CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL
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CEROS DE UNA FUNCIÓN
POLINOMIALDIVISIÓN SINTÉTICA
TEOREMA DEL RESIDUOTEOREMA DEL FACTOR
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OBJETIVOS• Definir el teorema del residuo.• Utilizar el teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.• Definir el teorema del factor.• Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio. • Definir el Teorema fundamental del álgebra.• Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste
tiene (teorema de los “n” ceros).• Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir
del teorema de raíces racionales.• Definir el teorema de los ceros complejos.• Determinar una función polinomial a partir de sus ceros. • Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.
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CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL• Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a
los que se llaman raíces del polinomio y se representan de la forma • Estos puntos tienen coordenadas para cada una delas raíces reales
del polinomio. Y se les llama ceros de la función.• La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales. • La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión.
(También llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)
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• 1.- FactorizaciónEncuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).
Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1
¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.
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REPETICIÓN DE CEROS
• El factor indica una intersección del eje x,en x = a.• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x
en x = a• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo
atraviesa.
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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)
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• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:
Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)
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¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?
• 2.- División sintética (Teorema del factor)Suponga que tiene la gráfica de la función:
Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x). Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:
f (x) = (x-2) q (x)
Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.
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ALGORÍTMO DE LA DIVISIÓN
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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINÓMIOS
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DIVISIÓN SINTÉTICA
• De la división podemos concluir que:
Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:
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DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)
• Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:• Divide el polinomio , podemos usar el siguiente patrón:
Coeficientes de la función
residuoCoeficientes de la función resultante
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• EJEMPLO: Divide
Dividendo: Divisor: x+3
Residuo
Coeficientes del nuevo polinomio
Al final tenemos que:
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EJERCICIOS
•
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TEOREMA DEL RESIDUO
EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio se divide entre
el residuo “r” es igual a
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• Determine el residuo de
Y demostrar que f(5) = residuo
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• Ejercicios propuestos:1) Determine el residuo de
Y demostrar que f(1)= residuo2) Determine el residuo de
Y demostrar que f(1) = residuo3) Determine el residuo de
Y demostrar que f(2) = residuo
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TEOREMA DEL FACTOR
• El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor
si y solo si k es una raíz de , es decir
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TEOREMA DEL FACTOR
• Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:
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• EJERCICIOS PROPUESTOS:Demuestre por medio del teorema del factor que el binomio es un factor del polinomio.