Centroides y Momentos de Área.

7/25/2019 Centroides y Momentos de rea.

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ESTTICA (11001)UNIDAD 6

CENTROIDES Y MOMENTOS DE REA

I.C.E. Osman Carrillo SotoUniversidad Rafael Landvar

Al llegar al anlisis de deformacin

ocasionado en todo elemento

sometido a fuerzas internas,

observaremos que siempre hay dos

tipos de propiedad que definen la

magnitud de las deformaciones. La

primera se debe al tipo de material

(acero, aluminio, madera, etc.), la

cual es cuantificada mediante

propiedades medidas en laboratorio

al anlisis la relacin fuerzas

aplicadas y deformacin. La segunda

se debe a la geometra del elemento

y es definida por el ingeniero

diseador.

Cuando fue expuesto a

conocimientos introductorios de

comportamiento de materiales (Fsica

II en la URL) muy probablemente

aprendi sobre el Mdulo de Young.

La utilizacin de dicho mdulo para

definir deformaciones no bastaba, es

ms muy probablemente recuerda la

siguiente relacin:

==

En dicha ecuacin representa el

cambio en longitud debido a una

fuerza axial P aplicada sobre un

elemento recto con longitud no

deformada equivalente a L. La

relacin entre y L es conocida como

deformacin unitaria y representa la

razn de cambio de longitud con

respecto a la longitud inicial. Note que

si aumentamos P entonces tambin

aumentaba.

Por otro lado la magnitud de la

deformacin es inversa a las

propiedades de material definidas por

el mdulo de Young (E) y el rea

transversal del elemento (A). Alescoger materiales ms rgidos

(mayor E) o bien con mayor rea

transversal la deformacin unitaria

ser reducida para un mismo nivel de

carga P.

Esto ejemplifica como para dicho

caso de carga un parmetro

geomtrico es necesario para medir

el impacto de la carga aplicada sobrela forma del elemento.

En el captulo 5 aprendimos que hay

distintos tipos de fuerza o carga

interna aplicada, cada tipo de carga

tambin generar deformaciones en

el elemento y para medirlas un

parmetro que cuantifique la seccin

utilizada ser necesario. En el caso

de los momentos flexionantes otorsores (el anlisis de torsin

corresponde a cursos posteriores) los

parmetros requeridos son los

momentos de inercia a ejes y

momentos de inercia polares medidos

con respecto a los ejes centroidales.


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En este captulo aprenderemos a

calcular dichas cantidades para uso

posterior en el anlisis de

deformacin de elementos.

6.1 El primer momento de rea ylas coordenadas centroidales

Tome como referencia la figura 6.1,

en ella una figura clsica para la

deduccin de propiedades en

elementos utilizados en ingeniera

(conocida como la papa mecnica)

muestra dos sistemas de

coordenadas. El primero es un

sistema de coordenadas globales(xg,yg) cuyo origen puede ser

seleccionado arbitrariamente como

cualquier punto en el plano.

Figura 6.1. Seccin transversal arbitraria con

indicacin de sus ejes centroidales con

respecto al origen global.

El segundo conjunto de ejes est

ubicado en la coordenada centroidal

de la seccin, su posicin estmedida mediante las distancias xc

entre yg-y, o bien yc entre xg-x.

Claramente xc y yc tambin son

medidas arbitrarias al depender la

posicin donde se ubica el eje de

coordenadas globales en el plano.

La coordenada centroidal representa

el punto donde una nica fuerza

puede sustituir el efecto de una cargadistribuida. Para nuestro inters dicha

carga ser dada como peso que cada

partcula (que es parte de la placa)

posee.

En base a lo anterior el concepto de

traslacin de fuerzas es aplicado para

la determinacin de la coordenada

centroidal.

Figura 6.2. Seccin transversal colocada de

manera horizontal. Note la direccin del pesopara una partcula con rea dA.

Considerando la posibilidad de peso

especfico y espesor de placa

variable en el dominio A, con

referencia a la figura 6.2 puede

observarse que el momento que

genera la partcula con respecto a los

ejes xg-yg viene dado por:

= = (, )(, )= = (, )(, )

Mediante integracin el valor total

puede ser determinado, dicho valor

ser siempre arbitrario y dependiente

xg

x

xc

yc

ygy

(0,0)

(0,0,0)

xgyg

zg

dA

yx

dW

A=Dominio


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de la seleccin de los ejes

coordenados globales.

= (, )(, )

= (, )(, ) Al concentrar el peso en las

coordenadas centroidales los mismos

momentos deben de ser generados:

= (, )(, )

= (, )(, ) Igualando ambos momentos

(recuerde el concepto de traslacin

de fuerzas) las coordenadas

centroidales son obtenidas:

=

(, )(, ) (, )(, )

= (, )(, ) (, )(, )

Si el material en toda la regin es el

mismo y el espesor de placa no

cambia (lo cual es muy comn en

aplicaciones ingenieriles) la expresin

anterior es simplificada:

=

=

Cada una de las tres integrales recibe

un nombre que la diferencia como

parmetro geomtrico.

- Primer Momento de rea con

Respecto a yg (Qyg)

= = - Primer Momento de rea con

Respecto a yg (Qxg)

= = - rea total en la regin o

dominio (A)

= Tanto el primer momento de rea

como las coordenadas centroidales

son cantidades que pueden ser

positivas, negativas o cero, el valor es

muy dependiente de la seleccin delos ejes cartesianos globales. Sin

embargo no importa donde se

selecciones los ejes de coordenadas

globales el punto centroidal nocambiar.

6.2 El segundo momento de rea

Cuando se mide un primer momento

de rea la contribucin de cadaporcin de la placa es relativa a su

posicin, por ende una cantidad

negativa o positiva es posible.

Si se requiere una medida totalmente

positiva y representativa de la

distribucin del rea la forma lgica


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de realizarlo es mediante el cuadrado

de la coordenada (aunque tambin

cualquier potencia par puede ser

empleada). Esta medida es

convenientemente realizada de

manera independiente al peso

especfico del material y el espesor

de la seccin que se analiza, por lo

cual es puramente basada en un

anlisis de plano.

Empleando la posicin de cada

partcula se obtiene la siguiente

definicin:

- Inercia de seccin conrespecto al eje xg (Ixg).

=

- Inercia de seccin conrespecto al eje yg (Iyg).

=

Importante es tener claro el hecho

que las distancias al eje xg vienen

dadas por la coordenada y de la

seccin y hacia yg mediante x.

Nuevamente el valor de Ixg y Iyg

depende de la ubicacin de los ejes

globales, sin embargo no importa la

seleccin de los ejes globales el

momento de inercia a cualquier eje

ser tambin totalmente dependiente

de las inercias centroidales

denotadas como Ix y Iy.

Utilizando la misma definicin que Ixg

y Iyg:

=

=

Para demostrar que ambas clases de

inercia estn relacionadas

diferenciaremos entre la distancia de

un segmento de rea con respecto a

los ejes centroidales y globales.

Figura 6.3. Ubicacin de A con respecto a

los ejes centroidales y globales.

En base a la figura 6.3 se obtiene que

y= yc+y1, adems que x= xc+x1.

Sustituyendo ambas ecuaciones en la

definicin de Ixg y Iyg:

= ( )

= ( ) Expandiendo cada trinomio cuadradoperfecto y separando las sumas

existentes en tres integrales

(nicamente se analizar Ixg):

= 2

xg

x

xc

yc

y

(0,0)

y1

x1

A

yg

r


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Analicemos los tres trminos de la

integral:

- En el primer trmino debe notarque yces una constante:

=

=

- En el segundo trmino elresultado de la integral escero:

2 = 2 = 0

Note que la integral resultante debede ser cero al tratarse del primer

momento de rea con respecto al

centroide de la figura, al darse esta

situacin la distancia del centroide de

A a si mismo debe ser CERO;

estamos hablando del mismo punto!.

Detonando como Yc2a esta distancia

con valor cero:

2 = 2= 0- El tercer trmino es la inercia

centroidal de la figura

=

Como resultado se obtiene que:

= De igual forma usted puede

demostrar que:

=

Esta relacin es conocida como: el

teorema de los ejes paralelos o

Teorema de Stokes. Dicha relacin

entre inercia centroidal e inercia a

cualquier eje simplifica bastante el

clculo de inercias en secciones

compuestas de geometra variada.

6.3 Momento Polar de Inercia

Suponga que en lugar de medir

momentos de inercia a un eje estos

son medidos a un punto especfico en

el plano, en este caso la distancia es

la magnitud del vector posicin (dada

por r) con respecto a dicho punto.

Utilizando una definicin similar al

momento de inercia se obtiene que el

momento polar de inercia al origen

(Jg) es dado por:

= =

Tomando como referencia la figura

6.3 y utilizando la definicin de

distancia a un punto:

= Sustituyendo r

2en la ecuacin de Jg

y separando los trminos de la suma:

=

Claramente se obtiene la suma de los

momentos de inercia a los ejes xg y

yg.

=


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El momento de inercia polar es un

parmetro bastante utilizado en el

anlisis de barras sometidas al efecto

de torsin. Siempre que se requiera

su valor con respecto a un punto en

lugar de emplear la definicin del

mismo ser ms sencillo determinarlo

calculando los momentos de inercia a

los ejes X y Y que pasan por dicho

punto.

Ejemplo 1: Para la siguiente figuracalcule: La coordenada centroidal dela figura; los momentos de inercia conrespecto a los ejes xg-yg; los

momentos de inercia centroidales y elmomento polar de inercia centroidal.

Figura 6.4. Figura para determinacin de

propiedades de rea.

- Determine las integrales de primermomento con respecto a los ejesglobales (recuerde que dA=dxdy).

Para el primer momento con respectoal eje y:

=

=

/

= |/

= / 2

= 2

5/

6

= 0.929

Para el primer momento con respecto

al eje x:

=

=

/

=

2

/

=

2

8

= 4 24

= 0.666

Para calcular los centroides

requerimos conocer el rea de la

figura:

=

= /

= .

- Empleando la definicin decoordenada centroidal:

= =.

. = .

= =.

. = . -Empleando la definicin de inercia a

un eje determine Ixg y Iyg. Estascantidades permitirn calcular Ix y Iy:

=

=

/

yg (cm)

xg (cm)

(0,0)

f(x)=x1/2

(4,2)y'

x'(xc,yc)

f(x)=x/2


7/10

= 3/

= /3 24

=

/

= .

Para el caso de momento de inercia

con respecto al eje Y:

=

=

=

|/

= /

2

= /

= .

- Utilizando el teorema de ejesparalelos calcularemos los momentosde inercia centroidales.

Despejando para la inercia centroidal

en el teorema de Stokes:

= =

= . . . = . Para la inercia centroidal en el eje y:

=

= . . . = . Note el hecho que la inercia

centroidal en el eje y es mayor que la

inercia en el eje x.

=

. .= .

Claramente la razn es que la figura

es ms alargada en la direccin

horizontal, esto genera que las

distancias x al eje y sean mayores

en general a las distancias y al eje

x.

-Utilizando la definicin de momentopolar centroidal de inercia

Como observar realizar la integral

en trminos de la magnitud del vector

posicin de cada punto con respecto

al centroide ser complicado, sin

embargo empleando el hecho de que

el vector distancia al cuadradopermite separar la integral en dos

partes:

= = . . = . Ejemplo 2: Para la siguiente figuracalcule: La coordenada centroidal dela figura; los momentos de inerciacentroidales y el momento polar deinercia centroidal.

Figura 6.5. Cuadriltero con agujero circular.

Existen dos estrategias para

solucionar este problema. La primera

estrategia consiste en realizar el

proceso de integracin para cada par

10cm

5cm

6cm

x

y

1cm

(7,3)


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de funciones resultantes en el

dominio de la figura.

Por ejemplo si el primer momento con

respecto al eje x debe de ser

encontrado utilizando el proceso deintegracin la siguiente integral debe

ser resuelta:

=

+

2

()+

Note claramente que aunque no son

integrales extremadamente complejas

para el proceso de diseo pueden ser

tarea tediosa de resolver.

La segunda estrategia consiste en

realizar una especie de superposicin

de figuras sencillas de las cuales

fcilmente podemos encontrar en

tablas la mayora de propiedades

geomtricas de inters.

En la figura 6.6 le son facilitadas

algunas frmulas importantes que

puede memorizar para agilizar el

procedimiento de anlisis de

secciones formadas por figuras

sencillas.

Al igual que el rea de seccin lasinercias son propiedades absolutas

que pueden ser sumadas pero

tambin sustradas en caso de

representar agujeros.

Adicionalmente puede notar que solo

se pueden sumar inercias de dos o

varias figuras si el eje de inters es el

mismo.

Figura 6.6. Propiedades de inercia de

algunas geometras sencillas.

Tomando provecho de las

propiedades de figuras simples el

clculo puede simplificarse al realizar

la suma (o resta) de la siguientemanera:

- Determine las propiedadesindividuales para cada una de lasfiguras simples que pueda identificaren el elemento presentado comocuadriltero con un agujero.

x'

y'

b

h

y

x

h/2

b/2

Ix=bh3/3; Iy=hb3/3; Ix= bh3/12; Iy=hb3/12

(xg,yg)

x'

y'

b

h

y

xh/3

b/3

Ix=bh3/12; Iy=hb3/12; Ix=bh3/36; Iy=hb3/36

(xg,yg)

x'

y'

R

Ix=Iy=r4/4


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Figura 6.7. Segmentos de rea para placa de

figura 6.5 junto con la ubicacin de sus ejes

locales con respecto a los ejes globales.

- Calcule reas, primeros momentoscon respecto a ejes globales ymomentos de inercia centroidales decada figura.

1. Triangulo:

=12 =12 5 6 = 15

= = 15 4 = 60 = = 153.33 = 50

= 136 = 136 5 6= 30

= 136 = 136 6 5= 20.83

2. Rectngulo:

= = 5 6 = 30 = = 303 = 90

= = 307.5 = 225 = 112 =

112 5 6= 90

= 112 = 112 6 5= 62.5

3. Crculo (note que sus valores

absolutos deben de ser multiplicados

por -1 al ser un agujero por lo que sus

propiedades se sustraen):

= = 1= 3.142 = = 3.142 3 = 9.426

= = 3.1427 = 21.994

= = 4 = 1

4 = 0.785- Ordene en una tabla sus resultadosy calcule centroides e inercias.

Fig. A(cm

2)

Xc1(cm)

Yc1(cm)

Qx(cm

3)

Qy(cm

3)

Tri. 15.000 3.33 4.00 60 50

Rect. 30.000 7.50 3.00 90 225

Circ. -3.142 7.00 3.00 -9.426 -21.994

= 41.858 140.574 253.006

Por definicin la sumatoria total deprimer momento de los segmentos es

equivalente a todo el proceso deintegracin, tambin esta sumatoriaes fsicamente admisible al serrealizada con respecto a un mismoeje para todas las figuras, por lotanto:

= =.

. = .

6cm

x

y

5cm

x'

y'

(3.33, 4)

5cm

6cm

x

y

1cm

(7,4)x'

y'

(7.5, 3)

x

y

1cm

(7, 3) x'

y'

Yc1

Xc1


10/10

= =.

. = .

Figura 6.8. Centroide para seccin de la

figura 6.5.

Comparando con un rectngulo queocupe todo el espacio del cuadrilteroy los agujeros (6cmx10cm y centroideen (5,3)) el centroide global tiende amoverse hacia la derecha y arriba.

Para el clculo de las inercias tabulardatos tambin simplifica el proceso:

Fig. Ix(cm

4)

Iy(cm

4)

Yc -Yc1

(cm)Xc -Xc1

(cm)

Tri. 30.00 20.83 3.358-4=-0.642

6.04-3.33=2.714

Rect. 90.00 62.50 0.358 -1.456

Circ. -0.785 -0.785 0.358 -0.956

Utilizando el teorema de ejesparalelos, el segundo momento derea con respecto a los ejescentroidales globales es determinado:

Fig. Ix+(Yc -Yc1) A (cm ) Iy+(Xc -Xc1) A (cm )

Tri. 30.00+(-0.642)x15

=35.8420.83+(2.714)

x15

=131.32

Rect. 90.00+(0.358)x30

=93.8462.50+(-1.456)

x30

=126.09

Circ. -0.785+(0.358) x-3.14= -1.18

-0.785+(-0.96) x-3.14=-3.68

128.50 cm4 253.73 cm4

La inercia en con respecto al eje y esmayor gracias a que la configuracinde la seccin es alargada en ladireccin x.

Esto es muy similar a lo mostrado enel problema 1.

- Encuentre el momento de inerciapolar centroidal.

Finalmente para encontrar la inerciapolar centroidal se realiza unasumatoria de inercias a los ejes yglobal y x global.

= .. = . Para finalizar se proveen propiedadesgeomtricas de otras figuras tiles.

Figura 6.9. Propiedades geomtricas de

sector parablico y circular.

x

y

x'

y'

Yc= 3.358cm

Xc= 6.004cm

x'

y'

b

h

y

x3h/10

3b/4

Ix=bh3/21; Iy=hb

3/5; Ix=37bh

3/2100; Iy=hb

3/80

(xg,yg)

x'

y'

R

Vrtice

Parbola

x'

y'

b

h

y

x

3h/5

3b/8

Ix=2bh3/7; Iy=2hb

3/15; Ix=8bh

3/175; Iy=19hb

3/480

(xg,yg)

Vrtice

Parbola

y'

x4R/3

Ix=Iy=r4/8; Ix=0.1098r

4

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