CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick,...
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CF355
Física Moderna
Prof. Dante Mosca
Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355
Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica.
PROGRAMA
EMENTA
Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos
atômicos. Equação de Schrödinger.
PROGRAMA DE ENSINO
O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos.
O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton.
Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.
Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo.
Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade.
Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos.
Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência.
Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan.
Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares.
Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza.
Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio.
Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador
Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas)
1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13
2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data 13/11/13
3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data 13/12/13
Exame Final: sobre todo o conteúdo das unidades : Dia 181213
O Núcleo AtômicoO Núcleo Atômico
O Modelo de ThomsonO Modelo de Thomson
Experimento de Rutherford/Geiger-Experimento de Rutherford/Geiger-MarsdenMarsden
Espalhamento de RutherfordEspalhamento de Rutherford
RBS, Quarks, Hadrons ... RBS, Quarks, Hadrons ...
““Pudim de ameixas” de Pudim de ameixas” de ThomsonThomson
Ernest Rutherford (1871-Ernest Rutherford (1871-1937)1937)
Geiger e RutherfordGeiger e Rutherford
Geiger e MarsdenGeiger e Marsden
O que são partículas O que são partículas ? ?
O experimento ...O experimento ...
Detecção de partículas Detecção de partículas ? ?
Qual seria o resultado Qual seria o resultado esperado?esperado?
Proposta de Rutherford ...Proposta de Rutherford ...
Definindo o parâmetro de Definindo o parâmetro de impactoimpacto
O cálculo de Rutherford O cálculo de Rutherford para a relação entre b e para a relação entre b e
2cot
.4
..2
0
221
ovm
eZZb
Estime a distância mínima Estime a distância mínima entre entre e núcleo e núcleo
Dados:Dados:
EEcc=5 MeV=5 MeV
ZZ11=2=2
ZZ22=79=79
=45=45oo
ee22/4/400=1,440 =1,440 eV.nmeV.nm
Secção de choque totalSecção de choque total
tneNN
dtnNdN..
0
...
O que Geiger & Marsden medem O que Geiger & Marsden medem não é a secção de choque total !não é a secção de choque total !
Cada parâmetro de impacto Cada parâmetro de impacto corresponde uma secção de choque corresponde uma secção de choque
diferentediferente
Um anel de área 2Um anel de área 2b.db b.db espalha partículas sobre uma espalha partículas sobre uma “cinta” entre “cinta” entre e e -d-d com com
simetria axial.simetria axial.
Secção de choque Secção de choque diferencialdiferencial
O número de partículas espalhadas que chega ao detector depende: do número de partículas do feixe, do número de espalhadores no alvo, do volume irradiado, da secção de choque diferencial e da área do detector (ângulo sólido!)
d
dtNnN
d
dnV
A
NN
O cálculo ...O cálculo ...
O resultado de Rutherford O resultado de Rutherford para a secção de choque para a secção de choque
diferencialdiferencial
mMmMm
Mm
verdadeNa
vm
ZZ
d
d
.
:
2sen
1
4
.
4
1
4
2
200
21
Resultados experimentaisResultados experimentais
Desvio do resultado de Desvio do resultado de Rutherford para Rutherford para ´́s de de
alta energiaalta energia
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/rutsca3.html#c4
Eisberg, R. M. and Porter, C. E., Rev. Mod. Phys. 33, 190 (1961)
Aplicação moderna:Aplicação moderna:Rutherford Backscattering - RBSRutherford Backscattering - RBS
Um problema ...A Eletrodinâmica prevê irradiação da energia e colapso do átomo !!!!
Núcleo atômicoNúcleo atômicoO “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919O “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930
O neutrino, W. Pauli, 1931O neutrino, W. Pauli, 1931O neutron, J. Chadwick, 1932O neutron, J. Chadwick, 1932
Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch, Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch,
19381938A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942
A Física de Partículas ... A Física de Partículas ...
J. Chadwick, 1932
O Neutron
Quarksparticulas de matéria fundamentais constituintes de prótons e neutrons e outros hadrons
Hadrons n
léptons (elementares)
partículas mésons hádrons (quarks) bárions
Categorias de Partículas
0, 1, 2, 3, … (bósons) s = 1/2, 3/2, 5/2, ... (férmions)
(spin)
L = s h
6 leptons:
* electron, electron neutrino
* muon, muon neutrino
* tau, tau neutrino
6 quarks:
* d (down), u (up)
* s (strange), c (charm)
* b (bottom), t (top)
4 intermediate vector bosons: * gluon (nuclear force)
* photon (electromagnetic force)
* W and Z bosons (weak force)
bóson Higgs
O Átomo de Hidrogênio
N. Bohr
(nm)
Ef - Ei = hf Ei - Ef = hf
Teoria Clássica do Bohr:
Postulado:
ou
Raio de Bohr
Fórmula de Rydberg
Lei de Moseley
efeito de blindagem
constante de Rydberg:
Fórmula de Balmer:
Espectro de átomo de Hidrogênio
Teoria de Schrödinger da
Mecânica Quântica
Partículas elementares agem como se certos
aspectos de seu comportamento fossem
governados por uma onda de de Broglie ou
função de onda.
Schrödinger, 1925
1933 Nobel Laureates in Physics
Erwin Schrödinger
1887-1961
Paul A. M. Dirac 1902-1984
Equação de Schrödinger :
equação que controla o comportamento da função de
onda e a relação entre esse comportamento e o
comportamento da partícula.
Construção heurística:
- definição clássica para a energia total, i. e., E = p2/2m + V
- hipóteses de de Broglie são verdadeiras:
= h/p e = E/h ( K = 2/ e = 2)
- a função de onda tem a forma:
(x,t) = (Kx - t)
tal que x e t são finitas e continuas.
Caso de uma partícula livre num espaço unidimensional: sendo p = ħK e E = ħ então ħ 2 K2/2m + V(x,t) = ħ logo 2x2 + V = t
tal que ħ2/2m e i ħ
Postulando operadores:
p - i ħ
E i ħ t a validade dessas associações não tem restrição !
Equação da função de onda
ħ2/2m) 2x2 + V = i ħ t
mas qual a interpretação para a função de onda uma vez que inclusive é complexa ?
Max Born, 1926
P(x,t) = (x,t) (x,t)
1882 -1970
é a densidade de probabilidade de que a partícula seja encontrada próxima a coordenada x no instante t.
Portanto
P(x,t)dx = (x,t) (x,t)dx
é a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.
Filosofia :
Previsões da Mecânica Quântica são intrinsecamente estatísticas e
a Física é por natureza indeterminada.
Cabe-nos obter valores esperados
Se f(r,p,t) é uma grandeza dinâmica de uma partícula
associada a função de onda (r,t), então o seu valor esperado f é dado por:
f = (r,t) fop(r, -i ħ r, t) (r,t) d3r
onde fop é um operador obtido por substituição em f da
relação p -i ħ r.
O átomo de Hidrogênio
• Proposição do problema• Solucionando a Equação de
Schrödinger• Funções de onda• Probabilidades• Números quânticos• Níveis de energia
Proposição do problema
Não há modo de separar as
variáveis utilizando
coordenadas cartesianas!!
21
222
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
2
zyx
Ze
zyxm
centralpotencialr
ZerV
rrrVrm
ħ2
ħ2
Coordenadas esféricas polares
cos
sensen
cossen
rz
ry
rx
Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio
em coordenadas esféricas polares
Sempre que o potencial V é função apenas de r, é possível separar as variáveis e a Equação de Schrödinger em três equações diferenciais
ordinárias !
simétriconteesfericamecentralpotencialrRr
rrr
Zer
r
r
rr
rr
rrm
,,
,,,,,,
sen
1,,sen
sen
1,,1
2
2
2
2
2222
2
2ħ2
Rearranjando a Equação de Schrödinger
A separação de variáveis leva à primeira separação da equação!
rVrm
d
d
d
d
dr
rdRr
dr
d
rRd
d
rrr
Zer
r
r
rr
rr
rrm
222
22
2
2
2
2
2
2222
2
2
sen2
sensensen1
,,,,,,
sen
1,,sen
sen
1,,1
2
ħ2
ħ2
A equação azimutal
Espertamente se propõe que a constante de separação seja igual a m2
o que leva a :
22
22
2
21m
d
dm
d
d
solucionando...
Nasce o primeiro número quântico do átomo de hidrogênio (Qualquer potencial central tem esta característica!!)
da equação azimutal:
m : o número quântico magnético
,....3,2,1,0
2020
m
ee
e
imim
im
voltando à equação em r e ...
Temos agora duas equações separadas para r e : a equação radial e a equação da
colatitude (também chamada de polar !!)
22
22
2
2
2
2
2
22
21
sensen
sen
1
:
sensen
1
sen
21
r
rRrRrV
m
dr
rdRr
dr
d
r
e
m
d
d
d
d
Logo
d
d
d
dmrV
mr
dr
rdRr
dr
d
rR
ħ2
ħ2
Fica para a Quântica I a solução desta equação
Surge da equação em o segundo número quântico do átomo de hidrogênio(novamente, esta solução é válida para
qualquer potencial central):
l : o número quântico orbital !!
LegendredeassociadasFunções
mmmlll
ml
cos
,...2,1,1
,
voltando à equação radial ...
Esta equação leva ao último número quântico do átomo de hidrogênio:
n = l+1, l+2,l+3,... o número quântico principal !!!
As soluções da autofunções radiais são as Funções associadas de Laguerre!
0211
:
21
222
2
222
2
rRrVm
r
ll
dr
rdRr
dr
d
r
Vem
r
rRrRrV
m
dr
rdRr
dr
d
r
ħ2
ħ2
Resumindo...
• n o número quântico principal leva a:
• l, o número quântico orbital, tem valores:
• m, o número quântico magnético, por conseqüência, assume valores:
1,...3,2,1,0 nl
llllm ,1,...,0,...1,
,...4,3,2,12 22
42
nn
emZn 2ħ2
Resumindo e reinterpretando
• Números quânticos: n,l,m
• níveis de energia
• momento angular: s,p,d,f,...
• componente z do L
,...4,3,2,12
1
0
22
2
n
a
eZ
nn
lmmLz ,...,2,1,0
,...4,3,2,1,01 22 lllL
ħ2
ħ
Resumindo
iar
ar
ar
ar
eea
r
a
ea
r
a
ea
r
a
ea
rRmln
2
1sen
2
3
23
1112
2
1cos2
323
1012
2
1
2
12
2
1002
2
1
2
12001
0
0
0
0
2
023
0
2
023
0
2
023
0
23
0
Qual será a probabilidade de encontrar um elétron dentro de uma casca esférica de raio r e espessura dr?
É a probabilidade por unidade de comprimento de observação do elétron a uma distância r da origem,
independente de e !!
radialdensidadefunçãoouradialãodistribuiçdefunçãorrrP
drrrdrrP
22
22
4
4
Autofunções radiais: 1s, 2s, 3s
Orbital 1s
Autofunções radiais: 2p, 3p, 3d
Orbitais 2s e 2p
Orbitais 3d
Configurações : m = -2, -1, 0, 1, 2
Orbitais 4f
Configurações : m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Funções complexas e funções reais
Funções reais: particularmente convenientes em aplicações químicas. Muito usadas!! Conseqüência do fato de que as
funções reais tem comportamento cartesiano, muito adequadas para descrever ligações químicas.
Funções complexas: importantes quando o elétron sofre a ação de campo magnético!
m
ou
m
ee
Fazemos
me
imim
im
sen
cos
:
,...2,1,0
Densidade de probabilidade
para as autofunções
l = 2 e l = 6
Comparando função,
densidade de probabilidade e densidade
de probabilidade
radial:
Estado 1s
Isso não faz parecer o problema de um elétron numa caixa de potencial uma brincadeira !
E qual é afinal a contribuição das equações de Maxwell ?
Visualizando os orbitais pela internet
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html - c2
Partícula livre
ħ2/2m) 2 + V(r,t) = i ħ t
Sendo V(r,t) = 0 e adotando iħ t E
então ħ2/2m) 2 = E
(Kr - t) = ei(Kr - t) = e iKr e- it
ħ2/2m) 2 e iKr = E e iKr
... solucionando para E
Auto-função :
(x) = A sen Kx + B cos Kx
A e B são contantes arbitrárias
Função de onda :
(x,t) = [A sen Kx + B cos Kx] e-iEt/ħ
... solução mais geral
P(x,t) dx = (x,t)(x,t) dx = 1
... normalização
ondadeFunção
eDeCetx
Autofunção
DeCex
tiikxikx
ikxikx
,
ħ
Porque alguém se preocuparia com poços de potencial na Física?
MOTIVAÇÃO
x
Poços e Barreiras
Equação de Schrödinger
Um pouco de matemática ...
Solução geral da equação de Schrödinger :
Operador & autovalor :
=
Valor esperado :
=
=
=
a
Ex.: Partícula numa caixa
0 ax
Ex. : Degrau de potencial
Caso 1
E
Para x < 0
Para x > 0
Condições de contorno :
Solução geral para E < Vo
x
Caso 2 E > Vo
E
Para x < 0
Para x > 0
Condições de contorno :
Para T ( coeficiente de Transmissão ) R ( coeficiente de Reflexão ) I (coeficiente do fluxo Incidente)
R + T = 1
x
Ex. Oscilador harmônico simples
V(x)
x
=
=
=
=
Equação de Hermite
1a derivada 2a derivada
Polinômios de Hermite :
Função Hipergeométrica confluente :
=
=
Enfim, Solução final :
n = 0, 1, 2, 3, ...
= 2f
Energia de ponto zero: Princípio de Incerteza
FIM