prediction ability,

and 3) correlation between material constants and carbon-black content. The

examinations concluded that the model containing only the terms of the first invariant

of the right Cauchy–Green tensor is an appropriate one for carbon-black filled SBR.

These detailed examinations revealed that the eight chain model offered an excellent

performance.

A nonlinear viscoelastic constitutive equation reproducing the viscoelastic properties

of rubber materials, for infinitesimal to large deformation, was proposed. The proposed

model consists of: network A, for equilibrium response; network B, reproducing the

viscoelastic response of infinitesimal deformation; and network C, reproducing the

viscoelastic response of large deformation. A switching function to control network B

and C was also developed. To verify the effectiveness of the proposed model, material

tests with carbon-black filled SBR were conducted. Consequently, the proposed

constitutive model successfully reproduced not only the master curve at infinitesimal

deformation but also the experimental data of large deformations. Therefore, the

proposed constitutive model enables the simulation of the viscoelastic behavior of

industrial rubber materials under various degrees of deformation and strain rate

iv

研究関連論文業績

学術論文査読有

( 1 ) 藤川正毅，前田成人，真壁朝敏，児玉勇司，小石正隆 ( 2 0 1 3 ) 周波数一定温度

散動的粘弾性試験結果ゴスター曲線予測方法，日本機械学

会論文集 A編，V o l . 7 9，p p . 1 3 5 4 -1 3 6 5

( 2 ) Fu j i k a w a , M . , M a ed a , N . , Y a ma b e , J . , Ko d a ma , Y . a n d Ko i s h i , M . ( 2 0 1 4 )

D e t e r mi n i n g s t r e s s – s t r a i n i n r u b b e r w i t h i n -p l a n e b i a x i a l t en s i l e t e s t e r .

E x p e r i me n t a l M e c h a n i c s , V o l . 5 4 , p p . 1 6 3 9 -1 6 4 9 .

( 3 ) 前田成人，藤川正毅，宮﨑達二郎，真壁朝敏，山辺純一郎，小石正隆 ( 2 0 1 6 ) 動

的粘弾性試験結果ゴスター曲線予測新しい計算法開発，日本

機械学会論文集，V o l . 8 2 , D O I : 1 0 . 1 2 9 9 / t r a n s j s me . 1 6 -0 0 0 2 2

特許

( 1 ) 小石正隆，藤川正毅，前田成人，粘弾性材料シューション方法，構造体

シューション方法，粘弾性材料シューション装置，及，ラ

，申請中

講演論文国際学会

( 1 ) M a e d a , N . , Fu j i k a w a , M . , M a k ab e , C . , Y ama b e , J . , Ko d a ma , Y . a n d Ko i s h i ,

M . ( 2 0 1 5 ) P e r f o r ma n c e e v a l u a t i o n o f v a r i o u s h yp e r e l a s t i c c o n s t i t u t i v e

mo d e l s o f r u b b e r s . C o n s t i t u t i v e M o d e l s f o r R u b b e r IX , p p . 2 7 1 -2 7 7 .

( 2 ) M a e d a , N . , Fu j i k a w a , M . , M i ya z a k i , T . , Y a ma b e , J . an d Ko i s h i , M . ( 2 0 1 6 )

P e r f o r ma n c e a n d v a l i d i t y e v a l u a t i o n o f v a r i o u s h yp e r e l a s t i c c o n s t i t u t i v e

mo d e l s f o r c a r b o n -b l a c k f i l l e d S B R . IR C 2 0 1 6 .

1

目

第 1 章序論 ........................................................................................................................... 3

参考文献 ............................................................................................................................... 6

第 2 章周波数一定温度散動的粘弾性試験結果

曲線予測計算方法開発 ................................................ 8

2.1 緒言 ............................................................................................................................. 8

2.2 周波数一定温度散動的粘弾性試験結果曲線予測

計算方法 .................................................................................................................... 10

2.2.1 線形粘弾性論基礎貯蔵弾性率 E′ 損失弾性率 E″ 関係 ............ 10

2.2.2 曲線予測計算方法 .............................................................. 11

2.3 動的粘弾性試験結果適用 .................................................................................. 15

2.3.1 動的粘弾性試験計測従来法曲線作成 ............. 15

2.3.2 本法予測性能検証前法比較 ............................................... 17

2.3.3 計算結果定性検証 ............................................................................. 20

2.4 結言 ........................................................................................................................... 23

参考文献 ............................................................................................................................. 24

第 3 章軸引張試験機公称応力―伸長比関係計測方法 .................. 25

3.1 緒言 ........................................................................................................................... 25

3.2 軸引張試験装置公称応力―伸長比計測方法提案 ............................. 27

3.2.1 軸引張試験装置概要 ............................................................................. 27

3.2.2 純断一様軸引張試験場合 ................................................... 28

3.2.3 単軸引張試験場合 ..................................................................................... 30

3.3 半決定 ........................................................................................................ 31

3.3.1 限要素使用料構成則 ....................................................... 31

3.3.2 純断一様軸引張試験半調査 ..................... 31

3.4 数値実験提案手法効性検証 ............................................................... 35

3.4.1 単軸引張試験検討 ..................................................................................... 35

3.4.2 提案手法汎用性い .......................................................................... 36

3.5 実験提案手法効性検証 ...................................................................... 39

3.5.1 試験方法概要 ............................................................................................ 39

3.5.2 計測結果料定数同定 .......................................................................... 39

3.5.3 同定料定数検証 ............................................................................. 40

3.6 結言 ........................................................................................................................... 42

参考文献 ............................................................................................................................. 43

2

第 4 章主要超弾性構成則の性能評価 .......................................................................... 45

4.1 緒言 ........................................................................................................................... 45

4.2 カボンブラッ充てん SBR 材料の材料試験 ...................................................... 47

4.2.1 単軸引張試験 ................................................................................................ 47

4.2.2 純せん断一様二軸引張試験 ...................................................................... 47

4.2.3 計測結果 ........................................................................................................ 49

4.3 主要超弾性構成則の性能評価 .............................................................................. 50

4.3.1 超弾性構成則の概要 ..................................................................................... 50

4.3.2 性能評価び材料定数同定の方法 .......................................................... 51

4.3.3 現象論型超弾性構成則の性能評価 .............................................................. 52

4.3.4 物理論型超弾性構成則の性能評価 .............................................................. 64

4.4 考察 ........................................................................................................................... 76

4.5 結言 ........................................................................................................................... 78

参考文献 ............................................................................................................................. 79

第 5 章微小大変形けるゴムの動特性解析のための

非線形粘弾性構成則の開発 .................................................................................. 81

5.1 緒言 ........................................................................................................................... 81

5.2 提案する非線形粘弾性構成則 .................................................................................. 82

5.2.1 ネッワ A eight chain モル ........................................................ 84

5.2.2 ネッワ B 微小変形用の粘弾性モル ........................................ 84

5.2.3 ネッワ C 大変形用の粘弾性モル ............................................ 87

5.2.4 スイッチン関数 ......................................................................................... 87

5.3 実験結果への適用 ..................................................................................................... 89

5.3.1 材料試験 ........................................................................................................ 89

5.3.2 提案モルの再現性能の評価 ...................................................................... 90

5.4 結言 ........................................................................................................................... 95

参考文献 ............................................................................................................................. 96

第 6 章結論 ......................................................................................................................... 98

付録 ......................................................................................................................................... 99

謝辞 ....................................................................................................................................... 112

3

第 1 章序論

料自動車用やン免振装置様々業製品使用

い業製品設計強度評価行う料力学特性

料試験や数値ョン把握要あ料力学

挙動変形状態や変形変形度最大経験温度様々要素影響

非常複雑変動知 Panye, 1962; Mullins, 1948; Rey et al.,

2013 複雑力学挙動実験的数値的評価方法い未研究段階

あ部多い

1.1 料力学特性変形変形度関係簡易的示あ

中領域(I) 変形微～0.1%程度あ静的変形

領域あ領域料線形弾性体扱う料試験や数値解

析容易行う可能あ領域(II) 微変形動的変形え領域

あ料線形粘弾性体扱わ領域(II) 料力学特性計測

料試験周期的入力負荷動的粘弾性試験 JIS 規格化

広く利用い山 , 西 , 2013; 熊谷他, 2010 数値解析関線

形粘弾性用い精度良いョン行う荒井他,

2005; 中 , 勝山, 2016 中領域(III) 静的大変形 1%以え

領域示料非線形弾性挙動示領域力学特性

詳細計測様々変形単軸引張や一様軸引張応

力― 関係得必要あ Steinmann et al., 2012 JIS や ASTM

規格化い単軸引張試験あ純断や一様軸引張

(I)

linear

elasticity

0Amount of deformation

Defo

rmat

ion rate

(II)

linear viscoelasticity

(III)

hyperelasticity

(IV)

nonlinear

viscoelasticity

Fig. 1.1 Schematic representation of mechanical behavior of rubbers.

4

計測方法い未確立いい領域(III) 対象数値解

析超弾性構成則広く利用様々数式提案い

Marckmann and Verron, 2006; Hoss and Marczak, 2010; Steinmann et al., 2012; Hossain and

Steinmann, 2012 中領域(IV) 変形や変形度依非常複雑力学挙

動示領域あ領域包括的計測実験方法規格化

多種多様料試験実施い領域(IV) 料非線形粘弾性体

扱わ様々非線形粘弾性構成則提案い未研究段階あ

Bergstöm and Boyce, 1998; Höfer and Lion, 2009; Rendek and Lion, 2010; Netzker et al., 2010;

Koprowski-Theiss et al., 2011

業用部使用い料領域(I)～(IV) 全領域含複

雑変形生い予想力学挙動再現統一的

料構成則開発望い既料構成則中領域(I) (II) 対象

線形粘弾性や領域(I) (III) 包括超弾性領域(III) (IV) 対象

い非線形粘弾性あ領域(II) (IV) 両方再現可能

料構成則い著者知限いい料定数同定容易

観点料数少い方優あ料定数同定必要

料試験少い方望い

以背景本研究広い変形変形度範料力学特性統

一的再現可能料構成則開発目的料試験方法や計

測結果処理方法い検討

以各章概要記

第 2 章微変形時料粘弾性特性測定動的粘弾性試験い検

討 1.1 領域(II) 対応研究あ従来方法料

曲線作成周波数温度走査動的粘弾性試験行う必要

あ第 2 章一定周波数温度走査動的粘弾性試験結果

料曲線計算手法提案周波数散計測無

い場合曲線予測可能少い計測条件

料粘弾性特性得可能

第 3 章料大変形特性測定軸引張試験い検討

領域(III) 対応い軸引張試験装置状試験片

使用多軸変形場料応力― 関係正確計測試験方法

提案提案手法効性数値解析実験両面検討

第 4 章主要超弾性構成則性能評価行う第 3 章提案実験方法

用い単軸引張純断一様軸引張応力― 関係計測

結果検討得結果基主要超弾性構成則再現性能単軸場

多軸場予測性能い調査検討結果考察

第 5 章微変形大変形対象非線形粘弾性構成則構築

1.1 領域(I)-(IV) 包括あ提案料構成則 3 ワ

5

構成ワ A 1.1 領域(III) 対応超弾性挙動表現

あ第 4 章結果基い eight chain 使用ワ B

微変形時粘弾性特性領域(II) 表現あ非整数階微利

用少い料定数広い変形度域粘弾性特性再現

ワ C 大変形時粘弾性特性領域(IV) 表現あワ

B ワ C ン関数制御領域(II) (IV) 両方

再現可能料構成則構築

最後第 6 章各章得結果

6

参考文献

1) 荒井政大 , 中淳之 , 辰己正和 , 伊藤寛明 , 松倉利顕 , 杉本公一 , 温度場均一

性考慮ン解析, 計算数理学論文 , Vol.5, No.2

(2005), pp.177-182.

2) Bergström, J. S. and Boyce, M. C., Constitutive modeling of the large strain time-

dependent behavior of elastomers, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol.46,

No.5 (1998), pp.931-954.

3) Christensen, R. M., Theory of Viscoelasticity, An Introduction, second edition (1982),

Academic Press.

4) 山夫 , 西孝 , 用実車摩耗物性値用いン , 日本

会 , Vol.86, No.1 (2013), pp.3–7.

5) Höfer, P. and Lion, A., Modelling of frequency- and amplitude-dependent material

properties of filler-reinforced rubber, Journal of the Mechanics and Physics of Solids,

Vol.57, No.3 (2009), pp.500-520.

6) Hoss, L. and Marczak, R. J., A new constitutive model for rubber-like materials,

Asociación Argentina de Mecánica Computacional, Vol.XXIX (2010), pp.2759-2773.

7) Hossain, M. and Steinmann, P., More hyperelastic models for rubber-like materials:

consistent tangent operators and comparative study, Journal of the Mechanical Behavior of

Materials, Vol.22, No.1-2 (2013), pp.27-50.

8) Koprowski-Theiss, N., Johlitz, M. and Diebels, S., Characterizing the time dependence of

filled EPDM, Rubber Chemistry and Technology, Vol.84, No.2 (2011), pp.147-165.

9) 熊谷秀 , 鈴木渉 , 山英 , 口徹 , 飯生悟 , 遠藤信 , 各種多層ン

ン-block- ン-block- ン複合物諸物性,

日本会 , Vol.83, No.8 (2010), pp.258–263.

10) Marckmann, G. and Verron, E., Comparison of hyperelastic models for rubber-like

materials, Rubber Chemistry and Technology, Vol.79, No.5 (2006), pp.835-858.

11) Mullins, L., Effect of stretching on the properties of rubber, Rubber Chemistry and

Technology, Vol.21, No.2 (1948), pp.281-300.

12) 中省 , 勝山陽 , 樹脂含四層積層体熱負荷過程変形予測 ,

日本機械学会論文 , Vol.82, No.837 (2016), DOI:10.1299/transjsme.15-00620.

13) Netzker, C., Dal, H. and Kaliske, M., An endochronic plasticity formulation for filled

rubber, International Journal of Solids and Structures, Vol.47, No.18-19 (2010),

pp.2371-2379.

7

14) Payne, A. R., The dynamic properties of carbon black-loaded natural rubber vulcanizates.

Part I, Journal of Applied Polymer Science, Vol.6, No.19 (1962), pp.57-63.

15) Rendek, M. and Lion, A., Amplitude dependence of filler-reinforced rubber: Experiments,

constitutive modelling and FEM – Implementation, International Journal of Solids and

Structures, Vol.47, No.21 (2010), pp.2918-2936.

16) Rey, T., Chagnon, G., Le Cam, J. –B. and Favier, D., Influence of the temperature on the

mechanical behaviour of filled and unfilled silicone rubbers, Polymer Testing, Vol.32, No.3

(2013), pp.492-501.

17) Steinmann, P., Hossain, M. and Possart, G., Hyperelastic models for rubber-like materials:

consistent tangent operators and suitability for Treloar’s data, Archive of Applied

Mechanics, Vol.82, No.9 (2012), pp.1183-1217.

8

第 2 章周波数一定温度散動的粘弾性試験結果曲線

予測計算方法開発

2.1 緒言

業用料自動車用や免振装置様々や場所

利用い料力学的特性把握要あ

料う固体高子料時間や温度力学挙動変化一般知

粘弾性固体呼い國尾, 1987 粘弾性固体応力や

解析最基本的学問一線形粘弾性論あ , 國尾, 1987 線形粘弾性論

組合わ数学用い粘弾性力学挙動表現

解析種々温度や度条件計測断片的広い温度や

時間領域わ曲線作成実用的応力挙動表現

可能

料粘弾性特性計測最一般的方法動的粘弾性試験あ動的粘

弾性試験装置特徴 1 広い範周波数散温度散計測可能 2 再現

性良い計測可能 3 他試験方法応力和試験や試験比高効率

挙 JIS 規格設定い学術面実

用面多く計測結果報告い山, 西 , 2013; 熊谷他, 2010

料動的粘弾性試験関 JIS 規格 JIS K 6394 2007 改正以前記載

周波数一定温度散以 Freq-C/Temp-S Frequency-Constant and Temperature-Sweep

計測条件標準い 2007 改正以降周波数走査周波数特性測定

いい積極的周波数散温度散以 Freq-S/Temp-S

Frequency-Sweep and Temperature-Sweep 計測条件推奨い言いい

現 Freq-C/Temp-S 条件計測結果多く実曲線作成

困場合あい精度高い応力― 解析困

動的粘弾性試験試験結果曲線作成手い多く報告

あ株式会社ン, 2015; Lorenz et al., 2013; Naya et al., 2013

多く Freq-S/Temp-S 実験条件得計測結果対象あ

Freq-C/Temp-S いう限実験条件得計測結果適用い

Freq-C/Temp-S 曲線予測新方法開発

計測結果再利用可能藤川 Freq-C/Temp-S 実験条件

動的粘弾性試験結果曲線予測計算方法提案藤川他, 2013

提案料力学特性線形粘弾性論基く仮定貯蔵弾性率損失弾

性率間あ関係式出前進差法要領計算

曲線算出あ具体的計算手い付録 A 記曲線

本来周波数温度広く変化得計測結果得

あ提案温度変化 Freq-C/Temp-S 計測結果

曲線推定可能示藤川論文計算式出過程い

解析対象料周波数ω 対 E′や E″ 変動い仮定

料粘弾性効果例え tanδ 大い意味

9

tanδ 最大値 1 い場合料予測結果非常良好あ

tanδ 最大値 1 付近近く料予測性能悪化論文曲

線全域見場合差く予測結果十用あ結論付

い tanδ 最大値 1 超え料対予測精度悪化予

想様々料応力解析高精度実施

予測性能向必要あ考え

本研究 Freq-C/Temp-S 実験条件得動的粘弾性試験結果対

象曲線高精度予測新い計算方法提案特本論

文手法本法前法藤川他, 2013 比粘弾性効果大い tanδ 大い

料対予測精度向い幾例題通確本法効性

汎用性示目的

10

2.2 周波数一定温度散動的粘弾性試験結果曲線予測計算方法

2.2.1 本論文使用線形粘弾性論基礎い記 2.2.2 本論文

提案計算方法い概要詳細記最後計算手設定仮定

2.2.1 線形粘弾性論基礎貯蔵弾性率 E′ 損失弾性率 E″ 関係

線形粘弾性体時刻 t 応力σ(t) ε(t) 関係式(2.1) え

( ) ( ) ( )t

r

dt E t d

d

ε τσ τ τ

τ−∞= −∫ (2.1)

Er(t) 和弾性率あ動的粘弾性試験想定式(2.2) う周期

関数状入力考え

( ) 0

i tt e ωε ε= (2.2)

ε0 振幅 ω 角周波数 1i = − あ式(2.2) 式(2.1) 代入整理

和弾性率 Er(t) 貯蔵弾性率 E′(ω) 損失弾性率 E″(ω) 関係以

う算出 Christensen, 1982

( ) ( )0

sinrE E E dω ω η ωη η∞

∞′ = + ∫ (2.3)

( ) ( )0

cosrE E dω ω η ωη η∞

′′ = ∫ (2.4)

弾性率 E∞ 時間依 E＿

r(t) Er(t) 式(2.5) 関係い

い

( ) ( )r rE t E E t∞= + (2.5)

式(2.3) 式(2.4) 整理 E＿

r(t) E′(ω) E″(ω) 間関係式

( ) ( )0

2sinr

E EE t t d

ωω ω

π ω

∞ ∞′ −= ∫ (2.6)

( ) ( )0

2cosr

EE t t d

ωω ω

π ω

∞ ′′= ∫ (2.7)

式(2.7) 式(2.3) 代入整理 E′(ω) E″(ω) 関係式 Gross, 1953

( ) ( )( )

2

2 20

2 EE E d

ω λω λ

π λ ω λ

∞

∞

′′′ − =

−∫ (2.8)

角周波数ω 微式(2.9) 得

11

( ) ( )( )20 2 2

4dE Ed

d

ω λ λωλ

ω π ω λ

∞′ ′′= −

−∫ (2.9)

dE′(ω)/dω E″(ω) 互い立い示 E″(ω) E′(ω) 周波数

対傾情報包い

線形粘弾性論 Er(t) 数式一般化一般く

用い

( ) ( )1

expN

r i i

i

E t E E t τ∞=

= + −∑ (2.10)

N 数 E∞ 単弾性係数 Ei τi

弾性係数和時間あ式(2.1) 式(2.10) 動的粘弾性試験想定

式(2.2) 代入整理実部貯蔵弾性率 E′(ω) 虚部損

失弾性率 E″(ω) 以う

( )2 2

2 21 1

Ni

i

i i

E E Eω τ

ωω τ∞

=

′ = ++∑ (2.11)

( )2 2

1 1

Ni

i

i i

E Eωτ

ωω τ=

′′ =+∑ (2.12)

一方料多く高子料力学挙動時間周波数依性温度

依性間あ換算行え示特徴料熱

的単純あい計測対象料熱的単純あ

式う計測温度 Texp 計測周波数ωexp 実験あ基準温度 T0

換算周波数ω′ い観察換算可能

( )0

exp exp

T Tω α ω′ = (2.13)

αT0(T) 温度 T0 基準温度 T 時間―温度換算因子あ一般温度

T 昇対単調減少

2.2.2 曲線予測計算方法

本節 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果曲線予測方法

い曲線基準温度 T0 計測最温度 Tmin 設定

T0 = Tmin

(a) 本法概要

本法概要い 2.1 う例参照解説 2.1(a) Freq-S/Temp-S

実験条件得動的粘弾性試験計測結果一例あ 3 種類計測周波数 ω1

ω2 ω3 計測各温度 E′ E″ 示い 2.1(b) (c) 2.1(a)

12

作成曲線あ 2.1(b) 通常手続株式会社

ン , 2015; Lorenz et al., 2013; Naya et al., 2013 曲線作成例

あ各曲線い時間―温度換算因子適

あ言え一方 2.1(c) 2.1(b) 異時間―温度換算因子用い作

成曲線あ結果曲線合わ全域わ良あ

時間―温度換算因子適あ判断 Freq-C/Temp-S

実験条件得動的粘弾性試験観点考え例え 2.1 中 E′(ω1) E″(ω1)

い中赤場合記う合わ

評価い 2.1(b) 曲線良好あ 2.1(c)

曲線良あ判断い Freq-C/Temp-S 実験条件

曲線予測一般困

本研究 Freq-C/Temp-S 実験条件曲線予測

dE′(ω)/dω E″(ω) 関係式あ式(2.9) 入方法提案わ本法

曲線合わ評価代わ式(2.9) dE′(ω)/dω E″(ω) 関係満足

い評価曲線推定あ実験結果 E′ E″

共散あ評価い本法式(2.9) 評価直接

行う代わ時間―温度換算適用 E′ E″ 例え 2.1(b)や(c) E′(ω1)

E″(ω1) 一般化最適化結果残差計算

評価式(2.10) 一般化式(2.9) 満足

利用あわ一般化 2.1(b)や(c) E′(ω1)

E″(ω1) 再現性式(2.9) 満足い程度評価あ

E' (ω1)

E'' (ω1)

E' (ω2)

E'' (ω2)

E' (ω3)

E'' (ω3)

,E E′ ′′ ,E E′ ′′ ,E E′ ′′

T ω ω

Fig. 2.1 Results of dynamic mechanical analysis (DMA) and master curve calculated with

arbitrary time-temperature shift factors: (a) schematic illustration of DMA results; (b)

master curve calculated with a suitable shift factor; (c) master curve calculated with an

unsuitable shift factor.

(a) (b) (c)

13

(b) 本法計算方法最化関数出

以案計測結果 E′(ωexp,T

exp) E″(ωexp

,Texp

) 再現う一般化

料定数値 E∞ Ei τi 時間―温度換算因子αT0 同時最適化計算

い ωexpT

exp 実験周波数温度あ

E′(ωexp,Tj

exp) E″(ωexp

,Tjexp

) 式 (2.13) 基準温度場換算

(f1exp

)j (f2exp

)j 様書く

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp exp exp exp

1 0 2 0, , , , , , 1,2, ,

j j j jj jf E T E T f E T E T j Mω ω ω ω′ ′ ′ ′′ ′ ′′= = = = = ⋯ (2.14)

M 計測値総数あ ω′j = αT0(Tjexp

)ωexp あ周波数ω′j 一

般化貯蔵弾性率(f1cal

)j 損失弾性率(f2cal

)j 式(2.11) (2.12)

( ) ( ) ( )2 2

cal cal

1 22 2 2 21 1

, , 1,2, ,1 1

N Nj i j i

i ij ji ij i j i

f E E f E j Mω τ ω τ

ω τ ω τ∞= =

′ ′= + = =

′ ′+ +∑ ∑ ⋯ (2.15)

以基最化関数 F 式う設定

1 HF F F= + (2.16)

F1 式(2.14) 式(2.15) 相対誤差乗和あ式(2.17) 表

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2cal exp cal exp

1 1 2 2

1 exp exp1 1 2

Mj j j j

jj j

f f f fF

f f=

− − = +

∑ (2.17)

FH 和滑度合い表関数あ和滑性 Emri

and Tschoegl, 1994 Prony 級数近似入あ FH 文献藤

川他, 2006 F2 相当あ計算方法詳細文献参照い

(c) 本法計算方法最適化計算い

本法い最適化問題未知数 E∞ Ei τi αT0 中和時間τi

予設定く一般 Prony 級数近似和時間τi 対数軸等間

隔設定多い , 國尾, 1987 際 τi 範曲線周波数範

逆数同等以推奨い例え log τi 範周波数域最

大値最値 ωmax ωmin 時少く log(1/ωmax) ~ log(1/ωmin) 包含

う設定本法現段階曲線周波数範明あ計

測最温度基準温度い周波数域最値 ωmin=ωexp

和時間 K = log(1/ωexp) − 1 • 床関数基準 log τi = {K, K + 0.5, K + 1.0,

···} 設定和時間限値未知あ十広い範

く設定影響い 2.3.3 詳細検証

以最適化料定数 E∞ Ei αT0 正

値あ保証 log E∞ log Ei log αT0 未知変数最適化計算行う

本法式(2.16) 関数 F 最化 log E∞ log Ei log αT0 準ン法

14

計算計算 Excel 作成各初期条件 log

E∞ = log Ei = log αT0 = 0 温度昇対 αT0 単調減少う制約条件

付加

(d) 本法

本法曲線作成手以うあ

1. Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果 E′ E″

2. 曲線基準温度計測最温度 Tmin 一般化

和時間τi 対数軸等間隔十広く設定具体的

K = log(1/ωexp) − 1 用い log τi = {K, K + 0.5, K + 1.0,···} う設定

3. 式(2.16) 最化う log E∞ log Ei log αT0 最適化計算本論文

準ン法使用

本法料力学特性以仮定設定い

1. 熱的単純料あ

2. 力学挙動線形粘弾性論従い一般化近似可能あ

記 2 仮定微変形時一般許容あ本法前法

藤川他, 2013 設定周波数ω 対 E′や E″ 変動いいう仮定排

除い前報検証料含多く料対適用可能あ

期

15

2.3 動的粘弾性試験結果適用

本章 2 種類料 25 vol% 充ンン

以 SBR/Silica25 10 vol% ン充ンン

以 SBR/CB10 対象動的粘弾性試験行い提案手法効性検証

2.3.1 節本論文使用料動的粘弾性試験い記計測条件

Freq-S/Temp-S 2.3.2 2.3.1 実験結果抽出 Freq-C/Temp-S 実

験結果本法適用本法効性検討前報比較行い本法前

報課題解決い検証 2.3.3 和時間設定範や計測周波数

い本法予測結果え影響い調査本法汎用性や定性い評価

2.3.1 動的粘弾性試験計測従来法曲線作成

ンン社製 RSAIII 用い動的粘弾性試験行い貯蔵弾

性率 E′ 損失弾性率 E″ tanδ (= E″/E′) 計測試験片短冊状変形方法

引張型用計測周波数 1.96 62.8 rad/s 範 6 種類 1.96 3.92

7.85 15.7 31.4 62.8 rad/s −35°C 70°C 5 °C 毎計測以計測

条件得 SBR/Silica25 SBR/CB10 計測結果 2.2 示結果

SBR/Silica25 tanδ 最大値 0.6 程度あ対 SBR/CB10 tanδ 最大値約

1.5 比較的大い値示

Freq-S/Temp-S 得結果従来手例え株式会社

ン , 2015 基曲線作成時間―温度換算則料

一般的 W.L.F 式 Williams et al., 1955 用

( ) ( )0

1

2

logR

T

R

C T TT

C T Tα

−= −

+ − (2.18)

TR = Tg + 50°C Tg 転移温度 C1 C2 料定数あ良好

合わ得う W.L.F 式 Tg C1 C2 求結果 SBR/Silica25

Tg = −30.5°C C1 = 16.8 C2 = 173.8°C SBR/CB10 Tg = −23.0°C C1 = 2.8 C2 =

92.6°C 得以時間―温度換算則作成曲線 2.3 示

基準温度 T0 = −35°C い料 E′ E″ tanδ

合わ良い滑曲線得い本章う

Freq-S/Temp-S 得曲線正解曲線呼

16

-40 -20 0 20 40 60 80

10-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2

Temperature (℃)

Sto

rage m

od

ulu

s an

d l

oss

modulu

s (M

Pa)

tanδ

ω = 1.96 rad/sω = 3.92 rad/sω = 7.85 rad/sω = 15.7 rad/sω = 31.4 rad/sω = 62.8 rad/s

-40 -20 0 20 40 60 80

10-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4

Temperature (℃)S

tora

ge m

od

ulu

s an

d l

oss

modulu

s (M

Pa)

tanδ


E ′ E′

E ′′

tanδ tanδ

E ′′

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2

Reduced frequency (rad/s)

Sto

rage

modu

lus

and

lo

ss m

odu

lus

(MP

a)

tanδ


10-7 10-5 10-3 10-1 101 10310-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4


Sto

rage

modu

lus

and

lo

ss m

odu

lus

(MP

a)

tanδ


E′ E′

E′′

tanδtanδ

E′′

0 35 CT = − °0 35 CT = − °

Fig. 2.2 DMA results under frequency and temperature variances. Storage modulus, loss

modulus, and tanδ are plotted with the red, blue, and black symbols.

(a) SBR/Silica25 (b) SBR/CB10

Fig. 2.3 Master curves determined by the conventional procedure. Storage modulus, loss

modulus, and tanδ are plotted with the red, blue, and black symbols.


17

2.3.2 本法予測性能検証前法比較

本 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果用い 2.2.2 示手以

本法 proposal 記従い計測最温度 Tmin = −35°C 基準温度

曲線作成正解曲線前法藤川他 , 2013 用い

Freq-C/Temp-S 得曲線比較本法性能検証

Freq-C/Temp-S 実験結果 2.2 周波数 62.8 rad/s 結果出

2.4 使用 Freq-S/Temp-S Freq-C/Temp-S 実験結果抽

出使用理同実験結果利用実験誤差等影響除外

本法性能評価あ

2.2.2 計算手従い和時間τi 設定本計測周波数ωexp

62.8 rad/s あ和時間 K = log(1/ωexp) − 1 = −3 基準 log τi = {−3, −2.5,

−2,···, 11} 設定

2.4 試験結果前法本法計算時間―温度換算因子 2.5

示比較正解曲線得 exact 中合わ

示前法本法得曲線予測結果正解曲線

共 2.6 2.7 本法得一般化料

2.8 示 2.6 2.7 い前法本法予測

曲線正解曲線比周波数領域若い結果い

Freq-C/Temp-S 計測値 Freq-S/Temp-S 比少い影響あ

2.5(a) 2.6(a) 2.7(a) SBR/Silica25 い前法本法良

好結果得一方 tanδ 最大値大い SBR/CB10 い前法

予測時間―温度換算因子 2.5(b) 曲線 2.6(b) 予測結果良

くい前法出際設定周波数ω 対 E′や E″ 変動い

いう仮定許容いいあ考え対本法計算法

出過程記仮定設定必要い tanδ 最大値 1 超え SBR/CB10

対良好予測精度結果得い言え 2.5(b) 2.7(b)

2.6 前法求曲線 tanδ 最大値近傍折線状傾向

見対本法求 tanδ 曲線 SBR/Silica25 SBR/CB10

正解曲線同う全域滑結果得い

以本法前法課題あ 2 問題点 1 tanδ 大い料い

曲線予測精度悪化 2 tanδ 最大値付近折線状

克服前法比本法時間―温度換算因子算出精度向

確

18

-40 -20 0 20 40 60 80

10-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4

Temperature (℃)S

tora

ge m

odu

lus

and l

oss

modu

lus

(MP

a)

tanδ

Storage modulusLoss modulustanδ

-40 -20 0 20 40 60 80

10-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2

Temperature (℃)

Sto

rage m

od

ulu

s and l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

tanδ


E′ E′

E′′

tanδ tanδ

E′′

Fig. 2.4 DMA results under a constant frequency of 62.8 rad/s and temperature variance. The

data were extracted from the experimental results under frequency and temperature

variances in Fig.2.2.


-40 -20 0 20 40 60 80

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Temperature (℃)

Tim

e-t

empera

ture

shif

t fa

cto

r (-

) exact proposal Fujikawa et al.,2013

-40 -20 0 20 40 60 80

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Temperature (℃)

Tim

e-t

empera

ture

shif

t fa

cto

r (-


Fig. 2.5 Predictions of time-temperature shift factor by previous and proposed methods and the

exact time-temperature shift factor.


19

10-7 10-5 10-3 10-1 101 10310-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4


Sto

rage m

odu

lus

and l

oss

modu

lus

(MP

a)

tanδ

E' (Fujikawa et al.,2013) E'' (Fujikawa et al.,2013) tanδ (Fujikawa et al.,2013)

tanδ (exact)E'' (exact)E' (exact)

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rage m

odu

lus

and l

oss

modu

lus

(MP

a)

tanδ

E' (Fujikawa et al.,2013) E'' (Fujikawa et al.,2013) tanδ (Fujikawa et al.,2013)


E′ E′

E′′

tanδtanδ

E′′

0 35 CT = − ° 0 35 CT = − °

10-7 10-5 10-3 10-1 101 10310-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4


Sto

rage

mo

du

lus

and l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

tanδ

E' (proposal) E'' (proposal) tanδ (proposal)

E' (exact)

tanδ (exact)E'' (exact)

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rage

mo

du

lus

and l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

tanδ



E′ E′

E′′

tanδtanδ

E′′

0 35 CT = − ° 0 35 CT = − °

Fig. 2.6 Predictions of master curve by the previous method.


Fig. 2.7 Predictions of master curve by the proposed method.


20

2.3.3 計算結果定性検証

本法定性検証目的前例題諸条件いく変更解析

行う和時間設定範変更場合い検討十広い

和時間設定和時間設定計算結果影響えい確

あ続い前計測周波数 62.8 rad/s 実験結果抽出対

回異周波数 1.96 rad/s 実験結果抽出本法適用本

法計測周波数常定曲線予測結果算出可能あ

確あ

(i) 和時間設定計算結果影響調査

本法計算結果定性検証予設定和時間い影響

調査回以 3 種類検討

(A) log τi 範 −3 11 間隔 0.5 設定 log τi = {−3, −2.5, −2,···, 11}

2.3.2 節同条件

(B) log τi 範 −3 16 間隔 0.5 設定 log τi = {−3, −2.5, −2,···, 16}

(C) log τi 範 −3 21 間隔 0.5 設定 log τi = {−3, −2.5, −2,···, 21}

2.3.2 同実験結果 2.4 用い記 3 種類条件本法適用結果

2.9 示結果全条件曲線完全一致

和時間範十広く設定い本法解析結果定い

確

10-3 100 103 106 109 101210-1

100

101

102

103

τi (s)

Ei (M

Pa)

10-3 100 103 106 109 101210-2

10-1

100

101

102

103

τi (s)

Ei (M

Pa)

0.4(MPa)E∞ =25.7(MPa)E∞ =

Fig. 2.8 Parameters of generalized Maxwell model identified by the proposed method.


21

(ii) 計測周波数計算結果影響調査

本法計算結果定性検証 2.3.2 異周波数 1.96 rad/s

Freq-C/Temp-S 実験結果 2.10 対象本法適用 2.10 前実

験結果 2.4 比較 2.4 温領域 tanδ 極値対本節

用い実験結果 tanδ 全領域温度昇対単調減少い見目

tanδ くい出周波数異生差

あ和時間設定範 log τi = {−2, −1.5, −1,···, 12}

本法曲線予測結果 2.11 示比較本法

2.3.2 計算結果合わ示結果対象一定周波数異実験結果

場合同曲線得以本法任意周波数

Freq-C/Temp-S 粘弾性試験結果適用計算結果定い言え

10-7 10-5 10-3 10-1 101 10310-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4


Sto

rag

e m

od

ulu

s and

lo

ss m

od

ulu

s (M

Pa)

tanδ

(A) (B) (C)

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rag

e m

od

ulu

s and

lo

ss m

od

ulu

s (M

Pa)

tanδ

(A) (B) (C)

E ′ E′

E ′′

tanδtanδ

E ′′

0 35 CT = − ° 0 35 CT = − °

Fig. 2.9 Predictions of master curve by the proposed method under various setting of ranges of

relaxation time.


22

-40 -20 0 20 40 60 80

10-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2

Temperature (℃)

Sto

rag

e m

odulu

s and l

oss

mo

dulu

s (M

Pa)

tanδ


-40 -20 0 20 40 60 80

10-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4

Temperature (℃)

Sto

rag

e m

odulu

s and l

oss

mo

dulu

s (M

Pa)

tanδ


E′ E′

E′′

tanδtanδ

E′′

10-7 10-5 10-3 10-1 101 10310-2

10-1

100

101

102

103

0

1

2

3

4


Sto

rag

e m

odu

lus

and

lo

ss m

od

ulu

s (M

Pa)

tanδ

ω = 62.8 rad/s ω = 1.96 rad/s

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rag

e m

odu

lus

and

lo

ss m

od

ulu

s (M

Pa)

tanδ

ω = 62.8 rad/s ω = 1.96 rad/s

E′ E′

E′′

tanδtanδ

E′′

0 35 CT = − ° 0 35 CT = − °

Fig. 2.10 DMA results under a constant frequency of 1.96 rad/s and temperature variance. These

data were extracted from the experimental results under frequency and temperature

variances in Fig.2.2.


Fig. 2.11 Master curves predicted with DMA results measured under constant frequencies of

62.8 rad/s and 1.96 rad/s.


23

2.4 結言

本論文 Freq-C/Temp-S 動的粘弾性試験結果対象料

曲線計算方法提案得結果以

(1) 本法一般化再現性評価実験得

E′ E″ 曲線算出あ計算方法実験結

果一般化相対誤差和最時間―温度換算則αT0

一般化料同時最適化計算方法提案

(2) 本法時間―温度換算則適用可能線形粘弾性体対象微変形時

料広く適用可能あ

(3) 2 種類料 25 vol% 充ンン

SBR/Silica25 10 vol% ン充ンン

SBR/CB10 動的粘弾性試験結果対象本法効性検証

結果本法前法藤川他 , 2013 生 1 tanδ 大い料い

算出精度悪化 2 tanδ 最大値付近折線状いう問題改善

前法同等以予測性能い前報藤川他, 2013 設

定周波数ω 対 E′や E″ 変動いいう仮定除外あ

(4) 本法予測曲線初期条件設定和時間や計測一定周波

数影響わ本法初期条件周波数一

定温度散試験結果広い周波数範曲線一意予測

(5) 2.3 節付録 B 回確全結果本法前法同等以予

測性能あ確

24

参考文献

1) Christensen, R. M., Theory of Viscoelasticity, An Introduction, second edition (1982),

Academic Press.

2) Emri, I. and Tschoegl, N. W., Generating line spectra from experimental responses. Part IV:

Application to experimental data, Rheologica Acta, Vol.33, No.1 (1994), pp.60-70.

3) 藤川正毅 , 貴央 , 久 , 原康子 , 林哉 , 線形粘弾性特性係数関数実用

的近似法, 日本機械学会論文 A , Vol.72, No.723 (2006), pp.1703–1710.

4) 藤川正毅 , 前成人 , 真壁朝敏 , 児玉勇 , 石正 , 周波数一定温度散動的

粘弾性試験結果曲線予測方法 , 日本機械学会論文 A ,

Vol.79, No.805 (2013), pp.1354–1365.

5) Gross, B., Mathematical Structure of the Theories of Viscoelasticity (1953), Hermann.

6) 山夫 , 西孝 , 用実車摩耗物性値用いン , 日本

会 , Vol.86, No.1 (2013), pp.3–7.

7) 熊谷秀 , 鈴木渉 , 山英 , 口徹 , 飯生悟 , 遠藤信 , 各種多層ン

ン-block- ン-block- ン複合物諸物性,

日本会 , Vol.83, No.8 (2010), pp.258–263.

8) 國尾武 , 時間温度依粘弾性固体力学的挙動―粘弾性関基礎

― , 料 , Vol.6 (1987), pp.7-19.

9) Lorenz, B., Pyckhout-Hintzen, W. and Persson, B. N. J., Master curve of viscoelastic solid:

Using causality to determine the optimal shifting procedure, and to test the accuracy of

measured data, Polymer, Vol.55, No.2 (2014), pp.565–571.

10) 株式会社ン , Mech D&A News Vol.2005-3 (online), available from

<http://www.mech-da.co.jp/services/files/MNL/MechNewsLetter2005-3.pdf>, ( 参照日

2015 10 21 日).

11) Naya, S., Meneses, A., Tarrío-Saavedra, J., Artiaga, R., López-Beceiro, J. and

Gracia-Fernández, C., New method for estimating shift factors in time-temperature

superposition models, Journal of Thermal Analysis and Calorimetry, Vol.113, No.2 (2013),

pp.453–460.

12) 久 , 國尾武, 粘弾性挙動特性係数 , 料 , Vol.6 (1987), pp.21–48.

13) Williams, M. L., Landel, R. F. and Ferry, J. D., The temperature dependence of relaxation

mechanisms in amorphous polymers and other glass-forming liquids, Journal of the

American Chemical Society, Vol.77, No.14 (1955), pp.3701–3707.

25

第 3 章軸引張試験機公称応力―伸長比関係計測方法

3.1 緒言

料自動車用や衝撃吸 O ン用い産業界

要役割果い限要素法料構造解析行う際最基本

的料構成則超弾性使用 Ogden, 1997; Holzapfel, 2000 超弾性

料定数精確決定単軸引張加え純断一様軸引

張公称応力―伸長比関係必要 Steinmann et al., 2012; Hossain and

Steinmann, 2013 多軸変形場公称応力―伸長比関係計測方

法多数報告い例えン用い計測提案い Reuge et al.,

2001; Rachik et al., 2001; Sasso et al., 2008 方法計測応力―伸長比関係

一様軸変形場あ単軸引張や純断応力―伸長比

関係計測料試験試験装置必要

料応力―伸長比挙動試験温度や負荷度影響変化

知計測条件統一応力―伸長比関係計測一試験装

置行わ望いい

ン計測他十型試験片用い軸引張試験報告い

Sasso et al., 2013; Zhao et al., 2013 十型試験片計測試験片中心部一様

変形領域外側腕部伸大く計測得最大

一様変形領域 30%程度あ業用料実用変形域

考え 100% 程度公称応力―伸長比関係計測望い他

形試験片使用多軸引張試験 Woo et al., 2011 見単軸引張

や純断計測向あ

う背景本研究単軸引張純断一様軸引張試験単一試

験機行う状試験片軸引張試験 Treloar, 1944; Blatz and Ko, 1962;

Kawabata et al., 1981; Betra et al., 2005; Tada et al., 2010 注目 3.1 概要

示 3.1(a) 理想的純断一様軸引張変形状態あ 3.1(b) 軸引

張試験装置用い状試験片軸試験い様子あ一軸拘束軸引張

状態引張方向伸長比λx λ 拘束方向伸長比λy 1

非縮性仮定厚方向伸長比λz 1/λx う厚

方向伸長比引張方向伸長比逆数い変形状態一般

純断変形呼

試験片一様変形理想的変形状態 3.1(a) 得公称応力―伸長

比関係引張荷 ―変関係簡単計算実際一様変

形場試験片中心部得特部近傍非一様変形 3.1(b)

う部間非一様変形計測引張荷顕著影響

え非一様変形場引張荷 ―変公称応力―伸長比関係求

困あ

記問題わ軸引張試験装置使用研究多く Blatz et

al.(1962)や Kawabata et al.(1981) 状試験片用い軸引張試験行い

26

対 Treloar(1944) 部間込設試験片軸引張試験

行い研究非一様変形影響考慮得

公称応力―伸長比関係計測精度い明あ問題解決藤

川 (2010) 状試験片軸試験引張荷引張変公称応力

公称算出簡易計算式提案計算式隣合う具間変

形単軸引張状態仮定得引張荷具間応力中影響差引

くあ数値実験検証公称応力―伸長比算出精度良好あ

確い予単軸引張試験行う必要あ 3.1(b) う

四ンい軸引張試験装置適用い問題

残い

本研究実用要中程度変形領域 80% 程度対象

業用料多軸変形単軸引張純断一様軸引張時公称応力―伸

長比関係正確計測目的試験四ンい

軸引張試験装置使用試験片部間非一様変形影響

減設形状い限要素法用い数値実

験検討計測引張荷 ―変公称応力―伸長比求新

い計算方法提案本法効性数値計算実験両面検討

Pure shear Equibiaxial Pure shear Equibiaxial

Fig. 3.1 (a) Schematic illustrations of ideal biaxial deformation and (b) photographs of real

biaxial deformation of rubber test piece obtained in the in-plane biaxial tensile test.

(a) (b)

shape before deformation

shape after uniform biaxial deformation

27

3.2 軸引張試験装置公称応力―伸長比計測方法提案

本節軸引張試験単軸引張純断一様軸引張公称応

力―伸長比関係精度く計測目的試験片形状計測方法

処理方法い提案本論文利用試験片基本形状

単軸引張試験 70 × 52 × 0.8 mm3 状矩形型純断一様軸引

張試験 70 × 70 × 0.8 mm3 状正方形型

3.2.1 軸引張試験装置概要

3.2 本研究使用軸引張試験装置社製示一辺当

数 4 具間距 L1 50 mm 隣合う間距 c 8 mm

あ軸引張試験得公称応力 sexp 伸長比λexp 式う定義

( )exp, 0, 1,

exp, exp,

1 0, 1,

1, , ,

2

i i i

i i

i i

F l ls i x y

L B l lλ

′ ′ = = + = ⋅

(3.1)

Fexp,i (i = x, y) 引張荷 B 試験片厚あ l0,i l1,i (i = x, y) 試験

片中心部 10 × 10 mm2 正方形領域 reference area 辺長あ変形後辺長

l'0,i l'1,i (i = x, y) 公称応力 sexp 引張荷 Fexp 試験片断面積 A = L1B 割

求伸長比λexp reference area 辺長変化求

Fig. 3.2 Photographs of biaxial deformations of rubber test piece obtained with in-plane biaxial

tensile test apparatus.

28

3.2.2 純断一様軸引張試験場合

状料軸引張試験部近傍非一様変形発生

計測引張荷 ―変所望変形状態公称応力―伸長比関係計

算困非一様変形影響減 3.3(a) 示う

付試験片提案試験片付試験片呼無い試

験片従来試験片呼従来試験片付試験片一

様軸引張公称応力 sexp = sexp,x = sexp,y 比較 3.4 示試

験片応力中影響一様変形場応力 suni 求困あ例え

従来試験片 3.4(a) 部間周辺応力中生 suni < sexp

同様付試験片 3.4(b) 底応力中影響 suni < sexp

付試験片 3.4(c) 示う寸法変え

底応力中引張荷影響操作可能最適

寸法 3.4(c-2) 設定 suni ≈ sexp 得

以観点限要素法数値実験行い式(3.1) sexp – λexp 関係一様

変形場公称応力―伸長比関係一致う形状決定形状定

あ以仮定設定

1 軸試験機 3.1 示う一辺 4

具間距 L1 50 mm 使用

2 先端形状半状半中心具先端結直線あ

3.4(c)参照

半定過程 3.3 節述

70

70

70

52

Reference areaReference area

ρ

2ρ

Fig. 3.3 Test pieces for uniaxial tension, pure shear, equibiaxial tension tests. The region with

an area of 10 × 10 mm2 at the center of the test piece is defined as the reference area.

(a) For pure shear and equibiaxial tension tests (mm) (b) For uniaxial tension test (mm)

29

(a) Conventional specimen (b) Multiple-notch specimen (case 1)

(c-1) Notch radius smaller than the optimum one

(c-2) Optimum notch radius (c-3) Notch radius larger than the optimum one

Fig. 3.4 Comparison of the experimental nominal stress sexp in conventional and multiple-notch

specimens (a quarter of the model).

(c) Multiple-notch specimen (case 2)

30

3.2.3 単軸引張試験場合

料応力―伸長比挙動試験温度や負荷度影響著く複

数変形料試験行う際試験条件揃え同一試験装置利用

望い単軸引張試験い純断や一様軸引張

同軸試験装置用い計測行う 3.3(b) 単軸引張試験使用試

験片形状寸法示単軸引張試験隣合う具間非一様変形計測結

果悪影響い無い矩形型試験片使用試験引

張荷 Fexp 標点間距 l'0,x l'1,x 計測式(3.1) 公称応力 sexp 伸長比λexp 算

出

31

3.3 半決定

本節限要素法用い数値実験行い付試験片半決定

試験片加容易観点穴直 2ρ 整数う場合対象

検討行

3.3.1 限要素使用料構成則

限要素解析対称性考慮試験片 1/4 部化

0.5 mm 4 節点四辺形完全積面応力要素使用部

料剛性大く十力締付行わい考え

解析被部剛体扱う料料構成則料定数記

う設定料 W W = W＿

+ U 等容成 W＿

体積成

U 加算解 W＿

最一般的超弾性一あ Ogden Ogden,

1972

( )1 2 3

1

3k k k

Nk

k k

Wα α αµ

λ λ λα=

= + + −∑ (3.2)

λ＿

伸長比λ 偏差成あ体積変化率 J = det F 用い λ＿

= J−1/3λ 表

F 変形勾配ンあ µk αk 料定数あ一般参照い値 µ1 =

0.618 MPa α1 = 1.3 µ2 = 1.18 × 10−3

MPa α2 = 5.0 µ3 = −9.81 × 10−3

MPa α3 = −2.0

Holzapfel, 2000 料微縮料 U MSC.Mentat 2013

自動的算出 U = 9K ( J1/3

− 1 )2

/ 2 K = 2072 MPa 用

3.3.2 純断一様軸引張試験半調査

本前条件付試験片用い純断一様軸引張

限要素解析行い半い調査比較従来試験片

い同様解析行う付試験片従来試験片形状境界条件

3.5(a) 3.5(b) 示 3.5(a) 示い付試験片半 1.5 mm

あ解析部強制変え

従来試験片解析結果 3.6 示 3.6(a) 見伸長比λap 定義

示い 3.6(b) 3.6(c) λap = 1.6 純断一様軸引張応力布

あ 3.6(b) 3.6(c) reference area 一様変形得い部近傍

高い応力中生い 3.6(d) 解析結果式(3.1) 求公称応力―伸

長比関係 Ogden 理論解比較あ Ogden 純断

一様軸引張理論解式得

( ) ( )1 1

,

1

for pure sheark k

N

theory x x k x x

k

sα αλ µ λ λ− − −

=

= −∑ (3.3)

( ) ( )1 2 1

,

1

for equibiaxial tensionk k

N

theory x x k x x

k


=

= −∑ (3.4)

32

3.6(d) 数値実験得従来試験片公称応力―伸長比関係理論解

大く異結果部付近応力中影響原因考え

3.7 付試験片 FEM 結果示 3.7(b) 3.7(c) 純断

一様軸引張応力布 λap = 1.6 ρ = 1.5 mm あ底付近応力中生

い reference area 一様変形状態得い半 ρ = 0.5 1.5

2.5 mm FEM 結果算出公称応力―伸長比関係 3.7(d) 示

3.6(d) 同様 FEM 結果計算 sexp – λexp 関係 Ogden

得理論解比較検証 3.4(c) 対応 ρ い応力過

大見積一方 ρ 大い応力く見積結果 ρ = 1.5 mm

付試験片式(3.1) 求公称応力―伸長比関係理論解良好一致示

以 ρ = 1.5 mm 付試験片用い軸試験一様変形

公称応力―伸長比関係高精度求確

Chucking jig

Rubber

Chucking jig

Rubber

Fig. 3.5 Finite element models for multiple-notch and conventional test pieces.

(a) Multiple-notch test piece

(ρ = 1.5 mm)

(b) Conventional test piece

33

Apparent stretch, apλ11 /d L= +

(Displacement: d/2)

xy

Reference area

1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.5

1

1.5

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

Exact solution FEM PS (conventional) FEM BT (conventional)

pure shear (PS)

Equibiaxial tension (BT)

(a) Test piece shape (b) Pure shear (MPa) (c) Equibiaxial tension (MPa)

Fig. 3.6 Stress distribution of σxx in pure shear and equibiaxial tension tests: (a) – (c) are for the

conventional test piece, (d) is comparison between numerical solution by FEM and

theoretical one.

(d) Relationship between nominal stress and stretch

34

1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.5

1

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

Exact solution 2ρ = 1.0 2ρ = 3.0 (proposal) 2ρ = 5.0 2ρ = 3.0 (proposal)

PS

BT

Apparent stretch, apλ11 /d L= +

(Displacement: d/2)

xy

Reference area

(a) Test piece shape (b) Pure shear (MPa) (c) Equibiaxial tension (MPa)

Fig. 3.7 Stress distribution of σxx in pure shear and equibiaxial tension tests: (a) – (c) are for the

multiple-notch test piece, (d) is comparison between numerical solution by FEM and

theoretical one.

(d) Relationship between nominal stress and stretch

35

3.4 数値実験提案手法効性検証

本節提案手法効性汎用性数値実験評価 3.4.1 単

軸引張試験数値実験行い効性検証 3.4.2 様々料

Neo–Hooke Yeoh Mooney–Rivlin 数値実験行い提案手法汎用性検証

3.4.1 単軸引張試験検討

軸引張試験装置用い単軸引張試験い検討 3.8(a) 試験片

形状境界条件示純断試験や一様軸引張試験同様対称

性考慮 1/4 部化部強制変え以条件行

FEM 解析得 Fexp l'0,x l'1,x sexp λexp 計算 Ogden

単軸引張試験公称応力―伸長比関係理論値式得

( ) ( )1 2 1

,

1

for uniaxial tensionk k

N

theory x x k x x

k


=

= −∑ (3.5)

3.8(b) 数値解析得公称応力―伸長比関係理論値比較示

結果良く一致い軸引張試験装置用い単軸引張試験高

精度公称応力―伸長比関係得

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

Exact solution FEM UT (proposal)

Chucking jig

Rubber

No

min

al

stre

ss [

MP

a]

Fig. 3.8 FEM analysis of uniaxial tension test with in-plane biaxial experiment apparatus: (a) is

finite element model and (b) is comparison between numerical solution by FEM and

theoretical one.

(a) Finite element model (b) Result of FEM

36

3.4.2 提案手法汎用性い

提案手法汎用性調査目的 Ogden 以外幾料構成則

FEM 解析行使用料構成則式(3.6)-(3.8) 示通あ

Case 1: Neo–Hooke Treloar, 1944

( )10 1 3W c I= − (3.6)

I1 = λ＿

12

+ λ＿

22

+ λ＿

32 あ料定数 c10 = 0.8 MPa

Case 2: Yeoh Yeoh, 1993

( ) ( ) ( )2 3

10 1 20 1 30 13 3 3W c I c I c I= − + − + − (3.7)

料定数 c10 = 1.0 MPa c20 = 0.1 MPa c30 = 0.01 MPa

Case 3: Mooney–Rivlin Mooney, 1940; Rivlin, 1948

( ) ( )10 1 01 23 3W c I c I= − + − (3.8)

I2 = λ＿

12λ＿

22

+ λ＿

22λ＿

32

+ λ＿

12λ＿

32 あ料定数 c10 = 1.6 MPa c01 = 0.4 MPa

以料構成則純断一様軸引張 FEM 解析行い試験片半 ρ

sexp – λexp 関係影響い調査結果 3.9-3.11 示料構成則

い依 ρ = 1.5 mm 付試験片高精度公称応力―伸長比関係得

提案手法任意料特性持料適用可能あ

いえ

37

1 1.2 1.4 1.6 1.80

2

4

6

Stretch (-)

Nom

inal

str

ess

(MP

a)

Exact solution 2ρ = 0.0 2ρ = 1.0 2ρ = 3.0 (proposal) 2ρ = 5.0

Increasing ρ

1 1.2 1.4 1.6 1.80

2

4

6

Stretch (-)N

om

inal

str

ess

(MP

a)


Increasing ρ

1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Increasing ρ

1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Increasing ρ

Fig. 3.10 Effect of notch radius on the stress–stretch relationships of the multiple-notch

specimens under pure shear and equibiaxial tension deformation calculated by FEM.

The Yeoh model was used for FEM analysis.

(a) Pure shear (b) Equibiaxial tension



The Neo–Hooke model was used for FEM analysis.


38

1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

Stretch (-)N

om

inal

str

ess

(MP

a)


Increasing ρ

1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Increasing ρ



The Mooney–Rivlin model was used for FEM analysis.


39

3.5 実験提案手法効性検証

本節提案手法効性実験的手法評価提案試験片形状

用い業用料軸引張試験行い得結果対象 Ogden

ン料定数同定十型試験片軸引張試

験行い実験結果 FEM 解析結果比較同定料定数妥当性

検証

3.5.1 試験方法概要

実験ンン SBR ン体積率 10% 20%

充 SBR/CB10 SBR/CB20 使用試験片厚 0.8 mm 作成

提案試験片形状用い実験室温 25°C 行

い引張度 0.2 mm/s 軸方向付引張荷

計測試験中 Reference area 変形撮影 l'0,i l'1,i (i = x,

y) 非接触計測

3.5.2 計測結果料定数同定

提案手法計測 sexp – λexp 関係 3.12 示 Ogden

一ン結果合わ示 Ogden 料定数 Ogden

解析的算出公称応力値実験値差乗和計算実数

値 GA 樋口他, 2001 最化決定 3.12 単軸引張純

断一様軸引張全力学特性再現料定数得確

1 1.2 1.4 1.6 1.80

2

4

6

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

Ogden Exp UT

Exp PS Exp BT

1 1.2 1.4 1.6 1.80

1

2

3

Stretch (-)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)

Ogden Exp UT

Exp PS Exp BT

Exp PS Exp BT

Exp UT

Fig. 3.12 Experimental nominal stress–stretch relationships for uniaxial tension (UT), pure

shear (PS), and equibiaxial tension (BT), and the fitted curves of the Ogden model

with material constants identified from the proposed multiple-notch test pieces.

(a) SBR/CB10 (b) SBR/CB20

40

3.5.3 同定料定数検証

前同定料定数妥当性検証 3.13(a) う十試験

片用い軸試験行試験片厚 1.2 mm 十試験片

軸試験様々変形混複雑変形状態い十試験片

用い軸試験 Fexp – d 挙動 FEM 解析再現

料定数様々変形対応適言え試験試験片

部一辺全域挟込伸長 3.14 示標線間

距 d 撮影計測 3.13(b) FEM 解析形

状境界条件示い前章同様面応力状態仮定 4 節点四辺形完全

積要素使用一辺当要素長 0.5 mm 料

料定数前用い

3.15 実験 FEM 解析引張荷 Fexp(= Fexp,x = Fexp,y) 変 d 結果

示従来試験片同定料定数用い FEM 解析行結果

3.15 合わ示付試験片得料定数 SBR/CB10 N =

2 µ1 = 0.379 MPa α1 = 2.72 µ2 = 5.43 MPa α2 = 0.170 SBR/CB20 N = 3 µ1 = 2.35 MPa

α1 = 1.31 µ2 = 8.75 × 10−2

MPa α2 = 5.55 µ3 = −8.72 × 10−2

MPa α3 = −2.96 あ

従来試験片得料定数 SBR/CB10 N = 3 µ1 = 3.68 MPa α1 = 0.394

µ2 = 2.16 × 10−2

MPa α2 = 6.46 µ3 = −4.74 MPa α3 = −0.149 SBR/CB20 N = 3 µ1 = 5.94

MPa α1 = 0.262 µ2 = 5.82 × 10−2

MPa α2 = 6.86 µ3 = −2.52 MPa α3 = −0.911 あ

従来試験片同定料定数料い実験値過大

荷見積結果対提案手法同定料定数

料良好再現結果得 d = 30 mm 時変形状態い

FEM 解析結果実験結果良く再現い

以本法料力学特性高精度計測可能あいえ

本法実験結果同定料定数料数値解析用あ

合わ確

41

0 10 20 300

100

200

d (mm)

Ten

sile

lo

ad (

N)

Exp FEM (proposal) FEM (conventional)

SBR/CB20

SBR/CB10

FEMExp

Chucking

30 m

m

L1 =

50 m

m

70 m

m

Rubber

exp,xF

exp, yF

11 LLd −′=

1L 1'L

Fig. 3.15 Load–displacement relationships of cruciform specimens under equibiaxial tension.

Fig. 3.14 Photographs of deformation behavior of cruciform specimens under equibiaxial

tension.

(a) No-load condition (b) Loading condition

Fig. 3.13 Shape and dimensions of cruciform specimen and its finite element model.

(a) Test piece shape (b) Boundary condition of the

finite element model

42

3.6 結言

本研究業用料実用要中程度変形 80% 程度

対象単軸引張純断一様軸引張公称応力―伸長比関

係精度良く計測試験方法提案本法軸引張試験装置付試験

片使用あ FEM 数値解析実験両面検証行得

知見以示

(1) 純断一様軸引張試験部近傍均一変形

影響減目的状料形穴入試験片提案

半数値実験基い決定

(2) 本法効性検証 FEM 用い数値実験行結果様々

超弾性構成則 Ogden Neo–Hooke Yeoh Mooney–Rivlin い公

称応力―伸長比関係精度良く再現確

(3) 本法効性い実験的検証ン体積率

10% 20% 充 SBR 料軸引張試験行得実験結

果 Ogden 料定数同定単軸引張純断一

様軸引張良好ン得

(4) 十試験片用い軸引張試験同定料定数妥当性い検証

本法同定料定数用い FEM 解析実験結果十

再現可能あ確

(5) 以本法力学特性要単軸引張純断一様軸引張

公称応力―伸長比関係高精度計測可能方法あ示

超弾性料定数決定実験方法用あ確

43

参考文献

1) Batra, R. C., Mueller, I. and Strehlow, P., Treloar’s biaxial tests and Kearley’s bifurcation

in rubber sheets, Mathematics and Mechanics of Solids, Vol.10, No.6 (2005), pp.705-713.

2) Blatz, P. J. and Ko, W. L., Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery

materials, Transactions of the Society of Rheology, Vol.6, No.1 (1962), pp.223-251.

3) 藤川正毅, 神武 , 真壁朝敏 , 軸引張試験公称応力

簡易計算法 , 実験力学, Vol.10, No.1 (2010), pp.104-109.

4) 樋口英, 筒井茂義 , 山幸 , 実数値 GA ン交提案, 人

知能学会論文 , Vol.16, No.1 (2001), pp.147-155.

5) Holzapfel, G., Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering (2000),

Wiley.




7) Kawabata, S., Matsuda, M., Tei, K. and Kawai, H., Experimental survey of the strain

energy density function of isoprene rubber vulcanizate, Macromolecules, Vol.14, No.1

(1981), pp.154-162.

8) Mooney, M., A theory of large elastic deformation, Journal of applied physics, Vol.11, No.9

(1940), pp.582-592.

9) Ogden, R. W., Large deformation isotropic elasticity – on the correlation of theory and

experiment for incompressible rubberlike solids, Proceedings of the Royal Society of

London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol.326, No.1567 (1972),

pp.565-584.

10) Ogden, R. W., Non-Linear Elastic Deformation (1997), Dover Publications.

11) Rachik, M., Schmidt, F., Reuge, N., Le Maoult, Y. and Abbé, F., Elastomer biaxial

characterization using bubble inflation technique. II: Numerical investigation of some

constitutive models, Polymer Engineering and Science, Vol.41, No.3 (2001), pp.532-541.

12) Reuge, N., Schmidt, F. M., Le Maoult, Y., Rachik, M. and Abbé, F., Elastomer biaxial

characterization using bubble inflation technique. I: Experimental investigations, Polymer

Engineering and Science, Vol.41, No.3 (2001), pp.522-531.

13) Rivlin, R. S., Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. IV. Further Developments

of the General Theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series

A: Mathematical and Physical Sciences, Vol.241, No.835 (1948), pp.379-397.

44

14) Sasso, M., Chiappini, G., Rossi, M., Cortese, L. and Mancini, E., Visco-hyper-pseudo-

elastic characterization of a fluoro-silicone rubber, Experimental Mechanics, Vol.54, No.3

(2014), pp.315-328.

15) Sasso, M., Palmieri, G., Chiappini, G. and Amodio, D., Characterization of hyperelastic

rubber-like materials by biaxial and uniaxial stretching tests based on optical methods,

Polymer Testing, Vol.27, No.8 (2008), pp.995-1004.




17) Tada, T., Urayama, K., Mabuchi, T., Muraoka, K. and Takigawa, T., Nonlinear stress

relaxation of carbon black-filled rubber vulcanizates under various types of deformation,

Journal of Polymer Science Part B: Polymer physics, Vol.48, No.12 (2010), pp.1380-1387.

18) Treloar, L. R. G., Stress-strain data for vulcanized rubber under various types of

deformation, Transactions of the Faraday Society, Vol.40 (1944), pp.59-70.

19) Woo, C. S., Kim, W. D. and Park, H. S., Finite element analysis and design of rubber

specimen for mechanical test, Constitutive Models for Rubber VII (2012), pp.439-443.

20) Zhao, X., Berwick, Z. C., Krieger, J. F., Chen, H., Chambers, S. and Kassab, G. S., Novel

design of cruciform specimens for planar biaxial testing of soft materials, Experimental


21) Yeoh, O. H., Some forms of the strain energy function for rubber, Rubber Chemistry and


45

第 4 章主要超弾性構成則性能評価

4.1 緒言

業用料や建築物利用

役割要あ製品設計や開発滑進力学挙動

数値計算評価需要非常大い力学挙動数値

ョン料構成則定要あ料大変形性非微

縮性料料構成則特徴表現可能

い超弾性力学挙動数値計算最基礎料構成

則あ超弾性関研究現多く報告あ商用限要素解

析多く標準搭載い解析者中 1 料構成則

出一般択解析者知識や経験判断

現様々超弾性提案い超弾性構成則

出過程現象論物理論 2 種類類現象論数

学的あ密度関数

変や主伸長比多式表現多い物理論高子鎖物理論

基い統計学的手法あ

主要超弾性性能関研究多く行わい例え Marckmann

and Verron(2006) Treloar(1944) 実験 (未充天然；単軸引張純

断一様軸引張 ) Kawabata et al.(1981) 実験 (未充ン；

軸引張 ) 用い 20 種類超弾性性能評価行いン付行

い Steinmann et al.(2012) Hossain and Steinmann(2012) 25 個超弾性

い Treloar(1944) 実験対象各変形単軸引張純

断一様軸引張再現性能評価 1 変形実験結果

同定料定数他 2 種類実験結果予測可能あ検討行

い Seibert and Schöche(2000) ン充水素化

(HNBR) 単軸引張一様軸引張試験結果対象 6 種類超弾性性能

評価行い

述調査報告多く 100% 超え 300% 付近以大変形領域

実験結果対象超弾性構成則性能評価行い実使用条件

業用料変形領域 0～80% 程度あ場合多く

焦点応力― 関係正確再現超弾性構成則見出要

領域焦点当研究あ見い述

調査報告多く超弾性構成則性能評価ンや軸引張試験機得

軸場応力―伸長比結果利用いン計測い

変形域 50%以正確応力― 関係得困あ知

Mott et al., 2002 実用要域 0～80% 性能評価用い

わくい軸引張試験関第 3 章述う具

影響計測結果影響問題近指摘従来性能評価結

46

果影響え可能性あ実用的超弾性構成則性能評価い

改検討余地あいえ

本研究料実稼働領域 0～80% 対象超弾性構

成則性能評価行う料試験い第 3 章提案多軸場高精度応力

― 関係得計測方法用試料ン充異 3

種類 SBR 使用本研究性能評価 (1)超弾性構成則実験結果再現

能力 (2)単軸場多軸場予測性能 (3) ン充料定数相

関関係 3 目い検証

47

4.2 ン充 SBR 料料試験

ン CB 10 15 20 vol%充ンン SBR

力学特性公称応力―伸長比関係計測行本論文 SBR/CB10

SBR/CB15 SBR/CB20 記回料試験一般的単軸引

張純断一様軸引張試験行試験方法計測結果本節

4.2.1 単軸引張試験

単軸引張試験用いン型試験片 4.1 示中ン部

試験片締付部示矢印方向伸長実験

島津製作所製万能試験機使用試験片標点間距 lexp 引張荷 Fexp

計測計測変 ―荷関係 Fexp – lexp 公称応力―伸長比関係 Pexp

– λexp 変換式用い

exp exp

exp exp

0

,F l

Pt B l

λ= =⋅

(4.1)

B 試験片厚 t 試験片幅 l0 変形前標点間距あ単軸引張

試験公称 200% 試験片破断伸長

4.2.2 純断一様軸引張試験

純断一様軸引張試験第 3 章提案計測方法試験片形状

適用方法論文実験数値計算詳細妥当性用性検証

80% 変形域い高精度公称応力―伸長比関係得

あ試験機社製型軸引張試験機使用一

辺当具数 4 向い合う具間距 L1 50 mm あ 4.2

軸引張試験用試験片形状示試験片部近傍非一様変形

状態影響減目的設置や直料公

称応力―伸長比関係精度良く算出う調整い

軸引張試験得公称応力 Pexp 伸長比λexp 定義引張荷 Fexp

具間断面積 L1·B 除値 Pexp 定義 4.3 う試験片中

心部 10 × 10 mm2 正方形領域 Reference area” 長 l0,i, l1,i (i = x, y) 引張試験中

長 l′0,i, l′1,i (i = x, y) 変形前後辺長比 λexp

Pexp λexp 計算式以

( )exp, 0, 1,

exp, exp,

1 0, 1,

1, , ,

2

i i i

i i

i i

F l lP i x y

L B l lλ

′ ′ = = + = ⋅

(4.2)

純断一様軸引張試験第 3 章計測精度保証い 80%

計測行う

48

Fig. 4.1 Experimental setup for uniaxial tensile test (all dimensions are in mm).

Fig. 4.2 Specimen for pure shear and equibiaxial tensile test.

Fig. 4.3 Experimental setup for pure shear and equibiaxial tensile test.

49

4.2.3 計測結果

実験得公称応力―伸長比関係 4.4 示全試験雰

気温度 T = 25°C 行わ引張度 0.1 /min 行い一般知

いう CB 含多く剛性昇い一方

単軸引張試験最大伸長比減少結果

1 2 30

2

4

6

8

10

12

Stretch (-)N

om

inal

stre

ss (

MP

a)

uniaxial tension pure shear biaxial tension

1 2 30

2

4

6

8

10

12

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


1 2 30

2

4

6

8

10

12

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.4 Experimental nominal stress–stretch relationships for uniaxial tension (UT), pure shear

(PS), and equibiaxial tension (BT).

(a) SBR/CB10 (b) SBR/CB15 (c) SBR/CB20

50

4.3 主要超弾性構成則性能評価

本節本研究性能評価行う超弾性構成則い 4.3.1

本論文必要超弾性構成則関基礎理論示 4.3.2 性能評価概要

料定数同定方法記 4.3.3 現象論超弾性性能評価行い

4.3.4 物理論超弾性構成則性能評価

4.3.1 超弾性構成則概要

一般超弾性体変形や成微共役応力生

う密度関数Ψ 物質定義例え非縮

性超弾性体第一 Piola–Kirchhoff 応力 P 公称応力等価変形勾配ン F 用

い式う表 Holzapfel, 2000

Tp −∂Ψ= −

∂P F

F (4.3)

p 静水力あ付 T ン転置表わい主公称応力

Pi 主伸長比λi 関係式う

( ), 1,2,3i

i i

pP i

λ λ∂Ψ

= − =∂

(4.4)

変形勾配ン F 変形状態各成以う

1/2

1/2

0 0

0 0

0 0

UT

λλ

λ

−

−

=

F (4.5)

1

0 0

0 1 0

0 0

PS

λ

λ −

=

F (4.6)

2

0 0

0 0

0 0

BT

λλ

λ−

=

F (4.7)

λ 伸長方向伸長比あ付 UT PS BT 単軸引張純

断一様軸引張意味い FUT

FPS

FBT 入力

式(4.3) 式(4.4) 計算各超弾性解析的公称応力求

51

4.3.2 性能評価料定数同定方法

本研究行う性能評価 3 目 test 1～3 詳細

(a) test 1

超弾性構成則性能最要実験得あゆ変形

応力―伸長比関係再現得うあ test 1 超弾性

実験得 3 種類変形単軸引張純断一様軸引張

応力―伸長比挙動再現能力い調査

料定数同定方法示 test 1 全 3 種類変形計測結果対象

各超弾性料定数同定料試験得伸長方向公称応力伸

長比 exp

UTPexp

UTλexp

PSPexp

PSλexp

BTPexp

BTλ 付 exp

実験結果あ示密度関数Ψ 式(4.4)

解析的求伸長方向公称応力cal

UTPcal

PSPcal

BTP 付 cal

解析的計算あ示計算式異

具体的数式付録 C 超弾性再現公称応力実験

値差乗和 E1 式う表

{ }

{ }

{ }

2

1 exp exp, exp,

1

2

exp exp, exp,

1

2

exp exp, exp,

1

1( ) ( )

1( ) ( )

1( ) ( )

UT

PS

BT

NUT UT UT UT

i cal iUTi

NPS PS PS PS

i cal iPSi

NBT BT BT BT

i cal iBTi

E P PN

P PN

P PN

λ λ

λ λ

λ λ

=

=

=

= −

+ −

+ −

∑

∑

∑

(4.8)

NUT

NPS

NBT 単軸純断一様軸引張試験実験結果総数あ

式(4.8) 変形計測値数差乗和基準化あ超弾

性料定数 E1 くう求い

E1 目的関数最化問題解く料定数決定最化問題

料定数索ン交用い実数値 GA 樋口他, 2001

用い

(b) test 2

限要素法実部品応力解析変形挙動多軸場あ関わ引張

試験結果定料構成則用い解析行わ多い

単軸引張試験多軸場応力挙動予測可能料構成則索く

実用要あ test 2 単軸引張試験結果料定数決定場

合純断や一様軸引張試験実験結果予測得調査

test 2 最化目的関数 E2 う

{ }2

2 exp exp, exp,

1

1( ) ( )

UTNUT UT UT UT

i cal iUTi

E P PN

λ λ=

= −∑ (4.9)

test 1 同様料定数索実数値 GA 用い

52

(c) test 3

本研究性能評価ン異 3 種類 SBR 対象い

各超弾性料定数ン間明確相関関係

配合変更料力学挙動予測際用情報料

配合超弾性構成則料定数相関関係調査研究い

test 3 test 1 同定超弾性料定数ン間

相関関係い調査

4.3.3 現象論型超弾性構成則性能評価

本節現象論型超弾性構成則性能評価行う現象論数学的

あ密度関数変や主伸

長比関数表現幾伸長比や変多式形式表

高用い高い近似精度得高実験

誤差影響擾乱生可能性あ注意必要あ

(a) Ogden

Ogden Ogden, 1972 密度関数主伸長比λi Cauchy–Green 変形

ン C 固値方根関数表現象論あ商用 FEM

広く搭載い一般的料構成則あ密度関数

う表

{ }1 2 3

1

3k k k

Nk

k k

α α αµλ λ λ

α=

Ψ = + + −∑ (4.10)

µk αk 料定数あ µk·αk ≥ 0 あ本研究 N = 1, 2, 3 場合

い検討

N = 1, 2, 3 test 1 結果 4.5-4.7 示 N = 1 単軸引張

や純断い概良好再現結果示一様軸引張高域実

験値差大く結果 N = 2, 3 場合全実験結果対

高精度再現結果得 test 2 結果 4.8-4.10 示い場合単軸

引張対良い得い予測純断一様軸引

張応力―伸長比挙動実験値大くい以 Ogden 適当

数 N 設定高い再現性能示単軸場多軸場予測能力皆無

あ表 4.1-4.6 同定料定数示ン料定数相関性

いいえ

53

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.5 Results of performance evaluation (test 1): Ogden model (N = 1).

(a) UT (b) PS (c) BT

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted



1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted



54

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

predicted predictedfitted



1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)




1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)




55

µ 1 (MPa) α 1

SBR/CB10 0.6875 2.864

SBR/CB15 0.9287 3.018

SBR/CB20 1.572 2.975

Table 4.1 Material parameters (test 1):

Ogden model (N = 1).


Ogden model (N = 1).

µ 1 (MPa) α 1

SBR/CB10 −0.4546 −6.556

SBR/CB15 −0.5664 −7.090

SBR/CB20 −0.8213 −7.555

µ 1 (MPa) µ 2 (MPa) α 1 α 2

SBR/CB10 6.896 0.2249 0.1610 3.827

SBR/CB15 0.4417 −1.021 3.733 −0.9176

SBR/CB20 0.7903 −0.4987 3.756 −1.865

Table 4.3 Material parameters (test 1): Ogden model (N = 2).

µ 1 (MPa) µ 2 (MPa) α 1 α 2

SBR/CB10 0.1017 −0.3789 3.670 −6.119

SBR/CB15 −0.5663 1.545×10‒5 −7.090 4.258

SBR/CB20 0.3412 −0.5453 3.659 −7.401


µ 1 (MPa) µ 2 (MPa) µ 3 (MPa) α 1 α 2 α 3

SBR/CB10 11.01 −1.391 0.2843 2.651×10‒2 −0.4189 3.641

SBR/CB15 0.7633 −0.2334 0.3065 1.306 −1.727 4.003

SBR/CB20 −0.1292 1.327 0.2294 −2.860 1.971 4.792


µ 1 (MPa) µ 2 (MPa) µ 3 (MPa) α 1 α 2 α 3

SBR/CB10 −0.1658 −0.2124 0.2049 −5.357 −3.658 3.707

SBR/CB15 −0.5564 −2.896×10‒2

7.198×10‒3 −7.044 −2.296 4.541

SBR/CB20 −0.7185 −0.5082 0.4595 −6.191×10‒2 −5.624 4.085


56

(b) Mooney–Rivlin

Mooney–Rivlin Mooney, 1940; Rivlin, 1948 密度関数 Cauchy–

Green 変形ン第一変 I1 第変 I2 構成 Mooney–Rivlin

多く商用 FEM 一般標準搭載一般的料構成則あ

密度関数う表

( ) ( )10 1 01 23 3c I c IΨ = − + − (4.11)

c10 c01 料定数あ c10 c01 ≥ 0 あ c01 = 0 特

Neo–Hooke いう I1 I2 式(4.12) (4.13) 得

( ) 2 2 2

1 1 2 3trI λ λ λ= = + +C (4.12)

( ) ( ){ }2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1tr tr

2I λ λ λ λ λ λ= − = + +C C (4.13)

test 1 test 2 結果 4.11 4.12 示 test 1 test 2 良い再現結果得

特伸長応力立挙動全く表現いい

Mooney–Rivlin 単軸引張や純断変形応力立挙動表

可能あ変形い領域効力学あ思わ同

定料定数表 4.7 4.8 示 c10 CB 増加大く傾向

c01 SBR/CB20 test 1 除い微値

57

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

c 10 (MPa) c 01 (MPa)

SBR/CB10 0.6721 1.540×10‒17

SBR/CB15 0.9772 2.470×10‒17

SBR/CB20 1.429 2.553×10‒2

c 10 (MPa) c 01 (MPa)

SBR/CB10 0.7640 5.822×10‒17

SBR/CB15 1.117 2.449×10‒16

SBR/CB20 1.588 2.551×10‒16


Mooney–Rivlin model.


Mooney–Rivlin model.

Fig. 4.11 Results of performance evaluation (test 1): Mooney–Rivlin model.


Fig. 4.12 Results of performance evaluation (test 2): Mooney–Rivlin model.


58

(c) polynomial

polynomial Rivlin and Saunders, 1951 Mooney–Rivlin 一般化

あ密度関数 I1 I2 多式表

( ) ( )1 2

1

3 3N

i j

ij

i j

c I I+ =

Ψ = − −∑ (4.14)

cij 料定数あ N = 1 Mooney–Rivlin 帰着本研究

N = 2 場合い検証料定数 c10 c01 c20 c11 c02 5

個あ

test 1 2 結果 4.13 4.14 示 test 1 良好再現結果得

test 2 い純断一様軸引張予測結果良あ料定数注目

良好再現結果得 test 1 第変作用料定数 c01 c11 c02

微値示寄いいわ test 1 polynomial

第一変依い対 test 2 第一変

第変依い場合単軸引張良好

ン得い予測純断一様軸引張実験値

大く外結果本研究実験結果密度第一

変関数表超弾性良い再現性得対第変

影響大く多軸場予測性能考え

料定数ン関係 test 1 いン

多い c10 c20 大い値示 2 料定数料剛性示

あ記傾向実験結果一致い

59

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.13 Results of performance evaluation (test 1): polynomial model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.14 Results of performance evaluation (test 2): polynomial model.


c 10 (MPa) c 01 (MPa) c 20 (MPa) c 11 (MPa) c 02 (MPa)

SBR/CB10 0.4608 8.973×10‒15

3.761×10‒2

5.613×10‒16

2.123×10‒16

SBR/CB15 0.6297 1.180×10‒15

7.201×10‒2

9.121×10‒16

2.266×10‒16

SBR/CB20 1.014 1.879×10‒15 0.1290 1.835×10

‒152.421×10

‒16

Table 4.9 Material parameters (test 1): polynomial model.

c 10 (MPa) c 01 (MPa) c 20 (MPa) c 11 (MPa) c 02 (MPa)

SBR/CB10 1.879×10‒15 0.6198 8.016×10

‒17 0.1384 7.342×10‒3

SBR/CB15 9.841×10‒16 0.8206 1.316×10

‒2 0.2147 1.046×10‒16

SBR/CB20 3.378×10‒16 1.221 4.099×10

‒3 0.4405 2.250×10‒15

Table 4.10 Material parameters (test 2): polynomial model.

60

(d) Yeoh

Yeoh Yeoh, 1993 I1 密度関数表わあ特高

域再現試あ密度関数う表わ

( ) ( ) ( )2 3

10 1 20 1 30 13 3 3c I c I c IΨ = − + − + − (4.15)

c10 c20 c30 料定数あ

test 1 結果 4.15 示 4.15 Yeoh 良好再現精度示い

本実験結果第一変依関数十再現

可能あいえ test 2 結果 4.16 示 4.16 test 2 test 1 同等

再現結果得 Yeoh 単軸引張結果料定数同定

場合全実験結果料定数同定同等再現精度得

同定料定数表 4.11 4.12 示ン多く

c10 c20 増加傾向 c30 傾向

61

Table 4.11 Material parameters (test 1): Yeoh model.

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al s

tress

(M

Pa)

fitted fittedfitted

Fig. 4.15 Results of performance evaluation (test 1): Yeoh model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al s

tress

(M

Pa)


Fig. 4.16 Results of performance evaluation (test 2): Yeoh model.


c 10 (MPa) c 20 (MPa) c 30 (MPa)

SBR/CB10 0.4820 2.760×10‒2

1.045×10‒3

SBR/CB15 0.6819 4.334×10‒2

3.600×10‒3

SBR/CB20 1.014 0.1290 1.847×10‒16

c 10 (MPa) c 20 (MPa) c 30 (MPa)

SBR/CB10 0.4923 3.556×10‒2

6.402×10‒18

SBR/CB15 0.6610 7.189×10‒2

2.353×10‒18

SBR/CB20 1.024 0.1474 6.485×10‒17

Table 4.12 Material parameters (test 2): Yeoh model.

62

(e) Carroll

Carroll Carroll, 2011 I1 I2 密度関数あ

密度関数う表わ

4 1 2

1 1 2 0AI BI CIΨ = + + + Ψ (4.16)

A B C 料定数あ本未充対良好再現性能

い示い (Carroll, 2011)

test 1 2 結果 4.17 4.18 示 test 1 2 良好再現精度得い同

定料定数表 4.13 4.14 示ン多く第一変

寄料定数 A B 増加傾向第変寄料

定数 C 全場合微値示第一変機能良い再現結果

示

63

A (MPa) B (MPa) C (MPa)

SBR/CB10 0.5204 1.481×10‒4

3.805×10‒15

SBR/CB15 0.7055 3.489×10‒4

6.209×10‒15

SBR/CB20 1.049 8.634×10‒4

1.174×10‒15

Table 4.14 Material parameters (test 2): Carroll model.

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.17 Results of performance evaluation (test 1): Carroll model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.18 Results of performance evaluation (test 2): Carroll model.


Table 4.13 Material parameters (test 1): Carroll model.

A (MPa) B (MPa) C (MPa)

SBR/CB10 0.5768 1.240×10‒4

8.483×10‒15

SBR/CB15 0.7805 3.084×10‒4

8.566×10‒16

SBR/CB20 1.060 1.020×10‒3

3.988×10‒15

64

4.3.4 物理論型超弾性構成則性能評価

本節物理論型超弾性構成則性能評価行う物理論主一本

高子鎖運動基い統計学的手法あ実際微細構

造多数子鎖複雑絡合拘束生い一本

子鎖運動絡合い影響いン

ワ仮定い物理論効果入

提案い密度関数Ψ ンワ

関 Ψph 的拘束起因 Ψc 加算解

ph cΨ = Ψ + Ψ (4.17)

(a) three chain

three chain James and Guth, 1943 本子鎖主方向配置

あ非理論基くあ子鎖絡合い効果考慮

密度関数ンワあ

密度関数主伸長比λi 用いう表

3

, 0

1

ln3 sinh

i

r i i

i i

N βµλ β

β=

Ψ = + + Ψ

∑ (4.18)

( )1

, , , i

r i i r iN

λλ β λ−= = L (4.19)

あ µ 断弾性係数 N 子鎖限界伸長比乗表料定数あ

L−1

(•) 逆ンン関数あ本稿 Cohen(1991) 提案 Padé 近似計

算

( )2

1

2

3

1

xx x

x

− −≈

−L (4.20)

test 1 結果 4.19 示 SBR/CB20 一様軸引張伸長比 1.5 以

変形域実験値差大く結果以外再現性概良好あ

test 2 結果 4.20 示 4.19 4.20 three chain 再現結果 test

1 2 差異見 test 1 test 2 料定数比較概近い

値示い確 three chain 単軸引張実験

結果料定数決定場合現実的料定数値得

考えン多く剛性表 µ 大く最

大伸長比表 N 減少傾向示

65

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

str

ess

(MP

a)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

fitted fittedfitted

Fig. 4.19 Results of performance evaluation (test 1): three chain model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.20 Results of performance evaluation (test 2): three chain model.


µ (MPa) N

SBR/CB10 0.9878 14.77

SBR/CB15 1.393 12.28

SBR/CB20 2.121 9.643

µ (MPa) N

SBR/CB10 1.015 15.24

SBR/CB15 1.396 12.32

SBR/CB20 1.938 8.865


three chain model.


three chain model.

66

(b) eight chain

eight chain Arruda and Boyce, 1993 Arruda–Boyce 言わ

I1 密度関数あ eight chain 子鎖絡合い影響

考慮いいわ密度関数ンワ

あ本多く商用 FEM 標準搭載いあ

密度関数う表わ

0ln

sinhrN

βµ λ β

β

Ψ = + + Ψ

(4.21)

( )11 , , 3

chainr chain r

I

N

λλ λ β λ−= = = L (4.22)

あ µ 断弾性係数 N 子鎖限界伸長比乗表料定数あ

test 1 2 結果 4.21 4.22 示 test 1 2 良好再現精度得い同

逆 Langevin 関数用いい three chain や full network 後述比較

eight chain 方高い再現性示い three chain full network

ン変形仮定い対 eight chain 非ン変形

仮定い Miehe et al., 2004 要因考え同定料定数表 4.17

4.18 示ン多く剛性表 µ 大く最大伸長比

表 N 減少傾向示

67

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

str

ess

(MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.21 Results of performance evaluation (test 1): eight chain model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.22 Results of performance evaluation (test 2): eight chain model.


µ (MPa) N

SBR/CB10 0.8903 4.798

SBR/CB15 1.208 4.002

SBR/CB20 1.779 3.338

µ (MPa) N

SBR/CB10 0.9812 5.230

SBR/CB15 1.333 4.283

SBR/CB20 1.798 3.160


eight chain model.


eight chain model.

68

(c) full network

full network (Wu and Giessen, 1992) 中心ン方向配置無数

子鎖仮定あ密度関数

子鎖 1 元球積必要あ扱いくいい

述煩わ避 three chain eight chain 付均

近似的簡易的計算方法 simplified full network 提案い

simplified full network 用

( ) 3-chain 8-chain1 ρ ρΨ = − Ψ + Ψ (4.23)

[ ]max

max 1 2 30.85 , max , ,

N

λρ λ λ λ λ= = (4.24)

あ料定数 µ N 2 個あ full network ン

ワ構成あ

test 1 2 結果 4.23 4.24 示 SBR/CB20 一様軸引張伸長比 1.5

以変形域実験値差大く結果以外良好再現

結果得ン多く µ 大く N 減少

傾向示 full network test 1 2 3 three chain 類似傾向示

69

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.23 Results of performance evaluation (test 1): full network model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.24 Results of performance evaluation (test 2): full network model.


µ (MPa) N

SBR/CB10 0.9804 10.33

SBR/CB15 1.391 8.773

SBR/CB20 2.023 6.406

µ (MPa) N

SBR/CB10 1.026 10.72

SBR/CB15 1.445 8.989

SBR/CB20 1.982 6.388


full network model.


full network model.

70

(d) non–affine micro–sphere

Miehe et al.(2004) full network 非ン変形理論や管模型理論入

non–affine micro–sphere 提案い密度関数式う表

f cΨ = Ψ + Ψ (4.25)

0ln

sinhf N

N

βµ β

β Λ

Ψ = + + Ψ

(4.26)

0c NUµ νΨ = + Ψ (4.27)

( ) ( )1

1 , ,

p qp

k k kpN

β λ λ ν ν− Λ = Λ = = =

L (4.28)

, T

k k k kλ ν −= =Fr F r (4.29)

あ µ N p U q 料定数 rk 方向あ Ψf ンワ

あ Ψc 絡合い拘束起因あ ⟨•⟩ 均化演算子

あ式う数値積求

( )1

1 m

k kS

k

v v A dA v wS =

= ≈ ∑∫ (4.30)

v 被積関数 S 球表面積 wk 係数あ数値積法 Bažant and

Oh (1986) 用 p = 2 U·q = 0 eight

chain 等価

test 1 結果 4.25 示 non–affine micro–sphere test 1 実験値良好

一致示い表 4.21 い料 U·q ≈ 0 あ tube-part Ψc 寄

くンワ Ψf 作用い

test 2 結果 4.26 示 SBR/CB10 良好予測結果得 SBR/CB15 20

純断一様軸引張応力過大予測い表 4.22 SBR/CB10

test 1 同様 U·q ≈ 0 い SBR/CB15 20 U·q ≈ 0

tube-part Ψc 影響含い以 non–affine micro–sphere

ンワ作用場合良い再現性示 tube-part

Ψc 作用多軸場予測精度

71

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.25 Results of performance evaluation (test 1): non–affine micro–sphere model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.26 Results of performance evaluation (test 2): non–affine micro–sphere model.


µ (MPa) N p U q

SBR/CB10 0.8522 5.219 2.376 9.675×10‒9

5.274×10‒8

SBR/CB15 1.155 4.380 2.442 1.374×10‒7

3.491×10‒9

SBR/CB20 1.560 3.387 2.646 1.904×10‒7

2.869×10‒8

Table 4.21 Material parameters (test 1): non–affine micro–sphere model.

µ (MPa) N p U q

SBR/CB10 0.9848 5.213 1.983 1.443×10‒9

2.090×10‒7

SBR/CB15 1.285×10‒2 4.488 3.847 6.066 7.177

SBR/CB20 6.347×10‒2 4.068 2.110 2.073 7.432

Table 4.22 Material parameters (test 2): non–affine micro–sphere model.

72

(e) Edwards–Vilgis

Edwards–Vilgis Edwards and Vilgis, 1986 ン考え入

子鎖絡合い表現あ子鎖伸効果

考慮い密度関数う表わ

( ) ( )

( )( ) ( ){ } ( )

2

1 2

12

1

2 23 32 2

12 21 11

11ln 1

2 1

1 11ln 1 ln 1

2 1 1

c B

i

s B i

i ii

IN k T I

I

N k T II

αα

α

η α ληλ α

α ηλ= =

− Ψ = + −

−

+ − + + + + −

− + ∑ ∑

(4.31)

NckBT α NskBT η 料定数あ第一ンワ

あ第一変 I1 関数い第ンあ主

伸長比λi 関数あ NckBT ンワ部断弾性係数 α 伸

効果表 NskBT ン部断弾性係数 η

ン尺度自度あ

test 1 2 結果 4.27 4.28 同定料定数表 4.23 4.24 示 Edwards–

Vilgis 全場合良好再現性示同定料定数注目 NskBT

微値ン寄いいえン

増加 NckBT α 大く傾向 NskBT 微値

あ η 値機能いい

73

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.27 Results of performance evaluation (test 1): Edwards–Vilgis model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)


Fig. 4.28 Results of performance evaluation (test 2): Edwards–Vilgis model.


N c k B T (MPa) α N s k B T (MPa) η

SBR/CB10 0.8396 0.1977 6.306×10‒16 0.8800

SBR/CB15 1.114 0.2219 6.466×10‒16 0.6545

SBR/CB20 1.667 0.2419 7.715×10‒16 0.6899

Table 4.23 Material parameters (test 1): Edwards–Vilgis model.

N c k B T (MPa) α N s k B T (MPa) η

SBR/CB10 0.9269 0.1870 1.353×10‒15 0.6328

SBR/CB15 1.228 0.2128 3.770×10‒15 0.8346

SBR/CB20 1.669 0.2505 6.796×10‒15 0.9488

Table 4.24 Material parameters (test 2): Edwards–Vilgis model.

74

(f) extended–tube

Heinrich and Kaliske(1997) 子鎖絡合い管模型模擬 tube

提案い extended–tube Kaliske and Heinrich, 1999 tube 伸

効果組込あ密度関数う表わ

( )( )( )

( )( ) ( )2

31 2

12 211

1 3 2ln 1 3 1

2 1 3

c e

i

i

IG GI

I

βδ

δ λδ β

−

=

− − Ψ = + − − + −

− − ∑ (4.32)

Gc δ Ge β 料定数あ式辺第一ンワ

あ第一変 I1 関数あ辺第 tube あ主伸長比λi 関数あ

δ = 0 tube 帰着 Gc ンワ

部断弾性係数 δ 伸効果表 Ge tube 部断弾性係数

β empirical fit parameter あ extended–tube Marckmann and Verron (2006)

研究い最優秀い

test 1 2 結果 4.29 4.30 同定料定数表 4.25 4.26 示 extended–

tube 全場合良好再現性示同定料定数注目 Ge

微値 tube 寄いン

料定数相関関係ン増加 Gc δ 大く

良好相関関係得い Ge 微値あ β 値

機能いい

75

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)

fitted fittedfitted

Fig. 4.29 Results of performance evaluation (test 1): extended–tube model.


1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

CB10 (experiment)

CB15 (experiment)

CB20 (experiment)

CB10 (model)

CB15 (model)

CB20 (model)

1 1.5 20

2

4

6

8

10

Stretch (-)

1 2 30

2

4

6

8

10

Stretch (-)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


Fig. 4.30 Results of performance evaluation (test 2): extended–tube model.


G c (MPa) δ G e (MPa) β

SBR/CB10 1.095 0.2101 1.586×10‒17 0.4778

SBR/CB15 1.574 0.2396 2.445×10‒16 0.4124

SBR/CB20 2.548 0.2652 5.588×10‒16 0.4155

Table 4.25 Material parameters (test 1): extended–tube model.

G c (MPa) δ G e (MPa) β

SBR/CB10 1.171 0.1973 4.507×10‒17 0.5783

SBR/CB15 1.680 0.2283 2.453×10‒15 0.5182

SBR/CB20 2.648 0.2766 5.485×10‒16 0.5131

Table 4.26 Material parameters (test 2): extended–tube model.

76

4.4 考察

本節 4.3 節行性能評価結果い考察 4.3 節性能評価

結果以基準表 4.27 示

(a) test 1

A: 全料全変形い実験結果精度く再現

B: 一部料変形除い実験結果精度く再現

C: 全料い再現可

(b) test 2

A: 全料い実験結果精度く予測

B: 一部料変形除い実験結果精度く予測

C: 全料い予測可

(c) test 3

A: test 1 同定全料定数ン相関関係良好

B: test 1 同定料定数一部ン相関関係良好あ

相関性無い或い機能いい料定数

C: ン料定数明確相関関係

表中 n.m.p. 料定数数あ

伸長比型 Ogden 除い良好再現性能示超弾性全第一

変やンワ支配的寄子鎖絡合い表現

や第変機能い一方 polynomial micro–sphere

い第変や絡合い作用条件純断一様軸引

張実験結果再現以回対象料変

形領域対関数第一変関数表超弾性

くンワ仮定超弾性適い考え

単軸引張試験結果料定数決定場合第変や絡合い

除外うい思わ

第変や絡合い要既報研究 Marckmann and Verron(2006)

Steinmann et al.(2012) Hossain and Steinmann(2012) 報告い結果あ

Marckmann and Verron(2006) 報告 extended–tube micro–sphere Ogden

優秀あい test 2 観点本研究

extended–tube 優秀予測性能示 micro–sphere Ogden 実験結

果予測既報研究本研究う相あ要因

緒言示う計測対象域いや軸試験計測方法い

挙

test 3 い考察物理論中逆 Langevin 関数用いい three

chain eight chain full network micro–sphere ン含増加

77

断弾性係数相当 µ 大く限界伸長比関連 N 減少

良好相関関係得子鎖絡合い入い micro–sphere

Edwards–Vilgis extended–tube 絡合い表現剛性表料定数微

値い絡合い料定数η β 値関係く絡合い機

能いいいえ Edwards–Vilgis extended–tube ン

ワン増加剛性相当 NckBT Gc 伸効

果表 α δ 増加いう良好相関性得

回調査料定数数最少く 3 種類性能評価全良い結果示

eight chain ン充 SBR 最適い考え

Table 4.27 Results of performance evaluations.

model n.m.p. test 1 test 2 test 3

Ogden (N =1) 2 B C C

Ogden (N =2) 4 A C C

Ogden (N =3) 6 A C C

Mooney–Rivlin 2 C C B

polynomial 5 A C B

Yeoh 3 A A B

Carroll 3 A A B

three chain 2 B B A

eight chain 2 A A A

full network 2 B B A

micro–sphere 5 A C B

Edwards–Vilgis 4 A A B

extended–tube 4 A A B

Phenomenological

model

Micro–mechanical

model

78

4.5 結言

本研究 CB 充異 SBR 料単軸純断一様軸引張試験行

い料試験結果主要超弾性構成則性能評価具体的以

3 い検討 test 1 単軸純断一様軸引張試験結果全

使用料定数同定再現性評価 test 2 単軸引張試験結果

料定数同定純断一様軸引張予測性能評価 test

3 料定数 CB 充相関関係い調査得知見以示

(1) test 1 い Ogden(N=1) Mooney–Rivlin three chain full network 以外

良好近似精度得

(2) test 2 高い予測精度示 Yeoh Carroll eight chain Edwards–Vilgis

extended–tube あ

(3) test 1 test 2 良好再現性示第変や tube part

slip-link part 非依あ第一変くン

ワ支配的あ第変や tube part 影響大い

場合再現予測精度

(4) 第一変やンワ支配的寄純

断や一様軸引張試験必要く単軸引張試験料定数同定

可能あ

(5) 以 CB 充 SBR 力学挙動表現料構成則第一変型

超弾性構成則特 eight chain 適い考え

本章記容 (c) 2015 Taylor & Francis Group, London, UK. 許可得使用

い

• Maeda, N., Fujikawa, M., Makabe, C., Yamabe, J., Kodama, Y. and Koishi, M., Performance

evaluation of various hyperelastic constitutive models of rubbers, Constitutive Models for

Rubber IX (2015), pp.271-277.

79

参考文献

1) Arruda, E. M. and Boyce, M. C., A three-dimensional constitutive model for the large

stretch behavior of rubber elastic materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solids,

Vol.41, No.2 (1993), pp.389-412.

2) Bažant, Z. P. and Oh, B. H., Efficient numerical integration on the surface of a sphere,

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol.66, No.1 (1986), pp.37-49.

3) Carroll, M. M., A strain energy function for vulcanized rubbers, Journal of Elasticity,

Vol.103, No.2 (2011), pp.173-187.

4) Cohen, A., A Padé approximant to the inverse Langevin function, Rheologica Acta, Vol.30,

No.3 (1991), pp.270-273.

5) Edwards, S. F. and Vilgis, Th., The effect of entanglements in rubber elasticity, Polymer,

Vol.27, No.4 (1986), pp.483-492.

6) Heinrich, G. and Kaliske, M., Theoretical and numerical formulation of a molecular based

constitutive tube-model of rubber elasticity, Computational and Theoretical Polymer

Science, Vol.7, No.3-4 (1997), pp.227-241.


知能学会論文 , Vol.16, No.1 (2001), pp.147-155.


Wiley.

9) Hoss, L. and Marczak, R. J., A new constitutive model for rubber-like materials,

Asociación Argentina de Mecánica Computacional, Vol.XXIX (2010), pp.2759-2773.




11) James, H. M. and Guth, E., Theory of the elastic properties of rubber, The Journal of

Chemical Physics, Vol.11, No.10 (1943), pp.455-481.

12) Kaliske, M. and Heinrich, G., An extended tube-model for rubber elasticity: statistical-

mechanical theory and finite element implementation, Rubber Chemistry and Technology,

Vol.72, No.4 (1999), pp.602-632.

13) Kawabata, S., Matsuda, M., Tei, K. and Kawai, H., Experimental survey of the strain

energy density function of isoprene rubber vulcanizate, Macromolecules, Vol.14, No.1

(1981), pp.154-162.

14) Marckmann, G. and Verron, E., Comparison of hyperelastic models for rubber-like

80

materials, Rubber Chemistry and Technology, Vol.79, No.5 (2006), pp.835-858.

15) Miehe, C., Göktepe, S. and Lulei, F., A micro-macro approach to rubber-like materials—

Part I: the non-affine micro-sphere model of rubber elasticity, Journal of the Mechanics and

Physics of Solids, Vol.52, No.11 (2004), pp.2617-2660.

16) Mooney, M., A theory of large elastic deformation, Journal of applied physics, Vol.11, No.9

(1940), pp.582-592.

17) Mott, P. H., Roland, C. M. and Hassan, S. E., Strains in an inflated rubber sheet, Rubber

Chemistry and Technology, Vol.76, No.2 (2003), pp.326-333.

18) Ogden, R. W., Large deformation isotropic elasticity – on the correlation of theory and

experiment for incompressible rubberlike solids, Proceedings of the Royal Society of

London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol.326, No.1567 (1972),

pp.565-584.

19) Rivlin, R. S., Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. IV. Further Developments

of the General Theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series

A: Mathematical and Physical Sciences, Vol.241, No.835 (1948), pp.379-397.

20) Rivlin, R. S. and Saunders, D. W., Large elastic deformations of isotropic materials. VII.

Experiments on the deformation of rubber, Philosophical Transactions of the Royal Society

of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences, Vol.243, No.865 (1951),

pp.251-288.

21) Seibert, D. J. and Schöche, N., Direct comparison of some recent rubber elasticity models,

Rubber Chemistry and Technology, Vol.73, No.2 (2000), pp.366-384.




23) Treloar, L. R. G., Stress-strain data for vulcanized rubber under various types of

deformation, Transactions of the Faraday Society, Vol.40 (1944), pp.59-70.

24) Wu, P. D. and van der Giessen, E., On improved 3-D non-Gaussian network models for

rubber elasticity, Mechanics Research Communications, Vol.19, No.5 (1992), pp.427-433.

25) Yeoh, O. H., Some forms of the strain energy function for rubber, Rubber Chemistry and


81

第 5 章微大変形動特性解析非線形粘弾性構成

則開発

5.1 緒言

や免振装置用いい業用料一般大変形

特性や衝撃吸性能着目利用多く動的繰返負荷使

用い料業用製品開発設計際強度や動特

性把握要あ繰返負荷料力学挙動変形や変形度

最大経験変形状態依変動非常複雑あ例え動的粘

弾性試験測定貯蔵弾性率微振幅振幅一

定あ大変形領域い振幅増大報告

現象 Payne 効果知い Payne, 1962 う複雑

料力学挙動数値ョン再現方法確立

未研究段階あ部多い現状あ

料動特性関微変形領域 0.1%以対象線形粘

弾性大変形領域 1%以対象非線形粘弾性

立研究多く業製品微大変形複雑変形

負荷統一的料構成則開発望い広範変形

域時間域包括的再現う料定数数膨大可能性あ例

え線形粘弾性解析対象時間領域数桁数 × 2 個料定数必

要 , 國尾, 1987 10 程度時間領域再現少

く 20 個料定数必要高精度解析料定数増

加料定数数多く同定困一般

料定数数少い方望い

本研究少い料微変形領域大変形領域粘弾

性挙動再現可能料構成則開発目的料試験ン

充ンン動特性計測結果開発料

構成則再現結果比較本効性検証

82

5.2 提案非線形粘弾性構成則

本節提案非線形粘弾性構成則い記 Bergström and Boyce(1998)

や Miehe and Göktepe(2005) Dal and Kaliske(2009) 報告基い 5.1 う子

鎖ワ考え料構造弾性変形架橋点結合

子鎖網目構造時間依変形自子鎖合わ表あ

例え応力和試験う変形え場合 5.2 う瞬間的自

子鎖変形時間経過和いく挙動

本研究提案非線形粘弾性構成則概要 5.3 示本 3

ワ構成ワ A 弾性変形子鎖網目構造対応

第 4 章研究ン充 SBR 効あ eight chain

Arruda and Boyce, 1993 用ワ B C 時間依自子

鎖対応 micro–sphere Miehe et al., 2004; Miehe and Göktepe, 2005 基

い定式化ワ B 微変形領域粘弾性挙動

ワ C 大変形領域粘弾性挙動表現あ

ワ B ワ C 制御ン関数開発

cross-links

free-chain

cross-linksfree-chain

cross-linked network

Fig. 5.1 Illustration of the micromechanical mechanism of viscoelasticity: (a) undeformed state

and (b) deformed state immediately after instantaneous loading.

(a) (b)

Fig. 5.2 Assumed one free chain motion under tensile loading state: (a) undeformed state, (b)

deformed state immediately after instantaneous loading, and (c) deformed and relax

state.

(a) (b) (c)

83

+=

Network A Network B Network C

nonlinearspring

fractionaldashpot nonlinear

dashpot

(a)

Fig. 5.3 Schematic representation of proposed model: (a) 1-dimensional rheological model, (b)

micromechanical representation, (c) eight chain model for equilibrium response, and

(d) micro–sphere model for time-dependent viscoelastic response.

(b) (c) (d)

84

5.2.1 ワ A eight chain

ワ A 料構成則第 4 章ン充 SBR 適い

確 eight chain 用 eight chain 関

数う表

( ) ( )( )

1

1 1

01ln ,

sinh 3

r

r r r

r

IN

N

λµ λ λ λ

λ

−−

−

Ψ = + + Ψ =

LL

L (5.1)

µ 断弾性係数 N 子鎖限界伸長比乗表料定数あ

L−1

(•) 逆ンン関数あ式近似 Cohen, 1991

( )2

1

2

3

1

xx x

x

− −≈

−L (5.2)

eight chain Kirchhoff 応力τ 式求

( )1 2

2

3

3 3

r r

r r

N

N

λ λµ µλ λ

− −= ≈

−τ b b

L (5.3)

b = FFT

Cauchy–Green 変形ンあ

5.2.2 ワ B 微変形用粘弾性

料 0.1% 以微変形領域力学解析線形粘弾性

一般使用い線形粘弾性単要素要素線形

要素線形要素直列組合わ一般化

一般用いい一般化広

い範時間周波数粘弾性挙動表現数十個要

素必要要素数多く料定数数増え

同定困一方非整数階微利用粘弾性提案い

粘弾性線形粘弾性比少い料数広い時間周波

数範粘弾性挙動再現報告い清水, 張, 2000

本微変形用粘弾性非整数階微型粘弾性使用

(i) 非整数階

非整数階微用い応力― 関係式く非

整数階 5.4 示う線形要素非整数階

直列組合わあ要素生応力 σs εs

要素生応力 σd εd 以う関係式得

85

s dσ σ σ= = (5.4)

s dε ε ε= + (5.5)

( )s s dE Eσ ε ε ε= = − (5.6)

[ ] dd d

d

dt

αα

α

εσ η ε η= =D (5.7)

σ ε 全体生応力あ E 弾性係数

η 粘性係数あ Dα[•] α階微表演算子あ式(5.6) (5.7) 式(5.4)

代入整理式う εd 発展式

[ ] ( )1d d

Z

α ε ε ε= −D (5.8)

Z = η/E 和時間あ式(5.8) う書換え

[ ]11d

d

d

dt Z

αεε ε−= −D (5.9)

式(5.9) 後退 Euler 法適用式(5.10) う現時刻 tn+1

εd(tn+1) 陽的求出過程付録 D 参照い

E

η，α

1

1

εs

εd

σs

σd

σ

σ

Fig. 5.4 Fractional maxwell model.

86

( ) ( )( ) ( )

( ){ }11

1 1 1

11

n

d n d n n n n

n

tt t t Q

Z t

α

αε ε εα

−++ + +

+

∆= + ∆ ⋅ ∆ +

⋅ Γ + + ∆ (5.10)

( ) ( ){ },

1 1 1

1

0 if 0

if 0

n

nn i d i

n i n i n

i i

t

Qt t t t t

t

α αε ε+ − +

=

=

= ∆ − ∆ − − − ≠ ∆

∑ (5.11)

Γ(•) ン関数あ ∆tn+1 = tn+1 − tn ∆εi = ε(ti) − ε(ti−1) ∆εd,i = εd(ti) − εd(ti−1)

あ式(5.10) 得 εd(tn+1) 式(5.6) 代入現時刻応力

σ(tn+1) 計算

(ii) micro–sphere 拡張

前節示非整数階微型粘弾性 micro–sphere Miehe et al., 2004;

Miehe and Göktepe, 2005 適用 micro–sphere 各子鎖伸長比λi

変形勾配ン F 方向 ri 用い式計算

i iλ = Fr (5.12)

付添 i 子鎖番示あ子鎖 Hencky

εi

( )lni iε λ= (5.13)

表う弾性変形成 εeli 非弾性変形成 εin

i 加算解

el in

i i iε ε ε= + (5.14)

非弾性 εini 発展方程式式(5.9)-(5.11) う表以う

1inin

1k

ii i

k

d

dt Z

αεε ε− = − D (5.15)

( ) ( )( ) ( )

( ){ }11

in 1 in 1 1

11

k

k

i i i in

n n n n n

k k n

tt t t Q

Z t

α

αε ε εα

−++ + +

+

∆= + ∆ ⋅ ∆ +

⋅ Γ + + ∆ (5.16)

( ) ( ){ }in ,

1 1 1

1

0 if 0

if 0k k

n

i ii nj jn

n j n j n

j j

t

Qt t t t t

t

α αε ε+ − +

=

=

∆ − ∆= − − − ≠ ∆

∑ (5.17)

Zk αk 料定数あ付添 k 要素番示

式(5.16) 現時刻非弾性 εini 求式子鎖

応力βki 計算

87

( )el in2 2i i i i

k k kc cβ ε ε ε= = − (5.18)

ck 弾性係数相当料定数あ 1 元応力βki

3 元 Kirchhoff 応力τk 変換式示数値積得

( )1

mi i i i

k k

i

wβ=

= ⊗∑τ t t (5.19)

ti = Fr

iw

i 係数あ数値積 Bažant and Oh (1986) 提

案 m = 21 用い

5.2.3 ワ C 大変形用粘弾性

数十% 大変形領域対象 micro–sphere 粘弾性構築

ワ C 定式化非弾性 εini 発展方程式除い前示

ワ B 同あ非弾性方程式発展方程

式示

ワ C 非弾性発展方程式 Rendek and Lion(2010) 提案

用

( )inin

1 iii ik k

k

d qd

dt Z

εε ε

+= − (5.20)

1i i

ik

k

k

dq dq

dt dt

ελ

= −

(5.21)

Zk dk λk 料定数あ qk 部変数あ式後退 Euler 法

散化現時刻非弾性 εini(tn+1) 以う求

( )( ){ }

( )( ){ }

( ){ }( )1

in 1 in 1

1 1

1

1 1

i

k k ni i ik

n n ni i

k k k n k k k n

d q t tZt t t

Z d q t t Z d q t tε ε ε

+

+ +

+ +

+ ∆= +

+ + ∆ + + ∆ (5.22)

( ) ( )1

ii ikk n k n

k k

t dq t q t

t t dt

λ ελ λ+

∆= +

+ ∆ + ∆ (5.23)

式(5.22) (5.23) 求 εini(tn+1) 用い式(5.18) (5.19) 計算

ワ C Kicrhhoff 応力求

5.2.4 ン関数

本節ワ B ワ C 替えン関数

い示本ン関数微変形時ワ C 寄

大変形時ワ B 寄う力学挙動制御あ

88

本ン関数 5.5 示 5.5 縦軸ン関数 h 横軸

最大経験 εimax あ εsmall εlarge 制御あン

関数 h 最大経験 εsmall 以微変形時 1 εlarge 以大変形時

0

本和時間表料定数 Zk ン関数制御具体的

ワ B Zk h 乗 Zk → h × Zk ワ C Zk (1 − h)

乗 Zk → (1 − h) × Zk う微変形時 h = 1 大変形用

ワ C 和時間大変形時 h = 0 微変形用ワ B 和時間

0 和時間 0 いう応力 0 秒完全和意味

う変形対応力生い

以提案非線形粘弾性微変形時ワ A

ワ B 働大変形時ワ A ワ C 働く

h

εimax

εsmall εlarge

Network A

Network B

+

0

1

Network A

Network C

+

switching function h (εimax)

Fig. 5.5 Switching function.

89

5.3 実験結果適用

本効性検証幾実験行い得実験結果対本

再現性確料 25 vol% ン充ン

ン SBR/CB25 使用

5.3.1 料試験

本研究行料試験い以示

(a) 動的粘弾性試験周波数依性

微変形領域貯蔵弾性率 E′ 損失弾性率 E″ 周波数依性調目的

振幅∆ε 0.1% 動的粘弾性試験行計測周波数 62.8 rad/s −35°C

70°C 5°C 毎貯蔵弾性率 E′ 損失弾性率 E″ 計測得実験結果

第 2 章提案手法用い曲線作成基準温度室温 25°C

(b) 動的粘弾性試験振幅依性

料振幅依性調振幅∆ε 0.1 1.0 5.0% 動的

粘弾性試験行計測周波数計測温度 1.96 rad/s 25°C 複

素弾性率 2 2E E E

∗ ′ ′′= + 計測

(c) 多段応力和試験

大変形領域応力和特性計測目的多段応力和試験行試験

25% 負荷後 300 s 保持 50% 負荷後 300 s 保持

25% 除荷 300 s 保持後 0% 除荷負荷

除荷過程度 1.3 × 10−2

/s 本試験入力時刻歴

5.7(a) 示

(d) 多軸場 1 試験

多軸場粘弾性特性計測目的単軸引張純断一様軸引張

1 引張試験行試験 2水準度 2.8 × 10−2

5.7 × 10−5

/s 実施実験方法第 3 章提案手法用

(e) 単軸引張試験

大変形領域粘弾性特性計測目的試験行本試験

均 20% 振幅 20% 10 繰返伸長行後均 30%

振幅 10% 10 繰返伸長行度 1.3 × 10−2

/s

90

5.3.2 提案再現性能評価

実験結果提案再現結果比較本効性評価

5.3.1 行実験結果基本料定数同定結果表 5.1 示

以降本再現結果表 5.1 料定数使用あ

(a) 動的粘弾性試験周波数依性

本振幅 0.1% 動的粘弾性試験再現結果 5.7 示

5.7 本広範周波数域実験結果良好一致示以本

微変形粘弾性特性再現可能あ確

(b) 動的粘弾性試験振幅依性

本動的粘弾性試験振幅依性再現性能い調査

5.8 5.3.1 (b) 実験結果本ョン結果比較あ

ョン複素弾性率 |E∗| 式求 Olsson and Austrell, 2003

Eσε

∗ ∆=

∆ (5.24)

∆ε 振幅あ ∆σ 応力振幅あ 5.8 本

振幅増大複素弾性率現象良く再現いいえ

(c) 多段応力和試験

多段応力和試験実験結果本再現結果比較 5.9 示

5.9 本大変形時応力和特性概再現可能あ確

0 200 400 600 800 10000

10

20

30

40

50

60

Time (s)

Nom

inal

str

ain (

%)

Fig. 5.6 Strain input in the multi-step stress relaxation test.

91

(d) 多軸場 1 試験

度 2.8 × 10−2

5.7 × 10−5

/s 単軸引張試験実験結果本

ョン結果比較 5.10 示度 2.8 × 10−2

/s 除荷時

度 5.7 × 10−5

/s 応力立領域実験値差異大く

傾向単軸引張変形全体的応力― 挙動概再現い

純断試験度 2.8 × 10−2

5.7 × 10−5

/s 実験結果本再現結果

5.11 示純断い単軸引張同様全体的応力― 挙動概

再現い度 2.8 × 10−2

/s 除荷時度 5.7 × 10−5

/s

応力立領域実験値差異大く傾向

度 2.8 × 10−2

5.7 × 10−5

/s 一様軸引張試験実験結果本

再現結果比較 5.12 示一様軸引張度い

負荷時応力― 挙動良く再現い除荷時実験値差異大

く傾向得

以多軸変形場応力― 挙動い応力立領域や

負荷除荷転領域再現性課題残定性的実験値良く再現

いいえ

(e) 単軸引張試験

単軸引張試験実験結果本再現結果 13 示

13 本単軸引張試験実験結果概再現い

確

以本 14 個料定数微変形大変形領域料

粘弾性ョン統一的行う可能あいえ

Network A µ = 1.02 (MPa) N = 1.86 (–)

c 1 = 9.44 × 102 (MPa) ， Z 1 = 5.31 × 10−

2 (s) ， α 1 = 0.085 (–)

c 2 = 5.84 × 103 (MPa) ， Z 2 = 8.05 × 10−

6 (s) ， α 2 = 0.504 (–)

Network C c 3 = 12.1 (MPa) ， Z 3 = 7.94 × 105 (s) ， d 3 = 1.19 × 10

7 (–) ， λ 3 = 21.4 (s)

Switching function ε small = 0.002 (–) ， ε large = 0.006 (–)

Network B

Table 5.1 Identified material parameters.

92

10-2 10-1 100 101 1020

10

20

30

40

Strain amplitude (%)

Ab

solu

te v

alu

e o

f co

mple

x m

od

ulu

s (M

Pa)

Experiment Simulation

10-2 100 102 104 106 108 1010100

101

102

103

104


Sto

rage a

nd l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

E' (exp) E'' (exp)

E' (sim) E'' (sim)

0 25 CT = °

Fig. 5.7 Experimental and simulated results of DMA under different frequencies.

0 200 400 600 800 10000

1

2

3

4

5

Time (s)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Fig. 5.9 Experimental and simulated results of multi-step stress relaxation test.

Fig. 5.8 Experimental and simulated results of DMA under different strain amplitudes.

93

0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al

stre

ss (

MP

a)


0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)


Fig. 5.10 Experimental and simulated results of 1-cycle uniaxial tensile tests (a) at a strain rate

of 2.8 × 10−2

/s and (b) at a strain rate of 5.7 × 10−5

/s.

(a) (b)

0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)


0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)


Fig. 5.11 Experimental and simulated results of 1-cycle pure shear tests (a) at a strain rate of 2.8

× 10−2


/s.

(a) (b)

0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)


0 20 40 600

2

4

6

Nominal strain (%)

No

min

al s

tres

s (M

Pa)


Fig. 5.12 Experimental and simulated results of 1-cycle equibiaxial tensile tests (a) at a strain

rate of 2.8 × 10−2


/s.

(a) (b)

94

0 20 40 600

1

2

3

4

5

Nominal strain (%)

Nom

inal

stre

ss (

MP

a)


Fig. 5.13 Experimental and simulated results of multi-cycle uniaxial tensile test with multi strain

amplitudes.

95

5.4 結言

本研究微変形大変形粘弾性挙動再現可能非線形粘弾性構成則構

築得知見以示

(1) 本時間非依弾性挙動 eight chain 表現時間依粘弾

性挙動 micro–sphere 粘弾性表現あ

(2) 粘弾性挙動 2 ワワ B ワ C 表

ワ B 微変形時ワ C 大変形時粘弾性挙動再

現

(3) ワ B ワ C ン関数寄率制御

わ微変形時ワ B 支配的大変形時

ワ C 支配的

(4) 本幾実験結果適用全実験結果対概良好

再現精度得確

(5) 後課題微変形大変形移領域粘弾性挙動再現性

検証料定数同定料試験検討多軸場粘弾性挙動予測可

能力学構築挙

本研究 Payne 効果ョン法開発焦点絞対象

料 SBR/CB25 Mullins 効果 Mullins, 1948 影響表い報告

い Yamabe et al., 2013 50%以領域検討行

96

参考文献

1) Arruda, E. M. and Boyce, M. C., A three-dimensional constitutive model for the large

stretch behavior of rubber elastic materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solids,

Vol.41, No.2 (1993), pp.389-412.

2) Bažant, Z. P. and Oh, B. H., Efficient numerical integration on the surface of a sphere,

Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol.66, No.1 (1986), pp.37-49.

3) Bergström, J. S. and Boyce, M. C., Constitutive modeling of the large strain time-

dependent behavior of elastomers, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol.46,

No.5 (1998), pp.931-954.

4) Cohen, A., A Padé approximant to the inverse Langevin function, Rheologica Acta, Vol.30,

No.3 (1991), pp.270-273.

5) Dal, H. and Kaliske, M., Bergström–Boyce model for nonlinear finite rubber

viscoelasticity: theoretical aspects and algorithmic treatment for the FE method,

Computational Mechanics, Vol.44, No.6 (2009), pp.809-823.


知能学会論文 , Vol.16, No.1 (2001), pp.147-155.


Wiley.

8) Miehe, C. and Göktepe, S., A micro–macro approach to rubber-like materials. Part II: The

micro-sphere model of finite rubber viscoelasticity, Journal of the Mechanics and Physics

of Solids, Vol.53, No.10 (2005), pp.2231-2258.

9) Miehe, C., Göktepe, S. and Lulei, F., A micro-macro approach to rubber-like materials—

Part I: the non-affine micro-sphere model of rubber elasticity, Journal of the Mechanics and

Physics of Solids, Vol.52, No.11 (2004), pp.2617-2660.

10) Mullins, L., Effect of stretching on the properties of rubber, Rubber Chemistry and


11) Olsson, A. K. and Austrell, P-E., Finite element analysis of a rubber bushing considering

rate and amplitude effects, Constitutive Models for Rubber III (2003), pp.133-140.

12) Payne, A. R., The dynamic properties of carbon black-loaded natural rubber vulcanizates.

Part I, Journal of Applied Polymer Science, Vol.6, No.19 (1962), pp.57-63.

13) Rendek, M. and Lion, A., Amplitude dependence of filler-reinforced rubber: Experiments,

constitutive modelling and FEM – Implementation, International Journal of Solids and

Structures, Vol.47, No.21 (2010), pp.2918-2936.

97

14) 清水信行, 張衛, 数階微記述粘弾性体限要素解析: 3

元構成方程式限要素方程式定式化 , 日本機械学会論文 C , Vol.66,

No.647 (2000), pp.2135-2142.

15) 久 , 國尾武, 粘弾性挙動特性係数 , 料 , Vol.6 (1987), pp.21–48.

16) Yamabe, J., Fujikawa, M., Kodama, Y. and Koishi, M., Experimental characterization of

cyclic stress–strain response and its modeling for filled SBR vulcanizates, Constitutive

Models for Rubber VIII (2013), pp.163-169.

98

第 6 章結論

本論文料数値ョン料試験方法や処

理方法料構成則い検討

第 2 章料微変形領域粘弾性特性表曲線算出方

法い検討本論文従来手法困あ周波数一定温度散

動的粘弾性試験結果曲線時間―温度換算則算出方法提案

幾料実験結果本法適用良好予測結果得

確

第 3 章料大変形特性計測軸引張試験提案本法

単軸引張試験矩形型試験片使用純断試験一様軸引張試験付

試験片使用あ付試験片半数値実験結果

基い決定本法効性い数値解析実験両面検証

高精度応力― 関係得可能あ示

第 4 章第 3 章提案軸引張試験正確計測応力―

関係用い主要超弾性構成則性能評価行具体的超弾性構成則実

験結果再現能力単軸場多軸場予測性能ン充

料定数相関関係 3 目い検証結果 Cauchy–Green ン第

一変関数表超弾性構成則優性能得対超弾性構

成則第変や絡合い要あ可能性示唆第一

変やンワ支配的寄純断や一様軸

引張試験必要く単軸引張試験料定数同定可能あ

性能評価結果ン充 SBR 最適い超弾性

eight chain あ

最後第 5 章微変形大変形時料粘弾性特性再現非線形粘

弾性構成則提案提案料超弾性挙動表ワ A 微

変形時粘弾性挙動表ワ B 大変形時粘弾性挙動表ワ C

構成ワ B C 全体力学挙動寄率

ン関数制御提案効性検証

ン充 SBR 料試験行提案微変形時

曲線再現可能あ大変形時粘弾性特性い概再現

提案使用広い変形度域変形領域

料粘弾性特性統一的ョン可能

99

付録

付録 A 前法藤他, 2013 マタ曲線算出方法

，前報藤他 , 2013 提案，周波数定温度散実験条件

得動的粘弾性試験結果マタ曲線予測方法い

式(2.9) ，線形粘弾性論貯蔵弾性率 E′(ω) 損失弾性率 E″(ω) 次式関係

有

( ) ( )( )20 2 2

4dE Ed

d

ω λ λωλ

ω π ω λ

∞′ ′′= −

−∫ (A.1)

，E″(ω) ω 対や変化仮定，次式得

( ) ( )2dEE

d

ωω

ω πω

′′′≃ (A.2)

前法，式(A.2) 関係式利用マタ曲線算出あ

前法計算手図 A.1 (a)～(e) 対応説明図 A.1 (a) (c)

動的粘弾性試験実験結果，(b) (d) 横軸換算周波数マタ曲線予測結果，

(e) 時間―温度換算因子予測結果図い，算出マタ曲

線計測最低温度 Tmin 基準温度 T0

(a) 動的粘弾性試験結果，温度 Ti 貯蔵弾性率損失弾性率 E′i，E″i

，計算 1 目，計測最低温度 Tmin Ti = Tmin

(b) E′i，E″i，ωi 用い，ωi+1 E′i+1 計算，ωi 基準温度 Tmin

換算周波数あ E′i+1 計算，式(A.2) 前方 Euler 法展開，

次式計算

1i i iE E E+′ ′ ′= + ∆ (A.3)

2i i i

i

E E ωπω

′ ′′∆ − ∆≃ (A.4)

，ωi+1 = ωi − ∆ωi = ωi − hωi い，h 微増量あ，本

論文，h = 0.01 統計算，計算 1 目 ωi = ωexp

(c) 動的粘弾性試験結果 E′i+1 見，損失弾性率温度

E″i+1，Ti+1 ，実験結果 E′(ωexp,T

exp) 離散タあ，必要

応線形補間探索

100

(d) ωi+1 E″i+1 ッ

(e) ωi+1，ωexp 比，αT0,i+1 計算

続い Ti+1 → Ti，ωi+1 → ωi 図 3(a) (e) 機械的繰返，最終的

図 3(d) マタ曲線，図 3(e) 時間―温度換算因子作成

，前法以 3 仮定設定い

1. 計測対象ゴ材料熱的単純あ

2. 動的粘弾性試験時ゴ材料応力関係線形粘弾性従う

3. 損失弾性率マタ曲線角周波数対や変化

101

,E E′ ′′

iE′

iE′′

T

iT

( )exp exp,E Tω′

( )exp exp,E Tω′′

,E E′ ′′

1iE +′

iE′′

ωi

ω1i

ω +

iE′

,E E′ ′′

1iE +′

iE′′

ωi

ω1iω +

iE′

1iE +′′

,E E′ ′′

iE′

iE′′

( )exp exp,E Tω′

( )exp exp,E Tω′′

T

iT 1i

T +

1iE +′′

1iE +′

( )0T

Tα

T

iT 1i

T +

0 ,T iα

0

exp

, 1 1T i iα ω ω+ +=

Fig. A.1 Calculation procedure of the previous method (Fujikawa et al., 2013).

(a) (b)

(c) (d)

(e)

102

付録 B 前報藤他, 2013 検討材料へ適用性

前報藤他, 2013 検討 2 種類ゴ材料 25 vol% ボンッ充

チンタンゴ SBR/CB25 ，20 vol% 充チン

タンゴ SBR/Silica20 本法適用前報 3･2 節同様検証行

結果図 B.1 示結果，材料対良好予測結果得

確認，前法本法得時間―温度換算因子正解値比較

図 B.2 示図 B.2 ，本法前法同等以計算精度有確認

10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rage

mod

ulu

s an

d l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

tanδ


E' (exact)


10-12 10-9 10-6 10-3 100 10310-1

100

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2


Sto

rage

mod

ulu

s an

d l

oss

mod

ulu

s (M

Pa)

tanδ


E' (exact)


E ′E′

E′′

tanδ tanδ

E′′

0 35 CT = − ° 0 35 CT = − °

Fig. B.1 Predictions of master curve by the proposed method.

(a) SBR/CB25 (b) SBR/Silica20

-40 -20 0 20 40 60 8010-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Temperature (℃)

Tim

e-te

mp

era

ture

sh

ift

facto

r (-


-40 -20 0 20 40 60 8010-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

Temperature (℃)

Tim

e-te

mp

era

ture

sh

ift

facto

r (-


Fig. B.2 Predictions of time-temperature shift factor by previous and proposed methods and the

exact time-temperature shift factor.

(a) SBR/CB25 (b) SBR/Silica20

103

付録 C 各超弾性構成則解析的公称応力―伸長比関係

，第 4 章用い超弾性，単軸引張，純断，様二軸引張時

公称応力―伸長比関係解析解示，超弾性非圧

縮変形仮定計算解出い

(a) Ogden

{ }1 2 1

1

k k

N

UT

k

k

Pα αµ λ λ− − −

=

= −∑ (C.1)

{ }1 1

1

k k

N

PS

k

k


=

= −∑ (C.2)

{ }1 2 1

1

k k

N

BT

k

k


=

= −∑ (C.3)

(b) Mooney–Rivlin

( ) ( )2 3

10 012 2 1UTP c cλ λ λ− −= − + − (C.4)

( )( )3

10 012PSP c c λ λ−= + − (C.5)

( ) ( )5 3 3

10 012 2BTP c cλ λ λ λ− −= − + − (C.6)

(c) polynomial (N = 2)

( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }( )

2

10 20 1 11 2

3

01 11 1 02 2

2 2 3 3

2 3 2 3 1

UTP c c I c I

c c I c I

λ λ

λ

−

−

= + − + − −

+ + − + − − (C.7)

( ) ( ) ( ) ( ){ }( )3

10 01 20 1 11 1 11 2 02 22 2 3 3 3 2 3PSP c c c I c I c I c I λ λ −= + + − + − + − + − − (C.8)

( ) ( ){ }( )( ) ( ){ }( )

5

10 20 1 11 2

3 3

01 11 1 02 2

2 2 3 3

2 3 2 3

BTP c c I c I

c c I c I

λ λ

λ λ

−

−

= + − + − −

+ + − + − − (C.9)

104

(d) Yeoh

( ) ( ){ }( )2 2

10 20 1 30 12 4 3 6 3UT

P c c I c I λ λ −= + − + − − (C.10)

( ) ( ){ }( )2 3

10 20 1 30 12 4 3 6 3PS

P c c I c I λ λ−= + − + − − (C.11)

( ) ( ){ }( )2 5

10 20 1 30 12 4 3 6 3BTP c c I c I λ λ−= + − + − − (C.12)

(e) Carroll

{ }( ) ( )3 2 1 2 3

1 22 8 1UTP A BI CIλ λ λ− − −= + − + − (C.13)

{ }( )3 1 2 3

1 22 8PSP A BI CI λ λ− −= + + − (C.14)

{ }( ) ( )3 5 1 2 3 3

1 22 8BTP A BI CIλ λ λ λ− − −= + − + − (C.15)

(f) three chain

2 12

2 1

3 3

3

UT N NP

N N

µ λ λλ λ

λ λ

−−

−

− −= − − −

(C.16)

2 23

2 2

3 3

3

PS N NP

N N

µ λ λλ λ

λ λ

−−

−

− −= − − −

(C.17)

2 45

2 4

3 3

3

BT N NP

N N

µ λ λλ λ

λ λ

−−

−

− −= − − −

(C.18)

(g) eight chain

( )21

1

9

3 3

UT N IP

N I

µλ λ−−

= −−

(C.19)

( )31

1

9

3 3

PS N IP

N I

µλ λ −−

= −−

(C.20)

( )51

1

9

3 3

BT N IP

N I

µλ λ −−

= −−

(C.21)

105

(h) full networkモル

( ) 3-chain 8-chain1UT UT UTP P Pρ ρ= − + (C.22)

( ) 3-chain 8-chain1PS PS PSP P Pρ ρ= − + (C.23)

( ) 3-chain 8-chain1BT BT BTP P Pρ ρ= − + (C.24)

ここで，P3-chain，P8-chain three chain モル，eight chain モル公称応力であ．

(i) non–affine micro–sphere モル

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

22 22 2 2

1 32

2 23 2

1 3

3

UT p p

k k k k

k

q

k k k k

k

NP w

N

NUq w

µ λ λ λ

µ λ ν

− − −

− −

− Λ = Λ ⋅ − ⋅ − Λ

− ⋅ − ⋅

∑

∑

r e r e

r e r e

(C.25)

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

22 22 3 2

1 32

2 23 2

1 3

3

PS p p

k k k k

k

q

k k k k

k

NP w

N

NUq w

µ λ λ λ

µ λ λ ν

− − −

− −

− Λ = Λ ⋅ − ⋅ − Λ

− ⋅ − ⋅

∑

∑

r e r e

r e r e

(C.26)

( ) ( ){ }( ) ( ){ }

22 22 5 2

1 32

2 23 3 2

1 3

3

BT p p

k k k k

k

q

k k k k

k

NP w

N

NUq w

µ λ λ λ

µ λ λ ν

− − −

− −

− Λ = Λ ⋅ − ⋅ − Λ

− ⋅ − ⋅

∑

∑

r e r e

r e r e

(C.27)

ここで，ei 固有ベクルであ．

(j) Edwards–Vilgis モル

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 22

2 22

11

2 22 23

22 2 2 2 22

11 1 1

2 22 32

22 2 21

11 1

1

11

1 1 1

1 1 1 1 11

1 1 1

1 1 11

UT

c B

a

s B

a a

a

s B

a a

P N k TII

N k TI I I

N k TI I

α αλ λ

αα

η α λα η αλ

α α ηλ ηλ αηλ

η α λαλ

α α ηληλ

−

=

−

−=

− = − − −−

+ − + + + − − − + + − +

+ − − +

− − + +

∑

∑2

1 2

11 1 I

η αηλ α−

+ −

+ −

(C.28)

106

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 23

2 22

11

2 22 23

22 2 2 2 22

11 1 1

2 22 33

22 2 22

11 1

1

11

1 1 1

1 1 1 1 11

1 1 1

1 1 11

PS

c B

a

s B

a a

a

s B

a a

P N k TII

N k TI I I

N k TI I

α αλ λ

αα

η α λα η αλ


η α λαλ

α α ηληλ

−

=

−

−=

− = − − −−

+ − + + + − − − + + − +

+ − − +

− − + +

∑

∑2

2 2

11 1 I

η αηλ α−

+ −

+ −

(C.29)

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

2 25

2 22

11

2 22 23

22 2 2 2 22

11 1 1

2 22 35

22 2 24

11 1

1

11

1 1 1

1 1 1 1 11

1 1 1

1 1 11

BT

c B

a

s B

a a

a

s B

a a

P N k TII

N k TI I I

N k TI I

α αλ λ

αα

η α λα η αλ


η α λαλ

α α ηληλ

−

=

−

−=

− = − − −−

+ − + + + − − − + + − +

+ − − +

− − + +

∑

∑2

4 2

11 1 I

η αηλ α−

+ −

+ −

(C.30)

(k) extended–tube

( )( ){ } ( ) ( )

2 22 2 1 1

2 22

11

21

1 31 3

UT e

c

GP G

II

β βδ δλ λ λ λ

δ βδ

− − − − − = − − + − − −− −

(C.31)

( )( ){ } ( ) ( )

2 23 1 1

2 22

11

21

1 31 3

PS e

c

GP G

II


δ βδ

− − − − − = − − + − − −− −

(C.32)

( )( ){ } ( ) ( )

2 25 2 1 1

2 22

11

21

1 31 3

BT e

c

GP G

II


δ βδ

− − − − − = − − + − − −− −

(C.33)

107

付録 D 非整数階微型マ非弾性発展方程式

本付録，第 5 章式(5.9) 式(5.10)，(5.11) 出過程示

，関数 f(t) α階微考え Riemann–Liouville 非整数階微次式

定義清水, 張, 2000

( )( )

( ) ( )0

1

1

tdf t t f d

dt

αα τ τ τα

−= ⋅ − Γ − ∫D (D.1)

，Γ(•) ンマ関数あ，0 < α < 1 あ

有限要素法時間方向離散化数値解析，被微関数 f(t) 解析対象

い全時間領域数式化い珍く，多く場合区的多直線近似

い有限要素法へ適用見据え，区的多直線表関数 f(t)

非整数階微い考え，インン間関数 f(t) 変化率定

仮定，次式成立

( ) ( ) ( )1 1

1 1

n n n

n n n

f t f tdf t f

dt t t t

+ +

+ +

− ∆≈ =

− ∆ (D.2)

，∆fn+1 = f(tn+1) − f(tn)，∆tn+1 = tn+1 − tn あ

時 tn+1 f(t) α階微，式(D.1)

[ ]( )

( ) ( )1

10

1

1

1

nt

n

n

df t f d

dt

αα τ τ τα

+ −

++

= ⋅ −Γ − ∫D (D.3)

式(D.3) 右辺積演算部積適用次式得

[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1

1 1

1 1

01

0

1

11

10

1

1 1

1 10

1

1

1 1 1

1 10

1 1 1

10

1 1

1

1

n

n

n

n

t

tn n

n

tn

n

n

t

n n

n

t t dfdf f d

dt d

t dfdf t d

dt d

dfdt f t d

dt d

τα α

α

τ

αα

α α

τ τ ττ τ

α α α τ

ττ τ

α α α τ

ττ τ

α α τ

+

+

+

+

=− −

+ +

+=

−−+

++

− −

+ ++

− − − = ⋅ + Γ − − −

= ⋅ + − Γ − − −

= ⋅ + −

− Γ −

=−

∫

∫

∫

D

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1

1 1

1

1

10

01

n

n

n

t

n nt

n

t

n

dfdt f t d

dt d

dft d

d

α α

α

ττ τ

α α τ

ττ τ

τ

+− −

+ ++

−

+

⋅ + −

Γ −

+ −

∫

∫

(D.4)

，正実数 x > 0 い Γ(x+1) = xΓ(x) 成立，

[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1

1 1

1

1

10

10

2

n

n

n

t

n nt

n

t

n

dfdf t f t d

dt d

dft d

d

α αα

α

ττ τ

α τ

ττ τ

τ

+− −

+ ++

−

+

= ⋅ + −

Γ −

+ −

∫

∫

D

(D.5)

108

，

( ) ( )1

10

1

nt

n n

n

dfdP t d

dt d

α ττ τ

τ−

++

= −∫ (D.6)

く Pn 過去 f(t) 履歴計算時 tn+1 関数あ解析 1 イン

ン目 tn = 0 Pn = 0 あ解析 2 インン目以降 tn ≠ 0

，式(D.6) 式(D.2) 代入，整理

( )

( ) ( )

( ) ( ){ }

1

1

1

11

2 2

1 1 1

11

1 1

1 1 1

1

2 2

i

i

n ti

n nt

in i

nn i n ii

in i

ni

n i n i

i i

fdP t d

dt t

t t t tfd

dt t

ft t t t

t

α

α α

α α

τ τ

α α

−

−

+=+

− −

+ + −

=+

− −

+ + −=

∆= − ∆

− − − −∆ = − ∆ − −

∆= − − + − ∆

∑ ∫

∑

∑

(D.7)

，Pn 以う

( ) ( ){ }1 1

1 1 1

1

0 if 0

if 0

n

nn i

n i n i n

i i

t

P ft t t t t

t

α α− −

+ + −=

=

= ∆− − + − ≠ ∆

∑ (D.8)

式(D.5) Pn 用い次う表

[ ]( )

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1

1

11 0

2

n

n

t

n n nt

n

dfdf t f t d P

dt d

α αα τα τ τ

α τ+− −

+ ++

= − + − +

Γ − ∫D (D.9)

式(D.9) 式(D.2) 代入，整理次式得

[ ]( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

1 11

1 1

1 1

2

111

1 1

11

1 1

1

1

11 0

2

11 0

2 2

11 0

2

11

2

n

n

tn

n n nt

n n

n nnn n

n n

n

n n n n

n

n

fdf t f t d P

dt t

t tfdt f P

dt t

ft f t t P

t

t

α αα

αα

α α

α τ τα

αα α

αα

αα

+− −++ +

+ +

−− ++

++ +

− −++ +

+

−

+

∆= − + − +

Γ − ∆

−∆ = − + ⋅ +

Γ − ∆ −

∆= − + − + Γ − ∆

= −Γ −

∫D

( ) ( )1 10

n n nf f t P

α α−+ +

+ ∆ ∆ +

(D.10)

以い非整数階微算出式基い，式(5.9) 式(5.10)，(5.11) く式

(5.9) 再掲，

[ ]11d

d

d

dt Z

αεε ε−= −D (D.11)

109

あ，次式う書換え

[ ] [ ]1 11 1d

d

d

dt Z Z

α αεε ε− −= −D D (D.12)

式(D.12) 後 Euler 法適用，

( ) ( ), 1 1 1

1 1

1

1 1d n

n d n

n

t tt Z Z

α αεε ε+ − −

+ ++

∆ = − ∆

D D (D.13)

，∆tn+1 = tn+1 − tn，∆εd,n+1 = εd(tn+1) − εd(tn) あ式(D.13) 右辺第，

式(D.10) 式(D.8) 次う

[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 1

10

1n n n nt t P

α αα ε α ε ε εα

− −

+ + + = + ∆ ∆ + Γ +

D (D.14)

( )( ) ( ){ }1 1 1

1

0 if 0

if 0

n

nn i

n i n i n

i i

t

Pt t t t t

t

α αε ε+ + −

=

=

= ∆− − + − ≠ ∆

∑ (D.15)

，∆εi = ε(ti) − ε(ti−1) あ同様，式(D.13) 右辺第二

[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 , 1 1

10

1d n d d n n n dt t P

α αα ε α ε ε εα

− −

+ + + = + ∆ ∆ + Γ +

D (D.16)

( )( ) ( ){ },

1 1 1

1

0 if 0

if 0

n

nn d d i

n i n i n

i i

t

Pt t t t t

t

α αε ε+ + −

=

=

= ∆ − − + − ≠ ∆

∑ (D.17)

時 t = 0 いい発生いい，わ ε(0) = 0，εd(0) = 0

仮定，式(D.14) 式(D.16) 以う

[ ]( )

( ) ( )1

1 1

1

1n n nt P

αα ε ε εα

−

+ + = ∆ ∆ + Γ +

D (D.18)

[ ]( )

( ) ( )1

, 1 1

1

1d d n n n dt P

αα ε ε εα

−

+ + = ∆ ∆ + Γ +

D (D.19)

式(D.13) 式(D.18)，(D.19) 代入，

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1

1 1 , 1 1

1

1

1

d n

n n n d n n n d

n

t P t Pt Z

α αεε ε ε ε

α− −+

+ + + ++

∆ = ∆ ∆ + − ∆ ∆ − ∆ ⋅ Γ + (D.20)

∆εd,n+1 い整理以う

( ) ( )( ) ( ) ( )11

, 1 1 1

11

n

d n n n n n d

n

tt P P

Z t

α

αε ε ε εα

−++ + +

+

∆ ∆ = ∆ ∆ + − ⋅ Γ + + ∆ (D.21)

110

∆εd,n+1 = εd(tn+1) − εd(tn) あ，εd(tn+1) い整理す，

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )111 1 1

11

nd n d n n n n n d

n

tt t t P P

Z t

α

αε ε ε ε εα

−++ + +

+

∆ = + ∆ ∆ + − ⋅ Γ + + ∆ (D.22)

，Qn = Pn(ε) − Pn(εd) く，式(D.22) 次式う表す，式

(5.10)，(5.11)

( ) ( )( ) ( )

( ) 111 1 1

11

nd n d n n n n

n

tt t t Q

Z t

α

αε ε εα

−++ + +

+

∆ = + ∆ ∆ + ⋅ Γ + + ∆ (D.23)

( ) ( ){ },

1 1 1

1

0 if 0

if 0

n

nni d i

n i n i n

i i

t

Qt t t t t

t

α αε ε+ − +

=

=

= ∆ − ∆ − − − ≠ ∆

∑ (D.24)

111

参考文献

1) 藤正毅 , 前田成人 , 真壁朝敏 , 児玉勇司 , 石正隆 , 周波数定温度散動的

粘弾性試験結果ゴムマスター曲線を予測す方法 , 日本機械学会論文集 A編 ,

Vol.79, No.805 (2013), pp.1354–1365.

2) 清水信行, 張衛, 数階微オペータ記述粘弾性体有限要素解析: 3 次

元構成方程式有限要素方程式定式化 , 日本機械学会論文集 C 編 , Vol.66,

No.647 (2000), pp.2135-2142.

112

謝辞

本論文を書終えあ，私を支え方々感謝申します

大学院博士後期課程い指教員をしいまし琉球大学工学部機械シス

ム工学科宮﨑達二郎先生，本論文作成際し，終始寧指鞭撻を

賜まし深く感謝申します

琉球大学工学部機械シスム工学科真壁朝敏先生，学部生温く見守

い，多く激励をいいましま，博士論文副査を引受，

有益助言をいまし心御礼申します

琉球大学工学部環境建設工学科松原仁先生，副査し博士論文を審査しい

，貴重助言をいまし深く感謝申します

学部 4 年次び大学院博士前期課程い指教員をしいまし琉球大学

工学部機械シスム工学科藤正毅先生，ゴム材料力学，数値計算奥深や研

究面白，懇寧教授い，非常有益研究生活を送ま

しま，学会へ参加す機会を多く設，非常有益経験を得

まし心感謝申します

九大学水素エネギー国際研究センター山辺純郎先生，研究や論文作成関

す多く助言指を賜ましま，本研究をまあ，貴重実験

ータを提供いまし深く御礼申します

横浜ゴム株式会社石正隆様，本研究を行うあ，非常貴重助言

び，多く激励をいましま，私就職活動まし，大変力添え

を賜まし心感謝申します

材料力学研究室皆様，日多く刺激や示唆を，有意義学生生活を送

まし心感謝いします

最後，学生生活世話全方々，心感謝申します

工業用ゴム材料の非線形粘弾性シミュレーションに...

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