C¡cchuy¶n˜• LUYłNTHITHPTQU¨CGIAN‚uf0(x) 0;8x2Iv€f0(x)

Các chuyên đề

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

THPT Phan Đình Phùng

Đồng HớiTháng 07 - 20151

2

4

1 2 4

y = 1x y = x2

y = 8x

y = x2

8

y

xO

Copyright c©2015 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”.

Nguyễn Minh Hiếu

2

Mục lục

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§1. Đa Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5§2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6§3. Cực Trị Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§4. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§5. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§6. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13§1. Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16§5. Điểm Thuộc Đồ Thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chuyên đề 3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21§1. Lũy Thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21§2. Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22§4. Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§5. Phương Trình, Bất Phương Trình Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§6. Hệ Phương Trình Mũ Và Lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chuyên đề 4. Hình Học Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§1. Thể Tích Khối Đa Diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29§2. Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§3. Quan Hệ Vuông Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32§4. Góc Và Khoảng Cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§1. Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§3. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40§5. Tích Phân Của Các Hàm Số Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chuyên đề 6. Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49§1. Dạng Đại Số Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chuyên đề 7. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55§1. Tọa Độ Trong Không Gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55§2. Phương Trình Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3


§3. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57§4. Phương Trình Mặt Cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59§5. Bài Toán Tổng Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chuyên đề 8. Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67§1. Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67§2. Công Thức Lượng Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68§3. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§4. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70§5. Phương Trình Lượng Giác Khác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Chuyên đề 9. Tổ Hợp - Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75§2. Xác Suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76§3. Nhị Thức Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Chuyên đề 10. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§2. Phương Trình Đường Thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82§3. Tam Giác Và Tứ Giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83§4. Phương Trình Đường Tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83§5. Phương Trình Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Chuyên đề 11. Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số . . . . . . . 89§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90§3. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92§6. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Tham Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức, Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất . . . . . . . . . . . . . 97§1. Một Số Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97§2. Một Số Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức AM −GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98§3. Kỹ Thuật Đánh Giá Để Sử Dụng Phương Pháp Hàm Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ ThịHàm Số

§1. Đa Thức

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phép chia đa thức.

Định nghĩa 1.1. Cho hai đa thức f(x) và g(x), trong đó bậc f(x) > bậc g(x). Nếu tồn tại hai đa thứch(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x)h(x) + r(x) thì ta nói phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) được đa

thức h(x) và dư đa thức r(x). Ta còn viếtf(x)

g(x)= h(x) +

r(x)

g(x).

Định lý 1.2. (Bézout) Dư trong phép chia đa thức f(x) cho x− c là f(c).

Hệ quả. Nếu f(c) = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho x− c, ta có phân tích f(x) = (x− c)h(x).

2. Sơ đồ Horner.Khi chia đa thức f(x) = a0x

n + a1xn−1 + ... + akx

n−k + ... + an cho x − c ta được thương h(x) =b0x

n−1 + b1xn−2 + ...+ bkx

n−k−1 + ...+ bn−1 và dư r(x) = bn. Các hệ số của h(x) thỏa mãn sơ đồ Horner

sau :a0 a1 ... ak ... an

c b0 b1 ... bk ... bn, trong đó

b0 = a0

bk = cbk−1 + ak (k > 1).

3. Định lý về dấu tam thức bậc hai.

Định lý 1.3. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx+ c (a 6= 0) có ∆ = b2 − 4ac.• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R;

• Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 6= − b

2a;

• Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 (x1 < x2). Khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi xnằm trong khoảng (x1;x2) (tức là với x1 < x < x2), và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoàiđoạn [x1;x2] (tức là x < x1 hoặc x > x2).

B. Kỹ Năng Cơ Bản.

1. Chia đa thức.

• C1 : Thực hiện chia theo sơ đồ sau :f(x) g(x)... h(x)r(x)

• C2 : Sử dụng sơ đồ Horner (chỉ sử dụng khi chia f(x) cho x− c).2. Xét dấu biểu thức.• Tam thức bậc hai : ∆ 6 0 : "Luôn cùng dấu với a".

∆ > 0 : "Trong trái, ngoài cùng".• Đa thức bậc n có đủ n nghiệm : "Phải cùng, đan dấu".• Đa thức bậc n có ít hơn n nghiệm : Dấu f(x) trên (xi;xi+1) là dấu f(c), trong đó c ∈ (xi;xi+1).• Tích thương các nhị thức, tam thức : Lập bảng xét dấu chung cho các nhị thức, tam thức.

5


C. Bài Tập

1.1. Thực hiện chia các đa thức sau :a) f(x) = x3 + 3x2 − 4x+ 5 cho x+ 2; b) f(x) = −3x3 + 5x2 − 8x+ 6 cho x− 1;c) f(x) = −x4 − 3x2 − 5x+ 9 cho x− 1; d) f(x) = x4 − 3x3 + x+ 2 cho x2 − x+ 1.

1.2. Xét dấu các biểu thức sau :a) f(x) = 1− 4x; b) f(x) = x2 + 4x+ 3;c) f(x) = x2 − 6x+ 9; d) f(x) = −3x2 + x− 4.

1.3. Xét dấu các biểu thức sau :a) f(x) = x3 + 2x2 − x− 2; b) f(x) = −x3 + 3x2 + 6x− 8;c) f(x) = x4 + x3 − 3x2 − x+ 2; d) f(x) = x4 − x3 − 6x2 + 4x+ 8.

1.4. Xét dấu các biểu thức sau :a) f(x) =

(x− 1)(3− 4x)

x+ 2; b) f(x) =

(x− 2)(3− x)

x2 + 4x− 5;

c) f(x) =(x− 1)(x2 + 4x+ 4)

x2 − 4x− 5; d) f(x) =

2x+ 3

x− 1− x− 6

x+ 2.

§2. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số


Định nghĩa 1.4. Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.• Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K,x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2);• Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K,x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Lưu ý.• Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;• Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

Định lý 1.5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I.• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) đồng biến trên I;• Nếu f ′(x) < 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) nghịch biến trên I;• Nếu f ′(x) = 0, ∀x ∈ I thì y = f(x) không đổi trên I.

Lưu ý.• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈ I và f ′(x) = 0 tại hữu hạn điểm của I thì y = f(x) đồng biến trên I.• Khoảng I ở trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng với giả thiết bổ sung : "Hàm số

y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó".

B. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.• Tìm tập xác định Df .• Tính y′ và chỉ ra y′ > 0,∀x ∈ Df (hoặc y′ 6 0, ∀x ∈ Df ).

C. Bài Tập

1.5. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau :a) y = x3 − 3x2 + 1; b) y = −2x3 + 3x2 + 1; c) y = −2x4 + 4x2 + 2;d) y = −x3 + 3x2 − 4x+ 2; e) y = x3 + 3x2 + 3x; f) y = x4 − 6x2 + 8x+ 1;

g) y =x+ 2

x+ 1; h) y =

x2 − 2x+ 2

x− 1; i) y =

√x2 + 6x− 7.

6

Chuyên đề 1. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

1.6. Tìm m để hàm số y = −x3 + (m− 1)x2 − (m− 1)x+ 9 luôn nghịch biến trên R.

1.7. Tìm m để hàm số y = mx3 + (3−m)x2 + 2x+ 2 luôn đồng biến trên R.

1.8. Tìm m để hàm số y =mx− 2

x+m− 3luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

1.9. Tìm m để hàm số y =mx− 3

x+m− 4đồng biến trên (2; +∞).

1.10. Tìm m để hàm số y = x3 − (2m+ 1)x2 + (m2 + 2m)x+ 1 đồng biến trên (0; +∞).

1.11. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 +mx+m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

§3. Cực Trị Của Hàm Số


Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm số f xác định trên tập D và x0 ∈ D.• x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho

(a; b) ⊂ D và f(x) < f(x0), ∀x ∈ (a; b)\x0. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f ;• x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho

(a; b) ⊂ D và f(x) > f(x0), ∀x ∈ (a; b)\x0. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được

gọi chung là cực trị.

Định lý 1.7. Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0. Khi đó, nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thìf ′(x0) = 0.

Định lý 1.8. Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa x0 và có đạo hàm trên (a;x0),(x0; b). Khi đó :• Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a;x0) và f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x0;• Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a;x0) và f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0.

Định lý 1.9. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tạix0. Khi đó :

• Nếuf ′(x0) = 0f ′′(x0) < 0

thì hàm số đạt cực đại tại x0;

• Nếuf ′(x0) = 0f ′′(x0) > 0

thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Lưu ý. Nếu f ′′(x0) = 0 thì hàm số có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại x0.


1. Tìm cực trị của hàm số.• Tìm tập xác định. Tính y′. Tìm các điểm tại đó y′ bằng 0 hoặc không xác định.• Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

2. Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có cực trị.• Tính y′; ∆y′ .• Hàm số có cực trị ⇔ ∆y′ > 0; hàm số không có cực trị ⇔ ∆y′ 6 0.

3. Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) có k cực trị.

• Tính y′ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b

); y′ = 0⇔

[x = 0

x2 = − b

2a

.

• Hàm số có ba cực trị ⇔ − b

2a> 0; hàm số có một cực trị ⇔ − b

2a6 0.

4. Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0.• Tính y′; hàm số đạt cực trị tại x0 ⇒ y′(x0) = 0⇒ m.• Tính y′′; thay m và x0 vào y′′ để kết luận.

Lưu ý. Nếu y′′(x0) = 0 thì phải kiểm tra dấu của y′ để kết luận.

7


C. Bài Tập

1.12. Tìm cực trị của các hàm số sau :a) y = x3 − 3x+ 1; b) y = −2x3 + 3x2 + 1; c) y = −x3 + 3x2 − 3x+ 1;d) y = x3 + 3x2 + 4x− 2; e) y = x4 − 8x2 − 1; f) y = 2x4 − 4x2 + 3;

g) y =2x− 1

x+ 1; h) y =

−x2 + 4x− 5

x− 2; i) y =

√5− 4x− x2.

1.13. Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m− 1)x+ 2 có cực trị.

1.14. Tìm m để hàm số y =1

3(m− 1)x3 + (m− 2)x2 − 4x+ 1 không có cực trị.

1.15. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(2m− 1)x2 + 3 có đúng một cực trị.

1.16. Tìm m để hàm số y = x4 + 2(m2 − 1)x2 + 2 có ba điểm cực trị.

1.17. Tìm m để hàm số y = x3 − (m− 1)x+ 1 đạt cực tiểu tại x = 2.


3x3 −mx2 + (m2 −m+ 1)x+ 1 đạt cực đại tại x = 1.

1.19. Tìm m để hàm số y = −x4 + 2(m− 2)x2 +m− 3 đạt cực đại tại x = 0.

§4. Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số


Định nghĩa 1.10. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D. Khi đó :

• M = maxx∈D

f(x)⇔f(x) 6M, ∀x ∈ D∃x0 ∈ D : M = f(x0)

;

• m = minx∈D

f(x)⇔f(x) > m,∀x ∈ D∃x0 ∈ D : m = f(x0)

.

Lưu ý.• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.


1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].• Tính y′, y′ = 0⇒ xi ∈ [a; b].• Tính y(a), y(b), y(xi); so sánh và kết luận.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.• Tính y′, y′ = 0⇒ xi ∈ D.• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút ra kết luận.

C. Bài Tập

1.20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :a) y = −x3 + 3x2 − 1 trên [−2; 3]; b) y = x3 − 3x+ 4 trên [0; 3];c) y = 2x4 − 16x2 − 1 trên [−4; 1]; d) y = 1 + 4x3 − 3x4 trên [−2; 1];

e) y =x+ 2

2x+ 1trên [0; 2]; f) y = x3 + 3x2 + 5x− 1 trên [−1; 2].

1.21. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) y = x+√

2 cosx trên[0;π

2

]; b) y = 2 sinx− 4

3sin3 x trên [0;π];

c) y = sin4 x− 4 sin2 x+ 5; d) y = sin4 x+ cos4 x.

8


1.22. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :

a) y = x3 − 6x2 + 1 trên (1; 5); b) y =x− 1

x+ 3trên [−1; 2);

c) y = x− 5 +1

xtrên (0; +∞); d) y = −x4 − 2x2 + 3;

e) y =x2 − 2x

x− 1; f) y = x+

√4− x2.

1.23. Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0). Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắnnhất và tính khoảng cách đó.

1.24. Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 − (m− 1)x+ 1 nghịch biến trên khoảng (0; 3).


3mx3 − (m− 1)x2 + 3(m− 2)x+

1

3đồng biến trên nửa khoảng [2; +∞).

§5. Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số


Định nghĩa 1.11. Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x)nếu lim

x→+∞f(x) = y0 hoặc lim

x→−∞f(x) = y0.

Định nghĩa 1.12. Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)nếu lim

x→x+0f(x) = +∞; lim

x→x+0f(x) = −∞; lim

x→x−0f(x) = +∞ hoặc lim

x→x−0f(x) = −∞.

Định nghĩa 1.13. Đường thẳng y = ax + b, (a 6= 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàmsố y = f(x) nếu lim

x→+∞[f(x)− (ax+ b)] = 0 hoặc lim

x→−∞[f(x)− (ax+ b)] = 0.


1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.• Tìm lim

x→±∞f(x)⇒TCN.

• Tìm limx→x±0

f(x)⇒TCĐ.

Lưu ý. x0 thường là một nghiệm của mẫu.

2. Tìm tiệm cận xiên.• C1 : Viết lại hàm số dưới dạng y = ax+ b+ g(x). Chỉ ra lim

x→±∞[y − (ax+ b)] = 0⇒TCX.

• C2 : Tính a = limx→±∞

f(x)

xvà b = lim

x→∞[f(x)− ax]⇒TCX.

C. Bài Tập

1.26. Tìm tiệm cận (nếu có) của các hàm số sau :

a) y =2x− 3

x+ 2; b) y =

3− 4x

x+ 1; c) y =

x+ 2

1− x;

d) y =

√x2 + x

x− 1; e) y =

√x+ 3

x+ 1; f) y = 2x− 1 +

1

x;

g) y =x2 − 4x+ 4

1− x; h) y =

√x2 + x− 1; i) y = x+

√x2 + 2x.

1.27. Tìm m để hàm số y =mx2 − 2m(m− 1)x− 3m2 +m− 2

x+ 2có tiệm cận xiên qua A(−1;−3).

1.28. Tìm m để hàm số y =2x2 + (m+ 1)x− 3

x+mcó giao hai tiệm cận nằm trên (P ) : y = x2 + 2x− 1.

9


1.29. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của hàm số y =mx2 +

(1−m2

)x− 1

x−mbằng 450.

1.30. Tìm m để đồ thị hàm số y =x2 +mx− 1

x− 1có tiệm cận xiên tạo với các trục toạ độ một tam giác có

diện tích bằng 4.

§6. Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số


1. Điểm uốn.

Định nghĩa 1.14. Điểm U (x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại mộtkhoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a;x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tạiđiểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

Mệnh đề 1.15. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa x0, f ′′(x0) = 0 và f ′′(x)đổi dấu khi qua điểm x0 thì U (x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x).

2. Sơ đồ khảo sát tổng quát.1. Tập xác định.2. Sự biến thiên.• Giới hạn, tiệm cận (nếu có).• Bảng biến thiên (tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, tính đơn điệu, cực trị).

3. Đồ thị.• Tương giao với các trục.• Tính đối xứng (nếu có).• Điểm đặc biệt (nếu cần).

B. Các Dạng Đồ Thị Khảo Sát

1. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d (a 6= 0). 2. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0)

O O

y y

x xU U

O O

y y

x x

3. Hàm số y =ax+ b

cx+ d(c 6= 0, ad− bc 6= 0) 4. Hàm số y =

ax2 + bx+ c

dx+ e(a 6= 0, d 6= 0)

O O

y y

x x

I I

O O

y y

x x

I I

10


C. Bài Tập

1.31. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

a) y = x3 + 3x2 − 4; b) y = −x3 + 3x− 2; c) y =1

3x3 − x2 − 3x− 5

3;

d) y = x3 + 3x2 + 3x+ 1; e) y = x3 + x− 2; f) y = −2x3 − x− 3.

1.32. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :a) y = −x4 + 2x2 − 2; b) y = 2x4 − 4x2 + 1; c) y = x4 − 4x2 + 3;d) y = x4 + 2x2 − 1; e) y = −2x4 − 4x2 + 1; f) y = 3− 2x2 − x4.


a) y =x− 2

x− 1; b) y =

x+ 3

x+ 1; c) y =

x− 3

2− x;

d) y =x− 2

x+ 1; e) y =

2− xx+ 1

; f) y =−x+ 2

2x+ 1.


a) y =x2 + 2x+ 2

x+ 1; b) y =

2x2 − x+ 1

1− x; c) y = x− 1 +

1

x+ 1;

d) y =x2 − 2x

x− 1; e) y =

−x2 − 2x

x+ 1; f) y = −x+ 2 +

1

x− 1.

CÁC BÀI TOÁN THI

1.35. (THPTQG-2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x.

1.36. (THPTQG-2015) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+4

xtrên đoạn [1; 3].

1.37. (A-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =x+ 2

x− 1.

1.38. (B-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x+ 1.

1.39. (D-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x− 2.

1.40. (CĐ-2014) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 − 1.

1.41. (CĐ-2014) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2√x+√

5− x.

1.42. (A-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 − 1.

1.43. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx− 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

1.44. (B-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 6x.

1.45. (D-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1.

1.46. (D-2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =2x2 − 3x+ 3

x+ 1trên đoạn [0; 2].

1.47. (CĐ-2013) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x+ 1

x− 1.

1.48. (A-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2.

1.49. (B-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3.

1.50. (D-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2

3x3 − x2 − 4x+

2

3.

1.51. (CĐ-2012) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x+ 3

x+ 1.

11


1.52. (A-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =−x+ 1

2x− 1.

1.53. (B-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 4x2.

1.54. (D-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1.

1.55. (D-2011) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =2x2 + 3x+ 3

x+ 1trên đoạn [0; 2].

1.56. (CĐ-2011) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −1

3x3 + 2x2 − 3x+ 1.

1.57. (A-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + 1.

1.58. (B-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1.

1.59. (D-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6.

1.60. (CĐ-2010) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 1.

1.61. (A-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =x+ 2

2x+ 3.

1.62. (B-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2.

1.63. (D-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2.

1.64. (CĐ-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2.

ĐÁP SỐ

[1.6] 1 6 m 6 4 [1.7] 6 − 3√

3 6 m 6 6 + 3√

3 [1.8] 1 < m < 2 [1.9] m > 3 [1.10] m = 1;x 6 −2

[1.11] m =9

4[1.13] m < 4 [1.14] m = 0 [1.15] m 6

1

2[1.16] −1 < m < 1 [1.17] m = 3 [1.18] m = 2

[1.19] m 6 0 [1.23] M(−1; 1) [1.24] m > 10 [1.25] m >2

3[1.27] m = −3

2[1.28] m = 1;m = −2 [1.29]

m = −1 [1.30] m = −1 ± 2√

3 [1.36] max[1;3]

f (x) = f (3) = 5; min[1;3]

f (x) = f (2) = 4 [1.41] max[0;5]

f (x) =

f (4) = 5; min[0;5]

f (x) = f (0) =√

5 [1.43] m 6 −1 [1.46] max[0;2]

f (x) = f (0) = 3; min[0;2]

f (x) = f (1) = 1

[1.55] max[0;2]

y = y (2) =17

3; min

[0;2]y = y (0) = 3.

12

Chuyên đề 2

Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo SátHàm Số

§1. Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước

A. Phương Pháp

• Chỉ ra điều kiện để hàm số có cực trị.• Tìm các điểm cực trị.• Chỉ ra điều kiện để cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lưu ý. Nếu phương trình y′ có nghiệm phức tạp thì gọi nghiệm là x1, x2 và sử dụng Định lý Vi-ét.

B. Bài Tập

2.1. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m+ 1)x2 + 9x−m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa |x1 − x2| 6 2.

2.2. Tìm m để hàm số y = x3 − 3 (m+ 1)x2 + 3m (m+ 2)x+ 1 đạt trị tại các điểm có hoành độ dương.

2.3. Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 1 có cực đại cực tiểu nằm về hai phía trục hoành.

2.4. Tìm m để hàm số y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x+ 1 có cực trị đồng thời giá trị cực đại củahàm số lớn hơn 1.

2.5. Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3m(m+ 2)x+ 1 có hai điểm cực trị đồng thời khoảng cách giữachúng bằng 2

√5.

2.6. Tìmm để hàm số y = x3−3mx−3m+1 có cực trị đồng thời chúng cách đều đường thẳng d : x−y = 0.

2.7. Tìm m để hàm số y = x3 − 3

2mx2 +

1

2m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

2.8. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − (m + 1)x + 2 có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng qua haiđiểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = 2x+ 3 một góc 450.

2.9. Tìm m để hàm số y = x4 − 2m2x2 + 1 có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông.

2.10. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.


2x4 + 4mx2 + 4m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích

bằng 16.

2.12. Tìm m để hàm số y = −x4 + 4mx2 − 4m có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác nhận điểm

H

(0;−1

2

)làm trực tâm.

13


§2. Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị


1. Giao điểm của hai đồ thị.• Hoành độ giao điểm của (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).• Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).

Lưu ý. Phương trình f(x) = g(x) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.

2. Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị.

• Hoành độ điểm tiếp xúc của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình

f(x) = g(x)

f ′(x) = g′(x).

B. Bài Tập

2.13. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x− 2 và parabol y = x2 − 4x+ 2.

2.14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + 7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx− 9.

2.15. Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m+ 3)x2 + 18mx− 8 tiếp xúc với trục hoành.

2.16. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x+ 8m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

2.17. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 +mx+ 3 cắt đường thẳng y = 1 tại đúng một điểm.

2.18. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 −mx2 + 4x + 4m − 16 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cóhoành độ dương.

2.19. Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị hàm số y = −2x3 + 6x2 + 1 tại ba điểm phân biệtA(0; 1), B,C sao cho B là trung điểm AC.

2.20. Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt đồ thị hàm số y = (2−m)x3 − 6mx2 + 9(2−m)x− 2 tại bađiểm phân biệt A(0;−2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng

√13.

2.21. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + (3 −m)x + 3 −m cắt đường thẳng y = −14 tại ba điểmphân biệt có hoành độ không nhỏ hơn −9.

2.22. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2 + 3(1−m)x+ 1 + 3m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoànhđộ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x1 < 1 < x2 < x3.

2.23. Tìm m để đồ thị hàm số y = (m− 1)x4 − 2x2 + 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

2.24. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m+ 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

2.25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4− (3m+ 4)x2 +m2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoànhđộ lập thành cấp số cộng.

2.26. Tìm m để đường thẳng y = −x+m cắt đồ thị hàm số y =2x− 1

x− 1tại hai điểm phân biệt.

2.27. Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y =2x− 1

x+ 1tại hai điểm

thuộc hai nhánh phân biệt.

2.28. Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng y = 2x + m luôn cắt đồ thị hàm số y =x+ 3

x+ 1tại hai điểm phân biệt M,N . Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

2.29. Tìm m để đường thẳng y = −2x+m cắt đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1tại hai điểm phân biệt A,B sao

cho tam giác OAB vuông tại O.

14

Chuyên đề 2. Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số

§3. Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số


• Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x0; y0) là k = y′(x0).• Phương trình tiếp tuyến tại M (x0; y0) là y = y′(x0) (x− x0) + y0.

B. Các Dạng Tiếp Tuyến

1. Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0).• Tính y′ ⇒ y′(x0)⇒ PTTT.

Lưu ý.∗ Nếu đề chỉ cho x0 thì gọi điểm tiếp xúc là M(x0; y0) và tính y0 = y(x0).∗ Nếu đề chỉ cho y0 thì gọi điểm tiếp xúc là M(x0; y0) và giải phương trình y0 = y(x0)⇒ x0.∗ Nếu đề chưa cho x0, y0 thì gọi điểm tiếp xúc là M(x0; y0) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.

2. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.• Gọi điểm tiếp xúc M(x0; y0); Tính y′; Giải phương trình y′(x0) = k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ PTTT.

Lưu ý.∗ Tiếp tuyến song song ∆⇒ kTT = k∆.

∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆⇒ kTT = − 1

k∆.

C. Bài Tập

2.30. Cho hàm số y = x3− 3x2 + 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoànhđộ x = 3.

2.31. Cho hàm số y =x− 3

x+ 1có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ

y = −3.

2.32. Cho hàm số y =x+ 2

x− 1có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C)

và đường thẳng y = −x+ 6.

2.33. Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m+ 1)x+ 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểmcó hoành độ x = −1 đi qua điểm A (1; 2).

2.34. Cho hàm số y = x3 + 1−m (x+ 1) có đồ thị (Cm). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (Cm)tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tạo thành tam giác códiện tích bằng 8.

2.35. Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếptuyến qua điểm M(−1; 6).


x− 2có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến qua

điểm A(−6; 5).


2(x+ 1)có đồ thị (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C)

tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : 4x+ y = 0.


x+ 1có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm (S) bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của

(C) tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm PQ.

2.39. Cho hàm số y = x3 − 12x + 12 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được batiếp tuyến đến (C).

15


2.40. Cho hàm số y =2x+ 1

x− 2có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp

tuyến bằng −5.

2.41. Cho hàm số y =−x+ 3

2x− 1có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song

song với đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ.

2.42. Cho hàm số y = −x4 − x2 + 6 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyếnvuông góc với đường thẳng d : x− 6y + 5 = 0.

2.43. Cho hàm số y =x

x− 1có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến và hai

tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân.

2.44. Cho hàm số y = x3 + 3x2 +mx+ 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại bađiểm phân biệt C (0; 1) , D,E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.


x− 2có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x+m cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau.

§4. Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Dựa vào đồ thị (C) : y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x,m) = 0.• Đưa phương trình về dạng f(x) = k(m).• Vẽ đường thẳng y = k(m) bất kỳ song song với trục Ox.• Số nghiệm phương trình g(x,m) = 0 là số giao điểm của (C) với đường thẳng y = k(m).• Dựa vào mối tương quan trong hình vẽ để biện luận.

2. Vẽ đồ thị hàm số y = f (|x|).• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và bỏ phần đồ thị bên trái Oy.• Đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy.

3. Vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|.• Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).• Đối xứng phần đồ thị dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị dưới Ox.

B. Bài Tập

2.46. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 1. Biện luận theo m số nghiệm củaphương trình x3 − 3x2 −m = 0.

2.47. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x3−3x2+1. Tìmm để phương trình 4x3−6x2−m = 0có ba nghiệm phân biệt.

2.48. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 3. Biện luận theo m số nghiệm củaphương trình x4 − 2x2 +m− 1 = 0.

2.49. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4−4x2+3. Tìmm để phương trình1

2x4−2x2+m = 0

có bốn nghiệm phân biệt.

2.50. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −2x3 + 3x2 − 2. Tìm m để phương trình 2|x|3 −3x2 + 2 (m+ 1) = 0 có đúng bốn nghiệm.

2.51. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x − 1. Tìm m để phương trình sau có banghiệm phân biệt |x|3 − 3|x|+ (m− 1)2 = 0.

2.52. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4. Tìm m để phương trình sau có bốnnghiệm phân biệt |x− 1|3 − 3(x− 1)2 −m = 0.

16


2.53. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x+ 1. Tìm m để phương trình∣∣x3 − 3x+ 1

∣∣−2m2 +m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

2.54. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4−4x2 +3. Tìmm để phương trình∣∣x4 − 4x3 + 3

∣∣ =m có đúng tám nghiệm.

2.55. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 4. Biện luận theo m số nghiệm củaphương trình (x+ 2)2 =

m

|x− 1|.

§5. Điểm Thuộc Đồ Thị

2.56. Tìm m để đồ thị hàm số y =m2x− 2

x− 1qua điểm A (2; 6).

2.57. Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x là tâm đối xứng của nó.

2.58. Tìm m để đồ thị hàm số y = −x3

m+ 3x2 − 2 nhận I (1; 0) làm điểm uốn.

2.59. Tìm trên đồ thị hàm số y =2x− 1

x− 1các điểm có tọa độ nguyên.

2.60. Tìm trên đồ thị hàm số y =−x2 + 3x− 1

x− 1các điểm có toạ độ nguyên.

2.61. Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm) : y = x3 + 2 (m− 1)x2 +(m2 − 4m+ 1

)x− 2

(m2 + 1

).

2.62. Tìm trên đồ thị hàm số y =3x+ 1

x− 2hai điểm đối xứng nhau qua M (−2;−1).


x− 1có đồ thị (C). Tìm trên (C) hai điểm phân biệt A,B đối xứng nhau qua

đường thẳng d : x+ 2y − 3 = 0.

2.64. Tìm trên đồ thị hàm số y =x

x+ 1những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

d : 3x+ 4y = 0 bằng 1.


x+ 1có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.

2.66. Cho hàm số y =x2 − x+ 1

x− 1. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao

điểm I của hai tiệm cận là nhỏ nhất.

2.67. Cho hàm số y =3x− 5

x− 2có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai

tiệm cận là nhỏ nhất.


x+ 1có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục

toạ độ là nhỏ nhất.

2.69. Tìm hai điểm trên hai nhánh đồ thị hàm số y =x− 2

x− 1có khoảng cách bé nhất.

CÁC BÀI TOÁN THI

2.70. (A-2014) Cho hàm số y =x+ 2

x− 1có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách

từ M đến đường thẳng y = −x bằng√

2.

17


2.71. (B-2014) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 1 có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giácABC cân tại A, biết A(2; 3).

2.72. (D-2014) Cho hàm số y = x3 − 3x − 2 có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếptuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.

2.73. (CĐ-2014) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị(C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x = 1.

2.74. (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx− 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

2.75. (B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A và B sao chođường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x+ 2.

2.76. (D-2013) Tìm m để đường thẳng y = −x+ 1 cắt đồ thị hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m− 1)x+ 1 tạiba điểm phân biệt.

2.77. (CĐ-2013) Cho hàm số y =2x+ 1

x− 1có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp

tuyến của (C) tại M cắt các trục Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

2.78. (A-2012) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh củamột tam giác vuông.

2.79. (B-2012) Tìm m để hàm số y = x3− 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 48.

2.80. (D-2012) Tìm m để hàm số y =2

3x3−mx2− 2

(3m2 − 1

)x+

2

3có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho

x1x2 + 2 (x1 + x2) = 1.

2.81. (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số y =2x+ 3

x+ 1, biết d vuông góc với đường

thẳng y = x+ 2.

2.82. (A-2011) Cho hàm số (C) : y =−x+ 1

2x− 1. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+m luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.

2.83. (B-2011) Tìm m để hàm số y = x4 − 2 (m+ 1)x2 + m có ba cực trị A,B,C sao cho OA = BC,trong đó O là gốc tọa độ và A thuộc trục tung.

2.84. (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1tại hai điểm phân

biệt A,B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

2.85. (CĐ-2011) Cho hàm số y = −1

3x3 + 2x2 − 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

2.86. (A-2010) Tìm m để hàm số y = x3− 2x2 + (1−m)x+m có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phânbiệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x2

1 + x22 + x2

3 < 4.

2.87. (B-2010) Tìm m để đường thẳng y = −2x+m cắt đồ thị hàm số y =2x+ 1

x+ 1tại hai điểm phân biệt

A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng√

3, O là gốc tọa độ.

2.88. (D-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông

góc với đường thẳng y =1

6x+ 1.

2.89. (CĐ-2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 1 tại điểm có hoành độbằng −1.

18


2.90. (A-2009) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =x+ 2

2x+ 3, biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

2.91. (B-2009) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2. Với các giá trị nào của m,phương trình x2

∣∣x2 − 2∣∣ = m có đúng sáu nghiệm thực phân biệt.

2.92. (B-2009) Tìm m để đường thẳng y = −x+m cắt đồ thị hàm số y =x2 − 1

xtại hai điểm phân biệt

A,B sao cho AB = 4.

2.93. (D-2009) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m+ 2)x2 + 3m tại bốn điểmphân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

2.94. (CĐ-2009) Tìm m để hàm số y = x3 − (2m− 1)x2 + (2−m)x+ 2 có cực đại, cực tiểu và các điểmcực trị có hoành độ dương.

ĐÁP SỐ

[2.1] −3 < m < −1 −√

3; −1 +√

3 < m < 1 [2.2] m > 0 [2.3] m >13√

4[2.4] m > −3

2, m 6= 0

[2.5] m = 0; m = −2 [2.6] m =1

3[2.7] m = ±

√2 [2.8] =

1

2[2.9] m = ±1 [2.10] m = 3

√3 [2.11]

m = −1 [2.12] m = 1 [2.14] m = 0 [2.15] m =35

27; m = 1; m = 4 ± 2

√6 [2.16] −1

6< m <

1

2, m 6= 0

[2.17] m > −3 [2.18] −2 + 4√

2 < m < 4 [2.19] m = 4 [2.20]m = 14; m =14

3[2.21] 12 < m < 62

[2.22] m > 1 [2.23] 1 < m <3

2[2.24] m = 1; m <

1

2[2.25] m = 12; m = −12

19[2.26] m > 5;

m < 1 [2.27] m < 0 [2.28] m = 3 [2.29] m = −5

3[2.30] y = 9x − 26 [2.31] y = 4x − 3 [2.32]

y = −3x + 10; y = −1

3x + 4 [2.33] m =

5

8[2.34] 9 ± 4

√5; −7 ± 4

√3 [2.35] y = 6; y = −9x − 3 [2.36]

y = −x−1; y = −1

4x [2.37]M

(−1

2;−3

2

)M

(−3

2;5

2

)[2.39] m < −4; m >

4

3, m 6= 2 [2.40] y = −5x+2;

y = −5x+ 22 [2.41] y = −x+√

5; y = −x−√

5 [2.42] y = −6x+ 10 [2.43] y = −x; y = −x+ 4 [2.44]

m =9±√

65

8[2.45] m = −2 [2.47] −2 < m < 0 [2.49] 0 < m < 2 [2.50] −1 < m < −1

2[2.51]

m = 1 [2.52] −4 < m < 0 [2.53] m = −1; m = 0; m =1

2; m =

3

2[2.54] 0 < m < 1 [2.56]

m = ±2 [2.58] m = 1 [2.59] M(0; 1); M(2; 3) [2.60] M(0; 1); M(2; 1) [2.61] M(2; 0) [2.62] M(1;−4);

M(−5; 2) [2.63] A (0;−1) , B (2; 3) [2.64] M(

1;1

2

); M

(−5

3;−5

2

); M

(−6±

√21

3;43∓ 3

√21

52

)[2.65]

M

(3±√

13

2;3±√

13

2

); M

(−5±

√21

2;5±√

21

2

)[2.66] M

(1± 1

4√

2; 1± 4

√2± 1

4√

2

)[2.67] M(3; 4);

M(1; 2) [2.68]M(√

2−1; 1−√

2) [2.69]M(0; 2);M(2; 0) [2.70]M(0;−2);M(−2; 0) [2.71] m =1

2[2.72]

M(2; 0); M(−2;−4) [2.73] y = 3x− 2 [2.74] m 6 −1 [2.75] m = 0; m = 2 [2.76] m < 0; m >8

9[2.77]

S =121

6[2.78] m = 0 [2.79] m = ±2 [2.80] m =

2

3[2.81] y = −x + 3; y = −x − 1 [2.82] m = −1

[2.83] m = 2 ± 2√

2 [2.84] k = −3 [2.85] y = −3x + 1 [2.86] −1

4< m < 1, m 6= 0 [2.87] m = ±2

[2.88] y = −6x + 10 [2.89] y = −3x − 2 [2.90] y = −x − 2 [2.91] 0 < m < 1 [2.92] m = ±2√

6 [2.93]

−1

3< m < 1; m 6= 0 [2.94]

5

4< m < 2.

19


20

Chuyên đề 3

Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và HàmSố Lôgarit

§1. Lũy Thừa


1. Các định nghĩa.• Lũy thừa với số mũ nguyên dương : an = a.a...a︸︷︷︸

n thừa số

(a ∈ R, n ∈ N∗).

• Lũy thừa với số mũ 0 : a0 = 1 (a 6= 0).• Lũy thừa với số mũ nguyên âm : a−n = 1

an (a 6= 0, n ∈ N∗).• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ : a

mn = n

√am (a > 0;m,n ∈ Z;n > 2).

• Lũy thừa với số mũ thực : aα = limn→+∞

arn(a > 0; (rn) ⊂ Q; lim

n→+∞rn = α

).

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có

• aα.aβ = aα+β. • aα

aβ= aα−β.

• (aα)β = aαβ.

• (ab)α = aα.bα. •(ab

)α=aα

bα.

• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β. • Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β.• Nếu α > 0 thì 0 < a < b⇔ aα < bα. • Nếu α < 0 thì 0 < a < b⇔ aα > bα.

B. Bài Tập

3.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau :

a) (0, 04)−1,5 − (0, 125)−23 ; b) 27

23 +

(1

16

)−0,75

− 250,5;

c) 81−0,75 +

(1

125

)− 13

−(

1

32

)− 35

; d)102+

√7

22+√

7.51+√

7.

3.2. Rút gọn các biểu thức sau :

a)a

13

√b+ b

13√a

6√a+ 6√b

; b)√a−√b

4√a− 4√b−√a− 4√ab

4√a+ 4√b;

c)

(a2√

3 − 1)(

a2√

3 + a√

3 + a3√

3)

a4√

3 − a√

3; d)

(a+

b32

a12

) 23(a

12 − b

12

a12

+b12

a12 − b

12

)− 23

.

3.3. Hãy so sánh các cặp số sau :a) 3√

10 và 5√

20; b) 4√

13 và 5√

23;c) 3600 và 5400; d) 3

√7 +√

15 và√

10 + 3√

28.

21


§2. Lôgarit


1. Định nghĩa. α = logab⇔ aα = b (a, b > 0; a 6= 1).2. Tính chất.• loga1 = 0. • logaa = 1. • alogab = b. • loga (aα) = α.• Nếu a > 1 thì logab > logac⇔ b > c. • Nếu 0 < a < 1 thì logab > logac⇔ b < c.

3. Quy tắc tính.

• loga (bc) = logab+ logac. • logab

c= logab− logac.

• loga1

b= −logab. • logab

α = αlogab.

• logan√b =

1

nlogab. • logab = logac.logcb.

• logab =1

logba. • logaαb =

1

αlogab.

4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.• Lôgarit thập phân : Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu : log x hoặc lg x.• Lôgarit tự nhiên : Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu : lnx.

B. Bài Tập

3.4. Tính :a) log3

4√

3; b) log258.log85;c) 3log2log416 + log 1

22; d) log 72− 2 log

27

256+ log

√108.

3.5. Đơn giản biểu thức :

a) loga

(a2. 3√a.

5√a4

4√a

); b) log5log5

5

√5

√...

5√

5︸︷︷︸n dấu căn

;

c)log24 + log2

√10

log220 + log28; d)

log224− 12 log272

log318− 13 log372

;

e) 161+log45 + 412

log23+3log55; f)(

8114− 1

2log94 + 25log1258

)49log72.

3.6. So sánh các cặp số sau :

a) log3

6

5và log3

5

6; b) log 1

2e và log 1

2π;

c) log210 và log530; d) log310 và log857.

3.7. Tính log14063 theo a, b, c, biết a = log23, b = log35, c = log72.

3.8. Tính log54168 theo a, b, biết a = log712, b = log1224.

§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit


1. Hàm số luỹ thừa.• Dạng : y = xα (α ∈ R).• Tập xác định :

Nếu α nguyên dương thì D = R.Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\ 0.Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞).

• Đạo hàm : y′ = αxα−1.• Tính chất : (Xét trên (0; +∞))

α > 0 : Hàm số luôn đồng biến.α < 0 : Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

α > 0 α < 0

22

Chuyên đề 3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

2. Hàm số mũ.• Dạng : y = ax (0 < a 6= 1).• Tập xác định : D = R.• Đạo hàm : y′ = ax ln a.• Tính chất :

a > 1 : Hàm số luôn đồng biến.a < 1 : Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

a > 1 0 < a < 1

1 1

3. Hàm số lôgarit.• Dạng : y = loga x (0 < a 6= 1).• Tập xác định : D = (0; +∞).• Đạo hàm : y′ = 1

x ln a .• Tính chất :

a > 1 : Hàm số luôn đồng biến.a < 1 : Hàm số luôn nghịch biến.

O O

y y

x x

a > 1 0 < a < 1

1 1

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.• (xα)′ = αxα−1. • (uα)′ = αuα−1.u′.• (ex)′ = ex. • (eu)′ = u′eu. • (ax)′ = ax ln a. • (au)′ = u′au ln a.

• (lnx)′ =1

x. • (lnu)′ =

u′

u. • (logax)′ =

1

x ln a. • (logau)′ =

u′

u ln a.

B. Bài Tập

3.9. Tìm tập xác định của các hàm số sau :a) y = (x2 − 3x+ 2)−4; b) y =

(2− x2

) 27 ;

c) y =(x2 − x− 2

)√2; d) y = (3x− x2)π.

3.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau :a) y = log2(1− 7x); b) y = ln(x2 − 4x+ 3);

c) y = log0,4

3x+ 2

1− x; d) y = log

x2 − 2x

2x− 1.

3.11. Tính đạo hàm của các hàm số sau :a) y = 3x2 − lnx+ 4 sinx; b) y =

(e4x + 1− lnx

)π;c) y = 2xex + 3 sin 2x; d) y = ln

ex

1 + ex;

e) y =2 lnx+ 1

4 lnx− 5; f) y = ln

(2ex + ln

(x2 + 3x+ 5

)).

3.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :a) y = x− e2x trên [0; 1]; b) y = e2x − 2ex trên [−1; 2];c) y = (x+ 1) ex trên [−1; 2]; d) y = ln

(3 + 2x− x2

)trên [0; 2];

e) y = x2 − ln (1− 2x) trên [−2; 0]; f) y = x2 lnx trên [1; e];g) y = x2e−x trên [0; ln 8]; h) y = 5x + 51−x trên [0; log58].

§4. Phương Trình, Bất Phương Trình Mũ


1. Phương trình mũ cơ bản.• Dạng : ax = b (0 < a 6= 1).• Cách giải :

b 6 0 : Phương trình vô nghiệm.b > 0 : ax = b⇔ x = logab.

2. Bất phương trình mũ cơ bản.• Dạng : ax > b (0 < a 6= 1).• Cách giải :

b 6 0 : S = R.b > 0, a > 1 : ax > b⇔ x > logab.

0 < a < 1 : ax > b⇔ x < logab.

Lưu ý. Các dạng ax > b; ax < b; ax 6 b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

23


B. Bài Tập

3.13. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 22x−1 = 3; b) 2−x

2+3x < 4;c) 32x−1 + 32x = 108; d) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2.

3.14. Giải các phương trình, bất phương trình sau :

a) 2x2−x+8 = 41−3x; b) 25x

2+1 <

(1

5

)5x

;

c)1

8.162x−5 6 4.

(1

32

)x+3

; d) 4√

3.2432x+3x+8 = 3−2.9

x+8x+2 .

3.15. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 42x+1.54x+3 = 5.102x2+3x+1; b) 2x

2.7x

2+1 < 7.142x2−4x+3;

c)(3 + 2

√2)x+1

>(3− 2

√2)2x+8

; d)(√

5 + 2)x−1

=(√

5− 2)x−1x+1 .

3.16. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 64x − 8x − 56 = 0; b) 4x − 3.2x + 2 > 0;c) 32.4x + 1 < 18.2x; d) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0;e) 22+x − 22−x = 15; f) 5x + 51−x > 6.


a)(2 +√

3)x

+(2−√

3)x> 4; b)

(√5 + 2

√6)x

+(√

5− 2√

6)x

= 10;

c)(7 + 3

√5)x

+ 5.(7− 3

√5)x

= 6.2x; d)(7 + 4

√3)x − 3

(2−√

3)x

+ 2 = 0.

3.18. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 3.4x − 2.6x = 9x; b) 2.16x+1 + 3.81x+1 > 5.36x+1;c) 5.2x = 7

√10x − 2.5x; d) 27x + 12x = 2.8x.

3.19. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 4x+

√x2−2 − 5.2x−1+

√x2−2 − 6 = 0; b) 52x−10−3

√x−2 − 4.5x−5 < 51+3

√x−2;

c)√

9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9; d)4− 5x

52x − 5x+1 + 66 1.

3.20. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 3x = 11− x; b) 2x > 6− x;c) 2

√3−x = −x2 + 8x− 14; d) 2x = x+ 1.

3.21. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) 3x + 4x = 5x; b) 1 + 8

x2 = 3x;

c) 1 + 2x+1 + 3x+1 < 6x; d) 4x + 7x = 3x + 8x.

3.22. Giải các phương trình sau :a) 4x + (2x− 17) .2x + x2 − 17x+ 66 = 0; b) 9x + 2 (x− 2) .3x + 2x− 5 = 0;c) 32x +

√3x + 7 = 7; d) 27x + 2 = 3 3

√3x+1 − 2.

3.23. Giải các phương trình sau :a) 2x

2= 3x; b) 2x

2−4 = 3x−2;

c) 8x.5x2−1 =

1

8; d) 5x.8

x−1x = 500.

3.24. Giải các phương trình sau :a) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x; b) 2x

2−5x+6 + 21−x2 = 2.26−5x + 1;c) 4x

2+x + 21−x2 = 2(x+1)2 + 1; d) x2.2x−1 + 2|x−3|+6 = x2.2|x−3|+4 + 2x+1.

24


§5. Phương Trình, Bất Phương Trình Lôgarit


1. Phương trình lôgarit cơ bản.• Dạng : logax = b (0 < a 6= 1).• Cách giải : logax = b⇔ x = ab.

2. Bất phương trình lôgarit cơ bản.• Dạng : logax > b (0 < a 6= 1).• Cách giải : a > 1 : logax > b⇔ x > ab.

0 < a < 1 : logax > b⇔ 0 < x < ab.

Lưu ý. Các dạng logax > b; logax < b; logax 6 b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.

B. Bài Tập

3.25. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log3 (x− 2) = 2; b) log3(x2 + 2x) = 1;c) log 1

2(x2 + 3x) > −2; d) log0,5

x+ 1

2x− 1> 1.

3.26. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log2x+ log3x+ log4x = log20x; b) log2

(x−√x2 − 1

)+ 3log2

(x+√x2 − 1

)= 2;

c)log2

(3.2x−1 − 1

)x

> 1; d)x− 1

log3 (9− 3x)− 36 1.


a) log2 log4(x2 + 15x) = 1; b) log 12log3

x+ 1

x− 1> 0;

c) log3log4

3x− 1

x+ 16 log 1

3log 1

4

x+ 1

3x− 1; d) log 1

3log5

(√x2 + 1 + x

)> log3log 1

5

(√x2 + 1− x

).

3.28. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log3 (5x+ 3) = log3 (7x+ 5); b) log 1

2(2x2 − x) 6 log 1

2(3x);

c) log3(2x+ 3) = log√3 x; d) log2 (x+ 3) < log4 (2x+ 9).

3.29. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log2x+ log2 (x− 2) = 3; b) log2

(x2 + 8

)= log2x+ log26;

c) log2

(x2 − 1

)= log 1

2(x− 1); d) log 1

2(x− 1) + log 1

2(x+ 1)− log 1√

2(7− x) = 1.

3.30. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log√2

√x+ 1− log 1

2(3− x)− log8(x− 1)3 = 0; b)

1

2log√2 (x+ 3) +

1

4log4(x− 1)8 = log24x;

c) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2

1

4.2x − 3= 0; d) log2

(8− x2

)+ log 1

2

(√1 + x+

√1− x

)− 2 = 0.

3.31. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log2

2 x− 3log2x+ 2 = 0; b) log 12x+ log2

2 x < 2;

c) log2x3 − 20 log√x+ 1 = 0; d) log2

4 (2x+ 1) +3

4log2 (2x+ 1)− 1 = 0.


a) log3 (3x + 1) .log3

(3x+2 + 9

)= 3; b) log4 (19− 2x) log2

19− 2x

86 −1;

c)√

log2√2x+ log2x

4 − 8 > log√2

x2

4; d)

√log3x+

√4− log3x = 2.

3.33. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log 1

2(3 + x) = 2x − 4; b) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) 6 2;

c) log2

(x2 − 4

)+ x = log2 [8 (x+ 2)]; d) 4 (x− 2) [log2 (x− 3) + log3 (x− 2)] = 15 (x+ 1).

3.34. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) x2 + 3log2x = xlog25; b) xlog29 = x2.3log2x − xlog23;c) log2

(x+ 3log6x

)= log6x; d) 7x−1 = 6 log7(6x− 5) + 1.

25


3.35. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) log2

2 x+ (x− 4) log2x− x+ 3 = 0; b) (x+ 2) log23 (x+ 1) + 4 (x+ 1) log3 (x+ 1)− 16 = 0;

c) log2 (1 +√x) = log3x; d) log7x < log3 (2 +

√x).

§6. Hệ Phương Trình Mũ Và Lôgarit

3.36. Giải hệ phương trình sau :

a)

3y+1 − 2x = 54x − 6.3y + 2 = 0

; b)

42x2−2 − 22x2+y + 4y = 1

22y+2 − 3.22x2+y = 16;

c)

log(x2 + y2

)= 1 + log 8

log (x+ y)− log (x− y) = log 3; d)

x2 − y2 = 2log2 (x+ y)− log3 (x− y) = 1

.

3.37. Giải hệ phương trình sau :

a)

3x − 3y = y − xx2 + xy + y2 = 12

; b)x3 − y3 = 2y − 2x(x4 + 1

) (y2 + y − 1

)+ x (y − 2) = 1

;

c)

x+√x2 − 2x+ 2 = 3y−1 + 1

y +√y2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1

; d)

ln (1 + x)− ln (1 + y) = x− yx2 − 12xy + 20y2 = 0

.

3.38. Chứng minh với mọi a > 0, hệ

ex − ey = ln (1 + x)− ln (1 + y)y − x = a

có nghiệm duy nhất.

CÁC BÀI TOÁN THI

3.39. (THPTQG-2015) Giải phương trình log2

(x2 + x+ 2

)= 3.

3.40. (D-2014) Giải phương trình log2 (x− 1)− 2log4 (3x− 2) + 2 = 0.

3.41. (CĐ-2014) Giải phương trình 32x+1 − 4.3x + 1 = 0.

3.42. (B-2013) Giải hệ phương trình

x2 + 2y = 4x− 1

2 log3(x− 1)− log√3(y + 1) = 0.

3.43. (D-2013) Giải phương trình 2 log2 x+ log 12(1−

√x) =

1

2log√2 (x− 2

√x+ 2).

3.44. (CĐ-2012) Giải bất phương trình log2(2x). log3(3x) > 1.

3.45. (CĐ-2011) Giải bất phương trình 4x − 3.2x+√x2−2x−3 − 41+

√x2−2x−3 > 0.


log2 (3y − 1) = x4x + 2x = 3y2 .

3.47. (D-2010) Giải hệ phương trìnhx2 − 4x+ y + 2 = 02log2 (x− 2)− log√2y = 0

.

3.48. (A-2009) Giải hệ phương trình

log2

(x2 + y2

)= 1 + log2 (xy)

3x2−xy+y2 = 81

.

ĐÁP SỐ

[3.1a] 121 [3.1b] 12 [3.1c] −80

27[3.1d] 5 [3.2a] 3

√ab [3.2b] 4

√b [3.2c] a

√3 + 1 [3.2d] 3

√(a− b)2 [3.3a]

3√

10 > 5√

20 [3.3b] 4√

13 > 5√

23 [3.3c] 3600 > 4500 [3.3d] 3√

7+√

15 <√

10+ 3√

28 [3.4a]1

4[3.4b]

1

2[3.4c] 2

[3.4d] 20 log 2− 5

2log 3 [3.5a]

173

60[3.5b] −n [3.5c]

1

2[3.5d]

9

8[3.5e] 448 [3.5f] 19 [3.6a] log3

6

5> log3

5

6

[3.6b] log 12e > log 1

2π [3.6c] log2 10 > log5 30 [3.6d] log3 10 > log8 57 [3.7]

2ac+ 1

2c+ abc+ 1[3.8]

ab+ 1

a(8− 5b)

26


[3.9a] R\1; 2 [3.9b] (−√

2;√

2) [3.9c] (−∞;−1) ∪ (2; +∞) [3.9d] (0; 3) [3.10a](−∞;

1

7

)[3.10b]

(−∞; 1) ∪ (3; +∞) [3.10c](−2

3; 1

)[3.10d]

(−∞;

1

2

)∪ (3; +∞) [3.11a] y′ = 6x− 1

x+ 4 cosx

[3.11b] y′ = π

(4e4x − 1

x

)(e4x + 1− lnx

)π−1 [3.11c] y′ = 2ex + 2xex + 6 cos 2x [3.11d] y′ =1

1 + ex

[3.11e] y′ = − 14

x(4 lnx− 5)2[3.11f] y′ = − 2ex(x2 + 3x+ 5) + 2x+ 3

(x2 + 3x+ 5)(2ex + ln(x2 + 3x+ 5))[3.12a] max

[0;1]y = y (0) =

−1; min[0;1]

y = y (1) = 1 − e2 [3.12b] max[−1;2]

y = y (2) = e4 − 2e2; min[−1;2]

y = y (0) = −1 [3.12c] max[−1;2]

y =

y (2) = 3e2; min[−1;2]

y = y (−1) = 0 [3.12d] max[0;2]

y = y (1) = ln 4; min[0;2]

y = y (0) = y (2) = ln 3 [3.12e]

max[−2;0]

y = y (−2) = 4 − ln 5; min[−2;0]

y = y (0) = 0 [3.12f] max[1;e]

y = y (e) = e2; min[1;e]

y = y (1) = 0 [3.12g]

max[0;ln 8]

y = y (2) = 4e−2; min[0;ln 8]

y = y (ln 8) = − ln28

8[3.12h] max

[0;log58]y = y (log58) =

69

8; min

[0;log58]y = y

(1

2

)=

2√

5 [3.13a] x =1

2+

1

2log2 3 [3.13b] S = (0; 2) [3.13c] x = 2 [3.13d] S = (0; +∞) [3.14a] x = −2;

x = −3 [3.14b] S =

(−2;−1

2

)[3.14c] S =

(−∞;

10

13

][3.14d] x = −4; x =

62

41[3.15a] x = 1;

x = −1

2[3.15b] S = (−∞; 1) ∪ (3; +∞) [3.15c] [−3; +∞) [3.15d] x = −2; x = 1 [3.16a] x = 1 [3.16b]

S = (−∞; 0) ∪ (1; +∞) [3.16c] S = (−4;−1) [3.16d] x = 0; x = log3 2 [3.16e] x = 2 [3.16f] S =(−∞; 0)∪ (1; +∞) [3.17a] S = (−∞;−1)∪ (1; +∞) [3.17b] x = ±2 [3.17c] x = log 7+3

√5

2

2; x = log 7+3√5

2

3

[3.17d] x = 0 [3.18a] x = 0 [3.18b] S =

(−∞;−3

2

]∪ [−1; +∞) [3.18c] x = 0; x = 2 [3.18d] x = 0

[3.19a] x =3

2[3.19b] S = [2; 18] [3.19c] S = [0; log3 2]∪ [2; +∞) [3.19d] S = (−∞; log5 2)∪ (log5 3; +∞)

[3.20a] x = 2 [3.20b] S = (2; +∞) [3.20c] x = 3 [3.20d] x = 0; x = 1 [3.21a] x = 2 [3.21b] x = 2[3.21c] S = (2; +∞) [3.21d] x = 0; x = 1 [3.22a] x = 2; x = 3 [3.22b] x = 1 [3.22c] x = log3 2 [3.22d]x = 0 [3.23a] x = 0; x = log2 3 [3.23b] x = −2; x = −2 + log2 3 [3.23c] x = −1; x = 1− log5 8 [3.23d]x = 3; x = log5 2 [3.24a] x = 1; x = 2 [3.24b] x = ±1; x = 2; x = 3 [3.24c] x = ±1; x = 0 [3.24d]x = ±2; x = 4 [3.25a] x = 11 [3.25b] x = 1; x = −3 [3.25c] S = [−4;−3) ∪ (0; 1] [3.25d] S = (−∞;−1)

[3.26a] x = 1 [3.26b] x =5

4[3.26c] S = (1 − log2 3; 0) ∪ [1; +∞) [3.26d] S = [2 − log3 10; 2) [3.27a]

x = 1; x = −16 [3.27b] S = [2; +∞) [3.27c] S = (−∞;−5] ∪ (1; +∞) [3.27d] S =

(0;

12

5

)[3.28a] ∅

[3.28b] S = ∅ [3.28c] x = 3 [3.28d] S = (−3; 0) [3.29a] x = 4 [3.29b] x = 2; x = 4 [3.29c]x =1 +√

5

2

[3.29d] x = 14 −√

97 [3.30a] x =1 +√

17

2[3.30b] x = 3; x = −3 + 2

√3 [3.30c] x = log2 3 [3.30d]

x = 0 [3.31a] x = 2; x = 4 [3.31b] S =

(1

2; 4

)[3.31c] x = 10; x = 9

√10 [3.31d] x =

1

2; x = −15

32[3.32a] x = log3 2 [3.32b] S = (log2 15; log2 17) [3.32c] S = (2; 4) [3.32d] x = 81 [3.33a] x = 1 [3.33b]

S = [0; +∞) [3.33c] x = 3 [3.33d] x = 11 [3.34a] x = 4 [3.34b] x = 2 [3.34c] x =1

6[3.34d] x = 1;

x = 2 [3.35a] x = 2 [3.35b] x = 2; x = −80

81[3.35c] x = 3 [3.35d] S = (0; 49) [3.36a] (x; y) = (2; 1)

[3.36b] (x; y) = (±1; 2) [3.36c] (x; y) = (8; 4) [3.36d] (x; y) =

(3

2;1

2

)[3.37a] (x; y) = (±2;±2) [3.37b]

(x; y) = (±1;±1) [3.37c] (x; y) = (1; 1) [3.37d] (x; y) = (0; 0) [3.39] x = 2; x = −3 [3.40] x = 2 [3.41]

x = 0; x = −1 [3.42] (x; y) = (3; 1) [3.43] x = 4− 2√

3 [3.44] S =

(0;

1

6

)∪ (1; +∞) [3.45] S =

[3;

7

2

)[3.46] (x; y) =

(−1;

1

2

)[3.47] (x; y) = (3; 1) [3.48] (x; y) = (±2;±2).

27


28

Chuyên đề 4

Hình Học Không Gian

§1. Thể Tích Khối Đa Diện


1. Công thức tính thể tích của một số khối đa diện.

• Khối chóp : V =1

3Bh. • Khối lăng trụ : V = Bh.

• Khối hộp chữ nhật : V = abc. • Khối lập phương : V = a3.2. Tỷ số thể tích.

Cho hình chóp S.ABC có A′, B′, C ′ lần lượt nằm trên SA, SB, SC. Ta có :VS.A′B′C′

VS.ABC=SA′

SA.SB′

SB.SC ′

SC.

3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.

• Định lý Pitago : a2 = b2 + c2.

• Đường cao :1

h2=

1

b2+

1

c2; h =

bc

a.

• Góc : sinB = cosC =b

a; tanB = cotC =

b

c.

• Diện tích : S =1

2bc =

1

2ah.

A

B CH M

c b

a

h

• Tính chất trung tuyến : ∆ABC vuông tại A⇔ AM =1

2BC.

B. Phương Pháp Tính Thể Tích

1. Sử dụng công thức.• Xác định và tính diện tích đáy.• Xác định và tính chiều cao.• Sử dụng công thức phù hợp để tính thể tích.

2. Sử dụng tỉ số thể tích.• C1 : Dựa vào tỉ số thể tích của khối đa diện với các khối đa diện thành phần.

• C2 : Sử dụng công thứcVS.A′B′C′

VS.ABC=SA′

SA.SB′

SB.SC ′

SC.

C. Bài Tập

4.1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chópS.ABC theo a.

4.2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp biết góc giữa cạnhbên và đáy bằng 600.

4.3. Cho hình chóp S.ABC có hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a; góc giữa SA và ABC bằng 600.Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

29


4.4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với (ABC). Biết góc giữa (SBC)và (ABC) bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

4.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a.Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích khối chópS.ABCD theo a.

4.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SD = 2a. Hình chiếu của S trên(ABCD) là trung điểm AB. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

4.7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; góc ABC = 300. Mặt bên SBC là tam giácđều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

4.8. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy.Biết BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

4.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường cao SA = a. Trên hai cạnh AB,ADlần lượt lấy hai điểm M,N sao cho AM = DN = x, (0 < x < a). Tính thể tích khối chóp S.AMCN theoa và x. Tìm x để MN nhỏ nhất.

4.10. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,BC = a√

3, AC ′ = 2a.Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C ′.

4.11. Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a; góc BAD = 600. Điểm Olà giao của AC và BD; góc giữa A′O và đáy là 600. Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′.

4.12. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A′BC) tạo với đáymột góc 300 và tam giác A′BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′.

4.13. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có tam giác ABC đều cạnh a và đường thẳng A′B tạo với đáy mộtgóc bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B′C ′. Tính theo a thể tích của khốilăng trụ ABC.A′B′C ′ và độ dài đoạn thẳng MN .

4.14. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,AC = a√

2, hìnhchiếu của A′ trên (ABC) trùng trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ, biết CC ′ = 2a.

4.15. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A′ cách đều cácđiểm A,B,C. Cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ.

4.16. Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hình chiếu của A′ trên (ABCD)trùng với giao điểm của AB và CD. Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′, biết AB = a;AC = 2a;AA′ = 3a′.

4.17. Cho hình hộp ABCD.A′B′C ′D′ có mặt bên AA′D′D là hình thoi cạnh 2a, nằm trong mặt phẳngvuông góc với (ABCD) và cách BC một khoảng bằng a. Biết cạnh bên AA′ hợp với (ABCD) một gócbằng 600. Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′.

4.18. Cho khối hộp ABCD.A′B′C ′D′ có thể tích bằng V . Tính thể tích khối tứ diện A′.ABC theo V .

4.19. Cho khối hộp ABCD.A′B′C ′D′ có thể tích bằng V . Tính thể tích khối tứ diện ACB′D′ theo V .

4.20. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a; SA vuông góc góc với (ABC); SB = 2a. Haiđiểm M,N lần lượt là trung điểm SA, SB. Tính thể tích khối chóp S.MNC.

4.21. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = AB = a. Gọi M là trung điểm SB và N nằm trênSC sao cho SN = 2NC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM .

4.22. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = 2a và SA vuông góc với mặtphẳng (ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chópA.BCNM .

30

Chuyên đề 4. Hình Học Không Gian

4.23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = 2a, cạnh SA vuông

góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =a√

3

3.

Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM .

4.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A.BCD là hình thoi cạnh a, BAD = 600, SA vuông góc với mặtphẳng (ABCD), SA = a. Gọi C ′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC ′ và song song với BD,cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C ′D′.

§2. Mặt Cầu, Mặt Trụ, Mặt Nón


1. Diện tích và thể tích.

• Khối cầu : S = 4πR2; V =4

3πR3.

• Khối trụ : Sxq = 2πrl; Stp = Sxq + 2Sđ; V = Bh = πr2h.

• Khối nón : Sxq = πrl; Stp = Sxq + Sđ; V =1

3Bh =

1

3πr2h.

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.• d > R : Mặt phẳng không cắt mặt cầu.• d = R : Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm.• d < R : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r =

√R2 − d2.

Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tính diện tích và thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu.• Sử dụng công thức.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.• Xác định tâm O của đáy.• Xác định trục d của đáy (d qua O và vuông góc với đáy).• Dựng mặt phẳng trung trực (P ) của một cạnh bên.• Giao điểm I của d và (P ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện.

C. Bài Tập

4.25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = a√

2, SB = 2a. BiếtSA vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

4.26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và(SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a,CD = 2a

√5. Tính thể tích của khối

chóp S.ABCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD.

4.27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√

2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tìmtâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích và thể tích của khối cầu ngoạitiếp hình chóp đó.

4.28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a√

2, BC = a√

6 và độ dài cáccạnh bên bằng a

√5. Gọi giao điểm của AC và BD là H. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SHAB.

4.29. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, (SBC)⊥ (ABC) và SA = SB = a.Chứng minh SBC là tam giác vuông. Biết SC = x, xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp S.ABC.

4.30. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C ′ biết AA′ = AB = a;AC = 2a và BAC = 600. Gọi M làgiao điểm của A′C và AC ′. Tính thể tích tứ diện MBB′C và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

4.31. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng A′Blập với đáy một góc 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ.

31


4.32. Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trênđường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tíchtứ diện OO′AB.

4.33. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a và khoảng cách giữa hai đáy bằng a. Cắt khối trụ bởi mặtphẳng song song với trục và cách trục một khoảng a. Tính diện tích thiết diện tạo thành.

4.34. Cắt hình trụ tròn xoay bởi mặt phẳng (α) được thiết diện ABCD là hình vuông cạnh a. Biết (α)tạo với đáy một góc 450, tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ.

4.35. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB = 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

4.36. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nóncó đỉnh O là tâm hình vuông ABCD và đáy nội tiếp hình vuông A′B′C ′D′.

4.37. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng qua trục được tam giác vuông cân cạnh huyền a√

2. Tính diệntích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón. Cho dây cung BC của đường tròn đáy sao cho(SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.

4.38. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A,B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảngcách từ O đến AB bằng a và SAO = 300, SAB = 600. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

§3. Quan Hệ Vuông Góc

A. Kỹ Năng Cơ Bản

1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.Chỉ ra đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.C1 : Chỉ ra một mặt phẳng chứa đường này và vuông với đường kia.C2 : Chỉ ra hình chiếu của đường này trên mặt phẳng chứa đường kia vuông góc với đường kia.

3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.Chỉ ra một đường thẳng chứa trong mặt này và vuông với mặt kia.

B. Bài Tập

4.39. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H làhình chiếu của A trên SB. Chứng minh đường thẳng AH vuông góc với mặt phẳng (SBC).

4.40. Cho hình chóp S.ABC, biết SA = SB = SC = a, ASB = 600, BSC = 900, CSA = 1200. Gọi H làtrung điểm AC. Chứng minh đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chópS.ABC.

4.41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a; cạnh bên SA vuông góc với đáy;SA = a

√3. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC và SE. Chứng minh hai đường thẳng AF và SC

vuông góc với nhau.

4.42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√

2.Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD, chứng minh đường thẳng SC vuông góc với mặtphẳng (AMN). Gọi K là giao điểm của SC và (AMN). Chứng minh hai đường thẳng AK và MN vuônggóc với nhau. Từ đó tính diện tích tứ giác AMKN .

4.43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trongmặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SB,BC và CD. Chứng minhAM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP .

4.44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a; góc BAD = 600. Cạnh bênSA vuông góc với đáy; SA = a

√6. Chứng minh hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) vuông góc với nhau.

32


4.45. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, ACB = 600,BC = a, SA = a

√3. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông

góc với nhau và tính thể tích khối tứ diện MABC.

4.46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD = a√

2, SA = a và SAvuông góc với (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.Chứng minh (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

§4. Góc Và Khoảng Cách

1. Tìm góc giữa hai đường thẳng.Tìm b′ song song b và cắt a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và b′.

2. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.Xác định hình chiếu của đường lên mặt phẳng. Góc cần tìm là góc giữa đường thẳng và hình chiếu.

3. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.Tìm a, b nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến và cắt giao tuyến tại một điểm.

4. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.Tìm a, b nằm trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến và cắt giao tuyến tại một điểm.

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.C1 : Tìm đoạn vuông góc chung.C2 : Xác định (α) chứa b và song song a. Khoảng cách giữa a và b là khoảng cách từ M ∈ a đến (α).

B. Bài Tập

4.47. Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B; SA = AB = BC = a và SAvuông góc với (ABC). Tính góc giữa AC và (SBC).

4.48. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,CD. Biết góc giữađường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính sin góc giữa dường thẳng MN và mặt phẳng(SBD).

4.49. Cho lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; B′A = B′B = B′C = a. Tính thểtích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ và tính sin góc giữa hai mặt phẳng (A′ABB′) và (B′BCC ′).

4.50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a√

3 và mặt phẳng (SAB)vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chópS.BMDN và tính góc giữa hai đường thẳng SM và DN .

4.51. Cho lăng trụ ABC.A′B′C ′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a,AC = a

√3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC.

Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA′ và B′C ′.

4.52. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. GọiM,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đếnmặt phẳng (SMN).

4.53. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a. Tam giácASC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC vàkhoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

4.54. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = a,AD = 2a,AA′ = a. Tính khoảng cách giữahai đường thẳng AD′ và B′C. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD, tính khoảng cách từM đến (AB′C) và tính thể tích tứ diện AB′D′C.

4.55. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 600, SO = a và SO vuông gócvới (ABCD). Tính khoảng cách từ O đến (SBC) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

33


4.56. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằmtrong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD = a

√13, tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.

4.57. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA′ =a√

2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ và khoảngcách giữa hai đường thẳng AM và B′C.

4.58. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a. Tính theo a khoảng cách giữa A′B và B′D. GọiM,N,P lần lượt là trung điểm của BB′, CD,A′D′. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C ′N .

CÁC BÀI TOÁN THI

4.59. (THPTQG-2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc vớimặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính theo a thể tíchcủa khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.

4.60. (A-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =3a

2, hình chiếu vuông

góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

4.61. (B-2014) Cho lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′

trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A′C và mặt đáy bằng 600. Tínhtheo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′A′).

4.62. (D-2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tamgiác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC.

4.63. (CĐ-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy; SC tạovới đáy một góc 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặtphẳng (SCD).

4.64. (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300, SBC là tam giác đềucạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ Cđến mặt phẳng (SAB).

4.65. (B-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều vànằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ Ađến mặt phẳng (SCD).

4.66. (D-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,BAD = 1200, M là trung điểm của cạnh BC và SMA = 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD vàkhoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

4.67. (CĐ-2013) Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C ′ có AB = a và đường thẳng A′B tạo với đáy một gócbằng 600. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và B′C ′. Tính theo a thẻ tích khối lăng trụABC.A′B′C ′ và độ dài đoạn thẳng MN .

4.68. (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trênmặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặtphẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và BC theo a.

4.69. (B-2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuônggóc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chópS.ABH theo a.

34


4.70. (D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông, tam giác A′AC vuông cân,A′C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB′C ′ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD′) theo a.

4.71. (CĐ-2012) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,AB = a√

2, SA = SB =SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bánkính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

4.72. (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặtphẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng quaSM và song song với BC, cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tínhthể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

4.73. (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,AD = a√

3. Hìnhchiếu vuông góc của điểm A′ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng(ADD′A′) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B′ đến mặtphẳng (A′BD) theo a.

4.74. (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,BA = 3a,BC = 4a; mặtphẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a

√3 và SBC = 300. Tính thể tích khối chóp

S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

4.75. (CĐ-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; SA vuônggóc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm củacạnh SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a.

4.76. (A-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng(ABCD) và SH = a

√3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

DM và SC.

4.77. (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C ′ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC)và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A′BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bánkính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

4.78. (D-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =AC

4. Gọi CM là đường cao

của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

4.79. (CĐ-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuônggóc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thểtích của khối chóp S.ABCD.

4.80. (A-2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD =2a,CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biếtmặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCDtheo a.

4.81. (B-2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C ′ có BB′ = a, góc giữa đường thẳng BB′ và mặtphẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểmB′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện A′ABC theo a.

4.82. (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AB = a,AA′ = 2a,A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C ′, I là giao điểm của AM và A′C. Tínhtheo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến (IBC).

4.83. (CĐ-2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a√

2. Gọi M,N và P lần lượt làtrung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳngSP . Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP .

35


ĐÁP SỐ

[4.1]a3√

11

12[4.2]

a3√

6

6[4.3]

a3√

3

16[4.4]

a3

8[4.5]

2a3√

2

3[4.6]

a3√

11

6[4.7]

a3

2[4.8]

a3√

2

36[4.9]

a3

6;

x =a

2[4.10] a3 [4.11]

3a3√

3

4[4.12] 8

√3 [4.13]

3a3

4;a√

13

2[4.14]

a3√

26

4[4.15]

a3√

3

4[4.16] 2a3

√6

[4.17] 2a3√

3 [4.18]1

6V [4.19]

1

3V [4.20]

a3

16[4.21]

a3√

2

18[4.22]

3a3√

3

50[4.23]

8a3√

3

27[4.24]

5a3√

3

36

[4.25]a√

6

2[4.26] 2a3;

a√

26

2[4.27]

a3√

6

6;

2a√6[4.28]

51a3π√

51

162[4.29]

a2

√3a2 − x2

[4.30]a3√

3

12;a√

5

2

[4.31] 2a2π√

5;5a3π

2[4.32]

a3√

3

12[4.33] 2a2

√3 [4.34]

a2π√

3

2;

3a3π√

2

16[4.35]

a3√

2

6;a2π√

2

2[4.36]

a3π√

3

12[4.37]

a2π√

2

2;a3π√

2

12;a2√

2

6[4.38] a2π

√3;

a3π

2√

2[4.40]

a3√

2

12[4.42]

a2√

2

3[4.43]

a3√

3

96[4.45]

a3

4[4.46]

a3√

2

36[4.47] 300 [4.48]

1√5[4.49]

a3√

2

4;

1√3[4.50]

a3

√3;

1√5[4.51]

a3

2;

1

4[4.52]

a3√

3

24;

3a√

13

26[4.53]

a3√

3

6;

2a√

21

7[4.54] a;

a√

5

4;

2a3

3[4.55]

a√

57

19;

2a√

57

19[4.56] 6a3

√3;

6a

5√

2[4.57]

a3

√2;a√7

[4.58]a√6; 900 [4.59]

a3√

2

3;a√

10

5[4.60]

a3

3;

2a

3[4.61]

3a3√

3

8;

3a√13

[4.62]a3√

3

24;a√

3

4[4.63]

a3√

2

3;

a√

6

3[4.64]

a3

16;a√

39

13[4.65]

a3√

3

6;a√

21

7[4.66]

a3

4;a√

6

4[4.67]

3a3

4;a√

13

2[4.68]

a3√

7

12;a√

42

8[4.69]

7a3√

11

96[4.70]

a3√

2

48;a√6[4.71]

a3

√3;

2a√3[4.72] a3

√3;

2a√

39

13[4.73]

3a3

2;a√

3

2[4.74] 2a3

√3;

6a√7[4.75]

a3√

3

36[4.76]

5a3√

3

24;

2a√

57

19[4.77]

3a3√

3

8;

7a

12[4.78]

a3√

14

48[4.79]

a3√

5

6[4.80]

3a3√

15

5[4.81]

9a3

208

[4.82]4a3

9;

2a√5[4.83]

a3√

6

48.

36

Chuyên đề 5

Nguyên Hàm - Tích Phân

§1. Nguyên Hàm


1. Khái niệm nguyên hàm.

Định nghĩa 5.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếuF ′(x) = f(x), với mọi x thuộc K.

Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trênK thì mọi nguyên hàm của f trênK đều có dạng F (x)+C

với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là∫f(x)dx. Vậy

∫f(x)dx = F (x)+C.

2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.

1.∫

0dx = C. 6.∫axdu =

ax

ln a+ C (a > 0, a 6= 1).

2.∫

dx = x+ C. 7.∫

cosxdx = sinx+ C.

3.∫xαdx =

xα+1

α+ 1+ C (α 6= −1). 8.

∫sinxdx = − cosx+ C.

4.∫

1

xdx = ln |x|+ C. 9.

∫1

cos2xdx = tanx+ C.

5.∫

exdx = ex + C. 10.∫

1

sin2xdx = − cotx+ C.

3. Tính chất của nguyên hàm.

•∫

[f(x)± g(x)]dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx. •

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx (k 6= 0).

B. Bài Tập

5.1. Tìm các họ nguyên hàm sau :

a)∫ (

x7 + 4x3 −√x)

dx; b)∫ (

3√x+ 1− 1√

x

)dx; c)

∫(2x− 3)2dx;

d)∫ (

3 sinx+2

x

)dx; e)

∫x+√x+ 1

3√x

dx; f)∫x3 + 5x2 − 3x+

√x

x√x

dx;

g)∫

4x + 1

2xdx; h)

∫tan2 xdx; i)

∫1

sin2xcos2xdx.

5.2. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 3√x+ x3 + 1, biết F (1) = 2.

5.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = ax+b

x2, biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5.

5.4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f(x) =1

xthỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) =

1

F (x) + 1− 1.

37


§2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm


1. Phương pháp đổi biến số.

Định lý 5.2. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao chof [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì∫

f [u(x)]u′(x)dx = F [u(x)] + C

Nhận xét.∫f (Ax+B) dx =

1

AF (Ax+B) + C

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần.

Định lý 5.3. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

B. Bài Tập


a) I =

∫(3x+ 3)9dx; b) I =

∫4x− 1

2x+ 1dx; c) I =

∫ (e3x+1 + cos 5x

)dx;

d) I =

∫sin 5x sinxdx; e) I =

∫x(x2 + 1)

2013dx; f) I =

∫x√

x2 + 1dx;

g) I =

∫ex

ex + 1dx; h) I =

∫ √1 + lnx

xdx; i) I =

∫cos5xdx.


a) I =

∫x3

x2 + 1dx; b) I =

∫x5√x3 + 1dx; c) I =

∫x (x− 1)2013dx;

d) I =

∫e2x

√ex + 1

dx; e) I =

∫2 lnx− 1

x lnxdx; f) I =

∫sin3x

√1 + cosxdx.


a) I =

∫(x− 1) exdx; b) I =

∫xe2xdx; c) I =

∫x cosxdx;

d) I =

∫(2x− 1) sin 2xdx; e) I =

∫x2 lnxdx; f) I =

∫ (x3 + 1

)lnxdx.


a) I =

∫ln (2x+ 1) dx; b) I =

∫ln(x2 + 2x

)dx; c) I =

∫x2e2x−1dx;

d) I =

∫x2 cosxdx; e) I =

∫ex sinxdx; f) I =

∫ex cos 2xdx.

§3. Tích Phân


1. Khái niệm tích phân.

Định nghĩa 5.4. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên

hàm của f trên K thì hiệu số F (b)−F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là

b∫a

f(x)dx.

38

Chuyên đề 5. Nguyên Hàm - Tích Phân

Nhận xét.

a) Hiệu số F (b)− F (a) còn được ký hiệu là F (x)|ba. Khi đó

b∫a

f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).

b) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là

b∫a

f(x)dx =

b∫a

f(t)dt =

b∫a

f(u)du = ... = F (b)− F (a).

2. Tính chất của tích phân.

Định lý 5.5. Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

1)

a∫a

f(x)dx = 0. 2)

b∫a

f(x)dx = −a∫b

f(x)dx.

3)

b∫a

f(x)dx+

c∫b

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx.

4)

b∫a

[f(x)± g(x)]dx =

b∫a

f(x)dx±b∫a

g(x)dx. 5)

b∫a

kf(x)dx = k

b∫a

f(x)dx (k ∈ R).

B. Bài Tập

5.9. Tính các tích phân sau :

a) I =

1∫0

5x4dx; b) I =

e∫1

dx

x; c) I =

ln 2∫0

e−xdx;

d) I =

π6∫

0

cos 3xdx; e) I =

1∫12

(2x− 1)2013dx; f) I =

1∫0

(−2x+ 1)7dx.


a) I =

1∫0

e2−5xdx; b) I =

π6∫

0

sin(

2x+π

6

)dx; c) I =

π6∫

0

1

cos22xdx;

d) I =

0∫−1

4

(3− 5x)3 dx; e) I =

1∫−1

√5− 4xdx; f) I =

2∫1

3√

3x+ 2dx.


a) I =

2∫1

(6x2 − 4x+ 1

)dx; b) I =

4∫1

(2x+

√x)

dx; c) I =

ln 2∫0

(ex + 2x) dx;

d) I =

4∫2

(x+

1

x

)2

dx; e) I =

1∫0

5x+ 3

x+ 2dx; f) I =

1∫0

x2 − 3x+ 3

x− 2dx.


a) I =

π2∫

0

(1 + sin

x

2

)cos

x

2dx; b) I =

π8∫

0

cos22xdx; c) I =

π4∫

0

2cos2x+ 1

1− sin2xdx;

d) I =

π3∫

π6

cos2x

sin22xdx; e) I =

π2∫

0

cos 3x cosxdx; f) I =

1∫0

x(x− 1)2013dx.

39


§4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân


1. Phương pháp đổi biến dạng 1.

Bài toán. Tính tích phân I =

b∫a

f(x)dx.

Phương pháp.• Đặt x = ϕ(t)⇒ dx = ϕ′(t)dt.• Đổi cận: x = a⇒ t = α; x = b⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó I =

β∫α

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Lưu ý.• a2 + x2 : x = |a| tan t, t ∈

(−π

2;π

2

). •

√a2 − x2 : x = |a| sin t t ∈

[−π

2;π

2

].

•√x2 − a2 : x =

|a|sin t

t ∈[−π

2;π

2

]\ 0.

2. Phương pháp đổi biến dạng 2.


b∫a

f [u(x)]u′(x)dx.

Phương pháp.• Đặt u = u(x)⇒ du = u′(x)dx.• Đổi cận: x = a⇒ u = u(a); x = b⇒ u = u(b).

• Khi đó I =

b∫a

f (u) du.

Lưu ý. u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit.3. Phương pháp tích phân từng phần.


b∫a

u(x).v′(x)dx.

Phương pháp.

• Đặtu = u(x)dv = v′(x)dx

⇒

du = u′(x)dx

v =

∫v′(x)dx (chọn C = 0)

.

• Khi đó I = uv|ba −b∫a

vdu.

Lưu ý. Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau:

• I =

∫P (x); ex dx: u = P (x).

• I =

∫ P (x); sinx, cosx,

1

cos2x,

1

sin2x

dx: u = P (x).

• I =

∫P (x); lnx dx: u = lnx.

• I =

∫ex; sinx, cosx dx: u = ex

(hoặc u = sinx, cosx

).

40


B. Bài Tập


a) I =

1∫0

1

3 + x2dx; b) I =

√3∫

0

√3− x2dx; c) I =

2∫2√3

1

x√x2 − 1

dx;

d) I =

√2

2∫0

x2

√1− x2

dx; e) I =

2∫1

1

x2√

1 + x2dx; f) I =

π∫−π

sin2x

3x + 1dx.


a) I =

1∫0

x3(1 + x4

)3dx; b) I =

1∫0

x3

x2 + 1dx; c) I =

1∫0

x+ 2

x2 + 4x+ 7dx;

d) I =

1∫0

(2x+ 1)ex2+x+1dx; e) I =

1∫0

(x− 2)2

x2 + 4dx; f) I =

π2∫

0

(ecosx + sinx) sinxdx.


a) I =

1∫0

x3√

1− x2dx; b) I =

1∫0

x5(x2 + 1

)2012dx; c) I =

1∫0

x

(x+ 1)3 dx;

d) I =

e∫1

1 + ln3x

xdx; e) I =

e∫1

2 lnx+ 1

x(lnx+ 1)2 dx; f) I =

2∫1

(2x− 1)10

(x+ 1)12 dx.


a) I =

1∫0

(x− 1) exdx; b) I =

1∫0

(2x+ 1) e−2xdx; c) I =

ln 3∫0

xex√ex + 1

dx;

d) I =

π2∫

0

(x+ 1) sinxdx; e) I =

π2∫

0

x (1 + cos 2x) dx; f) I =

π4∫

0

x

1 + cos 2xdx;

g) I =

e∫1

lnx

x2dx; h) I =

e∫1

2x2 + 3

xlnxdx; i) I =

2∫1

ln(x2 + 2x

)dx.


a) I =

ln 2∫0

x2exdx; b) I =

ln 3∫0

(x2 − 2x

)exdx; c) I =

π2∫

0

x2 cosxdx;

d) I =

e∫1

xln2xdx; e) I =

π2∫

0

ex cosxdx; f) I =

π2∫

0

e2x cos 3xdx.


a) I =

1∫0

x3ex2dx; b) I =

π2∫0

√x sin

√xdx; c) I =

eπ∫1

cos (lnx) dx;

d) I =

e5∫e2

lnx. ln (lnx)

xdx; e) I =

2∫1

(x+ 1) ex lnxdx; f) I =

e∫1

(x− lnx) (1 + lnx)

(1 + x lnx)2 dx.

41


§5. Tích Phân Của Các Hàm Số Thường Gặp


1. Tích phân trị tuyệt đối.


b∫a

|f(x)| dx.

Phương pháp.• Cho f(x) = 0⇒ x = xi (chỉ lấy những xi thuộc khoảng (a; b)).

• Khi đó I =

xi∫a

|f(x)| dx+

b∫xi

|f(x)| dx.

• Xét dấu f(x) trên các khoảng (a;xi) và (xi; b) để phá giá trị tuyệt đối.

2. Tích phân hữu tỷ.


b∫a

f(x)

g(x)dx, trong đó bậc f(x) < bậc g(x).

Phương pháp. Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có mẫu là các nhịthức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 hoặc các lũy thừa của chúng.

Lưu ý.a) Nếu bậc f(x) > bậc g(x) thì chia f(x) cho g(x).b) Trong thực hành ta thường gặp các trường hợp sau :

• ax+ b

(x− x1) (x− x2)=

A

x− x1+

B

x− x2.

• ax+ b

(x− x0)2 =A

x− x0+

B

(x− x0)2 .

• ax2 + bx+ c

(a1x+ b1)(a2x2 + b2x+ c2)=

A

a1x+ b1+

B

a2x2 + b2x+ c2+

C (2a2x+ b2)

a2x2 + b2x+ c2(tam thức vô nghiệm).

Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc trị số riêng để tìm A,B,C, ...

3. Tích phân vô tỷ.• C1: Sử dụng biểu thức liên hợp đối với tích phân chứa tổng hoặc hiệu hai căn ở mẫu.• C2: Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 đối với tích phân chứa

√a2 − x2 hoặc

√x2 − a2.

• C3: Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 đối với hầu hết các tích phân còn lại.4. Tích phân mũ - lôgarit.• Chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 để đưa về tích phân hữu tỉ.

5. Tích phân lượng giác.• Chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 để đưa về tích phân hữu tỉ.

Lưu ý. Đối với tích phân dạng

b∫a

sinmxcosnxdx ta xét các trường hợp:

• Nếu m lẻ thì đặt u = cosx. • Nếu n lẻ thì đặt u = sinx.• Nếu m,n dương chẵn thì hạ bậc.• Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tanx. • Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cotx.

B. Bài Tập


a) I =

2∫−2

|x− 1|dx; b) I =

4∫0

|3− x|dx; c) I =

2∫0

∣∣x2 − 3x+ 2∣∣dx;

42


d) I =

3∫−2

(|x+ 1|+ |x− 2|) dx; e) I =

2∫−2

|2x− |x+ 1||dx; f) I =

2π∫0

√1− cos 2xdx.


a) I =

5∫3

1

(x− 2) (x+ 1)dx; b) I =

1∫0

5x− 13

x2 − 5x+ 6dx; c) I =

3∫2

x4

x2 − 1dx;

d) I =

1∫0

x (x− 1)

x2 − 4dx; e) I =

1∫0

3x− 1

x2 + 6x+ 9dx; f) I =

1∫0

1

x2 + x+ 1dx.


a) I =

1∫0

4x− 2

(x+ 2)(x2 + 1)dx; b) I =

2∫1

x2 − 3x+ 2

x (x2 + 2x+ 1)dx; c) I =

3∫−1

x2 − x+ 3

x3 − 3x+ 2dx;

d) I =

2∫1

1− x4

x+ x5dx; e) I =

1∫0

x2 + x+ 2

x3 + x2 + x+ 1dx; f) I =

0∫−1

1

(x2 − 3x+ 2)2 dx.


a) I =

3∫1

1√x+ 1 +

√x

dx; b) I =

3∫2

1√x+ 1−

√x− 1

dx; c) I =

1∫0

√2x− x2dx;

d) I =

6∫3

1√6x− x2

dx; e) I =

√2∫

0

√2 + x

2− xdx; f) I =

−1∫−2

x+ 4√x2 + 4x+ 5

dx.


a) I =

1∫0

1√(x+ 1) (x+ 8)

dx; b) I =

3∫0

2x+ 3√x+ 1 + 1

dx; c) I =

64∫1

1√x+ 3√x

dx;

d) I =

2∫√

2

1

x√x2 − 1

dx; e) I =

√3∫

1

1

x√

4− x2dx; f) I =

6∫2

1

2x+ 1 +√

4x+ 1dx.


a) I =

ln 2∫0

1

ex + 1dx; b) I =

ln 2∫0

1

1 + e−xdx; c) I =

ln 5∫ln 2

e2x

√ex − 1

dx;

d) I =

ln 5∫ln 2

ex

(10− ex)√

ex − 1dx; e) I =

2∫1

x+ 1

x (1 + xex)dx; f) I =

1∫0

(x+ 2)√

ex

x2ex − 9dx.


a) I =

e∫1

ln2x− 3 lnx+ 3

x (lnx− 2)dx; b) I =

e3∫1

√lnx+ 1. lnx

xdx; c) I =

√e∫

1

1

x(ln2x− 3 lnx+ 2

)dx;

d) I =

e∫1

1− x(1 + x lnx)2 dx; e) I =

2∫1

xex + 1

x (ex + lnx)dx; f) I =

e∫1

1− x (ex − 1)

x (1 + xex lnx)dx.


a) I =

π4∫

0

sin2xdx; b) I =

π4∫

0

cos4xdx; c) I =

π2∫

0

sin3xdx;

43


d) I =

π2∫

0

cos5xdx; e) I =

π4∫

0

sin2x

cos4xdx; f) I =

π4∫

0

1

cos4xdx;

g) I =

π6∫

0

1

cosxdx; h) I =

π3∫

π6

1

cosxsin2xdx; i) I =

π4∫

0

1

cos3xdx.


a) I =

π4∫

0

2 cos2 x− 1

1 + sin 2xdx; b) I =

π2∫

0

cosx√7 + cos 2x

dx; c) I =

π4∫

0

1

cos2x(

1cos2x

+ 2 tanx)dx;

d) I =

π4∫

0

1

3sin2x+ cos2xdx; e) I =

π6∫

0

1

cosx cos(x+ π

4

)dx; f) I =

π4∫

0

sinx

5 sinx cos2 x+ 2 cosxdx;

g) I =

π2∫

0

1

1 + sinxdx; h) I =

π2∫

0

1

1 + sinx+ cosxdx; i) I =

π6∫

0

sinx

sinx+√

3 cosxdx.

§6. Ứng Dụng Của Tích Phân


1. Tính diện tích hình phẳng.• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là

S =

b∫a

|f(x)|dx

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là

S =

b∫a

|f(x)− g(x)|dx

• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = b là

S =

b∫a

|f(y)− g(y)| dy

2. Tính thể tích khối tròn xoay.• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

Vx = π

b∫a

f2(x)dx

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(trong đó f(x) và g(x) cùng dấu) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

Vx = π

b∫a

∣∣f2(x)− g2(x)∣∣ dx

44


• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trụchoành và hai đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy là

Vy = π

b∫a

g2(y)dy

B. Bài Tập

5.28. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau :a) y = x2 − 2x; Ox; x = −1 và x = 2; b) y = −x3 − 3x2 và trục hoành;

c) y = x2 − 2x và y = −x2 + 4x; d) y =x− 1

x+ 1và hai trục tọa độ;

e) y = x3; x+ y = 2 và trục hoành; f) y2 = 2x và 27y2 = 8(x− 1)3.

5.29. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quayquanh Ox :

a) y =1

3x3 − x2, y = 0, x = 0 và x = 3; b) y = 4− x2 và y = x2 + 2;

c) y = xex, x = 1 và trục hoành; d) y = lnx; y = 0 và x = e.

5.30. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau khi quayquanh Oy :

a) y2 = (x− 1)3 và x = 2; b) 4y = x2 và y = x;

c) y = x2, y =27

xvà y =

x2

27; d) y = 2x− x2 và y = 0.

CÁC BÀI TOÁN THI

5.31. (THPTQG-2015) Tính tích phân I =

1∫0

(x− 3) exdx.

5.32. (A-2014) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2−x+3 và đường thẳng y = 2x+1.

5.33. (B-2014) Tính tích phân I =

2∫1

x2 + 3x+ 1

x2 + xdx.

5.34. (D-2014) Tính tích phân I =

π4∫

0

(x+ 1) sin 2xdx.

5.35. (CĐ-2014) Tính tích phân I =

2∫1

x2 + 2 lnx

xdx.

5.36. (A-2013) Tính tích phân I =

2∫1

x2 − 1

x2lnxdx.


1∫0

x√

2− x2dx.


1∫0

(x+ 1)2

x2 + 1dx.

45



5∫1

1

1 +√

2x− 1dx.


3∫1

1 + ln(x+ 1)

x2dx.


1∫0

x3

x4 + 3x2 + 2dx.


π4∫

0

x (1 + sin 2x) dx.


3∫0

x√x+ 1

dx.


π4∫

0

x sinx+ (x+ 1) cosx

x sinx+ cosxdx


π3∫

0

1 + x sinx

cos2xdx.


4∫0

4x− 1√2x+ 1 + 2

dx.


2∫1

2x+ 1

x (x+ 1)dx.


1∫0

x2 + ex + 2x2ex

1 + 2exdx.


e∫1

lnx

x(2 + lnx)2 dx.


e∫1

(2x− 3

x

)lnxdx.


1∫0

2x− 1

x+ 1dx.


π2∫

0

(cos3x− 1

)cos2xdx.


3∫1

3 + lnx

(1 + x)2 dx.

46



3∫1

1

ex − 1dx.


1∫0

(e−2x + x

)exdx.

ĐÁP SỐ

[5.1a]x8

8+x4− 2x

32

3+C [5.1b]

3x43

4+x−2x

12 +C [5.1c]

4x3

3−6x2 +9x+C [5.1d] −3 cosx+2 ln |x|+C

[5.1e]3x

53

5+

6x76

7+

3x23

2+C [5.1f]

2x52

5+

10x32

3−6x

12 +ln |x|+C [5.1g]

2x

ln 2− 1

2x ln 2+C [5.1h] tanx−x+C

[5.1i] tanx−cotx+C [5.2] F (x) =3x

43

4+x4

4+x [5.3] F (x) =

x2

2+

1

x+

5

2[5.4] x = ±e; x = ± 1√

e[5.5a]

1

30(3x+ 3)10 +C [5.5b] 2x− 3

2ln |2x+ 1|+C [5.5c]

1

3e3x+1 +

1

5sinx+C [5.5d]

1

8sin 4x− 1

12sin 6x+C

[5.5e](x2 + 1)

2014

4028+ C [5.5f]

√x2 + 1 + C [5.5g] ln |ex + 1|+ C [5.5h]

2 (1 + lnx)√

1 + lnx

3+ C [5.5i]

sinx− 2sin3x

3+

sin5x

5+C [5.6a]

1

2

(x2 + 1

)− 1

2ln(x2 + 1

)+C [5.6b]

2(√

x3 + 1)5

15+

2(√

x3 + 1)3

9+C

[5.6c](x− 1)2015

2015+

(x− 1)2014

2014+C [5.6d]

2(√

ex + 1)3

3− 2√

ex + 1 +C [5.6e] 2 lnx− ln |lnx|+C [5.6f]

2(√

1 + cosx)7

7−

4(√

1 + cosx)5

5+C [5.7a] (x−2)ex+C [5.7b]

1

2xe2x− 1

4e2x+C [5.7c] x sinx+cosx+C

[5.7d] −1

2(2x − 1) cos 2x +

1

2sin 2x + C [5.7e]

x3

3lnx − x3

9+ C [5.7f]

(x4

4+ x

)lnx − x4

16− x + C

[5.8a] x− 1

2ln |2x+ 1|+C [5.8b] x ln

(x2 + 2x

)− 2x+ 2 ln |x+ 2|+C [5.8c]

1

4

(2x2 − 2x+ 1

)e2x−1 +C

[5.8d] x2 sinx + 2x cosx − 2 sinx + C [5.8e]1

2ex (sinx− cosx) + C [5.8f]

2

5ex sin 2x + 1

5ex cos 2x + C

[5.9a] 1 [5.9b] 1 [5.9c]1

2[5.9d]

1

3[5.9e]

1

4028[5.9f] 0 [5.10a]

e2 − e−3

5[5.10b]

√3

4[5.10c]

√3

2

[5.10d]11

288[5.10e]

13

3[5.10f] 12− 3 3

√625

4[5.11a] 9 [5.11b]

59

3[5.11c] 1 + ln2 2 [5.11d]

275

12[5.11e]

5 + 7 ln2

3[5.11f] e− 1

2− ln 2 [5.12a]

1

2+√

2 [5.12b]π + 2

16[5.12c]

π + 2

2[5.12d]

√3

6[5.12e] 0 [5.12f]

− 1

4058210[5.13a]

π

6√

3[5.13b]

2π + 3√

3

8[5.13c]

π

6[5.13d]

π − 2

8[5.13e]

2√

2−√

5

2[5.13f]

π

2[5.14a]

15

16[5.14b]

1

2− 1

2ln 2 [5.14c]

1

2ln

12

7[5.14d] e3−e [5.14e] 1+2 ln

4

5[5.14f] e−1+

π

4[5.15a]

2

15[5.15b]

2025079.22012 − 1

4084588365[5.15c]

1

8[5.15d]

5

4[5.15e] −1

2+ 2 ln 2 [5.15f]

2047

67584[5.16a] 2− e [5.16b] 1− 2e−2

[5.16c] 6 ln 3 − 8 + 4√

2 + 4 ln(√

2− 1)[5.16d] 2 [5.16e]

π2 − 4

8[5.16f]

π

8− 1

4ln 2 [5.16g] 1 − 2e−1

[5.16h] 2 +1

2e2 [5.16i] −2 + 10 ln 2− 3 ln 3 [5.17a] 2ln22− 4 ln 2 + 2 [5.17b] 3ln23− 12 ln 3 + 8 [5.17c]

π2

4−2 [5.17d]

e2 − 1

4[5.17e]

eπ2 − 1

2[5.17f] −3eπ + 2

13[5.18a]

1

2[5.18b] 2π2−8 [5.18c] −eπ + 1

2[5.18d]

25

2ln 5−2 ln 2− 21

4[5.18e] 2e2 ln 2− e2 + e [5.18f]

1− e

1 + e+ ln(1 + e) [5.19a] 5 [5.19b] 5 [5.19c] 1 [5.19d]

17 [5.19e] 6 [5.19f] 4√

2 [5.20a]1

3ln 2 [5.20b] − ln 18 [5.20c]

22

3+

1

2ln

3

2[5.20d] 1+ln 2− 3

2ln 3 [5.20e]

3 ln4

3− 5

6[5.20f]

π

3√

3[5.21a] ln

8

9[5.21b] ln

8

3−1 [5.21c]

3

2−ln 2 [5.21d]

1

2ln

8

17[5.21e] ln 2+

π

4[5.21f]

2

3+ 2 ln

3

4[5.22a]

16− 4√

2− 6√

3

3[5.22b]

7− 3√

3 + 2√

2

3[5.22c]

π

4[5.22d]

π

2[5.22e] 2 −

√2 +

1

2π

47


[5.22f]√

2−1+2 ln(√

2 + 1)[5.23a] 2 ln

3 +√

2

1 + 2√

2[5.23b]

28

3−6 ln

3

2[5.23c] 11+6 ln

2

3[5.23d]

π

12[5.23e]

1

2ln

2 +√

3

3[5.23f] ln

3

2− 1

12[5.24a] ln

2e + 2

3e[5.24b] ln

3

2[5.24c]

20

3[5.24d]

1

3ln

5

2[5.24e] ln

2e(1 + e)

1 + 2e2

[5.24f]1

3ln

3−√

e

3 +√

e[5.25a] −1

2− ln 2 [5.25b]

116

15[5.25c] ln

3

2[5.25d] − 1

1 + e[5.25e] ln

e2 + ln 2

e[5.25f]

e − 1 − ln

(1

e+ ee

)[5.26a]

π

8− 1

4[5.26b]

3π + 8

32[5.26c]

2

3[5.26d]

6

15[5.26e]

8

15[5.26f]

4

3[5.26g]

1

2ln 3 [5.26h] 2 − 2√

3+ ln

(1 +

2√3

)[5.26i]

1

3+

1

4ln 3 [5.27a]

1

2ln 2 [5.27b]

√2π

12[5.27c]

1

2[5.27d]

π

2√

3[5.27e]

√2 ln

3 +√

3

2[5.27f]

1

2ln 3 − 2

3ln 2 [5.27g] 1 [5.27h] ln 2 [5.27i]

√3

8ln

3

4+

π

24[5.28a]

8

3

[5.28b]27

4[5.28c] 9 [5.28d] 2 ln 2−1 [5.28e]

3

4[5.28f]

88√

2

15[5.29a]

81π

35[5.29b] 16π [5.29c]

π(e2 − 1)

4

[5.29d] 2e− 2 [5.30a] 4 [5.30b]32

3[5.30c] 243π [5.30d]

8π

3[5.31] 4− 3e [5.32]

1

6[5.33] 1 + ln 3 [5.34]

3

4[5.35]

3

2+ ln2 2 [5.36]

5 ln 2− 3

2[5.37]

2√

2− 1

3[5.38] 1 + ln 2 [5.39] 2− ln 2 [5.40]

2 + 3 ln 3− 2 ln 2

3

[5.41] ln 3 − 3

2ln 2 [5.42]

π2

32+

1

4[5.43]

8

3[5.44]

π

4+ ln

√2π + 8

8[5.45]

√3 +

2π

3+ ln(2 −

√3) [5.46]

34

3+ 10 ln

3

5[5.47] ln 3 [5.48]

1

3+

1

2ln

1 + 2e

3[5.49] −2

1

3+ ln

3

2[5.50]

1

2e2 − 1 [5.51] 2 − 3 ln 2 [5.52]

8

15− π

4[5.53]

3

4+

1

4ln

27

16[5.54] −2 + ln(e2 + e + 1) [5.55] 2− e−1.

48

Chuyên đề 6

Số Phức

§1. Dạng Đại Số Của Số Phức


1. Khái niệm số phức.• Định nghĩa : z = a+ bi

(a, b ∈ R, i2 = −1

).

• Hai số phức bằng nhau : z1 = z2 ⇔a1 = a2

b1 = b2.

• Số phức liên hợp : z = a− bi.2. Biểu diễn hình học.• Số phức z = a+ bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng Oxy.

3. Phép toán số phức.• Cộng, trừ, nhân hai số phức : Xem như cộng, trừ, nhân hai đa thức.

• Chia hai số phức :z1

z2=z1z2

z2z2.

4. Mô đun của số phức.• Định nghĩa : |z| =

√a2 + b2.

• Tính chất : |z1.z2| = |z1| . |z2|,∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

, |z1 + z2| 6 |z1|+ |z2|.

Kỹ Năng Cơ Bản

1. Tìm số phức.• TH1 : Trong biểu thức chỉ chứa z hoặc z : Rút z hoặc z.• TH2 : Trong biểu thức chứa z, z, |z| : Gọi z = a+ bi, (a, b ∈ R), thay vào biểu thức để tìm a, b.

2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức.• Gọi z = x+ yi, (x, y ∈ R), thay vào biểu thức để tìm mối liên hệ giữa x, y.

Lưu ý. Một số tập hợp điểm thường gặp :• ax+ by + c = 0 : Đường thẳng.• x = x0 hoặc y = y0 : Đường thẳng song song Oy hoặc Ox.• y = ax2 + bx+ c : Parabol.• y =

a

x: Hypebol.

• (x− a)2 + (y − b)2 = R2 : Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R =√R2.

• x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0 : Đường tròn I(a; b), bán kính R =√a2 + b2 − c.

C. Bài Tập

6.1. Thực hiện các phép tính sau :a) (5− 4i) + (2 + i)− (1 + 7i); b) (7− 3i)(−3 + 5i);

c) (1− 2i)(3 + i)(2− 5i); d)3− i2 + 3i

.

49


6.2. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

a) z = 4− 3i+5 + 4i

3 + 6i; b) z =

2− i1 + 4i

+3 + 2i

1− 2i;

c) z =(2− 3i) (1 + i)

4 + i; d) z =

2i(2 + 3i)2

3 + 4i.

6.3. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :a) z = i1001; b) z = (1− i)98;

c) z = (1 + i)2013; d) z =

(1 + i

1− i

)33

.

6.4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện (2 + i)z + 3− 5i = 1 + 2i.

6.5. Tìm môđun của số phức w = (1− z)z thỏa mãn điều kiện (1− i)z + 5 + 2i = 2(z − i+ 3).

6.6. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 + i)z = 1 + 2i.

6.7. Tính môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1− 2i|2 + iz + z = 11 + 2i.

6.8. Giải phương trình z2 + |z| = 0 trên tập hợp các số phức.

6.9. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z +1 + i

(1− i)z= (1− i)|z|.

6.10. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện |z| = |z − 2− 2i| và z − 2i

z − 2là số thuần ảo.

6.11. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời∣∣∣∣z − 1

z − i

∣∣∣∣ = 1,

∣∣∣∣z − 2i

z + i

∣∣∣∣ = 1.

6.12. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện |iz − 3| = |z − 2− i|.

6.13. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện :a) |z + z + 3| = 4; b) |z − z + 1− i| = 2;c) |2 + z| = |i− z|; d) |2 + z| > |z − 2|;e)∣∣∣z2 − (z)2

∣∣∣ = 4; f) 2 |z − i| = |z − z + 2i|;g) |z − 1 + i| = 2; h) |z − i| = |(1 + i) z|.

6.14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = 2z − i− 3, biết |z − 2 + 3i| = 5.

§2. Phương Trình Bậc Hai Nghiệm Phức


1. Căn bậc hai của số phức.• Định nghĩa : Số phức w gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z.• Nhận xét : Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là w = ±

√a.

Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là w = ±i√|a|.

Mỗi số phức z 6= 0 luôn có hai căn bậc hai.

• Cách tìm : Gọi w = x+ yi, (x, y ∈ R) ta có z = w2 = x2 − y2 + 2xyi⇔x2 − y2 = a2xy = b

.

2. Phương trình bậc hai nghiệm phức.• Tính ∆ = b2 − 4ac (hoặc ∆′ = (b′)2 − ac).

• Trường hợp ∆ là số thực : Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm z =−b±

√∆

2a.

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = − b

2a.

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm z =−b± i

√|∆|

2a.

• Trường hợp ∆ là số phức : Ta tìm căn bậc hai w của ∆.

Khi đó phương trình có hai nghiệm z =−b± w

2a.

50

Chuyên đề 6. Số Phức

B. Bài Tập

6.15. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau :a) z = −3 + 4i; b) z = 5− 12i;c) z = −24 + 10i; d) z = 1 + 4i

√3;

e) z = 17 + 20i√

2; f) z = −1− 2i√

6.

6.16. Giải các phương trình sau :a) z4 + z2 − 6 = 0; b) z2 − 2z + 2 = 0;c) 2z2 − 5z + 4 = 0; d) −3z2 + 2z − 1 = 0.

6.17. Ký hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 − 2z + 1 = 0. Tính A =1

z21

+1

z22

.

6.18. Giải các phương trình sau :a) z2 − (5− i) z + 8− i = 0; b) z2 + (1− 2i) z + 1 + 5i = 0;c) z2 − 2 (2 + i) z + 7 + 4i = 0; d) iz2 − 2 (1− i) z − 4 = 0.

6.19. Cho z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − (i+ 2) z + i = 0. Tính∣∣∣∣z1

z2+z2

z1

∣∣∣∣.6.20. Giải các phương trình sau :

a) (z − i)(z2 + 1

) (z3 + i

)= 0; b) 8z4 + 8z3 = z + 1;

c) z4 + 6z3 + 9z2 + 101 = i3000; d) z3 − 2 (1 + i) z2 + 3iz + 1− i = 0;

e) z4 − 4z3 + 7z2 − 16z + 12 = 0; f) z4 − z3 +z2

2+ z + 1 = 0.

6.21. Giải các phương trình sau :a) 3

(z2 − z + 1

)2+ 7

(z2 − z

)+ 1 = 0; b)

(z2 + z

)2+ 4

(z2 + z

)− 12 = 0;

c)(iz + 3

z − 2i

)2

− 3

(iz + 3

z − 2i

)− 4 = 0; d)

(z2 + 3z + 6

)2+ 2z

(z2 + 3z + 6

)− 3z2 = 0.

§3. Dạng Lượng Giác Của Số Phức


1. Định nghĩa. z = r (cosϕ+ i sinϕ) (r > 0).

Trong đó : r = |z| =√a2 + b2, cosϕ =

a

r, sinϕ =

b

r.

2. Hai số phức bằng nhau. z1 = z2 ⇔r1 = r2

ϕ1 = ϕ2 + k2π.

3. Nhân chia hai số phức. z1z2 = r1r2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)).z1

z2=r1

r2(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)).

Hệ quả : z2 = r2 (cos 2ϕ+ i sin 2ϕ).z = r (cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)).1

z=

1

r(cos (−ϕ) + i sin (−ϕ)).

4. Căn bậc hai dạng lượng giác. w = ±√r(

cosϕ

2+ i sin

ϕ

2

).

5. Công thức Moa-vrơ. zn = rn (cosnϕ+ i sinnϕ) (n ≥ 1).Hệ quả : (cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ.

B. Bài Tập

6.22. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :a) z = 1 + i; b) z =

(√2 + i

√6)99

;

c) z =

(2− 2i

√3)5(√

2 + i√

2)3 ; d) z =

(√3 + i

)7(1− i)10(√

6− i√

2)9 .

51


6.23. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :a) z = cosϕ− i sinϕ; b) z = − sin

π

8− i cos

π

8;

c) z =(

cosπ

3− i sin

π

3

)i5(1 + i

√3)7; dh) z = cosϕ+ i (1 + sinϕ).

6.24. Thực hiện các phép tính sau :

a) z = (1− i)4(√3 + i)6; b) z =

(1− i

√3)2013

(1 + i)2000 ;

c) z =

(5 + 3i

√3

1− 2i√

3

)21

; d) z =

(2 +√

3 + i

1−√

3i

)2000

.

6.25. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2√

2z + 8 = 0. Tính P = z20131 + z2013

2 .

6.26. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z +1

z= 1. Tìm số phức w = z2000 +

1

z2000.

6.27. Tính tổng Sn = (1 + i)n + (1− i)n. Từ đó suy ra S2012.

CÁC BÀI TOÁN THI

6.28. (THPTQG-2015) Cho số phức z thỏa mãn (1− i)z − 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.

6.29. (A-2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z+ (2 + i)z = 3 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.

6.30. (B-2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1− i)z = 1− 9i. Tìm môđun của z.

6.31. (D-2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z − z) (1 + i)− 5z = 8i− 1. Tìm môđun của z.

6.32. (CĐ-2014) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z − iz = 2 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.

6.33. (A-2013) Cho số phức z = 1 +√

3i. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của sốphức w = (1 + i)z5.

6.34. (D-2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i. Tính môđun của số phức

w =z − 2z + 1

z2.

6.35. (CĐ-2013) Cho số phức z thỏa (3+2i)z+(2−i)2 = 4+i. Tìm phần thực và phần ảo của w = (1+z)z.

6.36. (CĐ-2013) Giải phương trình z2 + (2− 3i)z − 1− 3i = 0 trên tập hợp các số phức C.

6.37. (A-2012) Cho số phức z thỏa mãn5 (z + i)

z + 1= 2− i. Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2.

6.38. (B-2012) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−2√

3iz−4 = 0 = 0. Viết dạng lượnggiác của z1 và z2.

6.39. (D-2012) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) z+2 (1 + 2i)

1 + i= 7+8i. Tìm môđun của số phức w = z+1+i.

6.40. (D-2012) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức.

6.41. (CĐ-2012) Cho số phức z thỏa mãn (1− 2i) z − 2− i1 + i

= (3− i) z. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z

trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

6.42. (CĐ-2012) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 1 + 3i = 0. Tính |z1|+ |z2|.

6.43. (A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = |z|2 + z.

6.44. (A-2011) Tìm môđun của số phức z, biết (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1− i) = 2− 2i.

52

Chuyên đề 6. Số Phức

6.45. (B-2011) Tìm số phức z, biết z − 5 + i√

3

z− 1 = 0.

6.46. (B-2011) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

(1 + i

√3

1 + i

)3

.

6.47. (D-2011) Tìm số phức z, biết z − (2 + 3i) z = 1− 9i.

6.48. (CĐ-2011) Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)2z + z = 4i− 20. Tính môđun của z.

6.49. (CĐ-2011) Cho số phức z thỏa mãn z2 − 2(1 + i)z + 2i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của1

z.

6.50. (A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết z =(√

2 + i)2 (

1− i√

2).

6.51. (A-2010) Cho số phức z thoả z =

(1 + i

√3)3

1− i. Tìm môđun của số phức z + iz.

6.52. (B-2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn|z − i| = |(1 + i)z|.

6.53. (D-2010) Tìm số phức z thỏa mãn |z| =√

2 và z2 là số thuần ảo.

6.54. (CĐ-2010) Cho số phức z thỏa (2− 3i) z+ (4 + i) z = −(1 + 3i)2. Tìm phần thực và phần ảo của z.

6.55. (CĐ-2010) Giải phương trình z2 − (1 + i)z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức C.

6.56. (A-2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính A = |z1|2 + |z2|2.

6.57. (B-2009) Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| =√

10 và z.z = 25.

6.58. (D-2009) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện |z − (3− 4i)| = 2.

6.59. (CĐ-2009) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)2 (2− i) z = 8 + i+ (1 + 2i) z. Tìm phần thựcvà phần ảo của z.

6.60. (CĐ-2009) Giải phương trình4z − 3− 7i

z − i= z − 2i trên tập hợp các số phức C.

ĐÁP SỐ

[6.1a] 6− 10i [6.1b] 6 + 44i [6.1c] −15− 35i [6.1d]3

13− 11

13i [6.2a]

73

15− 17

5i [6.2b] −27

85+

91

85i [6.2c]

19

17− 9

17i [6.21d] −112

25+

66

25i [6.3a] i [6.3b] −249i [6.3c] −21006− 21006i [6.3d] i [6.4] z =

3

5+

16

5i [6.5]

|w| = 1

2

√221 [6.6] z = 2−3i [6.7] |z| =

√2; |z| =

√20 [6.8] z = 0; z = ±i [6.9] z = −i [6.10] z = 2i [6.11]

z =1

2+

1

2i [6.12] z = −1

5− 2

5i [6.13a] x =

1

2; x = −7

2[6.13b] y =

1±√

3

2[6.13c] 4x+2y+3 = 0 [6.13d]

x > 0 [6.13e] y = ±1

x[6.13f] y =

1

4x2 [6.13g] (x− 1)2 + (y+ 1)2 = 4 [6.13h] x2 + y2 + 2y− 1 = 0 [6.14]

(x−1)2 + (y+ 7)2 = 100 [6.15a] ±(1 + 2i) [6.15b] ±(3−2i) [6.15c] ±(1 + 5i) [6.15d] ±(2 +√

3i) [6.15e]

±(5 + 2√

2i) [6.15f] ±(√

2 −√

3i) [6.16a] z = ±√

2; z = ±i√

3 [6.16b] z = 1 ± i [6.16c] z =5± i

√7

4

[6.16d] z =1± i

√2

3[6.17] A = 0 [6.18a] z = 2 + i; z = 3 − 2i [6.18b] z = 1 − i; z = −2 + 3i [6.18c]

z = 2 − i; z = 2 + 3i [6.18d] z = −2; z = −2i [6.19]√

13 [6.20a] z = ±i; z =−i± 3

2[6.20b] z = −1;

z =1

2; z =

−1± i√

3

2[6.20c] z = 1 ± 2i; z = −4 ± 2i [6.20d] z = 1; z = i; z = 1 ± i [6.20e] z = 1;

z = 3; z = ±2i [6.20f] z = 1± i; z = −1

2± 1

2i [6.21a] z =

1± i√

15

2; z =

3± i√

3

6[6.21b] z = 1; z = −2;

53


z =−1± i

√23

2[6.21c] z = −1

2+

5

2i; z =

4

17+

35

17i [6.21d] z = −1 ± i

√5; z = −3 ±

√3 [6.22a] z =

√2(

cosπ

4+ i sin

π

4

)[6.22b] z = 2148

√2(cosπ + i sinπ) [6.22c] z = 128

(cos

(−29

12

)+ i sin

(−29π

12

))[6.22d]

1

2√

2

(cos

π

6+ i sin

π

6

)[6.23a] z = cos (−ϕ) + i sin (−ϕ) [6.23b] z = cos

11π

8+ i sin

11π

8[6.23c]

128(

cosπ

2+ i sin

π

2

)[6.23d] sin

(ϕ2

+π

4

)> 0 ⇒ z = 2 sin

(ϕ2 + π

4

) (cos(ϕ

2+π

4

)+ i sin

(ϕ2

+π

4

));

sin(ϕ

2+π

4

)< 0 ⇒ z = −2 sin

(ϕ2

+π

4

)(cos

(ϕ

2+

5π

4

)+ i sin

(ϕ

2+

5π

4

))[6.24a] z = 256 [6.24b]

z = −22013 [6.24c] z = 221 [6.24d] z =

(2 +√

3)1000 (√

3− 1)

2[6.25] z = −23020

√2 [6.26] w = −1 [6.27]

S2012 = −21007 [6.28] z = 3 − 2i [6.29] z = 2 − 3i [6.30] |z| =√

13 [6.31] |z| =√

13 [6.32] z = 3 + 4i

[6.33] z =(

cosπ

3+ i sin

π

3

); w = 16 + 16

√3 + (16 − 16

√3)i [6.34] |w| =

√10 [6.35] w = 3 − i [6.36]

z = −1 + i; z = −1 + 2i [6.37] |w| =√

13 [6.38] z1 =(

cosπ

3+ i sin

π

3

); z2 =

(cos

2π

3+ i sin

2π

3

)[6.39]

|w| = 5 [6.40] z = −1−2i; z = −2−i [6.41](

1

10;

7

10

)[6.42] |z1|+|z2| = 1+

√5 [6.43] z = 0; z = −1

2± 1

2i

[6.44] |z| =

√2

3[6.45] z = 2 − i

√3; z = −1 − i

√3 [6.46] z = 2 + 2i [6.47] z = 2 − i [6.48] |z| = 5

[6.49]1

z=

1

2− 1

2i [6.50] z = 5 − i

√2 [6.51] |z + iz| = 8

√2 [6.52] x2 + (y + 1)2 = 2 [6.53] z = 1 ± i;

z = −1 ± i [6.54] z = −2 + 5i [6.55] z = 1 − 2i; z = 3i [6.56] A = 20 [6.57] z = 5; z = 3 + 4i [6.58](x− 3)2 + (y + 4)2 = 4 [6.59] z = 2− 3i [6.60] z = 1 + 2i; z = 3 + i.

54

Chuyên đề 7

Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

§1. Tọa Độ Trong Không Gian


1. Tọa độ trong không gian.

• Hai vectơ bằng nhau : −→a =−→b ⇔

a1 = b1a2 = b2a3 = b3

.

• Các phép toán vectơ : −→a ±−→b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3); k−→a = (ka1; ka2; ka3).

• Tích vô hướng của hai vectơ : −→a .−→b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

• Hai vectơ vuông góc : −→a ⊥−→b ⇔ −→a .

−→b = 0.

• Độ dài vectơ : |−→a | =√a2

1 + a22 + a2

3.

• Góc giữa hai vectơ : cos(−→a ;

−→b)

=−→a .−→b

|−→a | .∣∣∣−→b ∣∣∣ .

• Tọa độ vectơ :−−→AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).

• Khoảng cách giữa hai điểm : AB =∣∣∣−−→AB∣∣∣ =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

• I là trung điểm AB : I

(xA + xB

2;yA + yB

2;zA + zB

2

).

• G là trọng tâm ∆ABC : G

(xA + xB + xC

3;yA + yB + yC

3;zA + zB + zC

3

).

2. Tích có hướng của hai véctơ.

• Định nghĩa.[−→a ,−→b ] =

(∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣a3 a1

b3 b1

∣∣∣∣ ; ∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣).• Tính chất.∗[−→a ,−→b ]⊥−→a ;

[−→a ,−→b ]⊥−→b .∗∣∣∣[−→a ,−→b ]∣∣∣ = |−→a | .

∣∣∣−→b ∣∣∣ . sin(−→a ,−→b ).∗[−→a ,−→b ] =

−→0 ⇔ −→a ,

−→b cùng phương.

∗[−→a ,−→b ].−→c = 0⇔ −→a ,

−→b ,−→c đồng phẳng.

• Ứng dụng.

∗ Diện tích tam giác : S∆ABC =1

2

∣∣∣[−−→AB,−→AC]∣∣∣.∗ Thể tích tứ diện : VABCD =

1

6

∣∣∣[−−→AB,−→AC] .−−→AD∣∣∣.∗ Thể tích hình hộp : VABCD.A′B′C′D′ =

∣∣∣[−−→AB,−−→AD] .−−→AA′∣∣∣.55


B. Bài Tập

7.1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ −→a (5; 7; 2) ,−→b (3; 0; 4) ,−→c (−6; 1;−1). Hãy tìm

các vectơ −→m = 3−→a − 2−→b +−→c ;−→n = 5−→a + 6

−→b + 4−→c ;−→p =

[−→a ,−→b ] và tính −→a(−→b − 2−→c

);∣∣∣−→a +

−→b +−→c

∣∣∣.7.2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ −→a (1; 0;−2) ,

−→b (1; 2;−1) ,−→c (0; 3;−2). Tìm vectơ

−→u biết −→u⊥−→a ; −→u⊥−→b và |−→u | =

√21.

7.3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (−1;−2; 3) , B (0; 3; 1) , C (4; 2; 2). Tính cos BAC;[−−→AB,

−→AC].

7.4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 0;−2) , B (2; 1;−1) , C (1;−2; 2). Chứng minhA,B,C không thẳng hàng. Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành.

7.5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (2; 5; 3) , B (3; 7; 4) , C (x, y, 6). Tìm x, y để bađiểm A,B,C thẳng hàng.

7.6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 3) , B (−1; 3; 2) , C (−1; 2; 3). Tínhdiện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.

7.7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (2; 1;−1) , B (3; 0; 1) , C (2;−1; 3) vàD thuộc trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D, biết thể tích tứ diện ABCD bằng 5.

7.8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (−3;−2; 6) , B (−2; 4; 4). Hãy tính độ dài đườngcao OH của tam giác OAB.

§2. Phương Trình Mặt Phẳng


1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.• Định nghĩa : Vectơ −→n 6= −→0 có giá vuông góc với mặt phẳng (α) gọi là vectơ pháp tuyến của (α).

Lưu ý. Nếu (α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương −→a ,−→b thì (α) có một vectơ

pháp tuyến là[−→a ,−→b ].

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.• Dạng : Ax+By + Cz +D = 0 (A,B,C không đồng thời bằng 0).

Nhận xét.• Mặt phẳng Ax+By + Cz +D = 0 có vectơ pháp tuyến −→n (A;B;C).• Lấy x0; y0 tuỳ ý ⇒ z0 ta có điểm M (x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng.• Mặt phẳng qua M (x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến −→n (A;B;C) có phương trình :

A (x− x0) +B (y − y0) + C (z − z0) = 0

• Mặt phẳng qua A (a; 0; 0) , B (0; b; 0) và C (0; 0; c) (abc 6= 0) có phương trình đoạn chắn :x

a+y

b+z

c= 1

3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.Cho hai mặt phẳng (α1) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0 và (α2) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0, ta có :

• (α1) || (α2)⇔ A1

A2=B1

B2=C1

C26= D1

D2. • (α1) ≡ (α2)⇔ A1

A2=B1

B2=C1

C2=D1

D2.

• (α1) cắt (α2)⇔ A1 : B1 : C1 6= A2 : B2 : C2. • (α1)⊥ (α2)⇔ −→n1.−→n2 = 0.

4 . Góc và khoảng cách.

• Góc giữa hai mặt phẳng : cosϕ =

∣∣−−→n(P ).−−→n(Q)

∣∣∣∣−−→n(P )

∣∣ . ∣∣−−→n(Q)

∣∣ .• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : d (M, (α)) =

|AxM +ByM + CzM +D|√A2 +B2 + C2

.

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : d ((α), (β)) = d (M, (β)) , M ∈ (α).

56

Chuyên đề 7. Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

B. Bài Tập

7.9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1) , C (1; 2; 3). Viết phươngtrình mặt phẳng đi qua C và vuông góc với AB.

7.10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmM (2;−1; 2) và mặt phẳng (P ) : 2x−y+3z+4 = 0.Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (P ).

7.11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (2;−1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3). Viết phươngtrình mặt phẳng đi qua A,B,C.

7.12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2;−1) , D (1; 4; 0).Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

7.13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; 1;−1) , B (2;−1; 4) và mặt phẳng (α) :2x− y + 3z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng chứa A,B và vuông góc với (α).

7.14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmM (−2; 3;−1) và hai mặt phẳng (α) : x+2y+2z+1 =0; (β) : 2x+ 3y + z = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M , vuông góc với (α) và (β).

7.15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (4;−1; 5) , B (2; 3; 1). Viết phương trình mặtphẳng trung trực của AB.

7.16. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :a) (α) : x− 2y + 3z − 3 = 0; (β) : 2x− y + z − 1 = 0;b) (α) : 2x− y + 2z + 1 = 0; (β) : −4x+ 2y − 4z − 1 = 0;c) (α) : 3x− y + 2z + 1 = 0; (β) : 6x− 2y + 4z + 2 = 0.

7.17. Tính các khoảng cách sau :a) Giữa M (2;−3; 1) và (α) : 2x+ 2y + z + 3 = 0;b) Giữa (α) : 2x− y + 2z + 1 = 0 và (β) : 4x− 2y + 4z − 3 = 0.

7.18. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau :a) (P ) : 2x− y + z + 1 = 0 và (Q) : x+ y + 2z − 10 = 0;b) (α) : x+ 2y + 1z + 7 = 0 và (β) : 2x+ y − z − 4 = 0.

§3. Phương Trình Đường Thẳng


1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng.Định nghĩa : Vectơ −→u 6= −→0 có giá song song hoặc trùng với d gọi là vectơ chỉ phương của d.

2. Phuơng trình tham số của đường thẳng.Đường thẳng qua M (x0; y0; z0) và nhận −→u (a1; a2; a3) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số

d :

x = x0 + a1ty = y0 + a2tz = z0 + a3t

Nhận xét.• Đường thẳng ∆ qua M (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương −→u (a1; a2; a3).

• Nếu a1a2a3 6= 0 thì d còn viết dưới dạngx− x0

a1=y − y0

a2=z − z0

a3gọi là dạng chính tắc.

• Nếu d song song với (P ) và M ∈ d thì d (d; (P )) = d (M ; (P )).

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

• d ≡ d′ ⇔[−→u ,−→u′] =

[−→u ,−−−−→M0M′0

]=−→0 . • d||d′ ⇔

[−→u ,−→u′] =

−→0[−→u ,−−−−→M0M′0

]6= −→0

.

• d và d′ cắt nhau ⇔

[−→u ,−→u′] 6= −→0[−→u ,−→u′] .−−−−→M0M

′0 = 0

. • d và d′ chéo nhau ⇔[−→u ,−→u′] .−−−−→M0M

′0 6= 0.

57


4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d :

x = x0 + atx = y0 + btz = z0 + ct

và mặt phẳng (P ) : Ax+By + Cz +D = 0.

Số giao điểm của d và (P ) là số nghiệm phương trình :

A (x0 + at) +B (y0 + bt) + C (z0 + ct) +D = 0 (1)

• d ⊂ (α)⇔ (1) có vô số nghiệm. • d||(α)⇔ (1) vô nghiệm.• d cắt (α)⇔ (1) có một nghiệm. • d⊥(α)⇔ −→u d = k−→n (P ).

5. Góc.

• Giữa hai đường thẳng : cosα =|−→ud1 .−→ud2 |

|−→ud1 | . |−→ud2 |

.

• Giữa đường thẳng và mặt phẳng : sinβ =

∣∣−→ud.−−→n(P )

∣∣|−→ud| .

∣∣−−→n(P )

∣∣ .6. Khoảng cách.

• Từ một điểm đến một đường thẳng : d (M,d) =

∣∣∣[−→u ,−−−→M0M]∣∣∣

|−→u |; d (M,AB) =

∣∣∣[−−→AB,−−→AM]∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣ .

• Giữa hai đường thẳng chéo nhau : d (d1, d2) =

∣∣∣[−→u1,−→u2] .−−−−→M1M2

∣∣∣|[−→u1,

−→u2]|; d (AB,CD) =

∣∣∣[−−→AB,−−→CD] .−→AC∣∣∣∣∣∣[−−→AB,−−→CD]∣∣∣ .

B. Bài Tập

7.19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng AB, biết A (1; 2; 3) , B (5; 4; 4).

7.20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (−3; 1; 2) và mặt phẳng (α) : x− 2y+ 3z+ 1 = 0.Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (α).

7.21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmM (2; 1;−3) và đường thẳng ∆ :x− 1

2=y + 3

3=z

4.

Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song với ∆.

7.22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 1; 2) và hai mặt phẳng (α) : 3x+ 2y− z+ 1 =0, (β) : x− 4y+ 3z + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và song song với giao tuyến của (α)và (β).

7.23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : x+z−1 = 0, (β) : 2x−2y+3z+1 = 0.Viết phương trình giao tuyến của (α) và (β).

7.24. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau :

a) d :x− 12

4=y − 9

3=z − 1

1và (α) : 3x+ 5y − z − 2 = 0.

b) d :x− 1

1=y − 1

2=z − 2

−3và (α) : x+ y + z − 4 = 0.

7.25. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :

a) d :x− 1

1=y

2=z − 3

−1và d′ :

x− 2

2=y − 3

4=z − 5

−2;

b) d :x− 3

−1=y − 4

1=z − 5

−2và d′ :

x− 2

−3=y − 5

3=z − 3

−6;

c) d :x− 1

1=y − 2

3=z − 3

−1và d′ :

x− 2

−2=y + 2

1=z − 1

3;

d) d :x− 1

2=y + 1

3=z − 5

1và d′ :

x− 1

3=y + 2

2=z + 1

2.

7.26. Tính các góc sau :

a) Giữa d1 :x− 1

2=y + 1

1=z − 3

4và d2 :

x− 2

−1=y + 1

3=z − 4

2;

b) Giữa d :x+ 2

4=y − 1

1=z − 3

−2và (P ) : x+ y − z + 2 = 0.

58


7.27. Tính các khoảng cách sau :

a) Giữa M(2; 3; 1) và d :x+ 2

1=y − 1

2=z + 2

−2;

b) Giữa d1 :x− 1

2=y + 3

1=z − 4

−2và d2 :

x+ 2

−4=y − 1

−2=z + 1

4.

7.28. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho bốn điểmA (3;−1; 0) , B (0;−7; 3) , C (−2; 1;−1) , D (3; 2; 6).Tính góc và khoảng cách giữa AB và CD.

§4. Phương Trình Mặt Cầu


1. Phương trình mặt cầu.• Dạng 1 : (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (R > 0).

Có tâm I (a; b; c) và bán kính R =√R2.

• Dạng 2 : x2 + y2 + z2 − 2ax− 2by − 2cz + d = 0(a2 + b2 + c2 > d

).

Có tâm I (a; b; c) và bán kính R =√a2 + b2 + c2 − d.

2. Vị trí trương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P ), ta có :• d(I, (P )) > R : Mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu (S).• d(I, (P )) = R : Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S).• d(I, (P )) < R : Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình

chiếu của I trên (P ) và bán kính r =√R2 − d2(I, (P )).

3. Vị trí trương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d, ta có :• d(I, d) > R : Đường thẳng d không cắt mặt cầu (S).• d(I, d) = R : Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S).• d(I, d) < R : Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) theo dây cung AB = 2

√R2 − d2(I, (P )).

B. Bài Tập

7.29. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau :a) (x− 3)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 9; b) x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y − 6z + 9 = 0;c) x2 + y2 + z2 + y − 5z + 1 = 0; d) 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x+ 8y + 15z − 3 = 0.

7.30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;−3) , B (2; 0;−1). Viết phương trình mặtcầu có tâm A và qua B.

7.31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; 2;−1) , B (1; 4; 3). Viết phương trình mặtcầu đường kính AB.

7.32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 2; 1) và mặt phẳng (P ) : x+ 2y − 2z + 5 = 0.Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với (P ).

7.33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2; 3) và đường thẳng d :x+ 1

2=y − 2

1=

z + 3

−1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với d.

7.34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 3; 1), B(3; 1;−2), C(2; 4; 0), D(−1; 3;−2).Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

7.35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

2=

y − 3

4=

z

1và mặt phẳng

(P ) : 2x− y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với (P ).

7.36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 4) và hai đường thẳng d :x− 1

1=

y

−1=

z − 3

2, d′ :

x+ 2

1=y + 2

1=z − 4

−4. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, qua M và tiếp xúc với d′.

59



−3=

y − 1

2=

z − 1

2và hai mặt

phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 2 = 0, (Q) : x − 2y + 2z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằmtrên d, đồng thời tiếp xúc với cả (P ) và (Q).

7.38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 3; 5) và đường thẳng d :x− 2

−1=y + 3

1=z

1.

Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt d tại hai điểm A,B sao cho AB = 12.

§5. Bài Toán Tổng Hợp

7.39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (0; 4; 1) , B (1; 0; 1) , C (3; 1;−2). Tìmtoạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

7.40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; 0) và đường thẳng ∆ :x− 2

1=y − 1

2=

z

−2.

Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua ∆.

7.41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 4; 2) và mặt phẳng (α) : x + y + z − 1 = 0.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên (α). Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với A qua (α).

7.42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2;−1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng(P ) : x+ y + z − 6 = 0. Tìm điểm M trên (P ) sao cho

∣∣∣−−→MA+ 2−−→MB +

−−→MC

∣∣∣ đạt giá trị nhỏ nhất.

7.43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 3 = 0 và mặt cầu(S) : x2 + y2 + z2− 4x+ 2y− 2z− 10 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tọa độ tâmvà tính bán kính của đường tròn đó.

7.44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2; 1), B(2; 0; 3) và mặt phẳng (P ) :2x− y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB và (ABM) vuông góc với (P ).

7.45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (4;−6; 3) , B (5;−7; 3) và mặt phẳng (P ) :4x+ 5y+ z− 3 = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ). Tìm tọa độ điểm C thuộc d saocho tam giác ABC vuông tại B.

7.46. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng (P ) : x−y+z = 0 và hai điểmA(−1; 1; 3), B(−1; 4; 0).Tìm tọa độ điểm C thuộc (P ) sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

7.47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 5; 4), B(3; 1; 4) và mặt phẳng (P ) : x− y−z − 1 = 0. Tìm tọa độ điểm C thuộc (P ) sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2

√17.

7.48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; 0) , B (0; 1; 2) và mặt phẳng (α) :2x− 2y − z + 5 = 0. Tìm tọa độ điểm C thuộc trục Oz để (ABC) hợp với (α) một góc 600.

7.49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P ) : x− 3y − 4 = 0, (Q) : x+ 3z − 7 = 0và (R) : x− 2y + 2z − 2 = 0. Tìm trên giao tuyến của (P ) và (Q) những điểm M sao cho khoảng cách từM đến (R) bằng 2.

7.50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x− y + z + 1 = 0 và ba điểm A(1; 1; 1),B(0; 1; 2), C(−2; 0; 1). Tìm tọa độ điểm N thuộc (P ) để S = 2NA2 +NB2 +NC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

7.51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường thẳng

d :x− 12

4=y − 9

3=z − 1

1. Tìm tọa độ giao điểm M của d và (α). Viết phương trình mặt phẳng (β)

chứa M và vuông góc với d.

7.52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ :x− 7

3=

y − 2

2=

z − 1

−2và

∆′ :x− 1

2=y + 2

−3=z − 5

4. Tìm tọa độ giao điểm A của ∆ và ∆′. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa

∆ và ∆′.

7.53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :x− 1

−1=y

1=

z

−1và d′ :

x

2=y + 1

1=

z

1. Chứng minh d và d′ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và song song với d′.

60


7.54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và mặt cầu(S) : x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song (P ) và tiếp xúc (S).

7.55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x

−1=

y − 1

2=

z + 3

−2và mặt cầu

(S) : x2 + y2 + z2 − 2x− 6y + 4z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d và cắt (S) theogiao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

7.56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;−2;−2) và mặt phẳng (P ) : x− y− z+ 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với (P ) và cắt hai tia Ox,Oy lần lượt tại M,Nsao cho OM = ON .

7.57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 1), N(−1; 0;−1). Viết phương trình mặtphẳng (P ) đi qua M,N và cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B (không trùng với O) sao cho AM =

√3AN .

7.58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(9; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi quaM và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

7.59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(−2; 3;−1), C(0; 1; 1), D(−4;−3; 5).Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A,B và cách đều C,D.

7.60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(3; 0; 2), C(1; 0;−2). Viết phươngtrình mặt phẳng (P ) đi qua A,B đồng thời cách C một khoảng bằng 2.

7.61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;−3; 5) và hai mặt phẳng (P ) : x− 5y− z+ 1 =0, (Q) : 2x+ 2y+ z − 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, vuông góc với (P ) và tạo với (Q)một góc bằng 450.

7.62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 2), B(1; 2; 0). Viết phương trình mặt

phẳng (P ) đi qua A,B và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc ϕ sao cho cosϕ =1

3.


2=y + 1

1=z − 2

2và mặt phẳng

(P ) : x+ 2y − 2z − 4 = 0. Viết phương trình hình chiếu d′ của d trên (P ).


3=y − 1

1=z − 2

−4và mặt phẳng

(P ) : x− y + 2z − 13 = 0. Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua (P ).


−1=y + 3

2=z − 3

1và mặt phẳng

(P ) : 2x+ y − 2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P ), cắt và vuông góc với d.

7.66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :x− 7

1=

y − 3

2=

z − 9

−1và

d2 :x− 3

−7=y − 1

2=z − 1

3. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.

7.67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x− 2y + z − 2 = 0 và hai đường thẳng

d1 :x− 1

2=y − 2

1=z − 1

1, d2 :

x+ 1

1=

3− y−1

=z + 2

2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong

(P ) và cắt d1, d2.

7.68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;−1; 1) và hai đường thẳng d :x− 1

2=y

1=

z − 3

−1, d′ :

x

1=y + 1

−2=z − 2

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, đồng thời cắt cả d và d′.

7.69. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :x− 1

2=y + 1

1=z

1và d2 :

x− 1

1=

y − 2

2=z

1và mặt phẳng (P ) : x+ y− 2z+ 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P ) và

cắt d1, d2 lần lượt tại A,B sao cho AB =√

29.

7.70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x

1=

y − 2

2=

z

2và mặt phẳng

(P ) : x− y+ z− 5 = 0. Gọi A là giao điểm của d và (P ). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ),đi qua A và hợp với đường thẳng ∆ một góc 450.

61



2=y + 2

1=z + 1

−1và mặt phẳng

(P ) : x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P ). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trongmặt phẳng (P ), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới ∆ bằng

√42.

7.72. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 600. GọiM,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đếnmặt phẳng (SMN).

7.73. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA = a. Tam giácASC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC vàkhoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

7.74. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√

3, SA = 2a và SAvuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính theo a thể tíchkhối chóp A.BCNM và côsin góc giữa MN và AB.

7.75. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B. Biết AD = 2AB = 2BC = 2a,SA = SD = SC = 3a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SBvà CD.

7.76. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy và SC tạo vớiđáy một góc bằng 600. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,DA. Tính theo a thể tích khốichóp S.ABCD; côsin góc giữa SM,SN và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMP ).

7.77. Cho lập phương ABCD.A′B′C ′D′ có cạnh a. Gọi K trung điểm DD′. Tính côsin góc và khoảngcách giữa CK và A′D. Tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A′C ′ và B′C.

7.78. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có AB = a,AD = 2a,AA′ = a. Tính khoảng cách giữahai đường thẳng AD′ và B′C. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD, tính khoảng cách từM đến (AB′C) và tính thể tích tứ diện AB′D′C.

7.79. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 3a, AA′ = a và gócgiữa A′B với mặt phẳng trung trực của BC bằng 300. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C ′ vàkhoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và AC.

CÁC BÀI TOÁN THI

7.80. (THPTQG-2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;−2; 1), B(2; 1; 3) và mặtphẳng (P ) : x − y + 2z − 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đườngthẳng AB với mặt phẳng (P ).

7.81. (A-2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+ y − 2z − 1 = 0 và đường

thẳng d :x− 2

1=

y

−2=z + 3

3. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ). Viết phương trình mặt phẳng chứa d

và vuông góc với (P ).

7.82. (B-2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0;−1) và đường thẳng d :x− 1

2=

y + 1

2=

z

−1. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc

của A trên d.

7.83. (D-2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x+ 3y − 2z − 1 = 0 và mặtcầu (S) : x2 + y2 + z2 − 6x − 4y − 2z − 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giaotuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).

7.84. (CĐ-2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1;−1), B(1; 2; 3) và mặt phẳng(P ) : x+ 2y− 2z+ 3 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương trình mặt phẳngchứa A,B và vuông góc với (P ).

62


7.85. (A-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x− 6

−3=y + 1

−2=z + 2

1và

điểm A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuong góc với ∆. Tìm tọa độ điểm M thuộc∆ sao cho AM = 2

√30.

7.86. (A-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+ 3y + z − 11 = 0 và mặtcầu (S) : x2 + y2 + z2− 2x+ 4y− 2z− 8 = 0. Chứng minh (P ) tiếp xúc (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P )và (S).

7.87. (B-2013) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmA(3; 5; 0) và mặt phẳng (P ) : 2x+3y−z−7 =0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua(P ).

7.88. (B-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;−1; 1), B(−1; 2; 3) và đường thẳng

∆ :x+ 1

−2=y − 2

1=z − 3

3. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng

AB và ∆.

7.89. (D-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1;−1;−2), B(0; 1; 1) và mặt phẳng(P ) : x + y + z − 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương trình mặt phẳngđi qua A,B và vuông với (P ).

7.90. (D-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3;−2) và mặt phẳng (P ) : x− 2y−2z+ 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P ). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P ).

7.91. (CĐ-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;−1; 3) và d :x− 1

2=y + 1

−1=z − 3

1.

Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d.

7.92. (CĐ-2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : 2x −5y + 4z − 36 = 0. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P ). Viết phương trình mặt cầutâm I và đi qua A.

7.93. (A-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x+ 1

1=y

2=z − 2

1và điểm

I(0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A,B sao cho tam giác IAB vuôngtại I.

7.94. (A-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x+ 1

2=y

1=z − 2

1, mặt phẳng

(P ) : x+ y − 2z + 5 = 0 và điểm A(1;−1; 2). Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tạiM và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN .

7.95. (B-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

2=y

1=

z

−2và hai điểm

A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d.

7.96. (B-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 3),M(1; 2; 0). Viết phương trình mặtphẳng (P ) qua A và cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộcđường thẳng AM .

7.97. (D-2012) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+ y− 2z+ 10 = 0 và điểm I (2; 1; 3). Viếtphương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

7.98. (D-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

2=y + 1

−1=z

1và hai

điểm A (1;−1; 2), B (2;−1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M .

7.99. (CĐ-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :

x = ty = 2tz = 1− t

, d2 :x = 1 + 2sy = 2 + 2sz = −s

. Chứng minh d1 và d2 cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2.

63


7.100. (CĐ-2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x− 2

−1=y + 1

−1=z + 1

1và

mặt phẳng (P ) : 2x+ y − 2z = 0. Đường thẳng ∆ nằm trong (P ) vuông góc với d tại giao điểm của d và(P ). Viết phương trình đường thẳng ∆.

7.101. (A-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1) , B (0;−2; 3) và mặt phẳng(P ) : 2x− y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = 3.

7.102. (A-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 4x− 4y− 4z = 0và điểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

7.103. (B-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x− 2

1=y + 1

−2=

z

−1và mặt

phẳng (P ) : x + y + z − 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P ). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao choMI vuông góc với ∆ và MI = 4

√14.

7.104. (B-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :x+ 2

1=y − 1

3=z + 5

−2và

hai điểm A (−2; 1; 1), B (−3;−1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam giác MAB códiện tích bằng 3

√5.

7.105. (D-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d :x+ 1

2=

y

1=x− 3

−2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox.

7.106. (D-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ :x− 1

2=y − 3

4=z

1và (P ) : 2x−y+2z = 0.

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P ).

7.107. (CĐ-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0;−5) và mặtphẳng (P ) : 2x+ y − 3z − 4 = 0. Tìm điểm M thuộc (P ) sao cho ba điểm A,B,M thẳng hàng.

7.108. (CĐ-2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :x− 1

4=y + 1

−3=z − 1

1.

Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2;−3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A,B sao cho AB =√

26.

7.109. (A-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ :x− 1

2=y

1=z + 2

−1và (P ) : x−2y+z = 0.

Gọi C là giao điểm của ∆ và (P ), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết MC =√

6.

7.110. (A-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (0; 0;−2) và ∆ :x+ 2

2=y − 2

3=z + 3

2.

Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B,C sao cho BC = 8.

7.111. (B-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0) , B (0; b; 0) , C (0; 0; c),(b, c > 0) và mặt phẳng (P ) : y−z+1 = 0. Xác định b, c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng

(P ) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng1

3.

7.112. (B-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ :x

2=y − 1

1=z

2. Xác định tọa độ điểm M

trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến ∆ bằng OM .

7.113. (D-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P ) : x+y+z−3 = 0 và (Q) : x−y+z−1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

7.114. (D-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆1 :

x = 3 + ty = tz = t

và ∆2 :x− 2

2=y − 1

1=z

2.

Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆2 bằng 1.

7.115. (CĐ-2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (1;−2; 3) , B (−1; 0; 1) và (P ) : x+y+z+4 =0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng AB

6 ,có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P ).

64


7.116. (CĐ-2010) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho d :x

−2=y − 1

1=z

1và (P ) : 2x−y+2z−2 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ). Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cáchđều góc tọa độ O và (P ).

7.117. (A-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và (S) : x2 + y2 +z2−2x−4y−6z−11 = 0. Chứng minh (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đườngtròn đó.

7.118. (A-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P ) : x− 2y + 2z − 1 = 0 và hai đường thẳng

∆1 :x+ 1

1=y

1=z + 9

6, ∆2 :

x− 1

2=y − 3

1=z + 1

−2. Xác định điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cách

từ M đến ∆2 bằng khoảng cách từ M đến (P ).

7.119. (B-2009) Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho tứ diệnABCD có các đỉnhA (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3) , C (2;−1; 1),D (0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P ) bằng khoảngcách từ D đến (P ).

7.120. (B-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và hai điểmA (−3; 0; 1) , B (1;−1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P ), hãy viết đường thẳng màkhoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

7.121. (D-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (2; 1; 0) , B (1; 2; 2) , C (1; 1; 0) và mặt phẳng(P ) : x+ y + z − 20 = 0. Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD songsong với mặt phẳng (P ).

7.122. (D-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ :x+ 2

1=y − 2

1=

z

−1và (P ) : x + 2y −

3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.

7.123. (CĐ-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (P1) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P2) :3x+ 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng(P1) , (P2).

7.124. (CĐ-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A (1; 1; 0) , B (0; 2; 1) vàtrọng tâm G (0; 2;−1). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C và vuông góc với (ABC).

ĐÁP SỐ

[7.2] −→u = (4;−1; 2); −→u = (−4; 1;−2) [7.3] cos BAC =3√140

;[−−→AB,

−→AC]

= (3;−9;−21) [7.4] D(0;−3; 1)

[7.5] x = 5, y = 11 [7.6] S∆ABC =3

2; VOABC =

1

2[7.7] D(0; 8; 0); D(0;−7; 0) [7.8]

16√

205

41[7.9]

4x+ 2y − z − 5 = 0 [7.10] 2x− y + 3z − 11 = 0 [7.11] 2x+ 2y + 5z − 17 = 0 [7.12] x− z + 5 = 0 [7.13]

x− 13y− 5z+ 5 = 0 [7.14] 4x− 3y+ z+ 18 = 0 [7.15] x− 2y+ 2z− 7 = 0 [7.19]x− 1

4=y − 2

2=z − 3

1

[7.20]x+ 3

1=

y − 1

−2=

z − 2

3[7.21]

x− 2

2=

y + 1

3=

z − 3

4[7.22]

x+ 3

6=

y − 1

7=

z − 4

7[7.23]

x

2=

y − 2

−1=

z − 1

−2[7.28] 900; 3

√2 [7.30] (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 9 [7.31] (x − 2)2 + (y −

3)2 + (z − 1)2 = 6 [7.32] (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 1)1 = 9 [7.33] (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 50[7.34] (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 6 [7.35] (x− 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1; (x+ 1)2 + (y + 1)2 +

(z + 1)2 = 1 [7.36] (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 9;(x− 11

2

)2

+

(y +

7

2

)2

+ (z − 10)2 =153

2[7.37]

(x+ 1)2 + (y− 3)2 + (z − 3)2 = 1 [7.38] (x− 1)2 + (y− 3)2 + (z − 5)2 = 50 [7.40] H(1;−1; 2), A′(1;−2; 4)

[7.41] H(−1; 2; 0); A′(−3; 0;−2) [7.42] M(3; 1; 2)[7.43] K(3; 1;−1), r =√

7 [7.44] M(−2

3;−1

6;17

6

)[7.45] C(−4;−16; 1) [7.46] C(1; 2; 1); C(1; 3; 2) [7.47] C(7; 3; 3); C(4; 3; 0) [7.48] C

(0; 0;

2±√

2

2

)[7.49]

65


M(−2;−2; 3); (34; 10;−9) [7.50] N(−1

2;5

4;3

4

)[7.51]M(0; 0;−2); 4x+3y+z+2 = 0 [7.52] A(1;−2; 5);

2x− 16y − 13z + 31 = 0 [7.53] 2x− y − 3z − 2 = 0 [7.54] 4x+ 3y − 12z + 78 = 0; 4x+ 3y − 12z − 26 = 0[7.55] x − 2y + 2z = 0; x − 2y + 2z + 18 = 0 [7.56] 2x + y + z − 2 = 0 [7.57] x + 3y − 4z − 3 = 0[7.58] x + 9y + 9z − 27 = 0 [7.59] x − y − z + 4 = 0; 3x − 7y − 4z + 23 = 0 [7.60] x + 2y − 2z + 1 = 0;x+8y+4z−11 = 0 [7.61] x+z−7 = 0; 4x+y−z = 0 [7.62] 2x+2y−z−6 = 0; 2x+14y+5z−30 = 0 [7.63]

x− 2

2=y − 1

1=z

2[7.64]

x = 6 + 5t

y = −1− tz = 6

[7.65]

x = 5t

y = −1

z = 4 + 5t

[7.66]x− 7

2=y − 3

1=z − 9

4[7.67]

x− 9

1=y − 6

8=z − 5

15[7.68]

x− 1

4=y + 1

−7=z − 1

3[7.69]

x− 3

4=y

2=z − 1

3;x+ 1

2=y + 2

4=z+

3

[7.70]

x = 7 + t

y = 16− tz = 14

;

x = 7 + 7t

y = 16− 8t

z = 14− 15t

[7.71]x− 5

2=y + 2

−3=z + 5

1;x+ 3

2=y + 4

−3=z − 5

1[7.72]

a3√

3

24;

3a√

13

26[7.73]

a3√

3

6;

2a√

21

7[7.74]

a3√

3

5;

2√

30

40[7.75]

a3√

2

3;a√

2

2[7.76]

a3√

6

3;

3√58

;a√

6

5[7.77]

1√10

;a

3;a√3[7.78] a;

a√

5

4;

2a3

3[7.79]

3a3

√2;a√

3

2[7.80]

x− 1

1=y + 2

3=z − 1

2; M(0;−5;−1) [7.81]

x+8y+5z+13 = 0 [7.82] H(

5

3;−1

3;−1

3

)[7.83] H

(3

7;5

7;13

7

)[7.84] H(1;−1; 1); 10x−2y+3z−15 = 0

[7.85] M(3;−3;−1); M(

51

7;−1

7;−17

7

)[7.86] M(3; 1; 2) [7.87]

x− 3

2=

y − 5

3=

z

−1; A′(−1;−1; 2)

[7.88]x− 1

7=y + 1

2=z − 1

4[7.89] H

(2

3;2

3;−1

3

); x− 2y+ z + 1 = 0 [7.90] x− 2y− 2z + 3 = 0 [7.91]

A′(2;−3; 5) [7.92] (x−1)2+(y+2)2+(z−6)2 = 45 [7.93] x2+y2+(z−3)2 =8

3[7.94]

x− 3

2=y − 2

3=z − 4

2[7.95] (x+ 1)2 + (y+ 1)2 + (z−2)2 = 17 [7.96] 6x+ 3y+ 4z−12 = 0 [7.97] (x−2)2 + (y−1)2 + (z−3)2 =

25 [7.98] M(1;−1; 0); M(

7

3;−5

3;2

3

)[7.99] y + 2z − 2 = 0 [7.100]

x = 1 + t

y = −2

z = t

[7.101] M(0; 1; 3);

M

(−6

7;4

7;12

7

)[7.102] x − y + z = 0; x − y − z = 0 [7.103] M(5; 9;−11); M(−3;−7; 13) [7.104]

M(−2; 1; 5); M(−14;−35; 19) [7.105]x− 1

2=y − 2

2=z − 3

3[7.106] (x− 5)2 + (y − 11)2 + (z − 2)2 = 1;

(x+ 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 1 [7.107] M(0; 1;−1) [7.108] (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 25 [7.109]

d(M, (P )) =1√6[7.110] x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 [7.111] b = c =

1

2[7.112] M(−1; 0; 0); M(2; 0; 0)

[7.113] x − z ± 2√

2 = 0 [7.114] M(4; 1; 1); M(7; 4; 4) [7.115] (x + 4)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 =1

3;

(x + 6)2 + (y − 5)2 + (z + 4)2 =1

3[7.116] x + 2y − 2 = 0; M(0; 1; 0) [7.117] K(3; 0; 2); r = 4 [7.118]

M(0; 1;−3); M(

18

35;53

35;

3

35

)[7.119] 4x+ 2y + 7z − 15 = 0; 2x+ 3z − 5 = 0 [7.120]

x+ 3

26=

y

11=z − 1

−2

[7.121]D(

5

2;1

2;−1

)[7.122]

x+ 3

1=y − 1

−2=z − 1

−1[7.123] 4x−5y+2z−1 = 0 [7.124]

x = −1− 6t

y = 3 + 6t

z = −4

.

66

Chuyên đề 8

Lượng Giác

§1. Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung


1. Các đẳng thức lượng giác cơ bản.

• sin2α+ cos2α = 1. • 1 + tan2α =1

cos2α.

• 1 + cot2α =1

sin2α. • tanα. cotα = 1.

• tanα =sinα

cosα. • cotα =

cosα

sinα.

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.• sin(α+ k2π) = sinα. • cos(α+ k2π) = cosα.• tan(α+ kπ) = tanα. • cot(α+ kπ) = cotα.• "cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tang, cotang"

B. Bài Tập

8.1. Không sử dụng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác sau :

a) sin7π

3; b) tan

35π

6;

c) cos15π

4; d) cot

(−13050

).

8.2. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau :

a) A = sin25π

6+ cos

25π

3+ tan

(−25π

4

); b) B = cos 3150 + sin 3300 + sin 2500 − cos 1600;

c) C = sin2100 + sin2200 + ...+ sin2800; d) D = cos 100 + cos 200 + ...+ cos 1800.

8.3. Cho cung α thỏa mãn 0 < α <π

2và sinα =

2

3. Tính các giá trị lượng giác còn lại của cung α.

8.4. Cho cung α thỏa mãn −π2< α < 0 và cotα = −2. Tính sin(−α); cos(5π − α); sin

(9π

2− α

).

8.5. Cho cung α thỏa mãn tanα = 3. Tính giá trị biểu thức M =3 sinα− 2 cosα

3 sin3 α+ 4 cos3 α.

8.6. Chứng minh các đẳng thức sau :

a) cos4 α− sin4 α = 2 cos2 α− 1; b)1 + sin2 α

1− sin2 α= 1 + 2 tan2 α;

c)sinα+ cosα

cos3 α= 1 + tanα+ tan2 α+ tan3 α; d)

tan2 α− sin2 α

cot2 α− cos2 α= tan6 α.

8.7. Rút gọn các biểu thức sau :a) A =

√sin4 α+ sin2 α cos2 α; b) B =

√sin4 α+ 4 cos2 α+

√cos4 α+ 4 sin2 α;

c) C = 2(sin6 α+ cos6 α

)− 3

(sin4 α+ cos4 α

); d) D =

√1− cosα

1 + cosα+

√1 + cosα

1− cosα.

67


§2. Công Thức Lượng Giác


1. Công thức cộng.(1) cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b. (2) cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b.(3) sin(a− b) = sin a cos b− cos a sin b. (4) sin(a− b) = sin a cos b+ cos a sin b.

(5) tan(a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b. (6) tan(a+ b) =

tan a+ tan b

1− tan a tan b.

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc.(7) sin 2a = 2 sin a cos a. (8) cos 2a = cos2 a− sin2 a.(8a) cos 2a = 2 cos2 a− 1. (8b) cos 2a = 1− 2 sin2 a.

(8c) cos2 a =1 + cos 2a

2. (8d) sin2 a =

1− cos 2a

2.

(8e) tan2 a =1− cos 2a

1 + cos 2a. (9) tan 2a =

2 tan a

1 + tan2 a.

3. Công thức biến đổi.

(10) cos a cos b =1

2[cos(a− b) + cos(a+ b)]. (11) sin a sin b =

1

2[cos(a− b)− cos(a+ b)].

(12) sin a cos b =1

2[sin(a− b) + sin(a+ b)].

(13) cosu+ cos v = 2 cosu+ v

2cos

u− v2

. (14) cosu− cos v = −2 sinu+ v

2sin

u− v2

.

(15) sinu+ sin v = 2 sinu+ v

2cos

u− v2

. (16) sinu− sin v = 2 cosu+ v

2sin

u− v2

.

B. Bài Tập

8.8. Không sử dụng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác sau :

a) cos 750; b) tanπ

12; c) sin

(−55π

12

); d) cos

7π

8.

8.9. Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau :

a) A = sin 60 sin 420 sin 660 sin 780; b) B = sin13π

24sin

5π

24;

c) C = cosπ

9+ cos

5π

9+ cos

7π

9; d) D = cos

2π

7+ cos

4π

7+ cos

6π

7.

8.10. Cho cung α thỏa mãn 0 < α <π

2và sinα =

3

4. Tính cos

(α+

π

3

); sin

(α+

π

6

); tan

(α− 7π

4

).

8.11. Cho cung α thỏa mãn tanα = 2. Tính giá trị lượng giác cos

(3π

2− 2α

).

8.12. Chứng minh các công thức sau :a) sin 3a = 3 sin a− 4 sin3 a; b) cos 3a = 4 cos3 a− 3 cos a;

c) sin4 a+ cos4 a = 1− 1

2sin2 2a; d) sin a+ cos a =

√2 sin

(a+

π

4

).

8.13. Chứng minh các đẳng thức sau :

a) tan a+ tan b =sin (a+ b)

cos a cos b; b)

sin (a+ b)

sin (a− b)=

tan a+ tan b

tan a− tan b;

c) sin a (1 + cos 2a) = sin 2a cos a; d)sin 2a+ sin a

1 + cos 2a+ cos a= tan a;

e) sin 5a− 2 sin a (cos 4a+ cos 2a) = sin a; f)sin a+ sin 2a+ sin 3a

cos a+ cos 2a+ cos 3a= tan 2a.

8.14. Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = cos(π

2− a)

sin(π

2− b)− sin (a− b); b) B =

sin 4a+ sin 2a

1 + cos 4a+ cos 2a;

c) C = cos a cos(π

3− a)

cos(π

3+ a); d) D =

cos 2a− sin 4a− cos 6a

cos 2a+ sin 4a− cos 6a.

68

Chuyên đề 8. Lượng Giác

8.15. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh các đẳng thức sau :

a) sin 2A+ sin 2B + sin 2C = 4 sinA sinB sinC; b) cosA+ cosB + cosC = 1 + 4 sinA

2sin

B

2sin

C

2;

c) tanA+ tanB + tanC = tanA tanB tanC; d) cotA cotB + cotB cotC + cotC cotA = 1.

8.16. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A,B,C thỏa mãn sinA = cosB + cosC thì ABClà tam giác vuông.

8.17. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A,B,C thỏa mãn sinA = 2 sinB cosC thì ABC làtam giác cân.

8.18. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có ba góc A,B,C thỏa mãn sinA+ sinB + sinC = sin 2A+sin 2B + sin 2C thì ABC là tam giác đều.

§3. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản


1. Phương trình sinx = a.• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm.• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm.

∗ sinx = sinα⇔[x = α+ k2πx = π − α+ k2π

. ∗ sinx = a⇔[x = arcsin a+ k2πx = π − arcsin a+ k2π

.

Đặc biệt : sinx = 0⇔ x = kπ; sinx = ±1⇔ x = ±π2

+ k2π.

2. Phương trình cosx = a.• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm.• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm.

∗ cosx = cosα⇔[x = α+ k2πx = −α+ k2π

. ∗ cosx = a⇔[x = arccos a+ k2πx = − arccos a+ k2π

.

Đặc biệt : cosx = 0⇔ x =π

2+ kπ; cosx = 1⇔ x = k2π; cosx = −1⇔ x = π + k2π.

3. Phương trình tanx = a.∗ tanx = tanα⇔ x = α+ kπ. ∗ tanx = a⇔ x = arctan a+ kπ.

4. Phương trình cotx = a.∗ cotx = cotα⇔ x = α+ kπ. ∗ cotx = a⇔ x = arccota+ kπ.

B. Bài Tập

8.19. Giải các phương trình sau :

a) sinx =4

3; b) cosx =

1

4;

c) cotx = − 1√3; d) sin

(x− π

3

)=

√2

2;

e) cos (π − x) = −1; f) tan(450 − 3x

)= −√

3.

8.20. Giải các phương trình sau :a) 2014 cos 4x+ 2015 = 0; b) 4 tan 2x− 1 = 0;c) 2 sin

(π4− 2x

)+√

3 = 0; d) 3 cot(x− 600

)−√

3 = 0.

8.21. Giải các phương trình sau :a) cos

(5x+

π

4

)= cos 2x; b) sin

(π3− x)− sin

(3x+

π

6

)= 0;

c) sin(300 − x

)= cos 2x; d) cos

(x+

π

3

)+ sin 5x = 0.

8.22. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước :a) sin 2x = 0 trên [0; 2π]; b)

√3 tanx− 3 = 0 trên (0; 3π);

c) cos(x− π

4

)= 1 trên [−π; 3π]; d) cot

(2x+

π

6

)= −1 trên (0; 5π).

69


§4. Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp


1. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.• Dạng : at2 + bt+ c = 0 (a 6= 0; t là một hàm số lượng giác).

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.• Dạng : a sinx+ b cosx = c (a2 + b2 6= 0).• Cách giải :

∗ Phương trình tương đương vớia√

a2 + b2sinx+

b√a2 + b2

cosx =c√

a2 + b2.

∗ Đặta√

a2 + b2= cosα;

b√a2 + b2

= sinα.

∗ Phương trình trở thành sin (x+ α) =c√

a2 + b2.

Lưu ý : Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2.3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.• Dạng : asin2x+ b sinx cosx+ ccos2x = 0.• Cách giải :∗ Với cosx = 0, thay vào phương trình để giải.∗ Với cosx 6= 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta có : atan2x+ b tanx+ c = 0.

Lưu ý : Phương trình sau có cách giải tương tự asin2x+ b sinx cosx+ ccos2x = d.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.• Dạng : a (sinx± cosx) + b sinx cosx+ c = 0.• Cách giải :∗ Đặt sinx± cosx = t, |t| 6

√2.

∗ Rút sinx cosx theo t rồi thay vào phương trình để giải.Lưu ý. t = sinx± cosx =

√2 sin

(x± π

4

).

B. Bài Tập

8.23. Giải các phương trình sau :a) sin2x− 3 sinx+ 2 = 0; b) cos3 x− 3 cosx+ 2 = 0;c) cot22x+ 3 cot 2x− 4 = 0; d) 5 tanx+ 2 cotx = 7.

8.24. Giải các phương trình sau :a) cos2x− 5 sinx+ 5 = 0; b) cos 4x− 3 cos 2x+ 2 = 0;c) cos22x− 6 sinx cosx− 3 = 0; d) cos2 2x+ 2(sinx+ cosx)2 = 0;

e) sin4x+ cos4x+ cos 2x− 2 = 0; f) 2(

sin6x

2+ cos6x

2

)+ cosx− 3 = 0.

8.25. Giải các phương trình sau :a) sinx+

√3 cosx = 0; b) 3 sinx− 2 cosx = 0;

c) 2 sinx+ cosx =√

5; d) 3 sin 2x− 4 cos 2x− 5 = 0;e) sin 3x+

√3 cos 3x = 2; f) cosx−

√3 sinx = 1.

8.26. Giải các phương trình sau :a) 2 sinx− 3 cosx = 2; b)

√3 sinx+ cosx = 2 sin 4x;

c) cos 2x− 2√

3 sinx cosx = 2 sinx; d) 4(

sin4x

2+ cos4x

2

)+√

3 sin 2x = 2.

8.27. Giải các phương trình sau :a) 3sin2x− 4 sinx cosx+ cos2x = 0; b) 3sin2x+ 2 sin 2x− 5cos2x = 1;c) 2sin2x− 3cos2x+ 5 sinx cosx− 2 = 0; d) 4sin3x+ 3cos3x− 3 sinx− sin2x cosx = 0.

8.28. Giải các phương trình sau :a) 3 (sinx+ cosx) + 2 sinx cosx+ 3 = 0; b) 2 sinx+ sin 2x− 2 cosx+ 2 = 0;

c) 3 cos 2x+ sin 4x+ 6 sinx cosx = 3; d) 1 + sin3x+ cos3x =3

2sin 2x.

70


§5. Phương Trình Lượng Giác Khác

A. Phương Pháp

• C1 : Đưa phương trình về phương trình lượng giác thường gặp.• C2 : Đưa phương trình về phương trình tích.

B. Bài Tập

8.29. Giải các phương trình sau :a) cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x = 0; b) sin 5x+ sin 9x+ 2sin2x− 1 = 0;c) sin 3x+ sin 2x = 5 sinx; d) sin

(2x+

π

6

)− sin

(2x− π

6

)+ 1 =

√3 sin 2x.

8.30. Giải các phương trình sau :a) cos 5x cosx = cos 4x; b) cosx cos 3x− sin 2x sin 6x− sin 4x sin 6x = 0;

c) cosx cosx

2cos

3x

2− sinx sin

x

2sin

3x

2=

1

2; d) 4 cosx sin

(π6

+ x)

sin(π

6− x)

= cos 2x.


a) sin2x+ sin23x = 2sin22x; b) cos22x− sin28x = sin

(17π

2+ 10x

);

c) 1 + 2cos2 3x

5= 3 cos

4x

5; d) 1 + sin

x

2sinx− cos

x

2sin2x = 2cos2

(π4− x

2

).

8.32. Giải các phương trình sau :a) cos 2x+ (1 + 2 cosx) (sinx− cosx) = 0; b) 4 sin 2x− 3 cos 2x = 3 (4 sinx− 1);c) cos 2x+ 5 = 2 (2− cosx) (sinx− cosx); d) 9 sinx+ 6 cosx− 3 sin 2x+ cos 2x = 8.

8.33. Giải các phương trình sau :a) 4cos2x− cos 3x = 6 cosx+ 2 (1 + cos 2x); b) 4 cosx− 2 cos 2x− cos 4x = 1;c) cos2 3x cos 2x− cos2 x = 0; d) 32cos6x− cos 6x = 1.

8.34. Giải các phương trình sau :a) (sinx− cosx)2 + tanx = 2sin2x; b) (1− tanx) (1 + sin 2x) = 1 + tanx;c) tanxsin2x− 2sin2x = 3 (cos 2x+ sinx cosx); d) 3 + sin 2x = tanx+ cotx;

e) cotx+ sinx(

1 + tanx tanx

2

)= 4; f) 3 (cotx− cosx)− 5 (tanx− sinx) = 2.


a)2sin2x+ cos 4x− cos 2x

(sinx− cosx) sin 2x= 0; b)

3 (sinx+ tanx)

tanx− sinx− 2 cosx = 2;

c)2(cos3x+ 2sin3x

)2 sinx+ 3 cosx

= sin 2x; d) 2 sinx+ 2√

3 cosx =

√3

cosx+

1

sinx;

e)1− cos 4x

2 sin 2x=

sin 4x

1 + cos 4x; f)

1

cosx+

1

sin 2x=

2

sin 4x.


a)sinx+ sin 2x+ sin 3x

cosx+ cos 2x+ cos 3x=√

3; b)cosx

(2 sinx+ 3

√2)− 2cos2x− 1

1 + sin 2x= 1;

c)3sin22x+ 8sin2x− 11− 3 cos 2x

1 + cos 4x= 0; d)

tanx+ cotx

cotx− tanx= 6 cos 2x+ 4 sin 2x;

e)cosx− 2 sinx cosx

2cos2x+ sinx− 1=√

3; f)5 + cos 2x

3 + 2 tanx= 2 cosx.

8.37. Giải các phương trình sau :a) |sinx|+ |cos 2x| = 2; b) sin12x+ cos16x = 1;

c) sin 4x− cos 4x = 1 + 4 (sinx− cosx); d) sinx+ cosx =

√2 + sin10

(x− 9π

4

);

8.38. Giải các phương trình sau :a)√

1 +√

1− x2 = x(

1 + 2√

1− x2); b) x+

√3 (1− x2) = 2

(1− 2x2

).

71


CÁC BÀI TOÁN THI

8.39. (THPTQG-2015) Tính giá trị của biểu thức P = (1− 3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α), biết sinα =2

3.

8.40. (A-2014) Giải phương trình sinx+ 4 cosx = 2 + sin 2x.

8.41. (B-2014) Giải phương trình√

2 (sinx− 2 cosx) = 2− sin 2x.

8.42. (A-2013) Giải phương trình 1 + tanx = 2√

2 sin(x+

π

4

).

8.43. (B-2013) Giải phương trình sin 5x+ 2 cos2 x = 1.

8.44. (D-2013) Giải phương trình sin 3x+ cos 2x− sinx = 0.

8.45. (CĐ-2013) Giải phương trình cos(π

2− x)

+ sin 2x = 0.

8.46. (A-2012) Giải phương trình√

3 sin 2x+ cos 2x = 2 cosx− 1.

8.47. (B-2012) Giải phương trình 2(cosx+

√3 sinx

)cosx = cosx−

√3 sinx+ 1.

8.48. (D-2012) Giải phương trình sin 3x+ cos 3x− sinx+ cosx =√

2 cos 2x.

8.49. (CĐ-2012) Giải phương trình 2 cos 2x+ sinx = sin 3x.

8.50. (A-2011) Giải phương trình1 + sin 2x+ cos 2x

1 + cot2x=√

2 sinx sin 2x.

8.51. (B-2011) Giải phương trình sin 2x cosx+ sinx cosx = cos 2x+ sinx+ cosx.

8.52. (D-2011) Giải phương trìnhsin 2x+ 2 cosx− sinx− 1

tanx+√

3= 0.

8.53. (CĐ-2011) Giải phương trình cos 4x+ 12sin2x− 1 = 0.

8.54. (A-2010) Giải phương trình(1 + sinx+ cos 2x) sin

(x+

π

4

)1 + tanx

=1√2

cosx.

8.55. (B-2010) Giải phương trình (sin 2x+ cos 2x) cosx+ 2 cos 2x− sinx.

8.56. (D-2010) Giải phương trình sin 2x− cos 2x+ 3 sinx− cosx− 1 = 0.

8.57. (CĐ-2010) Giải phương trình 4 cos5x

2cos

3x

2+ 2 (8 sinx− 1) cosx = 5.

8.58. (A-2009) Giải phương trình(1− 2 sinx) cosx

(1 + 2 sinx) (1− sinx)=√

3.

8.59. (B-2009) Giải phương trình sinx+ cosx sin 2x+√

3 cos 3x = 2(cos 4x+ sin3x

).

8.60. (D-2009) Giải phương trình√

3 cos 5x− 2 sin 3x cos 2x− sinx = 0.

8.61. (CĐ-2009) Giải phương trình (1 + 2 sinx)2 cosx = 1 + sinx+ cosx.

ĐÁP SỐ

[8.1a]

√3

2[8.1b] −

√3

3[8.1c]

√2

2[8.1d] −1 [8.2a] 0 [8.2b]

√2− 1

2[8.2c] 4 [8.2d] −1 [8.3] cosα =

√5

3;

tanα =2√5; cotα =

√5

2[8.4] sin(−α) =

1√5; cos(5π − α) = − 2√

5; sin

(9π

2− α

)=

2√5[8.5]

14

17

[8.7a] | sinα|[8.7b] 3 [8.7c] −1 [8.7d]2

| sinα|[8.8a]

√6−√

2

4[8.8b] 2 −

√3 [8.8c] −

√6 +√

2

4[8.8d]

72


−√

2 +√

2

2[8.9a]

1

16[8.9b]

1 +√

2

4[8.9c] 0 [8.9d] −1

2[8.10] cos

(α+

π

3

)=

√7− 3

√3

8; sin

(α+

π

6

)=

3√

3 +√

7

8; tan

(α− 7π

4

)=

√7 + 3√7− 3

[8.11] −4

5[8.14a] cos a sin b [8.14b] tan 2a [8.14c]

1

4cos 3a [8.14d]

2 sin 2a− 1

2 sin 2a+ 1[8.19a] ∅ [8.19b] x = ± arccos

1

4+ k2π [8.19c] x = −π

3+ kπ [8.19d] x =

7π

12+ k2π;

x =13π

12+ k2π [8.19e] x = k2π [8.19f] x = 450 + k600 [8.20a] ∅ [8.20b] x =

1

2arctan

1

4+ k

π

2[8.20c]

x =7π

24+ kπ; x =

11π

24+ kπ [8.20d] x = 1200 + k1800 [8.21a] x = − π

12+ k

2π

3; x = − π

28+ k

2π

7[8.21b] x =

π

24− kπ

2; x =

π

4+ kπ [8.21c] x = 600 + k3600; x = −200 − k1200 [8.21d] x = − π

24− kπ

2;

x = −5π

36+ k

π

3[8.22a] x ∈

0;π

2;π;

3π

2; 2π

[8.22b] x ∈

π

3;4π

3;7π

3

[8.22c] x ∈

π

4;9π

4

[8.22d]

x ∈

7π

24;19π

24;31π

24;43π

24;55π

24;77π

24;89π

24;101π

24;113π

24

[8.23a] x =

π

2+ k2π [8.23b] x = k2π [8.23c]

x =π

8+ k

π

2; x =

1

2arccot(−4) + k

π

2[8.23d] x =

π

4+ kπ; x = arctan

2

5+ kπ [8.24a] x =

π

2+ k2π [8.24b]

x = kπ; x = ±π6

+ kπ [8.24c] x = −π4

+ kπ [8.24d] x = −π4

+ kπ [8.24e] x = kπ [8.24f] x = k2π

[8.25a] x = −π3

+ kπ [8.25b] x = arctan2

3+ kπ [8.25c] x = −α +

π

2+ k2π [8.25d] x =

α

2+π

4+ kπ

[8.25e] x = π18 + k 2π

3 [8.25f] x = k2π; x = −2π3 + k2π [8.26a] x =

π

2+ k2π; x =

π

2+ 2α + k2π [8.26b]

x =π

18− k2π

3; x =

π

6+ k

2π

5[8.26c] x =

π

18− k2π

3; x = −π

3− kπ [8.26d] x = −π

6+ kπ; x =

π

2+ kπ

[8.27a] x =π

4+ kπ; x = arctan

1

3+ kπ [8.27b] x =

π

4+ kπ; x = arctan(−3) + kπ [8.27c] x =

π

4+ kπ

[8.27d] x =π

4+ kπ; x = ±π

3+ kπ [8.28a] x = −π

2+ k2π; x = π + k2π [8.28b] x = k2π; x =

3π

2+ k2π

[8.28c] x = kπ; x =π

4+ kπ [8.28d] x = π + k2π; x = −π

2+ k2π [8.29a] x =

π

2+ kπ; x =

π

5+ k

2π

5;

x = π+k2π [8.29b] x =π

4+k

π

2; x =

π

14+k

2π

7[8.29c] x = kπ [8.29d] x =

pi

2+kπ; x =

π

6+kπ [8.30a]

x = kπ

5; x = kπ [8.30b] x =

π

18+ k

π

9; x =

π

2+ kπ [8.30c] x = −π

4+ kπ; x = −π

2+ k2π; x =

π

6+ k2π;

x =5π

6+k2π [8.30d] x = k

2π

5[8.31a] x =

π

8+k

2π

4; x = ±π

6+kπ [8.31b] x =

π

20+k

π

10; x = k

π

3[8.31c]

x = k5π; x = ±5

2arccos

1−√

21

4+ k5π [8.31d] x = kπ; x = π + k4π [8.32a] x =

π

4+ kπ; x =

π

2+ k2π;

x = π+ k2π [8.32b] x = kπ [8.32c] x =π

2+ k2π; x = π+ k2π [8.32d] x =

π

2+ k2π [8.33a] x =

π

2+ kπ

[8.33b] x =π

2+ kπ; x = k2π [8.33c] x = k

π

2[8.33d] x =

π

2+ kπ; x = ±1

2arccos

(−1

4

)+ kπ [8.34a]

x =π

4+ kπ; x = −π

4+ kπ [8.34b] x = kπ; x =

π

4+ kπ [8.34c] x =

π

4+ kπ; x = ±π

3+ kπ [8.34d]

x =1

2arcsin

−3 +√

17

2+ kπ; x =

π

2− 1

2arcsin

−3 +√

17

2+ kπ [8.34e] x =

π

12+ kπ; x =

5π

12+ kπ [8.34f]

x = −π4

+ arcsin1−√

2√2

+ k2π; x =3π

4− arcsin

1−√

2√2

+ k2π; x = arctan3

5+ kπ [8.35a] x = −π

4+ kπ

[8.35b] x = ±2π

3+ k2π [8.35c] x = −π

4+ kπ; x = arctan

2±√

2

2+ kπ [8.35d] x = ±π

4+ kπ; x =

π

6+ kπ

[8.35e] ∅ [8.35f] x =π

6+ k2π; x =

5π

6+ k2π [8.36a] x =

π

6+ kπ; x = −π

3+ k2π [8.36b] x =

π

4+ k2π

[8.36c] x =π

2+kπ [8.36d] x = ±1

2arctan 5 +k

π

2; x = −π

8+k

π

2[8.36e] x = − π

18−k2π

3[8.36f] x = k2π

[8.37a] x =π

2+ kπ [8.37b] x = k

π

2[8.37c] x =

π

4+ kπ [8.37d] x =

π

4+ k2π [8.38a] x = 1; x =

1

2

[8.38b] x = sinπ

18, x = −1

2[8.39]

14

9[8.40] x = ±π

3+ k2π [8.41] x = ±3π

4+ k2π [8.42] x = −π

4+ kπ;

x = ±π3

+ k2π [8.43] x = −π6

+ k2π

3; x = − π

14+ k

2π

7[8.44] x =

π

4+ k

π

2; x = −π

6+ k2π; x =

7π

6+ k2π

73


[8.45] x = k2π

3; x = π + k2π [8.46] x =

π

2+ kπ; x =

π

3+ k2π [8.47] x =

2π

3+ k2π; x = k

2π

3[8.48]

x =π

4+k

π

2; x = − π

12+k2π; x =

7π

12+k2π [8.49] x =

π

4+k

π

2; x =

π

2+k2π [8.50] x = k

π

2; x =

π

4+k2π

[8.51] x =π

2+k2π; x =

π

3+k

2π

3[8.52] x = −π

2+k2π; x = ±π

3+k2π [8.53] x = kπ [8.54] x = −π

6+k2π;

x =7π

6+ k2π [8.55] x =

π

4+ k

π

2[8.56] x =

π

6+ k2π; x =

5π

6+ k2π [8.57] x =

π

12+ kπ; x =

5π

12+ kπ

[8.58] x = − π

18− k2π

3[8.59] x = −π

6− k2π; x =

π

42+ k

2π

7[8.60] x =

π

18− kπ

3; x = −π

6− kπ

2[8.61]

x = −π2

+ k2π; x = arccos1

4+ k2π.

74

Chuyên đề 9

Tổ Hợp - Xác Suất

§1. Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp


1. Quy tắc đếm.• Quy tắc cộng : Giả sử công việc được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án

A có thể thực hiện theo n cách, phương án B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thựchiện theo n+m cách.• Quy tắc nhân : Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện

theo n cách, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp.• Hoán vị : Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một

hoán vị các phần tử của A. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn = n! = n (n− 1) (n− 2) ...2.1(Quy uớc 0! = 1).• Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A

và xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chậpk (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là Akn = n (n− 1) (n− 2) ... (n− k + 1). (Quy uớc A0

n = 1).• Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần

tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp

có n phần tử là Ckn =Aknn!

=n (n− 1) (n− 2) ... (n− k + 1)

k!(Quy ước C0

n = 1).

• Một số công thức về tổ hợp : Ckn = Cn−kn (0 ≤ k ≤ n), Ckn+1 = Ckn + Ck−1n (1 ≤ k ≤ n).

Lưu ý. Hoán vị và chỉnh hợp có phân biệt thứ thự còn tổ hợp không biệt thứ tự.


1. Bài toán đếm.2. Chứng minh đẳng thức tổ hợp.

• Sử dụng các công thức : Pn = n!; Akn =n!

(n− k)!; Ckn =

n!

k!(n− k)!; n! = n(n−1)! = n(n−1)(n−2)!...

3. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp.

• Sử dụng các công thức : Akn = n(n− 1)(n− 2)...(n− k + 1); Ckn =n(n− 1)(n− 2)...(n− k + 1)

k!.

C. Bài Tập

9.1. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số phân biệt thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

9.2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặtđúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.

9.3. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân côngđội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

75


9.4. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.

9.5. Đội thanh niên xung kích của trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớpB và 3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho bốn học sinh này thuộc khôngquá hai lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

9.6. Chứng minh các hệ thức sau :a) k (k − 1)Ckn = n (n− 1)Ck−2

n−2. b) Akn.Ain−k = Ak+i

n .c) An+2

n+k +An+1n+k = k2Ann+k. d) PkA2

n+1A2n+3A

2n+5 = nk!A5

n+5.

9.7. Giải phương trình, bất phương trình sau :a) C1

x + 6C2x + 6C3

x = 9x2 − 14x. b) Cx−2x+1 + 2C3

x−1 = 7(x− 1).c) A3

n + 2Cn−2n ≤ 9n. d) 4

(C4n−1 − C3

n−1

)− 5A3

n−2 < 0.

9.8. Cho đa giác đều A1A2...A2n nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2nđỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n.

§2. Xác Suất


1. Phép thử ngẫu nhiên.• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà :∗ Kết quả của nó không dự đoán trước được;∗ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.

2. Biến cố.• Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi một tập con ΩA của không gian mẫu. Biến

cố A xảy ra khi kết quả của T thuộc ΩA. Mỗi phần tử của ΩA gọi là một kết quả thuận lợi cho A.• Biến cố hợp : Là biến cố "A hoặc B xảy ra", ký hiệu là A ∪B. Ta có ΩA∪B = ΩA ∪ ΩB.• Biến cố giao : Là biến cố "Cả A và B cùng xảy ra", ký hiệu là A ∩B. Ta có ΩA∩B = ΩA ∩ ΩB.• Biến cố đối : Là biến cố "Không xảy ra A", ký hiệu là A. Ta có

(ΩA = Ω\ΩA

).

• Biến cố xung khắc : Là hai biến cố A và B mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại.• Biến cố độc lập : Là hai biến cố A và B mà việc xảy ra hay không xảy ra A không ảnh hưởng đến

việc xảy ra hay không xảy ra B và ngược lại.3. Xác suất của một biến cố.• Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.

Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của A là một số, ký hiệu là P (A), được xác

định bởi công thức P (A) =|ΩA||Ω|

.

• Tính chất : 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1, P(A)

= 1− P (A).• Quy tắc cộng xác suất : Nếu A,B xung khắc thì P (A ∪B) = P (A) + P (B).• Quy tắc nhân xác suất : Nếu A,B độc lập thì P (A ∩B) = P (AB) = P (A) .P (B).

4. Biến ngẫu nhiên rời rạc.• Là giá trị độc lập X = x1, x2, ..., xn nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được.• Xác suất tại xk : P (X = xk) = pk, (k = 1..n). Khi đó p1 + p2 + ...+ pn = 1.

• Bảng phân bố xác suất :X x1 x2 ... xnP p1 p2 ... pn

• Kỳ vọng : E (X) =n∑i=1

xipi.

• Phương sai : V (X) =n∑i=1

x2i pi − E2 (X).

• Độ lệch chuẩn : σ (X) =√V (X).

76

Chuyên đề 9. Tổ Hợp - Xác Suất


1. Tính xác suất bằng định nghĩa.• C1 : Tính trực tiếp.∗ Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |Ω|;∗ Xác định biến cố A và tính số phần tử tập mô tả biến cố ΩA;

∗ Sử dụng công thức P (A) =|ΩA||Ω|

để tính xác suất.

• C2 : Tính gián tiếp thông qua biến cố đối.∗ Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu |Ω|;∗ Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố A;

∗ Tính số phần tử tập mô tả biến cố ΩA và tính xác suất P (A) =

∣∣ΩA

∣∣|Ω|

;

∗ Xác suất biến cố A là P (A) = 1− P (A).2. Tính xác suất bằng quy tắc tính.• Xác định và tính xác suất của các biến cố sơ cấp cơ bản;• Xác định biến cố cần tìm và biểu diễn nó theo các biến cố sơ cấp cơ bản;• Sử dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để tính xác suất.

3. Xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.• Xác định tập giá trị x1, x2, ..., xn của biến ngẫu nhiên X;• Tính xác suất xk = P (X = xk);• Lập bảng phân bố xác suất, từ đó tính các yếu tố theo yêu cầu bài toán.

C. Bài Tập

9.9. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6.Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ.

9.10. Một tổ có 13 học sinh, trong đó có 4 nữ. Cần chia tổ thành ba nhóm, nhóm thứ nhất có 4 học sinh,nhóm thứ hai có 4 học sinh, nhóm thứ ba có 5 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm có ít nhất một họcsinh nữ.

9.11. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B. Chọn ngẫu nhiên 6bạn để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi. Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phảicó hoặc bạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai.

9.12. Có 7 sách Toán, 5 sách Lý và 6 sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 6 sách. Tính xác suất để số sách đượcchọn có không quá 5 sách Toán.

9.13. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.Tính xác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu.

9.14. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý, 7 cuốn sách Hoá (các cuốn sách cùng loại giốngnhau), để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số học sinhcó hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn Ngọc và Thảo có giải thưởng giống nhau.

9.15. Ba xạ thủ cùng bắn độc lập vào bia, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất bắn trúng của từng xạthủ lần ượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.

9.16. Ba học sinh An, Bình và Chi cùng giải một bài toán độc lập với nhau. Xác suất giải được của Anlà 0,7; của Bình là 0,6; của Chi là 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một học sinh không giải được bài toán.

9.17. Có hai túi. Túi thứ nhất chứa 3 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa 4 tấm thẻ đánh số 4, 5,6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là sốthu được. Lập bảng phân bố xác suất của X và tính E(X).

9.18. Xác suất bắn trúng vòng 10 của một xạ thủ là 0,3. Xạ thủ đó bắn trúng 5 lần. Gọi X là số lần bắntrúng vòng 10 của xạ thủ. Lập bảng phân bố xác suất; tính kỳ vọng và phương sai.

77


§3. Nhị Thức Newton


1. Công thức nhị thức Newton.

(a+ b)n =n∑k=0

Cknan−kbk = C0

nan + C1

nan−1b+ C2

nan−2b2 + ...+ Cnnb

n

2. Tính chất.• Có tất cả n+ 1 số hạng; số hạng tổng quát thứ k + 1 : Tk+1 = Ckna

n−kbk.• Số mũ của giảm từ n đến 0; số mũ của b tăng từ 0 đến n; tổng số mũ của a và b luôn bằng n.• Các hệ số có tính đối xứng và chạy từ C0

n đến Cnn .2. Kỹ Năng Cơ Bản1. Tìm số hạng chứa xα của khai triển (a+ b)n.

• Viết khai triển (a+ b)n =n∑k=0

Cknan−kbk;

• Biến đổi khai triển thành (a+ b)n =n∑k=0

A.xf(k);

• Số hạng chứa xα tương ứng với số hạng chứa k thỏa f(k) = α. Từ đó suy ra số hạng cần tìm.2. Các bài toán liên quan đến Ckn.

Sử dụng các công thức sau một cách phù hợp :• (1 + x)n = C0

n + C1nx+ C2

nx2 + C3

nx3 + ...+ Cnnx

n.• (1− x)n = C0

n − C1nx+ C2

nx2 − C3

nx3 + ...+ (−1)nCnnx

n.• (x+ 1)n = C0

nxn + C1

nxn−1 + C2

nxn−2 + ...+ Cn−1

n x+ Cnn .

C. Bài Tập

9.19. Tìm số hạng chứa x15 trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức (2x− 3x2)10.

9.20. Tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển nhị thức Newton(x2 +

2

x

)21

, x 6= 0.

9.21. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C2n = 15

(Cn−1n − 1

). Tìm số hạng không chứa x trong khai

triển nhị thức Newton(

3√x+

1

x3

)n, x > 0.

9.22. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C3n−2C2

n = 12. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển

nhị thức Newton(

1 + 2x− 1

x2

)n, x 6= 0.

9.23. Cho khai triển biểu thức(

2x−12 + 2−

x3

)n= C0

n

(2x−12

)n+ C1

n

(2x−12

)n−1 (2−

x3

)+ ... + Cnn

(2−

x3

)n,

biết rằng trong khai triển đó C3n = 5C1

n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

9.24. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C0n + 3C1

n + 32C2n + ...+ 3nCnn = 24028.

9.25. Tìm hệ số của x26 trong khai triển(

1

x4+ x7

)n, biết C1

2n+1 + C22n+1 + ...+ Cn2n+1 = 220 − 1.

9.26. Tính tổng S = C02014 + C2

2014 + C42014 + ...+ C2012

2014 + C20142014 .

9.27. Tìm số nguyên dương n thỏa C12n+1 − 2.2C2

2n+1 + 3.22C32n+1 + ...+ (−1)n22nC2n+1

2n+1 = 2005.

9.28. Tính tổng S = 2C0n + 5C1

n + 8C2n + ...+ (3n+ 2)Cnn .

9.29. Chứng minh rằng 2.1.C2n + 3.2.C3

n + 4.3.C4n + ...+ n (n− 1)Cnn = n (n− 1) 2n−2.

9.30. Tính tổng S = 12C1201322012 + 22C2

201322011 + ...+ 20132C2013201320.

78

Chuyên đề 9. Tổ Hợp - Xác Suất

9.31. Tính tổng S = C0n +

22 − 1

2C1n +

23 − 1

3C2n + ...+

2n+1 − 1

n+ 1Cnn .

9.32. Chứng minh rằng1

2C1

2n +1

4C3

2n + ...+1

2nC2n−1

2n =22n − 1

2n+ 1.

9.33. Tính tổng S =(C0

2014

)2+(C1

2014

)2+(C2

2014

)2+ ...+

(C2014

2014

)2.9.34. Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x+ ...+ anx

n, (n ∈ N∗) và các hệ số a0, a1, a2, ..., an thoả mãn hệthức a0 +

a1

2+a2

4+ ...+

an2n

= 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, a2, ..., an.

CÁC BÀI TOÁN THI

9.35. (THPTQG-2015) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm Y tế dự phòng thành phố và 20 đội của cácTrung tâm Y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâmY tế cơ sở được chọn.

9.36. (A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suấtđể 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

9.37. (B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểmnghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu, 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên ba hộp sữađể phân tích mẫu. Tính xác suất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại.

9.38. (D-2014) Cho đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo.

9.39. (A-2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọnlà số chẵn.

9.40. (B-2013) Có hai chiếc hộp đựng bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ haichứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để hai viênbi được lấy ra có cùng màu.

9.41. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn−1n = C3

n. Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển

nhị thức Newton của(nx2

14− 1

x

)n, x 6= 0.

9.42. (B-2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

ĐÁP SỐ

[9.1] 420 [9.2] 1260 [9.3] 207900 [9.4] 56875 [9.5] 225 [9.7a] x = 7 [9.7b] x = 5 [9.7c] n = 3; n = 4

[9.7d] n ∈ 5; 6; 7; 8; 9; 10 [9.8] n = 8 [9.9]1

2[9.10]

96

143[9.11]

15

77[9.12]

2651

2652[9.13]

43

91[9.14]

5

18[9.15] 0, 976 [9.16] 0, 79 [9.17] E(X) = 7, 75 [9.18] E(X) = 0, 9; V (X) = 0, 63 [9.19] −65C5

10x15 [9.20]

210C1021 [9.21] C3

30 [9.22] 6192 [9.23] n = 7; x = 4 [9.24] 2014 [9.25] 210 [9.26] S = 22013 [9.27] n = 1002

[9.28] S = 2n+1 +3n.2n−1 [9.30] S = 2013.2015.32011 [9.31] S =3n+1 − 1

n+ 1[9.33] S = C2014

4028 [9.34] 126720

[9.35]209

230[9.36]

1

26[9.37]

3

11[9.38] n = 9 [9.39]

3

7[9.40]

10

21[9.41] −35

16x5 [9.42]

443

506.

79


80

Chuyên đề 10

Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

§1. Tọa Độ Trong Mặt Phẳng


Cho hai vectơ −→u (x1; y1) ,−→v (x2; y2) và ba điểm A (xA; yA) , B (xB; yB) , C (xC ; yC). Ta có

• Hai vectơ bằng nhau : −→u = −→v ⇔x1 = x2

y1 = y2.

• Các phép toán vectơ : −→u ±−→v = (x1 ± x2; y1 ± y2); k−→u = (kx1; ky1).• Hai vectơ cùng phương : −→u ,−→v cùng phương ⇔ ∃k 6= 0 : −→u = k−→v .• Tích vô hướng của hai vectơ : −→u .−→v = x1x2 + y1y2.• Hai vectơ vuông góc : −→u⊥−→v ⇔ −→u .−→v = 0.• Độ dài vectơ : |−→u | =

√x2

1 + y21.

• Góc giữa hai vectơ : cos (−→u ;−→v ) =−→u .−→v|−→u | . |−→v |

.

• Tọa độ vectơ :−−→AB = (xB − xA; yB − yA).

• Khoảng cách giữa hai điểm : AB =∣∣∣−−→AB∣∣∣ =

√(xB − xA)2 + (yB − yA)2.

• Tính chất trung điểm : I là trung điểm của AB ⇔ I

(xA + xB

2;yA + yB

2

).

• Tính chất trọng tâm : G là trọng tâm ∆ABC ⇔ G

(xA + xB + xC

3;yA + yB + yC

3

).

B. Bài Tập

10.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A (−1; 1) , B (2; 5) , C (4; 3). Tìm tọa độ điểm D

sao cho−−→AD = 3

−−→AB − 2

−→AC. Tìm tọa độ điểm M sao cho

−−→MA+ 2

−−→MB = 5

−−→MC.

10.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−3; 2) , B (4; 3). Tìm tọa độ điểm M trên trụcOx sao cho tam giác MAB vuông tại M .

10.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;−1) , B (5;−3), đỉnh C thuộc trụcOy và trọng tâm G thuộc trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh C và trọng tâm G.

10.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(4; 3). Tìm điểm M trên trục Ox saocho AMB = 450.

10.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (0; 6) , B (−2; 0) , C (2; 0). Gọi M làtrung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứngminh GI vuông góc với CM .

10.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (−1; 3) , B (0; 4) , C (3; 5) , D (8; 0). Chứng minhABCD là tứ giác nội tiếp.

10.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1), B(−3;−2), C(0; 1). Tìm tọa độtrực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

81


§2. Phương Trình Đường Thẳng


1. Vectơ chỉ phương và pháp tuyến.• Vectơ −→u 6= −→0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ gọi là vectơ chỉ phương của ∆.• Vectơ −→n 6= −→0 có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của ∆.

Lưu ý. −→n (a; b)⇒ −→u (b;−a) và ngược lại.

2. Phương trình tham số của đường thẳng.

•Đường thẳng quaM (x0; y0) và có vectơ chỉ phương−→u (a; b) có phương trình tham số :x = x0 + aty = y0 + bt

.

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng.• Dạng : ax+ by + c = 0 (a2 + b2 6= 0).• Nhận xét : ∗ Đường thẳng ax+ by + c = 0 có một vectơ pháp tuyến là −→n (a; b).

∗ Cho x0 tuỳ ý ⇒ y0 ta có điểm M (x0; y0) thuộc đường thẳng.∗ Đường thẳng qua M (x0; y0) và có VTPT −→n (a; b) có PT : a (x− x0) + b (y − y0) = 0.∗ Đường thẳng qua A (a; 0) và B (0; b) có phương trình

x

a+y

b= 1 gọi là PT đoạn chắn.

∗ Trục Ox có phương trình y = 0 và trục Oy có phương trình x = 0.4. Góc và khoảng cách.

• Góc giữa hai đường thẳng : cos (∆1; ∆2) =|−→n1.−→n2|

|−→n1| . |−→n2|.

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : d (M,∆) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : d (∆1,∆2) = d (M,∆2), M là điểm bất kỳ trên ∆1.

B. Bài Tập

10.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A (−1; 2) , B (2; 3) và C (6; 2). Viết phương trìnhđường thẳng qua A và song song với BC.

10.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 1) và hai đường thẳng d1 : x− y + 1 = 0; d2 :2x + y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A,B sao cho M làtrung điểm AB.

10.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm P (2; 5) và Q(5; 1). Viết phương trình đườngthẳng đi qua P và cách Q một khoảng bằng 3.

10.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (8; 6). Viết phương trình đường thẳng đi qua Avà tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12.

10.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2x− y − 1 = 0; d2 : x+ 2y − 3 = 0và điểm M (2;−1). Tìm giao điểm A của d1, d2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và cắt d1, d2

lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC cân tại A.

10.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(−1; 4) và đường thẳng d : 2x− 3y + 1 = 0. Tìmtọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên d. Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua d.

10.14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho P (1; 6) , Q (−3;−4) và đường thẳng ∆ : 2x− y − 1 = 0.Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho MP +MQ là nhỏ nhất.

10.15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 1), B(7; 5) và đường thẳng d : x+y−8 = 0.Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho tam giác MAB cân tại M .

10.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−3; 2) và B(1; 1). Tìm điểm M thuộc trụctung sao cho diện tích tam giác AMB bằng 3.

10.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(−1; 2) và đường thẳng d : x − 2y − 5 = 0. Tìmtrên d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C.

82

Chuyên đề 10. Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng

§3. Tam Giác Và Tứ Giác

10.18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB là 5x− 3y + 2 = 0;các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là d1 : 4x− 3y+ 1 = 0 và d2 : 7x+ 2y− 22 = 0. Lập phương trìnhhai cạnh còn lại của tam giác.

10.19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(1; 0), N(4;−3) lần lượt là trungđiểm các cạnh AB,AC và D(2; 6) là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnhcủa tam giác.

10.20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 3) và hai trung tuyến kẻ từB và C lần lượt có phương trình d1 : x− 2y+ 1 = 0 và d2 : y− 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng chứacạnh BC.

10.21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(2;−1). Phương trình đườngcao AH là 3x− 4y + 27 = 0 và phương trình phân giác trong CD là x+ 2y − 5 = 0. Tìm tọa độ hai đỉnhA và C.

10.22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp tuyến tại A của đường trònngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của ADB có phương trình x− y + 2 = 0,điểm M(4; 1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB.

10.23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm K. Gọi H là hìnhchiếu của A lên BC (H thuộc đoạn BC). Đường phân giác trong của góc BAC có phương trình x+ 1 = 0.

Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết K(

5

8;−1

4

), H

(−13

5;−1

5

)và B có hoành độ âm.

10.24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(1; 2), phương trình BD làx− y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết rằng BD = 2AC và B có tung độ âm.

10.25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của cạnh CDvà đường thẳng BN có phương trình 13x − 10y + 13 = 0; điểm M(−1; 2) thuộc đoạn thẳng AC sao choAC = 4AM . Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng 3AC = 2ABvà điểm H thuộc đường thẳng d : 2x− 3y = 0.

10.26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C(3;−3) và M là trung điểmBC. Phương trình đường thẳng DM là x− y − 2 = 0. Đỉnh A nằm trên đường thẳng d : 3x+ y − 2 = 0.Tìm tọa độ đỉnh B.

10.27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Phương trình

đường thẳng AB là x − y + 1 = 0. Điểm N thuộc cạnh CD sao cho NC = 3ND. Điểm M

(1

2;−3

)là

trung điểm BC. Khoảng cách từ B đến đường thẳng AN bằng 4. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hoành độdương.

10.28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC và B(7; 3). Gọi Mlà trung điểm của đoạn AB, E là điểm đối xứng với D qua A. Biết rằng N(2;−2) là trung điểm của DM ,điểm E thuộc đường thẳng ∆ : 2x− y + 9 = 0. Tìm tọa độ đỉnh D.

10.29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có CD = 2AB và diện tích bằng36. Phương trình hai đường chéo AC,BD lần lượt là x+ y − 4 = 0 và x− y + 2 = 0. Tìm tọa độ hai đỉnhA,C của hình thang.

§4. Phương Trình Đường Tròn


1. Phương trình đường tròn.• Dạng 1 : (x− a)2 + (y − b)2 = R2 (R > 0) Có tâm I (a; b) và bán kính R =

√R2.

• Dạng 2 : x2 + y2 − 2ax− 2by + c = 0(a2 + b2 > c

)Có tâm I (a; b) và bán kính R =

√a2 + b2 − c.

83


2. Tiếp tuyến với đường tròn.• Tiếp tuyến tại M đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là

−−→IM .

3. Bán kính đường tròn.• Điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi R = IM .• Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi R = d (I; ∆).

B. Bài Tập

10.30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(0; 1), B(1; 0) và đường thẳng d : x+y+2 = 0.Viết phường trình đường tròn qua A,B và có tâm nằm trên d.

10.31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1;−1) và đường thẳng d : 3x+ 4y + 11 = 0. Viếtphương trình đường tròn có tâm I và cắt d tại hai điểm A,B sao cho AB = 8.

10.32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1), đường thẳng d : 2x + y − 3 = 0 và đườngthẳng ∆ : 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, qua A và cắt ∆ tại hai điểmM,N sao cho MN = 2

√3.

10.33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G

(8

3; 0

)và có đường tròn

ngoại tiếp là (C) tâm I. Biết rằng các điểm M(0; 1) và N(4; 1) lần lượt là điểm đối xứng của I qua cácđường thẳng AB và AC, đường thẳng BC đi qua điểm K(2;−1). Viết phương trình đường tròn (C).

10.34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(4;−2) và đường tròn (C) : (x−3)2 +(y−2)2 = 5.Tìm điểm M trên (C) sao cho tam giác OMA vuông tại M .

10.35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − 5 = 0 và đườngthẳng ∆ : x− 2y + 5 = 0. Tìm điểm M trên ∆ để qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tiếp xúc với (C)tại A,B sao cho AB = 2

√5.

10.36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x+ 4y − 4 = 0 có tâm I vàđường thẳng d : x− y + 2 = 0. Tìm điểm M trên d để qua M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) tiếp xúc với(C) tại A,B sao cho diện tích tứ giác MAIB bằng 12.

§5. Phương Trình Elip


• Phương trình chính tắc của elip :x2

a2+y2

b2= 1

(b2 = a2 − c2

).

• Trong đó :Các đỉnh : A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0;−b), B2(0; b).Các tiêu điểm : F1(−c; 0), F2(c; 0).Trục lớn : A1A2 = 2a.Trục nhỏ : B1B2 = 2b.Tiêu cự : F1F2 = 2c.Tâm sai : e =

c

a.

Bán kính qua tiêu : MF1 = a+cx

a,MF2 = a− cx

a.

Lưu ý. Nếu b > a > 0 thì elip có tiêu điểm nằm trên trục tung.

B. Bài Tập

10.37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2

25+y2

4= 1. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các

đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé, tiêu cự và tâm sai của (E).

10.38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai e =

√3

2.

Viết phương trình chính tắc của (E).

84


10.39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm F(√

3; 0),M

(1;

√3

2

). Viết phương trình chính

tắc của elip (E) đi qua M và nhận F làm một tiêu điểm.


25+y2

4= 1 và đường thẳng d : 2x+15y−10 = 0.

Giả sử d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại A, biếtA có hoành độ dương.


10+y2

5= 1 và đường thẳng d : x+y+2014 = 0.

Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và cắt (E) tại hai điểm M,N sao cho MN =4√

6

3.


16+y2

9= 1 và điểm I(1; 2). Viết phương trình

đường thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho I là trung điểm AB.

CÁC BÀI TOÁN THI

10.43. (THPTQG-2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H làhình chiếu vuông góc của A trên caanhj BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuônggóc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(−5;−5), K(9;−3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đườngthẳng x− y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

10.44. (A-2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểmcủa đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD, biếtrằng M(1; 2) và N(2;−1).

10.45. (B-2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là

trung điểm của cạnh AB, điểm H(0;−1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G

(4

3; 3

)là

trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.

10.46. (D-2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trongcủa góc A là điểm D(1;−1). Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y−9 = 0, tiếp tuyến tại A của đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x+ 2y − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.

10.47. (CĐ-2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(−2; 5) và đường thẳng d : 3x−4y+1 =0. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho AMbằng 5.

10.48. (A-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đườngthẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góccủa B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5;−4).

10.49. (A-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường tròn (C)có bán kính R =

√10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4

√2. Tiếp tuyến của (C) tại A và B cắt

nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C).

10.50. (B-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuônggóc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x+ 2y − 6 = 0 và tam giác ABD có trựctâm là H(−3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

10.51. (B-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh

A là H(

17

5;−1

5

), chân đường phân giác trong góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0; 1).

Tìm tọa độ đỉnh C.

10.52. (D-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M

(−9

2;3

2

)là trung

điểm của cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường trònngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

85


10.53. (D-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 vàđường thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N và P thuộc∆, đỉnh M và trung điểm của MN thuộc (C). Tìm tọa độ đỉnh P .

10.54. (CĐ-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho d : x+ y − 3 = 0, ∆ : x− y + 2 = 0 và điểmM(−1; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d và cắt ∆ tại hai điểm A,B sao choAB = 3

√2.

10.55. (CĐ-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và có trọng

tâm G

(1

3;1

3

). Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0). Tìm tọa độ các điểm B

và C.

10.56. (A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của

cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M

(11

2;1

2

)và đường thẳng AN có

phương trình 2x− y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

10.57. (A-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 +y2 = 8. Viết phương trìnhchính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốnđỉnh của một hình vuông.

10.58. (B-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn (C1) : x2 + y2 = 4, (C2) :x2 + y2− 12x+ 18 = 0 và đường thẳng d : x− y− 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2)tiếp xúc với d và cắt (C1) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.

10.59. (B-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròntiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E)đi qua các đỉnh A,B,C,D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.

10.60. (D-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC

và AD lần lượt có phương trình là x+ 3y = 0 và x− y+ 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M

(−1

3; 1

).

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

10.61. (D-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0. Viết phươngtrình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.

10.62. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0

và đường thẳng d : 4x− 3y +m = 0. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AIB = 1200, với I làtâm của (C).

10.63. (CĐ-2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giácABC. Các đường thẳngBC,BB′, B′C ′

lần lượt có phương trình là y− 2 = 0, x− y+ 2 = 0, x− 3y+ 2 = 0 với B′, C ′ tương ứng là chân các đườngcao kẻ từ B,C của tam giác ABC. Viết phương trình các đường thẳng AB,AC.

10.64. (A-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x+ y + 2 = 0 và đường tròn(C) : x2 + y2 − 4x− 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA vàMB đến (C), (A,B là tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

10.65. (A-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :x2

4+y2

1= 1. Tìm tọa độ các điểm A

và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

10.66. (B-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 vàd : 2x− y − 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm Mthỏa mãn OM.ON = 8.

10.67. (B-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(

1

2; 1

). Đường tròn

nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các điểm DEF . Cho D (3; 1) vàđường thẳng EF có phương trình y − 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A, biết A có tung độ dương.

86


10.68. (D-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (−4; 1), trọng tâmG (1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0. Tìm tọa độ cácđỉnh A và C.

10.69. (D-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (1; 0) và đường tròn (C) : x2 +y2−2x+4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho tam giác AMN vuôngcân tại A.

10.70. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3 = 0. Viết phươngtrình đường thẳng đi qua A (2;−4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 450.

10.71. (CĐ-2011) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh làAB : x+ 3y − 7 = 0, BC : 4x+ 5y − 7 = 0, CA : 3x+ 2y − 7 = 0. Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnhA của tam giác ABC.

10.72. (A-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 :√

3x + y = 0 và d2 :√3x− y = 0. Gọi (T ) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC

vuông tại B. Viết phương trình của (T ), biết tam giác ABC có diện tích bằng√

3

2và điểm A có hoành

độ dương.

10.73. (A-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A (6; 6); đườngthẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+ y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh Bvà C, biết điểm E (1;−3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

10.74. (B-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C (−4; 1),phân giác trong góc A có phương trình x+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tíchtam giác bằng 24 và đỉnh A có hoàng độ dương.

10.75. (B-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;√

3)và elip (E) :

x2

3+y2

2= 1. Gọi

F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đườngthẳng AF1 với (T ); N là điểm đối xứng của F2 qua M . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácANF2.

10.76. (D-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A (3;−7), trực tâm làH (3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I (−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.

10.77. (D-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A (0; 2) và ∆ là đường thẳng đi qua O.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết khoảng cách từ Hđến trục hoành bằng AH.

10.78. (A-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giaođiểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnhCD thuộc đường thẳng ∆ : x+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

10.79. (A-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x+ 4y + 6 = 0 vàđường thẳng ∆ : x+my − 2m+ 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm Mđể ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

10.80. (B-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x− 2)2 +y2 = 45 và hai đường

thẳng ∆1 : x− y = 0, ∆2 : x− 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1), biếtđường tròn (C1) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1,∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C).

10.81. (B-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đỉnh A (−1; 4)và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng ∆ : x− y− 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B,C, biết diện tích tamgiác ABC bằng 18.

10.82. (D-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm củacạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7x − 2y − 3 =0; d2 : 6x− y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.

10.83. (D-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x− 1)2 + y2 = 1. Gọi I làtâm của (C). Xác định toạ độ điểm M ∈ (C) sao cho IMO = 300.

87


10.84. (CĐ-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C (−1;−2), đường trungtuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+ y − 9 = 0;x+ 3y − 5 = 0. Tìm tọađộ các đỉnh A và B.

10.85. (CĐ-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng ∆1 : x − 2y − 3 = 0 và∆2 : x+y+1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng

∆2 bằng1√2.

ĐÁP SỐ

[10.1]D(−3; 9);M(

17

2; 2

)[10.2]M(3; 0);M(−2; 0) [10.3] C(0; 4); G(2; 0) [10.4]M(1; 0);M(5; 0) [10.7]

H(−3; 5); I(

1

2;−5

2

)[10.8] x+4y−7 = 0 [10.9] 5x−2y−8 = 0 [10.10] x−2 = 0; 7x+24y−134 = 0 [10.11]

6x−4y+ 24 = 0; 3x−8y−24 = 0[10.12] x−3y−5 = 0; 3x+y−5 = 0 [10.13] H(1; 1); M(3;−2) [10.14]

M(0;−1) [10.15]M(2; 6) [10.16]M(

0;−1

4

);M

(0;

11

4

)[10.17] B(5; 0), C(1;−2); B(−3;−4), C(1;−2)

[10.18] AC : 2x − 7y − 5 = 0; BC : 3x + 4y − 22 = 0 [10.19] A(−5;−1); B(7; 1); C(13;−5) [10.20]

x− 4y− 1 = 0 [10.21] A(−5; 3); C(−1; 3) [10.22] 5x− 3y+ 7 = 0 [10.23] B(−3; 0); C(

7

8;−31

16

)[10.24]

B(0;−1); C(3; 0); D(4; 3) [10.25] A(−5

3; 7

3

); B(

7

3;13

3

); C(1; 1); D(−3;−1) [10.26] B(−3;−1) [10.27]

A(4; 5) [10.28] D(1;−5) [10.29] A(1; 3), C(7;−3); A(5;−1), C(1;−5) [10.30] (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

[10.31] (x − 1)2 + (y + 1)2 = 20 [10.32] (C) : (x − 2)2 + (y + 1)2 = 4; (C) :

(x+

1

2

)2

+ (y − 4)2 =61

4[10.33] (x− 3)2 + y2 = 5 [10.34] M(1; 1); M(4; 0) [10.35] M(−1; 2) [10.36] M(1; 3); M(−4;−2) [10.38]x2

16+y2

4= 1 [10.39]

x2

4+ y2 = 1 [10.40] C

(−4;−6

5

)[10.41] y = x± 3 [10.42] 9x+ 32y− 73 = 0 [10.43]

A(−15; 5) [10.44] y+2 = 0; 3x−4y−15 = 0 [10.45] B(−2; 3);D(2; 0) [10.46] x−2y−3 = 0 [10.47]M(1; 1)[10.48] B(−4;−7), C(1;−7) [10.49] (x−5)2 + (y−3)2 = 10 [10.50] C(−1; 6), D(4; 1); C(−1; 6), D(−8; 7)[10.51] C(9; 11) [10.52] C(4; 1); C− 1; 6 [10.53] P (−1; 3); P (3; 3) [10.54] (x− 1)2 + (y− 2)2 = 5 [10.55]

B(7; 2), C(−3;−3); B(−3;−3), C(7; 2) [10.56] A(4; 5); A(1;−1) [10.57]x2

16+y2

163

= 1 [10.58] (x−3)2+(y−

3)2 = 8 [10.59]x2

20+y2

5= 1 [10.60] A(−3; 1), B(1;−3), C(3;−1), D(−1; 3) [10.61] (x+1)2 +(y−1)2 = 2;

(x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 [10.62] m = 7; m = −3 [10.63] AB : x − y + 2 = 0, AC : x + y + 2 = 0;

AB : 2x−y+2 = 0, AC : x+y+2 = 0 [10.64]M(2;−4);M(−3; 1) [10.65] A

(√

2;

√2

2

), B

(√

2;−√

2

2

);

A

(√

2;−√

2

2

), B

(√

2;

√2

2

)[10.66] N(0;−2); N

(6

5;2

5

)[10.67] A

(3;

13

3

)[10.68] A(4; 3); C(3;−1)

[10.69] y = 1; y = −3 [10.70] x − 2 = 0; y + 4 = 0 [10.71] 5x − 4y + 3 = 0 [10.72](x+

1

2√

3

)2

+(y +

3

2

)2

= 1 [10.73] B(0;−4), C(−4; 0); B(−6; 2), C(2;−6) [10.74] 3x− 4y+ 16 = 0 [10.75] (x− 1)2 +(y − 2√

3

)2

=4

3[10.76] C(−2 +

√65; 3) [10.77]

√−8 + 4

√5x +

(√5− 3

)y = 0; −

√−8 + 4

√5x +(√

5− 3)y = 0 [10.78] y − 5 = 0; x− 4y + 19 = 0 [10.79] m = 0; m =

8

15[10.80] K

(8

5;4

5

); R1 =

2√

2

5

[10.81] B(

3

2;−5

2

), C

(11

2;3

2

); B

(11

2;3

2

), C

(3

2;−5

2

)[10.82] 3x − 4y + 5 = 0 [10.83] M

(3

2;

√3

2

);

M

(3

2;−√

3

2

)[10.84] A(1; 4); B(5;0) [10.85] M(1;−1); M

(−1

3;−5

3

).

88

Chuyên đề 11

Phương Trình, Bất Phương Trình Và HệPhương Trình Đại Số

§1. Phương Trình, Bất Phương Trình Đa Thức

A. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Đưa về phương trình, bất phương trình tích.• C1 : Sử dụng các phép biến đổi đại số cơ bản.• C2 : Nhẩm nghiệm, chia đa thức.• C3 : Nhóm thừa số chung.• C4 : Sử dụng các hằng đẳng thức phù hợp.

2. Đặt ẩn phụ.• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp.• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa x).

B. Bài Tập


a)x− 4

x2 + x− 2= 2; b)

2x− 1

x+ 2− x+ 1

x− 3= 0;

c)x2 − 3x− 2

x− 1> 2x+ 2; d)

x+ 5

2x− 1+

2x− 1

x+ 5> 2.

11.2. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) x3 − 6x2 + 9x− 2 = 0; b) −x4 + 2x3 + 4x2 − 7x+ 2 = 0;c) x3 − 3x2 − 9x+ 2 6 0; d) x4 + x3 − 6x2 − 4x+ 8 > 0.

11.3. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) (x− 2)

(x2 + 3x+ 1

)= x2 − 4; b) (4 + x)2 − (x− 1)3 = (1− x)

(x2 − 2x+ 17

);

c) x4 = (2x− 5)2; d) x4 = 6x2 − 12x+ 8.

11.4. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a)(x2 + 5x

)2 − 2(x2 + 5x

)− 24 = 0; b)

(x2 + x+ 1

) (x2 + x+ 2

)= 12;

c)(x2 − 2x− 2

)2 − 2x2 + 3x+ 2 = 0; d) (4x+ 3)2 (x+ 1) (2x+ 1) = 810;

e)x2 + 1

x+

x

x2 + 1= −5

2; f)

(x− 1

x+ 2

)2

+x− 3

x+ 2− 2

(x− 3

x− 1

)2

= 0.

11.5. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) (x+ 1)4 + (x+ 3)4 = 16; b) (x+ 3)4 + (x− 1)4 = 82;c) (x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) (x+ 4) = 3; d) (x− 1) (x− 2) (x− 3) (x− 6) = 3x2;e) 2x4 + 3x3 − 9x2 − 3x+ 2 = 0; f) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x+ 8 = 0.

89


§2. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

A. Phương Pháp Giải

1. Sử dụng công thức.

• |f(x)| = |g(x)| ⇔[f(x) = g(x)f(x) = −g(x)

; • |f(x)|+ |g(x)| = 0⇔f(x) = 0g(x) = 0

;

• |f(x)| < |g(x)| ⇔ f2(x) < g2(x).2. Xét phương trình trên từng khoảng.

Loại 1 : Phương trình dạng |f(x)|+ g(x) = 0 (1) (hoặc <,6, >,>).• Với f(x) > 0 ta có (1)⇔ f(x) + g(x) = 0.• Với f(x) < 0 ta có (1)⇔ −f(x) + g(x) = 0.Loại 2 : Phương trình chứa từ hai dấu trị tuyệt đối trở lên.• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu trị tuyệt đối.• Xét phương trình trên từng khoảng.

B. Bài Tập

11.6. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) |x− 1| =

∣∣x2 − 3x+ 1∣∣; b)

∣∣x2 + 2x− 3∣∣+∣∣x2013 + 2013x− 2014

∣∣ = 0;

c) |x− 2| < |2x+ 1|; d)∣∣∣∣2x− 3

x− 3

∣∣∣∣ > 1.

11.7. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a)√x2 − 4x+ 4 = x2 − 5x+ 3; b)

∣∣x2 + x− 2∣∣+ 2x = 8;

c)∣∣x2 − 2x

∣∣+ x2 − 4 > 0; d)∣∣x2 − 5x+ 4

∣∣ 6 x2 + 6x+ 5;

e)(x2 − x

)2+∣∣x2 − x

∣∣− 6 = 0; f) 3

(2x− 1

x+ 1

)2

−∣∣∣∣ x+ 1

2x− 1

∣∣∣∣− 2 = 0.

11.8. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a)√x2 − 2x+ 1 +

√x2 + 4x+ 4 = 5; b)

∣∣x2 − 5x+ 4∣∣+∣∣x2 − 5x

∣∣ = 4;c) |9− x| = |6− 5x|+ |4x+ 3|; d) |x− 1| − 2 |x− 2|+ 3 |x− 3| = 4.

§3. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Căn


1. Sử dụng công thức.

•√f(x) =

√g(x)⇔

f(x) > 0f(x) = g(x)

. •√f(x) = g(x)⇔

g(x) > 0f(x) = g2(x)

.

•√f(x) < g(x)⇔

f(x) > 0g(x) > 0f(x) < g2(x)

. •√f(x) > g(x)⇔

g(x) < 0f(x) > 0g(x) > 0f(x) > g2(x)

.

• 3√f(x) = 3

√g(x)⇔ f(x) = g(x). • 3

√f(x) = g(x)⇔ f(x) = g3(x).

2. Sử dụng phép biến đổi tương đương.• C1 : Bình phương hai vế.• C2 : Đưa về tích.• C3 : Sử dụng biểu thức liên hợp.

3. Đặt ẩn phụ• Loại 1 : Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x).• Loại 2 : Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v.

4. Phương pháp hàm số.Sử dụng các mệnh đề sau :• Nếu y = f(x) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên D.• Nếu đạo hàm của y = f(x) có n nghiệm trên D thì f(x) = 0 có nhiều nhất n+ 1 nghiệm trên D.

90

Chuyên đề 11. Phương Trình, Bất Phương Trình Và Hệ Phương Trình Đại Số

B. Bài Tập

11.9. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) x−

√x− 1− 7 = 0; b)

√2x+

√6x2 + 1 = x+ 1;

c)√x+ 3 > x+ 1; d)

√x2 − 4x− 12 6 x− 4.

11.10. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a)√

2x+ 9 =√

4− x+√

3x+ 1; b)√

3x− 3−√

5− x >√

2x− 4;

c)√

7− x2 + x√x+ 5 =

√3− 2x− x2; d)

√x2 − 7

x2+

√x− 7

x2= x;

e) (x− 2)√x2 + 4 < x2 − 4; f)

√2x2 + 8x+ 6 +

√x2 − 1 = 2x+ 2.


a)2x√

2x+ 1− 1> 2x+ 2; b) 3

(2 +√x− 2

)= 2x+

√x+ 6;

c)√x+ 7 +

√3x− 2 + x2 − x− 7 = 0; d)

√3x+ 3−

√5− 2x− x3 + 3x2 + 10x− 26 = 0.

11.12. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) (x+ 5) (2− x) = 3

√x2 + 3x; b) x2 +

√2x2 + 4x+ 3 > 6− 2x;

c) (x− 3) (x+ 1) + 4 (x− 3)

√x+ 1

x− 3= −3; d)

√3x− 2 +

√x− 1 = 4x− 9 + 2

√3x2 − 5x+ 2;

e) x2 + 3x+ 1 = (x+ 3)√x2 + 1; f) x2 + 4x = (x+ 2)

√x2 − 2x+ 24.

11.13. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) x3 + 1 = 2 3

√2x− 1; b) 3

√x2 + 7 +

√2− x2 = 3;

c) 2(x2 − 3x+ 2

)= 3√x3 + 8; d) x3 + 4x− (2x+ 7)

√2x+ 3 = 0.

11.14. Giải các phương trình, bất phương trình sau :a) x5 + x3 −

√1− 3x+ 4 = 0; b)

√x− 1 = −x3 − 4x+ 17;

c)√

5x3 − 1 + 3√

2x− 1 = 4− x; d) x4 + x = 84(√x+ 1− 1

).

§4. Hệ Phương Trình Mẫu Mực

A. Một Số Hệ Phương Trình Mẫu Mực

1. Hệ phương trình đối xứng loại I.

• Dạng :

f(x; y) = 0

g(x; y) = 0, trong đó f(x; y) = f(y;x) và g(x; y) = g(y;x).

• Cách giải :∗ Phân tích mỗi phương trình trong hệ để xuất hiện x+ y và xy.∗ Đặt x+ y = S, xy = P (S2 ≥ 4P ), đưa về hệ theo S, P .∗ Giải hệ mới được S, P , từ đó suy ra xy.

2. Hệ phương trình đối xứng loại II.

• Dạng :

f(x; y) = 0

f(y;x) = 0.

• Cách giải :∗ Trừ theo vế các phương trình trong hệ.∗ Phân tích để xuất hiện thừa số chung (x− y), suy ra mối liên hệ giữa x, y.∗ Từ mối liên hệ giữa x, y, thay trở lại một phương trình để giải.

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai.

• Dạng :

a1x

2 + b1xy + c1y2 = d1

a2x2 + b2xy + c2y

2 = d2

.

• Cách giải :∗ Cân bằng hệ số tự do.∗ Trừ theo vế các phương trình trong hệ.∗ Xét trường hợp y = 0, với y 6= 0 chia hai vế phương trình mới cho y2.

91


B. Bài Tập

11.15. Giải các hệ phương trình sau :

a)

x2 + y2 + xy = 4

x+ y + xy = 2; b)

x2 + y2 + x+ y = 4

x(x+ y + 1) + y(y + 1) = 2;

c)

x+ y + xy = 1

x3 + y3 + 3(x− y)2 − 4 = 0; d)

x2 − xy + y2 = 3(x− y)

x2 + xy + y2 = 7(x− y)2.


a)

x2 − 2y2 = 2x+ y

y2 − 2x2 = 2y + x; b)

x− 3y =

4y

x

y − 3x =4x

y

;

c)

3y =

y2 + 2

x2

3x =x2 + 2

y2

; d)

√x2 + 91 =

√y − 2 + y2√

y2 + 91 =√x− 2 + x2

.


a)

x2 − xy = 2

2x2 + 4xy − 2y2 = 14; b)

x2 − 3xy + y2 = −1

3x2 − xy + 3y2 = 13;

c)

x3 + y3 = 1

x2y + 2xy2 + y3 = 2; d)

(x− y)(x2 + y2) = 13

(x+ y)(x2 − y2) = 25.

§5. Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực


1. Phương pháp thế.• Loại 1 : Rút một biểu thức (có thể là một số) từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia.• Loại 2 : Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia.

2. Phương pháp cộng.• Biến đổi mỗi phương trình sau đó cộng hoặc trừ để được phương trình mới đã biết cách giải.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ.• Loại 1 : Đặt ẩn phụ cho một phương trình.• Loại 2 : Đặt ẩn phụ cho cả hai phương trình.

4. Phương pháp hàm số.Sử dụng mệnh đề sau :• Nếu y = f(x) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(u) = f(v)⇔ u = v.

B. Bài Tập


a)

5x2 + y2 − 16x− 16 = 0

5x2 − y2 + 4xy − 16x+ 8y − 16 = 0; b)

x2 + 1 + y(y + x) = 4y

(x2 + 1)(y + x− 2) = y;

c)

x2 + y2 − xy + 4y + 1 = 0

y[7− (x− y)2

]= 2(x2 + 1)

; d)

x4 + 2x3y + x2y2 = 2x+ 9

x2 + 2xy = 6x+ 6;

e)

x2 + y2 + xy = 1

x3 + y3 = x+ 3y; f)

x3 − 8x = y3 + 2y

x2 − 3 = 3(y2 + 1).


a)

6x2 − 3xy + x+ y = 1

x2 + y2 = 1; b)

xy + 3y2 − x+ 4y = 7

2xy + y2 − 2x− 2y + 1 = 0;

92


c)

x4 − x3y − x2y2 = 1

x3y − x2 − xy = −1; d)

xy + x+ y = x2 − 2y2

x√

2y − y√x− 1 = 2x− 2y

;

e)

x2 + y2 +2xy

x+ y= 1

√x+ y = x2 − y

; f)

x3 + 2y2 = x2y + 2xy

2√x2 − 2y − 1 + 3

√y3 − 14 = x− 2

.


a)

x3y3 − 2y3 = 6

4x2y − 2y2 = 7x; b)

4x2 + y4 − 4xy3 = 0

4x2 + 2y2 − 4xy = 1;

c)

x3 − y3 = 9

x2 + 2y2 = x− 4y; d)

(x− 1

x

)2

+ x

(1

x3+

1

y

)= 0

3x2 +1

y2= 4

.


a)

x2 + y2 = 5√y − 1(x+ y − 1) = (y − 2)

√x+ y

; b)

√x+ y + 1 + 1 = 4(x+ y)2 +

√3(x+ y)

4x− 2y = 3;

c)

x(3x+ 2y)(x+ 1) = 12

x2 + 2y + 4x− 8 = 0; d)

√2x+ y + 1−

√x+ y = 1

3x+ 2y = 4;

e)

x+ y −√xy = 3√x+ 1 +

√y + 1 = 4

; f)

x2 + y + x3y + xy2 + xy = −5

4

x4 + y2 + xy(1 + 2x) = −5

4

.


a)

x3 − x2 + x = y

√y − 1− y + 1

x3 + 4x2 + 1 = y2; b)

6x2 + y2 − 5xy − 7x+ 3y + 2 = 0

x3 +√x− 1 = y3 +

√y − 1

;

c)

√x+ 10 +

√y − 1 = 11

√x− 1 +

√y + 10 = 11

; d)

√x− 2−

√3− y = y2 − x2 + 4x− 6y + 5

√2x+ 3 +

√4y + 1 = 6

.

§6. Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Tham Số


Định lý 11.1. (Định lý Vi-ét) Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx+ c = 0

khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức S = x1 + x2 = − bavà P = x1x2 =

c

a.

Mệnh đề 11.2. Cho hàm số f liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D. Ta có:• m = f(x) có nghiệm trên D ⇔ min

x∈Df(x) 6 m 6 max

x∈Df(x).

• m 6 f(x) có nghiệm trên D ⇔ m 6 maxx∈D

f(x).

• m > f(x) có nghiệm trên D ⇔ m > minx∈D

f(x).

• m 6 f(x),∀x ∈ D ⇔ m 6 minx∈D

f(x).

• m > f(x),∀x ∈ D ⇔ m > maxx∈D

f(x).

B. Phương Pháp Giải Cơ Bản

1. Phương pháp tam thức bậc hai.• Đưa phương trình đang xét về phương trình bậc hai.• Dựa vào định lý Vi-ét và giả thiết để tìm điều kiện thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Phương pháp hàm số.• C1 : Xét hàm số y = f(x,m). Tính đạo hàm. Lập bảng biên thiên ⇒ kết luận.• C2 : Từ bài toán biến đổi và rút m theo g(x). Lập bảng biến thiên của g(x)⇒ kết luận.

93


C. Bài Tập

11.23. Tìm m để phương trình mx2− 2(m− 1)x+ 3(m− 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãnhệ thức x1 + 2x2 = 1.

11.24. Tìm m để phương trình x3−mx− 2m+ 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thứcx2

1 + x22 + x2

3 = 10.

11.25. Tìm m để phương trình (m− 1)x2 − 2(m+ 1)x+m+ 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

11.26. Tìm m để phương trình (m− 1)x2 + 2(m− 3)x+m+ 3 = 0 có đúng một nghiệm âm.

11.27. Tìm m để phương trình x4 − 2(m− 1)x2 + 3−m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.

11.28. Tìm m để phương trình x4 − 2mx2 +m+ 12 = 0 có đúng một nghiệm.

11.29. Tìm m để phương trình x3 + 3x2 + 2−m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

11.30. Tìm m để phương trình 2x3 − 3x2 + 1−m = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt không nhỏ hơn −1.

11.31. Tìm m để phương trình√x2 +mx+ 2 = 2x+ 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

11.32. Tìm m để phương trình 4√

2x+√

2x+ 2 4√

6− x+ 2√

6− x = m có hai nghiệm thực phân biệt.

11.33. Tìm m để phương trình 3√x− 1 +m

√x+ 1 = 2 4

√x2 − 1 có nghiệm thực.

11.34. Tìm m để bất phương trình m(

1 +√x2 − 2x+ 2

)+ x(2− x) > 0 có nghiệm trên

[0; 1 +

√3].

11.35. Tìm m để bất phương trình√x+√

3− x+m√

3x− x2−3 6 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc [0; 3].

CÁC BÀI TOÁN THI

11.36. (THPTQG-2015) Giải phương trìnhx2 + 2x− 8

x2 − 2x+ 3= (x+ 1)

(√x+ 2− 2

)trên tập số thực.


x√

12− y +√y (12− x2) = 12

x3 − 8x− 1 = 2√y − 2

.


(1− y)

√x− y + x = 2 + (x− y − 1)

√y

2y2 − 3x+ 6y + 1 = 2√x− 2y −

√4x− 5y − 3

.

11.39. (D-2014) Giải bất phương trình (x+ 1)√x+ 2 + (x+ 6)

√x+ 7 > x2 + 7x+ 12.

11.40. (CĐ-2014) Giải hệ phương trình

x2 + xy + y2 = 7

x2 − xy − 2y2 = −x+ 2y.


√x+ 1 + 4

√x− 1−

√y4 + 2 = y

x2 + 2x(y − 1) + y2 − 6y + 1 = 0.


2x2 + y2 − 3xy + 3x− 2y + 1 = 0

4x2 − y2 + x+ 4 =√

2x+ y +√x+ 4y

.


xy − 3y + 1 = 0

4x− 10y + xy2 = 0.


x3 − 3x2 − 9x+ 22 = y3 + 3y2 − 9y

x2 + y2 − x+ y =1

2

.

11.45. (B-2012) Giải bất phương trình x+ 1 +√x2 − 4x+ 1 > 3

√x.

11.46. (D-2012) Giải hệ phương trình

xy + x− 2 = 0

2x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0.

11.47. (CĐ-2012) Giải phương trình 4x3 + x− (x+ 1)√

2x+ 1 = 0.

94



5x2y − 4xy2 + 3y3 − 2(x+ y) = 0

xy(x2 + y2) + 2 = (x+ y)2.

11.49. (B-2011) Giải phương trình 3√

2 + x− 6√

2− x+ 4√

4− x2 = 10− 3x.

11.50. (D-2011) Tìm m để hệ

2x3 − (y + 2)x2 + xy = m

x2 + x− y = 1− 2mcó nghiệm.

11.51. (CĐ-2011) Tìm m để phương trình 6 + x + 2√

(4− x) (2x− 2) = m + 4(√

4− x+√

2x− 2)có

nghiệm thực.

11.52. (A-2010) Giải bất phương trìnhx−√x

1−√

2 (x2 − x+ 1)> 1.


(4x2 + 1)x+ (y − 3)

√5− 2y = 0

4x2 + y2 + 2√

3− 4x = 7.

11.54. (B-2010) Giải phương trình√

3x+ 1−√

6− x+ 3x2 − 14x− 8 = 0.


2√

2x+ y = 3− 2x− yx2 − 2xy − y2 = 2

.

11.56. (A-2009) Giải phương trình 2 3√

3x− 2 + 3√

6− 5x− 8 = 0.


xy + x+ 1 = 7y

x2y2 + xy + 1 = 13y2.

11.58. (D-2009) Giải hệ phương trình

x(x+ y + 1)− 3 = 0

(x+ y)2 − 5

x2+ 1 = 0

.

11.59. (CĐ-2009) Giải bất phương trình√x+ 1 + 2

√x− 2 6

√5x+ 1.

ĐÁP SỐ

[11.1a] x = 0; x = −1

2[11.1b] x = 5 ± 2

√6 [11.1c] x 6 −3; 0 6 x < 1 [11.1d] S = (−∞;−5) ∪(

1

2; 6

)∪ (6; +∞) [11.2a] x = 2; x = 2 ±

√3 [11.2b] x = 1; x = −2; x =

3±√

5

2[11.2c] S =

(−∞;−2]∪

[5−√

21

2;5 +√

21

2

][11.2d] S = (−∞]∪ [2; +∞) [11.3a] x = 2; x = −1±

√2 [11.3b] x = 0;

x = −24 [11.3c] x = −1±√

6 [11.3d] x = −1±√

5 [11.4a] x = ±1; x = −4; x = −6 [11.4b] x = 1; x = −2

[11.4c] x =3±√

17

2; x =

1±√

13

2[11.4d] x = −3; x =

3

2[11.4e] x = −1 [11.4f] x = 7; x =

2±√

37

3

[11.5a] x = −1; x = −3 [11.5b] x = 0; x = −2 [11.5c] x =−5±

√13

2[11.5d] x = 4 ±

√10 [11.5e]

x =1±√

5

2; x =

−5±√

41

4[11.5f] x =

−5±√

17

2; x =

7±√

17

4[11.6a] x = 2±

√2; x = 0; x = 2 [11.6b]

x = 1 [11.6c] S = (−∞;−3) ∪(

1

3; +∞

)[11.6d] S = [0; 2] [11.7a] x = 5; x = 2 −

√2 [11.7b][11.7c]

S = (−∞;−1) ∪ (2; +∞) [11.7d] S =

[− 1

11; +∞

)[11.7e] x = 2; x = −1 [11.7f] x = 2; x = 0 [11.8a]

x = 2 [11.8b] S = [0; 1] ∪ [4; 5] [11.8c] S =

[−3

4;6

5

][11.8d] S = [1; 2] ∪ 5 [11.9a] x = 5 [11.9b]

x = 0; x = 2 [11.9c] −3 6 x < 1 [11.9d] S = [6; 7] [11.10a] x = 0; x =11

3[11.10b] S = 2 ∪ [4; 5]

[11.10c] x = −1 [11.10d] x = 2 [11.10e] S = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) [11.10f] x = ±1 [11.11a] S = (−1

2; 0)

95


[11.11b] x = 3 [11.11c] x = 2 [11.11d] x = 2 [11.12a] x = 1; x = −4 [11.12b] S = (−∞;−3]∪ [1; +∞)

[11.12c] x = 1 −√

5; x = 1 −√

13 [11.12d] x =7−√

21

2[11.12e] x = ±2

√2 [11.12f] x = 1 ±

√13

[11.13a] x = 1; x =−1±

√5

2[11.13b] = ±1 [11.13c] x = 3 ±

√13 [11.13d] x = 3 [11.14a] x = 1

[11.14b] x = −1 [11.14c] x = 1 [11.14d] x = 0; x = 3 [11.15a] (x; y) = (2; 0); (x; y) = (2; 0) [11.15b](x; y) = (1;−2); (x; y) = (−2; 1); (x; y) =

(±√

2;−±√

2)[11.15c] (x; y) = (0; 1); (x; y) = (1; 0) [11.15d]

(x; y) = (0; 0); (x; y) = (2; 1); (x; y) = (−1;−2) [11.16a] (x; y) = (0; 0); (x; y) = (−3;−3) [11.16b](x; y) = (−2;−2) [11.16c] (x; y) = (1; 1) [11.16d] (x; y) = (3; 3) [11.17a] (x; y) = (2; 1); (x; y) = (−2;−1)

[11.17b] (x; y) = (±2;±1); (x; y) = (±1;±2) [11.17c] (x; y) =

(13√

2;

13√

2

); (x; y) =

(13√

9;

23√

9

)[11.17d]

(x; y) = (3; 2); (x; y) = (−2;−3) [11.18a] (x; y) = (4; 0); (x; y) = (0; 4); (x; y) =

(−4

5; 0

)[11.18b]

(x; y) = (1; 2); (x; y) = (−2; 5) [11.18c] (x; y) = (1;−2); (x; y) = (−2;−5) [11.18d] (x; y) =

(−4;

17

4

)[11.18e] (x; y) = (1; 0); (x; y) = (−1; 0) [11.18f] (x; y) = (±1;±3); (x; y) =

(±√

6

13;∓4

√6

13

)[11.19a]

(x; y) =

(1

3;2√

2

3

); (x; y) =

(1

3;−2√

2

3

); (x; y) = (0; 1); (x; y) =

(−4

5;−3

5

)[11.19b] (x; y) = (2;−3);

(x; y) = (−10; 1); (x; y) = (x0; 1), ∀x0 ∈ R [11.19c] (x; y) = (5; 2) [11.19e] (x; y) = (±1; 0); (x, y) =

(±1;∓1); (x; y) =(√

2;√

2); (x; y) =

(1√2

;− 1√2

)[11.19c] (x; y) = (1; 0); (x; y) = (−2; 3) [11.19f]

(x; y) =(1 +√

2; 1 +√

2); (x; y) =

(1−√

2; 1−√

2)[11.20a] (x; y) = (2; 1) [11.20b] (x; y) =

(1

2; 1

);

(x; y) =

(−1

2;−1

)[11.20c] (x; y) = (1;−2); (x; y) = (2;−1) [11.20d] (x; y) = (1;−1); (x; y) = (−1; 1)

[11.21a] (x; y) = (−1; 2) [11.21b] (x; y) =

(2

3;−1

6

)[11.21c] (x; y) = (2;−2); (x; y) =

(−3;

11

2

);

(x; y) =

(1;−1

2

); (x; y) = (−2; 4) [11.21d] (x; y) = (2;−1) [11.21e] (x; y) = (3; 3) [11.21f] (x; y) =(

1;−3

2

); (x; y) =

(3√

10

2;−

3√

100

4

)[11.22a] (x; y) = (0; 1); (x; y) = (2; 5) [11.22b] (x; y) = (1; 1)

[11.22c] (x; y) = (26; 26) [11.22d] (x; y) = (3; 2); (x; y) = (−1; 6) [11.23] m = 2; m =2

3[11.24] m = 5

[11.25] m > 1; −3 < m < −2 [11.26] −3 6 m < 1 [11.27] 2 < m < 3 [11.28] m = −12 [11.29]

2 < m < 6 [11.30] m = 0; m = 1 [11.31] m >9

2[11.32] 2

√6 + 2 4

√6 6 m < 3

√2 + 6 [11.33] −1 6 m 6

1

3

[11.34] m > −1

2[11.35] m 6

6− 2√

6

3[11.36] x = 2; x =

3 +√

13

2[11.37] (x; y) = (3; 3) [11.38]

(x; y) = (3; 1);

(1 +√

5

2;−1 +

√5

2

)[11.39] (−2 6 x 6 2) [11.40] (x; y) = (2; 1); (x; y) = (−2;−1);

(x; y) = (2;−3); (x; y) = (−3; 2) [11.41] (x; y) = (1; 0); (x; y) = (2; 1) [11.42] (x; y) = (0; 1); (1; 2) [11.43]

(x; y) = (2; 1); (x; y) =

(5

2; 2

);(

3

2;2

3

)[11.44] (x; y) =

(1

2;−3

2

);(

3

2;−1

2

)[11.45] S =

[0;

1

4

]∪ [4; +∞)

[11.46] (x; y) = (1; 1); (x; y) =

(−1 +

√5

2;√

5

); (x; y) =

(−1−

√5

2;−√

5

)[11.47] x =

1 +√

5

4[11.48]

(x; y) = (±1;±1); (x; y) =

(±2√

10

5;±√

10

5

)[11.49] x =

6

5[11.50] m 6

2−√

3

2[11.51] 0 6 m 6 1

[11.52] x =3−√

5

2[11.53] (x; y) =

(1

2; 2

)[11.54] x = 5 [11.55] (x; y) = (1;−1); (x; y) = (−3; 7)

[11.56] x = −2 [11.57] (x; y) =

(1;

1

3

); (3; 1) [11.58] (x; y) = (1; 1); (x; y) =

(2;−3

2

)[11.59] S = [2; 3].

96

Chuyên đề 12

Bất Đẳng Thức, Giá Trị Lớn Nhất VàGiá Trị Nhỏ Nhất

§1. Một Số Phương Pháp Chứng Minh Bất Đẳng Thức

12.1. Cho các số thực dương x, y. Chứng minh bất đẳng thứcx√y

+y√x>√x+√y.

12.2. Cho các số thực x > 1, y > 1. Chứng minh bất đẳng thức1

1 + x2+

1

1 + y2>

2

1 + xy.

12.3. Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện xy 6 1. Chứng minh bất đẳng thức :

2

1 +√xy

>1

1 + x+

1

1 + y

12.4. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+ y + 4 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

A = 2(x3 + y3

)+ 3

(x2 + y2

)+ 10xy

12.5. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =x3

1 + y+

y3

1 + x

12.6. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thứcx2

x2 + 2yz+

y2

y2 + 2zx+

z2

z2 + 2xy> 1.

12.7. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 4. Chứng minh bất đẳng thức :

x4 + y4 + z4 >16

3

12.8. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :

a√4a2 + b2 + c2

+b√

4b2 + c2 + a2+

c√4c2 + a2 + b2

6

√3

2

12.9. Cho số thực x thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh bất đẳng thứce−x

2

1 + x6 1− x+

x4

2 (1 + x).

12.10. Cho số thực x thuộc khoảng(

0;π

2

). Chứng minh bất đẳng thức sinx+ tanx > 2x+

x3

6.

12.11. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 0 < x < y < 1. Chứng minh bất đẳng thức :

1

y − z

(ln

y

1− y− ln

x

1− x

)> 4

97


12.12. Cho a, b, c > 0 thỏa a2 +b2 +c2 = 1. Chứng minh bất đẳng thứca

b2 + c2+

b

c2 + a2+

c

a2 + b2>

3√

3

2.

12.13. Cho các số thực x, y khác 0. Chứng minh bất đẳng thức :

√x2 + y2 +

√1

x2+

1

y2>

√(x+

1

x

)2

+

(y +

1

y

)2

12.14. Cho các số thực x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A =√

(x− 1)2 + y2 +√

(x+ 1)2 + y2 + |y − 2|

12.15. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ y + z 6 1. Chứng minh bất đẳng thức :√x2 +

1

x2+

√y2 +

1

y2+

√z2 +

1

z2>√

82

§2. Một Số Kỹ Thuật Sử Dụng Bất Đẳng Thức AM −GM

12.16. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 1. Chứng minh bất đẳng thức :

(1 + x)(1 + y)(1 + z) > 8(1− x)(1− y)(1− z)

12.17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh bất đẳng thức :√1 + x3 + y3

xy+

√1 + y3 + z3

yz+

√1 + z3 + x3

zx> 3√

3

12.18. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện1

x+

1

y+

1

z= 4. Chứng minh bất đẳng thức :

1

2x+ y + z+

1

2y + z + x+

1

2z + x+ y6 1

12.19. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức :

x

2x+ y + z+

y

2y + z + x+

z

2z + x+ y6

3

4

12.20. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =x2 (y + z)

y√y + 2z

√z

+y2 (z + x)

z√z + 2x

√x

+z2 (x+ y)

x√x+ 2y

√y

12.21. Cho các số thực x 6= 0, y 6= 0 thỏa mãn điều kiện (x + y)xy = x2 + y2 − xy. Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức :

A =1

x3+

1

y3

12.22. Cho các số thực dương x, y. Chứng minh bất đẳng thức (1 + x)(

1 +y

x

)(1 +

9√y

)2

> 256.

12.23. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = x2 + 3x+ 3y + y2 +9

x2 + y2 + 1

12.24. Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = x

(x

2+

1

yz

)+ y

(y

2+

1

zx

)+ z

(z

2+

1

xy

)

98

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức, Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất

12.25. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thứcx3

y3+y3

z3+z3

z3>x2

y2+y2

z2+z2

x2.

12.26. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P =x3

(1 + y)(1 + z)+

y3

(1 + z)(1 + x)+

z3

(1 + x)(1 + y)

12.27. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh bất đẳng thức :

1

x3(y + z)+

1

y3(z + x)+

1

z3(x+ y)>

3

2

12.28. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ b+ c = 3. Chứng minh bất đẳng thức :

a

1 + b2+

b

1 + c2+

c

1 + a2>

3

2

12.29. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

P =x

xy + y3+

y

yz + z3+

z

zx+ x3

12.30. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ b+ c = 3. Chứng minh bất đẳng thức :

a

ab+ 1+

b

bc+ 1+

c

ca+ 1>

3

2

§3. Kỹ Thuật Đánh Giá Để Sử Dụng Phương Pháp Hàm Số

12.31. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức :

P = x3 + y3 − 3x− 3y

12.32. Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P =1√

a2 + b2 + c2 + 1− 2

(a+ 1) (b+ 1) (c+ 1)

12.33. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2

)= a2b2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức :P =

a

b+ 1+

b

a+ 1+

1√a2 + b2 + 1

12.34. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab+ bc+ ca = 1. Chứng minh bất đẳng thức :

2a

a2 + 1+

2b

b2 + 1+c2 − 1

c2 + 16

3

2

12.35. Cho các số thực a, b thuộc khoảng (0; 1) thỏa mãn điều kiện(a3 + b3

)(a+ b)−ab(a−1)(b−1) = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P =12√

36 + (1 + 9a2) (1 + 9b2)+ 3ab− a4 + b4

ab

12.36. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a4 + b4 +1

ab6 ab+ 2. Chứng minh bất đẳng thức :

2

1 + a2+

2

1 + b2− 3

1 + 2ab6

7

6

99


12.37. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + 4c2 = 6ab. Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức :

P =ac+ 2bc

a2 + 2b2+

2ac+ bc

2a2 + b2−√

c

2 (a+ b)

12.38. Cho các số thực x, y, z thuộc nửa khoảng (0; 1] và thỏa mãn điều kiện x + y > z + 1. Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức :

P =x

y + z+

y

x+ z+

z

xy + z2

12.39. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4(a3 + b3

)+ c3 = 2(a+ b+ c)(ac+ bc− 2). Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức :

P =2a2

3a2 + b2 + 2a(c+ 2)+

b+ c

a+ b+ c+ 2− (a+ b)2 + c2

16

12.40. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức :

P =1

x2 + y2+

1

y2 + z2+

1

z2 + x2+

5

2(x+ 1) (y + 1) (z + 1)

12.41. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ z 6 2y và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức :

P =xy

1 + z2+

yz

1 + x2− y3

(1

x3+

1

z3

)12.42. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab > 1 và c(a+ b+ c) > 3. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức :

P =b+ 2c

1 + a+a+ 2c

1 + b+ 6 ln(a+ b+ 2c)

CÁC BÀI TOÁN THI

12.43. (THPTQG-2015) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] và thỏa mãn điều kiện a+ b+ c = 6. Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức :

P =a2b2 + b2c2 + c2a2 + 12abc+ 72

ab+ bc+ ca− 1

2abc

12.44. (A-2014) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức :

P =x2

x2 + yz + x+ 1+

y + z

x+ y + z + 1− 1 + yz

9

12.45. (B-2014) Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức :

P =

√a

b+ c+

√b

a+ c+

c

2 (a+ b)

12.46. (D-2014) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện 1 6 x 6 2; 1 6 y 6 2. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức :

P =x+ 2y

x2 + 3y + 5+

y + 2z

y2 + 3x+ 5+

1

4 (x+ y − 1)

12.47. (A-2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c2. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức:

P =32a3

(b+ 3c)3+

32b3

(a+ 3c)3−√a2 + b2

c

100

Chuyên đề 12. Bất Đẳng Thức, Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất

12.48. (B-2013) Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =4√

a2 + b2 + c2 − 4− 9

(a+ b)√

(a+ 2c)(b+ 2c)

12.49. (D-2013) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy < y− 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức:

P =x+ y√

x2 − xy + 3y2− x− 2y

6(x+ y)

12.50. (A-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x+ y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| −√

6x2 + 6y2 + 6z2

12.51. (B-2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức :

P = x5 + y5 + z5

12.52. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện (x− 4)2 + (y − 4)2 + 2xy 6 32. Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức :

A = x3 + y3 + 3 (xy − 1) (x+ y − 2)

12.53. (A-2011) Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn [1; 4] và x > y, x > z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức :

P =x

2x+ 3y+

y

y + z+

z

z + x

12.54. (B-2011) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2

)+ ab = (a+ b) (ab+ 2). Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 4

(a3

b3+b3

a3

)− 9

(a2

b2+b2

a2

)12.55. (B-2010) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức :

M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2

)+ 3 (ab+ bc+ ca) + 2

√a2 + b2 + c2

12.56. (D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =√−x2 + 4x+ 21 +

√−x2 + 3x+ 10.

12.57. (CĐ-2010) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện 3x + y 6 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức :

A =1

x+

1√xy

12.58. (A-2009) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x (x+ y + z) = 3yz. Chứng minh bấtđẳng thức :

(x+ y)3 + (x+ z)3 + 3 (x+ y) (x+ z) (y + z) 6 5(y + z)3

12.59. (B-2009) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện (x+ y)3 + 4xy > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức :

A = 3(x4 + y4 + x2 + y2

)− 2

(x2 + y2

)+ 1

12.60. (D-2009) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện x+ y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của biểu thức :

S =(4x2 + 3y

) (4y2 + 3x

)+ 25xy

12.61. (CĐ-2009) Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 0 < a < b < 1. Chứng minh bất đẳng thức :

a2 ln b− b2 ln a > ln a− ln b

101


ĐÁP SỐ

[12.4] 32 [12.5] 1 [12.14] 2 +√

3 [12.20] 2 [12.21] 16 [12.23] 11 [12.24]9

2[12.26]

3

4[12.29]

3

2[12.31]

4; −4 [12.32]1

4[12.33]

5

3[12.35]

6√10

+1

9[12.37]

3

2[12.38]

3

2[12.39]

1

6[12.40]

25

2[12.41] −3

2[12.42]

3 + 12 ln 2 [12.43]160

11[12.44]

5

9[12.45]

3

2[12.46]

7

8[12.47] 1−

√2 [12.48]

5

8[12.49]

√5

3+

7

30[12.50]

3 [12.51]5√

6

36[12.52]

17− 5√

5

4[12.53]

34

33[12.54] −23

4[12.55] 2 [12.56]

√2 [12.58] 8 [12.59]

9

16

[12.60]191

16.

102

Tài liệu tham khảo

[1] Đoàn Quỳnh, Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

[2] Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Giải tích 12 Nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

[3] Nguyễn Phú Khánh, 10 chuyên đề 10 điểm thi môn Toán, NXB Tổng Hợp TPHCM, 2012.

[4] Phạm Trọng Thư, Các chuyên đề Đại số, NXB Đại học Sư phạm, 2010.

[5] Phan Huy Khải, Phương pháp Giải toán trọng tâm NXB Đại học Sư phạm, 2011.

[6] Lê Hoành Phò, 1234 bài tập tự luận điển hình Đại số - Giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008.

[7] Lê Hoành Phò, 1234 bài tập tự luận điển hình Hình học - Lượng giác, NXB ĐHQG Hà Nội, 2008.

[8] Nguyễn Văn Dũng, Hướng dẫn giải nhanh các dạng bài tập toán Đại số, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011.

[9] Nguyễn Văn Dũng, Hướng dẫn giải nhanh các dạng bài tập toán Hình học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2011.

[10] Võ Anh Dũng, Giải toán Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam, 2008.

[11] Trần Thành Minh, Giải toán Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, 2005.

[12] Bộ Giáo dục và Đào tạo, Đề thi Tuyển sinh Đại học, 2009 - 2015.

103

C¡cchuy¶n˜• LUYłNTHITHPTQU¨CGIAN‚uf0(x) 0;8x2Iv€f0(x)

Documents

Transcript of C¡cchuy¶n˜• LUYłNTHITHPTQU¨CGIAN‚uf0(x) 0;8x2Iv€f0(x)