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Angel Vilariño 1

Derivados y Productos

Estructurados

Ángel VilariñoJunio 2011, México D.F.

Angel Vilariño 2

Derivados financieros

Un derivado es un instrumento financiero cuyo precio está vinculado a la evolución futura de:- el precio de un activo financiero (acción, bono,…)- una tasa de interés- una tasa de cambio- un índice bursátil- el precio de otro derivado- la volatilidad de un activo- el rating de un emisor- el spread de un bono- el precio de la electricidad- la temperatura en una zona cultivada

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Angel Vilariño 3

Derivados financieros

Los derivados son activos financieros muy antiguos. Lo “nuevo” se resume en:- Nuevas técnicas de valoración de opciones (Black,

Scholes y Merton, 1973)- Creación de mercados específicos para su negociación

- Creación de nuevos derivados (exóticos, crédito, climáticos)

- Fuerte crecimiento del volumen negociado- Amplia difusión entre segmentos de inversores no

especialistas. - Combinación con activos “tradicionales”- Utilización intensiva para gestionar riesgos

Angel Vilariño 4

Tipología de los derivados financieros

• Operaciones a plazo (Forwards) y Futuros

• Permutas financieras (Swaps)

• Opciones estándar

• Opciones exóticas

• Productos estructurados

• Derivados de crédito

• Derivados climáticos

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Mercados

• Mercados organizados (Bolsas)– Estandarización de los contratos (nocionales,

subyacentes y fechas)– Garantías para cubrir riesgo de incumplimiento– Liquidación diaria por cambios de valor

• Mercados “over the counter” (OTC), “gré a gré”– Contratos a medida– Plazos cortos y largos– Puede ser difícil el cierre (liquidez)– Garantías discrecionales

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Nominales y valores de mercado brutos. OTCJunio-2010

importes en billones (12 ceros) fuente: BIS

OTC Nominal Porcentaje Valor bruto PorcentajeTotal 582,7 100% 24,7 100%Forwards de divisas 53,1 9,1% 2,5 10,2%Tipos de interés 451,8 77,5% 17,5 71,0%- FRAS 56,2 9,6% 0,1 0,3%- Swaps 347,5 59,6% 16,0 64,6%- Opciones 48,1 8,3% 1,5 6,1%Equited-linked 6,3 1,1% 0,7 2,9%Commodity 2,9 0,5% 0,5 1,8%Credit default swaps 30,3 5,2% 1,7 6,7%- single name 18,4 3,2% 1,0 4,0%- multiname 11,9 2,0% 0,7 2,7%Otros derivados 38,3 6,6% 0,8 3,2%

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Angel Vilariño 7

Evolución del importe nominal y el valor de los contratos OTC

importes en billones (12 ceros) fuente: BIS

Contratos Nominal Nominal Valor ValorOTC jun-98 jun-10 jun-98 jun-10

Total 72,1 582,7 2,6 24,7Forwards de divisas 18,7 53,1 0,8 2,5Tipos de interés 42,4 451,8 1,2 17,5- FRAS 5,1 56,2 0,03 0,1- Swaps 29,3 347,5 1,0 16,0- Opciones 7,9 48,1 0,1 1,5Equited-linked 1,3 6,3 0,2 0,7Commodity 0,4 2,9 0,0 0,5Credit default swaps - 30,3 - 1,7- single name - 18,4 - 1,0- multiname - 11,9 - 0,7Otros derivados 9,3 38,3 0,4 0,8

Angel Vilariño 8

Hechos relevantes

• i) Los derivados utilizados para operaciones de cobertura de

riesgos son un porcentaje importante de los contratos

negociados, dados los altos porcentajes que representan los

swaps, típico instrumento de cobertura, tanto en términos

nominales como en términos de valor bruto (cuadro 1)

• ii) Ha existido un fortísimo crecimiento de los derivados. En el

caso de los contratos negociados en mercados OTC la tasa

anual acumulativa de los importes nominales es 23,2% en el

período 1998‐2008, y en el caso de los mercados organizados

la tasa anual acumulativa para el período 2000‐2007 es 31%,

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Angel Vilariño 9

Hechos relevantes

• iii) La comparación de los derivados con otros activos para

medir su importancia relativa debe utilizar como concepto

relevante el valor de mercado y no el importe nominal. En el

caso de los mercados organizados existe la dificultad de que,

en el caso de los futuros, los contratos se liquidan

diariamente por lo que su valor de mercado se anula tras la

liquidación.

• iv) Los derivados implícitos en los productos estructurados

están “ocultos” y no aparecen en las estadísticas, salvo que se

cubran y exista la operación simétrica. Es muchos casos se

contabilizan deficientemente.

Angel Vilariño 10

Contrato sobre la compra-venta a plazo de un activo

• Un contrato entre A (comprador) y B (vendedor) que

acuerdan la cantidad de activo que B entregará a A en

una fecha futura y A pagará a B el precio convenido en

el contrato.

• El contrato se puede liquidar, de mutuo acuerdo, por

diferencia entre el precio del activo subyacente y el

precio del contrato multiplicada por la cantidad pactada.

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Angel Vilariño 11

Precio a plazo racional

• El precio a plazo que impide el arbitraje está dado por

0T 0

0T

0

P P (1 rT )

P precio a plazo

P precio contado

r tipo de int erés

T plazo

Angel Vilariño 12

Ejemplo precio a plazo

• Una acción se cotiza actualmente a P0 = 13 USD• La tasa de interés LIBOR a 6 meses (183 días) es r =

3%• La acción no paga dividendos dentro de los próximos

seis meses• El precio a plazo para entrega de la acción dentro de

seis meses es

0TP 13 (1 3% (183/360)) 13,20 USD

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Angel Vilariño 13

Imposibilidad de arbitraje

• En 0, pedimos prestado P0 a una tasa de interés r a un plazo T

• Compramos el activo al contado• Vendemos el activo a plazo a un precio PoT

• En T, pagamos el préstamo• Ingresamos la venta del activo y entregamos el activo• La condición de equilibrio (ausencia de arbitraje) es

0T 0

0T 0

Beneficio Ingresos Costes P P 1 rT 0

P P (1 rT )

Angel Vilariño 14

Imposibilidad de arbitraje

• En 0, vendemos el activo e ingresamos P0

• Se presta P0 a la tasa de interés r a un plazo T • Compramos el activo a plazo• En T, cobramos el préstamo• Adquirimos el activo entregando • La condición de equilibrio (ausencia de arbitraje) es

0 0T

0T 0

Beneficio Ingresos Costes P 1 rT P 0

P P (1 rT )

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Angel Vilariño 15

Valoración del contrato

• El valor del contrato en una fecha cualquiera se obtiene

calculando el valor actual de la liquidación teórica en el

vencimiento con el precio a plazo de mercado

t tT 0T

1V N (P P )

1 zT

Angel Vilariño 16

Ejemplo Valoración

• Una entidad tiene una posición corta en una compra venta a plazo sobre 3.000 bonos de nominal 10.000 USD cada uno con vencimiento dentro de 30 días. El precio forward del contrato es P0T = 98% y el precio forwardnegociado en la fecha actual es PtT = 98,15%. La tasa de interés de las Letras del Tesoro a 30 días es r = 3%

t

1V 3.000 10.000 (98,15% 98%)

1 3% (30/360)44.887,78 euros

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Tasa de cambio a plazo de divisas

• Compra-venta a plazo de una divisa con una tasa de cambio establecida

0T

0T 0 *0T

0T

0

0T

0T

1 r Te e

1 r T

e tasa de cambio a plazo

e tasa de cambio contado (unidades domestica/1unidad extranjera)

r tasa de interes divisa domestica

r tasa de interes divisa extranjera

Angel Vilariño 18

Ejemplo forward divisa

• La tasa de cambio contado del euro es 1,20 USD/euro, la tasa de interés LIBOR del dólar a tres meses (90 días) es rUS = 3,50% y la tasa de interés LIBOR del euro a tres meses es reu = 2,15%

• La tasa de cambio forward a plazo tres meses que impide el arbitraje es

0T

1 3,5% (90/360)e 1,20 1,204 USD/euro

1 2,15% (90/360)

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Angel Vilariño 19

Ejemplo: Forward sobre divisa

USD 0 T cont USD 0 T cont

NS

Valoracion del contrato sin considerar

riesgo de contraparte : Valor actual del

cierre teorico

1VR VA N (f f ) N (f f )

1 z T

Angel Vilariño 20

FRA (forward rate agreement)Operaciones a plazo de tasas de interés a corto plazo

Se negocia entre dos partes A (comprador) y B (vendedor) la tasa de interés de una determinada

referencia (Euribor, LIBOR, CETES, TES) correspondiente a un plazo determinado para una fecha futura y sobre un nocional pactado.

En la fecha futura se compara la tasa de interés

pactada con el que existe en el mercado y se realiza la liquidación del contrato según el siguiente criterio

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Angel Vilariño 21

Liquidación del contrato FRA

• Si la tasa de interés de liquidación es superior a la tasa de interés del contrato el vendedor paga al comprador el siguiente importe

• N nocional• Rl tasa de interés de liquidación• Rc tasa de interés del contrato• h plazo

l c

l

N (R R ) hL

1 R h

Angel Vilariño 22


• Si la tasa de interés de liquidación es inferior a la tasa de interés del contrato el comprador paga al vendedor el siguiente importe

• N nocional• Rl tasa de interés de liquidación• Rc tasa de interés del contrato• h plazo

c l

l

N (R R ) hL

1 R h

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Angel Vilariño 23

Ejemplo FRA (forward rate agreement)

A comprador del FRA y B vendedor del FRA establecen el siguiente acuerdo.Nominal del contrato: 100 millones de USDTasa de interés de referencia o subyacente: LIBOR del dólar a tres meses.Tasa de interés pactada: 2%Inicio del contrato: Dentro de seis mesesFin del contrato: Dentro de nueve mesesBase de cálculo: 360

Angel Vilariño 24


Si en la fecha de inicio (dentro de seis meses) la LIBOR a tres meses es 2,7% y por lo tanto superior al 2% pactado, el vendedor abona al comprador una cantidad L definida del modo siguiente

liq con

liq

N(R R )h 100(2,7% 2%) 0,25L 173.827 USD

1 r h 1 2,7% 0,25

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Angel Vilariño 25


Si en la fecha de inicio (dentro de seis meses) la LIBOR a tres meses es 1,5% y por lo tanto inferior al 2% pactado, el comprador abona al vendedor una cantidad L definida del modo siguiente

con liq

liq

N(r r )h 100 (2% 1,5%) 0,25L 124.533 USD

1 r h 1 1,5% 0,25

Angel Vilariño 26


L C

L

La formula general de liquidación es

N (R R ) hL

1 R h

comprador y vendedor

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Angel Vilariño 27

Notación de los FRA

El anterior FRA se denomina un 6/9 que se lee “un seis contra 9” y en general x/y, contrato que se inicia dentro de x meses para un plazo subyacente de (x- y) meses.

Los contratos se liquidan en la fecha de inicio. Por eso la liquidación se calcula mediante la actualización del diferencial de intereses. Esto es un convenio que en los futuros se ha suprimido.

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Utilización de los contratos FRA: Cobertura

Cobertura de riesgo de interés

A debe tomar prestado y piensa que las tasa van a subir Compra FRA

B debe prestar y piensa que las tasas van a bajar Vende FRA

Negociación

A piensa que las tasas van a subir Compra FRA

B piensa que las tasas van a bajar Vende FRA

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Angel Vilariño 29

Tasa de interés futuras (forward) implícitas

Tasa de interés forward implícita en las tasas de interés contado

2 2 1 12 2 1 1 2 1

1 1 1 2

R T R T(1 R T ) (1 R T )(1 f(T T )) f

(1 R T )(T T )

T2

T1T1 – T2

Angel Vilariño 30

Ejemplo forward implícita

3/6

LIBOR 6M 5,15% LIBOR 3M 5,11%

180 905,15% 5,11%

360 360f 5,125%90 180 90

(1 5,11% )( )360 360 360

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Angel Vilariño 31

Ejemplo forward implícita

3/6

LIBOR 6M 5,25% LIBOR 3M 5,11%

180 905,25% 5,11%

360 360f 5,32%90 180 90

(1 5,11% )( )360 360 360

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Tasa forward implícita y arbitraje

• Arbitraje es una operación con beneficio cierto o lo que es lo mismo sin riesgo.

• La operación está financiada a los precios (tasa) de mercado y sin embargo se obtiene un beneficio

• La teoría de valoración de activos se basa en determinar los precios bajo la condición de que sea imposible realizar arbitraje. (Criterio de valoración racional) Esto es uno de los principios del valor razonable.

• La tasa negociada en un contrato FRA, que impide el arbitraje, es el forward implícito

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Angel Vilariño 33

Operativa de arbitraje

• La operativa de arbitraje depende de la relación entre la tasa negociada y la tasa forward implícita

• Si f (mercado) < f (implícita)– Presta a largo– Toma a corto– Compra FRA

• Si f (mercado) > f (implícita)– Toma a largo– Presta a corto– Vende FRA

Angel Vilariño 34

N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 4,45 4,95h30 0 4,45 -100 100 100

T 3,85 -101,000 -0,0498 -101,050T+h -101,374 101,417 0,0426

N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 4,45 4,95h30 0 4,45 -100 100 100

T 5,05 -101,000 0,0498 -100,950T+h -101,375 101,417 0,0416

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N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 5,45 4,95h30 0 5,45 100 -100 -100

T 4,85 101,000 0,050 101,050T+h 101,458 -101,417 0,0416

N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 5,45 4,95h30 0 5,45 100 -100 -100

T 6,05 101,000 -0,050 100,950T+h 101,459 -101,417 0,0426

Angel Vilariño 36

Valor razonable (precio) del contrato

Valor del contrato es el valor actual de la liquidación teórica con la tasa de interés forward negociada en el mercado FRA. (si no existe tasa de mercado se utiliza la forward implícita)

El signo + es para la posición compradora y el signo – para la posición vendedora

t con

t Tt

1 1 N( f r )hV L

1 r(T t) 1 r(T t) 1 f h

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Angel Vilariño 37

Ejemplo Valoración FRA

• Una entidad tiene en la cartera de negociación un FRA 3/6, nocional N = 100 millones de euros, comprado con Rcon = 2,90%. En la fecha actual faltan 30 días para la liquidación, la tasa de interés de las Letras del Tesoro a 30 días es z = 3,15 % y la tasa negociada para el FRA 1/4 es f = 3,25%.

•

1 100.000.000(3,25% 2,90%) 0,25V

1 3,15% (30/360) 1 3,25% 0,25

87.263,66 euros

Angel Vilariño 38

Valor del contrato en la fecha inicial

• Si el contrato se ha negociado a precio de mercado la valoración inicial del contrato es un valor nulo ya que el cierre teórico es cero.

• Como f0 = rcon

• En el caso de que el contrato no se haya negociado a precios de mercado el valor inicial no es nulo.

0 con

0t

1 N(f r )hV 0

1 rT 1 f h

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Angel Vilariño 39

Futuros sobre tipos de interés

Contratos sobre tasas de interés negociadas en mercados organizados

En un mercado organizado los participantes aportan garantías remuneradas lo que minimiza el riesgo de contraparte

Las posiciones abiertas se valoran diariamente con los precios de cierre del mercado y se producen ingresos y pagos por cambio de valoración

Angel Vilariño 40

Diferencias entre forwards y futuros

La diferencias entre forward y futuros, como consecuencia de negociarse en mercados distintos, afecta principalmente a:

• la estandarización de los contratos.• la liquidez de las posiciones.• la aportación de garantías.• las fechas de vencimiento de los contratos• el riesgo de crédito de las operaciones.• La reinversión de las ganancias o la financiación de las

pérdidas• Cotización en precios y no en tasas• Comprador gana si sube el precio y vendedor gana si

baja el precio

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Angel Vilariño 41

Diferencias entre forwards y futuros

• Cotización en forma de precios. Por convenio

• Liquidación del contrato (no se actualiza)

0TL N (P P ) h

P 100 f

Angel Vilariño 42

Liquidación diaria

• Contrato sobre Euribor 90 días• Nominal del contrato N = 1.000.000 euros

Día N N acum P P cierre L L acum1 20 20 94,80 94,83 1.500 1.5002 20 20 94,83 94,88 2.500 4.0002 30 50 94,90 94,88 -1.500 2.5003 50 50 94,88 94,95 8.750 11.2504 50 50 94,95 94,98 3.750 15.0004 -50 0 94,96 94,98 -2.500 12.500

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Angel Vilariño 43

Precio operación a plazo con rendimientos del activo

• Bono: Existe un cupón intermedio C que se paga en la fecha t

• Acción : Existe el pago de dividendos que se pagan en la fecha t

FRA o0TP C (1 r (T t)) P (1 rT )

FR A o0 TP D IV (1 r (T t)) P (1 rT )

Angel Vilariño 44

Precio a plazo de un bono con cupón

• Un contrato de compra venta de un bono a plazo tiene el vencimiento dentro de 120 días. Dentro de 90 días existe el pago de un cupón de importe 5% del nominal. El precio contado del bono es P0 = 98, el tipo de interés a 90 días es 2,15%, el tipo de interés a 120 días es 2,22%.

90/120

0T

f 2, 417%

P 98 (1 2,22% (120/360)) 5 (1 2, 417% (30/360)) 93,72

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Angel Vilariño 45

Permutas financieras (swaps)

Un contrato que establece el intercambio de flujos de liquidez en fechas futuras

Existen tantas clases diferentes de permutas financieras como las partes quieran establecer

Gran crecimiento desde 1981 (primer swap histórico) debido a la enorme flexibilidad que presentan

Angel Vilariño 46

Permutas financieras

• Intercambio de flujos de liquidez

• Nocionales iguales o distintos

• Flujos nominados en la misma divisa o en divisas distintas

• Fechas coincidentes o diferentes

• Flujos referenciados a tasas de interés

• Flujos referenciados a rendimientos de acciones o índices bursátiles (equity swap)

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Angel Vilariño 47

Permuta financiera de intereses (Swap genérico)

• Permuta de tasa de interés fija contra tasa de interés variable (IRS, interest rate swap)

• Intereses calculados sobre un nocional con una tasa de interés fija a cambio de intereses calculados sobre el mismo nocional mediante tasas de interés que son desconocidas (variables) en la fecha de la realización del contrato.

• La tasa de interés variable de cada período de liquidación de intereses se determina al inicio del período.

Angel Vilariño 48

Ejemplo de swap de intereses genérico

• Divisa: euro• Principal: 10 millones de euros• Fecha de negociación: 31/12/2004• Fecha valor de entrada en vigor: 2/1/2005• Vencimiento: 2/1/2015• Fechas de liquidación: 2/1 y 2/7 de cada año• Tasa de interés fija: 3,25%• Base: ACT / 360• Tasa de interés variable: LIBOR euro 6 meses• Primera tasa de interés variable establecida: LIBOR 6

meses el 2/1/2005

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Angel Vilariño 49

Valoración del swap genérico de intereses

• El valor de la permuta es la diferencia entre la suma del valor actual de los los flujos variables y la suma del valor actual de los flujos fijos. En la fecha de emisión el valor es nulo para ambas contrapartes (el tipo fijo se determina)

fv MN

i i j j

i 1 j 1

V FV FF

Angel Vilariño 50

Nocional 100 Valor 0,00000 Fijo 2,388

14-2-05 Días cero factor fijo variable FF FV VAFF VAFV

14-5-05 89 2,097 0,9948 2,388 2,097 0,590 0,518 0,587 0,51614-8-05 92 2,251 0,9943 2,388 2,388 0,610 0,610 0,607 0,607

14-11-05 92 2,352 0,9940 2,388 2,521 0,610 0,644 0,607 0,64014-2-06 92 2,410 0,9939 2,388 2,538 0,610 0,649 0,607 0,645

3,9770 2,4075 2,4075

Permuta financiera valoración inicial

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Angel Vilariño 51

Permuta financiera Valoración día siguiente

Nocional 100 Valor 0,0025815-2-05 Días cero factor fijo variable FF FV VAFF VAFV14-5-05 88 2,104 0,99488 2,388 2,097 0,590 0,518 0,587 0,51614-8-05 92 2,280 0,99421 2,388 2,436 0,610 0,623 0,607 0,619

14-11-05 92 2,400 0,99390 2,388 2,606 0,610 0,666 0,607 0,66214-2-06 92 2,415 0,99387 2,388 2,415 0,610 0,617 0,607 0,613

3,9769 2,4074 2,4099

Angel Vilariño 52

Curva de tasas cupón cero

• La curva de tasas cupón cero se obtiene de diversas fuentes:

– Tasas de interés de depósitos interbancarios

– Precios de bonos del tesoro con cupones

– Tasas de interés fijas de swaps a diferentes vencimientos.

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Angel Vilariño 53

Permuta financiera de divisas

• Intercambio de flujos de intereses en divisas diferentes y

generalmente intercambio de principal al final de la

operación a una tasa de cambio acordada en el inicio de

la operación.

Fijo Variable Variable Fijo

Fijo Fijo Variable Variable

Angel Vilariño 54

Ejemplo de swap de divisas genérico

• Divisas: euro y dólar• Principales: 10 millones de euros y 12 millones de USD• Fecha de negociación: 31/12/2004• Fecha valor de entrada en vigor: 2/1/2005• Vencimiento: 2/1/2008• Fechas de liquidación: 2/1 y 2/7 de cada año• Tasa de interés euro: LIBOR euro meses• Tasa de interés dólar: LIBOR dólar 6 meses• Primeras tasas de interés variable establecidas: LIBOR 6

meses el 2/1/2003 de cada divisa.• Tasa de cambio e = 1,20 USD/Euro

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Angel Vilariño 55

Valoración de swaps de divisas

• Curva de tasas de interés cupón cero de cada divisa• Tasas de interés forward implícitas de las referencias del

contrato• Tasa de cambio establecida en el contrato

t t 0 t tV F($) ($) e F( ) ( )

t t0t t

tt

F($) F(eu)V e 0

1 z(eu)1 z($)

Angel Vilariño 56

Cobertura típica con swaps

• Fija a variable (hipotecario)

BancoBanco

ContraparteActivo

Hipotecas f

v

fs

Rendimiento = V + f - fs

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Angel Vilariño 57

Coberturas

• Emisión de bonos a tasa fija. Si pago al mercado tasa variable el valor del bono está estabilizado

Banco BonistasBanco

Contraparte fv

fs

Coste = v + f - fs

Angel Vilariño 58

Diferentes tipos de permutas

• Nocional creciente• Nocional decreciente • Distintos tasas fijas• Variable - Variable en la misma divisa pero la misma

referencia y plazo distinto• Variable – Variable en la misma pero distinta referencia• Fijo – Variable con diferencial

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Angel Vilariño 59

Opciones

• La forma más elemental de un contrato de opciones

consiste en la compra del derecho a comprar, o a

vender, un activo, en una fecha futura determinada y a

un precio establecido.

• La compra del derecho no implica la obligación de

ejercitar el derecho.

Angel Vilariño 60

Opción de compra (call)

A comprador B vendedor o emisor

• A tiene el derecho (pero no la obligación) de comprar a

B un activo a un precio fijado en el contrato, en una

fecha futura establecida.

• B tiene la obligación de vender a A el activo al precio

convenido.

31

Angel Vilariño 61

Opción de compra (call)

• A paga a B un importe por la compra del derecho, es el

precio del contrato, el precio de la opción. Se llama la

prima

• La obtención de una fórmula para el cálculo de la prima

ha sido uno de los avances más importantes de la Teoría

Financiera (Bachelier, Black, Scholes y Merton)

Angel Vilariño 62

Ejemplo opción de compra

• Activo subyacente: Acción cotizada en Bolsa

• Precio de ejercicio: E = 2100

• Precio actual: S = 2000

• Plazo del contrato: 180 días

• Modalidad: Europea

• Prima: 150

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Angel Vilariño 63

Ejemplo liquidación opción de compra

• En el vencimiento T

• a) S = 2300 A ejercita

• b) S = 2150 A ejercita

• c) S = 2050 A no ejercita

• a) Liquidación L = 2300 - 2100= 200

• b) Liquidación L = 2150 – 2100 = 50

• c) Liquidación L = 0

Angel Vilariño 64

Beneficios o Pérdidas opción de compra

• a) A gana 200 – 150 = 50 B pierde -50

b) A pierde 50 – 150 = -100B gana 100

c) A pierde -150B gana 150

33

Angel Vilariño 65

Función de pago opción de compra

T T TC L Max(S E ,0 )

Max(2300 2100,0) 200

Max(2150 2100,0) 50

Max(2050 2100,0) 0

Angel Vilariño 66

Gráfico Función de Pago opción de compra

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

34

Angel Vilariño 67

Beneficios y Pérdidas opción de compra

-500

0

500

1000

1500

2000

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000

Angel Vilariño 68

Opción de venta (put)

A comprador B vendedor o emisor

• A tiene el derecho (pero no la obligación) de vender a B

un activo a un precio fijado en el contrato, en una fecha

futura establecida.

• B tiene la obligación de comprar a A el activo al precio

convenido.

35

Angel Vilariño 69

Opción de venta (put)

• A paga a B un importe por la compra del derecho, es el

precio del contrato, el precio de la opción.

• Se llama la prima de la opción de venta

Angel Vilariño 70

Ejemplo opción de venta

• Activo subyacente: Acción cotizada en Bolsa

• Precio de ejercicio: E = 1900

• Precio actual: S = 1950

• Plazo del contrato: 180 días

• Modalidad: Europea

• Prima: 95

36

Angel Vilariño 71

Ejemplo liquidación opción de venta

• En el vencimiento T• a) S = 2100 A no ejercita • b) S = 1850 A ejercita• c) S = 1750 A ejercita• a) Liquidación L = 0• b) Liquidación L = 1900 – 1850 = 50• c) Liquidación L = 1900 – 1750 = 150

Angel Vilariño 72

Beneficios o Pérdidas opción de venta

• a) A pierde - 95B gana 95

b) A pierde 50 – 95 = – 45B gana 45

c)A gana 150 – 95 = 55B pierde – 55

37

Angel Vilariño 73

Función de pago opción de venta

T T TP L Max(E S ,0 )

M ax(1900 2100 ,0 ) 0

M ax(1900 1850 ,0 ) 50

M ax(1900 1750 ,0 ) 150

Angel Vilariño 74

Gráfico Función de Pago opción de venta

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

38

Angel Vilariño 75

Beneficios y Pérdidas opción de venta

-500

0

500

1000

1500

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Angel Vilariño 76

Clases de opciones

• Europeas: Solo se pueden ejercitar en la fecha de

vencimiento del contrato

• Americanas: Se pueden ejercitar en cualquier fecha hábil

desde la celebración del contrato hasta el vencimiento

• Bermudas: Se pueden ejercitar en varias fechas

anteriores a la fecha de vencimiento del contrato.

39

Angel Vilariño 77

Clases de opciones

• Estándar: Se liquidan en el vencimiento según las expresiones

• Exóticas: Se liquidan de forma diferente a las anteriores o añaden restricciones o condiciones– Digitales, Rango– Asiáticas– Barrera– Máximos y mínimos– Forward start

T T

T T

C Max(S E,0)

P Max(E S ,0)

Angel Vilariño 78

Modelo de Black-Scholes (1973)

• Modelo para valorar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos. El precio de la opción depende de:– S Precio actual de la acción– E Precio de ejercicio– r Tasa de interés libre de riesgo al plazo – q Rendimiento del activo subyacente– T Plazo– Volatilidad de la rentabilidad del subyacente

40

Angel Vilariño 79

Black-Scholes (acciones, divisas, futuros)

• Precio opción de compra (call) europea estándar• Precio opción de venta (put) europea estándar

q T rT1 2

rT q T2 1

c Se N ( d ) E e N ( d )

p E e N ( d ) Se N ( d )

Angel Vilariño 80

Black-Scholes

2

1 2 1

Sln (r q / 2)T

Ed d d TT

N(d ) Pr ob( z d )

N( d ) 1 N(d )

41

Angel Vilariño 81

Volatilidad

• La única variable que no se observa directamente

• Hay que estimarla

• La negociación del precio es en esencia la negociación

de la volatilidad

Angel Vilariño 82

Volatilidad

• Estimación de la volatilidad• Tenemos n observaciones de la rentabilidad diaria

n

t t t 1t t

t 1 t 1 t 1

S S S 1R ln R

S S n

2t(R )

n 1

42

Angel Vilariño 83

Volatilidad anualizada

día

año día

día año

Sea la volatilidad estimada con datos diarios

Se sup one 250 dias hábiles año 250

Si 0,6% 0,6% 250 9,49%

Angel Vilariño 84

Rentabilidad diaria peso mexicano

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06

43

Angel Vilariño 85

Volatilidad 90 sesiones peso mexicano

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 86

Rentabilidad diaria real brasileño

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

04/01/05 04/03/05 04/05/05 04/07/05 04/09/05 04/11/05 04/01/06 04/03/06 04/05/06 04/07/06

44

Angel Vilariño 87

Volatilidad 90 sesiones real brasileño

10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

11-05-05 11-07-05 11-09-05 11-11-05 11-01-06 11-03-06 11-05-06 11-07-06

Angel Vilariño 88

Rentabilidad diaria peso argentino

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

05/01/05 05/03/0 05/05/0 05/07/0 05/09/0 05/11/05 05/01/06 05/03/0 05/05/0 05/07/0

45

Angel Vilariño 89

Volatilidad 90 sesiones peso argentino

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 90

Rentabilidad diaria peso colombiano

-3%

-3%

-2%

-2%

-1%

-1%

0%

1%

1%

2%

2%

05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06

46

Angel Vilariño 91

Volatilidad 90 sesiones peso colombiano

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

14,0%

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 92

Rentabilidad diaria peso chileno

-2%

-2%

-1%

-1%

0%

1%

1%

2%

2%

05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06

47

Angel Vilariño 93

Volatilidad 90 sesiones peso chileno

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

10,0%

12,0%

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 94

Rentabilidad diaria sol peruano

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06

48

Angel Vilariño 95

Volatilidad 90 sesiones sol peruano

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 96

Rentabilidad diaria euro

-2%

-2%

-1%

-1%

0%

1%

1%

2%

2%

3%

05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06

49

Angel Vilariño 97

Volatilidad 90 sesiones euro

9,0

9,2

9,4

9,6

9,8

10,0

10,2

10,4

10,6

11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06

Angel Vilariño 98

Volatilidad histórica 90 sesiones NASDAQ

VOLATILIDAD 90 SESIONES NASDAQ

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

13-may-02 7-Aug-02 31-oct -02 29-Jan-03 25-Apr-03 22-jul-03 15-oct -03 12-Jan-04 7-Apr-04 06-jul-04 29-sep-04

50

Angel Vilariño 99

Precio call Black-Scholes

• Precio de una opción europea de compra sobre una acción que no paga dividendos con los siguientes datos:

• Precio del activo subyacente S = 50 Precio de ejercicio E = 50,10

• Plazo T = 90 días• Tasa de interés libre de riesgo r = 10%• Volatilidad 25%

Angel Vilariño 100

Cálculos

2

1

50 90ln (0,1 (0,25 /2))

50,10 365d 0,2446090

0,25365

2d 0, 2 4 4 6 0 0, 2 5 9 0 / 3 6 5 0, 12 0 4 6

51

Angel Vilariño 101

Cálculos

N(d)

N (0 , 24460 ) 0 , 5966

N (0 ,12046 ) 0 , 5479

N ( 0 , 24460 ) 1 N ( 0 , 24460 ) 0 , 4034

N ( 0 ,12046 ) 1 N ( 0 ,12046 ) 0.4521

Angel Vilariño 102

Precios

• Precios de la opción de compra y de la opción de venta

0,1 90/365

0,1 90/365

C 50 0,59662 e 50,10 0,5479 3,048

P 50,10 0,4521 e 50 0,4034 1,927

52

Angel Vilariño 103

Precio call Black-Scholes

Precio activo 50,00 Opciones europeasPrecio Ejercicio 50,10 Call: 3,048Tasa libre de riesgo 10,00% Put: 1,927Volatilidad 25,00%Tiempo 0,2466Rendimiento activo 0,00%

Angel Vilariño 104

Volatilidad implícita

• Conocido el precio de una opción se llama volatilidad

implícita el valor de la volatilidad que permite obtener el

precio mediante algún modelo de valoración.

53

Angel Vilariño 105

Volatilidad implícita

• Calcule la volatilidad implícita de una opción europea de compra sobre una acción que no paga dividendos que con los siguientes datos se ha cotizado a 1,25 EUROS

• Precio del activo subyacente S = 27 EUROS

• Precio de ejercicio E = 28 EUROS

• Plazo T = 180 días

• Tasa de interés libre de riesgo r = 3%

Angel Vilariño 106

Inputs OutputsPrecio activo 27,00 Opciones europeasPrecio Ejercicio 28,00 Call: 1,25Tasa libre de riesgo 3,00% Put: 1,84Volatilidad 19,98% Precio Forward 27,40Tiempo 0,4932Rendimiento activo 0,00%

54

Angel Vilariño 107

Opciones exóticas

• Opciones que se diferencian en algún rasgo de las opciones estándar.

• Por la forma de la liquidación– Digitales– Máximos y mínimos

• Porque el valor depende de la trayectoria seguida– Barrera

• Por ambas cosas– Asiáticas

Angel Vilariño 108

Opciones digitales

• Opción digital de compra = derecho a recibir un importe

fijo pactado si el precio del subyacente supera el precio

de ejercicio en el vencimiento.

• Opción digital de venta = derecho a recibir un importe

fijo pactado si el precio del subyacente es inferior al

precio de ejercicio en el vencimiento.

55

Angel Vilariño 109

Opciones digitales

• Función de pagos

L L

E E

Angel Vilariño 110

Opciones digitales

• Un contrato da derecho al comprador a recibir 1 millón de euros si dentro de seis meses (185 días) el precio de Telefónica supera los 14 euros.

• Datos: – Precio actual de Telefónica: 13,5 euros– Tipo de interés a 185 días 2,75%– Tasa anualizada de dividendos 1,25%– Volatilidad estimada 23%

56

Angel Vilariño 111


Input Output

Precio activo 13,50 Asset-or-nothing call: 6,218

Precio Ejercicio 14,00 Asset-or-nothing put: 7,195

Tipo libre de riesgo 2,75%

Volatilidad 23,00% Cash-or-nothing call: 393.278

Tiempo 0,51389 Cash-or-nothing put: 592.690

Rendimiento activo 1,25%

Liquidación 1.000.000 Call europea 0,713

Put europea 1,103

Angel Vilariño 112

Depósito con opción digital

• Una entidad financiera ofrece a sus clientes un depósito a 1 año de plazo cuyo tipo de interés es 9% pero se abona solo si el precio de la acción del banco sube respecto al nivel inicial en la fecha de contratación del depósito.

• Datos:– Tipo de interés a 1 año 5%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 30%

57

Angel Vilariño 113

Liquidación del depósito en el vencimiento

T T

TT S E S E

T

0

1 S EL 100 9 1 1

0 S E

100L CD(100 , 9 )

1 5%

CD(100 , 9 ) opción digital de compra

Angel Vilariño 114

Valoración

1 0 09 5 , 2 4

1 5 %

Input Output




Volatilidad 30,00% Cash-or-nothing call: 4,110

Tiempo 1,000 Cash-or-nothing put: 4,451


Liquidación 9 Call europea 13,020

Put europea 10,123

58

Angel Vilariño 115

Opciones rango

• El comprador de una opción rango tiene el derecho a

recibir un importe fijo pactado si en el vencimiento el

precio del activo subyacente se encuentra dentro de un

determinado rango.

• Se puede expresar en función de dos opciones digitales

Angel Vilariño 116

Opción rango

• Opción rango = CD(E) – CD(E´)

E E´

59

Angel Vilariño 117

Contrato rango

• Un contrato da derecho al comprador a recibir un millón de euros si el tipo de cambio del dólar se sitúa en el rango (0,80 euros/USD 0,85 euros/USD) en el plazo de 30 días.

• Datos:

– Tipo de cambio actual 0,825 euros/USD

– Tipo de interés del euro a 30 días 2,60%

– Tipo de interés del dólar a 30 días 4,15%

– Volatilidad 10%

Angel Vilariño 118

Valoración opción digital larga

Input Output








Put europea 0,002

60

Angel Vilariño 119

Valoración opción digital corta

Input Output








Put europea 0,028

Angel Vilariño 120

Valoración del contrato rango

0CR CD(0,80;1.000.000) CD(0,85;1.000.000)

843.040 135.362 707.678 euros

61

Angel Vilariño 121

Opciones sobre el subyacente

• El comprador tiene el derecho a recibir el valor del activo subyacente en el vencimiento si el precio de dicho activo supera el precio de ejercicio.

Angel Vilariño 122

Contrato opción de compra sobre el subyacente

• Un contrato otorga el derecho a recibir el importe líquido equivalente al precio de 100.000 acciones de una determinada acción si en el vencimiento el precio de la acción cotiza por encima de 15 euros

• Datos:– Precio actual de la acción 13,5 euros– Plazo, 1 año– Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 4%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 25%

62

Angel Vilariño 123


Input Output




Volatilidad 25,00% Cash-or-nothing call: 0

Tiempo 1,000 Cash-or-nothing put: 0


Liquidación 0 Call europea 0,864

Put europea 2,043

Angel Vilariño 124

Opciones barrera

• En este tipo de opciones se define un nivel del precio llamado barrera. Si el precio del subyacente “cruza” la barrera se modifican los derechos de la opción.

• Barrera out = la opción muere• Barrera in = la opción nace

• Además si en la fecha de contratación el precio es superior a la barrera se denomina down y si el precio es inferior a la barrera se denomina up

63

Angel Vilariño 125

Clases de opciones barrera

Compra up and in (B E) Compra up and in (B E)

Venta up and in (B E) Venta up and in (B E)

Compra up and out (B E) Compra up and out (B E)

Venta up and out (B E) Venta up and out (B E)

Compra down and in (B E) Com

pra down and in (B E)

Venta down and in (B E) Venta down and in (B E)

Compra down and out (B E) Compra down and out (B E)

Venta down and out (B E) Venta down and out (B E)

Angel Vilariño 126

Contrato de depósito con opción barrera

• Un depósito paga un tipo de interés igual a la rentabilidad (si es positiva) alcanzada por una acción desde la fecha de contratación del depósito hasta la fecha de vencimiento y siempre que la rentabilidad de la acción, medida desde el inicio, no registre ningún día un valor negativo mayor al 3% en valor absoluto.

• Datos:• Plazo 1 año• Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 5%• Tasa de dividendos 2%• Volatilidad 20%

64

Angel Vilariño 127

Valoración de la opción barrera

Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call NA Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put NA Rendimiento activo 2,00% Up and out call NA Barrera 97 Up and out put NA Rebate 0 Down-Options

Down and in call 6,01016 Down and in put 6,32876 Down and out call 3,21684 Down and out put 0,00132

Angel Vilariño 128

Contrato con opciones barrera

• Un depósito paga un tipo de interés cierto de 3% más la rentabilidad (si es positiva) alcanzada por una acción desde la fecha de contratación del depósito hasta la fecha de vencimiento y siempre que la rentabilidad de la acción, medida desde el inicio, no registre ningún día un un valor positivo mayor que el 20%

• Datos:• Plazo 1 año• Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 5%• Tasa de dividendos 2%• Volatilidad 20%

65

Angel Vilariño 129

Valoración opción barrera

Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call 8,095Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 0,231Rendimiento activo 2,00% Up and out call 1,132Barrera 120 Up and out put 6,099Rebate 0 Down-Options

Down and in call NA Down and in put NA Down and out call NA Down and out put NA

Angel Vilariño 130

Compensación (Rebate)

• Una opción barrera puede tener asociado un flujo de

liquidez definido pero contingente que depende del tipo

de opción (out o in)

• En una opción out el comprador de la opción tiene

derecho a recibir la compensación si pierde la opción.

• En una opción in el comprador de la opción tiene

derecho a recibir la compensación si el precio del activo

subyacente no cruza la barrera.

66

Angel Vilariño 131

Depósito con barrera y compensación

• Un depósito a 1 año de plazo se emite con el tipo de interés regido por las condiciones siguientes:– La rentabilidad positiva anual de la acción siempre

que en ningún día la rentabilidad sea superior al 15%– Un 5% si la rentabilidad supera algún día el 15%

desde el inicio de la contratación– Datos:– Tipo de interés libre de riesgo 5%– Volatilidad 20%

Angel Vilariño 132

Valoración opción barrera con compensación

Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call 11,128Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 2,994Rendimiento activo 2,00% Up and out call 2,926Barrera 115 Up and out put 8,164Rebate 5 Down-Options


67

Angel Vilariño 133

Opciones asiáticas media aritmética de precios

• La liquidación de la opción se realiza mediante una media de precios.

• La frecuencia de cómputo se define en el contrato (diaria, semanal, mensual,...)

T TCA M ax(S E, 0 ) PA M ax( E S , 0 )

Angel Vilariño 134

Opción asiática media aritmética de precios de ejercicio

• En esta opción el precio de ejercicio es la media aritmética de los precios.

• También existen las opciones asiáticas media geométrica de precios. Tienen un papel teórico.

T T T TCAE Max(S S,0) PAE Max(S S ,0)

68

Angel Vilariño 135

Opción asiática media aritmética de precios

• Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir en el vencimiento (un año) la diferencia entre la media de los precios de una acción y el precio de ejercicio en el caso de que esta diferencia sea positiva. La media se debe calcular con los precios de cierre de los días 15 de cada mes, una vez transcurrido un mes desde la fecha del contrato. El contrato se inicia el 15/02/06 y finaliza el 15/02/07.Datos: Precio de la acción 12 Euros, Precio de ejercicio 13 euros, Tipo de interés a 1 año 3%, Dividendos 2%, Volatilidad 30%

Angel Vilariño 136

Opciones asiáticas

Input OutputPrecio del activo 12 Resultados de la simulaciónPrecio de ejercicio 13 Call asiática 0,5145tipo de interés 3% Put asiática 1,4236Volatilidad 30,0% Call ejercicio media 0,79Tiempo al vencimiento 1,00 Put ejercicio media 0,73Rendimiento del activo 2,00% Call europea 1,066intervalos 12 Put europea 1,924nº simulaciones 50.000

Resultados analíticosCall europea 1,066Put europea 1,919

69

Angel Vilariño 137

Simulación de Monte Carlo

• Proceso estocástico de los precios• Los parámetros r, q y hay que estimarlos

2t t t t

t t t

2t t

t t

S S exp (r q /2) t t

S 100 r 3% q 2% 25% t 1/12 1,3413

S 100exp (0,03 0,02 0,25 /2)(1/12) 0,25 1/12 1,3413

S 102,135

Angel Vilariño 138

Precios simulados

EPSILON PRECIO100,00

1,3413251 102,1350,9328414 103,6440,8251004 104,9960,8714733 106,443-0,5536913 105,5071,2506393 107,6050,2527781 108,026-0,1901287 107,693-1,1027169 105,8221,4516081 108,270

70

Angel Vilariño 139

Simulación de nueve trayectorias

4

4,2

4,4

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

5,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Angel Vilariño 140

Valoración opción asiática

n

1 i 1 1

i 1

n

2 i 2 2

i 1

n

N i N N

i 1

1Trayectoria 1 S S C Max( S E,0 )

n

1Trayectoria 2 S S C Max( S E,0 )

n

....

1Trayectoria N S S C Max( S E,0 )

n

71

Angel Vilariño 141

Valoración opción asiática

N N

0 i iT Ti 1 i 1

Pr ecio de la opción : Valor actual del valor esperado

Estimación del valor esperado la media

1 1 1 1C C Max(S E,0)

N N(1 z) (1 z)

Angel Vilariño 142

Opciones escalera

• Las opciones escalera son un tipo especial de opciones de trayectoria dependiente, cuya liquidación al vencimiento es ajustada automáticamente, según que el precio del activo subyacente alcance determinados niveles.

• Por ejemplo, en el caso de una opción de compra (call) que tiene establecido un número determinado de niveles, la liquidación al vencimiento asegura, al menos, la diferencia entre el nivel alcanzado y el precio de ejercicio inicial.

72

Angel Vilariño 143

Función de pago opción escalera

• La función de pago de una opción europea call escalera, precio de ejercicio fijo es:

T T i

i

L Max(S E,B E,0)

B valor de la máxima barrera franqueada

Angel Vilariño 144

Opción escalera con un escalón

• Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir la

mayor rentabilidad positiva, de una determinada acción,

entre la obtenida al vencimiento y el 10% siempre que

dicho valor de la rentabilidad lo haya conseguido la

acción durante la vida del contrato.

73

Angel Vilariño 145

Diseño de la cartera para un escalón

• 1.- Compra de una opción europea call con precio de ejercicio E.

• 2.- Venta de una opción put europea con precio de ejercicio E.

• 3.- Compra de una opción barrera put up and out con precio de ejercicio E y barrera L.

• 4.- Compra de una opción europea put con precio de ejercicio L.

• 5.- Venta de una opción barrera put up and out con precio de ejercicio L y barrera L.

Angel Vilariño 146

Trayectorias relevantes

74

Angel Vilariño 147

Liquidación según las trayectorias

Opción A B C D E 1 ST –E ST –E 0 ST –E 0 2 0 0 -( E - ST ) 0 - ( E – ST ) 3 0 0 0 0 E - ST 4 0 L - ST L - ST L - ST L – ST 5 0 0 0 - ( L - ST ) - ( L – ST ) CT ST –E L – E L – E ST –E 0

Angel Vilariño 148

Precio de la opción

• El precio de la opción es igual al precio de la cartera

formada por las posiciones que generan los flujos de

liquidez del contrato

CE C(E) P(E) PUO(E, L) P(L) PUO(L, L)

75

Angel Vilariño 149


• Datos– Precio del activo subyacente 15 euros– Precio de ejercicio 15 euros– Barrera 15+10%x15 = 16,5– Plazo 1 año– Tipo de interés a 1 año 3%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 28%

Angel Vilariño 150

Opciones de compra y de venta

OPCIONES estándar EUROPEAS Modelo Black-Scholes

CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA1,703 0,558459 0,091679 0,841 6,674 5,776PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA1,557 -0,421740 0,091679 0,699 -7,883 5,776

S E r q sigma T dias15,00 15,00 3,00% 2,00% 28,00% 365

76

Angel Vilariño 151

Opción barrera PUO(15, 16,5)

Inputs OutputsPrecio activo 15 Call europea 1,703Precio ejercicio 15 Put europea 1,557Tipo de interés 3,00% Up-OptionsVolatilidad 28% Up and in call 1,696Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 0,580Rendimiento activo 2,00% Up and out call 0,007Barrera 16,5 Up and out put 0,977Rebate 0 Down-Options


Angel Vilariño 152

Opción barrera PUO(16,5; 16,5)

Inputs OutputsPrecio activo 15 Call europea 1,133Precio ejercicio 16,5 Put europea 2,443Tipo de interés 3,00% Up-OptionsVolatilidad 28% Up and in call 1,133Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 1,046Rendimiento activo 2,00% Up and out call 0,000Barrera 16,5 Up and out put 1,397Rebate 0 Down-Options


77

Angel Vilariño 153

Precio de la opción

CE C(E) P(E) PUO(E,L) P(L) PUO(L,L)

1,703 1,557 0,977 2,443 1,397 2,169

Angel Vilariño 154

Contrato escalera en un fondo de inversión

• Un fondo de inversión garantiza a los participes el 90 % del principal (es decir la inversión inicial) y como mínimo el 10% si el IBEX 35 supera en algún momento dicha rentabilidad desde la fecha de contratación del fondo. En el caso de que en el vencimiento la rentabilidad alcanzada por el IBEX 35 sea superior al 20% el fondo garantiza dicha rentabilidad a los partícipes.

• Plazo 3 años• Tipo de interés cupón cero a tres años 4%• Volatilidad del IBEX 35 22%

78

Angel Vilariño 155

Valoración

CUPON CERO 80,01C(100) 16,727P(100) 11,243PUO(100,110) 5,520P(110) 16,240PUO(110,110) 7,314ESCALERA 19,930BONO+OPCION 99,94

Angel Vilariño 156

Cálculo del delta de la opción escalera

1 1 1

1 2 2 2

Se puede hacer analít icamente dado que

PUI(E, B ) PUI(B , B )CE C(E)

S S S S

PUI(B , B ) PUI(B , B )

S S

79

Angel Vilariño 157

Cálculo del delta de la opción escalera

•

Pero numéricamente puede resultar más sencillo

Se perturba ligeramente el precio del subyacente

y se vuelve a valorar la opción.

Por ejemplo S = 142,1 CE = 4,4918

CE(S+ S) - CE(S) 4,4918 - 4,4158= = =

S 0,1

0,7600

Angel Vilariño 158

Opción escalera con precio de ejercicio flotante

t 1 t 2T T T 1 T 2S B S B

1 2

Un contrato otorga el derecho a :

C Max(S E,(S B ) 1 ,(S B ) 1 ,0)

E B B

80

Angel Vilariño 159


Angel Vilariño 160


81

Angel Vilariño 161

Cartera que replica la opción

• 1.- Compra de una opción call down and out con precio de ejercicio E y barrera B1 .

• 2.- Compra de una opción call down and in con precio de ejercicio B1 y barrera B1 .

• 3.- Venta de una opción call down and in con precio de ejercicio B1 y barrera B2 .

• 4.- Compra de una opción call down and in con precio de ejercicio B2 y barrera B2 .

Angel Vilariño 162

Función de pago

A B C D E F G H I 1 ST - E 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ST - B1 ST - B1 0 ST - B1 ST - B1 0 0 3 0 0 0 0 0 -(ST –B1) -(ST –B1) 0 0 4 0 0 0 0 0 ST- B2 ST- B2 ST- B2 0 CT ST - E 0 ST - B1 ST - B1 0 ST - B2 ST - B2 ST - B2 0

82

Angel Vilariño 163

Opción de compra con prima diferida

TT T S E

Opción de compra que solo paga la prima

si está en dinero en el vencimiento

L Max(S E,0 ) C 1

Opción call estándar opción call digital

Angel Vilariño 164

Función de pago

83

Angel Vilariño 165

Valoración

qT rT rT1 2 2

(q r )T 1

2

El precio en la fecha de contratación debe ser cero

C(E) CD(C,E) 0

Se N(d ) Ee N(d ) Ce N(d ) 0

N(d )C Se E

N(d )

Angel Vilariño 166

Ejemplo prima diferida

• Calcule el importe de la prima diferida en una opción de compra con los datos:

• S = 4000 euros• E = 4100 euros• r = 3%• q = 1%• volatilidad = 30%• T = 90 días

84

Angel Vilariño 167

Solución

2

1

2

2 1

1 2

(q r )T (0,01 0,03)90 / 3651

2

ln(S / E) (r q 0,5 )Td

T

ln(4000 / 4100) (0,03 0,01 0,5 0,3 )90 / 3650,05628

0,3 90 / 365

d d T 0,05628 0,3 90 / 365 0,20268

N(d ) 0,47756 N(d ) 0,41828

N(d ) 0,47756C Se E 4000e

N(d )

4100 4900,41828

Call estándar 203

Angel Vilariño 168

Opción de venta con prima diferida

TT T S E

rT qT rT2 1 2

( q r )T1

2

En una opción de venta con prima dif erida

L M ax( E S , 0 ) P 1

Ee N( d ) Se N( d ) Pe N( d ) 0

Se N( d )P E

N( d )

85

Angel Vilariño 169

Valor de la opción en una fecha cualquiera

• El contrato nace con precio cero pero en una fecha posterior en general no será de precio cero.

• Precio = Precio opción estándar – Precio opción digital

•t tr (T t ) r (T t )q(T t )

t 1t 2 2tS e N(d ) Ee N(d ) Ce N(d ) 0

Angel Vilariño 170

Opción forward start

• En una opción forward start el precio de la opción es

pagado en la fecha actual pero la vida de la opción

comienza en una fecha futura. Se especifica la condición

de que en la fecha de comienzo de la vida de la opción,

el precio de ejercicio es un múltiplo del precio del activo

subyacente.

86

Angel Vilariño 171

Fechas y utilización

• Existen tres fechas de interés:• t, la fecha actual• t1 , la fecha del comienzo de la vida de la

opción• T, la fecha de vencimiento

• Estas opciones se utilizan dentro de las políticas de incentivos salariales para algunos segmentos de empleados o para la alta dirección.

• También para el diseño de fondos y productos estructurados

Angel Vilariño 172

Valoración

11 1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

tq(T t ) r (T t )t t 1 2

21 1

1 2 11

r(t t ) r(t t ) q(T t ) r (T t )t t t 1 2

r(t t ) q(T t ) r (T t )t 1 2

SC S e N(d ) Ee N(d ) k

E

ln k ( r q 0 ,5 )(T t )d d T t

T t

1C e E (C ) e E (S ) e N(d ) e N(d )

k

1C e e N(d ) e N(d )

k

1

1 1 1 1

( r q )(t t )t

q(t t ) q(T t ) r (T t )t 1 2

e S

1e S e N(d ) e N(d )

k

87

Angel Vilariño 173

Opción de compra para directivos

• Un directivo recibe 250.000 opciones sobre las acciones de la empresa y las opciones entran en vigor dentro de tres meses desde hoy, y vencen pasados nueve meses desde la fecha de entrada en vigor. El precio de ejercicio se establece mediante la relación S = 0,9 E siendo S el precio de la acción dentro de tres meses.

• El precio de la acción hoy es S = 15 euros, el tipo de interés a 90 días es 3,25% y a un año es 3,45%, la volatilidad es 30%, la tasa de dividendos es 2%.

• Calcule el importe de las opciones recibidas por el directivo.

Angel Vilariño 174

Valoración

1t

1

2

1 2

0,02 (3 /12) 0,02 (9 /12)

S (1 3,45%) 360k 0,90 r 1 3,49%

E (1 3,25% (90 / 360) 270

ln0,90 (3,49% 2% 0,5 0,3 )(9 /12)d 0.23661 d 0,49463

0,3 9 /12

N( 0,23661) 0,40648 N( 0,49463) 0,31043

1C e 15 e 0,40648

0,0349 (9 /12)e 0,31043 0,9614360,9

Importe 250.000 0,961436 240.359 euros

88

Angel Vilariño 175

Opciones cuanto

• Lo que caracteriza a una opción cuanto es que se

denomina en una divisa distinta a la del activo

subyacente. Las funciones de pago de las opciones call y

put de, por ejemplo, un inversor español, con un

subyacente (acciones, índice,…) nominado en dólares

son:

Angel Vilariño 176

Liquidación en el vencimiento

p T

p T

C(euros/ acción)

e (euros/ dólar)Max(S (dólar / acción) E(dólar / acción),0)

P(euros/ acción)

e (euros/ dólar)Max(E(dólar / acción) S (dólar / acción),0)

89

Angel Vilariño 177

Valoración

f S e

f S e

( r r q )T rTp 0 1 2

( r r q )T rTp 0 1 2

2S

f S e

1 2 1 SS

C e S e N(d ) Ee N(d )

P e S e N( d ) Ee N( d )

Sln ( r q )T

E 2d d d TT

Angel Vilariño 178

Opción cuanto

• Opción de compra europea vencimiento dentro de

seis meses sobre una acción en dólares cuyo precio

actual es S = 120 USD, precio de ejercicio E = 118 USD,

el tipo de cambio pactado 0,99 euros/USD. El tipo de

interés del euro es 4% y el tipo de interés del dólar

5,5%. La tasa de dividendos de la acción es 2%, la

volatilidad de la acción es 25%, la volatilidad del tipo de

cambio es 8% y el coeficiente de correlación es 0,45.

90

Angel Vilariño 179

Valoración (Haug)

Fixed exchange rate ( Ep ) 0,99Asset price ( S* ) 120,00Strike price ( X* ) 118,00Time to maturity ( T ) 0,50Domestic rate ( r ) 4,00%Foreign rate ( rf ) 5,50%Dividend yield ( q ) 2,00%Volatility stock ( S* ) 25,00%

Volatility currency ( E ) 8,00%Correlation ( ) 0,45Value 10,0350

Angel Vilariño 180

Opciones americanas

• La característica esencial de las opciones americanas es que pueden ejercitarse en cualquier instante desde la fecha de emisión de la opción hasta la fecha de vencimiento. No existe en general una solución analítica cerrada para la valoración de opciones americanas.

• Supongamos dos opciones, una americana y otra europea, con los mismos parámetros, salvo la característica anterior.

• La opción americana posee un derecho adicional frente a la opción europea: el derecho de ejercicio anticipado, que se reflejará en el precio como una prima de ejercicio anticipado.

91

Angel Vilariño 181

Precio de una opción seudo americana

• La opción seudo americana fue creada por Fischer Black [1975]. No proporciona un precio exacto para la opción call americana, pero está dentro de la modelización de Black-Scholes y es una estimación que utiliza un aparato formal sencillo.

• La valoración requiere las siguientes etapas:• 1. Cálculo de los valores actuales de todos los

dividendos que serán pagados antes de la fecha de vencimiento de la opción.

• 2. Cálculo de un precio ajustado, definido por el precio actual menos el valor actualizado de los dividendos futuros del apartado 1.

Angel Vilariño 182

Precio de una opción seudo americana

• 3. En cada fecha de pago de dividendos, se reduce el precio de ejercicio en el valor actual de todos los dividendos, incluyendo el último dividendo pagado.

• 4. En cada fecha de pago de dividendos, valorar una opción europea call, utilizando el precio ajustado de ejercicio y el de la acción.

• 5. Seleccionar el mayor valor de todos los calculados, como estimación del precio de la opción call americana.

92

Angel Vilariño 183

Valoración seudo americana

0

1 1 1

2 2 2

S 60 euros E 60 euros T 180 días

r 3 ,30% 20%

Pago de dividendos :

t 60 días D 2 euros r 3%

t 150 días D 3 euros r 3 , 20%

Angel Vilariño 184

Valoración

2 1T t t

1)Valor actual de los dividendos

2 3VA(D) 4,95

1 3% (60 / 360) 1 3,20% (150 / 360)

2)Valor ajustado de la acción

S S VA(D) 60 4,95 55,05

3) Corrección del precio de ejercicio

E 60 E 60 3 57 E 60 2 3 /(1 3,32% 90 / 360) 55,

02

93

Angel Vilariño 185

Valoración opción de compra seudo americana

SA

C(55 ,05 ; 60 ; 180 ) 1,589

C(55 ,05 ; 57 ; 150 ) 2,282

C(55 ,05 ; 55 ,02; 60 ) 1,930

C Max(1,589 ; 2,282;1,930 ) 2,282

Angel Vilariño 186

Modelo de Barone-Adesi y Whaley (1987)

2q

2S

C(S,T ) c(S,T ) A S S*S*

C(S,T ) S E S S*

c(S,T ) es el precio de la europea

(b r)T1

2

1 e N d (S*)S* E c(S* .T) S*

q

94

Angel Vilariño 187

Modelo de Barone-Adesi y Whaley (1987)

(b r)T2 1

2

S*A 1 e N d (S* ) b r q

q

2

2

2 2

M(N 1) (N 1) 4

kq2

2b 2rN M

Angel Vilariño 188

Valoración Barone-Adesi Whaley

Opción americana de compra con datos :

S 100 E 100 T 35 días

25% r 3% q 6%

95

Angel Vilariño 189

Calculadora de opciones Haug

Asset price ( S ) 100,00Strike price ( X ) 100,00Time to maturity ( T ) 0,0959Risk-free rate ( r ) 3,00%Cost of carry ( b ) -3,00%Volatility ) 25,00%Barone-Adesi and Whaley 2,95

Angel Vilariño 190

Opciones sobre tipos de interés

• Opciones sobre bonos

• Opciones sobre FRA (cap floor)

• Opciones sobre permutas financieras

96

Angel Vilariño 191

Opciones sobre bonos

• En los mercados organizados se negocian opciones sobre el

futuro del bono

• Se utiliza el modelo de Black (Opción sobre un futuro)

rT1 2

rT2 1

2

1 2 1

C e FN ( d ) EN ( d )

P e EN ( d ) FN ( d )

Fln T

Ed d d TT

Angel Vilariño 192

Opciones sobre tipos de interés a corto plazo

T capT

T

T

cap

CAP : El comprador t iene derecho en T a

N(r (h) r )hL Max ,0

1 r (h)

N nocional , r ( h) t ipo en T al plazo h

r t ipo de ejercicio, h plazo

97

Angel Vilariño 193

Interpretación del contrato

T capcap T

Tcap T

T cap T

La liquidación coincide con un FRA comprado

1 1L N(1 r h)Max ,0

1 r h 1 r ( h)h

1 1E S precio de bonos

1 r h 1 r ( h)h

L N(1 r h)Max(E S ,0 )

Angel Vilariño 194


2 0 T 10

0 T 0 0 00

20 T

1 2 1

Fó rm u la d e B la c k ( O p c ió n p u t s o b re e l f u t u ro )

1P EN ( d ) F N ( d )

1 r (T )T

1F S (1 r (T )T ) (1 r (T )T )

1 r (T h )h

ln ( F / E ) 0 , 5 Td d d T

T

98

Angel Vilariño 195

Opciones sobre tipos de interés a corto plazo

:

( ( )),0

1 ( )

, ( )

,

floor TT

T

T

floor

Floor El comprador tiene derecho en T a

N r r h hL Max

r h

N nocional r h tipo en T al plazo h

r tipo de ejercicio h plazo

Angel Vilariño 196

Interpretación del contrato

1 1(1 ) ,0

1 ( ) 1

1 1

1 1 ( )

(1 ) ( ,0)

T floorT floor

Tfloor T

T floor T

La liquidación coincide con un FRA vendido

L N r h Maxr h h r h

E S precio de bonosr h r h h

L N r h Max S E

99

Angel Vilariño 197


0T 1 20

0T 0 0 00

20T

1 2 1

Fórmula de Black (Opción call sobre el futuro)

1P F N(d ) EN(d )

1 r (T)T

1F S (1 r (T)T) (1 r (T)T)

1 r (T h)h

ln(F /E) 0,5 Td d d T

T

Angel Vilariño 198

Cálculo de la volatilidad

0T 0T

20T 0T

0T 0T

F f

1F lnF ln(1 fh)

1 fh

dF dFdf dfh Var h Var

F 1 fh F 1 fh

h

100

Angel Vilariño 199

Valore un cap y un floor con los siguientes datos:

Nocional 1.000.000 euros;

tipo de interés Euribor a 90 días 4,65%;

tipo de interés Euribor a 180 días 4,70%;

tipo de interés del contrato 5%;

volatilidad anualizada del forward 2,50%.

Angel Vilariño 200

Valoración cap y floor

Nocional corto largo forward contrato1.000.000 90 180 90/180 R contrato

4,65% 4,70% 4,75% 5,00%

F E sigma f sigma F d10,98827 0,98765 2,50% 0,63% 0,20095

d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,19785 0,57963 0,57842 0,42037 0,42158

h Cap Floor90 942,6 1553,2

101

Angel Vilariño 201

En el vencimiento de los contratos anteriores el tipo de interés Euribor a 3 meses es 5,20%.

Calcule la liquidación del cap y del floor.

T Cap

T

N r h r hCap L Max , 0

1 r h

1.000.000 5,20% 5% 0,25Max , 0

1 5,20% 0,25

Angel Vilariño 202

floor Tfloor

T

N r r h hC Max , 0

1 r h h

1.000.000 5% 5,20% 0,25Max , 0 0

1 5,20% 0,25

102

Angel Vilariño 203

Una entidad financiera contrata con una empresa un collar con los datos anteriores a precio cero. El tipo de interés del cap es 5% y el tipo de interés del floor es 4,60%.

Valore el contrato y explique el beneficio que puede conseguir la entidad financiera.

Precio cap (5%) = 942,6

Precio floor (4,50%) = 1050,0

Diferencia = 1050,0 - 942,6 = 107,4

Angel Vilariño 204

Swap diferido. Una permuta financiera que se negocia hoy pero se inicia en una fecha futura (similar a una operación a plazo).

El tipo de interés del swap diferido se obtiene con la misma metodología de valoración que el swap actual.

Opción sobre una permuta financiera (swaption)

V VAFF VAPV 0

103

Angel Vilariño 205

El comprador tiene el derecho a entrar en un swap diferido (comienza en el vencimiento de la opción) pagando el tipo de interés de ejercicio y recibiendo variable.

Ejercitará el derecho si en el vencimiento el tipo de interés del swap cotizado en el mercado es superior al de ejecicio.

El vendedor recibe la prima y tiene la obligación de pagar variable y recibe el fijo de ejercicio (si la opción se ejercita).

Opción de compra de pagador fijo

Angel Vilariño 206

El comprador tiene el derecho a entrar en un swap diferido (comienza en el vencimiento de la opción) pagando el tipo de interés variable y recibiendo el tipo de interés de ejercicio.

Ejercitará el derecho si en el vencimiento el tipo de interés del swap cotizado en el mercado es inferior al de ejecicio.

El vendedor recibe la prima y tiene la obligación de actuar como contraparte (pagar variable y recibir fijo) si el comprador ejercita la opción.

Opción de venta de pagador variable

104

Angel Vilariño 207

N: nocional del contrato. Bj: precio del bono cupón cero de nocional unitario al plazo tjtj-tj-1 : período de interés.S : tasa de interés del swap diferido.E: tasa de interés de ejercicio.

Precio de la opción de compra de pagador fijo

k

j j j 1 1 2j 1

C N B t t SN d EN d

2

1 2 1

Sln TE 2d d d T

T

σ: volatilidad de ΔS/ST: plazo de la opción.

Angel Vilariño 208

N: nocional del contrato. Bj: precio del bono cupón cero de nocional unitario al plazo tjtj-tj-1 : período de interés.S : tasa de interés del swap diferido.E: tasa de interés de ejercicio.

Precio de la opción de venta de pagador variable

k

j j j 1 1 2j 1

P N B t t SN d EN d

2

1 2 1

Sln TE 2d d d T

T

σ: volatilidad de ΔS/ST: plazo de la opción.

105

Angel Vilariño 209

Swap diferido

N S Valor1.000.000 4,37% 0

CC Bj f FV VAFV FF VAFF1 4,00% 0,961538 4,000%2 4,10% 0,922781 4,200% 42.001 38.758 43.703 40.3283 4,20% 0,883887 4,400% 44.003 38.894 43.703 38.6284 4,25% 0,846634 4,400% 44.001 37.253 43.703 37.0005 4,30% 0,810174 4,500% 45.002 36.460 43.703 35.407

Angel Vilariño 210

Opciones sobre swap diferido

N S E SIGMA T d1 d210,000,000 4.37% 4.37030% 4% 1 0.0200 -0.0200

Suma N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) Compra Venta3.463476 0.50796936 0.49201265 0.49203064 0.50798735 24152 24153

106

Angel Vilariño 211

Opciones con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes

Son opciones en las que el precio de ejercicio se estableceen una divisa X y el precio del activo subyacente estánominado en otra divisa Y. La liquidación de la call y la putse realizan con las fórmulas siguientes:

T T T

T T T

C N Max(e S E,0)

P N Max(E e S ,0)

Angel Vilariño 212

Opciones con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes

N nocional Te tipo de cambio en la fecha de vencimiento en unidades

de la divisa X por una unidad de la divisa Y

TS precio del activo subyacente en el vencimiento en

unidades de la divisa Y E precio de ejercicio en unidades de la divisa X

107

Angel Vilariño 213

Liquidación de una opción de venta con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes

A compra a B una opción de compra cuyo precio de ejercicio es E 20 euros sobre una acción nominada en libras esterlinas. El nocional es N 20.000 acciones y el vencimiento dentro de 180 días. A paga a B 29.632 euros en concepto de prima. En el vencimiento el precio de la acción es TS 40 libras esterlinas y el tipo de cambio queda establecido en Te 0,67 euros/£ B abona al comprador A la siguiente liquidación, L 20.000 Max(0,67 40 20,0) 136.000 euros

Angel Vilariño 214

Opción lookback

Las opciones lookback tienen la propiedad de que la función

de pago depende del valor máximo o mínimo alcanzado por

el precio del activo subyacente durante la vida de la opción.

En el gráfico 1, 0T es la fecha de inicio del contrato, 0 es la

fecha actual y Tes la fecha de vencimiento del contrato.

108

Angel Vilariño 215

Gráfico 1

Angel Vilariño 216

Máximos y mínimos

Definimos los siguientes máximos y mínimos:

0

0T t 0M M a x ( S / t T , 0 )

0

0T t 0m M in ( S / t T , 0 )

0 0

0 0T TM y m son respectivamente el máximo y el mínimo del

precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0T , 0 T

0 tM M a x ( S / t 0 , T ) T0 tm M in ( S / t 0 , T )

T T0 0M y m son respectivamente el máximo y el mínimo del

precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0 , T

0 0

T 0 TT T 0M M a x ( M , M )

0 0

T 0 TT T 0m M in ( m , m )

0 0

T TT TM y m son respectivamente el máximo y el mínimo del

precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0T , T

109

Angel Vilariño 217

Opciones lookback estándar

Call: En la fecha del vencimiento la función de pagos es la

diferencia entre el precio del activo subyacente y el mínimo

0

TTm :

0

TT T TC S m

La liquidación puede ser cero si 0

TT TS m

Put: En la fecha del vencimiento la función de pagos es la

diferencia entre el máximo 0

TTM y el precio del activo

subyacente 0

TT T TP M S

La liquidación puede ser cero si 0

TT TS M

Angel Vilariño 218

Opción lookback estándar

Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir delvendedor la diferencia entre el precio de una determinadaacción en el vencimiento del contrato y el valor mínimo quealcance el precio de la acción durante la vida del contrato.El nocional del contrato es N = 4.000 acciones. Elcomprador abona 20.089 euros al vendedor en concepto de prima. En el vencimiento el precio de la acción es

TS 32 euros y el valor mínimo alcanzado por el precio de

la acción es 0

TTm 28 euros . El vendedor abona al

comprador el importe de:

L 4.000 (32 28) 16.000 euros

110

Angel Vilariño 219

Ejemplo valoración lookback estándar

Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 12,905Precio ejercicio 95 Put europea 6,294Tipo de interés 6,00% Lookbacks estándarVolatilidad 25,00% Call 18,871Tiempo 1,0 Put 19,642Rendimiento activo 4,00% Lookbacks ExtremosMinimo actual 95 Call 26,254Máximo actual 102 Put 12,260

Angel Vilariño 220

Opciones lokback sobre extremos

En este caso se define un precio de ejercicio E y las

funciones de pago de las opciones lookback sobre

extremos, call y put, respectivamente son:

0

0

TT T

TT T

C Max(M E,0)

P Max(E m ,0)

111

Angel Vilariño 221

Ejemplo Opción lookback sobre extremos

Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir ladiferencia entre el precio de ejercicio E 42 euros y el valor mínimo del precio de la acción durante la vida delcontrato y siempre que esa diferencia se positiva. El nocional es N = 8.000 acciones. El comprador abona62.258 euros en concepto de prima. En el vencimiento secalcula el mínimo del precio de la acción durante la vida delcontrato

0

TTm 36 por lo que el vendedor paga al

comprador: L 8.000 Max(42 36,0) 48.000 euros

Angel Vilariño 222

Ejemplo Lookback sobre extremos

Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 12,905Precio ejercicio 95 Put europea 6,294Tipo de interés 6,00% Lookbacks estándarVolatilidad 25,00% Call 18,871Tiempo 1,0 Put 19,642Rendimiento activo 4,00% Lookbacks ExtremosMinimo actual 95 Call 26,254Máximo actual 102 Put 12,260

112

Angel Vilariño 223

Opciones lookback con riesgo limitado(opciones barrera)

Las funciones de pago de las opciones call y put son

respectivamente

TT0

T T M MC M ax( S E , 0 ) 1

TT0

T T , m mP M ax( E S 0 ) 1

La opción de compra se liquida como una opción de compra

estándar pero sometida a la restricción de que el valor

máximo del precio de la acción no supera un nivel prefijado

M . La opción de venta se liquida como una opción de venta

estándar pero sometida a la restricción de que el valor

mínimo no sea inferior a un nivel prefijado m.

Angel Vilariño 224

Ejemplo Opción lookback con riesgo limitado

Un contrato establece que el comprador tiene el derecho arecibir la diferencia entre el precio del activo subyacente(una acción) y el precio de ejercicio, E 25 euros , siempre que está diferencia sea positiva y además siempre que elmáximo de los precios de la acción durante la vida delcontrato no supere el valor m 32 euros . El nocional del contrato es N 3.500 acciones. El comprador abona al vendedor 10.234 euros en concepto de prima. En elvencimiento el precio del activo subyacente es

TS 30 euros pero el máximo alcanzado por el precio de la

opción es 0

TTM 32,8 euros por lo que el vendedor no

debe abonar nada al comprador.

113

Angel Vilariño 225

Opciones parcialmente lookback

Las funciones de pago de las opciones call y put,

parcialmente lookback, se definen respectivamente

mediante,

0

TT T TC Max(S m ,0) 1

0

TT T TP Max( M S ,0) 0 1

De este modo las liquidaciones serán siempre inferiores a

las de las opciones lookback estándar.

Angel Vilariño 226

Ejemplo Opción parcialmente lookback

Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir delvendedor la diferencia entre 0,9 veces el máximo alcanzadopor el precio de la acción en la vida del contrato y el preciode la acción siempre que esa diferencia sea positiva. Elnominal del contrato es N 4.500 acciones . El comprador abona 12.000 euros al comprador en concepto de prima.En el vencimiento TS 25 euros y el máximo alcanzado por

el precio de la acción es 0

TTM 32 euros . El vendedor abona

al comprador L 4.500 Max(0,9 32 25,0)

4.500Max(28,8 25,0) 17.100 euros

114

Angel Vilariño 227

Opciones a elegir

En las opciones a elegir el comprador tiene el derecho de

elegir en una fecha futura, antes del vencimiento del

contrato, si la opción comprada es call o put.

En el inicio se fija el precio de ejercicio.

Angel Vilariño 228

Ejemplo Opciones a elegir

A compra a B una opción, que vence dentro de dos meses,

con la condición de poder elegir entre call o put dentro de

un mes. El precio de ejercicio es E 22 euros y el nocional

es N 22.000 acciones . El comprador abona 29.234 euros

al vendedor en concepto de prima. Transcurrido el mes el

comprador elige put. En el vencimiento el precio de la

acción es E 23,62 euros en cuyo caso el vendedor no

debe pagar nada al comprador.

115

Angel Vilariño 229

Valoración de la opción a elegir

En la fecha t en la que se elige el contrato vale

t t tV Max(C ,P )

Por la paridad put-call

q(T t) r(T t)t t tP S e C Ee

r(T t) q(T t)t t t t

r(T t) q(T t)t t

q(T t) (r q)(T t)t t

V Max(C , C Ee S e )

C Max(0,Ee S e )

C e Max(0, E S )

Angel Vilariño 230


Es una opción call con vencimiento en T y

(r q)(T t)e opciones put con vencimiento en t y

precio de ejercicio r(T t)E Ee

q(T t) (r q)(T t)0 0 0V C (E,T) e P (Ee ,t)

116

Angel Vilariño 231


t T

0

t T

r t f(T t) r T

T t

(r q )(T t) ( 4,22% 2,5%) 185 / 365

S 25 euros E 25 euros t 90 días T 275 días

r 4% r 4,15% q 2,5% 23%

Tipo de int erés forward e e e

r T r t 4,15% 275 / 365 4% 90 / 365r f 4,22%

T t (275 90)/ 365

E Ee 25 e 24,78

3

Angel Vilariño 232

Opción call C(25, 275)

Call Delta Gamma Theta Rho Lambda2,094 0,55385 0,077417 1,421 8,854 8,385

Put Delta Gamma Theta Rho Lambda1,791 -0,42749 0,077417 1,029 -9,401 8,385

S E r q s T días T años25,0 25 4,15% 2,50% 23,0% 275 0,7534d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) N'(d1)

0,16209 -0,03755 0,5644 0,4850 0,4356 0,5150 0,39374

117

Angel Vilariño 233

Opción put P(24,783;90)



S E r q s T días T años25,0 24,783 4,00% 2,50% 23,0% 90 0,2466d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) N'(d1)

0,16582 0,05161 0,5659 0,5206 0,4341 0,4794 0,39349

Angel Vilariño 234

Precio de la opción a elegir

q(T t) (r q)(T t)0 0 0

2,5% 185/365

V C (E,T) e P (Ee ,t)

2,094 e 0,978 3,060 euros

118

Angel Vilariño 235

Opciones sobre máximos y mínimos

Existen opciones que se definen sobre varios subyacentes,

acciones, índices, divisas o cualquier otro activo, y cuya

función de pago en el vencimiento depende de la relación

entre los precios de dichos activos.

Angel Vilariño 236

Opciones sobre máximos y mínimos

Un fondo de inversión garantizado o un producto

estructurado que tiene vinculado el rendimiento en el

vencimiento a la mejor rentabilidad conseguida por un

índice entre una cesta de varios (dos o más). La posible

existencia de una relación de correlación entre los

rendimientos de los activos es una pieza clave en la

valoración de estos instrumentos financieros.

119

Angel Vilariño 237

Opción de compra sobre lo mejor de dos activos y liquidez

El propietario de esta opción tiene el derecho a recibir en el

vencimiento

T 1T 2TC Max(S ,S ,E )

Siendo 1TS el precio del activo 1 en el vencimiento T, 2TS

el precio del activo 2 en el vencimiento T y E el importe de

la liquidez que está fijada en la fecha de realización del

contrato.

Angel Vilariño 238

Ejemplo de opción sobre lo mejor de dos activos y liquidez

Datos: 10 20

1 2 1

2 12

S 22 euros S 24 euros E 23 euros

T 1año r 4% q 2% q 1% 25%

27% 0,7

120

Angel Vilariño 239

Valoración opción sobre dos activos y liquidez

Input OutputPrimer activo Exchange call 1,25Precio activo 22 Exchange put 2,45Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 25,475Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 3,376Precio activo 23 Put sobre el máximo de dos act 1,4573Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 21,1777Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 1,2991Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 3,0791

Precio Ejercicio 23Tipo libre de riesgo 4,00%

Angel Vilariño 240

Ejemplo de opción sobre lo mejor de dos activos y liquidez

10 20

1 2 1

2 12


T 1año r 4% q 2% q 1% 25%

27% 0,7

121

Angel Vilariño 241

Valoración opción dos activos y liquidez



Angel Vilariño 242

Correlación alta negativa

10 20

1 2 1

2 12


T 1año r 4% q 2% q 1% 25%

27% 0,90

122

Angel Vilariño 243

Correlación alta negativa

Input OutputPrimer activo Exchange call 19,22Precio activo 100 Exchange put 20,20Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 118,534Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 22,455Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 0,3097Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 81,2381Correlación -0,9000 Call sobre el mínimo de dos act 0,2019Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 17,4807


Angel Vilariño 244

Opción sobre el máximo de dos activos

En este caso vamos a suponer que se trata de la opción

anterior pero existe un precio de ejercicio cuyo importe es

E.

La función de pagos en el vencimiento es

T 1T 2T 1T 2TC Max 0,Max(S ,S ) E Max(S ,S ,E) E

123

Angel Vilariño 245

Datos

10 20

1 2 1

2 12


T 1año r 4% q 2% q 1% 25%

27% 0,7

Angel Vilariño 246

Valoración opción call sobre el máximo de dos activos



124

Angel Vilariño 247

Opción de compra sobre el mejor de dos activos

Una opción de compra sobre el mejor de dos activos es un

caso especial de la opción de compra sobre lo mejor de dos

activos y liquidez. Hacemos E = 0

T 1T 2TC Max(S ,S ,0)

Angel Vilariño 248

Opción de venta sobre el máximo de dos activos

La función de pago es T 1T 2TP Max 0,E Max(S ,S )

125

Angel Vilariño 249

Datos

10 20

1 2 1

2 12


T 1año r 4% q 2% q 1% 25%

27% 0,7

Angel Vilariño 250

Valoración opción put sobre el máximo de dos activos



126

Angel Vilariño 251

Opción de compra sobre el mínimo de dos activos

Esta opción tiene la siguiente función de pago

T 1T 2TC Max 0,Min(S ,S ) E

Angel Vilariño 252

Valoración opción call sobre el mínimo



127

Angel Vilariño 253

Opción de compra sobre el mínimo de dos activos

Es una opción de compra que se define mediante la

siguiente función de pago,

T 1T 2T 1T 2TC Min(S ,S ) Max 0,Min(S ,S ) 0

Luego es un caso particular de la opción estudiada en el

apartado anterior cuando E=0.

Angel Vilariño 254

Opción de venta sobre el mínimo de dos activos

La función de pago es,

T 1T 2TP Max 0,E Min(S ,S )

128

Angel Vilariño 255

Valoración put sobre el mínimo de dos activos



Angel Vilariño 256

Ejemplo Opciones sobre máximos y mínimos

En este ejemplo vamos a mostrar los diferentes valores de

las liquidaciones según el tipo de opción.

Suponemos que en el vencimiento se verifica

1T 2TS 48.000 euros S 44.000 euros y E está dado

E 40.000 euros

129

Angel Vilariño 257


i) Opción de compra sobre lo mejor de dos activos y liquidez

T 1T 2TC Max(S ,S ,E) Max(48.000,44.000,40.000) 48.000

ii) Opción sobre el máximo de dos activos

T 1T 2TC Max 0,Max(S ,S ) E

Max(0,Max(48.000,44.000) 40.000) 8.000

Angel Vilariño 258


iii) Opción de compra sobre el mejor de dos activos

T 1T 2TC Max(S ,S ,0 )

Max( 48.000, 44.000,0 ) 48.000

iv) Opción de venta sobre el máximo de dos activos

T 1T 2TP Max 0, E Max(S ,S )

M ax(0, 40.000 Max( 48.000, 44.000 )) 0

130

Angel Vilariño 259


v) Opción de compra sobre el mínimo de dos activos

T 1T 2 TC M a x 0 , M in( S , S ) E

M a x ( 0 , M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 ) 4 0 .0 0 0 ) 4 .0 0 0

vi) Opción de compra sobre el peor de dos activos

T 1T 2 TC M in( S , S ) M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 ) 4 4 .0 0 0 vii) Opción de venta sobre el mínimo de dos activos

T 1T 2 TP M a x 0 , E M in( S , S )

M a x ( 0 , 4 0 .0 0 0 M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 )) 0

Angel Vilariño 260

Opciones sobre opciones

Son opciones que tiene como activo subyacente otraopción. Existen por lo tanto cuatro posibilidades: i) Call sobre Call T TC Max(CS E,0 ) ; TCS precio de la opción call subyacente ii) Put sobre Call T TP Max( E CS ,0 ) ; TCS precio de la opción call subyacente iii) Call sobre Put T TC Max(PS E,0 ) ; TPS precio de la opción put subyacente iv) Put sobre Put T TP Max( E PS ,0 ) ; TPS precio de la opción put subyacente

131

Angel Vilariño 261

Opciones sobre opciones

Existen dos precios de ejercicio y dos fechas de ejercicio.

Por ejemplo, una call sobre una call. En la primera fecha de

ejercicio T1 el comprador paga el primer precio de ejercicio

E1 y recibe una opción call. Este activo le da el derecho a

comprar el activo subyacente a un precio E2 en la fecha T2 .

Como en cualquier otra opción de compra el comprador

ejercitará en T1 si el precio de la opción subyacente es

mayor que el precio de ejercicio E1 También puede

liquidarse en efectivo.

Angel Vilariño 262

Opción de compra sobre opción de venta (callsobre put)

Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir en elvencimiento, dentro de tres meses, la diferencia entre elprecio de una opción de venta, negociada en un mercadoorganizado, sobre un determinado activo subyacente, y elprecio de ejercicio fijado en E 2,50 euros . El nocional es N 15.000 opciones de venta . El comprador abona 6.317 euros al vendedor en concepto de prima. En el vencimientoel precio de la opción de venta subyacente es

TP 3,58 euros . El vendedor abona al comprador el siguiente importe:

L 150.000 M ax( 3,58 2,5; 0 )

156.000 euros

132

Angel Vilariño 263

Ejemplo opciones sobre opciones

Input para la opción subyacente OutputPrecio del activo 500 Precio crítico activo opciones sobre call 582,9732Precio Ejercicio 500 Precio de call sobre call 11,15Tipo libre de riesgo 6,00% Precio de put sobre call 50,18Volatilidad 25,00% Precio crítico activo opciones sobre put 393,0188Tiempo 1,0000 Precio de call sobre put 2,18Rendimiento activo 2,00% Precio de put sobre put 60,43

Input para la opción compuesta Otros resultadosTiempo 0,5000 Call europea 58,01Precio Ejercicio 100 Put europea 38,80

Angel Vilariño 264

Medidas de sensibilidad

133

Angel Vilariño 265

Griegas

• Parámetros de sensibilidad de los precios de las opciones

• Sirven para diseño de coberturas

• Para construcción de sintéticas

• Para la medición de riesgos

• Se obtienen calculando las derivadas parciales de los

precios de las opciones respecto a la variable

considerada

Angel Vilariño 266

Delta

Delta es la tasa de cambio del precio de la opción respecto al cambio del precio del activo subyacente

Es aproximadamente igual el cociente entre la variación del precio de la opción y una pequeña variación del precio del activo subyacente

f fS S

134

Angel Vilariño 267

Deltas de call y put estándar europeas

• Delta call

• Delta put

qTcall 1 calle N(d ) 0 1

qTput 1 pute N( d ) 1 0

Angel Vilariño 268

Gamma de opciones call y put estándar europeas

Gamma es aproximadamente el cociente entre la

variación de delta y una pequeña variación del precio

del activo subyacente

2

2

fS S S

135

Angel Vilariño 269

Gamma

• Gamma call y put

q T 1N ( d )

eS T

Angel Vilariño 270

Lambda

Lambda es el cociente entre la variación del precio de la

opción y una pequeña variación de la volatilidad de la

rentabilidad del activo subyacente

f f

136

Angel Vilariño 271

Theta

Theta es aproximadamente el cociente entre la variación

del precio de la opción y una pequeña variación del

tiempo

f fT T

Angel Vilariño 272

Rho

Rho es aproximadamente el cociente entre la variación

del precio de la opción y una pequeña variación de la

tasa de interés

f fr r

137

Angel Vilariño 273

Efecto de las variables sobre el precio de la opción europea estándar

+-q

-+r

++s

--T

-+S

pc

Angel Vilariño 274

Cobertura delta neutra

• Una opción europea sobre una acción está definida por los siguientes parámetros

• Precio del activo subyacente S = 6000• Precio de ejercicio E = 6000• Plazo T = 90 días• Tipo de interés libre de riesgo r = 10%• Tasa de dividendos q = 2%• Volatilidad 25%• Calcule para N = 50.000 acciones una cobertura delta

neutra. Al día siguiente la acción cotiza a 5965. Explique el resultado de la cobertura y que reajuste de cartera hay que realizar.

138

Angel Vilariño 275

Delta = - 0,41053 Put = 237,984



S E r q s T días6000 6000,00 10,0% 2,0% 25% 90d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)

0,22097 0,09683 0,58744 0,53857 0,41256 0,46143

Angel Vilariño 276

Cobertura delta-neutra

Cálculo del número de put

V HS NP

V H S N P H S N S 0

(H N ) S 0 H N 0 N H/

139

Angel Vilariño 277

Cálculos

H N50.000 121.794

H S N C L300.000.000 28.985.074 -28.985.074

H S N C L298.250.000 30.654.400 -28.993.125-1.750.000 1.669.326 -8.051

Angel Vilariño 278

Delta = 0,42948 Put = 251,689



S E r q T días5965 6000,00 10,0% 2,0% 25% 89

d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,17235 0,04890 0,56842 0,51950 0,43158 0,48050

140

Angel Vilariño 279

Efecto tiempo

El paso del tiempo hace caer el precio de la put

T 364,278 ( 1/365) 0,998

N T 121.794 ( 0,998) 121.553

Angel Vilariño 280

Reajuste

• Cálculo del número de opciones con el nuevo delta

• 121.794 – 116.420 = 5.374• Vende 5374 put y reduce la liquidez tomada

H 50.000

N 116.4200,42948

141

Angel Vilariño 281

Opciones sintéticas

• Call larga• Diseñamos la posición opuesta a una call corta, porque

lo que neutraliza a una call corta es una call larga.• Hallamos la cartera de acciones y liquidez que con una

call corta es delta neutra

Angel Vilariño 282

Call larga

• Posición larga en acciones y corta en liquidez

V HS NC N 0 V H S N C 0

V H S N S 0 H N 0 H N

N 0 0 H 0

142

Angel Vilariño 283

Ejemplo

• H = 150 opciones S = 2000 E = 1950• T = 180 días r = 8% q = 2%• Call = 187,912 Delta = 0,63574• H= -N x0,63574 = 95• Coste = 95 x 2000 = 190.000• Préstamo tomado L = 190.000• Call larga = 95 acciones y préstamo

Angel Vilariño 284

Día siguiente

• S = 2025 Call = 203,637 Delta = 0,66137

Variación precio opción:

• 150 x (203,637- 187,912) = 2.358,75

• Variación cartera opción sintética:

• Acciones: 95 x (2025 – 2000) = 2.375

• Variación posición liquidez: 190.000x8%x(1/360)= 42,22

• Variación opción sintética: 2.375-42,2=2.332,8

143

Angel Vilariño 285

Opciones sintéticas: Equivalencias

• Opción de compra comprada = mS – B

• Opción de compra vendida = -mS + B

• Opción de venta comprada = -mS + B

• Opción de venta vendida = mS – B

Angel Vilariño 286

Cobertura delta-gamma

• Una cartera está formada por una opción de compra vendida sobre 1000 acciones con precio de ejercicio E1 = 5000

• Diseñe una cobertura delta-gamma con otra opción de compra de precio de ejercicio E2 = 5100 y con el activo subyacente.

• Datos: S = 5100, r = 3% q = 1% T = 90 días Sigma 25 %

144

Angel Vilariño 287

Solución

• Cartera

1 1 2 2

1 1 2 2

V N C N C HS

V N C N C H S

1 1 2 2

1 1 2 2

N N H 0

N N 0

1 1 2 2C S C S

Angel Vilariño 288

Datos de C1

CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA315,78 0,60159 0,0006075 545,650 678,656 973,994

PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA191,49 -0,39595 0,0006075 447,630 -545,134 973,994

S E r q Sigma T días5100 5000 3,0% 1% 25% 90

d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,26131 0,13717 0,60307 0,55455 0,39693 0,44545

145

Angel Vilariño 289

Datos de C2

CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA263,89 0,53921 0,0006253 555,353 613,006 1002,615

PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA238,86 -0,45833 0,0006253 454,355 -635,260 1002,615

S E r q Sigma T días5100 5100 3,0% 1% 25% 90

d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,10180 -0,02235 0,54054 0,49109 0,45946 0,50891

Angel Vilariño 290

Solución

Sistema de ecuaciones

1 1 2 2

1 1 2 2

N N H 0

N N 0

2

2

1000 0,60159 N 0,53921 H 0

1000 0,0006075 N 0,0006253 0

146

Angel Vilariño 291

Solución

C1 Delta 1 Gamma1315,78 0,60159 0,0006075

C2 Delta 2 Gamma2263,89 0,53921 0,0006253

N1 N2 H-1000 971 78

Angel Vilariño 292

Día siguiente S=5200Variación del precio de mercado de la

cartera

• Día 0

0V 1000 315,78 971 263,89 78 5100 652.991

0V 315.777 256.354 396.637 652.991

147

Angel Vilariño 293

Día siguiente

N1 N2 H L V-1000 971 78

315,78 263,89 5100-315.777 256.354 397.800 -654.154 -315.777

377,44 319,36 5200-377.439 310.245 405.600 -654.208 -315.802-61.662 53.891 7.800 -55 -25

Angel Vilariño 294

Derivados

de crédito

148

Angel Vilariño 295

Permuta de incumplimiento de crédito (Credit default swaps)

• El credit default swaps (CDS) es un instrumento diseñado para aislar el riesgo de crédito (riesgo definido mediante un determinado evento de crédito).

• Una parte del contrato, el comprador de protección, paga a la otra parte, el vendedor de protección, una prima (fee, spread)

• Si se produce un evento de crédito el vendedor de protección está obligado a pagar el importe de la pérdida al comprador de protección.

Angel Vilariño 296

Credit default swap

Comprador Vendedor

Emisor

149

Angel Vilariño 297

Transferencia del riesgo

• El comprador de protección ha transferido al vendedor de protección el riesgo de crédito definido mediante los eventos de crédito (por ejemplo quiebra, incumplimiento de pago de intereses, principal,…) pero no el riesgo derivado de los cambios de spread (sin default) o de los cambios de los tipos de interés libre de riesgo.

• El comprador de protección asume un nuevo riesgo de crédito: el de contraparte originado en el vendedor de protección.

Angel Vilariño 298

Liquidación

Liquidación en el caso de realización del evento de crédito:Liquidación en efectivo: a) Nocional menos valor de mercado del activo de referenciab) Precio inicial menos precio finalLiquidación física:Intercambio del nocional por el activo de referencia.

150

Angel Vilariño 299

Liquidación

• Otras formas:

Precio inicial (nocional o mercado) menos valor después del impago fijando tasa de recuperación a priori. Este credit default swap se denomina digital.Si el activo de referencia es un préstamo se podría utilizar un bono del mismo emisor para la valoración después del impago.En los contratos realizados predomina la liquidación física.

Angel Vilariño 300

Elementos clave del contrato

• Entidad de referencia• Activos de referencia• Definición de los eventos de crédito• Nocional, Vencimiento, Divisa• Prima (fee, spread)• Método de liquidación

Agente de valoración. Fecha de valoraciónFecha de entrega del activo

151

Angel Vilariño 301

Características frecuentes

• Nocionales entre 5 y 100 millones de USD/EUR• Media 10 millones• Vencimientos hasta 10 años• Liquidez plazo 5 años• Divisas: USD/EUR• Fecha valor: D + 3• Entidades de referencia: Corporaciones EEUU, Europa y

Gobiernos.

Angel Vilariño 302

Prima CDS

Precio de la protección.Los modelos de valoración determinan el spread con la condición de que el valor inicial del CDS sea nulo (como en un swap)

Cuando se produce el evento impago el pago del spread se detiene, pero se paga la parte devengada hasta la fecha de liquidación del contrato.

La cotización del CDS se hace en puntos básicos sobre el nocional del CDS.

152

Angel Vilariño 303

Prima CDS

Los pagos se realizan a intervalos regulares.

Trimestrales o semestrales

El pago se realiza al final del intervalo temporal.

Se suele utilizar las convenciones de los swaps, por

ejemplo ACT/360

168 pb, trimestral (días exactos 92), Nocional = 10 millones USD

168 9210.000.000 42.933, 33 USD

10.000 360

Angel Vilariño 304

Pago de prima al comienzo

• Cuando la entidad de referencia es de bajo rating la prima exigida por el dealer se divide en dos partes:– Una cantidad pagada en la fecha de la transacción

(up-front) por el comprador de protección.– Una prima pagada periódicamente (trimestral o

semestral)• La suma de las dos componentes es equivalente a la

prima del CDS calculada convencionalmente

153

Angel Vilariño 305

Motivación, Utilización

• El riesgo de crédito puede individualizarse y gestionarse

• No existe transferencia de la propiedad del activo

• Flexibilidad respecto a modular contrapartes, plazos, eventos de crédito.

• Se mantiene la relación con el acreditado

• Posibilidad de tomar posiciones cortas en riesgo de crédito (comprador de protección no tiene el activo)

• Posibilidades de gestión de la cartera de créditos por concentración, riesgos seleccionados y regulación

Angel Vilariño 306

Ejemplo CDS

• Un inversor tiene una posición larga en un bono emitido

por la Compañía ABC. El bono cotiza con un spread de

200 pb. y el plazo residual del bono es 10 años. El

inversor quiere cubrir el riesgo de crédito a un plazo de

tres años y entra, como comprador, en un credit default

swap con las características siguientes:

154

Angel Vilariño 307

Ejemplo CDS

• Comprador de protección: Inversor• Vendedor de protección: Dealer• Vencimiento: tres años• Entidad de referencia: Compañía ABC• Bono de referencia: Bono emitido por la Compañía ABC,

plazo 10 años, cupón 8,50%. Nocional = 10 MM euros• Evento de crédito: Quiebra, Incumplimiento mayor que

un mínimo establecido y reestructuración.

Angel Vilariño 308

Ejemplo CDS

• Pago en caso de evento de crédito: – Nominal x (100% - Valor de mercado activo)

• Prima CDS: 1,25% anual• Periodicidad pago de la prima: Trimestral• Dato= TIR bono sin riesgo i = 7%

155

Angel Vilariño 309

Precio del bono y nocional del contrato

2 10

8,5 8,5 108,5B(0) ... 96,79

1 7% 2% (1 7% 2%) (1 7% 2%)

Nocional Efectivo 10.000.000 96,79% 9.679.000

125 90Pago periódico 9.679.000 30.246,88

10.000 360

Angel Vilariño 310

Flujos CDS

• El valor de los bonos es 3.500.000

Comprador Vendedor 1 T -30.246,88 + 30.246,88 2 T -30.246,88 + 30.246,88 3 T -30.246,88 + 30.246,88

evento 9.679.000 3.500.000

156

Angel Vilariño 311

Permuta del rendimiento total

• El concepto central de una permuta de rendimiento total (total return swaps) es la replicación de todos los rendimientos de un activo.

• El inversor asume todos los riesgos del activo (básicamente riesgo de mercado y riesgo de crédito)

• La mayoría de estos contratos tienen como activo subyacente un bono negociado en un mercado secundario.

Angel Vilariño 312

Permuta del rendimiento total

• El inversor intercambia un pago variable más o menos un margen a cambio de todos los rendimientos.

• El pago variable es habitualmente LIBOR sobre el nocional del contrato.

• El hecho de tener derecho a todos los rendimientos totales implica que el inversor puede tener rendimientos negativos, cuando el precio del activo subyacente baja.

157

Angel Vilariño 313

Permuta de rendimiento total

• La rentabilidad final del inversor va a depender de los

intereses recibidos, de los cambios de precio del activo,

del LIBOR pagado, de la prima pactada y, en su caso, de

la liquidación realizada en caso de default del emisor del

bono subyacente.

Angel Vilariño 314

Permuta del rendimiento total (Total return swaps)

A paga a B en fechas

• el cupón de un bono emitido por C

• el cambio de precio del bono desde el último pago si es positivo, es decir

• El valor de recuperación del bono (si entra en default)

iT 1,2,...,N

i i 1C(T ) C(T )

158

Angel Vilariño 315

Ejemplo Permuta del rendimiento total

• Fecha valor: 3 días hábiles desde la transacción.

• Fecha de vencimiento: La primera de las siguientes fechas:

– Un año desde la fecha valor

– Fecha de realización de un evento de crédito

– Fecha de realización de un evento de crédito de Pagador o Receptor.

Angel Vilariño 316


• Precio inicial: 94%

• Precio actual: El precio de oferta del activo subyacente expresado como porcentaje calculado por el Agente de Cálculo de acuerdo con el Método de Cálculo a las 11h. (hora de Nueva York) 3 días hábiles antes de la Liquidación Final.

• Rendimiento total pagado: Todos los cupones del activo subyacente recibidos por el Pagador.

159

Angel Vilariño 317


• Fecha de pago del Rendimiento total: Dos días hábiles después de que los cupones son recibidos.

• Tipo variable pagado por el receptor: LIBOR tres meses más margen calculado sobre el Nocional Principal inicial. LIBOR es el cotizado por BBA 2 días antes del comienzo de liquidación de un período de intereses.

• Margen: 0,50% anual

• Liquidación final: En la fecha de vencimiento el Receptor según haya elegido en la fecha inicial:

Angel Vilariño 318

• 1. Liquidación en efectivo calculada como:((Precio actual-Precio inicial)/Precio inicial)*NocionalPrincipal inicialSegún el signo así es el sentido de la liquidación

• 2. Liquidación física: Entrega del activo de referencia por el pagador a cambio del importe inicial del activo.

160

Angel Vilariño 319


• Eventos de crédito: Quiebra, Incumplimiento, reestructuración afectando al activo de referencia o a la Corporación ABC.

• Colateral (opcional): 10% del Nocional Principal inicial en liquidez o en títulos del gobierno de EEUU. El colateral puede ser ajustado según cambio de valor del activo subyacente.

• Agente de cálculo: Dealer

Angel Vilariño 320


• Método de cálculo: – Por un panel de dealers (entre 4 y 6) que cotizan

precios del activo de referencia para calcular en base a ellos un precio medio.

– Mediante la utilización de un servicio de difusión de precios (Bloomberg, Reuters, Telerate,…)

– El Método de cálculo se debe elegir en la fecha de entrada en la transacción.

161

Angel Vilariño 321

Racionalidad de la transacción

• El contrato facilita a un inversor entrar en los rendimientos (y riesgo) de un activo (activo subyacente) sin la adquisición del activo y por lo tanto sin el desembolso del precio inicial del activo.

• El receptor entra en los riesgos del activo realizando una compra sintética.

• El pagador puede estar cubriendo el riesgo de crédito o puede tomar una posición corta sobre el activo en el caso de no tenerlo en propiedad.

Angel Vilariño 322

Riesgos del receptor

• Riesgo de default: está expuesto a los eventos de crédito definidos en el contrato que afectan al activo subyacente y al emisor del activo subyacente. También soporta el riesgo de contraparte del pagador.

• Riesgo de spread de crédito: El cambio de precio del bono está vinculado a los cambios en el spread cotizado sobre el tipo de interés libre de riesgo.

• Riesgo de interés libre de riesgo: También influye sobre el precio del bono.

162

Angel Vilariño 323

Ventajas de la Permuta del rendimiento total

• El receptor está largo en el activo de referencia sin necesidad de realizar la inversión en el bono. Existe apalancamiento.

• El pagador consigue la cobertura del activo de referencia si es propietaria del activo.

• La separación entre la transacción y la propiedad del activo o los derechos de un contrato de préstamo.

• La separación entre el vencimiento del activo de referencia y el vencimiento de la transacción.

Angel Vilariño 324

Ventajas de la Permuta de rendimiento total

• Si el pagador no tiene el activo de referencia entonces

ha creado una posición corta sobre el activo. Hay que

tener en cuenta que la creación de posiciones cortas es

prácticamente imposible acudiendo al préstamo de

valores.

• Ventajas potenciales por coste de financiación dado que

el principal no hay que financiarlo.

163

Angel Vilariño 325

Usuarios

• Bancos: Bancos con rating bajo y altos costes de financiación pueden encontrar ventajoso entrar en la permuta del rendimiento total, al igual que inversores en las mismas condiciones.

• Hedge funds utilizan ampliamente estas estructuras para apalancarse y acceder a activos con riesgo de crédito salvando las dificultades de escasa liquidez (poco importe negociado) de algunos activos cotizados.

Angel Vilariño 326

Modelo de valoración

•

n

s ii 1

n

ci 1

Se va lo ra ca d a " p a ta " d e l con tra to

P a ta d e l sp re a d (p re m iu m le g) :

V s G(0, i)Q (0, i)

P a ta d e la com p e n sa c ión (c om p e n sa tio n le g) :

V (1 R ) G(0, i) (Q (0, i 1) Q (0, i) )

164

Angel Vilariño 327

Determinación del spread

s c

n

i 1C D S n

ii 1

n

i i 1 ii 1

C D S n

i i ii 1

E q u i l ib r io : V V

G (0 , i) (Q (0 , i 1) Q (0 , i) )

s (1 R )

G (0 , i)Q ( 0 , i)

G ( 0 , T ) (Q (0 , T ) Q (0 , T ) )

s (1 R )

G (0 , T )Q (0 , T )

Angel Vilariño 328

Prima de un CDS

• Contrato a tres años de plazo

• Nocional N = 5 millones de euros

• Pagos trimestrales

• Tasa de recuperación estimada R = 50%

• Probabilidades de supervivencia y tipos de interés cupón

cero en la tabla siguiente:

165

Angel Vilariño 329

Datos

01/04/2006 z G(0,Ti) i Q(0,Ti)01/07/2006 3,15% 0,992298 91 0,99378701/10/2006 3,20% 0,984332 92 0,98754401/01/2007 3,24% 0,976262 92 0,98134101/04/2007 3,29% 0,968148 90 0,97531001/07/2007 3,32% 0,960018 91 0,96925001/10/2007 3,38% 0,951317 92 0,96316101/01/2008 3,42% 0,942740 92 0,95711101/04/2008 3,45% 0,934326 91 0,95116401/07/2008 3,47% 0,926056 91 0,94525401/10/2008 3,48% 0,917905 92 0,93931701/01/2009 3,50% 0,909540 92 0,93341601/04/2009 3,51% 0,901596 90 0,927680

Angel Vilariño 330

Cálculos

01/04/2006 Q(0,Ti) Q(i-1)-Q(i) d(i)*G(i)*Q(i) G(i)(Q(i-1)-Q(i))01/07/2006 0,993787 0,006213 0,24927 0,00616601/10/2006 0,987544 0,006243 0,24842 0,00614501/01/2007 0,981341 0,006203 0,24483 0,00605601/04/2007 0,975310 0,006031 0,23606 0,00583901/07/2007 0,969250 0,006060 0,23521 0,00581801/10/2007 0,963161 0,006088 0,23416 0,00579201/01/2008 0,957111 0,006050 0,23059 0,00570401/04/2008 0,951164 0,005947 0,22464 0,00555601/07/2008 0,945254 0,005910 0,22127 0,00547301/10/2008 0,939317 0,005938 0,22034 0,00545001/01/2009 0,933416 0,005900 0,21696 0,00536701/04/2009 0,927680 0,005736 0,20910 0,005172

2,77086 0,06854spread 1,24%

166

Angel Vilariño 331

Determinación del spread del CDS

n

ii 1

n

i 1

n

i 1n

ii 1

G(0,i) Q(0,i) 2,77086

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,06854

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))0,06854

s (1 R) (1 0,5) 1,24% 124pb2,77086

G(0,i) Q(0,i)

Angel Vilariño 332

Sensibilidad de la prima (spread del CDS)

• El spread es función de los tipos de interés libre de

riesgo, de las probabilidades de supervivencia y de la

tasa de recuperación.

• A) Sensibilidad a cambios en los tipos de interés cupón

cero

• B) Sensibilidad a cambios en las probabilidades de

supervivencia

• C) Sensibilidad a cambios en la tasa de recuperación

167

Angel Vilariño 333

Cambios en los tipos de interés cupón cero Incremento 1%

01/04/2006 z G(0,Ti) i Q(0,Ti)01/07/2006 4,15% 0,989914 91 0,99378701/10/2006 4,20% 0,979584 92 0,98754401/01/2007 4,24% 0,969198 92 0,98134101/04/2007 4,29% 0,958865 90 0,97531001/07/2007 4,32% 0,948534 91 0,96925001/10/2007 4,38% 0,937667 92 0,96316101/01/2008 4,42% 0,926967 92 0,95711101/04/2008 4,45% 0,916498 91 0,95116401/07/2008 4,47% 0,906212 91 0,94525401/10/2008 4,48% 0,896064 92 0,93931701/01/2009 4,50% 0,885752 92 0,93341601/04/2009 4,51% 0,875939 90 0,927680

Angel Vilariño 334

Nuevos cálculos iz 1%


2,72910 0,06750spread 1,24%

168

Angel Vilariño 335

Cambios en los tipos de interés cupón cero

n

ii 1

n

i 1

n

i 1n

ii 1

G(0,i) Q(0,i) 2,72910

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,06750

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))2,72910

s (1 R) (1 0,5) 1,24% 124pb0,06750

G(0,i) Q(0,i)

Angel Vilariño 336

Cambio de las probabilidades de supervivencia 1%

0,90000

0,91000

0,92000

0,93000

0,94000

0,95000

0,96000

0,97000

0,98000

0,99000

1,00000

Inicial Final

169

Angel Vilariño 337

Nuevo spread


2,72748 0,09457spread 1,73%

Angel Vilariño 338

Cambio de las probabilidades de supervivencia 1%

n

ii 1

n

i 1

n

i 1n

ii 1

G(0,i) Q(0,i) 2,72748

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,09457

G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))2,72748

s (1 R) (1 0,5) 1,73% 173pb0,09457

G(0,i) Q(0,i)

s 173 124 49 pb (1 R) Q 0,5 1% 50 pb

170

Angel Vilariño 339

Cambio de la tasa de recuperaciónR = 60% antes R = 50%

n

ii 1

n

i 1

n

i 1n

ii 1

G(0, i) Q(0, i) 2,77086

G(0, i)(Q(0, i 1) Q(0, i)) 0,06854

G(0, i)(Q(0, i 1) Q(0, i))0,06854

s (1 R) (1 0,6) 0,99% 99 pb2,77086

G(0, i) Q(0, i)

s 124s R 0,10 25 pb 99 124

1 R 1 0,5

Angel Vilariño 340

Valoración del CDS en una fecha cualquiera

n

mercado contrato ii 1

En una fecha posterior el valor del contrato se obtiene

mediante el " cierre teórico" (marked to market)con el spread de mercado

para un CDS con las mismas características

VR (s s )N G(0,i)Q(0,i)

para el compra

dor y para el vendedor

171

Angel Vilariño 341

Ejemplo

• Un CDS se ha contratado con un spread de 52 puntos básicos. Un año después el CDS al plazo de 2 años se cotiza en el mercado con un spread de 67 pb. Mediante las probabilidades de supervivencia obtenidas en la nueva fecha y los precios de los bonos cupón cero se calcula el valor de la pata del spread. El nocional del contrato es N = 5 millones de euros

8

ii 1

G(0,i)Q(0,i) 198,544726

Angel Vilariño 342

Valor razonable del contrato

n

m ercado contrato ii 1

VR (s s )N G(0, i) Q (0, i)

(0,65% 0,52%) 5.000.000 198,544726

1.485.041 euros

(com prador) y (vendedor de protecc ión)

172

Angel Vilariño 343

Credit Linked Notes

• El contrato CLN es un Credit Default Swap (CDS) empotrado

en un bono con riesgo.

• Una entidad tiene una posición larga sobre un activo con

riesgo de crédito. Emite unos bonos cuyo riesgo está vinculado

a dicho activo. La entidad paga los intereses siempre que no se

produzca el evento de default del activo subyacente y en el

vencimiento el principal de los bonos.

Angel Vilariño 344

CLN

Compradorde

protección

Entidad dereferencia

Inversores

Liquidez inicial

Intereses

100

100-R

173

Angel Vilariño 345

Credit Linked Notes

• En el caso de default se liquida como un CDS, es decir

nominal menos valor de la referencia dado el default,

mediante entrega de títulos emitidos por la entidad de

referencia o mediante un importe equivalente al valor de los

títulos (es lo habitual)

• En este caso la entidad emisora de los bonos ha eliminado

el riesgo de contraparte del vendedor de protección que

ahora tiene dos riesgos: el de la entidad de referencia y el

riesgo de crédito del emisor.

Angel Vilariño 346

• La remuneración de los bonos (CLN) debe

reflejar este doble riesgo. El cupón del bono

debe incluir la comisión del CDS y el coste de

financiación del emisor.

• Los bonos del CLN pueden emitirse por la

entidad o por un vehículo de propósito especial.

En este caso la liquidez generada por la emisión

se invierte en títulos de la mejor calidad.

Credit Linked Notes

174

Angel Vilariño 347

First to default swaps

• Se define una cartera de instrumentos de deuda. En total m nombres.

• El evento de crédito es el primer incumplimiento de cualquiera de los m nombres.

• Los nocionales son iguales y sea N el importe nocional común.

• El comprador de protección paga al vendedor de protección el importe del spread pactado aplicado al nocional hasta que termine el contrato sin default o hasta que se produce el evento de crédito (primer incumplimiento)

• Si se produce el evento de crédito el vendedor de protección paga al comprador el nocional N y recibe del comprador los bonos de la referencia que ha incumplido.

Angel Vilariño 348

Ejemplo First to Default (FtD)

• JP Morgan vende protección sobre cinco referencias:

Allied Domecq Plc.,Ford Motor Credit, Delphi Corp.,

Lehman Brothers Holdings Inc. y ThyssenKrupp AG, con

un spread de 362 pb por año, sobre 10 millones de

euros.

• El comprador de protección paga trimestral 10 x 3,62%

x 0,25

175

Angel Vilariño 349

Ejemplo First to Default (FtD)

• Si ocurre un evento de crédito (por ejemplo Delphi) el

vendedor de protección paga al comprador 10 millones

de euros y recibe bonos de Delphi con un importe

nominal de 10 millones de euros. El contrato termina.• Supongamos que la suma de los spreads de los cinco

CDS es 600 pb ¿Cómo se explica la diferencia entre 600 pb y los 362 pb?

• La diferencia depende de la “estructura de correlación”estimada entre los cinco nombres.

Angel Vilariño 350

Collateralised Debt Obligations(CDO)

• Cartera subyacente bonos o préstamos con riesgo, emitidos por los nombres Ci con nocionales N1, N2, ..., NI

• La cartera se transfiere a un vehículo especialmente creado para gestionar la emisión (no siempre)

• El Vehículo emite bonos con diferentes calificaciones de riesgoTramo senior nocional KS

Tramo intermedios (mezzanine), nocionales KM1 KM2

...KMJ

Equity nocional KE

176

Angel Vilariño 351

CDO

• Las primeras pérdidas van contra el tramo equity. Hasta que las pérdidas no superan a KE los otros tramos están protegidos

• Las pérdidas acumuladas que excedan a KE afectan a los tramos intermedios

• El tramo senior solo se puede ver afectado si las pérdidas superan a todos los tramos intermedios.

Angel Vilariño 352

Estructura básica

Bono 1Bono 2

….….

Bono n

TIR = 8,5%

N = 100

Tramo 1 TIR=35%Pérdidas 5%N = 5

Tramo 2 TIR=15%5%<Pérdidas< 15%N = 10

Tramo 3 TIR = 7,5%15%<Pérdidas<25%N = 10

Tramo 4 TIR = 6%Pérdidas > 25%N = 75

1º

2º

3º

4º

177

Angel Vilariño 353

Estructuras típicas

CDS100 100

80

15

5

BonosTesoro

LIBOR+ 10 pb

LIBOR + 125 pb

SPV

Angel Vilariño 354

Valoración de un CDO

• 100 nombres

• Tasa de recuperación igual para todos, R = 60%

• Probabilidades de incumplimiento iguales

• Tramos [0%, 4%], [4%, 8%], [8%, 12%], [12%, 100%],

• Horizonte cinco años

• Modelo unifactorial para generar los incumplimientos

• Coeficiente de correlación 0,2

• Simulación de Monte Carlo

178

Angel Vilariño 355

Probabilidades de incumplimiento

PD5,82%

11,31%16,47%21,34%25,92%

Angel Vilariño 356

Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 60%)

B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 2.303 440 0 0,10 2.121 776 13 0,20 1.961 828 27 0,30 1.817 872 40 0,40 1.683 897 53 0,50 1.552 913 65

179

Angel Vilariño 357

Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 40%)

B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 3.370 2.158 29 0,10 3.768 1.746 67 0,20 3.357 1.663 91 0,30 2.857 1.579 111 0,40 2.425 1.492 133 0,50 2.062 1.403 153

Angel Vilariño 358

Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 60%) Y = t de Student

(3gl)

B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 2.303 440 0 0,10 2.254 912 32 0,20 2.124 1.007 53 0,30 1.974 1.068 71 0,40 1.761 1.060 86 0,50 1.593 1.049 101

180

Angel Vilariño 359

Riesgos de los derivados

Angel Vilariño 360


• Riesgos similares a cualquier otro instrumento financiero• Riesgo de mercado: Pérdidas por cambios adversos de

los precios, cuando el instrumento se negocia en mercados líquidos.

• Riesgo de crédito (contraparte): Pérdidas por la realización de eventos de crédito (quiebra, incumplimiento, reestructuración, cambio de rating a la baja, movimientos alcistas del spread)

181

Angel Vilariño 361


• Riesgo de liquidez: Pérdidas por la imposibilidad de la apertura o cierre de posiciones sin un cambio relevante en los precios. Contracción de la oferta o la demanda.

• Riesgos operacionales: Pérdidas por fallos de los sistemas, personas, procesos y por causas externas.– Riesgo de modelo (muy importantes en los derivados)– Riesgos jurídicos (definición de eventos, liquidaciones,

entrega de subyacentes)

Angel Vilariño 362

Riesgo de mercado

• El precio de un instrumento derivado se puede expresar mediante una función del precio del activo subyacente (el modelo de valoración) o de un factor (cuando es función de una tasa de interés o de una tasa de cambio)

• La variación del precio del contrato es función de la variación del precio del activo subyacente o del factor subyacente.

• Los mismos métodos aplicables al cálculo del riesgo de mercado de los subyacentes se aplican a los derivados.

182

Angel Vilariño 363

Riesgo de mercado

• Las metodologías utilizadas son:– Simulación histórica– Valor en riesgo normal– Valor en riesgo normal condicional– Valores extremos– Simulación de Monte Carlo

Angel Vilariño 364

Convexidad y riesgo de mercado

El problema de la convexidad: Un instrumento financiero se dice que es convexo si la relación entre el precio del instrumento y un factor de riesgo no es lineal. Estrictamente todos los instrumentos son convexos y en la práctica lo que importa es el grado de convexidad.

En los modelos paramétricos cuando la convexidad es pequeña se utiliza la aproximación delta y cuando es grande la aproximación delta-gamma

183

Angel Vilariño 365

Convexidad

• Instrumentos poco convexos– Bonos (sin cláusulas opcionales)– Contratos a plazos (FRA, compra-venta a plazo de

bonos, acciones y divisas)– Permutas financieras

• Instrumentos muy convexos– Opciones– Bonos con cláusulas opcionales

Angel Vilariño 366

Aproximación delta

f S

Suponemos f f(S)

f precio del derivado,S precio del subyacente

f ff S f S

S S

Volatilidad

184

Angel Vilariño 367

Riesgo de mercado

derivado subyacente

subyacente S/S

derivado S/S

Riesgomercado derivado Riesgo de mercado subyacente

VaR(95%) VaR(95%)

VaR(95%) S 1,645 ˆ

VaR(95%) S 1,645 ˆ

Angel Vilariño 368

Ejemplo VaR opción de compra

S

C

S C

S 100 1.50% C 10 0.67ˆ

VaR(95%) S 1.645 100 1.645 1.50% 2.47ˆ

VaR(95%) VaR(95%) 0.67 2.47 1.65

VaR(95%) /S 2.47% VaR(95%) /C 16.5%

185

Angel Vilariño 369

Aproximación delta-gamma

22

2

Una aproximación de segundo orden es

1 ff S ( S)

2 S

es la medida de la convexidad

Angel Vilariño 370

Aproximación delta-gamma

• Cálculo de la variación del precio de una opción de

compra cuando el precio varia tres veces la volatilidad

transcurren tres días

• A) Cálculo exacto mediante el modelo de valoración B-S

• B) Cálculo mediante la aproximación delta.

• C) Cálculo mediante la aproximación delta-gamma

186

Angel Vilariño 371

Delta y gamma de la opción de compra

CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA7,95 0,5793 0,022273 8,960 24,650 27,46008PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA5,99 -0,4207 0,022273 5,038 -23,702 27,46008S E r q sigma T dias

100,00 100 4,00% 0,00% 25,00% 180d1 d2 N(d1) N(d2) 20 N(-d2)

0,20014 0,02458 0,57931 0,50980 0,42069 0,49020

Angel Vilariño 372

Nuevo precio opción de compra

CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA5,34 0,4633 0,023819 8,265 19,075 26,50236PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA8,38 -0,5367 0,023819 4,343 -29,277 26,50236

S E r q sigma T dias95,00 100 4,00% 0,00% 25,00% 180

d1 d2 N(d1) N(d2) 20 N(-d2)-0,09203 -0,26759 0,46334 0,39451 0,53666 0,60549

187

Angel Vilariño 373

Cálculo de la variación

1 0

2 2

C C(95) C (100) 5.34 7.95 2.61

C S 0.5793 ( 5) 2.90

1C S ( S) 2.90 0.5 0.022273 ( 5) 2.62

2

Angel Vilariño 374

Componentes del riesgo de crédito

Evento incumplimiento (default)

Probabilidad de incumplimiento (PD)Exposición. Importe máximo sujeto a riesgo en la fecha

de impago. Pérdida dado el incumplimiento (LGD). Porcentaje de

la exposición que finalmente se pierdeTasa de recuperación. Proporción de la exposición que

se recupera en forma de liquidez después del impago.R = 1-LGD

188

Angel Vilariño 375

Parámetros fundamentales riesgo de crédito

• Variable incumplimiento D

T

1 T PD

0 T 1 PDIncumplimiento D

fecha de incumplimiento

Angel Vilariño 376

Pérdida esperada por riesgo de crédito

• Modelo más o menos complejo según las hipótesis

T

T

T

L D EX LG D

PE E ( L ) E D EX LG D

Con independencia

PE E ( L ) E 1 E EX E ( LG D )

189

Angel Vilariño 377

Pérdida esperada

TE D 0 (1 PD) 1 PD PD

PE E L PD EX LGD

Angel Vilariño 378

Obtención de PD

• La obtención de las PD no es tarea fácil:

• 1) Obtención a partir de datos de mercado– Modelos tipo Merton (valor de la empresa)– Precios de bonos (spreads)

• 2) Obtención a partir de ratings– Ratings de agencias; Matrices de transición– Modelos internos (calibración de modelos de credit

scoring)

190

Angel Vilariño 379

Riesgo de crédito de un FRA (1)

Una entidad financiera contrata un FRA (6/12) con una

empresa (la entidad vende FRA). Los tipos de interés a

seis y doce meses son 2,50% y 2,70% respectivamente.

El tipo de interés del contrato es 4%.

Valor razonable del contrato considerando el riesgo de

crédito.

Angel Vilariño 380

Riesgo de crédito de un FRA (2)

Datos:

Empresa BB (PD = 1,12%; LGD = 50%)

Entidad AA (PD = 0,05% ; LGD = 50%)

Volatilidad forward 1,58%

191

Angel Vilariño 381

Riesgo de crédito FRA (3)

RC LRVR VR PE

Valor razonable conriesgo

Valor razonable sin riesgo Pérdida esperada

Angel Vilariño 382

El FRA como una permuta financiera

• Para el vendedor el FRA equivale a una permuta de

intereses en la que recibe fijo y paga variable.

• Si la contraparte incumple pierde la posición que tenia

en el contrato que equivale a una opción sobre el tipo de

interés con precio de ejercicio el tipo de interés fijo (es

un floor)

192

Angel Vilariño 383

Riesgo de crédito FRA (4)

BB BB

Pérdida esperada

PD Floor LGD

Floor Exposición Coste de reposición

Angel Vilariño 384

Riesgo de crédito teniendo en cuenta las dos contrapartes

RC LR

LR BB BB AA AA

AA AA

VR VR PE PE

VR PD Floor LGD PD Cap LGD

PD Cap LGD 0,05% 4.532 0,5 1,1

193

Angel Vilariño 385

Riesgo de crédito de una permuta financiera

Planteamiento similar al anterior

Se sustituye el floor o el cap por la opción

sobre el swap diferido

Angel Vilariño 386

Riesgo de crédito permuta financiera para una de las contrapartes

ni

RC LR CC

i 1

iCC

VR VR PD Opción sobre el swap diferidoen i LGD

PD Probabilidad de incumplimiento condicional

en la fecha i de la calificación crediticia CC

194

Angel Vilariño 387

Riesgos operacionales

• Control de calidad de los modelos utilizados y especialmente cuando se trata de nuevos instrumentos derivados.

• Control de calidad de los métodos utilizados para la estimación de los parámetros (volatilidades, correlaciones, probabilidades de incumplimiento, tasas de recuperación)

• Sistemas de registro de las operaciones

Angel Vilariño 388

Riesgos operacionales

• Registro de carteras de negociación y no de las operaciones individuales.

• Sistemas de recálculo y revaluación de las posiciones.

• Control interno de las posiciones, control de los límites y de las pérdidas latentes y realizadas.

• Definición de políticas, objetivos, límites, procedimientos para la autorización de nuevos instrumentos, contrapartes autorizadas.

195

Angel Vilariño 389

LOS RIESGOS

DE LOS DERIVADOS

Angel Vilariño 390


• Los derivados soportan, los mismos riesgos que

los restantes instrumentos financieros y en

particular que sus subyacentes. Sin embargo

existen aspectos específicos de los derivados

que exigen una atención especial, tanto por los

gestores como por los supervisores.

196

Angel Vilariño 391

Aspectos específicos de los riesgos de los derivados

• Para la valoración de los derivados es en muchos casos necesaria la estimación de uno o

varios inputs no observables (volatilidades,

correlaciones, tasas de interés cupón cero,…) y al no existir un único método de estimación

pueden resultar distintas valoraciones no coincidentes.

Angel Vilariño 392


• Para la mayoría de riesgos que la entidad debe

gestionar el punto de partida es la valoración

del instrumento derivado por lo que las

debilidades en el terreno de la valoración se

trasladan al campo de la identificación,

medición, gestión y control de los riesgos.

197

Angel Vilariño 393


• La medición del riesgo de crédito de cualquier

instrumento es una cuestión compleja, pero lo

es más en el caso de los derivados por la

naturaleza de la exposición crediticia futura,

difícil de evaluar, dado que se trata del valor del

derivado en un horizonte futuro.

Angel Vilariño 394

Exposición desconocida

• En el caso de los derivados la exposición es desconocida

dado que depende del comportamiento del activo o

activos subyacentes en la fecha de vencimiento del

contrato o también a lo largo de la la vida del derivado

para aquellos en los que la liquidación depende de la

trayectoria.

198

Angel Vilariño 395


Muchos derivados se negocian en mercados

OTC, en los que la liquidez no está asegurada.

La medición de los riesgos de mercado debe

tener muy en cuenta el factor de la liquidez

para no incurrir en la infravaloración de los

riesgos.

Angel Vilariño 396


• Los riesgos operacionales son también específicamente importantes en el caso de los

derivados. Existen riesgos legales vinculados a

la interpretación y cumplimiento de los contratos, riesgos de registro y contabilización

de las operaciones y riesgos de los modelos, tanto de valoración como de medición de los

riesgos, por citar los más importantes.

199

Angel Vilariño 397


• Según la utilización que realice una entidad de los

derivados así serán más importantes unos riesgos que

otros, y a su vez así serán los requerimientos necesarios

que debe cumplir la entidad, para la correcta gestión de

los riesgos. Es por eso muy importante que los

supervisores identifiquen con la mayor precisión que tipo

de utilización de los derivados realiza la entidad.

Angel Vilariño 398


• Es muy diferente el caso de los creadores de mercado asumiendo la función de emisores y dando liquidez al mercado, del de los intermediarios con posiciones cerradas ganando en la actividad el margen de intermediación o los riesgos soportados por usuarios finales que buscan coberturas o que toman posiciones de negociación.

200

Angel Vilariño 399

Evaluación inicial

• Para el mejor desarrollo de la actividad supervisora es

imprescindible determinar la naturaleza de las

actividades de derivados de la entidad. Para ello, una

primera etapa consiste en obtener de la dirección las

estrategias de la entidad, sus objetivos y sus planes con

respecto a derivados y también determinar cuales son

las personas clave y los responsables de la edición de la

información.

Angel Vilariño 400

• Debe analizarse el tipo y la complejidad de los

instrumentos de derivados ofrecidos y si la

entidad es activa o sólo realiza selectivamente

operaciones de mercado. Otro aspecto relevante

es si la entidad desarrolla sus propios productos.

201

Angel Vilariño 401

Tipología de las operaciones y riesgos específicos

• El supervisor debe identificar con precisión las posiciones

especulativas, de cobertura o de intermediación a partir

de la información suministrada por las entidades. Las

primeras son obviamente las que soportan mayor nivel

de riesgo de mercado pero no deben olvidarse los

riesgos específicos que soportan las operaciones de

cobertura y las de intermediación.

Angel Vilariño 402

Operaciones de negociación

• Las operaciones especulativas deben estar registradas como tales en el sistema de información de la entidad. Debe conocerse con total transparencia los datos básicos: autorización explícita del órgano competente, instrumentos financieros negociados y mercados en los que se toman esas posiciones, estrategias de especulación, volúmenes, contrapartes, medición del riesgo (mercado, contraparte, liquidez), límites vigentes para estas operaciones, resultados obtenidos y sistemas de información para estas operaciones.

202

Angel Vilariño 403

Operaciones de cobertura y documentación

• En el caso de las operaciones de cobertura los datos básicos son: autorización de la cobertura en el órgano competente según el sistema de delegaciones que tenga establecido la entidad, objetivos de la cobertura, naturaleza del instrumento cubierto, plazo de la cobertura, detalle de los instrumentos de cobertura, análisis del modo en el que se consigue la cobertura, resultados parciales antes del vencimiento de la cobertura, eficacia de las coberturas realizadas.

Angel Vilariño 404

Riesgo de mercado

• El examen supervisor debe realizarse mediante una

multiplicidad de análisis, ajustados a la complejidad de la

entidad y a los sistemas de riesgo que maneja. La

valoración de los sistemas de gestión de riesgo y los

sistemas de control puede ser realizado teniendo en

consideración el tipo de riesgo, el tipo de instrumento y

de la función o actividad de cada unidad de negocio.

203

Angel Vilariño 405

Requisitos

• El supervisor debe estar familiarizado con el tipo de

negocios de la entidad financiera, la estructura de

gestión global del riesgo, los modelos de riesgo y los

sistemas de información y control. Los supervisores

deben valorar los supuestos o hipótesis tanto cualitativas

como cuantitativas implícitas en el sistema de gestión de

riesgo y la eficacia de la entidad en el control de los

riesgos.

Angel Vilariño 406

Requisitos

• También deben evaluarse los sistemas de computación,

los sistemas de información de gestión y cualquier otra

forma de comunicación, comprobando si son adecuados

y se realizan con la precisión que corresponde a nivel de

actividad de la entidad financiera supervisada.

204

Angel Vilariño 407

Solvencia del área de control interno

• Compruebe la solvencia de la función de control

del riesgo. Para ello es necesario evaluar la

credibilidad que dentro de la entidad tiene el

área de control del riesgo.

Angel Vilariño 408

Rentabilidad del negocio y uso de los derivados

• Determine que proceso de gestión se utiliza para evaluar

la rentabilidad del negocio. Determine si este proceso

incluye medidas del rendimiento ajustadas al riesgo.

• Relación entre el riesgo asumido y los resultados

obtenidos.

205

Angel Vilariño 409

Información sobre VaR

• Obtenga los informes diarios de exposición al riesgo para el periodo de muestra deseado. Seleccione periodos de tiempo que evidencien niveles de ingresos atípicos o significativa volatilidad del precio. Evalúe las tendencias en las posiciones de riesgo a lo largo del tiempo. Discuta el nivel de las posiciones intradía con la dirección de negocio. Este análisis debe llevarse a cabo tanto de forma consolidada como por producto, moneda o cartera.

Angel Vilariño 410

• A la luz de las estrategias aprobadas, los límites de

riesgo, la cualificación de las contrapartes, las

condiciones de mercado y los ingresos obtenidos,

evalúe: Las posiciones de riesgo de un día para otro e

intradía y compárelas con los límites. Evalúe los límites

utilizados, a la vez que los volúmenes y las causas, en su

caso, por los que se han excedido esos límites.

206

Angel Vilariño 411

• Determine que los modelos de precios usados

para las actividades de derivados y su capacidad

son apropiadas para la naturaleza y volúmenes

conducidos por el negocio. Determine quién

desarrolló y mantiene el sistema de valoración y

medición de los riesgos.

Angel Vilariño 412

Agregación de los riesgos

• Determine si los sistemas de la entidad pueden agregar

la exposición al riesgo de precio de todos los productos,

mesas, sucursales y globalmente. Si el método considera

las características de los instrumentos fundamentales.

• Determine si el sistema de medición y control actúa en

tiempo real.

207

Angel Vilariño 413

Riesgo de contraparte

• El riesgo de contraparte (riesgo del crédito) está

presente en todos los contratos de instrumentos

derivados en los que exista la contingencia de recibir

futuros flujos de liquidez de la contraparte. No existe,

obviamente, riesgo de contraparte en el caso de

opciones vendidas, salvo si se trata de opciones

negociadas con el pago de la prima diferido.

Angel Vilariño 414

Riesgo de contraparte

• La gestión del riesgo de contraparte de los derivados comparte muchos aspectos

metodológicos con la gestión tradicional del

riesgo de crédito, pero existen algunos aspectos específicos muy relevante: en particular el

cálculo de la exposición de crédito.

208

Angel Vilariño 415

Entorno de control prudencial

• Un entorno de control prudencial adecuado debe incluir los siguientes elementos:

– Políticas y procedimientos escritos sobre el riesgo de contraparte.

– Metodologías escritas sobre la medición del riesgo de contraparte.

– Procesos y metodologías bien definidos para el establecimiento de límites por riesgo de contraparte.

Angel Vilariño 416

Normas y procedimientos

– Normas y procedimientos para la aprobación

de las operaciones de forma similar a lo que

se realiza en el ámbito del riesgo tradicional.

– Normas y procedimientos para el seguimiento

del riesgo de contraparte de los derivados.

209

Angel Vilariño 417

Riesgo de concentración

– Seguimiento del riesgo de concentración del riesgo de contraparte de los instrumentos derivados. Este punto es especialmente relevante dado que frecuentemente existe un alto grado de concentración entre las entidades que se ofrecen para hacer contraparte de los derivados negociados en los mercados OTC. Esta situación afecta tanto a la negociación de los derivados individuales como en el caso de las notas estructuradas que son emitidas por un relativamente reducido número de entidades.

Angel Vilariño 418

Metodologías para la medición del riesgo de contraparte

• Metodologías bien establecidas para la medición del

riesgo de contraparte. Entre estas metodologías deberá

incluirse los sistemas de calificación crediticia.

• Sistemas de información elaborados para uso de la Alta

Dirección que periódicamente permitan conocer la

evolución y magnitud del riesgo de contraparte.

210

Angel Vilariño 419

Sistemas de control interno

• Sistemas de control interno para la verificación

del cumplimiento de las normas y

procedimientos sobre la gestión, medición e

información del riesgo de contraparte.

Angel Vilariño 420

Pruebas de tensión

• Los métodos estadísticos utilizados en las medidas cotidianas de riesgo se basan en las condiciones de mercado más probables. Sin embargo los gestores deben realizar periódicamente simulaciones para analizar el comportamiento de sus carteras bajo condiciones excepcionales. La estructura para estas pruebas de tensión debe detallarse de forma muy precisa en las políticas de riesgo y debe formar parte de las metodologías para la medición de los riesgos.

211

Angel Vilariño 421

Modelización de los eventos extremos

• En el estado actual del arte de la modelización de los riesgos existen los riesgos no cuantificables, tales como los riesgos operacionales y legales, las contracciones de los mercados por pérdida de liquidez y las situaciones de incumplimiento masivo. En esos casos, y otros similares, deben diseñarse, en base a juicios que tener en cuenta las experiencias históricas, escenarios para no sólo cuantificar las posibles pérdidas si no especialmente establecer los planes de contingencia y de qué manera las posiciones podrían ser liquidadas o cubiertas.

Angel Vilariño 422

Resumen de los requisitos que tienen que cumplir las pruebas de tensión

• Las pruebas de tensión (stress testing) deben llevarse a cabo regularmente. La frecuencia del stress testing debe corresponder a las características de los riesgos de las entidades financieras. Por ejemplo, en aquellas entidades que gestionan carteras que son rebalanceadas a menudo, la prueba de tensión debe realizarse de acuerdo con esa frecuencia.

212

Angel Vilariño 423

Resultados y políticas

• Los procedimientos y responsabilidades relativas a las decisiones sobre cuando tienen que realizarse, así como la selección de los escenarios, debe estar a disposición en el manual de la dirección de los riesgos de mercado, el cual debe definir que resultados del análisis considera la política del banco como una situación alarmante, y a partir de que resultados debe realizar un plan de emergencia, así como las medidas que tomará la entidad financiera para limitar su exposición al riesgo.

Angel Vilariño 424

Rapidez de ejecución

• Los bancos y otras entidades financieras deben ser

capaces de llevar a cabo las pruebas de tensión sin

largas demoras. La información debe estar rápidamente

disponible para poder reducir posiciones ante los

cambios en la situación del mercado o ante resultados

de la prueba de tensión en los que los niveles de riesgo

no son tolerables.

213

Angel Vilariño 425

Información de los resultados de las pruebas de tensión

• Los resultados del stress testing han de ser

comunicados a la Dirección que son los que

deben decidir la exposición al riesgo de la

entidad financiera.

• Un sistema de retroalimentación adecuado debe

permitir a los responsables realizar mejoras y

modificaciones.

Angel Vilariño 426

Selección de escenarios

• Los escenarios deben describir movimientos extraordinarios del mercado, a la vez que deben ser plausibles. Si no cumplen esta doble condición los responsables en la toma de decisiones pueden no dar la importancia suficiente a los resultados del stress test y no actuar consecuentemente.

214

Angel Vilariño 427

Verosimilitud y carácter extraordinario

• Estos dos requisitos, plausibilidad y naturaleza

extraordinaria, están en conflicto, por lo que se

propone considerar escenarios con distintos

grados de movimientos extremos.

Angel Vilariño 428

Escenarios históricos

• Las entidades financieras deben considerar los escenarios históricos, y posteriormente analizar su peor escenario particular. La selección de los escenarios históricos se basa en la hipótesis sobre que crisis futuras se asemejan a crisis pasadas. Pero considerar solo estos datos no es suficiente, la búsqueda del peor escenario incluye casos que no han ocurrido, pero que pueden ser posibles. Cada entidad decidirá si esta búsqueda la hace a través de métodos sistemáticos o subjetivos.

215

Angel Vilariño 429

Perfil de riesgo

• La selección de los escenarios debe ser consistente con

el perfil de riesgo de la entidad financiera. De acuerdo

con sus estructuras, las carteras de las entidades

financieras tienen distintos riesgos y deben ser el eje

principal sobre el que gire la selección de los escenarios

ya sea a través de métodos sistemáticos o subjetivos.

Angel Vilariño 430

Vulnerabilidad a eventos extremos y contagios

• Las entidades deben determinar su vulnerabilidad ante colapsos importantes que no sean capturados mediante los modelos VaR, considerando escenarios que violen las hipótesis de estos modelos.

• La identificación de los escenarios, y en especial la búsqueda subjetiva del peor escenario, debe incumbir al mayor número posible de departamentos y a los distintos niveles jerárquicos.

216

Angel Vilariño 431

Agregación de riesgos

• En las pruebas de tensión (stress test) deben ser considerados cambios simultáneos en las distintas categorías del riesgo, ya que así se pueden revelar riesgos que de otra manera pudieran permanecer ocultos.

• Además ha de tenerse en cuenta aspectos relativos a posibles crisis de liquidez y de crédito.

Angel Vilariño 432

Revaluación de las carteras

• La prueba de tensión de las carteras que contengan opciones u otros productos cuyo valor no sea una función lineal debe realizarse mediante la reevaluación completa de la cartera. La aproximación lineal mediante el uso de las sensibilidades no es suficiente, ya que por definición miden el valor de la cartera ante pequeñas variaciones en algún factor de riesgo, por tanto, para variaciones grandes de los distintos factores la aproximación lineal del valor de la cartera mediante el uso de las sensibilidades pierde valor.

217

Angel Vilariño 433

Limitaciones de las pruebas de tensión

• El stress testing puede parecer una técnica sencilla, sin embargo, en la práctica, no es ni tan sencilla, ni tan transparente. Se basan en multitud de elecciones, como por ejemplo, los factores de estrés, sus combinaciones, la escala de valores a considerar, y el período de tiempo a analizar.

Angel Vilariño 434

Precisión de los modelos que miden el riesgo de mercado

Kupiec (1995), desarrolló una metodología de contraste en

los siguientes términos:

Tenemos una serie de datos históricos, formada por los

datos diarios del VaR de una cartera, calculado con un

nivel de confianza determinado. A partir de una fecha

inicial podemos observar, cada día, si las pérdidas de la

cartera han superado al VaR de ese día.

218

Angel Vilariño 435

Excesos

Este suceso lo llamamos “exceso”. Sea T una variable

aleatoria que es el número de días hasta que se produce el

primer exceso y sea p la probabilidad de que un día

cualquiera se produzca el suceso anterior. Bajo la

hipótesis de que las medidas diarias de VaR son

independientes, los resultados corresponden a una

secuencia de sucesos independientes tipo Bernoulli. La

probabilidad de que el primer exceso se produzca en un

período de H días viene dada por

H 1P r o b T H p (1 p )

Angel Vilariño 436

Contraste del modelo

El contraste del modelo equivale a contrastar la hipótesis

nula de que la probabilidad del exceso es igual a la

probabilidad con la que se ha construido el VaR. Kupiec

diseñó dos tests, el primero utiliza el tiempo hasta el

primer exceso y el segundo la frecuencia de excesos en un

período dado de días.

219

Angel Vilariño 437

Test del tiempo hasta que se produce el primer exceso

Para mostrar cómo trabaja este test utilizamos la

siguiente notación:

H es el tiempo hasta que se produce un exceso

p es la verdadera probabilidad cubierta por el VaR

*p es la probabilidad especificada para el cálculo del

VaR realizado, es decir 100 menos el nivel de confianza

elegido

p̂ es el estimador máximo verosímil de p, que está dado

por p̂ 1 / H

Angel Vilariño 438

Estadístico RV

Para contrastar la hipótesis nula *p p se utiliza la razón

de verosimilitud que está dada por

* * H 1 * * H 1

H 1 H 1p (1 p ) p (1 p )

RV 2ln 2lnˆ ˆp(1 p) 1 11

H H

Bajo la hipótesis nula RV se distribuye como una chi

cuadrado con 1 grado de libertad.

220

Angel Vilariño 439

Estadístico RV

Por ejemplo, supongamos que se ha calculado el VaR con

un nivel de confianza 99% por lo que *p 0.01 . Se observa

que el primer exceso ocurre a los 200 días. El estadístico

RV toma el valor

199

1990.01(1 0.01)

RV 2 ln 0.6191 11

200 200

Angel Vilariño 440

Valor crítico

El valor crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de

libertad, con un nivel de significación del 5% es 3,841, por

lo que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, se acepta

que la probabilidad con la que se calcula el VaR no difiere

de la probabilidad con la que se producen las pérdidas

extremas de la cartera.

221

Angel Vilariño 441

Aceptación y rechazo

En el Cuadro se tienen las regiones de aceptación y

rechazo de la hipótesis nula, según los valores de la

probabilidad *p . Llamando abreviadamente THPE al

tiempo hasta el primer exceso tenemos

Angel Vilariño 442

Valotes críticos

Cuadro Valores críticos para THPE

Probabilidad *p Zona de no rechazo 5%

0.005 11 H 879 0.010 6 H 439 0.015 4 H 292 0.020 3 H 219 0.025 2 H 175 0.050 H 87

222

Angel Vilariño 443

Test de la frecuencia de excesos

Un segundo test se desarrolla teniendo en cuenta el

número de excesos que han ocurrido durante un

determinado intervalo temporal.

Sea:

*p la probabilidad con la que se ha generado el VaR

n el número de días de la muestra

x el número de excesos que se han observado en los n

días

Angel Vilariño 444

Estadístico del test

El test de la hipótesis nula *p p es nuevamente la razón

de verosimilitud

* n x * x

n x x(1 p ) (p )

RV 2lnx x1n n

Bajo la hipótesis nula, RV se distribuye como una chi-

cuadrado con 1 grado de libertad.

223

Angel Vilariño 445

Ejemplo

Por ejemplo, si *p 0.01 y en una muestra de n = 510 días

observamos x = 20 excesos, el estadístico RV toma el valor

490 20

490 20(1 0.01) 0.01

RV 2 ln 25.30420 201510 510

Angel Vilariño 446

Rechazo de la hipótesis nula

En este caso se rechaza la hipótesis nula ya que el valor

crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de libertad y nivel

de significación del 5% es 3,841. Como podemos observar

en la construcción del estadístico sería necesario un valor

de *p más alto para situar a RV dentro de la zona de

aceptación. Esto significa que el VaR está infravalorado ya

que existe una probabilidad mayor de la estimada de que

las pérdidas sobrepasen al VaR calculado.

224

Angel Vilariño 447

Aceptación y rechazo

En el Cuadro se muestran las regiones de aceptación y

rechazo de la hipótesis nula, según los valores de la

probabilidad *p y de la muestra n. Llamando

abreviadamente FE a la frecuencia de excesos tenemos

Angel Vilariño 448

Valores críticos

Cuadro Valores críticos de FE

Probabilidad *p

Zona de no rechazo, n

=255

Zona de no rechazo, n=510

Zona de no rechazo, n=1000

0.010 x<7 1<x<11 4<x<17 0.025 2<x<12 6<x<21 15<x<36 0.050 6<x<21 16<x<36 37<x<65

1

Talleres de Derivados y Productos Estructurados

Ángel Vilariño

1. Una entidad financiera emite una nota estructurada con los siguientes datos: Vencimiento: tres años Divisa: dólar de EEUU Subyacente: Índice Standard&Poor’s 500 Factor de participación: FP = 55% Precio de emisión: 100% del nominal Amortización: TA

TNRF NRI

A N N FP Max ,0NRI

NRI: Nivel de referencia inicial es el Índice Standard&Poor’s 500 en la fecha de la emisión. NRF: Nivel de referencia final es el Índice Standard&Poor’s 500 en la fecha del vencimiento. Fecha de la emisión; 14/11/2003 Fecha del vencimiento: 14/11/2006

a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja de la nota.

b) Valoración con los siguientes datos: Tipo de interés cupón cero libre de riesgo a tres años de plazo z 4,15% , volatilidad 22% , tasa de dividendos q 1,7%

2. Una nota estructurada cupón cero se emite a la par, con vencimiento al tercer año. En el vencimiento la amortización se realiza mediante la expresión:

T 0T

0

S SA N 100% min 25%;Max 0%,

S

TS es el valor del activo subyacente en el vencimiento

0S es el valor del activo subyacente en la fecha de emisión de la nota.

a) Identifique los instrumentos que generan los flujos de liquidez de la nota. b) Obtenga el valor razonable de la nota sin considerar el riesgo de contraparte

Información disponible: r = 5%, q = 3%, 20% T = 3 años

3. Una entidad financiera emite una nota estructurada al plazo de un año con las siguientes características:

2

- Paga el nominal de la nota en el vencimiento - Un único pago de intereses en el vencimiento. El importe de los intereses es

igual a N i siendo N el nominal de la nota e i el tipo de interés que está vinculado al comportamiento del precio de la acción emitida por la empresa XXX. Si la rentabilidad anual es negativa el tipo de interés es cero. Si la rentabilidad está situada entre el 0% y el 4% el tipo de interés coincide con la rentabilidad de la acción. Si la rentabilidad está situada entre el 4% y el 8%, el tipo de interés es 4%. Si la rentabilidad está situada entre el 8% y el 12%, el tipo de interés es la rentabilidad obtenida menos 4% y por último si la rentabilidad es mayor que el 12% el tipo de interés es 8%

a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja del

depósito. b) Valore el contrato suponiendo que el tipo de interés libre de riesgo es r 5% , la

tasa de dividendos de la acción es q 3% y estima la volatilidad en 23%

4. Absolute Buffer Certificate on Dow Jones EuroStoxx 50 Index Precio de emisión: 1.000 USD por certificado Fecha de emisión: 31 de mayo de 2005 Fecha de vencimiento: 31 de mayo de 2008 Subyacente: Dow Jones EuroStoxx 50 Index Precio Inicial (PI): el valor del Dow Jones EuroStoxx 50 Index el 31 de mayo de 2005 Precio Final (PF): el valor del Dow Jones EuroStoxx 50 Index el 31 de mayo de 2008 Precio Barrera Alta (PBA): 100% del Precio Inicial Precio Barrera Baja (PBB): 75% del Precio Inicial Participación Alta (PA); 100% Participación Baja (PB): 100% Divisa de liquidación: dólares EEUU Intereses: 0 Liquidación en el vencimiento: 1) Si en el vencimiento el Precio Final está por encima del Precio Barrera Alta

TPF

L 1000 PAPI

2) Si en el vencimiento el Precio Final está por debajo del Precio Barrera Alta y por encima del Precio Barrera Baja

TPB (PBA PF )

L 1000 100%PI

3) Si en el vencimiento el precio final está por debajo del Precio Barrera Baja

TPF

L 1000PI

a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja del

certificado b) Valoración (sin considerar el riesgo de crédito) suponiendo que el tipo de

interés cupón ero libre de riesgo es z 4% , la volatilidad 20% , la tasa de dividendos q 3%

3

5. Una entidad financiera ofrece a sus clientes un certificado de depósito a un año de plazo. El tipo de interés depende de la evolución del precio de una acción. Si en el vencimiento el precio de la acción no supera el precio de la fecha de suscripción del depósito, el tipo de interés aplicado al depósito es cero. Si la rentabilidad de la acción se sitúa entre 0 y 6% el tipo de interés será la rentabilidad alcanzada. Por último si la rentabilidad supera el 6% el tipo de interés será el 6%. Estos intereses se calculan mediante interés simple.

a) Diseñe la cartera de activos que genera dichos rendimientos. b) Calcule el valor del depósito mediante un modelo de valoración. El tipo de

interés continuo a un año es el 3,92%, la estimación de la tasa de dividendos de la acción es 2,47% y la estimación de la volatilidad es 30%.

c) ¿Qué riesgos soporta la entidad financiera? d) ¿Qué gestión debe realizar la entidad financiera para obtener un margen cierto y

cuánto es el importe del margen?

6. Una entidad financiera emite una nota estructurada que paga un tipo de interés muy superior al de mercado si el precio de una determinada acción sube y en el caso de que el precio de la acción caiga no paga intereses y amortiza la nota entregando al inversor el valor de mercado de un número x de acciones tal que en la fecha de la emisión el nominal de la nota es igual a x multiplicado por el precio de la acción. a) Diseñe la cartera de activos que genera los flujos de liquidez del depósito. b) Calcule el valor razonable de la nota estructurada mediante un modelo de valoración c) Calcule el tipo de interés ofertado para los siguientes datos: Plazo del depósito: 180 días Tipo de interés Euribor a seis meses r = 2,40% Volatilidad de la acción 25% Tasa de dividendos q = 0 Margen cierto deseado por la entidad financiera 150 puntos básicos. 0Nominal N 10.000 USD S 50 USD

7. Un certificado de depósito a 1 año de plazo se emite con el tipo de interés regido por las condiciones siguientes: El tipo de interés es igual a la rentabilidad positiva anual de una determinada acción siempre que ningún día la rentabilidad sea superior al 15% y un 3% si la rentabilidad supera algún día el 15% desde el inicio de la contratación. Intereses calculados mediante capitalización simple. Datos: Tipo de interés continuo libre de riesgo 6 %, tasa de dividendos 2%, Volatilidad 20%

a) Analice la estructura de este instrumento financiero b) Obtenga el valor razonable del contrato utilizando modelos de valoración.

8. Certificado de depósito con intereses vinculados al tipo de cambio del peso colombiano con el dólar. Un certificado de depósito a plazo de 365 días se quiere comercializar vinculando el tipo de interés al comportamiento del tipo de cambio del peso colombiano con el dólar. Si en el vencimiento el peso se ha apreciado o permanece igual, el tipo de interés es cero. Si en el vencimiento el peso se ha depreciado el tipo de interés simple es 10%. a) Diseñe la cartera de activos que genera los flujos de liquidez del depósito.

4

b) Calcule el valor razonable del certificado del depósito mediante un modelo de valoración. Tipo de cambio actual S = 2300 pesos/USD Tipo de interés continuo del peso a 365 días 7% (base, 365), tipo de interés continuo del dólar a 365 días 5% (base 365) y volatilidad del tipo de cambio 9% c) Faltando 90 días para el vencimiento del certificado de depósito se dispone de la información siguiente: tipo de cambio del peso colombiano S = 2350 pesos/USD, tipo de interés continuo a 90 días 7,5%, tipo de interés continuo del dólar a 90 días 5,50% y volatilidad del tipo de cambio 8,5%. Estime el valor razonable del depósito. d) En el vencimiento el tipo de cambio es S = 2290 pesos/USD. Obtenga el valor razonable del certificado de depósito. e) Contabilice el certificado de depósito en los libros de la entidad financiera emisora del depósito.

9. Obligaciones necesariamente convertibles en acciones. Una entidad AAA emite el 1 de julio de 20X7 obligaciones con las siguientes características: - Nominal: 3.000 millones de euros. (Emitidas a la par) - Valor nominal de la obligación: 1.000 euros. - Interés nominal: 4,5% (Se paga por años vencidos) - Vencimiento: 4 años - Al vencimiento de las obligaciones, resulta obligatoria la conversión de las mismas en acciones de la entidad A, siendo el precio de conversión 25 euros /acción y el ratio de conversión de 40 acciones ordinarias por obligación. - Tipo de interés al vencimiento (TIR) de los bonos emitidos al mismo plazo de cuatro años sin cláusula de conversión: 5,5%. - Precio actual de la acción: 23,5 euros - Estimación de la tasa de dividendos (q): 2,6% - Tipo de interés libre de riesgo: 5% a) Calcule el valor razonable en la fecha de emisión.

10. Una entidad emite una nota estructurada con las siguientes condiciones: Plazo: 3 años Intereses: cero Amortización de la nota: el valor de la amortización, TA , en la fecha de vencimiento viene dada por la expresión

0

T0

S SA Max N,N N

S

N es el nominal de la nota, S es el valor medio del precio de referencia calculado con 36 observaciones tomadas el 17 de cada mes desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento. Fecha de emisión: 17/04/20X5, Fecha de vencimiento: 17/04/20X8. Primera observación para el cálculo de la media: 17/05/20X5. Precio de referencia: Valor de cierre del índice Nasdaq 100.

0S es el precio de referencia en la fecha de emisión de la nota.

5

Valore la nota estructurada con la siguiente información: z 5% q 4% 35%

11. Enumere los diferentes motivos por los que un banco puede estar interesado en la negociación de un credit default swap en la posición de comprador de protección.

12. Enumere los diferentes motivos por los que un banco puede estar interesado en la negociación de un credit default swap en la posición de vendedor de protección.

13. Identifique todos los riesgos, bajo un punto de vista amplio, que asume el comprador de protección en un contrato credit default swap.

14. Identifique todos los riesgos, bajo un punto de vista amplio, que asume el vendedor de protección en un contrato credit default swap.

15. Un credit default swap a un plazo de cinco años se ha negociado con la prima de 60 puntos básicos pagados cada semestre. El principal es 300 millones de euros y se liquida en efectivo. Un evento de crédito ocurre después de tres años y cuatro meses de la fecha de negociación del contrato. El agente de cálculo estima que el precio del bono más barato para la entrega es el 45% del principal. Calcule los flujos de caja que el comprador de protección paga al vendedor de protección y los flujos de caja que cobra del vendedor de protección.

16. Un banco negocia un credit default swap para cubrir el riesgo de una posición larga en bonos corporativos emitidos por la empresa ABC. ¿Qué impacto tiene la posición en el credit default swap sobre la cuenta de pérdidas y ganancias? ¿Qué impacto tiene la posición en el credit default swap sobre los recursos propios regulatorios exigidos al banco? Conteste según la normativa bancaria de su país.

17. ¿Cómo puede de forma eficaz cubrir el riesgo de contraparte un comprador de protección en un contrato credit default swap?

18. Un banco A de EEUU (comprador de protección) negocia con un banco B de Francia (vendedor de protección) un CDS con una prima de 300 puntos básicos sobre bonos emitidos por una empresa holandesa en euros que A tiene en cartera. El banco B (comprador de protección) negocia con un banco C (vendedor de protección) un CDS con una prima de 200 puntos básicos sobre los mismos bonos. Suponga que se produce el evento de crédito y la liquidación se realiza en los dos casos con entrega de bonos. Identifique los riesgos de A, de

6

B y de C antes del evento de crédito. Analice los resultados para A, B y C después del evento de crédito suponiendo que los contratos se liquidan correctamente.

19. Explique los incentivos que tiene un inversor para entrar en una permuta del rendimiento total (Total return swap) como vendedor de protección.

20. Un banco entra en un contrato total return swap sobre un bono que paga un cupón del 5% con periodicidad semestral. En el contrato la empresa entra como vendedora de protección pagando LIBOR seis meses. Explique la diferencia con un contrato de permuta de intereses (swap) en la que la empresa recibe un tipo fijo del 5% y paga Libor seis meses.

21. Identifique los riesgos que asume el vendedor de protección en un contrato Total return swap.

22. Explique los incentivos de un inversor para entrar en un credit linked notes.

23. Obtenga la probabilidad de supervivencia riesgo neutral al plazo de un año de un emisor que tiene en el mercado un bono cupón cero cuyo precio es el 90% de su valor nominal. El tipo de interés cupón cero a 1 año es z = 7%. Suponga las siguientes hipótesis para la tasa de recuperación a) R = 0 b) R = 30% c) R = 70%

24. La curva de los tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana (5%). Se negocia un credit default swap, plazo tres años, con pagos semestrales. Se conocen los precios de los bonos cupón cero a los plazos relevantes. a) Determinar las probabilidades de supervivencia riesgo neutrales con la hipótesis de que la tasa de recuperación es R = 35% b) Determine la prima del crédito default swap mediante un modelo de valoración.

25. El 13/04/2008 existen bonos cupón cero cotizados de un emisor ABC a los plazos y con los precios recogidos en la Tabla. También se conocen los tipos de interés cupón cero z . Tabla

13/04/2008 B(0,i) z

15/06/2009 93,551% 5,05%21/12/2010 85,664% 5,12%02/06/2011 83,418% 5,15%

7

a) Obtenga las probabilidades de supervivencia riesgo neutrales a los plazos indicados, suponiendo que la tasa de recuperación es nula.

b) Obtenga las probabilidades de incumplimiento riesgo neutrales

26. Un banco contrata un credit default swap tomando la posición de vendedor de protección. El spread negociado es s = 250 puntos básicos, el nocional del contrato es N = 10 millones de euros, el plazo T = 2 años, los pagos trimestrales. Para la valoración del contrato el banco utiliza el modelo

n n

i

i 1 i 1

i

V s G(0,i )Q(0,i ) (1 R) G(0,i ) Q(0,i 1) Q(0,i )

y supone que Q(0,i ) e

a) Obtenga el valor de suponiendo que en la fecha de contratación el

valor del contrato es cero. Suponga R = 40% b) Un año después del inicio del contrato el spread de mercado es s = 175

pb. Obtenga el valor razonable del contrato utilizando el modelo de valoración del banco.

Datos: En la fecha inicial se supone que la curva de tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana y z = 4%. En la fecha posterior se supone que la curva de tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana y z = 5%.

27. Obtenga la prima de un digital default swap, pagos anuales, al plazo de cinco años, que paga el nominal del contrato en caso de default, con los datos siguientes: la curva de tipos de interés cupón cero es plana z = 4%. Un bono a seis años del emisor de referencia con cupón c = 5%, amortización a la par, cotiza con un spread s = 159 puntos básicos. La tasa de recuperación estimada es R = 45%.

Anexos

1. Capítulo 1, Una breve historia de los derivados

2. Capítulo 4, Riesgos de los instrumentos derivados.

3. El modelo canónico de valoración de opciones: Black‐

Scholes

4. Solución de la ecuación en derivadas parciales del modelo

de Black‐Scholes

5. Bibliografía seleccionada de instrumentos derivados

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Capítulo 1 Una breve historia de los derivados1

1. Los orígenes. El comercio y el riesgo son inseparables. Desde los orígenes de la humanidad los comerciantes han tratado de aliviar y, en lo posible, eliminar, el riesgo imputable a cada estrategia para asegurarse la estabilidad en los suministros o en los precios. En los primeros tiempos, el negocio de los derivados se equiparó con las apuestas y por ello, en muchas ocasiones, estuvo condenado e incluso prohibido por considerarlo negocios puramente especulativos. Para que los derivados surjan como objeto de negociación es necesario que los activos subyacentes sean fácilmente negociables, que estén disponibles en cantidades suficientes y sujetos a variaciones en el precio. Estas variaciones (volatilidad) crean oportunidades que, por supuesto, atraen a los especuladores y arbitrajistas pero también permiten, a quienes lo deseen, cubrirse frente algún riesgo. Sin una volatilidad suficiente y un mercado líquido para los activos subyacentes es muy improbable que se hubiera iniciado la negociación de los instrumentos derivados. Aun cuando el crecimiento de los derivados se intensificó durante las décadas de 1980 y 1990 la historia registra la existencia de este tipo de contratos desde el siglo XII, con el inicio del uso de la letra de cambio y de ciertos contratos que prometían la entrega futura de mercancías al comprador. Entre 1537 y 1539 bajo el gobierno del emperador Carlos V en los Países Bajos se puso en marcha un marco legislativo que proporcionó un relevante apoyo a las transacciones financieras y comerciales en ese país. La concentración del comercio en las ciudades de Amberes y Ámsterdam dio lugar a la aparición, durante la última parte del siglo XVI, de distintos colectivos de comerciantes que negociaban precios futuros (el caso de la

1 Vilariño, A. et al (2008) , Derivados, Valor razonable, riesgos y contabilidad. Teoría y casos prácticos, Prentice Hall.

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pimienta portuguesa y el cobre húngaro están registrados). La negociación de contratos en Ámsterdam estaba más orientada al grano y a los arenques. El caso de los contratos sobre arenques y el aceite de ballena estaban ligados a la variabilidad de las capturas de pesca y al considerable capital que se necesitaba para equipar los barcos, lo que incentivaba la creación de mecanismos de gestión del riesgo2. El comercio marítimo proporcionaba a los holandeses fletes y seguros que favorecieron las inversiones y las operaciones comerciales. El comercio con oriente dio lugar a la creación de la Compañía Holandesa de las Indias Orientales que en 1612 decretó que sus acciones solo podían liquidarse en la Bolsa de Ámsterdam. Esta medida originó la creación de un mercado de capitales en el que el riesgo y la especulación empezaron a jugar un papel cada vez mayor. A mediados del siglo XVI José de la Vega, hijo de un converso cordobés, describe, en un brillante castellano, un funcionamiento muy regular del mercado de acciones, futuros y opciones en la Bolsa de Ámsterdam3. Sus descripciones ya distinguen los horarios de contratación, los corros, las operaciones “al contado”, “a plazo”, “en firme” y las operaciones “con prima”. La negociación de los contratos a plazo y las opciones adquirieron un poderoso impulso con la creación en 1621 de la Compañía de las Indias Occidentales. Esta compañía recibió el monopolio para el comercio con África y Latinoamérica y simultáneamente el trabajo de tratar de conquistar las colonias españolas y portuguesas. Llevó dos años conseguir el suficiente capital para equipar el primer barco y durante ese periodo hay evidencias de operaciones de opciones sobre las acciones de esta compañía. 2. El siglo XVII. La especulación holandesa. Entre 1636 y 1637 hizo presa en Holanda lo que se ha venido a denominar la Tulipanmanía. Hasta esa fecha, el mercado de tulipanes era de carácter estacional realizado sobre unos bulbos que se plantaban al comienzo de la primavera y que una vez brotados al comienzo del verano se vendían para ser distribuidas las plantas. La hermosura y rareza de las flores, así como la aparición cada año de un elevado número de variedades nuevas de tulipanes, estimuló la imaginación popular y su valoración no tardó en 2 Gelderblom O. y Jonker J. “Amsterdam, cuna de los actuales futuros y opciones, 1550‐1659” En “Los Orígenes de las Finanzas” Ed. Empresa Global. Madrid 2005. 3 De la Vega, J. “Confusión de Confusiones”. Ed. Bolsa de Madrid. Madrid 1986.

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iniciar un tradicional proceso de especulación. Cuando la demanda de bulbos de tulipanes empujó los precios al alza, los contratos de opciones comenzaron a sustituir a los contratos a plazo. Durante el año 1635 el mercado de tulipanes se había transformado desde un mercado estacional sobre algunos bulbos en particular, a una rueda de contratos de futuros y opciones con vencimientos anuales realizados sobre grandes cantidades de bulbos, clasificados por variedades y peso. El sistema se colapsó a finales de 1636 y la burbuja especulativa explotó en febrero de 1637. La falta de una organización del mercado y la dificultad para interpretar los contratos contribuyeron a empeorar la crisis. Finalmente la Corte de Holanda calificó los contratos como apuestas según el derecho romano absteniéndose de proteger a los vendedores que pretendían forzar el cumplimiento de sus contratos de ventas de bulbos de tulipán. Todavía hoy la fascinación que producen los tulipanes continúa estimulando la imaginación popular. En agosto de 2004 se creó un fondo de inversión en Holanda para financiar el desarrollo de nuevas variedades de bulbos para el comercio a plazo, los directores del fondo pidieron en septiembre de ese año una investigación policial por intento de fraude de las contrapartes4. 3. El siglo XVIII. El primer mercado organizado de futuros El primer mercado organizado de futuros se abrió en Japón a principios del siglo XVIII. La principal mercancía distribuida a lo largo de Japón en aquella época era el arroz. Este producto agrícola sufría, a menudo, fluctuaciones de precios dependiendo de una buena o mala cosecha cada año. Los comerciantes de Dojima, ciudad cercana a Osaka, diseñaron en 1730 un sistema moderno y estable de mercado a futuro, el primero en el mundo, denominado “cho‐ai‐mai” (mercado del arroz a plazo). El mercado de futuros consistía en fijar de antemano el valor del arroz para garantizar el precio a los agricultores. Este mecanismo contribuyó al suministro estable de alimentos, posibilitando la alimentación de gran cantidad de personas y favoreciendo así el crecimiento de la población japonesa. 4. El siglo XIX. Los mercados regulados en EE.UU. Al igual que en Japón, los productos agrícolas fueron los grandes impulsores del desarrollo de los mercados de futuros en EE.UU. Los

4 Het Financieele Dagblad, 1.09. 2004.

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granjeros tradicionalmente llevaban sus cosechas al mercado una vez al año creándose en esos momentos un exceso de oferta que provocaba unos precios extremadamente bajos. En otros momentos del año, la escasez de productos provocaba en las áreas urbanas unos precios muy altos. Estas situaciones se complicaban aun mas por el hecho de que las posibilidades de almacenamiento de los productos agrícolas en las ciudades eran inadecuadas, así como porque el transporte desde las áreas rurales era difícil. A principios de 1800, aparecen los primeros contratos a plazo que trataban de cubrir el riesgo causado por la volatilidad del mercado de productos agrícolas como el maíz, el trigo y la soja. El más importante de los mercados agrícolas en los EE.UU. se aprobó en Chicago mediante una ley especial del estado de Illinois en 1859 (Chicago Board Trade) si bien existía una asociación privada que funcionaba informalmente desde 1848. Hoy en día ofrece contratos de futuros para muchos activos subyacentes, entre ellos, avena, soja, trigo, plata, bonos del Tesoro, letras del Tesoro, etc. En 1973, el Chicago Board Trade abrió un nuevo mercado, el Chicago Board Options Exchage, con el objetivo específico de negociar opciones sobre acciones cotizadas. El Chicago Exchange fue fundado en 1874 proporcionando un mercado para la mantequilla, huevos, carne y otros productos agrícolas perecederos. En 1898, los negociantes de mantequilla y huevos se retiraron de este mercado para formar el Butter and Egg Board que en 1919 cambio de nombre por Chicago Mercantil Exchange que desde el inicio ofreció contratos de futuros entre otros panceta de cerdo, vacuno vivo, porcino vivo, y desde 1982 el S&P 500 Stock Index. En 1972 se creo una división dentro del Chicago Mercantil Exchage denominada Internacional Monetary Market para negociar contratos de futuros sobre divisas, oro y sobre bonos del Tesoro. Los mercados de futuros del algodón y del café se autorizaron en Nueva York en 1870 y 1885 respectivamente. Ya en los años 1970, se fundaron otros mercados de futuros y opciones en los EE.UU. El American Stock Exchange, y el Philadelphia Stock Exchange comenzaron a negociar opciones en 1975 y el Pacific Stock Exchange en 1976. En los años 1980 se desarrollaron los mercados sobre opciones en divisas, sobre índices bursátiles y opciones sobre contratos de futuros.

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5. El siglo XX. 5.1. El mundo académico: La hora de las matemáticas A lo largo de la historia muchas personas y entidades han negociado con derivados (i.e. opciones y futuros) pero desconocemos las bases en que se apoyaban para negociar el precio de los contratos. ¿Cómo valoraban el precio de las opciones sobre los bulbos de tulipán, del arroz o del maíz?; ¿Cómo estimaban qué importe extra sobre el precio de contado hoy había que pagar para garantizarse un precio mañana?. Lo más probable es que aquellos primeros comerciantes ignoraran una vez negociadas los cambios de valor de las opciones adquiridas o emitidas porque la clave del valor está en el “precio de la incertidumbre”, un concepto más comprensible en nuestros días que en los años de la tulipanmanía. El primer esfuerzo conocido para utilizar la racionalidad matemática, en lugar de la intuición, para valorar opciones fue realizado por Louis Bachelier en 1900, al defender en la Sorbona su tesis doctoral en ciencias matemáticas, titulada “Théorie de la speculation”, dedicada al célebre matemático y físico Poincaré, miembro del tribunal. Bachelier definió como objetivo de su tesis resolver el problema de la determinación de la ley de probabilidad de los precios de los bonos, consistente con el mercado, en un instante dado. Una vez definida esa ley, Bachelier obtuvo los precios de diversas opciones sobre los bonos emitidos por el gobierno de Francia y negociados en la Bolsa de París. Bachelier supuso que los precios verificaban la propiedad de que su variación sigue una distribución normal de incrementos independientes y de varianza proporcional al incremento del tiempo, lo que posteriormente se denominó, en el lenguaje del cálculo estocástico, movimiento browniano aritmético. Una implicación de su hipótesis es la posibilidad de que existan precios negativos, contingencia de la que Bachelier fue consciente, pero que no abordó con una hipótesis alternativa. Bachelier, en la modelización de la densidad de probabilidad llegó a una ecuación en derivadas parciales, la ecuación del calor, formalmente igual a la que Einstein encontró, en 1905, en su famoso estudio del movimiento browniano que abrió una nueva rama de la física y las matemáticas. El movimiento de las partículas de polen en el agua fue objeto de atención por el botánico inglés Robert Brown, que en 1828 describió el irregular

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comportamiento que observaba, e intentó una explicación basada en “propiedades vitales” de las pequeñas partículas de polen. Einstein5 construyó un modelo físico‐matemático para explicar el fenómeno y contribuyó de forma decisiva a la hipótesis atomista de la materia. Las hipótesis básicas del modelo eran que el desplazamiento de las partículas entre dos instantes de tiempo era independiente de la posición anterior y que la ley de probabilidad que rige el movimiento de la partícula solo depende de la distancia temporal entre los dos instantes de tiempo, es decir las mismas hipótesis que el modelo de Bachelier. La resolución de la ecuación en derivadas parciales que sigue la función de densidad de probabilidad conduce a una ley normal. La fundamentación matemática del movimiento browniano fue realizada por Wiener6, de ahí la denominación alternativa de procesos Wiener, y posteriormente el matemático japonés Ito7 sentó las bases de las operaciones fundamentales del cálculo, diferenciación e integración, de los procesos brownianos. El denominado cálculo de Ito hoy es parte esencial de los libros y artículos de finanzas dedicados a la valoración de instrumentos financieros. En los años 50 se dio una nueva ola investigadora sobre la valoración de opciones y sobre los modelos de comportamiento de los precios de los activos financieros. En estos trabajos se hizo uso de los avances matemáticos en teoría de probabilidad y cálculo estocástico y de la aportación original de Bachelier redescubierta por Samuelson debido a una indicación recibida de Savage. En los trabajos de Samuelson8, Osborne9 y Alexander10 se abandonó la hipótesis de Bachelier sobre la variación de los precios y se sustituyó por la hipótesis de lognormalidad de los precios, lo que implica que es la variación relativa, y no la absoluta, la que sigue una distribución normal. Este cambio impide que los precios sean negativos y se ha convertido en la hipótesis canónica que actualmente se aplica en la mayoría de los modelos de valoración de opciones.

5 Einstein, A. (1905): “On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular‐Kinetic Theory of Heat”, Annalen der Physik 17 y Einstein, A. (1906): “On the Theory of Brownian Motion” Annalen der Physik 19. 6 Wiener, N. (1923): “Differential‐Space”, Journal Mathematics Physics, 2, 131‐174. 7 Ito, K. (1951): On Stochastic Differential Equations, Memoir, American Mathematical Society, vol 4. 8 Samuelson (1955): “Brownian Motion in the Stock Market”, mimeo. 9 Osborne (1959): “Brownian Motion in the Stock Market”, Operations Research, 7, 145‐173. 10 Alexander (1961): “Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random Walks”, Industrial Management Review, 2, 7‐26.

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Este cambio de hipótesis permitió traducir los resultados de Bachelier al nuevo contexto de lognormalidad con los trabajos de Kruizenga11, Sprenkle12 y Samuelson13. Sin embargo todavía no se había conseguido un modelo de valoración generalmente aceptado por los operadores del mercado. Fueron Black y Scholes14, por un lado, y Merton15, por otro, aunque en contacto en la fase previa a la publicación de sus respectivos artículos, los que añadieron un elemento esencial en el modelo de valoración de opciones: la condición de que una cartera compuesta por opciones y acciones en proporción tal que su variación no depende de la variación del precio del activo subyacente debe de tener el mismo rendimiento que el activo libre de riesgo. Esta condición es esencial para la valoración de las opciones, y permite eliminar la dificultad de estimar la denominada deriva del movimiento browniano que hipotéticamente rige el comportamiento del precio del activo subyacente. El modelo de Black y Scholes se convirtió rápidamente en el modelo canónico para la valoración de opciones estándar (vanilla) al ganar el favor de los operadores del mercado. El modelo aparentemente complejo, en su formulación y resolución, tiene la gran virtud de que esencialmente solo depende, como incógnita, de una variable no observable, la volatilidad de los precios del activo subyacente, lo que reduce el cálculo del precio a la estimación de la volatilidad y la negociación de los precios a una negociación de volatilidades. Los trabajos de Black, Scholes y Merton son mucho más que la solución al problema de la valoración de un determinado tipo de opciones, porque han creado una metodología de valoración de instrumentos contingentes (derivados y subyacentes). La mayoría de las denominadas opciones exóticas, que son todas aquellas que se diferencian en algún aspecto de las vanilla, se valoran bajo las mismas hipótesis del modelo de Black‐Scholes. Si en algunos casos, como las opciones asiáticas media aritmética de precios, no existe solución cerrada para la determinación del precio o es muy trabajoso obtenerla, se recurre a las técnicas de Monte Carlo para

11 Kruizenga (1956): “Put and Call Options: A Theoretical and Market Análisis”, Ph. D. Dissertation, M.I.T. 12 Sprenkle (1961): “Warrants Prices as Indicators of Expectations and Preferentes”, Yale Economic Essays, 1, 178‐231. 13 Samuelson, P.A. (1965): “Rational Theory of Warrant Pricing”, Industrial Management Review 14 Black, F. y Scholes, M (1973): “ The Theory of options and corporate liabilities”, Journal of Poltical Economy, mayo‐junio. 15 Merton, R.C. (1973) “Theory of rational option princing”, Bell Journal of Economics and Management Science, 4, primavera.

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hallarla, pero las hipótesis de la variable o variables aleatorias, en caso de varios subyacentes, y la condición riesgo neutral, son las mismas que las del modelo canónico de Black‐ Scholes. Es cierto que han surgido ampliaciones como la inclusión de la hipótesis de volatilidad estocástica o la existencia de saltos en los movimientos de los precios de los activos subyacentes, pero a medida que el modelo intenta ser más “sofisticado” o “realista” más dificultades existen para la estimación robusta de los nuevos parámetros que se añaden al modelo original. Cox, Ross y Rubinstein16 construyeron un modelo en tiempo discreto, basado en árboles binomiales, que desde un punto de vista didáctico abarata de forma significativa los costes de aprendizaje, y tiene una gran aplicación práctica. De este modo los métodos numéricos para valorar opciones y forward exóticos se han incorporado a las metodologías de valoración por su gran flexibilidad y sencillez. Finalmente Harrison y Kreps17 y Harrison y Pliska18 demostraron en sendos trabajos la vinculación entre la metodología de valoración de opciones desarrollada por Black, Scholes y Merton y la teoría matemática de martingalas, proporcionando un enfoque operativo de una gran fertilidad. En la década de los 90 el centro de gravedad de la investigación sobre los derivados se desplazó a los instrumentos vinculados a los tipos de interés, y a partir de mediados de los 90, hasta la actualidad, a los derivados de crédito. En 1977 Vasicek19 publicó un trabajo pionero sobre la estructura temporal de los tipos de interés basándose en el modelo de Uhlenbeck y Ornstein20 que trata de una generalización del movimiento browniano analizado por Einstein. La innovación central del modelo de Vasicek es la introducción de los procesos de tipos de interés con “reversión a la media”, es decir con un comportamiento diferente al modelo de las acciones utilizado por Black, Scholes y Merton. Es conveniente señalar que el tipo de interés protagonista del modelo de Vasicek, y de casi todos los modelos posteriores es un tipo de interés no observable, el tipo de interés instantáneo en tiempo continuo. 16 Cox, J.C., Ross, S.A. y Rubinstein, M. (1979): “Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, 7, September, 229‐263. 17 Harrison, J.M. y Kreps, D.M. (1979): “Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets”, Journal Economic Theory, 20, 381‐408. 18 Harrison, J.M. y Pliska (1981): “Martingales and stochastic integrals in the theory of continous trading”, Stochastic processes and their Applications, 11, 215‐260. 19 Vasicek, A.O. (1977): “An equilibrium characterisation of the term structure”, Journal of Financial Economics, 5, 177‐188. 20 Uhlenbeck, G.E. y Ornstein, L.S. (1930): “On the theory of the brownian motion”, Physical Review, Vol. 36, September, 1.

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Cox, Ingersoll y Ross21 generalizaron el modelo de Vasicek introduciendo una volatilidad variable proporcional a la raíz cuadrada del tipo de interés, con lo que se resolvía la inconsistencia de posibles tipos de interés negativos en el modelo de Vasicek. A partir de estos trabajos cobró un nuevo impulso tanto la valoración de bonos como la valoración de opciones sobre bonos. Jamshidian22 halló en 1989 el precio de opciones sobre bonos cuando los tipos de interés se comportan según el modelo de Vasicek. Sin embargo los modelos no terminaban de ser satisfactorios dada la rigidez establecida sobre el comportamiento del tipo de interés. Surgieron modelos más flexibles, como los de Hull y White23, que utilizan la información suministrada por la curva de contado de los tipos de interés y el de Black, Derman y Toy24. Estos modelos se implementan mediante árboles binomiales o trinomiales y tienen la ventaja de la flexibilidad y la dificultad de la estimación o calibración de los parámetros que rigen el comportamiento estocástico de los tipos de interés futuros. Heath, Jarrow y Morton25 focalizan su atención en los tipos de interés forward instantáneos con lo que crean un modelo que es ampliamente utilizado en la valoración de instrumentos financieros vinculados a tipos de interés. A finales de los 90, entraron en escena los denominados modelos de mercado que eligen como variable del modelo los tipos de interés observables en el mercado, los tipos de interés LIBOR, frente a las anteriores aproximaciones centradas en variables no observables, los tipos de interés contado instantáneos y los tipos de interés forward instantáneos. En esta aproximación se utiliza la hipótesis de que los tipos de interés siguen una distribución lognormal, lo que permite obtener expresiones analíticas sencillas para los derivados. Una ventaja es que se simplifican las tareas de calibración de los modelos. Miltersen, Sandmann y Sondermann26 obtuvieron fórmulas para las opciones sobre bonos cupón cero, y para caps y floors. La amplia variedad de modelos existentes, de los que hemos citado solo una muestra representativa, centrándonos en

21 Cox, J., Ingersoll, J. y Ross, S. (1985): “A theory of the term structure of interest rates”, Econometrica, 53, 385‐408. 22 Jamshidian, F. (1989): “An exact bond option formula”, Journal of Finance, 44, nº 1, March, 205‐209. 23 Hull, J.C. y White, A. (1990): “Pricing interest rate derivative securities”, Review Financial Studies, 3, 573‐592. 24 Black, F., Derman, E. y Toy W. (1990): “A one‐factor model of interest rate and its application to treasury bond options”, Financial Analyst Journal, 46, January‐February, 33‐39 25 Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1992): “Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation”, Econometrica, 60, 77‐105. 26 Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D. (1997): “Closd‐form solutions for term‐structure derivatives with log‐normal interest rates”, Journal of Finance, 52, 409‐430.

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los que han supuesto algún tipo de innovación relevante, prueba las dificultades de modelización del subyacente: la estructura temporal de los tipos de interés. No existe una metodología hegemónica como ocurre en el caso de las acciones, las divisas, los futuros e incluso las mercancías. 5.2. Derivados sobre la energía Los derivados sobre la energía agrupan a un conjunto de contratos muy heterogéneo y con distintos niveles de dificultad desde el punto de vista de la valoración. Los instrumentos negociados son formalmente los mismos que en el caso de activos financieros, es decir, forward, futuros, swaps y opciones, pero bajo esta apariencia de semejanza está debajo las dificultades de modelización de los precios de los subyacentes. Estos son esencialmente petróleo, gas natural, carbón y los derivados físicos y químicos de estos productos. Los mercados organizados son muy recientes y destacan en electricidad el mercado nórdico Nord Pool, y el Nymex en Nueva York. En cuanto a las dificultades destaca la electricidad, por sus características de bien no almacenable y también porque los flujos de liquidez asociados a las plantas de generación de energía eléctrica son muy complejos dado que se determinan mediante modelos de programación dinámica sujetos a restricciones de tipo operativo y medioambiental. Una característica común de los precios de los productos energéticos es su elevada volatilidad. En términos de orden de magnitud podemos situar la volatilidad de las divisas en un rango 10%‐20%, la volatilidad de los tipos de interés LIBOR en un rango similar, los índices bursátiles en un rango 15%‐25%, el NASDAQ en un rango 30%‐50%, mientras que la volatilidad de los precios del gas natural se puede situar entre 50%‐100%, y la electricidad27 100%‐500%. Además los precios de los productos energéticos, y especialmente la electricidad, muestran picos intradía de gran magnitud, comportamientos estacionales, reversión a la media, volatilidad claramente no constante y correlaciones entre precios cambiantes. 5.3. Derivados de crédito En la década de los noventa surgieron con gran vigor los derivados de crédito. Ya existían instrumentos que de forma limitada tenían la finalidad de mitigar o cubrir el riesgo de crédito, pero su utilización estaba

27 Mercados de Estados Unidos.

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confinada a operaciones específicas. La historia de los derivados corre en paralelo con la historia de los riesgos y tanto la crisis asiática como la reforma de los criterios de Basilea pusieron en un primer plano la gestión del riesgo de crédito. La caída de la Bolsa de Nueva York en octubre de1987 representó un enorme incentivo para la investigación de los riesgos de mercado y la aparición de RiskMetrics fue la respuesta de la industria, con una amplia repercusión posterior en las metodologías y la regulación. Con la crisis asiática le llegó la hora al riesgo de crédito planteándose muchos interrogantes sobre los sistemas de medición y de gestión utilizados por las entidades y los reguladores. El término derivados de crédito se aplica a una amplia gama de instrumentos que de forma resumida se definen como instrumentos derivados que son idóneos para transferir, cubrir y gestionar el riesgo de crédito y que tienen sus flujos de caja asociados a determinados eventos característicos del riesgo de crédito. Dado que el riesgo de crédito se manifiesta en una multiplicidad de formas no es posible definir una única variable subyacente o un único evento. Una tipología que cubre de forma bastante completa los eventos de crédito más relevantes sobre los que se puede definir un contrato es: quiebra, suspensión de pagos, moratoria unilateral de la deuda, incumplimientos de obligaciones contractuales de pago superiores en el tiempo y en importe a determinados niveles establecidos, reestructuración unilateral de la deuda, caída del rating otorgado por una agencia de calificación, pérdidas de una cartera de instrumentos de deuda por encima de un determinado importe o porcentaje prefijado, pérdidas de una cartera de instrumentos de deuda situadas en un rango determinado, primer, segundo o enésimo incumplimiento en una cartera de instrumentos de deuda, y cambios en el spread de crédito. Ahora bien la definición contractual de lo que se entiende por un evento de crédito es negociable entre las partes por lo que puede incluir eventos no contemplados en los párrafos anteriores. Los derivados de crédito más negociados son las permutas de incumplimiento (credit default swap), después siguen a distancia otros como los primer incumplimiento (first to default), las permutas de rendimiento total (total return swaps) y otros. La valoración de los derivados crediticios está todavía en un estadio básico de desarrollo, debido a que no existe un modelo teórico lo suficientemente robusto que, a diferencia de los modelos para valorar derivados financieros, permita obtener su valor razonable y que dicho

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valor sea aceptado como la mejor estimación de su precio por los participantes en el mercado. Esto no quiere decir que no haya modelos de valoración, sino que los modelos existentes pueden ofrecer un amplio rango de posibles estimaciones de precios para un mismo producto. Los elementos y factores que influyen en la dificultad para la valoración de los derivados de crédito son: la modelización del riesgo de crédito de los subyacentes que se utilizan en los derivados de crédito es hoy objeto de amplios debates, y los modelos disponibles se mueven, generalmente, entre una alta complejidad matemática28, y grandes dificultades tanto a la hora de estimar ciertos parámetros esenciales, como cuando se pretenden contrastar con la evidencia empírica. Sin duda, desde hace algunos años se ha generado un intenso esfuerzo de investigación, pero la complejidad del problema no permite todavía disponer de modelos generalmente aceptados. Existen al menos tres fenómenos, cuyo comportamiento influye sobre el precio de un derivado de crédito. En primer lugar, es necesario disponer de un modelo probabilístico de los eventos de crédito, o, dicho de otra forma, de la estructura temporal de las probabilidades de incumplimiento (default). En segundo lugar se necesita disponer de las tasas de recuperación dado el impago. Esta variable no ha sido objeto de tanta atención teórica como la primera, aunque existe últimamente una mayor sensibilización hacia el tema. Sin duda la opacidad es mayor en esa fase del proceso, lo que quizás haya influido en ese olvido; sin embargo, se trata de un parámetro esencial en cualquier modelo. El problema está en la capacidad actual para capturar el comportamiento de la eficacia de las recuperaciones mediante los procesos estocásticos utilizados habitualmente. La tercera variable es la estructura de dependencia entre los incumplimientos y entre los incumplimientos y las tasas de recuperación. Adicionalmente en algunos contratos también es relevante la estructura temporal de los tipos de interés y por ese motivo es necesario introducir alguna hipótesis sobre la misma. Pero aún en el caso de un derivado de crédito puro, tal hipótesis es necesaria, dada las interdependencias que pueden existir entre la estructura temporal de las probabilidades de incumplimiento, las tasas de recuperación y el comportamiento temporal de los tipos de interés.

28 Schönbucher, P.J. (2003): Credit derivatives pricing models, Wiley.

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Un último factor que es preciso resaltar es la dificultad de estimación de los parámetros de los modelos o, dicho de otra forma, la gran variabilidad que pueden presentar los precios obtenidos mediante un determinado modelo debido a la amplitud de los intervalos de confianza de los parámetros estimados, producto de la escasa y no homogénea información muestral. 5.4. Los Derivados: control y comprensión. La quiebra de BARINGS Los derivados exponen a las entidades y personas que negocian con ellos a distintos tipos de riesgos financieros: mercado, crédito, operativos, etc. Las pérdidas, y en algún caso el colapso, de algunas entidades al utilizar derivados han estado motivadas en la mayor parte de las ocasiones por una falta de comprensión de los riesgos que conllevaban su contratación así como a la debilidad, cuando no ausencia, de unos adecuados controles y procedimientos internos. Aun cuando parece obvio, ningún consejo de administración debería autorizar la operativa con productos financieros cuyos riesgos no sean sobradamente comprendidos por todos los administradores y que además no dispongan de medios para controlar y evaluar todas las transacciones pendientes por empleados no involucrados en la gestión diaria. Lamentablemente no son pocos los casos de crisis empresariales que se han producido a partir de la utilización masiva del uso de derivados desde el inicio de los años 1990. Desde la famosa disputa en 1994 entre Procter & Gamble y Bankers Trust respecto de distintas opciones exóticas sobre tipos de interés negociadas entre ambos, inadecuadamente comprendidas por Procter & Gamble, hasta el colapso del banco inglés Barings es significativo que sea el desconocimiento de los máximos responsables y las debilidades de control los verdaderos causantes de las dificultades surgidas por negociar con derivados. Barings era el banco más antiguo de Inglaterra que tenía entre sus clientes a la Reina y a las más importantes compañías industriales británicas29. El duque de Richelieu, primer ministro de Luis XVIII, llegó a comentar que "Existen 6 grandes potencias en Europa: Inglaterra, Francia, Austria, Prusia, Rusia y los Hermanos Barings". El banco fue creado en el año 1762 por los hermanos Barings, de origen holandés, orientado inicialmente a la

29 Kuprianov, A. “Derivatives debacles: Case Studies of large losses in derivatives markets”. Federal Reserve Bank of Richmond. Economic Quartey, volume 81, sept 1995.

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financiación del negocio de la lana pero muy rápidamente se diversificó hacia otros sectores relacionados con el comercio internacional. La historia del banco fue una sucesión de éxitos profesionales y su patrimonio inmobiliario llegó a ser una de las más importantes de Gran Bretaña. En 1803 lideró la financiación a los EE.UU. para comprar el estado de Lousiana y también ayudó a Gran Bretaña en sus guerras contra Napoleón, unas operaciones que movieron al gobierno inglés a otorgar cinco títulos nobiliarios a la familia Barings. Barings siempre había disfrutado como banco de una reputación conservadora. En 1890, debido a pérdidas millonarias en su cartera de préstamos, fue rescatado por un consorcio de bancos liderados por el Banco de Inglaterra. Un esfuerzo similar se intento a comienzos de 1995 cuando empezaron a conocerse las dificultades por las que atravesaba el banco y todavía eran dos hermanos Barings (Nicola y Peter) quienes dirigían la fundación Barings que era el principal accionista del, en esos momentos, sexto banco de negocios inglés. En 1989 Barings contrató para la oficina de Londres a Nicholas William Lesson, que previamente había trabajado como empleado de bajo nivel en una oficina de Coutts & Company, uno de los bancos de la Reina, y en la sucursal londinense de Morgan Stanley como asistente de un operador, un empleo modesto pero rico en enseñanzas acerca del mundo de las finanzas. En 1992, Barings envió a Lesson a Singapur para colaborar en la creación de una oficina de control de la sucursal en esa ciudad, que tenia pocos empleados. Lesson también se hizo cargo de transacciones de bajo margen diseñadas para obtener ganancias de las pequeñas diferencias de precios entre los contratos de futuros del índice Nikkei 225 que se negociaban tanto en Singapur como en Osaka. Estas operaciones de arbitraje no requerían mucha experiencia ni suponían mucho riesgo, otros bancos de negocios las hacían desde hacia tiempo, y no parecía necesario supervisar de cerca a Lesson, y Barings no lo hizo. Un pequeño error cometido por una empleada del departamento (vendió futuros cuando la instrucción era comprar) generó una pérdida de 30.000 dólares y Lesson intentó cubrirla apostando en el mercado de futuros. Dio resultado, y como nadie en Barings cuestionó la razón por la que había hecho estas transacciones, comenzó a especular más a menudo. Desafortunadamente no era un operador bueno, y cuanto mas se alejaba de la estrategia de arbitraje de bajo riesgo más dinero perdía. Con el

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tiempo, las estrategias se tornaron más agresivas, realizando operaciones “a la medida” (OTC) e incluso emitiendo opciones que apostaban a que el mercado japonés se movería en un rango bajo. También perdió en estas apuestas. Lesson, gracias a un sistema de control deficiente, ocultó las pérdidas registrándolas en una cuenta especial creada en julio de 1992 (cuenta número 88888) que no estaba controlada por el resto del sistema contable de Barings. Junto a esta deficiencia, Lesson podía controlar tanto la ejecución como el registro de las operaciones debido a que sus supervisores lo habían habilitado para actuar como operador y además como jefe de control de la sucursal. Hacia finales de 1994 las pérdidas ocultadas ascendían a 285 millones de dólares, sin embargo los informes financieros indicaban que la oficina de control de Singapur había ganado 30 millones de dólares en 1994, cerca del 20 por ciento de las ganancias totales de Barings. Las operaciones de Lesson habían crecido de muy pocos contratos en sus inicios a casi la mitad del mercado de futuros Nikkei de Singapur, que suponían miles de millones de dólares en apuestas. Los administradores de Barings en Londres no sabían exactamente cómo Lesson, que tenía 28 años, les hacia ganar tanto dinero pero la recompensa en forma de bonus que le aprobaron fue de 680 mil dólares, mas de tres veces la del año anterior. A finales de 1994, Lesson había emitido decenas de miles de opciones de compra y venta sobre acciones japonesas (37.925 opciones de compra y 32.967 opciones de venta), apostando a que la volatilidad del mercado japonés no variaría mucho. Si los mercados permanecían tranquilos, las opciones no se ejecutarían y las primas cobradas permitirían a Lesson salir del precipicio. El 17 de enero de 1995 la ciudad de Kobe, situada a 500 kilómetros al oeste de Tokio, se vio afectada por un terremoto de una magnitud de 7,2 en el que perecieron 6.394 personas. Los daños se calcularon en 99.000 millones de dólares y el índice Nikei cayó más de 1.500 puntos. Cuando las posiciones en opciones de la oficina de Singapur empezaron a perder valor, Lesson dobló las apuestas en el mercado de futuros apostando a que las acciones subirían después del terremoto (compró cerca de 61.000 contratos de futuros sobre el Nikkei) . En esos momentos las posiciones de la sucursal de Singapur eran de 7.000 millones de dólares a la subida de las acciones y 22 millones de dólares por la bajada. Si las apuestas se movían un poco a su favor podría salir de la

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situación. Cuando las acciones japonesas volvieron a caer, Lesson dio por terminadas las apuestas. El 23 de febrero de 1995, los administradores de Barings se sorprendieron al descubrir que la oficina de Singapur había perdido 1.400 millones de dólares, mas que los 660 millones de dólares a que ascendía el patrimonio del banco. Irónicamente, ese mismo día los ejecutivos de Barings fueron informados de sus bonus (680 mil $ para Lesson y 1,5 millones de $ para el presidente Peter Barings). Más sorprendente era aun que, sólo dos días antes, habían recibido un informe del VAR (Valor en riesgo. Se trata de una técnica estadística para estimar la máxima pérdida esperada de una cartera en un horizonte temporal pequeño) correspondiente al departamento de Lesson en Singapur. El informe indicaba que el VAR de la cartera de Lesson era “cero”; es decir, todas las posiciones largas de Lesson parecían estar compensadas con posiciones cortas, como, por otra parte, era lógico esperar de una operativa de arbitraje de bajo riesgo. Hasta el 6 de febrero de 1995, nadie se preguntó en Barings como eran posibles unos resultados tan brillantes con operaciones de arbitraje de bajo riesgo, mientras los resultados informados fueron ganancias y elevadas. El control interno diseñado por Barings había fracasado por completo. El 6 de marzo de 1995, el banco fue adquirido por Internacional Nederlanden Group (ING) por una libra esterlina aunque tuvo que añadir 660 millones de libras para capitalizar el banco. Poco tiempo después, la dimisión de Peter Baring acabó con 233 años de vida de un banco familiar. Algunos meses después, los nuevos administradores del banco declararon que, algunas de las personas que ocupaban puestos claves dentro de Barings, que debían ejercer un control estricto sobre los ejecutivos del banco, no tenían ni idea de los fundamentos del negocio. Lesson y su mujer abandonaron Singapur el 23 de febrero de 1995 y se instalaron en un hotel en Kuala Lumpur desde donde envió un fax a la sede social de Barings en Londres: “My sincery apologies for the predicament I have left you in. It was neither my intention nor aim for this happen”. Lesson fue detenido en el aeropuerto de Frankfort (Alemania) y extraditado a Singapur en noviembre del mismo año. En Singapur, Lesson fue declarado culpable por fraude y condenado a 6 años y medio de prisión. Lesson rehusó colaborar con las autoridades supervisoras inglesas, a menos que lo extraditaran a Gran Bretaña.

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6. El siglo XXI.

6.1. Los Derivados sobre la energía: ENRON Enron fue presentada en numerosas ocasiones como el tipo de compañía de grandes innovaciones financieras, ejemplo de la eficiencia de las empresas de los EE.UU., modelo de la denominada Nueva Economía a finales de la pasada centuria. Por eso su quiebra sorprendió a muchos reguladores, economistas, contables, asesores de inversiones, periodistas, etc., que habían creído en la autopromoción que de ella hacían sus ejecutivos. Enron había sido un participante menor en el negocio de los gasoductos hasta que percibió el gran potencial del mercado de derivados basado en las fluctuaciones de los precios al por mayor de la energía. Los derivados energéticos son contratos de opciones utilizados para protegerse del riesgo de fluctuaciones en los precios de electricidad, gas natural y demás precios de energía. Enron se convirtió en el mayor negociante de derivados de electricidad y gas, especialmente en el mercado no bursátil30. El negocio de Enron de producción de petróleo y gas natural era mínimo, por el contrario el negocio con derivados a largo plazo sobre gas y electricidad eran la base de los resultados contables registrados por la compañía. Enron creó dos sitios en Internet (EnronOnline y Enron Energy Services) que eran las plataformas desde la que sus clientes podían negociar casi cualquier producto, pero esencialmente contratos de gas y electricidad. La compañía utilizaba la plataforma para conectar a compradores y vendedores, como una Bolsa de valores, en las que Enron actuaba de contraparte de cada transacción. Al igual que muchos negocios de la compañía, Enrononline funcionaba al margen de la regulación financiera de los EE.UU. Se consideraba exenta de cumplir las normas debido a que todas sus transacciones eran consideradas “contratos bilaterales” entre dos partes que negociaban en el sitio de Enron, y tales contratos derivados estaban desregulados. Esta operativa permitió a Enron registrar unas relevantes ganancias que permitan ocultar las perdidas en otros de sus negocios.

30 Partnoy, F. “Codicia Contagiosa”. Ed. El Ateneo. Buenos Aires 2003.

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En esencia, las ganancias en la operativa con derivados sobre la energía procedían de su valoración. El método clave era generar curvas de futuro sobre los precios del gas o la electricidad. Por ejemplo, un operador de derivados del gas podía comprometerse a comprar gas para su entrega a las pocas semanas, meses, o incluso años. La tasa a la que un operador podía adquirir gas en un año es la tasa futura a un año, y con la que podía comprar dentro de diez años, es la tasa futura a diez años. La curva futura para un contrato específico de gas natural es simplemente una curva en la que aparecen todas las tasas futuras de todos los vencimientos. Las curvas futuras son cruciales para valorar cualquier derivado, porque permiten valorar en el momento presente un contrato con vencimiento en el futuro, de la misma manera que el tipo de interés sirve para valorar al día de hoy el dinero que se recibirá en el futuro. Como toda entidad que se dedica al negocio con derivados, Enron poseía un sistema para valorar sus derivados sobre el gas y la electricidad que utilizaba curvas a futuro para calcular el valor razonable del derivado. En algunos mercados las curvas a futuro son fáciles de obtener (v.g. curva cupón cero sobre el tipo de interés libre de riesgo) pero en otros mercados, o para determinados plazos, son fácilmente susceptibles de manipular. Para el caso de los contratos de gas, la curva a futuro a corto plazo está disponible para todo el mundo en la Bolsa de Nueva York. Cualquiera que quiera comprobar si una transacción se ha valorado correctamente, solo tiene que consultar un diario económico. Por el contrario, los contratos de gas y electricidad con periodos superiores a cinco años solo se negociaban en el mercado extrabursátil de Enron. Los modelos matemáticos diseñados para estimar estas curvas eran fácilmente manipulables, dado el tipo de hipótesis discrecionales con las que se construían y la necesidad de estimar numerosos parámetros, además de que los auditores de la compañía no los revisaron con mucho cuidado. Los auditores tomaron por buenos los datos suministrados por los modelos por lo que no podían descubrir como los operadores moviendo muy poco las curvas (tres centavos por día en muchos casos) generaban un impacto sobre las ganancias de hasta 20 millones de dólares. Enron conocía muy bien el papel de esos nuevos instrumentos en el mercado desregulado de la energía. Pero la empresa logró esconder a los inversores y reguladores su mala administración. Contabilizaba el valor total de sus transacciones como ingresos. Mientras los operadores de

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bolsa sólo contabilizan el margen de los contratos de derivados como resultados, no el valor total de la transacción, Enron registraba todos por su valor razonable, a pesar de las dudas que su estimación presentaba. 6.2. Los derivados de crédito: Las titulizaciones de préstamos hipotecarios. Una novedad relevante a finales del siglo XX fue la creación de los fondos de titulización: reagrupar activos financieros con el fin de reasignar riesgos y obtener calificaciones crediticias más altas. Los fondos de titulización permiten a los bancos y a grandes entidades obtener liquidez vendiendo su exposición a hipotecas inmobiliarias, tarjetas de crédito y otros activos financieros y derechos de cobro (recibos por cobrar, etc.). Hasta aquellas fechas las empresas realizaban estas operaciones mediante operaciones de factoring, a través de las cuales vendían sus cuentas a cobrar, o derechos de cobro de diversa índole, a compañías especializadas (denominadas factor). Así pues, las titulizaciones son una versión moderna del factoraje. Animados por las altas calificaciones crediticias otorgadas por las agencias de rating a los bonos de titulización, los inversores comenzaron a comprar bonos que les permitan asumir los riesgos asociados con cuentas a cobrar adeudadas a los bancos y otras compañías. Una de las innovaciones mas significativas del negocio de la titulización fueron las Bonos con Colateral (Colateral Debt Obligation, o CDO por sus siglas en inglés). Las CDO incorporan varios tipos de derivados de crédito que transfieren el riesgo de crédito de las entidades originadoras de los derechos de cobro a los inversores en los bonos CDO. Mediante estas operaciones, un banco transfiere a una entidad especifica (v.g. un fondo de titulización) una cartera de activos de su propiedad (hipotecas, tarjetas de crédito, etc.). La entidad específica procede a emitir títulos respaldados por los activos transferidos y a dividir los títulos en porciones con distinto riesgo de crédito las cuales son compradas por los inversores. En un CDO sencillo las porciones se agrupan en tres clases: senior, intermedia y equity. La clase senior tiene un rendimiento superior a los bonos del tesoro, pongamos, un 0,5% más, a continuación la clase intermedia, con un rendimiento de quizás un 2% superior a los bonos del tesoro y la clase equity se paga en última instancia después del pago completo de las clases anteriores con un rendimiento no específico pero que puede ser alto (si los prestatarios de los activos transferidos pagan) o cero (si los prestatarios de los activos transferidos incumplen). Las calificaciones crediticias de los

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bonos “agregaban valor” a los activos transferidos, al permitir a los inversores comprar sólo una parte de ellos, cosa que de otra forma no podría haber hecho. En EE.UU. el éxito de estas estructuras relajó las políticas de concesión de créditos y animó a algunas entidades financieras a transferir los préstamos más arriesgados de entre los hipotecarios (subprime) buena parte de ellos formalizados a interés variable. La baja percepción del riesgo de crédito transferido junto con los altos rendimientos ofrecidos animaron a inversores dentro y fuera de los EE.UU. (hedge fund, fondos europeos y japoneses entre ellos) a adquirir los CDO cuya valoración es muy incierta (también para las entidades más sofisticadas) y cuya liquidez es muy sensible a los cambios en el entorno económico. La subida de tipos de interés iniciada por la Reserva Federal de los EE.UU. (informalmente FED) en 2005 hizo aumentar las cuotas de intereses de los préstamos subprime referenciados a tipos interbancarios, y con ellas los incumplimientos, lo que unido a una caída en el precio de los activos reales que servían de garantía acentuó la percepción del riesgo. En la primavera de 2007 algunas entidades de crédito especializadas en préstamos subprime anunciaban dificultades para encontrar financiación adecuada y tras la quiebra de alguna de ellas los mercados interbancarios reflejaron fuertes turbulencias, con un fuerte tensionamiento de los tipos de interés y dificultades de algunas entidades para financiarse. El 15 de junio, la agencia de calificación Moody´s rebajaba la calificación de 131 fondos garantizados por préstamos subprime y anunciaba la revisión de 250 bonos de cara a una posible rebaja. El proceso de reajuste a la baja de las calificaciones crediticias del resto de agencias de calificación continuó a lo largo del verano. La liquidez de los mercados se evaporó con rapidez, suscitando dudas sobre los supuestos subyacentes en las valoraciones basadas en modelos. Conforme aumentaba el nerviosismo sobre las necesidades de financiación de los bancos, comenzó a propagarse por los mercados monetarios a corto plazo una creciente demanda de liquidez ocasionando subidas de los tipos de interés interbancarios a un día. En este entorno, el 9 de agosto tanto el Banco Central Europeo como la FED realizaron inyecciones de liquidez, a muy corto plazo, que continuaron en semanas posteriores. No obstante, ante los persistentes temores sobre la situación de liquidez a más largo plazo, la volatilidad de los tipos de interés de los mercados interbancarios permaneció anormalmente elevada hasta finales de agosto.

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Conforme se acentuaban las turbulencias en los mercados interbancarios se registró un brusco descenso de los rendimientos de los títulos emitidos por los estados de los países industriales ante las ventas generalizadas y el abandono de los activos de riesgo por parte de los inversionistas. Mientras tanto, el abandono de los activos de riesgo se propagó a otras categorías de activos, incluidos los mercados de renta variable, testigos de pérdidas generalizadas entre la segunda quincena de julio y la misma de septiembre. A mediados de agosto, el índice Standard&Poor 500 había perdido un 8% respecto de su nivel de mayo y el Eurostoxx alrededor del 7%. Estas pérdidas anularon gran parte de las ganancias acumuladas por las bolsas estadounidenses y europeas desde comienzos de año, al tiempo que situaban los índices japoneses muy por debajo de sus niveles al cierre de 2006. Las acciones de los sectores bancario e inmobilario se vieron especialmente afectadas por las noticias adversas procedentes del mercado de la vivienda. No obstante, las caídas de los mercados bursátiles tuvieron lugar en un entorno de sólidos beneficios empresariales y con una situación macroeconómica relativamente favorable. En la fecha en que este libro se edita no existe un diagnóstico preciso de la magnitud del deterioro de las carteras hipotecarias subyacentes ni de la magnitud de la exposición al riesgo que se ha diseminado entre los inversores a través de los bonos de titulización. 7. Una Observación final La historia de los derivados también es la historia de los millones de contratos negociados que no han generado ningún sobresalto especial, salvo las normales pérdidas y ganancias obtenidas por las contrapartes o el cumplimiento de su función de instrumento de cobertura. Los acontecimientos reseñados pueden tener una cierta similitud con los accidentes de aviación, que cuando ocurren son enormes catástrofes pero que no invalidan los millones de vuelos sin incidencias. Quizás hay una diferencia importante en esta analogía y es que la aeronáutica es una técnica asentada en firmes leyes físicas y en refinados métodos experimentales, mientras que los derivados no tienen ese fundamento científico de tal modo que el denominado riesgo del modelo es muy relevante. Los modelos de valoración y medición del riesgo de los contratos derivados se construyen sobre hipótesis que en ocasiones dejan fuera elementos esenciales de la realidad, la liquidez por ejemplo, y por otra parte los modelos son muy sensibles a la estimación de parámetros

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para los que, en muchos casos, falta la mínima información requerida. Pero la analogía comparte el hecho de que los problemas de control, seguridad, y “mantenimiento” son muy relevantes en la explicación de las catástrofes aeronáuticas y financieras.

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Capítulo 4 Riesgos de los instrumentos financieros derivados1

1. Tipología de los riesgos de los instrumentos derivados Uno de los aspectos principales de la gestión de los instrumentos financieros derivados es la gestión de sus riesgos. Las pérdidas con derivados que han protagonizado en el pasado algunas entidades generalmente han estado asociadas a algunos de los siguientes hechos: desconocimiento o comprensión inadecuada de los riesgos de estos instrumentos por los administradores, ausencia de límites para la determinación de las exposiciones admisibles y toma de riesgos excesiva, debilidades en el conocimiento de las propiedades financieras de estos instrumentos, conocimiento parcial de los riesgos que soportan y ausencia o debilidad del control interno, lo que incluye la no delimitación e independencia de la función de control o la falta de poder real. Los riesgos más importantes a los que se enfrenta una entidad en la actividad de instrumentos financieros derivados son: a) Estratégico b) Mercado c) Liquidez d) Crédito e) Operacional f) Reputacional Los derivados soportan, por lo tanto, los mismos riesgos que los restantes instrumentos financieros (préstamos, cuentas a cobrar, depósitos, acciones, etc,) y en particular que sus subyacentes. Sin embargo existen aspectos específicos de los derivados que exigen una atención especial, tanto por los administradores, gestores, auditores y supervisores. Estos aspectos específicos se pueden resumir en los siguientes apartados:

1 Vilariño et al. (2008)

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a) La valoración de los derivados presenta cierto nivel de complejidad, como se ha puesto de manifiesto en el capítulo 3. Para la mayoría de riesgos que la entidad debe gestionar el punto de partida es la valoración del instrumento derivado, por lo que las debilidades en el terreno de la valoración se trasladan al campo de la identificación, medición, gestión y control de los riesgos. b) La medición del riesgo de crédito de cualquier instrumento es una cuestión compleja, pero lo es más en el caso de los derivados por la naturaleza de la exposición crediticia futura, difícil de evaluar, dado que se trata del valor del derivado en un horizonte futuro. c) Muchos derivados se negocian en mercados no organizados (OTC) en los que la liquidez no está asegurada. La medición de los riesgos de mercado debe tener muy en cuenta el factor de la liquidez para no incurrir en la infravaloración de los riesgos. d) Los riesgos operacionales son también específicamente importantes en el caso de los derivados. De entre ellos los riesgos legales vinculados a la interpretación y cumplimiento de los contratos, los riesgos de registro y contabilización de las operaciones y los riesgos de los modelos, tanto de valoración como de medición de los riesgos, por citar los más importantes. e) Según la utilización que realice una entidad de los derivados así serán más importantes unos riesgos que otros, y a su vez así serán los requerimientos necesarios que debe cumplir la entidad, para la correcta gestión de los riesgos. Por ello es muy importante que los auditores y supervisores identifiquen con la mayor precisión que tipo de utilización de los derivados realiza la entidad. Es muy diferente el caso de las entidades creadoras de mercado asumiendo la función de emisores y dando liquidez al mercado, del de los intermediarios con posiciones cerradas ganando en la actividad el margen de intermediación o los riesgos soportados por usuarios finales que buscan coberturas o que toman posiciones de negociación. 1.1. Riesgo estratégico El riesgo estratégico consiste en la desviación negativa que puede darse entre los beneficios esperados de la puesta en práctica de una determinada estrategia y los resultados obtenidos. Los riesgos estratégicos

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maduran en un medio plazo dado que los resultados no son inmediatos y cualquier estrategia digna de ese nombre necesita un determinado tiempo para implementarse y que puedan observar resultados. La operativa de derivados debe responder a una estrategia de negocio que plantea la obtención de unos determinados objetivos. Desde un punto de vista amplio pueden referirse a beneficios según las diferentes modalidades de utilización, cuota de mercado, base de clientes, diseño de productos, desarrollo de sistemas, etc. 1.2. Riesgo de mercado Los derivados soportan riesgos de mercado en el sentido de que su precio puede cambiar con un efecto adverso sobre el valor del instrumento. Los factores de riesgo que influyen sobre el valor razonable, sea el precio de mercado o el obtenido por un modelo de valoración, son muy diversos y dependen básicamente de la naturaleza de cada contrato. En los derivados sobre tipos de interés los principales factores de riesgos son los tipos de interés cupón cero, los tipos de interés de las referencias utilizadas en el contrato, las correlaciones entre los diferentes tipos de interés, pero también los desplazamientos de las curvas de tipos y los cambios de la pendiente de la curva. En los derivados sobre acciones y divisas los principales factores de riesgo de mercado son los precios de los subyacentes y las correlaciones entre subyacentes. En el caso de las opciones también son factores de riesgo los tipos de interés y los cambios en la volatilidad del subyacente. 1.3. Riesgo de liquidez El riesgo de liquidez es el riesgo de pérdidas debidas a: a) la imposibilidad de cumplir una obligación de pago por la dificultad para obtener la liquidez para reponer márgenes y garantías o, b) la imposibilidad de tomar una posición en derivados por la ausencia de mercado o por cambios muy grandes en los precios. El riesgo de liquidez está presente tanto en los mercados organizados como en los mercados OTC pero la intensidad y modalidad es diferente. En

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los mercados organizados es más acuciante la necesidad de disponer de liquidez para reponer márgenes y entregar garantías, mientras que las tensiones y dificultades para abrir y cerrar posiciones es más frecuente en los mercados OTC. Se denomina “riesgo de liquidez de fondeo” el riesgo originado por las dificultades de financiación y “riesgo de liquidez de mercado” el riesgo originado por las dificultades para comprar y vender derivados en las condiciones habituales de precios e incluso la situación en la que los mercados se vacían de contrapartes. Los gestores deben analizar, evaluar, limitar y controlar estos dos riesgos de liquidez. Las entidades que son creadoras de mercado en mercados OTC suelen gestionar mediante coberturas dinámicas sus posiciones por lo que requieren un acceso constante a los mercados de los subyacentes y a los mercados de financiación. En este caso los riesgos de liquidez son muy altos y exigen una vigilancia muy activa. El riesgo de liquidez de mercado puede originarse por algún cambio relevante de las expectativas de los participantes en el mercado o porque los instrumentos cuya transacción se quiere realizar son exóticos y cuentan con una oferta y demanda limitada. En el caso de instrumentos estándar también puede darse el riesgo de liquidez cuando los participantes desconfían fuertemente de la calidad crediticia de las contrapartes o cuando algún incidente (v.g. incumplimiento de una liquidación, pérdidas elevadas de algún participante del mercado, etc.) ha puesto en evidencia debilidades estructurales del mercado o de las contrapartes. La evaluación de la calidad crediticia de cada entidad realizada por el mercado es un factor de primer orden para el riesgo de liquidez de la entidad. Algunos mercados OTC dependen de unas pocas contrapartes que son los que proporcionan liquidez. Basta que alguna de ellas modifique su percepción del riesgo para que el mercado sufra un evento de liquidez. Es importante para los administradores, gestores, auditores y supervisores analizar la concentración del mercado para evaluar el impacto que tal concentración puede tener en la liquidez del mercado. También el riesgo de liquidez puede manifestarse para un agente que tenga una gran cuota de mercado e intente realizar una operación de gran tamaño. En ese caso los precios son elásticos al tamaño de la operativa y los movimientos de precios afectan al resto de los miembros del mercado.

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En los mercados organizados la exigencia de garantías (márgenes) y la reposición de márgenes es una actividad que genera riesgo de liquidez. Frente al factor positivo de atenuación e incluso en la práctica eliminación del riesgo de contraparte por la aportación de garantías, existe el riesgo de que la entidad no sea capaz de hallar la financiación necesaria o la encuentre con un coste superior al previsto. Si un participante en el mercado demanda fondos por encima de sus niveles habituales puede ser penalizado por el mercado. Las entidades deben planificar cuidadosamente las necesidades adicionales de fondos por su actividad en mercados organizados y en que medida cuentan con las capacidades adicionales de financiación a las que se pueden enfrentar, y la disponibilidad de activos líquidos para la aportación de garantías. También existen límites a la profundidad de las operaciones en los mercados organizados por lo que los gestores deben evaluar los máximos importes que sería posible negociar sin cambio apreciable en los precios ya que la liquidez en cualquier mercado es siempre limitada. También es relevante, para el riesgo de liquidez en los mercados organizados, la escala temporal de vencimientos ya que a medida que son más distantes de la fecha actual la liquidez disminuye. Son índices útiles para evaluar la liquidez del mercado el volumen de contratación en cada fecha de vencimiento y el denominado interés abierto (open interest) 1.4. Riesgo de crédito El riesgo de crédito en los instrumentos derivados es la pérdida que puede producirse por incumplimiento de la contraparte. Es muy importante la distinción del riesgo de crédito soportado en instrumentos negociados en mercados organizados del riesgo de crédito soportado en instrumentos negociados en mercados OTC. En el primer caso, suponiendo que se cumplen los requerimientos de garantías y que éstas están adecuadamente calculadas, el riesgo de contraparte se supone marginal. En el segundo caso, mercados OTC, el riesgo de crédito es relevante, aunque pueden adoptarse convenios de aportación de garantías y de compensación de pérdidas. En el caso de la aportación de garantías ha de verificarse su eficacia legal y financiera.

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En el riesgo de crédito hay que distinguir entre la “pérdida esperada” y la “pérdida inesperada” o “pérdida extrema”. La pérdida esperada es relevante para la valoración de los instrumentos financieros derivados. Los modelos de valoración mostrados en el Capítulo 3 no contemplan el riesgo de crédito por lo que algún ajuste es necesario si se quiere tener en cuenta la contingencia de la pérdida por incumplimiento. Existen modelos para el cálculo de la “pérdida esperada” que son específicos del instrumento financiero evaluado, pero estos modelos pueden resultar muy complejos para muchos usuarios. En los casos de instrumentos forward, incluidos las permutas de intereses (swaps), con contrapartes de similar calificación crediticia la estimación de la pérdida esperada puede resultar de “pequeño” valor en términos relativos, por lo que su no inclusión no es muy grave. En estos instrumentos la pérdida esperada depende de las probabilidades de incumplimiento de cada contraparte, de la exposición y de la pérdida dado el incumplimiento de cada contraparte. En las opciones en general el riesgo de contraparte solo lo soporta el comprador de la opción, aunque existe la excepción de las opciones con el pago de la prima diferido. La evaluación de la “pérdida inesperada” por riesgo de crédito presenta una elevada dificultad y complejidad derivadas de los requerimientos de información para estimar con fiabilidad dicha pérdida. La regulación sobre bancos, aseguradores y otras entidades similares, ha optado por transformar las posiciones en derivados en el equivalente a una posición de crédito, denominada “exposición crediticia” y exigir el capital regulatorio sobre dicha exposición calculada con reglas establecidas. La “exposición crediticia” se calcula mediante la suma de dos conceptos, el costo de reposición o exposición crediticia actual y la exposición potencial futura. El costo de reposición, CR, se mide mediante CR = Max (Valor razonable, 0) y la exposición potencial futura, EPF, se define mediante el producto de valor nominal o nocional del contrato y un factor específico para cada instrumento derivado y la vida residual del contrato, es decir, EPF = f x N, valor residual. La concentración de los riesgos de contraparte debe ser especialmente vigilada y una forma de vigilancia consiste en el cálculo de una curva de concentración que permita saber el porcentaje de exposición crediticia que supone la contraparte mayor, la siguiente, y así sucesivamente.

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Una modalidad de riesgo de contraparte que es muy relevante es el riesgo de liquidación, es decir, cuando el instrumento derivado ha llegado a la fecha de vencimiento y es conocido el importe de la liquidación pero la entrega del efectivo o de los activos se realiza en una fecha posterior. En este caso aunque el plazo remanente es cero existe un riesgo abierto que exige una adecuada gestión. En este caso la exposición es igual al importe de la liquidación. La determinación de límites para las operaciones con derivados no solo debe plantearse por las contingencias de las variaciones de los precios sino también por el riesgo de contraparte y el riesgo de concentración. Los límites deben establecerse antes del comienzo de la operativa, y las decisiones deben estar adecuadamente documentadas. Se debe aplicar el principio de que cuánto más imprecisa sea la medición del riesgo más conservador debe ser el criterio para establecer los límites. 1.5. Riesgos operacionales El abanico de riesgos operacionales es muy amplio pero vamos a referirnos únicamente a los que, a nuestro juicio, son especialmente relevantes en el caso de los derivados. i) Sistema de registro. El diseño del sistema de registro de las operaciones con derivados es una pieza clave en el ámbito del riesgo operacional. El desfase temporal entre el momento en el que se realiza una operación y el momento en el que se registra en los diferentes sistemas de la entidad es una fuente de riesgo operacional. Desde las situaciones más extremas en las que las operaciones “no llegan” al área de control interno hasta las situaciones casi óptimas en las que el registro es simultáneo para todas las áreas con responsabilidades sobre la operativa de derivados (áreas de negocio, riesgos, control interno, auditoria, contabilidad,…). Es muy relevante que el sistema de registro sea capaz de seguir la evolución de la operación a lo largo del tiempo y mantener sin agregar operaciones que tienen sentido individualmente como, por ejemplo, las estrategias de negociación o las operaciones de cobertura. También es necesario el desarrollo de una contabilidad interna para el seguimiento de los resultados de las operaciones de negociación, la medición y el control de los riesgos y el cumplimiento de los límites.

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ii) Riesgo de modelo Tanto en el campo de la valoración de los derivados como en la medición de los riesgos, y en particular el de mercado, es práctica habitual la utilización intensiva de modelos. El riesgo operacional se genera por la discrepancia entre los resultados que proporcionan los modelos y los comportamientos observados. Esta diferencia puede estar originada por errores en las hipótesis que gobiernan los precios y/o en errores en la estimación de los parámetros de los modelos. Los modelos de valoración de opciones aceptan de forma casi universal que los precios siguen una distribución lognormal. Esta hipótesis es razonable en muchas ocasiones pero fracasa en los casos de turbulencias y crisis financieras en los que los movimientos reales de los precios son sumamente improbables respecto a la distribución de probabilidad lognormal. Estas rupturas, respecto al comportamiento previsto, hacen entrar en crisis tanto los modelos de valoración como los modelos de medición del riesgo de mercado. iii) Sistema de límites Los límites son reglas operativas de enorme trascendencia. Deben fijarse con la máxima implicación de los administradores y son, deben ser, leyes internas de obligado cumplimiento. Por eso su determinación es un proceso complejo que incluye elementos técnicos relacionados con los modelos de medición de riesgo, decisiones estratégicas sobre el grado de exposición que se supone aceptable y una componente negociadora interna para buscar el máximo consenso entre las partes implicadas (fundamentalmente áreas de negocio y áreas de control). Los riesgos operacionales se refieren a eventos que se derivan desde la ausencia de límites, errores en su determinación por defecto o por exceso, incumplimientos, deficiencias en el control interno del seguimiento del cumplimiento, falta de firmeza en la corrección de los incumplimientos, continua renegociación interna de los límites y falta de precisión en la definición de los límites. iv) Sistema de información de gestión Las funciones asociadas a la gestión de los derivados, desde un enfoque amplio de gestión, son las actividades de identificación de los factores de riesgo, la medición de los riesgos, la contabilización, el control interno, la

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medición de la rentabilidad, la realización y el análisis de las coberturas y la realización de los planes de negocio. Todas estas funciones necesitan sistemas de información específicos según la naturaleza de cada función y según las necesidades de cada usuario de información. Los riesgos operacionales aparecen cuando existen errores, retrasos, lagunas en los diferentes sistemas de información, o cuando los informes no son utilizados adecuadamente o son realizados de forma burocrática y rutinaria. También existe el riesgo de la falta de unicidad de la información, es decir distintos centros elaborando información con datos diferentes sobre un mismo fenómeno. v) Riesgos legales El riesgo legal es una de las componentes importantes de los riesgos operacionales. En el contexto de los derivados es especialmente relevante en las transacciones de las entidades con los clientes. Hay numerosas experiencias de conflictos legales en la interpretación de los contratos cuando la liquidación es desfavorable para los clientes. También en las transacciones en los mercados mayoristas se han generado conflictos de interpretación, como por ejemplo en el segmento de los derivados de crédito, donde los contratos son complejos por la naturaleza de los eventos de crédito. Un caso conocido es el de Nomura que realizaba operaciones de negociación sobre obligaciones convertibles emitidas por Railtrack y había contratado un CDS con Credit Suisse First Boston (CSFB) para cubrirse del riesgo de crédito. En 2001 la sociedad Railtrack fue intervenida por problemas financieros. Se produjo el evento de crédito. Nomura quiso entregar a CSFB obligaciones convertibles pero el vendedor de protección no las aceptó y Nomura vendió las convertibles para comprar obligaciones de Railtrack con cupón fijo y sin opción de conversión. Esto supuso a Nomura un quebranto de 1,2 millones de libras esterlinas. Nomura llevó el caso a los tribunales (Alta Corte de Londres) y la sentencia le resultó favorable. Otros casos de riesgo legal están situados en la interpretación fiscal de los beneficios obtenidos mediante la utilización de opciones como remuneraciones a los empleados (stock options) vi) Debilidades en la capacitación de las personas relacionadas con los derivados

10

Una fuente de riesgo operacional está en los errores que se pueden originar por deficiencias en la formación y capacitación de las personas que llevan a cabo las tareas de registro, operativa de mercado, comercialización, valoración, medición de riesgos y contabilización de los derivados. La no adecuada comprensión de los instrumentos, los contratos, los modelos de valoración y riesgo son una fuente importante de riesgo operacional. También de forma más primaria el riesgo operacional está originado por la ignorancia o minusvaloración de los riesgos a los que está expuesta la entidad en el manejo de los derivados vii) Riesgos operacionales específicos de los mercados organizados Los mercados organizados ofrecen como ventaja la minimización del riesgo de contraparte, pero entre los riesgos operacionales específicos de estos mercados cabe señalar los posibles errores en la determinación de las garantías, el cumplimiento de los requerimientos de márgenes y los fallos en los sistemas de contratación y liquidación. 1.6. Riesgo reputacional En general todas las actividades económicas se sustentan en un determinado grado de confianza entre los clientes y los proveedores. En el caso de las actividades financieras este factor es especialmente relevante. La actividad realizada por un banco tanto con operaciones propias como con operaciones con clientes es generadora de riesgo reputacional. En particular la comercialización de productos estructurados que prometen a los clientes rentabilidades por encima de los tipos de interés de mercado pero con riesgo de mercado es una fuente de riesgo operacional. Si los eventos desfavorables se realizan la rentabilidad obtenida por los clientes puede ser muy inferior a la esperada e incluso negativa, es decir con un valor de la liquidación menor que la inversión inicial realizada. Estos resultados entre clientes poco informados y formados pueden generar opiniones negativas contra la entidad que dañan su reputación comercial. También las pérdidas sufridas por un banco en el manejo de los derivados, tanto por riesgo de mercado o por riesgo operacional, pueden minar la confianza de auditores, supervisores, analistas e inversores.

1

El modelo canónico de valoración de opciones: Black‐Scholes

Un contrato de opción de compra (call) sobre una acción que no paga dividendos

durante el tiempo de vida del contrato, otorga al comprador el derecho, pero no la

obligación, a comprar la acción a un precio E establecido en el contrato, denominado

precio de ejercicio, en la fecha de vencimiento del contrato. Un contrato de opción de

venta (put) sobre una acción que no paga dividendos durante el tiempo de vida del

contrato, otorga al comprador el derecho, pero no la obligación, a vender la acción a

un precio E establecido en el contrato, denominado precio de ejercicio, en la fecha de

vencimiento del contrato.

Estas opciones se denominan estándar o “vanilla” porque existen otros muchos tipos

de opciones diferentes a las anteriores, denominadas exóticas, que establecen

derechos diferentes para el comprador de los que definen las opciones estándar. En

cuanto a la fecha de ejercicio del derecho existen las opciones americanas en las que el

derecho se puede ejercitar por el comprador cualquier día hábil durante la vida de la

opción, y las opciones bermudas en las que el derecho se puede ejercitar en un

pequeño número de fechas situadas entre la fecha de emisión del contrato y la fecha

de vencimiento (también es fecha de ejercicio)

En las opciones estándar europeas la liquidación en el vencimiento, que también es el

valor de la opción en dicha fecha, se puede representar así:

Opción de compra: C(T ) Max S(T ) E ,0

Opción de venta P(T ) Max E S(T ),0

Una relación importante entre los precios de las opciones de compra y de venta se

expresa en la denominada paridad put‐call. Supongamos la existencia de dos carteras,

la primera A está formada por una acción, que suponemos no paga dividendos y una

opción de venta estándar europea y la segunda cartera B está formada por una opción

de compra estándar europea, con el mismo precio de ejercicio y vencimiento que la

2

opción de venta, y liquidez cuyo importe es el precio de ejercicio actualizado, es decir,

r(T t )Ee El valor de las carteras en el vencimiento es el mismo.

A

r(T t ) r(T t )B

V (T ) S(T ) P(T ) S(T ) max(E S(T ),0)

V (T ) C(T ) Ee e C(T ) E Max(S(T ) E ,0) E

A B

A B

Si S(T ) E V (T ) S(T ) V (T ) S(T ) E E S(T )

Si S(T ) E V (T ) S(T ) E S(T ) E V (T ) E

Las carteras deben tener el mismo valor en la fecha actual r(T t )S(t ) P(t ) C(t ) Ee

Esta ecuación es la paridad put‐call. En el caso de que los precios de mercado no la

cumplan es posible realizar arbitraje. Si la acción distribuye dividendos, denominando

q a la tasa de dividendos sobre el precio de mercado de la acción, la ecuación de la

paridad put‐call es

q(T t ) r(T t )S(t )e P(t ) C(t ) Ee

El modelo de Black‐Scholes parte de las siguientes hipótesis:

1. No existen costes de información, impuestos ni costes de transacción

2. Las transacciones se realizan de forma continua

3. Es posible adoptar posiciones largas y cortas sin restricciones de cuantía

grande o pequeña (los activos son infinitamente divisibles)

4. Es posible prestar y tomar sin limitación, al tipo de interés del activo libre de

riesgo

5. Las opciones son de tipo estándar europeas y no distribuyen dividendos en

el período de vida de la opción

6. Una cartera que no tenga riesgo obtiene el rendimiento del activo libre de

riesgo (no hay posibilidades de arbitraje)

7. El precio de la acción S verifica la ecuación diferencial estocástica

3

dS(t )

dt dW(t )S(t )

(1)

siendo y parámetros constantes, t el tiempo y dW un proceso Wiener o

movimiento browniano estándar, es decir, dW se distribuye según una variable

aleatoria normal de media cero y varianza dt

dW ~ N(0,dt ) (2)

Obsérvese que de (1) tomando esperanzas dS

E dtS

(3)

El parámetro es la esperanza de la variación relativa instantánea del precio.

Calculando la varianza en (1) 2dSVar dt

S

(4)

El parámetro 2 es la varianza de la variación relativa instantánea del precio por

unidad de tiempo.

Para calcular el precio de la opción, que es el objetivo del modelo, Black y Scholes

construyen una cartera de m acciones y de n opciones de compra. Los precios

unitarios son S y C .

La estrategia consiste en obtener las condiciones para formar una cartera sin riesgo de

acciones y opciones, y obligar a que dicha cartera, en un contexto de eficiencia

(imposibilidad de arbitraje), tenga la misma rentabilidad que el activo libre de riesgo.

El valor de la cartera es, V mC nS

El diferencial del valor de la cartera es dV mdS ndC (5)

4

El precio de la opción se supone función de S y de t, C C(S ,t ) (6)

Aplicando a la anterior el lema de Ito tenemos, 2S t SS

1dC C dS C dt C dS

2

y teniendo en cuenta (1) dS Sdt Sdz se obtiene 2 2 2dS S dt

2 2S t S

1dC SC C S dt SC dW

2

El diferencial del valor de la cartera queda,

2 2S t SS S

1dV m Sdt SdW n SC C C S dt SC dW

2

(7)

En cada instante la variación infinitesimal de la cartera tiene dos componentes. La

primera determinista es la parte del segundo miembro de la ecuación anterior que está

multiplicada por dt. La segunda aleatoria es la parte restante que está multiplicada por

dW .

2 2S t SS S

1dV m S n SC nC n C S dt (m S n SC )dW

2

Se impone la condición de que la variación del valor de la cartera carezca de riesgo

mediante la anulación del coeficiente de dB

Sm S n SC 0 Sm nC 0 (8)

Esta última ecuación expresa la relación que debe existir entre las cantidades m y n de

acciones y opciones para que la cartera carezca de riesgo. Es una condición que se debe

verificar en cada instante y como en general la derivada parcial SC dependerá al menos

de S y de t , es una condición dinámica que exigirá cambios en las cantidades de

acciones y opciones para conseguir el objetivo de una cartera sin riesgo. Sin pérdida de

5

generalidad podemos obligar a que n 1 , es decir, la posición de opciones es corta

(opción de compra vendida) y con una única opción, de donde Sm C (9)

Sustituyendo los anteriores resultados en V y en dV se obtiene,

SV C S C (10) 2 2t SS

1dV C C S dt

2

(11)

Por otra parte la cartera obtenida, libre de riesgo, debe rendir lo mismo que el activo

libre de riesgo. Como r es el tipo de interés se tiene que,

dV Vrdt (12)

Llevando (10) y (11) a (12) tenemos 2 2SS S t

1S C rSC C rC 0

2 (13)

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) que debe verificar el precio de la opción C .

Para la integración de la ecuación tenemos las siguientes condiciones de contorno.

T TT

T

S E si S EC(S ,T )

0 si S E

(14)

1

Solución de la ecuación en derivadas parciales del modelo de Black‐

Scholes

La ecuación en derivadas parciales que rige el precio de la opción de compra sobre una

acción que no paga dividendos es:

2 2SS S t

1C S rSC C rC 0

2

con las condiciones de contorno: C(0,t ) 0 C(S(T ),T ) Max(S(T ) E ,0)

Para resolver la ecuación se efectúa el cambio de variable siguiente:

r T tC S ,t e f x,z

donde las nuevas variables x, z están definidas del modo siguiente:

2 2

2

2 Sx r ln r T t

2 E 2

22

2

2z r T t

2

Para simplificar la notación, hacemos:

2

M r2

2

2M Sx ln M T t

E

2

2

2Mz T t

El precio de la opción se puede escribir en función de las variables x, z

2

2

rz

r T t 2MC e f x,z e f x,z

Las derivadas parciales de C respecto a S y a t en función de las nuevas variables

2

C C x C z

t x t z t

2 2

2 2

x 2M z 2M

t t

2

2

C 2M C C

t x z

C C x C z

S x S z S

2

x 2M 1 z0

S S S

2

C C 2M 1

S x S

2 2

2 2 2 2 2

C C x 2M C 2M 1

S xS x S S

2

2 2 2 2 2

C 2M 2M C 2M

xx S S S

22 2

2 2 2 2 2

C 2M C C 2M

xS S x S

Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación 2 2SS S t

1C S +rSC C rC

20

se obtiene una nueva ecuación en derivadas parciales respecto a las variables x, z

22 2 2

2 2 2 2

S 2M C C 2M

2 xS x S

2

2 2

C 2M 2M C CrS rC 0

x x zS

Cálculo de las derivadas 2

2

C C C, ,

x z x

2

2

rz

2MC e f x,z

2

2

rz

2MC f

ex x

2

2

r2 2z2M

2 2

C fe

x x

2 2 2

2 2 2

r r r2 2z z z2M 2M 2M

2 2

C r f r fe f x,z e C e

z z z2M 2M

2 2

2 2

r r22 2 2z z2M 2M

2 2 2 2

S 2M f f 2Me e

2 xS x S

2 2

2 2

r r2z z2M 2M

2 2

f 2M 2M frSe e

x xS

2

2

r2 2 z2M

2 2

2M r fC e rC 0

x2M

Agrupando los términos según las derivadas parciales 2

2

f f f

x zx

queda:

2 2

2 2

r r2 2 2 2 2 2z z2M 2M

4 2 2 2 2

S 4M f S 2M fe e

2 2 xS x S

2 2

2 2

r r2z z2M 2M

2 2

rS2M f 2M fe e

x xS

2

2

r2 2 2 z2M

2 2 2

2M r 2M fC e rC 0

z2M

3

Simplificando queda:

2 2 2

2 2 2

r r r2 2z z z2M 2M 2M

2 2 2

2M f f 2Mr fe Me e

x xx

2 2

2 2

r r2 2z z2M 2M

2 2

2M f 2M fe e 0

x x

El coeficiente de f

x

es:

2

2

r2 z2M

2 2

2Mr 2MM e

El término 2

2 2

2Mr 2MM

es nulo.

22 2 2

2 2

2r 2r r r

2 2 2

2 2

2 2

2r 2r 1 r

2 2

2

2 2

2r 2rr 1 1 0

2

La ecuación en derivadas parciales se reduce a:

2

2

r2 2z2M

2 2

2M f fe 0

zx

2

2

f f

zx

Con las condiciones de contorno:

2T

2

S2t T x r ln

2 E

z 0

Si TSS E ln 0E

2x2T 2M

T

S xln S E e

E 2M

f x, z vale cuando t T Tf x,0 C S,T Max S E,0

Si 2x

2MTS E f x ,0 E e E

Si TS E f x,0 0

Solución de la ecuación del calor

La ecuación en derivadas parciales 2

2

f f

zx

con la condición de contorno

f x,0 g x tiene la solución (Godunov, 1978)

4

2x u

4zg u1

f x,z e du2 z

denominada integral de Poisson de la ecuación del calor.

Como para x 0 g x 0 la integral se simplifica:

22u

x u2M

4z

o

E e 1f x,z e du

2 z

Sea 2

L2M

22x u

ln x u4z

4z

o o

E e Ef x,z e du e du

2 z 2

f x,z A B

2x uln 4z

o

e eEA du

2 t

2x u

4z

o

E eB du

2 z

Cálculo de B

Se realiza el cambio de variable x u v

2 z 2

2 zdu dv du dv

2 z 2 2

2 2x u v

4z 2

222

1

vvv22

o v

2 zE e EB dv e dv

2 z 2 2

Los límites de la integral son: 1

x 2 xu 0 v

2 z 2z 2u v

2v

2x

2z

EB e dv

2

Por las propiedades de la función de distribución de la normal estándar se tiene que:

2vh2

1N h e dv

2

2v

2

h

11 N h e dv

2

xB E 1 N

2z

Y como 1 N h N h x

B EN2z

Resolviendo para las variables originales:

5

2 2

222

2

x 1 2 S= r ln r T t

2 E 22z2

2 r T t2

2S

ln r T tE 2

T t

que se denomina 2d 2B EN(d )

Cálculo de A

2x u

ln 4z

o

e eEA du

2 z

2x uln

4z

o

E 1e du

2 z

Se realiza el cambio de variable: 2 2

2

z zy x x

Mr

2

2 22

2

x u x uln u

4z 4z2 r

2

2

2

y x

zr

2

2 22

2

x u x uuln

4z 4z2 r

2

2 2y x u x u 2 y x u x u

2z 4z 4z 4z

2 2 2 22yu 2xu x u 2xu 2yu x u

4z 4z

Por otra parte, se verifica que:

22 2 2 2 2 2 2 2y x u y y x u y 2uy 2uy x u

luego se puede escribir:

222 2x u

ln y x u y4z

2x uln

4z

o

E 1A e du

2 z

22 2 u yy x

4z 4z

o

E 1e e du

2 z

Se realiza el cambio de variable: u y w du dw

2 z 2 2 z 2

2 2u y w

4z 2

2 2 2

2

1

y x ww4z 2

w

2 z dwE 1A e e

2 z 2

2 2 2

2

1

y x ww4z 2

w

Ee e dw 2

2

6

2 22

2

1

y xww

4z 2

w

1Ee e dw

2

Si u 0 1

y 2 yw

2 z 2z

2u w

2 2 2 22y x y xw4z 4z2

y

2z

1 yA Ee e dw Ee N

2 2z

El valor de y

2z es:

2

2

2

2

zx

rzy x2

2z 2z 2z2 r

2

Se ha obtenido anteriormente que:

2

2

Sln r T t

E 2xd

2z T t

22

2

2 2

2r T t

2zT t

2 r 2 r2 2

Denominamos 1 2

yd d T t

2z

2

1

Sln r T t

E 2d T t

T t

2 2

2S Sln r T t T t ln r T t

E 2 E 2

T t T t

También es necesario calcular 2 2y x

4z

2

2 2 22

2

y x z1x x

4z 4zr

2

2 4 22 2

2 22

z1 2xzx x

4zrr 22

4 2

2 22

z x1

42 rr

22

7

22 2 2 4

2 22

y x 1 2r T t

4z 4 2r

2

2 2

22

2

2 Sr ln r T t

2 E 2

2 r2

2 2T t S

ln r T t2 E 2

S

ln r T tE

S

ln r T t r T tE1 1A E e N d e SN d

S Sln r T t ln r T tE EE e E e e

S

lnE

SE e E S

E

La expresión del precio de la opción es:

r T t r T tC S , t e f x , z e A B

r T t r T t r T t r T te1 2 1 2e A B e e SN d EN d SN(d ) E N(d )

2

1

Sln r T t

E 2d

T t

2

2

Sln r T t

E 2d

T t

Se ha obtenido la fórmula de Black‐Scholes para valorar una opción estándar europea

sobre una acción que no paga dividendos.

Angel Vilariño, Bibliografía Derivados 1

Bibliografía seleccionada de Instrumentos Derivados

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Hull, J. (2002), Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones, Prentice Hall.

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