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Centro di Massa
palla lanciata in aria: traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]
mazza da baseball lanciata in aria: moto complicato e diverso per le varie parti mazza = sistema di punti materiali centro di massa: punto che si muove lungo traiettoria parabolica [tipo moto proiettile]
centro di massa di un corpo (o sistema di corpi): punto che si muove come se 4 tutta la massa fosse lì concentrata 4 e le forze esterne agissero lì
permette di descrivere moto complessivo del sistema meccanico
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esempio: sistema di due particelle collegate da sbarra rigida [priva di massa]
M1 < M2
r applico F vicino ad M1 sistema ruota in senso orario
r applico F vicino ad M2 sistema ruota in senso anti-orario
r applico F vicino al CM sistema trasla si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel CdM
individuo centro di massa con questo esperimento !!
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Posizione del centro di massa posizione media della massa del sistema
21
2211
mmxmxmx
defCM +
+=
esempio: x1=0, x2=d se m1 = m2 ⇒ xCM= (x1+x2)/2 metà strada se m2 = 2m1 ⇒ xCM= 2/3 d vicino particella pesante
sistema n particelle in 3 dimensioni
Mxm
mxm
mmmxmxmxmxmx ii
i
ii
n
nn
defCM∑
∑∑ ==
+++
++++=
......
21
332211
Mym
mym
mmmymymymymy ii
i
ii
n
nn
defCM∑
∑∑ ==
+++
++++=
......
21
332211
Mzm
mzm
mmmzmxmzmxmz ii
i
ii
n
nn
defCM∑
∑∑ ==
+++
++++=
......
21
332211
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nel linguaggio dei vettori:
y x
z P(xi,yi,zi) particella di coordinate (xi,yi,zi)
vettore posizione: kzjyixr iiii
!!!!++=
ir!
sistema di n particelle
∑
∑ ∑ ∑
=
=
++=++=
n
iiiCM
i i iiiiiii
CMCMCMCM
rmM
r
M
zmymxmkzjyixr
1
1 !!
!!!!
vettore posizione CM
corpi rigidi [distribuzioni continue di materia]
∫∑
∫∑
∫∑
→Δ
→Δ
→Δ
→Δ
=
→Δ
=
→Δ
=
dmzMM
zmz
dmyMM
ymy
dmxMM
xmx
i
i
i
m
ii
defCM
m
ii
defCM
m
ii
defCM
1
1
1
0
0
0
N.B. se oggetto possiede simmetria CM si trova su centro, asse o piano di simmetria
∫= dmrM
rCM!! 1
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Moto di un Sistema di Particelle
Il CM è utile nella descrizione del moto del sistema
nnCM rmrmrmrM !!!!+++= ...2211
∑=
=n
iiiCM rm
Mr
1
1 !!
nnCM vmvmvmvM !!!!+++= ...2211
nnCM amamamaM !!!!+++= ...2211
dtrdv i
i
!!=
dtvda i
i
!!=
∑=+++= estnCM FFFFaM!!!!! ...21
le forze interne si elidono a due a due [azione e reazione]
il CM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne
N.B. sistema isolato: 0===∑ dt
pdaMF totCMest
!!!
⇒ costantevMp CMtot ==!!
dtpdaMF tot
CMest
!!!
==∑
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esempi: moto centro di massa
fuoco artificiale
gest FF!!
=
CM segue traiettoria parabolica
[la stessa del razzo inesploso]
ballerina che fluttua in aria:
traiettoria testa-busto orizzontale !!! [non parabolica
come nel lancio di un corpo]
CM segue traiettoria parabolica
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esercizi centro di massa
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Moto di un Sistema di Particelle
Mvm
dtrdm
Mdtrdv iii
iCM
CM∑∑ ===
!!!! 1
Il CdM è utile nella descrizione del moto del sistema
velocità CDM
totiiiCM ppvmvM !!!!=== ∑∑
quantità di moto totale è pari alla massa totale per la velocità del CdM
[moto particella massa M, velocità vCM]
⇓
∑∑ === iii
iCM
CM amMdt
vdmMdt
vda !!!
! 11
∑∑ == iiiCM FamaM!!!
⇓ somma forze esterne (quelle interne si elidono a coppie)
dtpdaMF tot
CMest
!!!
==∑
il CdM si muove come particella di massa M su cui agisce la risultante delle forze esterne
sistema isolato: 0∑ =estF
!
⇒ costantevcostantep CMtot ==!!
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durante il moto si conserva la massa del sistema [massa combustibile + massa navetta]
fi pp =
0))(( <+++−= dMcondvvdMMUdMMv
Udvvu −+= )( velocita` relativa prodotti di scarico
dtdvMu
dtdM
dvMudM
=−
=−
MaRu =
ove R=-dM/dt rapidita` consumo conbustibile
spinta del razzo (I0 equazione del razzo)
∫∫ −=
−=
f
i
f
i
M
M
v
v MdMudv
MdMudv
f
iif M
Muvv ln=−
conservazione quantità di moto propulsione di un razzo [sistema a massa variabile]
(II0 equazione del razzo)
devo diminuire la massa finale per avere aumento di velocita`
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