固体理论 李正中 著

高等教育出版社

内容简介

本书系统地介绍了固体量子论的基本概念、方法和模型 . 全书共分十二章 , 内

容侧重于固体中的元激发 , 包括 : 声子、磁振子

元、准电子、极化子和激子等 . 对于常规超导体的微观理论 , 铜氧化合物高温超导

体和各向异性超导理论 , 能带论方法和局域密度泛函理论 , 强关联电子体系和无序

系统的理论方法也分别作了专章介绍 . 此外 , 还重点介绍了处理多体系统的傅里叶

变换和玻戈留玻夫变换 , 双时间热力学格林函数和介电函数方法 , 以及处理强关联

电子体系的投影算子法和隶玻色子技巧等有效的理论方法 . 在附录中系统地引入了

双时间格林函数的理论框架 , 书末附有习题 .

本书的系统性强、讲解透彻、便于自学 , 可作为高等院校物理类专业研究生和

高年级本科生的固体理论教材 , 对于凝聚态物理及相关学科的研究人员也是一本有

用的参考书 . 阅读本书需要具备固体物理学和高等量子力学的基础知识 .

图书在版编目

固体理论/ 李正中著 . —2 版 . —北京 : 高等教育出

版社 , 2003.1

ISBN 7 - 04 - 011576 - X

Ⅳ. 0481

中国版本图书馆 CIP 数据核字

出版发行 高等教育出版社 w购书热线 010 - 64054588

社 址 北京市东城区沙滩后街 55 号 免费咨询 800 - 810 - 0598

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经 销 新华书店北京发行所

印 刷

版 次 1985 年 10 月第 1 版

开 本 787×960 1/ 16 年 月第 版

印 张 37.5 印 次 年 月第 次印刷

字 数 640 000 定 价 51.00 元

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版权所有 侵权必究

责任编辑 陶 铮

封面设计 李卫青

责任绘图 尹文军

版式设计 史新薇

责任校对 王效珍

责任印制

第二版说明

注与厚爱 . 借此机会谨表谢意 . 在该书出版的 16 年间 , 虽曾多次重印 ,

但仍不能满足广大读者的需求 . 另外 , 正是在此世纪之交的十数年间 ,

一系列令人惊异的新实验发现接踵而至 , 特别是高温超导体的问世将强

关联电子体系的研究推向了本学科的前沿阵地 . 现在应该是对

论》

态物理学科发展和人才培养的需要 , 教育部高等学校物理学与天文学教

学指导委员会建议作者对

到教育部高教司和高等教育出版社以及南京大学物理系的大力支持 , 还

获得了南京大学研究生院的资助 , 特此致谢 .

和科研的空余时间进行修订和更新 . 在修订过程中 , 作者力求保持第一

版中被广大读者认同的特点 : 继续采用易于读者理解的完整体系 , 力求

在讲述中有尽可能清楚和准确的图像 , 以期教会读者如何抓住物理过程

的主导方面来构造简化模型和进行理论处理 , 并希望能帮助读者深入思

考问题和提高他们解决问题的能力 .

其一是传统的基础性内容

量子、等离激元、极化激元、极化子与激子 , 以及常规超导体的微观理论

等 )

础性内容 , 将根据作者多年的教学实践和经验 , 对内容进行修改、删节

和必要的补充 , 以求在保持原有风格的基础上 , 使内容更为充实 . 在这

里作者对“等离激元”

“能带方法”

子系统中“存在费密面”的论证、“超导体中的相位”、“约瑟夫森效应”

和“能带论的局域密度泛函理论”等重要的基础性内容 . 为了反映凝聚

态物理学中有关基础性的新成就 , 作者有选择地新增了“铜氧化合物高

温超导体和各向异性超导理论”、“强关联电子体系”和“无序系统”等

三章

子法”和“隶玻色子技巧”等处理强关联的有效工具 , 以及处理无序系

统的“平均 t 矩阵近似”、“相干势近似”和“无序系统的标度理论”等

方法 . 为了便于读者查阅 , 还对第一版附录中的“双时间热力学格林函

数”作了更全面的介绍 . 新增加的氧化物高温超导体部分侧重于实验研

究新进展的阶段性总结 , 使读者对这一新领域中存在的问题有较明确的

感性认识 . 其它的新增内容则是根据作者近年来指导研究生进行强关联

电子体系研究的专题报告和在国内外所作邀请报告 , 经反复提炼而写成

的 , 在一定程度上反映了作者的科研心得 .

本书的第二版希望继续能得到广大读者的欢迎 . 不足之处还希读者

和专家能惠予指正 .

最后 , 作者对邢定钰、董锦明、金国钧、许望和肖明文等教授在本

书修订过程中的有益讨论和热情帮助表示由衷的感谢 .

作者

2001 年 10 月

ii ii

2 第二版说明

郑 重 声 明

高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复

制、销售行为均违反 《中华人民共和国著作权法》。行为人将承担相应

的民事责任和行政责任 , 构成犯罪的 , 将被依法追究刑事责任。社会

各界人士如发现上述侵权行为 , 希望及时举报 , 本社将奖励举报有功

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地 址: 北京市东城区沙滩后街 55 号

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初 版 序 言

本书是根据作者在南京大学物理系多年开设固体理论课程的讲义加

以修改和补充而成的 . 作为大学物理系高年级学生和研究生掌握固体理

论的入门指导 , 本书主要介绍固体量子论的基本模型 , 近似处理方法和

各类元激发的物理图像 . 学习本书需要具备固体物理学和高等量子力学

的基础知识 .

从 20 世纪 50 年代以来 , 应用场论方法成功地解决了金属中等离子

集体振荡和超导电性等问题之后 , 人们开始在固体中系统地引进元激发

概念 , 使大部分理论问题得以用统一的观点和方法描述 , 从而形成了固

体理论的特色 .

固体是由数量级为 1023的粒子所结合成的宏观体系 , 是一个复杂的

多体系统 . 固体理论的基本任务在于要从微观上解释固体的各种特性 ,

阐明其规律 . 固体的基态 T = 0 K 时状态 )

而且还是某种有序状态 . 从微观角度分析 , 实验上所测得的宏观属性是

固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应 . 对于能量靠

近基态的低激发状态 , 往往可看成是一些独立基本激发单元的集合 , 它

们具有确定的能量和波矢 , 这些基本激发单元就是元激发 , 有时也称为

准粒子 .

元激发大体可以分为两类 : 一类是集体激发的准粒子 , 例如声子 .

此外 , 磁性材料中的自旋波量子

子

涨落 , 这类元激发一般是玻色子 . 另一类元激发是个别激发 , 例如 : 在

离子晶体中由于慢电子与光学模纵声子相互作用所形成的极化子就是这

种个别激发的准粒子 , 它是离子晶体中的基本载流子 . 对于金属中相互

作用的电子 , 在元激发图像中可看作是每个电子带着正电空穴云一起运

动的准粒子系统 , 在这里其它电子的相互作用由正电空穴云代替 , 此即

金属中的屏蔽电子或准电子 , 它也是个别激发的典型例子 . 这样 , 借助

于元激发的引入 , 可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒

子系统 , 从而使低激发态的描述变得十分简单 . 因此 , 解释固体的实验

测量特性问题归结为求解在给定外扰动作用下互作用系统的元激发问

题 , 这是固体量子论的中心课题 .

全书共分十章 , 重点在于向读者系统介绍完整晶体的元激发理论 .

前九章介绍完整晶体中各类互作用系统的元激发 .

在安排顺序方面 , 我们将先介绍集体激发 , 后引入个别激发 , 因为

存在集体激发是固体的主要特征 , 其处理方法也更有代表性 . 为此 , 我

们将能带论安排在第七章 .

第一章简短总结周期性与宏观对称性对固体能谱的影响 . 第二至第

四章介绍声子、磁振子和等离激元 . 它们分别是离子 - 离子、自旋 - 自

旋以及电子 - 电子互作用系统的集体激发 . 此外 , 还介绍了光子与光学

模横声子的耦合型元激发———极化激元 . 在理论处理方法上 , 第二、三

章介绍了二次量子化表象中的傅里叶变换和玻戈留玻夫变换方法 , 第四

章介绍求解元激发谱的介电函数方法 , 并在附录 A 及 B 中引入了双时

格林函数 , 导出了介电函数与格林函数的严格关系 . 前四章作为固体量

子论的最基本内容 , 也可供理论物理专业四年级学生学习之用 . 第五章

给出了电子 - 声子互作用的几种模型 , 为第六章系统介绍 BCS 超导理

论作准备 . 在第四至第九章中所涉及的个别激发准粒子有 : 能带电子 ,

极化子 , 激子 , 准电子和超导元激发

质、缺陷、局域态和无序态的一些著名的工作 . 重点是介绍几种重要模

型 , 如 s - d 交换模型、安德逊模型和赫伯德模型等 . 在这一章中我们

将普遍运用格林函数方法处理问题 . 此外 , 在本书中还简要介绍了 : 准

一维导体中孔恩异常、二维电子气、激子分子、电子 - 空穴液体、巡游

电子磁性 , 以及与非线性元激发有关的一维铁磁链中孤波和准一维极化

子等新课题 . 限于篇幅 , 对于表面和界面、临界现象和重正化群理论等

问题未作介绍 , 留待读者参阅这方面的专著 , 书末附有一定数量的习

题 , 供选做 .

作者感谢冯端教授的热情指导 , 本书正是在他的建议和关心下写成

的 . 作者对谢希德教授和陆栋副教授审阅本书并提出宝贵意见表示感

谢 . 在修改整理过程中还得到南京大学物理系龚秀芬、胡安、许望等同

志的热情帮助 , 谨此致谢 . 限于水平 , 错误与不妥之处请读者指正 .

作者

1984 年 7 月

2 初版序言

重要符号表

A �矢量势

A > 统计平均

aH 玻尔半径

ae x 激子半径

ai ( i = 1 ,2 ,3 ) 正点阵基矢

bi ( i = 1 , 2 , 3) 倒点阵基矢

BZ 第一布里渊区

a+

, b+

) 玻色子产生算符

a , b) 玻色子消灭算符

C+

( C) 费密子产生

cL ( cT ) 纵

ces 超导电子比热容

cm 磁振子比热容

D 电位移矢量

D 扩散系数

Dαβ( k) Dαβ(ks , s′) 动力矩阵

e 电子电荷

ekσ 格波的极化矢量

EF 费密能

Ee x 交换能

Eco rr 相关能

Ek 动能

En ( - i � ) E ( - i � ) 有效哈密顿量

F 自由能

f 费密分布

G 吉布斯函数

g 朗德因子

g( E) 一种自旋取向的电子态密度

Gr ( t - t′) Ga ( t - t′) ] 双时推迟

Gr (ω)≡ > ω+ iη , η= + 0 双时推迟格林函数的傅里叶变换

Ga (ω) ≡ > ω - iη, η= + 0 双时超前格林函数的傅里叶变换

H , H 哈密顿量

珡H BCS 约化哈密顿量

h 普朗克常量

珔h 珔h = h/ 2π

I IN N , IS S ) 隧道电流

j r) 电流密度

K≡ Kn = ∑s

i = 1

n i bi 倒格矢

k 波矢量

kB 玻耳兹曼常量

kF 费密波数

L 拉氏量密度

M 原子

M T ) 磁化强度

m *e ( m*h ) 电子

n 粒子数

n̂ 粒子数算符

N 元胞

p 动量

P 极化矢量

Pkσ( P*kσ) 广义动量

Qkσ( Q*kσ) 广义坐标

q 波矢量

Rl = ∑s

i = 1

li ai ≡ l 正格矢

Ŝl = ( Ŝxl , Ŝ

yl , Ŝ

zl ) 自旋算符

Ŝ+l ( Ŝ

-l ) 自旋上升

Ŝ ( q) 自旋密度算符

Ses 超导电子熵

t 时间

T 温度

T c 临界温度

T F 费密温度

2 重要符号表

U �电子库仑排斥势能

U( T ) 内能

ul , ul ( s) 晶格位移

v 速度

V 体积 , 势能

W , w 跃迁概率

Z 配分函数 , 配位数 , 离子价数

α 极化子的量纲为 1 的耦合常数

β β= ( kB T )- 1

Δ 能带宽度

Δ( T ) 超导能隙

Δ( r) 超导能隙函数 , 晶体体积的相对变化

ε( ∞ ) ε( 0) ] 高

ε( q,ω) 介电函数

εk 从费密能算起的自由电子能量

ζ 黎曼函数

θ 角度

θD 德拜温度

λ 波长

λ( T ) 穿透深度

μ 化学势 , 迁移率

ξ0 BCS 相干长度

ξk 超导元激发能量

ρ 密度 , 电阻率

ρ(ω) 态密度

σ 电导率 , 自旋取向标号

σ̂z, σ̂

+, σ̂

-泡利矩阵

τ 寿命 , 弛豫时间

Φ 晶格振动位能

Φ0 =2π珔hc

2 e超导磁通量子

Φαβ( l - l′) Φαβ l - l′s, s′ 晶格弹性力系数的张量

� 方位角 , 电子波函数

�( r) 位能密度

Ψ Ψ+

) 二次量子化态向量

3重要符号表

ψ 电子波函数

χ 自旋波函数

χ( k )

特征标

χP 泡利磁化率

χ- +

( q,ω) 横向动态磁化率

ω 频率

ωD 德拜频率

ωP 电子的等离子振荡频率

ΩP 离子的等离子振荡频率

Ω 正点阵元胞体积

Ω*

倒点阵元胞体积

dΩ 立体角

ii iii iv

4 重要符号表

目 录

第一章 周期性结构 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 正格矢与倒格矢 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 平移对称性 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 布洛赫定理 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 布里渊区和晶体对称性 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.BZ 中 En ( k)的对称性 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. En ( k)的简并度 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 时间反演对称性 13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 点阵傅里叶级数 14⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 点阵傅里叶级数 14⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 周期函数的格林定理 16⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 17⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第二章 声子 18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 晶格动力学 18⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 格波特性 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . ωσ( k) 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 声学模与光学模 23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 格波频率计算 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 简正坐标 29⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 声子 31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 长波方法 36⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 长波方法 40⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 介电函数 42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 横波及纵波振动方程 43⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 极化激元 44⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 态密度 47⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§9 范·霍夫奇点 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§10 晶格振动的局域模 55⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 单个缺陷对振动频率的影响 56⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 局域模 58⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 61⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第三章 磁振子 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 自旋波图像 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 海森伯模型及其严格推导 63⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 海森伯模型 63⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 海森伯哈密顿量的推导 65⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 铁磁自旋波理论 67⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 铁磁体的基态 67⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 霍斯坦因 - 普里马可夫变换 68⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 低激发态———自旋波 70⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 铁磁体的低温磁化强度 73⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 反铁磁自旋波理论 76⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 双子格模型 77⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 玻戈留玻夫正则变换 79⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 磁振子的零点运动 81⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 外场影响 82⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 铁氧体中的自旋波 83⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 一维铁磁链中的孤波 86⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 89⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第四章 等离激元 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 等离激元和准电子 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 互作用电子系统的哈密顿量 93⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 电子集体振荡的经典理论 94⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 量子运动方程的无规相近似 96⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 线性响应理论 98⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 介电函数 101⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 电子系统的元激发谱 105⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 静电屏蔽 109⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 屏蔽势 109⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 孔恩异常 110⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 夫里德耳振荡 112⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§9 基态能 113⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 哈特利 - 福克近似的基态能 114⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 相关能的二阶微扰计算 116⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 基态能的严格公式———费因曼定理 118⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 目录

4. 无规相近似的基态能 120⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§10 维格纳晶格 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§11 准粒子寿命和费密面 128⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 准粒子寿命 129⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 费密面 132⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 136⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第五章 电子 - 声子相互作用 138⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 互作用过程 138⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 电子与声频支声子的相互作用 140⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 声子的自能修正 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 电子与光频声子的相互作用 148⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 有效电子 - 电子相互作用 152⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 电子 - 电子有效互作用的微扰估计 153⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 正则变换方法———中岛变换 155⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 158⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第六章 超导电性的微观理论 159⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 基本性质 159⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 超导态是一种新的凝聚态 159⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 存在能隙 160⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 迈斯纳效应 161⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 BCS 约化哈密顿量 161⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 库柏对 164⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 BCS 超导理论 166⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 能隙 Δ的计算 170⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 凝聚能ΔE (0 ) 171⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.BCS 基态 172⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 超导体中的元激发 174⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 超电流 175⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 有限温度情况 177⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 确定 Tc 178⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 能隙与温度关系 179⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 热力学量 182⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 超导相变 185⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 单粒子隧道效应 188⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 伦敦 - 皮帕的唯象理论 192⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3目录

1. 伦敦方程 193⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 皮帕公式 194⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 迈斯纳效应 196⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 互作用哈密顿量 H 197⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 电流密度算符 197⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 弱磁场中的电流响应 199⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4 . K q)的计算 201⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 有限温度时的伦敦穿透深度 204⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§9 BCS 超导体中的粒子数和相位 207⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§10 金兹堡 - 朗道方程 210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . G - L 自由能 210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 . G - L 方程 212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3 . G - L 参数κ 213⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 磁通量子化 216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 约瑟夫森效应 219⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 227⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第七章 氧化物高温超导体和各向异性超导电性 229⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 高 Tc———超导电性研究的重大突破 229⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 结构与相图的共同特征 234⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 存在 CuO2 导电层———铜氧化合物结构的共同特征 234⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 存在绝缘性的反铁磁母体化合物———相图的共同特征 238⋯⋯⋯⋯⋯

§3 高温超导体中超导态的基本属性 241⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 超导态仍然是库柏对的相干凝聚态 241⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 配对的对称性———主要是各向异性的 d 波配对 242⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 极端的Ⅱ类超导体 245⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 复杂的同位素效应 246⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 不同于 BCS 超导体的低温特性 250⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 各向异性配对的超导电性 251⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 广义库柏对 252⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 各向异性能隙函数 255⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 各向异性超导体的态密度特征和重费密子超导体 260⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 各向异性超导体的态密度特征 260⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 重费密子超导体的低温特性 263⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 高温超导体的异常低温特性 265⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . d x2 - y2 波的低频准粒子态密度 265⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4 目录

2 . d x2 - y2 波超导态的低温特性 266⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3 . d x2 - y2 波超导态的零温能隙与 Tc 之比值 267⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 高温超导体正常态的反常特征 269⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . ρab 普遍地具有线性温度行为 270⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 解释光电导率反常的一个唯象公式 272⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 核自旋 - 点阵弛豫率的反常 275⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 反铁磁费密液体模型 278⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 弱掺杂区正常态赝隙的发现 279⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 弱掺杂区存在赝隙的间接证据 280⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 弱掺杂区存在赝隙的直接证据 281⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 小结与讨论 284⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 285⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第八章 能带论 287⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 平面波法的困难 287⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 正交化平面波法 290⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 赝势方法 294⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . OPW 赝势 294⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 赝势法的非唯一性特征 295⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 赝势计算方案 296⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 近自由电子方法的赝势证明 299⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 元胞法 300⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 维格纳 - 赛茨的计算 302⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 . k= 0 点附近有效质量的计算 304⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 缀加平面波法 308⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 KKR 方法 313⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 布洛赫表象和瓦尼尔表象 316⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 布洛赫表象 316⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 瓦尼尔表象 317⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 布洛赫与瓦尼尔表象中的二次量子化算符 319⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 瓦尼尔函数方程 319⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§9 有效哈密顿量 321⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§10 紧束缚近似法及其二次量子化表示 325⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 紧束缚近似 325⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 紧束缚近似哈密顿量的二次量子化表示 327⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§11 单电子近似的理论基础———密度泛函理论 329⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5目录

1. 哈特利 - 福克近似 329⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 霍亨伯格 - 孔恩定理 334⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 孔恩 - 沈吕九方程 336⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 局域密度近似 340⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 341⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第九章 极化子理论 343⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 大极化子与小极化子 343⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 大极化子的弗留里希哈密顿量 344⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 LLP 中间耦合理论 345⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 消去电子坐标的正则变换 345⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 位移振子变换 347⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 极化子的自能 E P) 348⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4 . LLP 理论的适用范围 351⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 小极化子理论 354⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 小极化子的哈密顿量 354⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 位移振子变换 356⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 小极化子的能带理论 358⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 小极化子的跳跃运动 360⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 两种导电机制的转变温度 Tt 363⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 一维极化子理论 363⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 367⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第十章 激子理论 369⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 激子概念 369⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 瓦尼尔 - 莫特激子 370⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 夫伦克耳激子 371⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 电子 - 空穴互作用的多体理论 374⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . f k) F Rl ) 376⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 瓦尼尔 - 莫特激子 380⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 夫伦克耳激子 381⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 激子分子与电子 - 空穴液体 382⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 双激子分子 383⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 电子 - 空穴液体 386⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 389⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第十一章 强关联电子体系 390⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 赫伯德模型 390⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6 目录

1. 赫伯德哈密顿量 390⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 双时格林函数的运动方程方法 393⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 零能带宽度时赫伯德模型的严格解 394⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 窄带中的强关联效应 396⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5. 半满带中的金属 - 绝缘体转变 401⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 局域磁矩理论 402⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 安德逊哈密顿量 403⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 安德逊 s - d 混合模型的格林函数 404⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 静态磁化率 407⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 局域磁矩的存在 409⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 s - d 交换模型 411⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 RKKY 互作用 415⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 近藤效应 417⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 近藤的工作 418⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 近藤效应 421⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 近藤单态的初步理论 423⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 施里弗 - 沃尔夫变换 426⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 隶玻色子技巧 433⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. U→∞ALM 的赫伯德算子表示式 434⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 隶玻色子表示 435⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.SBMF 理论 437⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 重费密子特性的重整杂化带描述 440⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 重费密子系统的格林函数 440⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 局域态密度 442⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 自洽方程的零温解 445⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§9 t - J 模型 450⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 . t - J 模型的导出 450⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 . t - J 模型应用于母体化合物 455⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 张 - 莱斯单态和推广的 t - J 模型 457⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§10 高温超导体的平均场理论 462⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 平均场近似解和自洽方程 464⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.d 波配对与正常态存在能隙特征 465⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§11 巡游电子的磁性理论 468⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 斯通纳理论 469⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 金属中的自旋波 476⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7目录

3.HFA 和 RPA 理论的困难 482⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 484⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第十二章 无序系统 486⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§1 无序模型 486⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 无序的分类 486⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 无序系统的模型哈密顿量 487⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 无序系统的格林函数方程 489⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§2 平均 t 矩阵方法 490⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 无序系统的 t 矩阵 490⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 原子的 t 矩阵 490⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.ATA 的单格点近似 491⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 存在的问题 493⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§3 相干势近似 495⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 相干势近似的主要思路 495⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 单格点近似的相干势近似自洽方程 496⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 简短结语 498⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§4 无序重费密子系统的相干势近似理论 499⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 重费密子系统的无序模型 500⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 有效介质 501⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 相干势的解 502⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 无序重费密子系统的电子态密度 503⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§5 无序系统中的电子态 505⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 安德逊的无序模型 505⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 安德逊局域化 507⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 莫特模型 511⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§6 定程与变程跳跃电导 512⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 定程跳跃电导 514⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 变程跳跃电导 514⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§7 一维无序系统的定域化特征 516⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 一维兰多尔电导公式 516⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 一维无序系统的平均电阻计算 519⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3. 用量纲为 1 的电导 g L ) 522⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

§8 定域化的标度理论 524⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1. 描述定域化的标度参量 g L ) 524⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2. 标度假定和标度方程 525⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8 目录

3. 标度方程的应用 527⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4. 存在的问题 530⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 531⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 A 推迟格林函数 533⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 B 介电函数的一般理论 540⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 C 双时格林函数的运动方程 543⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 D 相互作用电子系统中的谱函数 547⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 E 泊松求和公式 552⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 F 相干态 554⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 G 薛定谔方程的变分原理 557⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 H 自旋密度算符 559⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习题 561⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

内容索引 571⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

ii iii iv v vi vii viii ix

9目录

第一章 周期性结构

§1 正格矢与倒格矢

晶体的第一重要特征是原子 ( 离子或分子 )

上可用点阵表现晶体结构的周期性 , 点阵中任一格点的位置由正格

矢决定 :

Rl = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 = ∑3

i = 1

liai ( 1.1.1)

其中 l1、 l2、 l3 取所有整数 . a1、 a2、 a3 为点阵的基矢 (或称初基平

图 1.1 二维点阵的元胞和基矢

移 )

胞

最小重复单元 , 每个元胞中平均

只包含一个格点 . 显然 , 元胞和

基矢的选择并非唯一 . 以二维点

阵作例 , 图 1.1 中的 4 种取法都

图 1.2 二维六角点阵的 W - S 元胞

能保证经基矢的整数平移到达任

一格点 , 这 4 种元胞也都只含一

个格点 . 为了简单起见 , 常取尽

可能短的矢量作为基矢 ai ( i = 1 ,

2 , 3) 1.1 中左下角的取法 , 于是也相应地确定了元胞

区 )

Ω= a1·( a2×a3 ) ( 1.1.2)

应当指出 , 在固体物理学中还采用另一

种外形较复杂的元胞 . 它是由一个格点

与最近邻格点

线中垂面所围成的多面体 , 其中只包含

一个结点 , 称为维格纳 - 赛茨元胞

称 W - S 元胞 )

角点阵的 W - S 元胞为正六边形 , 它比

a1、a2 所组成的初基元胞更明显地反映

出点阵的对称性 .在三维情况下 ,简立方 点阵的 W - S 元胞仍为立方

体 ,体心立方

具有所属点阵点群的全部对称性 . 一切保持点阵不变的旋转、反射和反

演操作都将同时保持 W - S 元胞不变 , 这为理论计算将带来方便 .

由于晶体中的电子、声子、自旋波量子等元激发的状态都是用波矢

量描述的 , 为便于讨论问题 , 又在波矢量空间人为地引入另一套点阵 ,

称为倒点阵 , 它的长度量纲是坐标空间中长度量纲的倒数 . 倒点阵的基

矢 bi ( i = 1 ,2 ,3 ) ai 按下列关系式定义的 :

ai·bi = 2πδi j =2π i = j )

0 ( i≠ j ) ( i , j = 1 ,2 ,3 ) ( 1.1.3)

图 1.3 sc、bcc、fcc 点阵的 W - S 元胞

容易求出 bi 为

b1 =2πΩ

a2 ×a3 ) b2 =2πΩ

a3× a1 )

b3 =2πΩ

a1×a2 ) ( 1.1.4)

在倒点阵中任一格点的位置矢

Kn = n1 b1 + n2 b2 + n3 b3 = ∑3

i = 1

nibi ( ni = 整数 )

( 1.1.5)

称为倒格矢 . 与正点阵相似 , 倒点阵基矢 b1、 b2、 b3 组成的平行六面

体是倒点阵的元胞 , 它等于

Ω*

= b1·( b2× b3 ) ( 1.1.6)

为了便于讨论晶体对称性对电子、声子等能谱结构的影响 , 通常取倒点

阵中相应的 W - S 元胞作为倒点阵的元胞 . 它是相对倒格点对称配置的

多面体 , 在此多面体边界面上的任一点可由边界面上另一点加上一个倒

2 第一章 周期性结构

格矢 Kn 的平移达到 . 当这个多面体的中心定为倒易空间的原点时 , 它

所包含的区域称为第一布里渊区 , 用 BZ 表示 , 又称简约区 .

倒点阵是根据正点阵作出的 , 它与正点阵有一一对应关系 , 其中

正、倒点阵的元胞体积关系

ΩΩ*

= (2π)3

( 1.1.7)

和正、倒格矢之间的

Kn· Rl = 2π∑3

i = 1

ni li = 2πm m = 整数 ) ( 1.1.8)

关系最为重要 .

sc 正点阵的倒点阵仍为 sc, 其 BZ 形状与图 1.3

阵的倒点阵为 bcc , 其 BZ 形状如图 1.3

其 BZ 形状与图 1.3

BZ 是波矢量空间中的对称化元胞 , 它具有倒点阵点群的全部对称

性 . 利用式 (1.1.8 )①

, 同一晶体的正、倒点阵有相同的点群

对称性 . 因此 , 可以简单地说 , BZ 具有晶体点阵点群的全部对称性 .

① 其简单证明如下 : 设 α为正点阵点群的对称操作 , 则 αRl 应为一个正格矢 . 由于

群中有 α必有逆操作α- 1 , 所以 α- 1 Rl 也应为一正格矢 . 根据式 1.1.8 )

α- 1 Rl·Kn = 2πm ( 1.1.9 )

由于两矢量的点乘对于正交变换是不变的 , 上式可化为

Rl·αKn = 2πm (1.1.10 )

所以 , 对群中任意 α而言 , αKn 亦为一倒格矢 , 表明正、倒点阵具有相同点群对称性 .

§2 平移对称性

点阵是格点在空间中的无限周期重复排列 . 点阵具有平移对称性 ,

表现为将整体作任意正格矢的平移后 , 它将恢复原状 ; 或者说 , 从空间

任一点

上 . 人们把晶体排列的周期性用抽象的几何点阵来表现 , 就是要赋予晶

体平移不变的特征 , 使得含有大数粒子的完整晶体问题容易处理 . 平移

对称性在固体物理学中占有十分重要的地位 .

严格讲 , 只有无限理想晶体才具有平移对称性 , 实际晶体的尺寸都

是有限的 , 边界面的存在必然会破坏平移对称性 . 但是 , 考虑到大块晶

体的尺寸7

nm)7～10

8

量级 , 晶体体内的总粒子数也相应地比表面上粒子数大相同的量级 ; 因

此 , 当研究大块晶体特性时 , 表面效应并不重要 , 大块晶体的属性近似

3§2 平移对称性

与边界条件的选择无关 , 于是可以设计一种特殊的边界条件 , 使有限晶

体也具有平移不变性 , 这就是玻恩 - 卡门边界条件提出的背景 . 他们把

图 1.4 波恩 - 卡门循环

3 边长为 N1 a1 、 N2 a2、 N 3 a3 的有限晶体设

想为沿 a1、 a2、 a3 3 个方向上首尾相衔接的

“环”, 这样的配置规定了从晶体内的任一点平

移 N1 a1 、 N 2 a2、 N3 a3 必将再返回原处 . 这

是一个循环条件 , 它相当于把无限多个晶体

“复本”毫无缝隙地拼合在一起 , 组成一个无

限晶体 , 图 1.4 是其一维示意图 , 这样做就保

证了有限晶体也具有平移对称性 . 玻恩 - 卡门

循环边界条件在数学上归结为 N i ai ( i = 1 , 2 ,

3)

{ E | N i ai } = { E | N iai }- 1

= { E | 0} ( 1.2.1)

{ E | Rl }

{ E | R l } r = r + Rl , E | Rl }- 1 r = r - Rl ( 1.2.2)

对函数的作用相应记为

{ E | Rl } f r) = f E | Rl }- 1 r) = f r - Rl )

{ E | Rl }- 1

f r ) = f E | Rl } r) = f r + Rl ) ( 1.2.3)

对于元胞数为 N = N1 N2 N3 的晶体 , 共有 N 个平移算符 E | Rl }

们的集合满足群的组成条件 :

E | R1 } E | R2 }

E | Rl }

E | Rl } E | Rl } - 1 , 代表反方向的平移 .

E | Rl }- 1是 E | Rl }

{ E | 0}

E | Rl }

移的效果与它们作用的先后次序无关 , 即平等算符之间可对易 , 平移群

是阿贝尔群 . 下面将讨论平移对称性对于晶体性能的影响 .

§3 布洛赫定理

当 N N = N 1 N2 N3 ) - 卡门条件时 , 具有

平移对称性 , 其中正格矢 Rl = ∑3

i = 1

liai 可取 N 个不同值 , 相应的有 N

4 第一章 周期性结构

个平移算符 E | Rl } N 阶平移群 . 由于对所有的群元下列等式都成

立 , 即

{ E | Rl }- 1

{ E | Rm } E | Rl } = { E | Rm } ( 1.3.1)

故此 N 阶群的每个元素本身自成一个共轭类 . 根据群论 , 群中共轭类

数与不可约表示数相同 . 因此平移群有 N 个不可约表示 , 不可约表示

的维数 nα 可由方程

∑N

α= 1

n2α = N ( 1.3.2)

定出为 nα (α= 1 , 2 , ⋯ , N ) N 个不可约表示都是一维

的 . 设 ψ r)

{ E | aj } - 1ψ r) ψ E | aj } r) = ψ r + aj ) = D E | aj } )ψ r )

{ E | aj }- 1

{ E | aj }- 1ψ ( r) = { E | 2aj }

- 1ψ ( r) = D2ψ ( r)

{ E | N j aj } - 1ψ ( r) = DN

jψ ( r) ( j = 1 , 2 , 3) ( 1.3.3)

这里 D 是表示的一维矩阵 , 实际上是一个数 , 利用循环边界条件式

1.2.1 )

DN

jψ ( r) = { E | N j aj } - 1ψ ( r) = { E | 0}ψ ( r) = ψ r) ( 1.3.4)

可求出

DN

j = 1 , D = exp 2πinjN j

( 1.3.5)

其中 nj = 0 , ±1 , ±2 , ⋯ . 由此可知

{ E | R l }- 1ψ ( r) = ψ r + Rl ) = ψ r + l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 )

= exp 2πi∑3

j = 1

( lj nj/ Nj ) ψ ( r) ( 1.3.6)

式

k≡ ∑3

j = 1

njN j

bj ( 1.3.7)

对于任意正格矢的平移 Rl , 有

{ E | Rl }- 1ψ ( r) = ψ ( r + Rl ) = e

ik· Rlψ ( r) ( 1.3.8)

由 D 定义的波矢 k 可作为平移群不可约表示的标记 , 这里第 k 个不可

约表示的一维矩阵是 exp k·R l ) 1.3.8)

本征方程 , exp k·Rl ) k 个本征值 , 其本征函数相应的记为

ψk ( r) 因此 , 式

{ E | R l } - 1ψk ( r) = ψk ( r + Rl ) = ei k·R

lψk ( r ) ( 1.3.9)

此即布洛赫定理 . 布洛赫定理要求本征函数 ψk ( r ) 有特殊形式 , 因为

5§3 布洛赫定理

式

[e- i k·( r + R

l)ψk ( r + Rl ) ] = [e

- ik·rψk ( r ) ( 1.3.9a)

这时若令

uk ( r) = [ e- ik·r

ψk ( r )

利用式

uk ( r + Rl ) = uk ( r ) (1.3.10)

它说明 uk ( r )是正点阵的周期函数 . 以 uk ( r)为振幅的函数

ψk ( r) = uk ( r ) exp k·r) (1.3.11)

称为布洛赫函数 , 它具有调幅波的特性 . 晶体周期势场中的电子波函

数、格波、自旋波等都具有布洛赫函数的形式 . 因为 , 布洛赫定理是由

晶体的平移对称性导出的 , 是共性的结论 , 凡属周期性结构中的波都应

具有布洛赫函数的形式 .

利用波矢 k 标记平移群的不可约表示 , 还存在非唯一性问题 . 当

两个波矢 k与 k′相差任意倒格矢 Kn 时 ,

k′- k = Kn (1.3.12)

若将相应的布洛赫函数 ψk 与ψk′代入平移算符的本征方程式 1.3.9 )

会得到相同的本征值

exp k′·Rl ) = exp k·Rl ) exp Kn·Rl ) = exp k·Rl ) (1.3.13)

其中利用了 exp Kn·R l ) = 1 , 它来自关系式 1.1.8 ) k 以

外 , 还同时有一组与 k 等效的波矢 k + Kn 对应于同一个不可约表示

exp k·Rl ) 即 exp k·Rl ) k . 为了消除 k 的非唯

一性 , 应当限制 k的取值范围以保证在此区域内任意两个波矢之差均

小于一个最短的倒格矢 . 这样的区域就是第一布里渊区 ( BZ)

内的波矢叫简约波矢 , 简约区体积为 Ω*

, 其中共有 N 个不同的波矢

k, 它们可以唯一地标记平移群的 N 个不可约表示 . 因此 , 第 k 个不可

约表示可记为 D( k) ( E | Rl } )

χ( k ) ( E | R l } ) = Tr D

( k) ( E | Rl } ) = D( k ) ( E | R l } )

= exp k·Rl ) (1.3.14)

通常简约区是取相对于 k = 0 的对称多面体 ( 倒空间 W - S)

为了推导方便 , 也对 k采用限制条件

- π< k·ai≤π i = 1 ,2 ,3 ) (1.3.15)

根据式 1.3.7 ) N 个 .

下面从平移对称角度 , 讨论固体物理学中几个常用关系式 :

6 第一章 周期性结构

( i) ∑R

l

exp[ - i k - k′)· Rl ] = Nδkk′ (1.3.16)

就是平移群不可约表示的正交关系 . 群论中两个不等价的不可约表示 i

与 j 的矩阵元满足正交关系

∑R

D( i) *αγ ( R) D

( j)βδ ( R ) = δi jδαβδγδ

gni

其中 g 为群的阶数 , ni 为第 i 个不可约表示的维数 , 求和遍及所有群

元 R . 对于平移群 g = N , ni = 1 , i→ k, j→k′, 表示矩阵都是一维的

D( k ) ( { E | Rl } ) = exp k·Rl ] , 这里 k 限于 BZ , 于是平移群不可约表示

的正交关系为

∑R

l

D( k ) * ( E | Rl } D

( k′) ( E | Rl } = ∑R

l

exp - i k - k′)· Rl ]

= Nδkk′

式

( ii) ∑k∈BZ

exp - ik· Rl - Rs ) ] = NδRlR

s(1.3.17)

代表平移群特征标的正交关系 , 群的特征标第二正交定理为

∑i

χ( i ) *

( R) χ( i)

( S ) = δR Sg

hR

其中 hR 是 R 共轭类中元素数目 . 对于平移群各群元自成一类 , 群元

R、 S 分别对应于 E | Rl } E | Rs } 1.3.14)

χ( k ) ( E | Rl } ) = exp k·Rl ) χ

( k) ( E | Rs } ) = exp k·Rs )

因此其正交关系为

∑k∈BZ

χ( k) * ( { E | Rl} ) χ

( k) ( { E | Rs} ) = ∑k

exp - ik· Rl - Rs )] = NδRlR

s

这就是式 1.3.17) k∈BZ 代表取简约波矢 . 因此 , 两个

正交关系均来源于平移对称性 , 普遍适用于周期结构中的电子、声子和

自旋波等 .

由于沿倒点阵基矢 bi 方向相邻 k值的间距按式 1.3.7 )

Δki =biN i

( i = 1 ,2 ,3 )

每一许可 k值所占据的体系为

Δk1·(Δk2×Δk3 ) =Ω

*

N1 N2 N3=

(2π)3

NΩ=

(2π)3

V

V 为晶体体积 . 因此 k 空间单位体积内有 V( 2π)

3 个不同波矢 . 由于 N

7§3 布洛赫定理

很大 , 对 BZ 中许可波矢 k的求和可按照下面的公式变换为对 k 的连续

积分 , 即

∑k

(⋯ ) =V

( 2π)3∫d3 k ⋯ ) (1.3.18)

平移不变性对于晶体的能谱结构有重要影响 . 由于晶体结构的周期

性 , 其哈密顿量 H 与平移算符可对易 , 二者应有共同的本征函数 . 已

经证明 , 平移算符的本征函数是布洛赫函数ψk ( r ) H算符

的本征函数 . 换句话说 , H 算符的本征函数和本征值均与简约波矢 k

有关 , 这就是群论中讲的按平移群的不可约表示对 H 的本征函数分类 .

例如 , 在单电子问题中 , 平移对称性告诉我们 , 晶体中一个电子的运动

状态由 ψk ( r) = uk ( r) exp k·r) 描述 , 求其相应的能量本征值则应求

解定态薛定谔方程

Hψk ( r ) = E k)ψk ( r ) (1.3.19)

等式两边乘 exp k·r )

Hk uk ( r) = E k) uk ( r ) (1.3.20)

这里

Hk )= exp k·r ) Hexp k·r )

= H +珔h2 k2

2 m-

i珔h2

mk·� (1.3.21)

相当于对 H 作一个规范变换 . 方程 1.3.20 ) k 固定时由于满足

条件 uk ( r) = uk ( r + Rl )

鼓膜振动、势阱中粒子运动等问题相似 , 属于在有限区域内的厄米本征

值问题 , 应有无穷个分立的本征值 E1 ( k) E2 ( k) ⋯ , En ( k)

⋯ . 因此 , 晶体中单电子能量是 k 的多值函数 . 每一个确定的 k 描述

一套能级 En ( k) } ψnk ( r) } k 限于 BZ, 是取以 k = 0 为

中心的“W - S”元胞 . 必须注意 , 用 k或 k + Kn 作为平移群不可约表

示的标记是等效的 . 我们也可以取倒格点 Kn 附近的 W - S 元胞作为波

矢的限制区域 , 得出由 k + Kn 描述的一套能级和波函数 . 这两套就全

体而言应当相同 , 只要注意指标 n 的编排总可以使得 k 点与 k + Kn 点

所标记的状态和能级一一对应 , 做到对于同一指标 n 有

ψn , k + Kn

= ψn , k (1.3.22)

En ( k + Kn ) = En ( k) (1.3.23)

这里明确规定了在倒易空间中 k 与 k + Kn 代表同一个状态 , 对应相同

的能量 , 可理解为同一点 . 由于在 BZ 外布洛赫函数本无新状态 , 因此

式 En ( k) k 空间的一个约定条件 , 而允许

8 第一章 周期性结构

k的取值遍及全 k 空间往往给处理问题带来方便 . 式 1.3.22 )

1.3.23 ) 告诉我们 , 当 n 一定时的布洛赫函数及能量本征值是倒点阵

的周期函数 , 这就是固体物理学中所说的周期能区图式 .

既然确定 n 值的 En ( k)

下界 , 使同一 n 而不同 k 的所有能级包括在界内 , 从而组成一个能带 .

不同的 n 代表不同的能带 , 它们的总体称为晶体的带结构 . 以上讨论

说明 , 能带存在的结论是来自布洛赫波函数的振幅是正点阵的周期函数

这一普遍性特征 , 因此 , 周期结构中一切波的能

§4 布里渊区和晶体对称性

在本节中将讨论布里渊区中 En ( k)

题涉及晶体的空间群[ 1 ,2 ] .

空间群包含平移、旋转 + 反

射 ) + 旋转 ) α| t}

{α| t}≡αr + t ( 1.4.1)

其中α代表旋转、反映等点群对称操作 , t代表平移 . 当α取单位元素

E 及 t = Rl 时 , 就是平移群 E | R l } α| 0}

当 t≠ Rl 时对应于螺旋轴或滑移反映面 , 是 α操作与正格矢的分数平

移τ的组合{α|τ} .

由式

{α| t} β| s} = {αβ|αs + t} ( 1.4.2)

{α| t}之逆为

{α| t} - 1 = {α- 1 | - α- 1 t} ( 1.4.3)

晶体的空间群定义为 : 包括平移群作为不变子群的 α| t}

空间群的任意元素对平移群元素作下列乘积后得

{α| t} E | Rl } α| t}- 1

= { E |αRl } ( 1.4.4)

不变子群条件要求 αRl 仍为正格矢 , 换句话说点阵经旋转等点群操作

后应与自身重合 , 这就限制了晶体中只可能出现 2、3、4、6 次旋转轴 ,

使晶体空间群成为有限群 .

1.BZ 中 En ( k)的对称性

设晶体属于空间群 α| t} , 则晶体的哈密顿量 H 应与 α| t}

即 H 对于空间群 α| t}的一切操作是不变的 , 有对称性

{α| t} - 1 H α| t} = H ( 1.4.5)

9§4 布里渊区和晶体对称性

由式 1.4.4 )

{ E | R l } α| t} = α| t} { E |α- 1 Rl } ( 1.4.6)

这里还利用了式 1.4.2 ) 1.4.3)

{ E | Rl } α| t}ψnk ( r) = {α| t} E |α- 1 Rl }ψnk ( r )

= {α| t} e- i k·α

- 1R

lψnk ( 1.4.7)

等式左边利用了布洛赫定理 [ 式

变换 ,其标量积不变 , 故应有

k·α- 1 Rl =α[ k]·α α- 1 Rl ) = α[ k]·Rl ( 1.4.8)

于是式 1.4.7 )

{ E | Rl } α| t}ψnk ( r ) ) = e- iα[ k]·R

l ( α| t}ψnk ( r ) ) ( 1.4.9)

另一方面考虑 BZ 中波矢 k经α操作后变为α[ k]

ψn , α[ k] ( r ) 由于 α [ k]仍在此 BZ 中 , 平移算符的本征方程应为

{ E | Rl }ψn ,α[ k] ( r ) = e- iα[ k]·R

lψn ,α[ k ] ( r) (1.4.10)

比较式 ψn ,α[ k ] ( r ) {α| t}ψn , k ( r ) 具有

相同的平移算符本征值 exp α[ k]·Rl )

是一维的 , 这两个函数最多只差一个相位因子 , 应有关系式

ψn , α[ k] ( r) = λ α| t}ψn , k ( r ) λ| 2 = 1) (1.4.11)

可求出 ψn ,α[ k] ( r)

En (αk) ∫ψ*n ,α[ k] ( r) Hψn , α[ k] ( r ) d3 r=∫ψ*n , k ( r) α| t} - 1 H α | t} ψn , k ( r) d3 r=∫ψ*n , k ( r) Hψn , k ( r) d3 r = En ( k) (1.4.12)

注意 , 其中利用了经过晶体空间群操作后 H 的不变性 [式 1.4.5 )

空间群的幺正表式 .

结论 En (αk) = En ( k) α只是属于该晶体空间群

点阵 ) R l 的平移不变性 , 其所

属空间群是 α| Rl } Rl = 0 (单位元素 ) α| 0}

了点阵的全部点群操作 , 并构成简单空间群 α| Rl } α| 0}

α| t}

合操作时 , α的某些操作β将与非整数的基矢平移τβ 组合成群元 β|τβ}

, 这时 β| 0 }

就低于 α| 0 }

阵才有相同的点群对称性 . 这时式 1.4.12)

01 第一章 周期性结构

如果把能量 En ( k) k

描述 ) α| 0 }

En ( k)的对称性 .

由于点阵的全部点群对称性必然表现在由此点阵所定义的 BZ 的外

图 1.5

形对称性中

说 BZ 具有 α| 0 } .

所以 , 对于不存在组合操作的简单晶

体或简单空间群 , En (αk) = En ( k)

例如二维正方点阵 . BZ 为正方

形如图 1.5 , 保持 BZ 不变的点群操

作共有 8 个 , 它们是 E、 C4、 C24、

C34、 m x、 m y、 md、 md′, 其 中 E

为恒等操作 , C4 为垂直于纸面的 4

次轴 , m x、 m y 分别为垂直于 kx、 ky

的对称面 , md、 md′是通过正方形两对角线的对称面 . 这 8 个元素组

成的点群用 4mm 标记 .

对于 BZ 中矢量 k1 施以上述点群操作后 , 它将变到 k1 、k2 、⋯、

k8 等 8 个点上去 , 这 8 个点在同一能带中有相同的能量

En ( k1 ) = En ( k2 ) = ⋯ = En ( k8 )

2. En ( k)

方程式 En ( k) ( n = 1 , 2 , 3⋯ )

存在 , 设在 k点第 n 个能量本征值的简并度为 dn , 则应有 dn 个布洛赫

函数 ψn , k , j ( r) j = 1 , 2 , ⋯ , dn ) En ( k)

往发生在 BZ 中某些高对称性的点与线上 , 这时点群中的某些元素对 k

运算后保持 k不变 k + Kn )

生具有不同对称性的一组函数 , 它们同属方程式

有相同的 k 与能量 En ( k) ψn , k, j ( r )

En ( k)的简并度 dn , 人们引进 k 波矢群 .

简单地说 , k 波矢群就是点群 α| 0 } k 不变

矢的等效点上去 )

足条件

αk = k + Kn (1.4.13)

11§4 布里渊区和晶体对称性

它们组成一个点群 , 是 α| 0 }

交基函数的个数 . 由于同一不可约表示中各基函数有相同能量 , 因此 k

波矢群不可约表示的维数就等于 k 点能级的简并度 dn . 下面仍以二维

正方点阵为例 , 说明如何从波矢群确定能级简并度 .

又如二维正方点阵的波矢群 , 其 BZ 为正方形 , 保持 BZ 不变的对

图 1.6 BZ 中高对称性的点与线

称操作 属于点群 4mm , 有 E、 C4、

C24、 C

34、 m x、 m y、 md、 md′等 8 个

对称操作元素 . 在 BZ 中有 6 个高对

称性的点和线 , 它们是 : Γ、 M、

X 分别代表位于 BZ 中心 ( k = 0 )

角及边界面中心的点 ; 2 ) Δ、Σ、 Z

分别代表位于线 ΓX、ΓM、 X M 上

任一点 Γ、M、X) 6 个

点和线已标明于图 1.6 中 . 现在分别

讨论各点的 k 波矢群及其不可约表示

的维数 :

Γ点 k = 0 )

4mm 的 8 个对称操作均保持 k = 0 不变 , k = 0 波矢群即点群

4mm , 通常称为 Γ波矢群 . 这个群可分为 5 个共轭元素类 , 它们是 :

E、 C24、 C4、 C

34、 m x、 m y、 md、 md′

因此共有 5 个不同的不可约表示 , 这些表示的维数 nα 应满足

∑5

α= 1

n2α = 8

其解只可能是 12

+ 12

+ 12

+ 12

+ 22

= 8 , 说明在 Γ波矢群中有 4 个一

维的和 1 个二维的不可约表示 . 因此在 Γ点 En ( 0 ) 4 种单重态

和 1 种双重简并态 . 换句话说 , 在 Γ点可能有能带的二重简并发

生 .

( M 点

M 点波矢经 4 mm 所有群元作用后仍在四顶角上

由于它们相差为倒格矢 , 满足条件 M 波矢群也是

4 mm 点群 , 群阶 g = 8 . 与 Γ波矢群相似 , 在 M 点也可能有双重简

并能带出现 .

( X 点

由于 X 点位于 m y 上 , 故 m y 操作不改变 X , 而 m x 和 C24 操作也只

将 X 点变换到相差一倒格矢的对边中心 1.8 ) 1.4.13 )

21 第一章 周期性结构

X 波矢群应由 E、 m x、 m y、 C24 等 4 个元素组成 . 这个群中各元素自

成一个共轭类 , 因此有 4 个一维的不可约表示 , 说明在 X 点能带为非

简并的 .

图 1 *.7 图 1 p.8

( iv) Δ、Σ、 Z 点

都只有两个元素组成波矢群 , 分别为 Δ波矢群 E , m y ( Δ位于 my

上 )

Σ波矢群 E , m d ( Σ位于 md 上 )

Z 波矢群 E, mx mx 操作将 Z→ Z′, 两者差2πa

, 满足式 1.4.13) .

这些群中每个元素均自成一类 , 不可约表示都是一维的 . 在 Δ、

Σ、 Z 上只有非简并的能带 .

( v) BZ 中一般点 k1 4mm 点群中除恒等元素 E 外 , 其它 7 个操作将使 k1 变为不同的波矢 k2 , ⋯ , k8 (见图 1.5 ) E , 能带是非简并的 .

综上所述 , 在二维正方格子的布里渊区中 , 能带的简并只发生在 BZ 中

心 Γ点与顶角 M 点上 .

三维情况 , 当晶体空间群不包含滑移反映面及螺旋轴时 , 波矢群的

分析可借助于 32 个点群的品格表 , 因为每波矢群属于 32 个点群之一 ,

只需查出所对应点群品格表中恒等元素 E 的特征标 , 即可得知波矢群

不可约表示的维数 , 从而求得能带 En ( k)

到此为止 , 都认为对称关系

En ( k) = En ( - k) (1.4.14)

是从空间反演对称性导出的 . 事实上 , 即使晶体不具空间反演对称

换句话说 ,子群中不包含反演操作 )

其声子频率仍然满足式

3. 时间反演对称性

时间反演是改变时间符号 ( t→ - t )

31§4 布里渊区和晶体对称性

谔方程对于时间反演操作具有不变性 . 因此 , 原来的状态和相应的时间

反演态满足相同的方程 , 并具有同样的能量本征值 . 根据量子力学[ 3 ]

时

间反演操作相当于: r→ r, k→ ( - k) ŝ→ ( - ŝ)

期场中的单电子 , 当不计自旋影响时 , 能带用 En ( k)

演对称性即要求式 H r) = H - r)———

空间反演对称 . 将式 E 换成ω, 就表示声子频率的时间反

演对称性 . 这是因为点阵力学建立在牛顿经典力学的基础上 , 经典力学

的运动方程也具有时间反演不变性 .

当考虑自旋对能谱影响时 , 布洛赫函数 ψn↑ ( k, r)

ψn↓ ( - k, r)

性要求上述两态满足同一个 H 本征方程 , 并具有相同的能量本征值 ,

这时式 1.4.14)

En ↑ ( k) = En ↓ ( - k) (1.4.15)

这就是著名的克喇末

值得注意的是 , 当晶体同时具有空间反演对称时 , En↑ ( k) = En↑

( - k) En↓ ( k) = En↓ ( - k)

En↑ ( k) = En↓ ( k) (1.4.16)

同一波矢 k 的两个不同自旋状态具有相同的能量 , 这一附加的两重自

旋简并在固体理论中称为克喇末简并度 . 总之 , 时间反演对称性要求

En↑ ( k) = En↓ ( - k)

§5 点阵傅里叶级数

在本节中 , 我们将介绍与周期性结构有关的基本数学公式 , 首先导

出完整晶体中常用的傅里叶级数[ 4 ]

公式———点阵傅里叶级数 . 然后 ,

介绍周期函数的格林定理[ 5 ] .

1.点阵傅里叶级数

( f r)

f r ) = f r + N j aj )

其中 aj ( j = 1 , 2 , 3 ) N1 N2 N 3 = N 为元胞数 , 根据傅

里叶展开的标准公式得到

f r ) = NΩ) -12∑

k

fke± ik·r

( 1.5.1)

41 第一章 周期性结构

fk = NΩ)-

12∫

NΩdrf r ) e

ê ik·r( 1.5.2)

推导式 1.5.2 )

∫NΩ

dre± ik·r

= NΩ) δk, o ( 1.5.3)

其中 Ω代表元胞体积 , k 为满足周期性边界条件的波矢 , 式 1.5.1 )

∑k

是对所有的许可 k 值求和 .

f r)

f r) = f r + l ) ( 1.5.4)

则不难证明 f r ) K 展开为

f r) = Ω-12 ∑

K

f K e±i K·r

( 1.5.5)

fK = Ω-

12∫

Ωf r) e

ê i K·rdr ( 1.5.6)

在证明上式时利用了正点阵周期函数 f 的下列积分关系

I �=∫NΩ

f r) e± ik·r

dr

= ∑l∫

Ωf ρ) e

±i k· l+ρ)dρ

= ∑l

eik·l

∫Ωf ρ) e± ik·ρ

dρ

=N∫Ωf ρ) e

±ik·ρdρ (当 k = K 倒格矢时 )

0 k≠ K 时 )( 1.5.7)

因此 , 式 1.5.1 ) fK , 这就是式

f 只在正格点 l 上定义时 , 式 1.5.1 )

f l) = NΩ) -12 ∑

k∈ BZ

fke±i k·l

( 1.5.8)

式 1.5.8 ) K·l = 2π

N-

12 e

ê i k·l, 再对 l 求和 : W

N-

12∑

l

f l ) eê i k·l

= Ω-

12 ∑

k′∈BZ

fk′1N∑l e

±i k′- k)·l

= Ω-

12 ∑

k′∈BZ

fk′δk, k′ = Ω-

12 fk

因此

51§5 点阵傅里叶级数

fk =ΩN

12

∑l

f l ) eê i k·l

( 1.5.9)

f 是 k 空间的函数 , 并满足

f k) = f k + K) ( K 是倒格矢 ) (1.5.10)

时 , 若令式

Ω-

12 fk→ f k)

则得到关系式

f k) = N-

12∑

lf l) e

ê ik·l(1.5.11)

和

f l) = N-

12 ∑

k∈BZ

f k) e±i k·l

(1.5.12)

式 l 展开的点阵傅里叶级数 , 用于

瓦尼尔 ( Wannier)

2. 周期函数的格林定理

设 u r) v r )均为正点阵的周期函数 , 则下列等式成立

∫Ω

dτu � v = -∫Ω

dτv � u (1.5.13)

∫Ω

dτu �2

v =∫Ω

dτv �2

u (1.5.14)

其中 Ω为元胞体积 , 式

理 .

f r) Ω内

的积分

I r′) =∫Ω

dτf r + r′) (1.5.15)

应与 r′无关 , 因此 I r′) r′的一、二阶导数必为零 , 于是有关系式

�′I r′) =∫Ω

dτ�′f r + r′) =∫Ω

dτ� f r + r′) = 0

(1.5.16)

�′2

I r′) =∫Ω

dτ�′2

f r + r′) =∫Ω

dτ�2

f r + r′) = 0

(1.5.17)

再令 r′= 0 , 则求得周期函数 f r )满足

61 第一章 周期性结构

∫Ω

dτ� f r) = 0 (1.5.18)

∫Ω

dτ�2

f r) = 0 (1.5.19)

若假设

f ( r ) = u r) v r ) (1.5.20)

代入式

∫Ω

dτ[ u �2 v + v �2 u + 2 � u·� v ] = 0 (1.5.21)

再设 v 与� u 组成式 1.5.13 )

2∫Ω

dτ� u·� v = - 2∫Ω

dτu �2

v (1.5.22)

将式 1.5.22) 1.5.21) 1.5.14)

周期函数的格林定理在能带理论中有重要应用 .

参 考 文 献

[ gan D J . Group Theory and Elect ron State in Perfect Crystals . In : Landsberg

P T , ed . Solid State Theory . London: Wiley-Interscience, 1969

[ y J . Quantum Theory of Solid State . New York: Academic Press , 1976 .

Chap 3

[ nd ed) y and Sons

Inc , 1970 . Chap 16

[ g P T . Solid State Theory . London: Wiley-Interscience, 1969 . Chap 2

[ ysics . New York: Holt , Rinehar t

and Winston , 1976

71参考文献

第二章 声 子

§1 晶格动力学

本节用经典力学方法讨论完整晶体中原子

———晶格振动 . 为简单起见 , 先讨论每个元胞中只含一个原子

简单晶格情况 , 然后推广到含多个原子的复式晶格情况 .

设晶体的元胞数为 N , 原子质量为 M . 晶体中第 l 个元胞中原子

的平衡位置由正格矢 Rl 描述 , ul 则代表此原子的位移 . 因此 , 在 t 时

刻 l 元胞中原子的瞬时位置为

Xl ( t ) = Rl + ul ( t ) Rl = ∑3

i = 1

li ai ( 2.1.1)

晶格振动的总动能

T =12 ∑l ,α M�u

αl�u

αl (α= x , y, z) ( 2.1.2)

这里 uαl 是沿α α= x , y , z )

uαl 展开表示

Φ= Φ0 + ∑l ,α

Φα( l ) uαl +

12 ∑l , α ∑l′,β Φαβ( l , l′) u

αl u

βl′+ ⋯ ( 2.1.3)

这里 Φ0 为一常数 , 代表晶体中所有原子都处于平衡位置时的势能 , 它

对于晶格振动不起作用 , 而

Φα( l) =�Φ�uαl 0

= 0 ( 2.1.4)

是由于在平衡点晶体的势能极小 , 其中下标 0 代表平衡点 , 宗量内的符

号 l 是正格矢 Rl 的缩写 . Φαβ( l , l′)

Φαβ( l , l′) =�

2Φ

�uαl�u

βl′ 0

= Φβα( l′, l ) ( 2.1.5)

其中最后一个等式来源于二次导数的对称性 . 当采用周期性边界条件

时 , 晶体具有平移不变性 , Φαβ( l , l′) Rl - Rl′)

对称性后 , 上式可写为

Φαβ( l , l′) = Φαβ( l - l′) = Φβα( l′- l ) ( 2.1.6)

Φαβ( l - l′) l′元胞中原子沿β方向位移单位距离时对 l 元胞中原子

作用力沿α方向的分量 , 称为力常数 , 并有下列重要关系 :

∑l′

Φαβ( l - l′) = 0 ( 2.1.7)

因为当整体作刚性位移 uαl = vα 的位移 )

一原子受到其它原子作用力之总和为零 , 即

Fα ( l ) = -�Φ�uα

= - ∑l′β

Φαβ( l - l′) uβl′

= - ∑β

∑l′

Φαβ( l - l′) vβ = 0

由于刚性位移量 vβ 可取任意值 , 因此上式中 {⋯ } = 0 , 此即关系式

2.1.7 )

在简谐近似下 , 略去 Φ按位移 u 展开的三次方项 , 定义ΔΦ= Φ -

Φ0 , 则系统的振动哈密顿量为

H = T +ΔΦ=1

2 M ∑l , α pαl p

αl +

12 ∑l , α ∑l′, β Φαβ( l - l′) u

αl u

βl′

( 2.1.8)

其中 pαl = M�uαl 是 u

αl 的共轭力学量 . 系统的运动方程由经典力学的正则

方程�pαl = - (�H/ �u

αl )

Müαl = - ∑l′, β

Φαβ( l - l′) uβl′ ( 2.1.9)

其中利用了对称关系式 2.1.6 ) 2.1.9) 3 N 个自由度的线性耦合

振动方程组 . 利用平移对称性可使求解大为简化 . 将布洛赫定理 , 式

1.3.9 ) uαl , 应有

uαl = eik·R

l uα0 (2.1.10)

对于每一确定 k值 , 运动方程的解表现出下列特性 :

( i) 各元胞中原子振动的方向相同 , 振幅相等 ;

ik·R l变化 .

因此 , 每一确定 k的解代表波长为 2π| k |的集体振动 , 称为格波 . 对

于每一个 k, 可确定方程式 2.1.9 )

eik·R l Uαk

这里 , 令 uα0 = U

αk 对应于用波矢 k 标记的特解 , 将它代入式 ( 2.1.9 ) ,

可将 3 N 自由度的耦合方程组简化为 N 个独立的 3 自由度耦合方程组 ,

而每个波矢满足方程 :

U�α

k = - ∑β

Dαβ( k) Uβk (α,β= x , y, z ) (2.1.11)

91§1 晶格动力学

其中

Dαβ( k)≡1M ∑l Φαβ( l )e

- ik·Rl (2.1.12)

组成 3×3 矩阵 , 代表力常数 Φαβ的傅里叶变换称为动力矩阵 . 由于式

2.1.6 ) Φ为实函数 , 易知 , 对于简单晶格考虑反演对称

性后 , Dαβ( k)

方程 )

∑β

Dαβ( k) eβk = ω

2eαk (2.1.13)

这里 , 当 ω理解为振动频率时 , ω2 取正实量 , 具体由久期方程决定

det‖ Dαβ( k) - ω2δαβ‖ = 0 (2.1.14)

可求出 3 个本征值

ω= ωσ ( k) (σ= 1 , 2 , 3 ) (2.1.15)

以及相应的 3 个实本征向量 ekσ, 它们是描述各元胞中原子振动方向的

单位矢 , 并满足下列正交性和完备性条件 :

ekσ·ekσ′=δσσ′ (2.1.16)

∑σ

eαkσeβkσ =δαβ (2.1.17)

显然 , 利用式 2.1.13) 2.1.11 ) Uαk 正比

于 eαk e

- iωt的解 . 代入式 2.1.10)

uαl ～

1

Neαke

i [ k·Rl

- ωt ]

的特解 , 其中 N 为元胞数 , 上式中若代入本征方程的解ωσ ( k) ekσ就

构成波矢 k, 偏振σ, 以及频率ωσ( k) BZ 中 , 一定时刻 t

的格波解 N-

12 e

αkσe

ik·Rl称为简正模 , 其中的相位因子仅仅来源于点阵的

周期性 .

根据正格矢与倒格矢间关系式 (1.1.8 )

Dαβ( k + Kn ) = Dαβ( k) (2.1.18)

动力矩阵是倒易点阵的周期函数 , 我们只需要在 k 空间一个 BZ 内讨

论 , 这里有 N 个不同的 k 值 , 每一 k 值又对应有 3 个本征值 , 共 3 N

个简正模 1.3.16 ) 1.3.17) 2.1.16 )

式 2.1.17) 3 N 个简正模满足正交、归一和完备性条件 , 它们构成

3 N 维空间的完备函数组 , 可用作基函数展开 , 表示 3 N 自由度的晶格

振动一般解 :

uαl =

1

N M∑

k, σ

eαkσQkσe

i k·Rl (2.1.19)

02 第二章 声子

系数 Qkσ[包括 e- iω

σ( k) t

因子 ] ekσ代表

格波的偏振方向 , 通常称为极化矢量 , 它是单位矢 .

方程式 ( 2.1.11 ) k 是彼此独立的 , 将它与式

2.1.9 ) 3 N 个线性联立方程已简化为 N

个独立 3×3 矩阵 D k)

用的例证 .

对于元胞中有 r 个原子的复式晶格 , 动力矩阵的本征方程可直接

由式 2.1.13)

∑β, s′

Dαβk

s, s′eβk ( s′) = ω

2eαk ( s) (2.1.20)

其中 s , s′= 1 , ⋯ , r , 代 表元 胞中 不同 的原 子 . 格 波频 率由 式

2.1.20)

det‖ Dαβk

s, s′- ω2δαβδss′‖ = 0 (2.1.21)

它涉及 3 r×3 r )

Dαβk

s, s′=

1

Ms Ms′∑

l

Φαβl

s , s′e

- i k·Rl (2.1.22)

可保证其厄米性 . 在复式晶格中 , 动力矩阵一般为复矩阵 , 仅在 k

= 0 点 ( 即 Γ点 ) Γ点上的极化矢量为实

矢量以外 , 其它点的极化矢量均为复量 . 力常数则由式 2.1.5 )

广为

Φαβl - l′s , s′

≡�

2Φ

�uαl ( s)�u

βl′( s′) 0

(2.1.23)

uαl ( s ) l 元胞中第 s 个原子在α方向上的振动位移分量 . 与式

2.1.7 )

∑l′, s′

Φαβl - l′s, s′

= 0 (2.1.24)

本征方程式 2.1.20) 3 r 个频率本征值

ω= ωσ( k) (σ= 1 , ⋯ , 3 r) (2.1.25)

和相应的 3 r 个复极化矢量 ekσ( s) l 元胞中第 s 个原子

的位移为

ul ( s) =1

NMs∑

k ,σ

ekσ( s) Q kσeik·R

l (2.1.26)

其中相位因子反映点阵周期性 , Ms 是第 s 个原子的质量 , 复极化矢量

所满足正交关系为

12§1 晶格动力学

∑α, s

[ eαkσ( s)

*eαkσ′( s) = ∑

s

e*kσ( s)·ekσ′( s) =δσσ′ (2.1.27)

这是因为当 k,σ) eαkσ( s) 3 r 个分量 s = 1 , ⋯ r ;α= x , y , z )

3 r 维空间的本征矢量 Xσ, 上式代表不同 σ之间的正交归一性 .

以上是晶格动力学的基本原理 , 下面将根据点阵对称性和具体的力

常数模型 , 求解频率本征值 .

§2 格 波 特 性

1. ωσ ( k)

以简单晶格为例 , 不难证明

) 格波本征频率是倒点阵的周期函数

ωσ( k) = ωσ( k + Kn ) ( 2.2.1)

Kn 为倒格矢 . 只需将式 2.1.18)

( ii) ωσ( k)

ωσ( k) = ωσ(αk) ( 2.2.2)

式 2.2.2 ) α是保持点阵不变的点群操作

第一章§4 所用的方法相类似 . 根据式 2.1.12 ) D ( k)

Φ R l )矩阵的关系为

D( k) =1M ∑R

l

Φ( Rl )e- ik·R

l ( 2.2.3)

对矩阵Φ( Rl )

{α| 0 }Φ( Rl ) α| 0 }- 1

= Φ(α- 1 R l )

再考虑 BZ 中 k经α操作后的力矩阵

D αk) = 1M ∑R

l

Φ( Rl ) e- iαk·R

l

=1M ∑l Φ( Rl ) e

- i k·α- 1

Rl

=1M ∑l Φ(αRl )e

- ik·Rl

= {α| 0 }- 1 1

M∑

l

Φ( Rl )e - ik·R l {α| 0}

= {α| 0 }- 1

D k) α| 0} ( 2.2.4)

因此 , D(αk) D( k)

满足相同的久期方程式 2.1.14) 2.2.2)

22 第二章 声子

( iii) 存在一个普遍关系式

ωσ( k) = ωσ( - k) ( 2.2.5)

这是由于 Φαβ为实函数 , 因此从式 2.1.12)

Dαβ( - k) = D*αβ( k) ( 2.2.6)

根据动力矩阵的本征方程有

ωσ2( k) = ωσ

2( - k) ( 2.2.7)

取正根即式 2.2.5 )

2. 声学模与光学模

色散曲线具有 k = 0 时 ωσ = 0 特征的格波称为声学模 , 这是格波声

学模的定义 . 反之当 k= 0 时 ωσ≠0 的格波解叫光学模 .

容易证明简单晶格中全部格波解都属于声学模 , 因为根据关系式

2.1.7 ) BZ 中 Γ点 k = 0 )

Dαβ( Γ) =1M ∑l′ Φαβ( l - l′) = 0

因此从本征方程解出的各支格波色散曲线都具有声学模特征ωσ ( Γ)

= 0 .

在复式晶格中除格波的声学模外 , 还存在光学模 . 为确定声学模与

光学模运动特征应考查 k= 0 复式晶格的本征方程 . 将式 2.1.22 )

式 2.1.20) Γ点的方程写为

ω2σ(Γ)

eαΓσ( s)

Ms=

1Ms ∑β, l′, s′Φαβ

l - l′s , s′

eβΓσ( s′)

Ms′ (σ= 1 , 2 , ⋯ ,3 r )

( 2.2.8)

如果某确定σ的解在长波限满足条件

eαΓσ( s)

Ms=

eαΓσ( s′)

Ms′ ( s , s′= 1 , ⋯ , r ) ( 2.2.9)

则本方征方程式 2.2.8 )

ω2σ( Γ)eαΓσ( s)

Ms=

1Ms ∑β

eβΓσ( s)

Ms ∑l′, s′Φαβl - l′s, s′

(2.2.10)

这时 利用关系式 2.1.24 ) ωσ ( Γ) = 0 的声学 模解 . 式

2.2.9 )

波限代表元胞内各原子的同向运动 , 即元胞质心的运动 . 对于每个

k 值有 3 个独立的 σ解属于声学模 , 并用 σ= 1 , 2 , 3 标记 . 在一

32§2 格波特性

般情况下 , 式 2.2.8 ) ωσ ( Γ) ≠ 0 , 因此其它 3 r - 3 ) σ解属于

格波的光学模 .

现在讨论格波光学模在长波限的运动特征 . 为简单起见 , 以双原子

( s = 1 ,2 ) σ≠σ′时 Γ点的实极化矢量正交关系式

2.1.27)

eΓσ( 1)·eΓσ′( 1) + eΓσ(2 )·eΓσ′(2 ) = 0 (2.2.11)

设σ为声学模 , 根据式 2.2.9 )

eΓσ(1 )

M1=

eΓσ( 2)

M2(2.2.12)

代入式 2.2.11)

eΓσ( 1)

M1· M1 eΓσ′( 1) + M2 eΓσ′(2 ) = 0 (2.2.13)

由于 3 个声学模解的极化向量 eΓσ( s) σ= 1 , 2 , 3)

模解满足条件

M1 eΓσ′(1 ) = - M2 eΓσ′(2 ) (2.2.14)

上式表明元胞两个原子的反向运动 . 再利用式 2.1.26) l 元胞

中原子位移的长波极限特征

M1 ul ( 1) + M2 ul (2 ) = 0 (2.2.15)

这时元胞的质心不动 , 因此格波的光学模代表原子相对于质心的运

动 .

3. 格波频率计算

下面从几个简单模型出发计算ωσ( k) ekσ:

图 2.1 二维正方晶格

例如二维正方晶格的ωσ( k) ekσ的计算 . 设晶格常数为 a , 最近邻

原子 2.1 中 1→4 )

为 f1 , 近次邻原子 5→8 ) f2 , 计算

准至第二近邻 .

在此模型中的弹性力常数

Φαβ( l ) = - f lεα( l )εβ( l) ( l≠0)

( 2.2.16 )

其中 f l = f1 ( l = 1 , 2 , 3 , 4 ) f l = f2 ( l =

5 , 6 , 7 , 8 ) εα ( l ) Rl 方向单位矢

在α方向上的分量 .对于中心原子的 Φαβ

(0 ) 2.1.7 ) 2.2.16 )

42 第二章 声子

得

Φαβ(0 ) = - ∑l≠ 0

Φαβ( l ) = ∑8

l = 1

f lεl ( l )εβ ( l) (2.2.17)

算出的 Φ矩阵为

Φ( 0) = 2( f1 + f2 )1 00 1

Φ( 1) = Φ( 2) = - f11 00 0

, Φ( 3) = Φ(4 ) = - f10 00 1

Φ( 5) = Φ( 6) = -12

f21 11 1

, Φ( 7) = Φ(8 ) = -12

f2 1 - 1- 1 1

(2.2.18)动力矩阵应由式 2.2.18 ) 2.2.3 )邻 l = 1 , 2 , ⋯ ,8 )

D( k) = 2M

[ f1 ( 1 - cos k x a) +

f2 (1 - cos kx acos ky a) ] f2 sin k x asin ky a

f2sin kx asin ky a [ f1 (1 - cos k y a) +

f2 ( 1 - cos kx acos ky a) ]

(2.2.19)

频率ωσ( k) D( k)

det‖ D( k) - ω2 I‖ = 0 , I =1 0

0 1(2.2.20)

根据式 2.2.19)

D kx +2πa

, ky +2πa

= D( k x , ky ) = D( k) (2.2.21)

因此ωσ( k x , ky ) = ωσ kx +2πa

, ky +2πa

是倒点阵的周期函数 , 只需要在

BZ 中讨论格波 . 我们对于 BZ 中高对称点 ωσ( k)

别求之 :

( i) Σ线 Γ, M 点 ) k x = ky = k/ 2

ω21 ( Σ ) =

2M

f1 1 - coska

2+ f2 (1 - cos 2 ka ) = ω

2L ( Σ )

ω22 (Σ) =2M

f1 1 - coska

2= ω2T ( Σ ) (2.2.22)

极化矢量可将以上结果代入式 2.1.13)

52§2 格波特性

eΣ1 =1

2,

1

2= eLΣ

eΣ2 = -1

2,

1

2= eTΣ

(2.2.23)

eΣ1 与传播方向方平行代表纵波 eLΣ , eΣ2与传播方向相垂直为横波极化矢

量 eTΣ , 如图 2.2 所标明 . 沿 Σ的格波色散曲线如图 2.3 所示 . 当 4 f2

> f1 时纵波的 ω曲线在 BZ 内有极大点出现 , 这是与一维频谱不同之

处 .

图 2 �.2 二维正方晶格的极化矢量 图 2 �.3

( ii) Δ线 Γ、X 点 ) k x = k , ky = 0

ω21 ( Δ) =

2M

( f1 + f2 ) (1 - cos ka) = ω2L ( Δ) (2.2.24)

ω22 ( Δ) =2M

f2 (1 - cos ka ) = ω2T (Δ)

eΔ1 = (1 , 0 ) = eLΔ , eΔ2 = ( 0 , 1) = e

TΔ (2.2.25)

与 Σ线相似 , 在 Δ线上纵波频率也高于横波 , 其色散曲线如图 2.4 .

( iii) Z 线 X 及 M 点 ) kx =πa

, ky = k′

ω21 ( Z ) =2M

[ 2 f1 + f2 (1 + cos k′a) ]

ω22 ( Z ) =

2M

[ f1 (1 - cos k′a ) + f2 (1 + cos k′a) ]

(2.2.26)

相对应的极化矢量为

62 第二章 声子

eZ1 = ( 0 , 1) , eZ2 = (1 , 0 ) (2.2.27)

它们与 Z 点的波矢方向 ΓZ 连线方向 ) Z

线上的格波既非纵波 , 又非横波 . 因此 , 晶体中的格波只有沿某些高对

称的 k方向传播时 , 才有纵横之分 . 这是晶体与各向同性连续介质不

同之处 . 图 2.5 为沿 Z 方向的格波色散曲线 .

从图 2.3—图 2.5 可以看出 BZ 中只有在 Γ与 M 点上纵波与横波的

本征频率相同 , 这就是第一章§4 所预言的简并情形 .

图 2 6.4 图 2 �.5

为了熟悉复式晶格的动力矩阵 D k) ωσ ( k)

量 ekσ( s)

例如一维双原子链 . 模型如图 2.6 所示 , 两种原子 M1 与 M2 交替

排列 , 近邻互作用的弹性性恢复力常数分别为 f1 和 f2 , 原胞中原子标

号 s = 1 , 2 . 由于是一维 , 方向指标 α,β)

求得 Φl - l′s , s′

:

72§2 格波特性

Φ1

1 , 2= Φ

- 1

2 ,1= - f2

Φ0

1 , 2= Φ

02 , 1

= - f1

Φ0

1 , 1= - Φ

01 , 2

+ Φ1

1 , 2= ( f1 + f2 ) = Φ

02 ,2

(2.2.28)

其中 Φ 0

s , s利用了关系式 2.1.24 )

图 2.6 一维复式晶格模型

将 2.2.28) 2.1.22) Dk

s, s�