信号処理論周波数スペクトル解析と窓関数yama/DSP/dsp_06.pdf0 5 10 15 20 25 30 35...

信号処理論

周波数スペクトル解析と窓関数

内容

1. 窓関数の種類とその特徴

2. 時間周波数解析について

周波数スペクトル解析とは

時間領域では困難な信号の成分分析が可能

振動解析，音声処理，画像処理，通信，生体信号解析などで応用

フーリエ変換を用いると...

信号（時間変化）動的変化はわかるけど...

t


様々な周波数成分から構成されている信号から周波数毎の強さ（強さ），位相を定量的に求める処理

0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15

時間 (s)

ただのノイズ信号にしか見えないが…

例えば、下記のような信号に含まれる周波数成分とその強さは？

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2




0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15

フーリエ変換

時間 (s) 周波数 (Hz)

1 Hzに信号

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2




フーリエ変換


0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15 ノイズ+正弦波（1 Hz）

1 Hzに信号

復習（フーリエ変換）

フーリエ変換

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = �−∞

∞

𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �−∞

∞

𝐹𝐹(𝜔𝜔)𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝜔𝜔

フーリエ変換

フーリエ逆変換

フーリエ変換の例

方形波

t

𝑓𝑓 𝑡𝑡 =1 𝑡𝑡 ≤

𝑇𝑇2

0 𝑡𝑡 ≥𝑇𝑇2

0−𝑇𝑇2

𝑇𝑇2

方形波のフーリエ変換

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = ∫− ⁄𝑇𝑇 2⁄𝑇𝑇 2 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

= − 1𝑗𝑗𝜔𝜔

𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 − ⁄𝑇𝑇 2⁄𝑇𝑇 2 = 1

𝑗𝑗𝜔𝜔𝑒𝑒−

𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡2 − 𝑒𝑒

𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡2

= 2𝜔𝜔

sin 𝜔𝜔𝑇𝑇2

= 𝑇𝑇sin 𝜔𝜔𝑇𝑇

2𝜔𝜔𝑇𝑇2

= 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑇𝑇2

t0−𝑇𝑇2

𝑇𝑇2

フーリエ変換

ω

2𝜋𝜋𝑇𝑇

4𝜋𝜋𝑇𝑇

6𝜋𝜋𝑇𝑇

0

−2𝜋𝜋𝑇𝑇



𝑇𝑇

方形波のフーリエ変換

デルタ関数（単一インパルス）

t

t=0 のときにのみ無限大の値を持つ

𝛿𝛿 𝑡𝑡 = �∞ 𝑡𝑡 = 00 𝑡𝑡 ≠ 0

∫−∞∞ 𝛿𝛿 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1

0

デルタ関数のフーリエ変換

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = ∫−∞∞ δ 𝑡𝑡 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1

t0

フーリエ変換

ω0

インパルス列

t0

・・・・・・

T

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �𝑛𝑛=−∞

∞

𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇𝑇𝑇

インパルス列のフーリエ変換

t0

・・・・・・

T

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �𝑛𝑛=−∞

∞

𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝜔𝜔 =1𝑇𝑇�𝑛𝑛=−∞

∞

𝛿𝛿 𝑓𝑓 −𝑇𝑇𝑇𝑇

ω0

・・・・・・

1/T

1フーリエ変換

連続正弦波（余弦波）

t

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴 sin𝜔𝜔0𝑡𝑡 ,

𝑇𝑇0 =2𝜋𝜋𝜔𝜔0

T0

連続正弦波のフーリエ変換

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = ∫−∞∞ 𝐴𝐴 sin 𝜔𝜔0𝑡𝑡 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

= ∫−𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐴𝐴 sin 𝜔𝜔0𝑡𝑡 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝐴𝐴∫−𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑗𝑗𝜔𝜔0𝑡𝑡+𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔0𝑡𝑡

2𝑗𝑗𝑒𝑒−𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡

= 𝐴𝐴2𝑗𝑗 ∫−𝑇𝑇

𝑇𝑇 𝑒𝑒𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴2𝑗𝑗�𝑒𝑒

𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇

𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔− 𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇

𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔

+ �𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇

𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔− 𝑒𝑒𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇

𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔

= 𝐴𝐴𝑗𝑗𝑒𝑒𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇−𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇

2𝑗𝑗 𝜔𝜔0−𝜔𝜔

−𝐴𝐴𝑗𝑗𝑒𝑒𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇−𝑒𝑒−𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇

2𝑗𝑗 𝜔𝜔0+𝜔𝜔

= 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇sin 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇

− 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇sin 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇

sinc関数


sinc関数sin 𝜔𝜔𝑇𝑇𝜔𝜔𝑇𝑇

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T=1T=2T=5

lim𝑇𝑇→∞

sin 𝜔𝜔0 + 𝜔𝜔 𝑇𝑇𝜔𝜔0 + 𝜔𝜔 𝑇𝑇 = 𝛿𝛿 𝜔𝜔0

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇sin 𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇𝜔𝜔0+𝜔𝜔 𝑇𝑇

− 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇sin 𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇𝜔𝜔0−𝜔𝜔 𝑇𝑇

ωω0

−ω0

lim𝑇𝑇→∞

𝐹𝐹 𝜔𝜔 = 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝛿𝛿 −𝜔𝜔0 − 𝑗𝑗 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝛿𝛿 𝜔𝜔0


sinc関数

t

T0 フーリエ変換

復習（畳み込み演算）

畳み込み積分

tτ0

A

T

t

t

x(t)

y(t)

y(-t)

τ

τ0 T-Tt

ℎ 𝜏𝜏 = �−∞

∞

𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝜏𝜏 − 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

畳み込み積分とフーリエ変換

t

T

t

×（掛け算）

t

ωω0

−ω0

1/T *（畳み込み）

ω

ω

フーリエ変換


時間領域周波数領域

𝑓𝑓 𝑡𝑡

𝑔𝑔 𝑡𝑡

𝑓𝑓 � 𝑔𝑔 𝑡𝑡 𝐹𝐹 ∗ 𝐺𝐺 𝜔𝜔

𝐺𝐺 𝜔𝜔

𝐹𝐹 𝜔𝜔

フーリエ変換


フーリエ変換


窓関数

窓関数とは

t

窓関数

信号

ある有限区間外で０になる関数

窓関数のスペクトルに求められる特徴

周波数

メインローブ

サイドローブ

細いメインローブ

低いサイドローブ

窓関数の種類

矩形窓、ハニング窓、ハミング窓、ブラックマン窓、ガウス窓、バートレット窓、指数窓、カイザー窓、フラットトップ窓など

窓関数の特徴を考慮し，（メインローブの幅，サイドローブのレベル）窓関数を使い分ける必要がある

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2矩形窓

w 𝑡𝑡 = 1 𝑇𝑇𝑓𝑓 0 ≤ 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

Tw

時間

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

矩形窓の周波数スペクトル

1/Tw

特徴メインローブが細いサイドローブが大きい

1/2Tw約13 dB（約4倍）

周波数

パワ

ー(d

B)

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤 =sin(𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤)𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤

実データでの処理における問題

周波数スペクトルを得るまでの処理

ゲーティング処理

アナログ信号

A/D変換量子化標本化

離散フーリエ変換

サンプリング定理fs > 2f

周波数スペクトル（離散値)

解析条件を適切に設定しないと，元のアナログ信号のスペクトルとは異なる

最適なゲート長は？

tf

フーリエ変換


標本化，量子化

0 f0-f0

t

サンプリング間隔 Ts


0

fs=1/Ts

ff0-f0 fs-fs

fs

周波数領域で離散化

sin(𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤)𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤

0 ff0-f0 fs-fs

t

Tw (n=Tw/Ts, 整数)

サンプリング間隔 fw=1/Tw

0 ff0-f0 fs-fs

t

1/Fs

ゲート長が信号の周期の整数倍で無い場合

t

ゲート長 Tw

信号の周期 T0

tf

フーリエ変換


標本化，量子化

0 f0-f0

t

サンプリング間隔 Ts


0

fs=1/Ts

ff0-f0 fs-fs

fs

周波数領域で離散化

Tw

t

(n=Tw/Ts, 整数)

サンプリング間隔 fw=1/Tw

0 ffs-fs

t

1/Fs

0 ff0-f0 fs-fs

ゲート長と周波数スペクトル

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ゲート長=正弦波の1周期


窓関数

時間波形周波数スペクトル（振幅）


ゲート長=正弦波の1.25周期

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

不連続部分が生じると本来含まれない周波数成分が発生する



窓関数



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2




窓関数



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1




窓関数


ゲート長=正弦波の2周期

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2



窓関数



-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2



窓関数


-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

ゲート長が長いほうが周波数分解能が良い


窓関数

窓関数の種類と特徴

ハ二ング窓，ハミング窓を使用する場合

一般的に，スペクトル解析の対象となる信号は様々な周波数成分から構成されている

0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15 矩形窓では、どうしても不連続部分が生じてしまう

ハニング窓、ハミング窓などを使用する．

時間 (s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2ハニング窓

Tw

時間

w 𝑡𝑡 = 0.5 − 0.5 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑡𝑡𝑇𝑇𝑓𝑓 0 ≤ 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2ハミング窓

Tw

時間

w 𝑡𝑡 = 0.54 − 0.46 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑡𝑡𝑇𝑇𝑓𝑓 0 ≤ 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

ハニング窓の周波数スペクトル

1/Tw

4/Tw

約31.5 dB（約37倍）

特徴メインローブが広いサイドローブが小さい（急激に小さくなる）

パワ

ー(d

B)

周波数

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

ハミング窓の周波数スペクトル

1/Tw

特徴メインローブが太いサイドローブが小さい

4/Tw

約41.5 dB（約119倍）

パワ

ー(d

B)

周波数

約46 dB（約200倍）

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

矩形窓の周波数スペクトル

1/Tw

特徴メインローブが細いサイドローブが大きい

1/2Tw約13 dB（約4倍）

周波数

パワ

ー(d

B)

𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤 =sin(𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤)𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇𝑇𝑤𝑤

窓の種類による解析結果の違い

時間 (s)

ゲート期間ゲーティング処理後（矩形窓）

ゲーティング処理後（ハニング窓）

ゲーティング処理後（ハミング窓）

時間 (s)

s 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 ∗ 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇 𝜔𝜔1𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 ∗ 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇 𝜔𝜔2𝑡𝑡𝑇𝑇𝑓𝑓 0 ≤ 𝑡𝑡 < 𝑇𝑇

𝐴𝐴1 = 1, 𝜔𝜔1 = 1 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴2 = 0.1, 𝜔𝜔2 = 3 𝐻𝐻𝐻𝐻ゲート長 T = 1.75 𝑇𝑇

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

不連続部分


時間 (s)

周波数スペクトル（矩形窓）


𝐴𝐴1 = 1, 𝜔𝜔1 = 1 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴2 = 0.1, 𝜔𝜔2 = 3 𝐻𝐻𝐻𝐻ゲート長 T = 1.75 𝑇𝑇

ゲート期間

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

複数のピーク

周波数スペクトル（ハニング窓）

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

ピークが二つ

周波数スペクトル（ハミング窓）

周波数 (Hz)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

ピークが二つ


0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

時間 (s)

ゲート期間ゲーティング処理後（矩形窓）

ゲーティング処理後（ハニング窓）

ゲーティング処理後（ハミング窓）

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

時間 (s)

不連続部分


𝐴𝐴1 = 1, 𝜔𝜔1 = 1 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴2 = 1, 𝜔𝜔2 = 2 𝐻𝐻𝐻𝐻ゲート長 T = 1.75 𝑇𝑇


0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

時間 (s)

ゲート期間

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

周波数スペクトル（矩形窓）

複数のピーク

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

周波数スペクトル（ハニング窓）

ピークが一つ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-60

-40

-20

0

周波数スペクトル（ハミング窓）

ピークが二つ

周波数 (Hz)


𝐴𝐴1 = 1, 𝜔𝜔1 = 1 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐴𝐴2 = 1, 𝜔𝜔2 = 2 𝐻𝐻𝐻𝐻ゲート長 T = 1.75 𝑇𝑇

時間周波数解析について

時間周波数解析の必要性

ある時間にだけ発生する信号を想定

発生する時間と周波数成分を調べるためには…

波形全体をフーリエ変換しては、特定の信号が発生する時間は調べることができない

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

フーリエ変換


0 5 10 15 20 25 30

-15

-10

-5

0

5

10

15 ノイズ+正弦波（1 Hz）

1 Hzに信号

窓関数をずらしながら信号の周波数，強さ，位相を解析する手法（簡単に言うとスペクトルの時間変化）

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

時間 (ms)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

周波

数 (H

z)

0

100

200

300

400

500

𝑇𝑇 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡

𝑓𝑓 = 𝑓𝑓0 + 𝛽𝛽𝑡𝑡

𝛽𝛽 = ⁄𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓0 𝑡𝑡1

𝑓𝑓0 = 10 [𝐻𝐻𝐻𝐻]𝑓𝑓1 = 500 [𝐻𝐻𝐻𝐻]𝑡𝑡1 = 1 [𝑇𝑇]

短時間フーリエ変換とは

短時間フーリエ変換とは

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

時間 t (ms)

f

時間 t

周波数ｆ

f f

短時間フーリエ変換の応用

どんな応用がある？ → 音声分析（話者認識）エコロケーションの解明など

http://www.e-kantei.org/voice/onsei008.htm

100

200

150

50

0

5ms

100

200

150

50

0

5ms

100

5ms

200

150

50

0

100

5ms

200

150

50

0

5ms

100

200

150

50

0

5ms

100

200

150

50

0

ユビナガコウモリアブラコウモリニホンキクガシラコウモリ

どんな応用がある？ → 音声分析（話者認識）エコロケーションの解明など

資料提供：同志社大学生命医科学部飛龍志津子先生

短時間フーリエ変換の応用

不確定性原理

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

時間 (ms)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

周波

数 (

Hz)

0

100

200

300

400

500

短時間フーリエ変換における時間分解能，周波数分解能は窓の特徴に大きく依存する

ゲート長ゲート長が長い場合時間分解能 ○周波数分解能 ×

ゲート長が短い場合時間分解能 ×周波数分解能 ○

トレードオフの関係

両者を両立するには、ウェーブレット変換

時間分解能と周波数分解能

0 5 10 15 20 25 30

-1

-0.5

0

0.5

1

時間 (s)

周波数変調信号

𝑇𝑇 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑐𝑐𝑡𝑡 + 𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜔𝜔𝑠𝑠𝑡𝑡ただし

𝐴𝐴𝑐𝑐 = 1, 𝑚𝑚 = 5, 𝜔𝜔𝑐𝑐 = 1 𝐻𝐻𝐻𝐻, 𝜔𝜔𝑠𝑠 = 0.1 𝐻𝐻𝐻𝐻


0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

短時間フーリエ変換

周波数

(Hz)

周波数

(Hz)

周波数

(Hz)

ゲート長1.28 s

ゲート長2.56 s

ゲート長5.12 s

周波数分解能 ×

時間数分解能 ×


時間 (s)

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

2 s

信号１正弦波バースト１波周波数 1 Hz振幅１

信号２正弦波バースト１波周波数 2 Hz振幅１

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30

-2

-1

0

1

2


時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

時間 (s)

短時間フーリエ変換

周波数

(Hz)

周波数

(Hz)

周波数

(Hz)

ゲート長0.64 s

ゲート長1.28 s

ゲート長5.12 s

周波数分解能 ×

時間分解能 ×

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