CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano...
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CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 1
QUESTE BREVI NOTE RAPPRESENTANO SOLTANTO LO SCHEMADELLE LEZIONI DEL CORSO DI MACROECONOMIA
NON SOSTITUISCONO IL LIBRO DI TESTO!!!
1 Introduzione
1.1 Il circuito economico
• due mercati: mercato del lavoro e dei beni eservizi
• due settori: famiglie e imprese
• Flusso reale e monetario si equivalgono in ter-mini di valore (Figura 1.1)
• Osservazione: beni finali e beni intermedi, benidi consumo e beni di investimento, beni di con-sumo immediato e beni di consumo durevoleintroducono delle complicazioni nell’analisi
• Aggiungiamo il settore delle istituzioni finanziariee il mercato delle attivita finanziarie (Figura1.2)
• la macroeconomia studia il comportamento deitre settori citati (+ PA e RM) e il funziona-
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mento dei tre mercati (+ mercato della valutaestera)
• PA utilizza il ricavato delle imposte per acquistarebeni e servizi e per produrre servizi pubblici
• RM scambia con il sistema sotto forma di es-portazioni e importazioni =⇒ offerta e do-manda di valuta estera
1.2 Relazioni contabili
• Il valore della produzione finale = reddito =spesa totale in beni di consumo e di investi-mento
• consideriamo un sistema economico chiuso e senzaPA
• Y rappresenta il valore della produzione e il red-dito
• C la domanda di beni di consumo
• I domanda di beni di investimento
• La produzione totale e uguale alla spesa totale(domanda aggregata)
Y = C + I
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• il risparmio e definito come
S = Y − C
• pertantoS = I
e un’identita sempre verificata ex-post attraversola variazione delle scorte
• la contabilita economica nazionale e uninsieme di conti che sintetizza l’andamento delleprincipali variabili macroeconomiche con riferi-mento ad un dato periodo di tempo
• le 3 relazioni contabili, con riferimento ad unsistema chiuso, stanno alla base dei conti dellaproduzione, del reddito e della formazione delcapitale
• In un sistema aperto, occorre introdurre le im-portazioniQ e le esportazioniX di beni e servizi,i redditi netti dall’estero RNE e i trasferimenticorrenti dall’estero TNEcor
• pertanto le relazioni diventano (rispettivamente)
Y +Q = C + I +X conto delle risorse e degliimpieghi
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C+S = Y +RNE+TNEcor conto del redditoe del consumo
S = I + BPC conto della formazione del cap-itale
• infine si ottiene il conto delle transazioni inter-nazionali
X + RNE + TNEcor = Q + BPC
• Il sistema europeo dei conti (SEC95) comprendei conti delle operazioni correnti (formazione,distribuzione, ridistribuzione e utilizzazione delreddito), i conti dell’accumulazione (si riferisconoalle variazioni delle attivita’ e passivita’ delle di-verse unita’ operative) e i conti patrimoniali.Il conto delle transazioni internazionali raccordail sistema economico nazionale con il resto delmondo. Il conto delle risorse e degli impieghiraccorda la produzione, il consumo, l’accumulazionedi capitale con le operazioni con il RM.
• Il SEC95 suddivide il sistema economico in set-tori istituzionali: societa’ e quasi-societa’ finanziariee non, famiglie e imprese dei piccoli impren-ditori individuali e associati, amministrazioni
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pubbliche, istituzioni sociali private al serviziodelle famiglie, resto del mondo.
• Prodotto interno lordo (PIL): valore dellaproduzione di beni e servizi finali realizzata all’internodel paese nel corso del periodo dell’anno
PIL = C + I + (X −Q)
• Si calcola moltiplicando i beni e servizi finaliper i rispettivi prezzi di mercato (metodo delprodotto)
• Osservazione: non si considera quella parte dellaproduzione utilizzata negli stadi intermedi delprocesso (metodo del valore aggiunto)
• =⇒ lo stesso valore si ottiene valutando laspesa economica degli utilizzatori finali del prodotto(metodo della spesa) o sommando tutti i red-diti percepiti dai soggetti che partecipano alprocesso produttivo (metodo del reddito)
• Esempio:
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Impresa ARicavi 100Salari 80Profitti 20
Impresa BRicavi 210Costi 170Salari 70Beni Intermedi 100Profitti 40
PIL = Valore dei beni finali = 210
(intuizione: e come se le due imprese si fondessero)
V AA = 100 e V AB = 210− 100 = 110
PIL =∑
V A = 210
• La valutazione della produzione puo’ essere ef-fettuata ai prezzi di mercato (pm), prezzi base(pb), costo dei fattori (cf).
• I prezzi base includono i contributi ai prodottiCONTprod ed escludono le imposte indiretteTind,prod. Includendo gli altri contributiCONTal
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ed escludendo le altre imposte indirette Tind,alsi ottiene la valutazione al costo dei fattori.
• Il Reddito Nazionale Lordo (RNL) es-prime il risultato dell’attivita’ produttiva cheaffluisce come reddito ai soli residenti
RNLpm = PIL + RNE + Tind,RM
RNNpm = RNLpm − A
• Per esprimerlo al costo dei fattori:
RNNcf = RNNpm − Tind + CONT
oppure, sapendo che
PIL = V Acf + Tind − CONT
RNLcf = V Acf + RNE + Tind,RM
• Ricordando le definizioni date:
V Apb = V Acf + Tind,al − CONTal
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PIL = V Apb + Tind,prod − CONTprod
• Un altro aggregato e’ rappresentato dal Red-dito Nazionale Lordo Disponibile (RNLD)
RNLDpm(= Yd) = RNLpm + TNEcor
• La quota di RNLD non consumata costituisceil risparmio nazionale lordo
Yd = C + S
Yd = Y prd + Y pa
d
Y prd = Cf + C isp + Spr
Y pad = Cpa + Spa
• Indicando con T il totale delle entrate e conTRcor i trasferimenti correnti della PA (princi-palmente costituite dalle prestazioni sociali), siha:
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Y pad = T − TRcor
pertanto il reddito nazionale lordo disponibileprivato e’
Y prd = Yd − Y pa
d = Yd + TRcor − T• Partendo dalla definizione di reddito disponibile
Yd = PIL + RNE + Tind,RM + TNEcor
e scomponendo il PIL
Yd = Cf+Cpa+C isp+I+(X−Q)+RNE+Tind,RM+TNEcor
e’ possibile ottenere la condizione di equi-librio economico generale
Spr = I+(Cpa+TRcor−T )+(X+RNE+Tind,RM+TNEcor−Q)
che mostra come il risparmio lordo privato fi-nanzi gli investimenti lordi, il deficit correntedella PA e l’accreditamento netto corrente versoil RM
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• Tenuto conto che I = Ipr + Ipa e definendo laspesa pubblica G = Cpa + Ipa, possiamoscrivere
Spr = Ipr + (G + TRcor − T ) + BPC
• Y pad = Cpa +Spa e Y pa
d = T −TRcor implicano
Spa = T − Cpa − TRcor
pertanto sintetizzando possiamo scrivere
S = I + BPC
• La BPC comprende le operazioni correnti conil RM. Un sottoconto e’ rappresentato dalla bi-lancia commerciale che include soltanto le Xe Q. Il saldo complessivo della bilancia delletransazioni internazionali costituisce l’accreditamentoo indebitamento netto verso il RM
S + TNEK = I + BPC + TNEK
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1.3 Valori nominali e reali
• La valutazione di una variabile e fatta a prezzicorrenti (prezzi costanti) se si utilizzano i prezzidell’anno di riferimento (dell’anno base)
• nel primo (secondo) caso la variabile si diceespressa in termini nominali (reali )
• ovviamente i due valori non coincidono
• indichiamo con p0 = (p10, . . . , pn0) il vettoredei prezzi degli n beni al tempo 0 (anno base),con pt il corrispondente vettore all’anno t e conyt = (y1t, . . . , ynt) la produzione al tempo t
• il PIL nominale al tempo t e dato da
PILnt = ptyt =
m∑k=1
pkt ykt
• il PIL reale al tempo t e dato da
PILrt = p0yt
• definiamo indice di valore
Y vt =
ptytp0y0
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• definiamo indice dei prezzi di Paasche
P pt =
ptytp0yt
• definiamo indice delle quantita di Laspeyres
Y lt =
p0ytp0y0
• pertanto si ha
Y vt = P p
t Ylt
• analogamente definiamo indice dei prezzi diLaspeyres
P lt =
pty0
p0y0
• e indice delle quantita di Paasche
Y pt =
ptytpty0
• ovviamente si ha
Y vt = Y p
t Plt
• P pt e definito deflatore del PIL: e un indice
dei prezzi implicito perche calcola la variazione
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dei prezzi in modo indiretto. Esso sovrastimala spesa iniziale e quindi sottostima la crescitadei prezzi
• P lt sovrastima la crescita del livello dei prezzi
(non tiene conto dei prezzi relativi e dei nuovibeni apparsi nel mercato)
• sono indici di Laspeyres gli indici dei prezziall’ingrosso, al consumo e l’indice del costo dellavita
• Il deflatore del PIL esprime una media pon-derata del tasso di variazione dei singoli prezzi:soltanto la sua variazione ha significato economico
• Reddito reale Yt = p0yt
• Reddito nominale Y nt = ptyt = P p
t Yt
• notazione: Y n = PY = py
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2 Il modello reddito - spesa
2.1 Premessa
• obiettivo: determinare il reddito nazionale
• ipotesi: sistema economico chiuso senza am-mortamenti =⇒ Y n = PIL = RN = RND(al lordo o al netto)
• Equilibrio economico generale (ex-post): Y n =PY = Dn, dove Dn = C + I
• EEG (ex-ante): Y n = PY s = PY = PY d =Dn, dove Y s e Y d si riferiscono all’offerta e do-manda programmata
• ovvero Y s = Y = Y d
• Y s 6= Y d =⇒ processo di aggiustamento sinoa EEG ex-post
• Esempio di aggiustamento in termini reali (Grafico2.1)
• Esempio di aggiustamento in termini reali e nom-inali (Grafico 2.2)
• Aggiustamento: caso keynesiano puro (Grafico2.3), le variazioni di Y d implicano processi di
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aggiustamento esclusivamente in termini reali
• Aggiustamento: caso classico puro (Grafico2.4), le variazioni di Y d implicano processi diaggiustamento esclusivamente in termini nomi-nali
2.2 Struttura formale
• EEG (prezzi fissi, mercato dei beni e servizi,risorse inutilizzate):
Y = Y d = C + I
• I = I , cioe e autonoma rispetto al reddito
• C = C + cY , dove c = ∆C∆Y e la propensione
marginale al consumo, con 0 ≤ c ≤ 1
• propensione media al consumo, PMC =CY
• risparmio S = Y −C = I , da cui S = −C+sY , dove s = 1− c
• rappresentazione alternativa di EEG e redditospesa - vedi Grafico 2.5 e 2.6
• domanda aggregata Y d = C + cY + I =A + cY
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• EEG: Y d = Y =⇒ Y = 11−cA il coefficiente
11−c viene definito moltiplicatore del red-dito
• L’effetto prodotto sul reddito da una variazionedegli investimenti (Grafico 2.7)
∆Y =1
1− c∆I
• Il processo di moltiplicazione ∆Y = ∆Y d =(1 + c + c2 + . . .)∆A (Grafico 2.8)
• Denotiamo con α il moltiplicatore del reddito.
• Generalmente c > 0 =⇒ α > 1 e 1 ≤ α ≤ ∞
2.3 Il Settore Pubblico e la Politica Fiscale
• Y d = Cpr + Ipr + G, dove G = Cpa + Ipa eautonoma per ipotesi
• Cpr = C + cY pr, dove Y pr = Y + TR− T• T = tY per ipotesi (sistema fiscale pro-
porzionale)
• pertanto Y d = A + c(1 − t)Y , dove A = C +cTR + Ipr + G (Grafico 2.10)
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• EEG: Y = Y d =⇒ Y = 11−c(1−t)A = αA
• Politica Fiscale: decisioni della PA che in-fluenzano le variabili G, TR, t
• Esempio: aumento di G (Grafico 2.11) =⇒∆Y = α∆G
• Osservazione 1: ∆Y∆C
= ∆Y∆Ipr = α
• Osservazione 2: ∆Y∆TR = cα < α
• Variazione dell’aliquota di imposizione fiscale t(Grafico 2.12)
=⇒ dY
dt=
−cA[1− c(1− t)]2
= − cY
[1− c(1− t)]< 0
• Osservazione
Y − T + TR− C −G = I =⇒ S + SB = I
2.4 Il moltiplicatore del bilancio in pareggio
• Ipotesi: PA utilizza la politica fiscale per man-tenere in pareggio il suo bilancio
T = G + TR
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• =⇒ Cpr = C + c(Y + TR− T )
• =⇒ Y d = (C + cTR + Ipr + G− cT ) + cY
• EEG: Y = Y d =⇒ Y = α(C + cTR + Ipr +G− cT )
• ∆T = ∆G =⇒ ∆Y = α(−c∆T + ∆G) =1−c1−c∆G
• pertanto ∆Y∆G = 1 (Teorema di Haavelmo), cioe
un aumento di G finanziato con T non e neu-trale rispetto al reddito
• Osservazione: cio che conta e che resti invariatoil deficit di bilancio
• Osservazione: ∆T = ∆TR =⇒ ∆Y =α(c∆TR− c∆T ) = 0
2.5 Il bilancio della PA e la politica fiscale
• saldo di bilancio della PA (Grafico 2.13)
SB = tY − (G + TR)
• ipotesi: ∆G > 0 =⇒ ∆SB = tα∆G−∆G
• =⇒ ∆SB∆G = −(1−c)(1−t)
1−c(1−t) < 0
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• ipotesi: ∆t > 0 =⇒
dSB
dt= Y +t
dY
dt= Y− ctY
1− c(1− t)=
(1− c)Y1− c(1− t)
> 0
2.6 Piena occupazione e prodotto potenziale
• Y dipende da Y d: se Y s 6= Y d l’equilibrio siconsegue in termini reali, attraverso variazionidel reddito
• prezzi e salari sono fissi per ipotesi (risorse pro-duttive inutilizzate)
• funzione di produzione aggregata Y =aN
• reddito potenziale il livello massimo dellaproduzione compatibile con il pieno utilizzo dellerisorse disponibili
• disoccupazione involontaria: insieme deilavoratori disposti a lavorare al saggio del salariocorrente ma che non trovano occupazione percheY d e troppo bassa (Grafico 2.16)
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• il saldo di bilancio di piena occupazione (Grafico2.17)
SBp = tYp −G− TR
• la politica fiscale e attivamente espansivase SBp e negativo
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3 Il modello IS-LM
3.1 Gli investimenti
• Il tasso di interesse e la domanda aggregata
• tasso di interesse nominale e reale coincidono (iprezzi sono fissi)
• il tasso di interesse rappresenta il costo del cap-itale monetario utilizzato per acquistare beni diinvestimento
• efficienza marginale del capitale o tasso direndimento interno rappresenta il rendimentounitario atteso di un investimento
• Si calcola nel modo seguente
Ik =
n∑i=1
Rik − Cik(1 + jk)i
• pertanto rappresenta il tasso di sconto che uguagliail valore attuale dei rendimenti futuri netti at-tesi al suo costo iniziale
• Ipotesi: legge dei rendimenti decrescenti=⇒ jk diminuisce all’aumentare di Ik
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• la relazione jk(Ik) prende il nome di schedadell’efficienza marginale del capitale (Grafico3.1 (a))
• per aggregazione possiamo costruire la schedaj(Ipr) (Grafico 3.1 (b))
• Problema di scelta ottima (Grafico 3.2):
jk = i
• Se il tasso i diminuisce =⇒ la domanda dibeni di investimento aumenta e viceversa
• Supponiamo che la relazione tra investimenti etasso di interesse sia rappresentata dalla fun-zione (Grafico 3.3)
Ipr = I − bi• I rappresenta un indice del clima di fiducia degli
operatori
3.2 La curva IS
• La funzione di domanda aggregata
Y d = (C + cTR + I + G)− bi + c(1− t)Y
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la riscriviamo
Y d = (A− bi) + c(1− t)Y
• l’equilibrio nel mercato dei beni e servizi:
Y = (A− bi) + c(1− t)Y
• il livello di reddito di equilibrio:
Y =1
1− c(1− t)(A− bi)
• puo essere riscritto come (curva IS)
Y = α(A− bi)
• Osservazione: in questo modello Y dipendeanche da i e da b
• La curva IS puo essere espressa anche come
i =A
b− Y
αb
• Il Grafico 3.4 illustra il procedimento per deter-minare la curva IS per 0 ≤ i ≤ A
b
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• Osservazione: la relazione
Y = αA
rappresenta il caso limite per i = 0
• (Y, i) ∈ IS =⇒ Y s = Y d
• (Y, i) /∈ IS =⇒ Y s 6= Y d =⇒ eccessodi offerta (EOB) o di domanda (EDB) (Grafico3.5)
• Le intercette della IS: αA e Ab
• La pendenza: − 1αb
• α, b alti =⇒ IS piatta =⇒ Y d, Y sensibilirispetto a i
• Esempio: un aumento di b (Grafico 3.6 (a))
• Esempio: un aumento di c (Grafico 3.6 (b))
• Esempio: una diminuzione di t (Grafico 3.6 (b))
• Esempio: un aumento di G (Grafico 3.7)
• Osservazione:
∆Y
∆C=
∆Y
∆I=
∆Y
∆G= α
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• Nel breve periodo I , C costanti
• Una politica fiscale espansiva (↑ G, t ↓) spostala curva IS verso destra e la rende piu piatta
• Un peggioramento del clima di fiducia (animalspirits) =⇒ caduta dell’efficienza marginaledel capitale =⇒ I diminuisce =⇒ sposta-mento della IS verso sinistra
• Quest’ultimo caso puo determinare un equilib-rio di sottoccupazione
3.3 Attivita patrimoniali
• Si dividono in attivita reali (terreni, edifici, benicapitali, auto di seconda mano, etc...) e fi-nanziarie (moneta, obbligazioni, azioni)
• Definizione funzionale di moneta
– unita di conto
– intermediario degli scambi
– riserva di valore
• Le obbligazioni sono promesse di pagamento adeterminate scadenze e incorporano un tasso di
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rendimento riferito al loro V.N. Il tasso di rendi-mento tiene conto del rischio.
• Azioni sono quote di proprieta delle imprese edanno diritto a un dividendo. Il rischio dipendedall’aleatorieta del profitto e del valore capitale.
• La borsa valori, nella quale vengono negoziate leazioni, consente la trasformazione delle attivitareali illiquide in attivita relativamente piu liq-uide
• Mercato azionario efficiente: i prezzi delle azionirispecchiano i valori fondamentali (sconto deidividendi attesi)
• Mercato trasparente: tutte le informazioni ril-evanti per la formazione dei fondamentali sonodi pubblico dominio
• Ipotesi semplificatrice: il tasso di interesse rap-presenta il comune rendimento di obbligazionie azioni (titoli)
• Il prezzo (valore attuale) di un titolo aumentaquando il tasso di interesse scende
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i =100− p
p=⇒ p =
100
1 + i
• Pertanto se i ↑ =⇒ Bd ↑ (domanda di titoli)
• Supponiamo che Bs (offerta di titoli) sia eso-gena
• L’equilibrio Bs = Bd (Grafico 3.8)
• Decisione di portafoglio = scegliere in che pro-porzioni detenere la propria ricchezza finanziaria
• In termini reali e a livello aggregato si ha:
W
P=M
P+B
P
• Possiamo rappresentare il rapporto desideratoR(i) tra titoli e ricchezza finanziaria (Grafico3.9)
• Osservazione: esiste un livello imin tale cheBd =0 (trappola della liquidita)
• Se indichiamo con L la domanda di moneta, siha
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L + Bd =W
P
=⇒ (L−M
P) + (Bd − B
P) = 0
• Osservazioni: a) Se uno dei due mercati e inequilibrio lo e anche anche il secondo; b) Se inun mercato vi e un eccesso di domanda nell’altrovi sara un eccesso di offerta (e viceversa) c) Es-iste un unico livello di i che tiene in equilibrioentrambi i mercati
3.4 Curva LM
• Siamo interessati alla domanda di moneta intermini reali, L
• Si domanda moneta per due motivi:
quello transazionale (Y ↑ =⇒ L ↑) e quellospeculativo (i ↑ =⇒ L ↓) (costo opportu-nita)
• Le aspettative giocano un ruolo fondamentale:ia ↑ =⇒ L ↑
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• Possiamo quindi scrivere (Grafico 3.10)
L = KY − hi, k > 0, h ≥ 0
• L’equilibrio:M
P= kY − hi
ovvero (curva LM)
i =k
hY − 1
h
M
Pche puo determinarsi graficamente (Grafico 3.11)
• (Y, i) /∈ LM =⇒ EOM oppure EDM (Grafico3.12)
• L’inclinazione e kh
• Caso h = 0 (caso classico) si ha
M
P= kY
ovvero (equazione quantitativa degli scambi)
MV = PY, V =1
kovvero (teoria quantitativa della moneta)
P =MV
Y
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• Caso keynesiano: h molto elevato (LM quasipiatta)
• Variazione di k (Grafico 3.14 (a))
• Variazione di h (Grafico 3.14 (b))
3.5 Politica monetaria
• Rapresenta l’insieme delle decisioni delle autoritamonetarie che hanno l’effetto di modificare itassi di interesse e l’offerta di moneta nel brevetermine
• Gli effetti di lungo periodo sono controversi: perla teoria keynesiana ha effetti reali, per la teoriaclassica e inefficace
• la politica monetaria e espansiva se la BC (bancacentrale) aumenta la quantita di moneta e riducei tassi di interesse a breve (nel caso opposto sidice restrittiva)
• Se BC non e indipendente dalla PA: la polit-ica fiscale determina quantitativamente il deficitmentre la politica monetaria determina la modalitadi copertura del deficit (emissione di nuova mon-eta o di nuovi titoli pubblici)
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• emissione di nuova moneta =⇒ effetti nel mer-cato dei titoli
• emissione di nuovi titoli =⇒ effetti nel mer-cato della moneta
• intuizione: varia la ricchezza complessiva =⇒aggiustamenti di portafoglio =⇒ variazioni dii
• Ipotesi semplificatrice: soltanto titoli pubblici ericchezza complessiva data.
• operazione espansiva di mercato aperto: BC ac-quista titoli emettendo moneta (Bd ↑ =⇒ p ↑=⇒ i ↓)
• caso opposto: operazione restrittiva di mercatoaperto
• Acquisto di titoli sul mercato aperto M s ↑ =⇒B ↓ =⇒ i ↓ (Grafico 3.15)
3.6 Equilibrio del mercato dei beni e delle attivita
• Equilibrio: intersezione tra IS e LM (Grafico3.16)
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• Le 2 curve dividono lo spazio in quattro regionidi squilibrio =⇒ processo di aggiustamentodel reddito e del tasso di interesse (piu veloce)
• Algebra:
A
b− Y
αb=k
hY − 1
h
M
P
=⇒ k
hY +
Y
αb=A
b+
1
h
M
P
=⇒ Y (bkα + h
bhα) =
A
b+
1
h
M
P
=⇒ Y ∗ = βA + γM
Pdove
β =hα
h + bkα, γ =
bα
h + bkα
• β e definito moltiplicatore fiscale e γ moltipli-catore monetario
• il tasso di interesse di equilibrio:
i∗ =A
b− Y ∗
αb=A
b−βA + γMP
αb=
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A(1
b− β
αb)−
γMPαb
= A(α− βαb
)−γMPαb
=
A
αb(α− hα
h + bkα)− 1
αb
αb
h + bkα
M
P=
i∗ =kα
h + bkαA− 1
h + bkα
M
P
• Caso classico (h = 0) =⇒ Y ∗ = 1kMP , il liv-
ello del reddito dipende esclusivamente da M(teoria quantitativa) - Grafico 3.18 (a)
• Caso keynesiano (h elevato): la politica fiscalee molto rilevante
• Al limite h → ∞ =⇒ Y ∗ = Aα (modelloreddito spesa) - Grafico 3.19 (a)
• b = 0 =⇒ β = α, γ = 0; la IS e verticale(Grafico 3.19 (b))
• b→∞ =⇒ β = 0, γ = 1k (Grafico 3.18 (b))
• dividendo numeratore e denominatore di β e γper h e b, rispettivamente:
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β =hα
h + bkα=
α
1 + kαh/b
γ =bα
h + bkα=
α
h/b + kα
• h/b → 0 =⇒ β = 0, γ = 1k =⇒ Y ∗ = 1
kMP
(Grafico 3.18)
• h/b→∞ =⇒ β = α, γ = 0 =⇒ Y ∗ = αA(Grafico 3.19)
• Osservazione:
1
k
M
P≤ Y ∗ ≤ αA
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4 Politiche di controllo di Y d
4.1 Variazione di C
• C ↑ =⇒ ∆Y = β∆C =⇒ i ↑ (Grafico 4.1)
• generalmente: β = α
1+ kαh/b
< α
• il tasso di interesse aumenta per mantenere inequilibrio il mercato della moneta: h ↑ =⇒∆i ↓
• h→∞ =⇒ β = α (caso Keynesiano)
• h → 0 =⇒ Y = 1kMP (caso classico) =⇒
spiazzamento (Grafico 4.2)
• I spiazzano il consumo C
4.2 Equilibrio di disoccupazione
• consideriamo il mercato del lavoro
• Ipotesi funzione di produzione: Y = aN (Grafico4.3)
• Np = Yp/a e il livello di piena occupazione
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• Osservazione: la domanda effettiva di lavoro,N = Y/a, e indipendente dal saggio del salarioreale
• Equilibrio: Np =Ypa = N s
• paradosso del risparmio: S ↑ =⇒ C ↓ =⇒Y < Yp
• ondata di pessimismo: I ↓ =⇒ Y < Yp
• Osservazione: non esistono forze intrinsiche taliche Y → Yp
4.3 Politica monetaria
• Operazione di mercato aperto: ∆Y = γ∆(M/P ) =⇒Y → Yp (Grafico 4.4)
• meccanismo di trasmissione: gli effetti a catenarelativi a ∆M
P e/o ∆i che conducono ad unnuovo livello del reddito di equilibrio
• Esempio: ∆MP =⇒ i ↓ =⇒ Bd ↓, L ↑ =⇒
I ↑ =⇒ Y ↑ =⇒ L ↑ =⇒ i ↑• Ricordiamo
γ =bα
h + bkα=
1hbα + k
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 37
• Alti valori di b, α =⇒ alti valori di γ
• Alti valori di k, h =⇒ bassi valori di γ (unaumento di M richiede variazioni moderate diY, i per garantire l’equlibrio)
• Osservazione L instabile puo vanificare gli ef-fetti di ∆M
P
- h, k ↑ =⇒ LM↖- h, k ↓ =⇒ LM↘
4.4 Trappola della liquidita
• Cosa capita se i non diminuisce (ad es. i ≈ 0)?
• trappola della liquidita: situazione in cui lapreferenza per la liquidita e assoluta a causa diun livello di i molto basso
• =⇒ LM diventa piatta =⇒ politica mone-taria inefficace
• la politica fiscale raggiunge il massimo dell’efficacia(caso keynesiano):
h → ∞ =⇒ β = α =⇒ Y = αA (modelloreddito spesa)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 38
4.5 Politica fiscale e spiazzamento
• Consideriamo la politica fiscale pura (assenzadi politica monetaria)
4.5.1 Aumento di G
(Grafico 4.6)
G ↑ =⇒ ∆Y = β∆A = β∆G
• Osservazione β∆G 6= α∆G
• IS-LM: Y ↑ =⇒ L(Y ) ↑ =⇒ i ↑ =⇒ I ↓(spiazzamento parziale)
• caso classico (h = 0): spiazzamento totale (Grafico4.7) - la politica fiscale e inefficace mentre lamonetaria raggiunge il massimo dell’efficacia
∆Y =1
k
∆M
P
• trappola liquidita (caso keynesiano): spiazza-mento nullo - p.monetaria inefficace - p.fiscalemassima efficacia
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∆Y = α∆G
4.5.2 Aumento di G finanziato con T
• La IS diventa:
Y =1
1− c[(A−cT )−bi], A = C+I+cTR+G
• IS = LM =⇒
Y =hα
h + bkα(A− cT ) +
bα
h + bkα
M
P
∆Y =hα
h + bkα(∆G− c∆T ) =
1
1 + bkαh
∆G
• Osservazione h→∞ =⇒ teorema di Haavelmo
• Rappresentazione grafica (Grafico 4.8)
4.5.3 Aumento di G finanziato con moneta o titoli
• Grafico 4.9: emissione di nuova moneta
• G ↑ =⇒ IS ↗, M ↑ =⇒ LM ↘
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• Grafico 4.10: emissione di titoli pubblici
• G ↑ =⇒ IS =⇒ Y ↑, i ↑ (spiazzamento)
• La differenza: effetti su i
• Sintesi effetti politica fiscale espansiva:
generalmente produce un effetto positivo su Y
e sempre efficace quando e finanziata con mon-eta
e inefficace nel caso classico
e sempre efficace nel caso keynesiano
4.6 Politiche di piena occupazione
• Obiettivo: la piena occupazione
• Grafico 4.11: politiche espansionistiche
• Diversi effetti a livello micro
• M ↑ =⇒ i ↓ =⇒ vantaggio per le imprese
• T ↓ =⇒ C ↑ =⇒ vantaggio per i contribuenti
• TR ↑ =⇒ C ↑ =⇒ vantaggio per i pension-ati/percettori di interessi sul debito pubblico
• Decidono le forze politiche
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 41
5 IS-LM e il mercato dei titoli
5.1 Moneta e titoli
• limite del modello IS-LM semplice:
- i fattori che determinano spostamenti della ISsono separati da quelli relativi alla LM
- la LM dipende soltanto dall’offerta di moneta
• nella realta l’offerta di titoli e legata alla do-manda di moneta
• la politica fiscale non sempre puo essere sep-arata dalla politica monetaria (salvo politichepure): Es. ∆G finanziata con emissione di titoli
• Ipotesi: ∆G finanziata con M =⇒ un au-mento della ricchezza W =⇒ la curva R(W, i)slitta verso destra (Grafico 5.1)
• caso 1: ∆M assorbito da ∆L(Y ) =⇒ i in-variato
• caso 2: ∆M non completamente assorbito da∆L(Y ) =⇒ i ↓:la maggiore liquidita spinge i soggetti a detenerela stessa quantita di titoli con un minore tasso
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di interesse (Grafico 5.2) =⇒ Bd slitta versodestra
• Bd dipende anche da Y : Y ↑ =⇒ L(Y ) ↑ =⇒i ↑ =⇒ Bd ↓ (Grafico 5.3)
• Riassumendo:
Bd = Bd(Y,M
P, i)
con segno (−,+,+)
• L dipende da BP : un aumento diW in seguito ad
una emissione di titoli =⇒ slitta R(W, i) =⇒i ↑ =⇒ L ↑ per motivi speculativi (Grafico 5.4e 5.5)
• Riassumendo:
L = L(Y,B
P, i)
con segno (+,+,−)
5.2 La curva LM
• Determiniamo la LM in funzione di BP (Grafico5.6)
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• B ↑ =⇒ L ↑: i ↑ a parita di reddito =⇒LM ↖
• Osservazione: finanziare il deficit con titoli in-fluenza la LM
• Osservazione: una combinazione tra debito frut-tifero (titoli) e infruttifero (moneta) puo ren-dere stabile i (Grafico 5.6)
• Acquisto di titoli sul mercato aperto: M ↑ eB ↓ =⇒ LM ↘ (effetto amplificato non pre-sente nel modello IS-LM semplice) (Grafico 5.7)
5.3 Politica fiscale
5.3.1 Emissione di moneta
• Ipotesi: ∆G finanziato con ∆M =⇒ Bd ↑=⇒ i ↓ successivamente Y ↑ =⇒ L ↑, Bd ↓=⇒ i ↑ (Grafico 5.8)
• Differenza: complessivamente i diminuisce (noncostante) e maggior effetto su Y
5.3.2 Emissione di titoli
• Ipotesi: ∆G finanziato con ∆B (Grafico 5.9)
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• =⇒ LM ↖ IS ↗ =⇒ i ↑• Il reddito e invariato: spiazzamento degli inves-
timenti privati con la spesa pubblica
• differenza: IS-LM semplice ∆G =⇒ Y ↑
5.3.3 Emissione di moneta e titoli
• se l’aumento di Bs supera M/P =⇒ i ↑• Y ↑ (Grafico 5.10)
• Osservazione: LM e sottoposta a due forze con-trastanti
• Si puo scegliere un’opportuna offerta di monetatale che i non vari =⇒ maggiore efficacia suY
5.4 Caduta dell’efficienza marginale del capitale
• Diminuzione di I =⇒ IS ↙• L’offerta di titoli privati diminuisce =⇒ i ↓
=⇒ I ↑(Grafico 5.11)
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• Il livello del reddito e la sua composizione sonoinvariati (Grafico 5.12)
5.5 Rigidita del tasso di interesse
• Supponiamo che Bs non diminuisca tanto dafar cadere i =⇒ equilibrio di sottoccupazione(Grafico 5.13)
5.5.1 politica fiscale espansiva finanziata con emissione di titoli
• =⇒ IS ↗ LM ↖• Bs ↑ =⇒ L ↑ =⇒ i al livello originario
• G compensa esattamente I =⇒ equilibriopiena occupazione
(Grafico 5.13)
5.5.2 politica monetaria espansiva
• MP ↑ =⇒ Bd ↑ Bs ↓ (operazione mercatoaperto)
• =⇒ i diminuisce tanto da ripristinare il livellodi I
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• si raggiunge un equilibrio di piena occupazione
• Differenze: nel primo caso G compensa I ; nelsecondo caso e il tasso di interesse che riportagli investimenti al livello originario
5.6 Politica fiscale con eccessiva emissione di titoli
• la curva LM↖ con intensita maggiore della IS(Grafico 5.14)
• spiazzamento della spesa privata da parte dellapubblica (sovraspiazzamento)
• possibile soluzione: politica monetaria espan-siva
• Osservazione: una politica monetaria espansivae sempre tale che Y → Yp mentre la fiscale no
5.7 Algebra
• Si ipotizzi la funzione di domanda di monetadella forma
L = kY + (λB
P− hi), 0 ≤ λ ≤ 1
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• λ = 0 =⇒ IS-LM semplice
• la componente speculativa varia da λB/P (tassonullo) a zero (per un tasso critico iB) (Grafico5.15)
• M/P = L =⇒ (curva LM)
i =k
hY − 1
h
M − λBP
=k
hY − 1
h
Mb
P
dove Mb = (M − λB) rappresenta l’offertanominale netta di moneta
• Bs ↑ =⇒ LM ↖ (Grafico 5.17)
• ricordando la IS
i =A
b− Y
αb
• l’equilibrio (IS=LM)
Y = βA + γMb
P
5.7.1 Politica fiscale espansiva con emissione di titoli
∆Y = β∆A− γλ∆B
P
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∆G = ∆BP =⇒
∆Y
∆G= β − λγ =
α(h− λb)h + bkα
• Osservazione h > λb =⇒ p.fiscale efficace(Grafico 5.18)
• Se λ = 0 la condizione e sempre soddisfatta
• Se h/b = λ > 0 =⇒ spiazzamento (Grafico5.19)
• Se 0 < h/b < λ =⇒ sovraspiazzamento(Grafico 5.20)
=⇒ equilibrio di sottoccupazione
• Osservazione: supponiamo che ∆A = c∆TR e∆B/P = ∆TR
• =⇒
∆Y
∆TR= cβ − λγ =
α(ch− λb)h + bkα
• Osservazione: la condizione 0 < ch/b < λ emeno stringente
• Osservazione: e possibile che ch/b < λ < h/b
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• L’effetto su i e positivo
i =kα
h + bkαA− 1
h + bkα
Mb
P
∆G = ∆B/P =⇒
∆i
∆G=kα + λ
h + bkα> 0
5.7.2 Politica fiscale espansiva con emissione di moneta
∆Y = β∆A + γ∆M
P
∆G = ∆M/P =⇒
∆Y
∆G= β + γ > 0
• L’effetto su i e ambiguo
∆i
∆G=
kα− 1
h + bkα=k − [1− c(1− t)]
hα + bk
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5.7.3 Politica monetaria
• Espansione dell’offerta di moneta
∆Y
∆M/P= γ > 0
∆i
∆M/P= − 1
h + bkα< 0
• Operazioni sul mercato aperto (∆M/P = −∆B/P )
∆Y
∆M/P= (1 + λ)γ > 0
(effetto rinforzato)
∆i
∆M/P= − 1 + λ
h + bkα< 0
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6 Il modello domanda-offerta aggregata
• l’indice dei prezzi diventa una variabile endo-gena
6.1 Funzione domanda aggregata
• L’equazione del reddito di equilibrio
Y = βA + γMb
P
evidenzia una relazione tra Y e P : se P variaallora varia Mb/P =⇒ spostamenti della LM
• La funzione di domanda aggregata viene espressada (Grafico 6.1)
Y d = βA + γMb
P
• dY d
dP = −γMbP 2 , d
2Y d
dP 2 = 2γMbP 3
• P → 0 =⇒ Y d →∞ (asintoto orizzontale)
• P →∞ =⇒ Y d → βA (asintoto verticale)
• EY,P = dY d
dPPY d
= −γ MbPY d
= −γ MbPβA+γMb
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 52
• P → 0 =⇒ EY,P → −1
• P →∞ =⇒ EY,P → 0
• Osservazione: la domanda aggregata diminuiscein modo meno che proporzionale rispetto all’indicedei prezzi
• A,Mb ↑ =⇒ Y d ↗• Esempio: ∆G finanziata da ∆M e B/P tale
da lasciare invariato Mb (Grafico 6.2)
• Esempio: aumenta M =⇒ riduce la concavitadella Y d (Grafico 6.3)
• Caso classico: Y d = (1/k)Mb/P (Grafico 6.4a)
• Caso keynesiano: Y d = αA (Grafico 6.4 b)
• Effetti politica fiscale finanziata con titoli
∆Y d
∆G= β − λγ Q 0⇔ h/b Q λ
• Effetti politica fiscale finanziata con moneta
∆Y d
∆G= β + γ > 0
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 53
6.2 Funzione di produzione aggregata
• Si parte da una funzione di produzione aggre-gata Y = Y (K,N)
• Ipotesi: K e dato (problema dell’accumulazionee aggregazione del capitale)
• Ipotesi di omogeneita: N quantita fisiche di la-voro omogeneo ( =⇒ saggio del salario mone-tario uniforme)
• Ipotesi: legge dei rendimenti decrescenti di Y =Y (N)
• forma esplicita
Y = Y (N) = − 1
2gN 2 +
N
gN, N , g > 0
• derivata prima e seconda
dY
dN= −1
gN +
N
g
d2Y
dN 2= −1
g< 0
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 54
• Per N = N si ha Y = N 2/2g (Grafico 6.5)
• Massimizzazione del profitto Πn = PY (N) −wN =⇒
dΠn
dN= P
dY
dN− w = 0 =⇒
P (−1
gN +
N
g)− w = 0 =⇒
domanda di lavoro (Grafico 6.6):
Nd = N − gwP
• g sensibilita di Nd rispetto a wP
• N indice dello sviluppo tecnologico
6.3 Offerta di lavoro, N s, classica e keynesiana
• Ipotesi keynesiana: N s variabile esterna indipen-dente da w
p e w dato e rigido verso il basso
• Politica dei redditi: le parti sociali (imprese esindacati) fissano w
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 55
• Ipotesi classica: N s dipende da wp , entrambi
variabili endogene
• Analizziamo le conseguenze dell’ipotesi keyne-siana
• Equilibrio mercato del lavoro N s = Np = Nd
(Grafico 6.7) individua il saggio del salario wal-rasiano (w/p)∗
• un aumento di w, a parita di P , determina dis-occupazione
• Osservazione: nel modello keynesiano l’equilibriodel mercato del lavoro dipende dalla domandaaggregata (che determina la produzione) che asua volta dipende da P (fissato dall’incontrodella domanda e offerta)
• Risultato: w dato e rigido, P incompatibile de-terminano w/p diverso dal salario walrasiano=⇒ disoccupazione involontaria (equilibrio didisoccupazione)
6.4 Funzione keynesiana di offerta aggregata
• Nella funzione di produzione
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 56
Y = Y (N) = − 1
2gN 2 +
N
gN
sostituiamo a N la domanda di lavoro
Nd = N − gwp
• Algebra:
Y = Y (N) = − 1
2g(N − gw
p)2 +
N
g(N − gw
p)
=⇒ (offerta aggregata)
Y s(P ) = −g2
(w
p)2 +
1
2gN 2
• Derivate:
dY s
dP= g
w2
p3> 0
d2Y s
dP 2= −3g
w2
p4< 0
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 57
• Y (P ) = 0 per P = gwN
e Y (P ) → 12gN
2 perP →∞
• 0 ≤ Y s ≤ Yp ≤ 12gN
2
• Determinazione grafica (Grafico 6.8)
6.5 Soluzione di equilibrio
• L’equilibrio Y s = Y d (Grafico 6.9)
−g2
(w
P)2 +
1
2gN 2 = βA + γ
Mb
Povvero
−(N 2
2g− βA)P 2 + γMpP +
gw2
2= 0
• Soluzione di un’equazione di 2° grado ax2+bx+c = 0
x1/2 =−b± (b2 − 4ac)1/2
2a
P ∗ =γMb ± [γ2M 2
b + 2g(N2
2g − βA)w2]1/2
2(N2
2g − βA)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 58
• Prezzo di equilibrio (PE)
P ∗ =γMb + [γ2M 2
b + 2g(N2
2g − βA)w2]1/2
2(N2
2g − βA)
• Reddito di equilibrio (RE)
Y ∗ = −g2
(w
P ∗)2 +
1
2gN 2 = βA + γ
Mb
P ∗
• PE e omogenea di primo grado in Mb e w
• RE e omogenea di grado zero in Mb e w
• PE generalizza 2 teorie dell’inflazione
• Teoria quantitativa della moneta P = MVY
(non vale soltanto quando h = 0 e dipende an-che dall’offerta di titoli)
• Inflazione per spinta dei costi: i prezzi dipen-dono dai costi di produzione
• Esempio (teoria del mark-up) P = wN
(1 + q)
• Ipotesi: Y ∗ > Yp (Grafico 6.10)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 59
• l’equilibrio e dato dall’incontro tra offerta e do-manda
Yp = βA + γMb
P ∗
P ∗ =γMb
Yp − βA(PE2)
• PE2 omogenea di primo grado in Mb e ripro-pone la teoria quantitativa della moneta gener-alizzandola (P dipende da Mb e non siamo nelcaso h = 0)
• Inflazione per eccesso di domanda
• La PE2 esprime l’indice dei prezzi di domanda
• L’indice dei prezzi di offerta
Yp = −g2
(w
P 0)2 +
N 2
2g
da cui (PE3)
P 0 =gw
(N 2 − 2gYp)1/2=
w
[ 1g2(N 2 − 2gYp)]1/2
=w
[2gg2(N
2
2g − Yp)]1/2=
w
[2g(N2
2g − Yp)]1/2
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 60
• Se P ∗ > P 0 le imprese realizzano extraprofitti:
a) w ↑ =⇒ P 0 → P ∗
b) politiche monetarie/fiscali restrittive =⇒Y d ↙ =⇒ P ∗ → P 0
• Se P ∗ = P 0 e Y ∗ = Yp
a) p. monetaria espansiva: Mb, P∗ ↑ (PE2), Y
costante
b) p. dei redditi: w ↑ P ↑ (PE) Y ↓ =⇒equilibrio sottoccupazione (p. monetarie/fiscaliespansive). Osservazione: effetti N ↑c) Mb ↓ =⇒ Y, P ↓ (PE) Equilibrio di sottoc-cupazione
d) w ↓ =⇒ P ∗, Y costanti P 0 ↓ =⇒ ex-traprofitti
e) Se w,Mb variano proporzionalmente: pro-prieta di omogeneita
• (PE2)P ∗ = P 0(PE3) =⇒
γMb
Yp − βA=
w
[2g(N2
2g − Yp)]1/2
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 61
Mb =Yp − βA
[2γ2
g (N2
2g − Yp)]1/2w
• Esprime come deve variare Mb al variare di wper mantenere il reddito di piena occupazione(dipende dalla distanza di Yp dai valori massi-
mali βA e N2
2g )
• Osservazione:
dMb =Yp − βA
[2γ2
g (N2
2g − Yp)]1/2dw
=⇒
dMb
Mb=
w
Mb
Yp − βA[2γ2
g (N2
2g − Yp)]1/2dw
w
=⇒
dMb
Mb=dw
w
• Altre variabili di equilibrio
i∗ =A
b− Y ∗
αb=k
hY ∗ − 1
h
Mb
P ∗
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 62
N ∗ = N − g wP ∗
u =Np −N ∗
Np
Cpr∗ = C + c(Y ∗ + TR− T ∗)
T ∗ = tY ∗
I = I − bi∗
Spr∗ = (Y ∗ + TR− T ∗)− C∗
6.6 Omogeneita e teorie dell’inflazione
• equilibrio di sottoccupazione
• Ipotesi: w,Mb ↑ 10 % (Grafico 6.11): nessuneffetto reale (spirale
inflazionistica prezzi-salari)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 63
• Operazione di mercato aperto: ∆Mb = 10(1 +λ)% =⇒ ∆Y d = 10γ(1 + λ)% =⇒ LM ↘, Y d ↗ =⇒ Y, P,N ↑, i, w/P ↓
• Se Y ∗ = Yp (Grafico 6.12)
- Mb ↑ =⇒ Y d ↗; la IS, LM invariate; iinvariato (tasso naturale di interesse)
Infatti: se Mb2 = ρMb1 per la PE2
P2 =γ
Yp − βA(ρM − ρλB) = ρP1
Osservazione: anche in un’operazione di mer-cato aperto i non varia (la LM non varia). In-fatti:
Mb2 = ρMb1 =⇒ Mb2
P2=ρMb1
ρP1=Mb1
P1
- P ↑ =⇒ w/P ↓ =⇒ eccesso di domanda dilavoro: w ↑ =⇒ Y s ↗ =⇒ P 0 → P ∗ (w/Presta costante)
• Variazioni verso il basso di w non hanno effettireali (vedi caso d))
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 64
- se w ↑ ma il salario reale non varia: nessuneffetto
- se w ↑ e w/P ↑ =⇒ P ↑, Y ↓ (vedi caso b))
• In piena occupazione: eccesso di domanda provocainflazione; un aumento di w provoca inflazionee disoccupazione (stagflazione)
• Stagflazione: se Mb ↑ nella stessa % del salario(vedi e)), allora P ↑ e w/P resta invariato
6.7 Curva di Phillips
• 1958: Phillips riporto in un grafico il tasso di in-flazione in funzione del tasso di disoccupazionenel Regno Unito (1861-1957)
• 1960: Samuelson e Solow per gli Stati Uniti(1900-1960)
• Dal 1970: relazione tra tasso di disoccupazionee variazione del tasso di inflazione
• Ricordando N ∗ = N − g wP ∗ e u =
Np−N∗Np
si ricava la versione keynesiana della curva diPhillips
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 65
u = (1− N
Np) +
gw
NpP ∗
• Derivate prima e seconda
du
dP ∗= − gw
Np(P ∗)2< 0
d2u
d(P ∗)2=
2gw
Np(P ∗)3> 0
• Piena occupazione: u = 0 =⇒ P ∗0 = gwN−Np
• P ∗ →∞ =⇒ u→ (1− N/Np)
P ∗ → 0 =⇒ u→∞• Rappresentazione grafica (Grafico 6.13)
• La curva e parametrizzata da w (Grafico 6.14)
• A parita di w, la curva esprime un trade off trainflazione e disoccupazione che dipende dallarigidita del saggio del salario
• P. espansive riducono u (Y d ↗ Grafico 6.11),aumenta P , Y,N
• Se w e indicizzato la curva diventa una verticale
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 66
• Per i classici il trade off puo esistere nel breveperiodo ma scompare nel lungo
• NMK (Nuova Macroeconomia Keynesiana): anal-isi micro della concorrenza imperfetta come fon-damento della macro. Esiste un NAIRU (non-accelerating inflation rate of unemployment) coninflazione costante che risulta dalla compati-bilita delle richieste delle parti sociali (impresee sindacati)
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7 Equilibri walrasiani, keynesiani e disequi-
libri
7.1 Flessibilita del salario e piena occupazione
• Un salario elevato e rigido verso il basso causaun equilibrio di disoccupazione (Grafico 7.1)
• Riequilibrio automatico: se w ↓ =⇒ Y s ↗=⇒ Y ↑ P ↓ =⇒ w/P ↓
• Saggio del salario walrasiano w/P =N−Npg
• Per Keynes il riequilibrio puo avvenire soltantonel lungo periodo
7.2 Equilibri keynesiani e walrasiani
• Ricordiamo la PE:
P ∗ =γMb + [γ2M 2
b + 2g(N2
2g − βA)w2]1/2
2(N2
2g − βA)
• considerandola funzione di (Mb, w) diventa lacurva degli equilibri keynesiani (EK) (Grafico7.2)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 68
P = P (Mb, w)
• (P,w) ∈ P (Mb, w) garantiscono Y s = Y d
• l’intercetta orizzontale e P = γMbN22g −βA
• la retta del saggio del salario reale walrasiano(RW)
w =N −Np
gP
• il punto di incontro tra EK e RW: equilibriowalrasiano
• EK e RW dividono lo spazio (P,w) in 3 regioni(regimi di disoccupazione):
I. Disoccupazione classica (salario troppo ele-vato): EDB, EOL
II. Disoccupazione keynesiana (insufficienza dellaY d): EOB, EOL
III. Inflazione repressa: EDB, EDL
• La teoria del disequilibrio studia tre regimi, lateoria keynesiana studia i punti che stanno nellaEK
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7.3 Politica fiscale e monetaria
• Ipotesi: equilibrio keynesiano w rigido verso ilbasso (Grafico 7.4)
• politica dei redditi: ridurre il costo del lavoro,eliminare il minimo delle retribuzioni,...
• politica monetaria espansiva: Mb ↑ =⇒ P (·)↗• gli effetti della politica fiscale dipendono dalle
modalita di finanziamento (con emissione di mon-eta P (·)↗)
• politica fiscale finanziata con aumento delle im-poste (Haavelmo): la EK si sposta di poco
• politica fiscale finanziata con titoli: ∆G = ∆B
Differenziando rispetto a G = B
P =γMb
N2
2g − βAsi ottiene
dP
dG=−λγ(N
2
2g − βA) + βγMb
(N2
2g − βA)2=γ[βMb − λ(N
2
2g − βA)]
(N2
2g − βA)2
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• esiste un λ0 t.c. il numeratore della frazione siannulla
λ0 =βM
βB + (N2
2g − βA)2
λ Q λ0 =⇒ dP
dGR 0
7.4 meccanismo di trasmissione
• Partiamo da un equilibrio di sottoccupazione(Grafico 7.5)
• Mb ↑ =⇒ LM ↗ i ↓ =⇒ Y d ↗ =⇒ P ↑=⇒ LM ↖ i ↑ w/P ↓
• Osservazione: livelli piu elevati delle variabilimonetarie (Mb, w, P ) rispetto al riequilibrio au-tomatico
• Se accompagnata da una politica fiscale espan-siva: IS ↘ e possibile mantenere i invariato
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7.5 Politica economica in piena occupazione
• Partiamo da un equilibrio di piena occupazione:se Mb ↑ =⇒ effetti soltanto nominali
• Definiamo la IS di piena occupazione (Grafico7.6)
i =A
b− Ypαb
=⇒ i =αA− Ypαb
• e la LM di piena occupazione
i =k
hYp −
1
h
Mb
P
che tende a khYp per P → ∞ e ha intercetta
orizzontale P = MbkYp
• il punto di incontro delle 2 curve (si veda laPE2)
P ∗ =γMb
Yp − βA• p. monetaria: Mb ↑ =⇒ P ↑ (Grafico 7.7)
• p. fiscale (∆G = ∆T ): spiazzamento C; la ISinvariata
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 72
• p. fiscale (∆G = ∆B): spiazzamento di I :IS ↑ =⇒ i ↑, P invariato (Grafico 7.8)
• p. fiscale (∆G = ∆M): effetti reali e nomi-nali (Grafico 7.9) P ↑ =⇒ Mb/P ↓ =⇒ Y d
invariata
7.6 Progresso tecnico
• innovazioni di processo e di prodotto
• N ↑ =⇒ Y (N) ↑ (Grafico 7.14)
• Progresso tecnico in piena occupazione (Grafico7.15)
• effetti sulla domanda di lavoro (Grafico 7.16)
• effetti sull’offerta aggregata (Grafico 7.17)
• effetti su EK e RW (Grafico 7.18)
• Partiamo da un equilibrio walrasiano (Grafico7.19): il progresso tecnico determina un incre-mento della produzione e una diminuzione deiprezzi. I lavoratori godono di un salario realepiu elevato
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 73
• Osservazione: se i prezzi fossero rigidi =⇒a) maggiori profitti (disoccupazione keynesiana)
b) maggiori salari.
Soluzione: politiche espansive
7.7 Salario nominale e produttivita del lavoro
• Ricordiamo il punto b
• partiamo da un equilibrio walrasiano (Grafico7.22)
• Ipotesi: N =⇒ w ↑ proporzionalmente =⇒Y s ruota in senso orario
• caso a: BC asseconda L(Y ) =⇒ Y d ↗w/P, Yp ↑ i ↓ P invariati
• caso b) Y ↑ piu contenuto, P ↓• Osservazione: se w ↑ entro i limiti della produt-
tivita del lavoro nessun effetto inflazionistico esi mantiene la piena occupazione
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 74
8 Aspettative e nuova macroeconomia clas-
sica
• Asimmetria di comportamento tra imprese efamiglie nell’impostazione keynesiana
• Principale critica della scuola classica: micro-fondare la macreconomia (si pensi all’offerta dellavoro)
• w e N s sono endogene; non esiste la politica deiredditi che influenza la Y d
• gli equilibri di sottoccupazione sono riconducibiliad errate aspettative sui prezzi
• nel lungo periodo entrambe le impostazioni con-cordano sull’esistenza di un equilibrio walrasiano
8.1 Offerta di lavoro
• Problema di massimizzazione
U = U(Y, TL)
UY , UTL > 0 UY Y , UTLTL < 0 N s = TC − TL
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 75
• Vincolo di bilancio
PY + wTL = wTC + PΠ = W
• maxY U(Y, W−PYw ) =⇒
UTLUY
=w
P
• Rappresentazione grafica (Grafico 8.1)
• Otteniamo pertanto Y = Y (w/P ) e N s =TC − TL(w/P )
• Se w/P ↓ =⇒ Π ↑ perche Π = Y − wPN
(Grafico 8.1)
• Effetto ricchezza e sostituzione
• Se w/P elevato: effetto reddito > effetto sosti-tuzione (Grafico 8.2)
8.2 Curva classica di offerta aggregata
• equilibrio N s = Nd (Grafico 8.3)
• Piena occupazione walrasiana e disoccupazionevolontaria (frizionale e strutturale)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 76
• tasso naturale di disoccupazione (condizioni is-tituzionali, costi di ricerca e mobilita,...)
• occupazione walrasiana =⇒ Y ∗ (produzionewalrasiana o di piena occupazione)
• curva classica di offerta aggregata Y ∗s
• variazione dei gusti delle famiglie (Grafico 8.4)
• progresso tecnico (Grafico 8.5)
8.3 Aspettative
• rappresentano un valore atteso delle variabilieconomiche e sono in grado di influenzarne ivalori correnti
• Esempio: aspettative inflazionistiche
πa =P at+1 − PtPt
• Caratteristica del mercato del lavoro: elevaticosti transazionali per chi offre e domanda la-voro e asimmetria informativa sull’aspettativasull’indice dei prezzi
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 77
• Fissato il livello dei prezzi, la domanda di la-voro puo essere rappresentata in funzione delsaggio del salario nominale (Grafico 8.6): le im-prese domandano lavoro in funzione del saggiodel salario reale effettivo
• Le famiglie offrono lavoro in funzione del saggiodel salario reale atteso (Grafico 8.7)
8.4 Curva di offerta aggregata di breve periodo
• Partendo da una situazione di equilibrio, sup-poniamo che i prezzi aumentino ma che le as-pettative delle famiglie non varino
• w ↑ in misura meno che proporzionale rispettoai P
=⇒ wp ↓ =⇒ equilibrio di sovraoccupazione
(Grafico 8.8)
• il caso opposto individuerebbe un equilibrio disottoccupazione
• le curve Y ∗s e Y s(P a) si incontrano in cor-rispondenza dell’indice dei prezzi atteso dallefamiglie
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 78
• Quando le famiglie adeguano le aspettative alrialzo, il saggio reale torna al livello walrasiano,la Y s(P a) slitta verso l’alto e la produzione e alsuo livello naturale
• l’equibrio macroeconomico viene rappresentatonel Grafico 8.10
• Se le aspettative non variano, variazioni di Y d
determinano nel breve periodo variazioni proci-cliche di P e Y : Grafico 8.11
• Supponiamo che le aspettative si adeguino sec-ondo un processo adattivo P a
t = Pt−1 (primascuola monetarista): Grafico 8.12
• Conclusione: esiste un equilibrio naturale delsistema economico (equilibrio walrasiano) chepuo essere alterato dalla politica economica soltantonel breve periodo a causa della lentezza con cuisi adeguano le aspettative delle famiglie. Nellungo periodo la politica economica ha effettisoltanto sui prezzi
• Osservazione: adeguamenti infondati delle as-pettative determinano nel breve periodo vari-azioni controcicliche del reddito rispetto ai prezzi
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 79
(Grafico 8.13)
• 8.5 Curva di Phillips
• La rigidita del saggio del salario e sostituitadalla rigidita delle aspettative
• Fissando le aspettative πa = 0 e variando Y d,e possibile rappresentare il tasso di inflazione infunzione del tasso di disoccupazione π = f (u)(Grafico 8.14)
• In generale la curva di Phillips aumentata delleaspettative
π = f (u) + πa
• Nel lungo periodo il trade off scompare (Grafico8.15)
8.6 Aspettative razionali
• Critica della NMC: le aspettative adattive com-portano un errore sistematico di previsione
• L’aspettativa razionale e un’aspettativa matem-atica condizionata da tutte le informazioni disponi-bili
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 80
• Si suppone che le aspettative razionali si forminocome il modello economico rilevante prevede chesi formino le variabili effettive (coerenza)
• il modello rilevante e quello walrasiano dell’equilibrioeconomico generale
• Quando si forma Y da e possibile individuare illivello dei prezzi effettivo coerente con le aspet-tative di domanda: se le aspettative sono cor-rette, l’equilibrio effettivo e quello walrasiano(Grafico 8.16)
8.7 Teorema di inefficacia
• Se le informazioni disponibili sono incomplete oincorrette: P ∗ 6= P a
Y dt = Y d
t−1 + ∆Y dat + ∆Y na
t
• Aumenti e diminuzioni anticipate della domanda(∆Y na
t = 0) determinano variazioni proporzion-ali dei prezzi e lasciano invariato il reddito (Grafico8.17): proprieta di omogeneita
• Se (∆Y nat 6= 0) si hanno anche effetti reali
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 81
• L’equilibrio temporaneo di sotto/sovraoccupazionee dovuto a carenza di informazione
• l’equilibrio walrasiano e un equilibrio di com-pleta informazione
• Teorema di inefficacia: politiche economiche notee anticipate provocano soltanto inflazione. Crit-ica di Lucas: i modelli ipotizzano che le cre-denze degli agenti non varino con le manovredi politica economica =⇒ pessima capacitaprevisiva dei modelli.
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 82
9 Aspettative sui tassi di interesse
9.1 Relazione di Fischer
• il tasso di interesse reale rappresenta la remu-nerazione effettiva del capitale, ovvero il tassodi interesse nominale depurato del tasso di in-flazione atteso
• esiste una relazione che lega il tasso di interessenominale e reale (relazione di Fisher)
• Siano nt e it il tasso di interesse nominale e realead un anno, ovvero:
se oggi presto 1 euro domani ottengo (1 + nt)euro
se oggi presto 1 unita di bene domani ottengo(1 + it) unita di bene
• Se 1 unita di bene costa oggi Pt e domani P at+1,
e volessi prendere a prestito del denaro per ac-quistare una unita di bene oggi, domani resti-tuiro’ (1 + nt)Pt euro che tradotto in terminireali =⇒ (1 + nt)
PtP at+1
• pertanto possiamo scrivere
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 83
(1 + it) = (1 + nt)PtP at+1
• Ricordando cheP at+1Pt
= 1 + πat , si ottiene
(1 + it)(1 + πat ) = (1 + nt),
ovvero
it ≈ nt − πat
9.2 Domanda di moneta e LM
• La curva IS considera il tasso i
• Anche la LM considera i se i soggetti non sonoaffetti da illusione monetaria (che si verifica quandoi soggetti economici decidono in funzione delvalore nominale della moneta)
• Formalizziamo la domanda nominale di monetaal tempo t
Lnt = kP at Yt + P a
t λ(Bt
Pt)− h(1 + it)(1 + πat )
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 84
ovvero
Lnt = kP at Yt + P a
t λ(Bt
Pt)− h(1 + it)
P at
Pt−1
normalizzando Pt−1 = 1
si ottiene
Lt =LntP at
= kYt + λ(Bt
Pt)− h(1 + it)
• Critica: la domanda di moneta non tiene contodelle aspettative sul tasso di interesse
• Se le aspettative sono al rialzo =⇒ convienecomprare titoli domani =⇒ aumenta la do-manda di moneta per motivi speculativi (nonos-tante il tasso di interesse corrente rappresenti ilcosto opportunita del tenere moneta)
• Infatti supponiamo che per ogni euro investitoin titoli oggi, si ottenga il tasso corrente i e cheper ogni euro investito domani si ottenga ia, ilcui valore attuale sara ia
1+ia
• Se i > ia
1+ia acquisto titoli oggi, se i < ia
1+ia
rinvio l’acquisto di titoli
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 85
• Semplificando, possiamo cosı formalizzare la do-manda di moneta (Grafico 9.3)
L = kY + λB
P− h(i− ia)
• Variazioni di ia determinano spostamenti di L(Grafico 9.4)
• Ponendo L = MP si ottiene la LMbp aumentata
delle aspettative,
i = ia +k
hY − 1
h
Mb
P
• Se il tasso effettivo e uguale a quello atteso siottiene la LMlp di lungo periodo,
Y =1
k
Mb
P
che interseca la LMbp in corrispondenza di i =ia (Grafico 9.5)
• h→∞ =⇒ LMbp : i = ia (caso keynesiano -trappola della liquidita)
• h → 0 =⇒ LMbp = LMlp (caso classico -spiazzamento)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 86
9.3 Equilibrio nel mercato dei beni
• Se le aspettative sono sbagliate LMbp = ISdetermina un equilibrio di breve periodo
• Se le aspettative sono adattive il riequilibrioviene illustrato dal Grafico 9.6
• Algebra:
i =A
b− Y
bα= ia +
k
hY − 1
h
Mb
P=⇒
Y = (βA− σia) + γMb
P,
dove σ = bβ
• Il reddito di equilibrio di breve periodo e in-fluenzato dalle aspettative sul tasso di interesse
• il tasso di interesse di equilibrio di breve periodo
i =kβ
hA +
h
h + bkαia − 1
h + bkα
Mb
P
• Osservazione: ∆i∆ia = h
h+bkα dipende da h
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 87
• Osservazione: il reddito di lungo periodo dipendedalla quantita di moneta reale netta
• Da IS = LMlp si ottiene il tasso di interesse at-teso dalle aspettative razionali (il tasso naturaleo normale)
i =A
b− (
1
bk)(Mb
P)
• Per variare Ylp occorre modificare Mb/P
• Esempio ∆G = ∆(B/P ) =⇒ ∆Y = −λk∆(BP ) <
0
• ∆i = ∆Gb + λ
bk∆(B/P ) =⇒ k+λbk ∆G > 0
• si ha un sovraspiazzamento
9.4 La domanda aggregata nel caso keynesiano
• La curva di domanda di breve periodo aumen-tata delle aspettative
Y dbp(P ) = β(A− bia) + γ
Mb
P
e’ valida se i 6= ia
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 88
• ia ↑ =⇒ Y dbp si sposta verso sinistra (Grafico
9.7)
• Il prezzo e il reddito di equilibrio (Grafico 9.8)
P ∗ =γMb + [γ2M 2
b + 2g(N2
2g − β(A− bia))w2]1/2
2(N2
2g − β(A− bia))
Y ∗ = −g2
(w
P ∗)2 +
1
2gN 2 = β(A− bia) + γ
Mb
P ∗
godono delle gia note proprieta di omogeneitain (Mb, w)
• ia ↑ =⇒ Y, P ↓• l’equilibrio di lungo periodo:
Y dlp =
Mb
kP= Yp
• l’indice dei prezzi di lungo periodo
P =1
k
Mb
Yp
ripropone la teoria quantitativa della monetaP = MbV
Ypin ambito keynesiano
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 89
• P gode di omogeneita di primo grado in Mb
anche nel lungo periodo
• Y = Yp =⇒ wP costante =⇒ w omogeneo di
primo grado in Mb
• Yp ew/P (variabili reali) sono omogenei di gradozero in Mb
9.5 La domanda aggregata nel caso classico
• L’equazione
Y dabp (P ) = (βAa − σia) + γ
Mab
P
rappresenta la domanda aggregata attesa quandoi 6= ia (Grafico 9.10)
• Consideriamo l’equilibrio di breve periodo quandoP 6= P a e i 6= ia (Grafico 9.11)
• la revisione delle aspettative comporta variazionidi P, i, Y
• la curva di domanda di lungo periodo (i = ia)(Grafico 9.12)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 90
Y dlp =
Mb
kP
• Il reddito di equilibrio:
Y dlp = Mb
kP = Y ∗s
• l’equazione dei prezzi di lungo periodo (P ∗ rap-presenta l’aspettativa razionale dell’indice deiprezzi)
P ∗ =Mb
kY ∗
ripropone la teoria quantitativa della monetanell’impostazione classica; le proprieta di omo-geneita sono pertanto comuni alle due teorie (di-cotomia classica e neutralita della moneta)
• differenza: diversa interpretazione del concettodi piena occupazione
9.6 Curva dei rendimenti, tassi forward e valori fon-damentali
• Sia ni,t il tasso nominale al tempo t riferito a iintervalli di tempo
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 91
• Sia Pi,t il prezzo al tempo t di un titolo di 100euro (valore facciale) scadente dopo i periodi
• Osservazione: titoli a scadenze diverse, a paritadi rischio, hanno lo stesso rendimento (condizionedi arbitraggio)
• Esempio: dato un titolo annuale e uno biennale,si deve avere
(1 + n1,t) =P a
1,t+1
P2,t=⇒ P2,t =
P a1,t+1
1 + n1,t
ricordando che
P a1,t+1 =
100
1 + na1,t+1
si ha
P2,t =100
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1)
• Generalizzando a T periodi si puo pertanto scri-vere
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 92
PT,t =100
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1) . . . (1 + na1,t+T−1)
• Definizione: il rendimento alla scadenza di untitolo a T anni e il tasso di interesse che uguagliail prezzo del titolo oggi al VA dei rendimentifuturi
• Esempio: il tasso di rendimento, n2,t, di untitolo biennale e tale che
P2,t =100
(1 + n2,t)2
• Osservazione:
P2,t =100
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1)=
100
(1 + n2,t)2=⇒
(1 + n2,t)2 = (1 + n1,t)(1 + na1,t+1) =⇒
n2,t ≈n1,t + na1,t+1
2
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 93
• Generalizzando:
nT,t ≈1
T(n1,t + na1,t+1 + . . . + na1,t+T−1)
• La curva dei rendimenti e la rappresentazionegrafica dei tassi di rendimento dei titoli alle di-verse scadenze. La sua inclinazione offre un’indicazionequa-litativa della direzione delle aspettative suitassi di interesse: piu e inclinata, maggiori sonole aspettative di aumento dei tassi di interessea breve (tenuto conto del differente livello dirischio dei titoli a lunga scadenza)
• Per avere un’indicazione puntuale sul valore deitassi ad un dato intervallo di tempo occorrecostruire una diversa curva, la curva dei tassiforward
• il tasso forward rappresenta il tasso atteso dagliagenti razionali nel caso di previsione perfetta
• Esempio: il tasso forward a un anno atteso perl’anno prossimo
n2,t ≈n1,t + na1,t+1
2=⇒ na1,t+1 = 2n2,t−n1,t =⇒
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 94
f1,t+1 = 2n2,t − n1,t
• Ripetendo lo stesso ragionamento per 3 periodi:
n3,t ≈n1,t + na1,t+1 + na1,t+2
3=⇒ f1,t+2 = na1,t+2 = 3n3,t−n1,t−f1,t+1 =
= 3n3,t − n1,t − (2n2,t − n1,t) =⇒f1,t+2 = 3n3,t − 2n2,t
• Generalizzando:
f1,t+T−1 = TnT,t − (T − 1)nT−1,t
• si puo cosı ottenere una rappresentazione deltasso forward a un periodo (un anno, una setti-mana, etc.) in funzione delle diverse date future(curva dei tassi forward)
• e possibile utilizzare i tassi forward ad un annoper calcolare, ad es., il prezzo dei titoli di purosconto con scadenza superiore ad un anno
PT,t =100
(1 + n1,t)(1 + f1,t+1) . . . (1 + f1,t+T−1)
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 95
• Possiamo utilizzare le aspettative per determinare(in assenza di bolle speculative) il valore di ten-denza del prezzo di un’azione (detto valore fon-damentale), valore che dipende dalla profitta-bilita futura delle imprese
• Supponiamo di investire 1 euro in un’obbligazionead un anno che frutta (1 + n1,t) o, alternativa-mente, nell’acquisto di azioni il cui prezzo uni-tario e Qm
t che fruttano un dividendo per azionepari a Dma
t+1 e che possono essere rivendute aQmat+1
• Condizione di arbitraggio
Dmat+1 + Qma
t+1
Qmt
= 1 + n1,t =⇒
Qmt =
Dmat+1 + Qma
t+1
1 + n1,t
in modo analogo possiamo scrivere
Qmat+1 =
Dmat+2 + Qma
t+2
1 + na1,t+1
CdL: EGA - Macroeconomia - Docente: Stefano Matta 96
• Generalizzando per T periodi:
Qmt =
Dmat+1
1 + n1,t+
Dmat+2
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1)+. . .+
Dmat+T
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1)(1 + na1,t+T−1)+
+Qmat+T
(1 + n1,t)(1 + na1,t+1)(1 + na1,t+T−1)
• L’ultimo termine della formula precedente va azero all’aumentare di T : il valore fondamentaledi un’azione e dato dal valore attuale dei divi-dendi futuri attesi
• Osservazione: se nella condizione di arbitraggiotenessimo conto del premio per il rischio, δ:
Dmat+1 + Qma
t+1
Qmt
= 1 + n1,t + δ
=⇒
Qmt =
Dmat+1
1 + n1,t + δ+
Dmat+2
(1 + n1,t + δ)(1 + na1,t+1 + δ)+. . .+
+Dmat+T
(1 + n1,t + δ)(1 + na1,t+1 + δ)(1 + na1,t+T−1 + δ)