1

統計学 講義第 8 回 確率分布の基礎 Part-1

2016 年 5 ⽉ 13 ⽇（⾦）1 限担当教員： 唐渡 広志（からと・こうじ）研究室: 経済学研究棟4階432号室email: kkarato@eco.u-toyama.ac.jpwebsite: http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/

2

講義の目的

確率分布とは何かについて理解します。keywords: 確率変数，確率分布，実現値，ベルヌーイ試⾏，⼆項分布1. 確率変数，確率関数，確率分布2. ⼆項分布

参考書⽩砂 pp. 67 – 114

⿃居 pp. 77 – 92

⼤屋 pp. 68 – 78, 85 – 86, 102 – 108, 116

母集団と標本 (1)

3

【⺟集団】

例．サイコロの出⽬123456

今⽇の勉強の対象は⺟集団

標本（観測データ）

標本抽出 例．サイコロを5回振って，出た⽬を記録する

i Xi

1 5

2 1

3 2

4 4

5 2

今⽇の勉強では，標本の話は対象外

母集団と標本 (2)

4

【⺟集団】

例．労働者の所得（年収）

今⽇の勉強の対象は⺟集団

標本（観測データ）

標本抽出

例．アンケート調査によってランダムに5⼈の年収を調べる

i Xi

1 4242 6523 3884 7125 456

今⽇の勉強では，標本の話は対象外万円

万円

6.1454.526

xsX

場合の数と確率

場合の数：ある事柄（事象）について，その事柄（事象）が起こる場合の数

ある事象Aの起こる確率：すべての場合の数に対する事象Aが起こる場合の数の割合

5

事象Aの場合の数 : a事象Bの場合の数 : b

・・・

すべての場合の数: N

事象Aの起こる確率 Naa Pr

先験的確率と確率変数

6

例．サイコロを投げたときの，サイコロの⽬とその⽬が出る確率【先験的確率】サイコロの出⽬は６通りである．123456のうちどの⽬が出るのも「同様に確からしい」（同じような確率である）。例えば，6が出るという「事象」が起こることは，６通りのうちの１通りが実現することだから，「6が出る確率は 1/6 」である。

実現値確率変数

6,5,4,3,2,1X

式の意味：確率変数 Xの実現値が 6 という値である確率は 1/6 である。

616Pr:

6

である確率

確率関数

X

X

確率変数：「事象」を「変数」に置き換えて考える。確率的にいろいろな値をとる変数。「いろいろな値」のことを確率変数

の「実現値」とよぶ。

確率関数：•実現値とそれが起こる確率の対応関係を表現した式。ある「事象」が起こる確率を⽰している。• Xがある値に等しいとき，それに対応する確率を返す関数。

probability

7

確率分布 (1)確率変数の実現値とその確率の対応関係を表した表，グラフ，式を確率分布とよぶ．

表でまとめた確率分布

03.3Pr

01Pr07Pr

XXX

{1,2,3,4,5,6} 以外の確率

0 1 2 3 4 5 6 7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

X: 実現値

確率

（縦棒に幅は持たせない）

グラフでまとめた確率分布

事象

式でまとめた確率分布すべての実現値について，確率関数を⽤いて分布を記述できる。

確率分布の性質・すべての実現値が起こる確率の総和は 1 になる。・任意の実現値が起こる確率は 0 以上である。

8

確率分布 (2)

・確率表が出るのも，裏が出るのも同様に確からしい 1,0X・実現値：

1,2X・実現値：

例1．コインを投げて得点を競うゲームを考える。表が出たら 1 点，裏が出たら 0 点であるものとしよう。このときの得点の確率分布を記述しなさい。

表でまとめた確率分布 式でまとめた確率分布

例2．コインを投げて得点を競うゲームを考える。表が出たら 1 点，裏が出たら −2 点であるものとしよう。ただし，コインは不正確で，表が出る確率が 0.6 である。このときの得点の確率分布を記述しなさい。

・確率表が出る確率が 0.6 ならば，裏が出る確率は 0.4

表でまとめた確率分布 式でまとめた確率分布

確率分布 (3)

9

・確率6が出る確率は 1/6，それ以外の⽬が出る確率は 5/6

1,0X・実現値：

例3．サイコロを投げて得点を競うゲームを考える。6が出たら 1 点，それ以外は 0 点であるものとしよう。このときの得点の確率分布を記述しなさい。

表でまとめた確率分布 式でまとめた確率分布

例4．表が⾒えないようにした52枚のトランプカードの中から 1 枚だけカードを抜き出して得点を競うゲームを考える。抜き出したカードがスペード♠の場合 5 点，それ以外の絵柄の場合は 1 点とする。このときの得点の確率分布を記述しなさい。

・確率♠が出る確率は 1/4，それ以外の絵柄（♡，♣，♢）が出る確率は 3/4

5,1X・実現値：

表でまとめた確率分布 式でまとめた確率分布

10

練習問題 (1)

X

実現値 確率

X

確率

[1]「得点」Xの実現値を⽰せ

[2] 確率分布を確率関数で⽰せ

[3]「得点」X の確率分布を表とグラフで⽰せ

問．正確なサイコロを投げて，偶数の⽬が出たら 1 点，奇数の⽬が出たら 2 点とする．このときの「得点」 X の確率分布について以下の問いに答えなさい。

ベルヌーイ試行（Bernoulli trials） ある事象が確率 pで起こり，確率 1−pで起こらないという状況でその事象が起こるか，起こらないかだけを（繰り返し）調べることをベルヌーイ試⾏とよぶ。

例． コインを投げて，「表」が出るか，出ないか p = 0.5

サイコロを投げて，6が出るか，出ないか p = 1/6

ある⼈が選挙で候補者A に投票するか，しないか ある⼈が現内閣を⽀持するか，しないか ある⼈が⼤河ドラマの「真⽥丸」を⾒たか，⾒なかったか ある⼯場で⽣産された製品の⼀つが不良品か，否か ⾞を運転中にすれ違う対向⾞が軽⾃動⾞か，それ以外の⾃動⾞か，など

11

二項分布 Binomial distribution (1) ⼆項分布とは：ある事象の「起こる」確率が pのときのベルヌーイ試⾏を n 回繰り返すとき，ある事象が起こる「回数」とその「確率」の対応関係を⽰した確率分布を⼆項分布とよぶ。 B(n, p) と書く。 ⼆項分布の表現B (1, 0.5) n = 1［コインを投げる回数］, p = 0.5［表が出る回数］

コインを 1 回だけ投げて，「表」が出る回数とその確率の分布。

B (3, 0.5) n = 3［コインを投げる回数］, p = 0.5［表が出る回数］

コインを 3 回だけ投げて，「表」が出る回数とその確率の分布。

12

表が出る回数X

場合の数（度数） 確率 Pr (X = x)

0 1 1/21 1 1/2合計 2 1

5.05.01Pr

5.05.00Pr

:1,0

:

て，表が出る確率はコインを１回だけ投げ

て，表が出ない確率はコインを１回だけ投げ

確率分布

表が出る回数）（

実現値

X

X

XB (1, 0.5) のケース

練習問題 (2)

13

【例題】正確なサイコロを 1回投げるとき，6の⽬が出る回数の確率分布を記号B (n, p) の形式で記述し，式で確率分布を⽰せ。

【答え】

【1】正確なサイコロを 1回投げるとき，偶数の⽬が出る回数の確率分布を記号B(n, p) の形式で記述し，式で確率分布を⽰せ。

【2】表が⾒えないようにした52枚のトランプカードの中から 1 枚だけカードを抜き出すとき，スペード♠が出る回数の確率分布を記号 B(n, p) の形式で記述し，式で確率分布を⽰せ。

例題1．10円玉を２回投げて，「表」が出る回数の確率分布

14

表表 (1)

裏 (2)

裏表 (3)

裏 (4)

表が出る回数(1) 2(2) 1(3) 1(4) 0

例．B (2, 0.5), n = 2, p = 1/2

表が出る回数 X 度数 確率 Pr (X = x)0 (4) 1 1/41 (2)(3) 2 2/42 (1) 1 1/4合計 4 1

412Pr

211Pr

410Pr:

2,1,0:

X

X

X

X

確率分布

実現値1 回⽬ 2 回⽬

練習問題 (3)

15

10円⽟を 3 回投げて，「表」が出る回数の確率分布を記号 B(n, p) の形式で記述し，式で⽰せ。ヒント：「表」が3回出るケース，2回出るケース，１回出るケース，1回も出ない（0回出る）ケースがそれぞれ何通りあるか？

事象の独立性

それぞれの事象が起こる確率は「互いに独⽴」に決まっている１回⽬が「表」だったからといって，２回⽬も「表」が出やすくなる・・・，なんてことはない

1回⽬が「裏」だったからといって，2回⽬こそ「表」が出やすくなる・・・，なんてこともない

16

【法則】同時確率の計算⼆つの事象が互いに独⽴であるとき，⼆つの確率が同時に起こる確率の計算⽅法確率を掛け合わせる

表である「確率」「表」である確率率回目が「表」である確回目と 21

（表が出る回数が X = 2である確率）

41

21

21

二項分布の確率

17

表

表 (1)

裏 (2)

裏

表 (3)

裏 (4)

21確率：

21確率：

21確率：

21確率：

21確率：

21確率：

21

21 2X

1X

1X

0X

21

21

21

21

21

21

1通り

2通り

1通り

41

21

2112Pr X

21

21

2121Pr X

41

21

2110Pr X

1 回⽬ 2 回⽬

2通りあるので2倍する

1通りしかない

1回⽬と2回⽬が同時に起こる確率を計算

例題2．10円玉を4回投げて「表」が出る回数の確率分布

18

表

表

表表 (1)

裏 (2)

裏表 (3)

裏 (4)

裏

表表 (5)

裏 (6)

裏表 (7)

裏 (8)

裏

表

表表 (9)

裏 (10)

裏表 (11)

裏 (12)

裏

表表 (13)

裏 (14)

裏表 (15)

裏 (16)

1回目 2回目 3回目 4回目

「表」「裏」の組み合わせは全部で16通り．

(4)の場合：表表裏裏(11)の場合：裏表裏表

表が出る回数(1) 4(2) 3(3) 3(4) 2(5) 3(6) 2(7) 2(8) 1(9) 3

(10) 2(11) 2(12) 1(13) 2(14) 1(15) 1(16) 0

例．B (4, 0.5)

例題2（続き）

19

10円⽟を4回投げて表が出る回数 X 確率 Pr (X = x)

0 (16) 1通り 1/161 (8)(12)(14)(15) 4通り 4/162 (4)(6)(7)(10)(11)(13) 6通り 6/163 (2)(3)(5)(9) 4通り 4/164 (1) 1通り 1/16合計 16通り 1

161

21

21

21

2114Pr

164

21

21

21

2143Pr

166

21

21

21

2162Pr

164

21

21

21

2141Pr

161

21

21

21

2110Pr

X

X

X

X

X

n = 4, p = 0.5の⼆項分布 B (4, 0.5)

4,3,2,1,0: X実現値

11616

161

164

166

164

161Pr

4

0

xxX

二項分布 B (n, 0.5) , n = 4, 8, 16, 32

20

X

prob

abili

ty

0 1 2 3 4 5

0.05

0.15

0.25

0.35

X

prob

abili

ty

0 2 4 6 8

0.00

0.10

0.20

X

prob

abili

ty

0 5 10 15

0.00

0.10

0.20

X

prob

abili

ty

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.04

0.08

0.12

5.0,4B 5.0,8B

5.0,16B 5.0,32B

例題3. サイコロを３回投げるときの6が出る回数の確率分布

21

6

66 (1)

12

345(2)

12

345

6 (3)

12

345(4)

12

345

66 (5)

12

345(6)

12

345

6 (7)

12

345(8)

n = 3, p = 1/6の⼆項分布 B (3, 1/6)

確率 1/6

確率 5/6

1/6

5/6

1/6

5/6

表が出る回数(1) 3(2) 2(3) 2(4) 1(5) 2(6) 1(7) 1(8) 0

1回目

2回目3回目

1, 2, 3 回⽬の確率は必ずしも同じではない。

例題3（続き）

22

6が出る回数 X 場合の数（度数） 確率 Pr (X = x)

0 (8) 1通り 125/2161 (4)(6)(7) 3通り 75/2162 (2)(3)(5) 3通り 15/2163 (1) 1通り 1/216合計 8 1

3,2,1,0: X実現値

%5.02161

61

61

6113Pr

%9.621615

65

61

6132Pr

%7.3421675

65

65

6131Pr

%9.57216125

65

65

6510Pr

X

X

X

X

表が出る回数(1) 3(2) 2(3) 2(4) 1(5) 2(6) 1(7) 1(8) 0

1216216

2161

21615

21675

216125Pr

3

0

x

xX

65

65

613 通り

組み合わせの数（Combination）(1) 4枚のコイン（100円⽟，50円⽟，10円⽟，5円⽟がそれぞれ1枚ずつ）がある．この中から 3 枚を選び出す⽅法は，何通りか？（順番は気にしない）

23

1通り⽬ 100円 50円 10円2 通り⽬ 100円 10円 5円3 通り⽬ 100円 50円 5円4 通り⽬ 50円 10円 5円

12112211221

!!!

xnxnxxx

nnnxnx

nC xn

二項係数を使う枚を選ぶ方法枚の中からxn

通り例 41123

1234!34!3

!4. 34

C

組み合わせの数 (2)【例題】Kゼミの⼈数は 10 ⼈である．ディベートのために5⼈のチームを⼆つ作りたい。10⼈の中から5⼈を選ぶ⽅法は，何通りか？

24

通り252120

3024012345678910

123451234512345678910

!510!5!10

510

C

5,10 xn

二項確率（例題3のケース）

25

・3回投げるとき6が X = 0回出る 3C0 = 1（通り）・3回投げるとき6が X = 1回出る 3C1 = 3（通り）・3回投げるとき6が X = 2回出る 3C2 = 3（通り）・3回投げるとき6が X = 3回出る 3C3 = 1（通り）

3個のサイコロの中から，6が出るサイコロを x個選び出す⽅法1: 0 Cn約束

2161

65

61

61

61

6113Pr

21615

65

61

65

61

6132Pr

21675

65

61

65

65

6131Pr

216125

65

61

65

65

6510Pr

03

33

12

23

21

13

30

03

CX

CX

CX

CX

61,3B

1: nn C約束

二項分布 B (n, 1/6) , n = 3, 6, 12, 24

26

X

prob

abili

ty

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

X

prob

abili

ty

0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

X

prob

abili

ty

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.10

0.20

0.30

X

prob

abili

ty

0 5 10 15 20 25

0.00

0.10

0.20

61,3B

61,6B

61,12B

61,24B

二項分布のまとめ

27

xnxxn ppCxX 1Pr

と表現する。ことをが二項分布にしたがう確率変数 pnBXX ,~

10:,,2,1,0:

:

ppnxx

n

確率ある事象が「起こる」

回数ある事象が「起こる」

ベルヌーイ試行の回数

回「起こる」確率ある事象が x

確率の計算⽅法

11Pr,00

n

x

xnxxn

n

xppCxX確率分布なので必ず

（⼆項定理） 1110

nn

x

xnxxn ppppC

すべての実現値が起こる確率の総和は 1 になる。

*二項定理

28

40312213044322344

3021120332233

201102222

464464

3333

22

qpqpqpqpqpqpqqpqppqp

qpqpqpqpqpqqppqp

qpqpqpqpqpqp

n

x

xxnxnn

nn

nn

nn

xxnxnn

nnn

nnn

nnn

n

qpC

qpCqpCqpCqpC

qpCqpCqpCqp

0

00

111

222

222

111

0

40

104

31

414

22

624

13

434

04

144

4031221304 14641

qpCqpCqpCqpCqpC

qpqpqpqpqp

pと qの⼆項の係数は「組み合わせ」の数で決まる

1111110

n

x

xxnxnn

nnn ppCppqppq なのでのとき

例題4

29

の確率分布を式で示せ5.0,2B

2,1,02 Xn ということだから

25.05.05.015.02Pr:2

5.05.05.0!1!1

!25.015.01Pr:1

25.05.05.015.00Pr:0

222222

12112

202002

CXX

CXX

CXX

の確率

の確率

の確率

xnxxn ppCxX 1Pr を利⽤して X = 0, 1 , 2 の場合の確率を計算

例題 5

30

サイコロを４回投げるとき，1が3回出る確率を求めなさい。

を計算する。確率

についてにしたがう確率変数の二項分布

3Pr61,4

61,4

X

XBpn

0154.0324

51296

2065

21614

611

613Pr

343

34 CX

xnxxn ppCxX 1Pr

練習問題 (4)

31

1. サイコロを3回投げるとき，1または6が 2 回出る確率を求めなさい．

応用：ポアソン分布(Poisson distribution)

32

と仮定している成功回数が一定である

布が大きいときの二項分が小さく，試行回数成功確率

:

npnp

,2,1,0,!

Pr:

xxexX

x確率分布 2.718282 11lim

m

m me

e 数の底）はネイピア数（自然対

例. ある国の外交官は在任中に5000回ほど⾶⾏機に乗る。⾶⾏機の⼀般的な墜落事故の確率は10万分の1であるといわれている。i. この外交官が在任中に1度も墜落事故に遭わずに済む確率を計算しなさい。ii. この外交官が在任中に1度だけ墜落事故に遭う確率を計算しなさい。

05.0000,100

15000 np

0476.0!1

05.01Pr.ii

9512.0!0

05.00Pr.i

05.01

05.00

eX

eX

0 2 4 6 8 10

0.0

0.4

0.8

x

確率

⼆項分布 B(5000,0.0001)で計算する場合

0476.099999.000001.01Pr.ii

9512.099999.000001.00Pr.i49991

15000

5000005000

CX

CX