Central Tendency

Central Tendency &

Variability Kelompok 3 :

Alvi Fauziah

Ashri Dinimaharawati

Barep Dimas

Exy Wartono

Irsaline Hidayati Apriliani

Sarah Hafitriani

Rerata (Mean)

Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data

atau

Keterangan:

= lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan

n = banyaknya sampel data

= Nilai rata-rata sample

Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas

3 SMU berikut ini:

2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9

Jawab:

Contoh 1

Rerata Hitung Distribusi

Frekuensi Data tunggal

Keterangan:

= lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan

fi = frekuensi data ke-i

n = banyaknya sampel data

= nilai rata-rata sampel

Berapa rata-rata hitung pada tabel

frekuensi berikut:

Contoh 2

Jawab:

Rata-rata hitung Distribusi

Frekuensi Berkelompok

Contoh 3:

Tabel berikut ini

adalah nilai ujian

statistik 80

mahasiswa yang

sudah disusun

dalam tabel

frekuensi.

Kelas

ke-

Nilai

Ujian fi

1 31 40 2

2 41 50 3

3 51 60 5

4 61 70 13

5 71 80 24

6 81 90 21

7 91 100 12

Jumlah 80

Jawab: Buat daftar tabel berikut, tentukan nilai pewakilnya (xi)

dan hitung fixi.

Median

Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,, xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data

tersebut diurutkan.

Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data

terlebih dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:

Banyak data ganjil mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data

Banyak data genap mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data

Median Data Tunggal

Contoh Median apabila n ganjil:

Hitunglah median dari nilai ujian

matematika kelas 3 SMU berikut ini:

8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

Jawab:

data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10

setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10

banyaknya data (n) = 11

posisi Me = (11+1) = 6

jadi Median = 7 (data yang terletak pada urutan ke-6)

Contoh Median apabila n genap:

Hitunglah median dari nilai ujian

matematika kelas 3 SMU berikut ini:

8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9

Jawab: data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9 setelah diurutkan: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9 banyaknya data (n) = 10 posisi Me = (10+1) = 5.5 Data tengahnya: 6 dan 7 jadi Median = (6+7) = 6.5 (rata-rata dari 2 data yang terletak pada urutan ke-5 dan ke-6)

Median dalam distribusi

frekuensi data berkelompok Keterangan:

b = batas bawah kelas median dari kelas

selang yang mengandung unsur atau

memuat nilai median

p = panjang kelas median

n = ukuran sampel/banyak data

f = frekuensi kelas median

F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda

kelas lebih kecil dari kelas median (fi)

Contoh : Tentukan nilai median dari tabel distribusi

frekuensi pada contoh di bawah ini!

Letak kelas median: Setengah dari seluruh

data = 40, terletak pada

kelas ke-5 (nilai ujian

71-80)

b = 70.5, p = 10 n = 80, f = 24 f = 24 (frekuensi kelas

median)

F = 2 + 3 + 5 + 13 = 23

Jawab:

modus

Modus merupakan fenomena yang paling banyak terjadi. Modus paling banyak digunakan

pada penelitian kualitatif. Dalam penelitian

kualitatif, hal yang paling banyak menyebabkan

suatu keadaan sering di anggap penyebab

keadaan tersebut.

1. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang

memiliki frekuensi tertinggi. Modus

dilambangkan mo.

Contoh soal

Tentukan modus dari data berikut :

1 9 8 4 4 4 4 2 4 5

Jawab :

Modusnya ialah 4

2. Data yang dikelompokan

Keterangan: Dengan : Mo = Modus

L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas

modus) i = Interval kelas

b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval

terdekat sebelumnya

b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas

intervalterdekat sesudahnya

contoh

Pada data nilai siswa pada mata pelajaran

sejarah kebudayaan Islam di atas terlihat

bahwa angka yang paling sering muncul

adalah 67 yang muncul sebanyak tiga kali

dan tidak ada yang muncul sebanyak itu dari

data yang lain. Hitung modus nilai yg sering

muncul

Jawab

L = 70,5

i = 10

b1 = 7 5 = 2 b2 = 7 3 = 4 Dengan memasukkan data tersebut ke

dalam rumus akan kita dapatkan.

Latihan

Cari modus dari data berikut

3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,

kuartil Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat

bagian yang sama banyak, sesudah disusun

menurut urutan nilainya, maka bilangan

pembaginya disebut dengan kuartil. Simbol

kuartil adalah Q. Dengan demikian, ada tiga

buah kuartil, yaitu Q1, Q2, dan Q3.

Kuartil data tunggal

Contoh Tentukan Q1,Q2,dan Q3 dari data : 3 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10

Jawab :

n=11

Q1 = .(11+1)=3

data ke-3 =6

Q2 = 2/4.(11+1)=6

data ke-6=7

Q3 = 3/4.(11+1)=9

data ke-9=8

Q1=6 Q2=7 Q3=9

2. Kuartil data berkelompok

Dengan : Qj = Kuartil ke-j

j = 1, 2, 3

i = Interval kelas

Lj = Tepi bawah kelas Qj

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj

f = Frekuensi kelas Qj

n = Banyak data

Contoh

Tentukan Q1,Q2,dan Q3 dari data tes matematika terhadap 40 siswa kelas XI ipa

Jawab

Letak Q1 pada frekuensi .(40)=10

Jawab



LATIHAN 1. Nilai ujian kalkulus mahasiswa pendidikan ilmu komputer

UPI, HITUNG Q1,Q2,Q3

2. Carilah Q1, Q2,

Q3 dari data

12,2,10,8,40,7,4,6,

18,21,22

Desil (D)

Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data

menjadi 10 bagian atau kategori.

Desil dari data tunggal dan

kelompok Desil untuk data tunggal

Nilai D1, D2, D3 dan seterusnya ditentukan oleh

letaknya, dengan rumus :

Desil untuk data kelompok Nilai data ke-I dari data bergolong di rumuskan:

Contoh

Dari data diatas, tentukan:

a. Desil ke-2

b. Desil ke-9

Penyelesaian

Range (Rentang) Range Data Tunggal

Contoh:

Hitung Range dari data UTS Statistika untuk setiap kelas

Kelas A : 90, 70, 50, 80, 50, 60, 70, 70, 85, 85

Kelas B : 95, 87, 76, 84, 75, 96, 85, 83, 73, 80

Langkah :

urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya

Kelas A : 50, 50, 60, 70, 70, 70, 80, 85, 85, 90

Kelas B : 73, 75 ,76, 83, 84, 85, 87, 80, 95, 96

Rentangan Kelas A : 90-50 = 40

Rentangan Kelas B : 96-73 = 24

Range = Data Terbesar Data Terkecil

B. Range Data Berkelompok

RUMUS 1:

RUMUS 2:

Range = Titik tengah kelas tertinggi Titik tengah kelas terendah

Range = Tepi kelas tertinggi - Tepi kelas terendah

Contoh:

Hitung Rangenya!

Range = Titik tengah

kelas tertinggi Titik tengah kelas

terendah

Range = Tepi kelas tertinggi - Tepi kelas

terendah

Jawab: Penyelesaian dengan

RUMUS 1

Range = 95,5 45,5 = 50

Penyelesaian dengan RUMUS 2

Tepi Atas

Range = 100,5 50,5 = 50

Tepi Bawah

Range = 91 41 = 50

Simpangan Rerata Contoh:

A. DATA TUNGGAL

Diketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.

Jawab:

Rata-rata = 7

Simpangan Rerata

8

7 = 1

1

7

B. DATA BERKELOMPOK

Tentukan rata-ratanya

terlebih dahulu

Hitung Simpangan

Reratanya

Variansi

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan

mean beberapa populasi.

Rumus Variansi

Kuadrat Total

Keterangan

SST = total sum of squares ( jumlah kadarat total ) k = levels of treatment ( jumlah populasi ) ni = ukuran sampel dari poplasi i x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus Variansi

Rumus untuk Mencari Variasi Jumlah Kuadrat Dalam

Keterangan : SSW/SSE = jumlah kuadrat dalam k = levels of treatment ( jumlah populasi ) ni = ukuran sampel dari poplasi i xij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus Variansi

Rumus untuk Mencari Varisi diantara Grup

Keterangan : SSB/SSG = jumlah kuadrat diantara k = levels of treatment ( jumlah populasi ) ni = ukuran sampel dari poplasi i xij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Simpangan Baku

Definisi Simpangan Baku Simpangan baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran statistik yang umum digunakan. Simpangan baku mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar atau dapat juga didefinisikan sebagai rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-rata data tersebut.

Semakin kecil nilai sebaran berarti variasi nilai data makin sama. Jika sebaran bernilai 0, nilai semua data adalah sama.Semakin besar nilai sebaran berarti data semakin bervariasi.

Simpangan baku disebut juga sebagai akar kuadrat varians. Bilangan dalam simpangan baku bersifat positif dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya, jika suatu data diukur dalam satuan meter, simpangan baku juga diukur dalam meter pula. Di bawah ini terdapat dua jenis rumus untuk mengukur simpangan baku, yaitu simpangan baku populasi dan simpangan baku sampel.

Simpangan Baku Populasi

Rumus Simpangan Baku Populasi

Keterangan

=deviasi Standar X=data ke N Xbar=Nilai rata-rata N N=Banyaknya Data

Simpangan Baku Sampel

Rumus Simpangan Baku Sampel

Keterangan S=Deviasi Standar X=Data ke N Xbar=Nilai rata-rata N N=Banyaknya Data

Contoh Soal Simpangan baku atau standard deviation merupakan bentuk akar pangkat 2 dari

Variansi. Biasanya ukuran variansi ini diberi simbul sebagai S2 (s pangkat 2). Sebenarnya yang merupakan ukuran simpangan adalah simpangan baku, namun demikian ukuran variansi ini merupakan ukuran pangkat dua dari simpangan baku, sehingga bisa juga dianggap sebagai ukuran penyebaran.Sebagai contoh pada data sebelumnya dapat dihitung nilai variansinya adalah sebagai berikut:

Dari hasil penghitungan diatas dapat disimpulkan bahwa nilai C mempunyai nilai yang paling besar, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai inilah yang paling bervariasi dibandingkan dengan nilai A dan B.

Nilai Simpangan

baku

Variansi

A 0.00 0

B 20.31 412.5

C 20.92 437.5

Apa itu sebaran/jangkauan

antar kuartil? Jangkauan antar kuartil (Hamparan) adalah

Selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama

Rumus :

H = Q3 Q1

Sebaran Semi Antar Kuartil

Sebaran semi antar kuartil disebut juga simpangan kuartil yaitu :

Setengah kali panjang hamparan

Rumus :

Keterangan :

Qd = Simpangan kuartil

H = Hamparan

Q = Kuartil

contoh soal Data

ke-

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nilai 57 60 63 76 77 78 80 84 90 95 98

Dari data di atas dapat di hitung nilai dari:

a) Jangkauan

b)Jangkauan antar

kuartil

c)Simpangan kuartil

penyelesaian a) Jangkauan ,

J = x maks - xmins

= 98 - 57

c) Jangkauan antarkuartil :

H =Q3 Q 1 = 90 - 63 = 27

d) Simpangan kuartil

5,1327

2

1

2

1 HQd

Contoh soal

INTERVAL FREKUENSI

30-39 1

40-49 3

50-59 11

60-69 21

70-79 43

80-89 32

90-99 9

jumlah 120

3. Tentukan nilai Jangkauan antar kuartil dan jangkauan

semi antar kuartil dari data tabel berikut!

Penyelesaian INTERVAL FREKUEN

SI

FREKUEN

SI

KUMULATI

F

30-39 1 1

40-49 3 4

50-59 11 15

60-69 21 36

70-79 43 79

80-89 32 111

90-99 9 120

jumlah 120

1. Tentukan frekuensi

kumulatif

2. Tentukan letak Q1

dan Q3 pada

kelas mana

3. Tentukan tepi bawah

kelas kuartil

4. Tentukan frekuensi

kumulatif

sebelum kelas

kuartil.

5. Hitung lebar

kelasnya

Q

64,66

14,75,59

1021

15305,59

4

1

11

cf

fn

LQk

93,82

43,35,79

1032

79905,79

4

3

33

cf

fn

LQk

Jangkuan antar kuartil :

H =Q3 Q1 = 82,93 66,64 = 16,29 Jangkuan semi antar kuartil :

145,829,162

1

2

1 HQd

Latihan Soal 1. Simpangan kuartil dan jangkauan antar kuartil dari data

16, 15, 15, 19, 20, 22,16,17, 25, 29, 32, 29, 32 berturut-

turut adalah

A. 6, 13

B. 6,5, 13

C. 8, 16


16, 15, 15, 19, 20, 22,16,17, 25, 29, 32, 29, 32 berturut-

turut adalah

A. 6, 13

B. 6,5, 13

C. 8, 16

UGH ANDA

SALAH..

COBA

LAGI


16, 15, 15, 19, 20, 22,16,17, 25, 29, 32, 29, 32 berturut-

turut adalah

A. 6, 13

B. 6,5, 13

C. 8, 16

SELAMAT

ANDA

BENAR

PEMBAHASAN

penyelesaian Simpangan Quartil: )(

2

1 = Q 13d QQ

data disusun dahulu menjadi:

15, 15, 16, 16, 17, 19, 20, 22, 25, 29, 29, 32, 32

Q 1 Q2 Q3

Badalah jawabannya

5,6

)13(2

1

16)- (292

1

)(2

1 = Q 13d

QQ

H

Central Tendency

Documents

Transcript of Central Tendency