基礎数学2 講義ノート - Tokyo Metropolitan University5. 確率 基本事象,事象,確率,条件付き確率 24 11/22 6. 確率変数1 確率変数,分布関数,期待値
確率変数の特性関数 - Keio...
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確率変数の特性関数戸瀬 信之
確率変数の特性関数 – p.1/11
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復習–特性関数とは
� 復習 確率変数�の特性関数とは
���� �� �������
確率変数の特性関数 – p.2/11
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復習–特性関数とは
� 復習 確率変数�の特性関数とは
���� �� �������
� �の確率密度が確率密度関数 ����を持つ場合
���� � ����� �� ��
��
����������
確率変数の特性関数 – p.2/11
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独立な確率変数の和の特性関数
� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �
� � ���� � � ����
のとき � � � � の確率密度関数
��� �� ��
��
��� � ��������
確率変数の特性関数 – p.3/11
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独立な確率変数の和の特性関数
� 独立な確率変数�と�、その和 � � � �
� � ���� � � ����
のとき � � � � の確率密度関数
��� �� ��
��
��� � ��������
� の特性関数����
�の特性関数�����、� の特性関数�����
� ���� � ����� � �����
確率変数の特性関数 – p.3/11
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証明
� その証明
確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
� ��� �� ��
��
���� � �����
確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
� ��� �� ��
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
� ��� �� ��
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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証明
� その証明
� ��� �� ��
��
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確率変数の特性関数 – p.4/11
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一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
確率変数の特性関数 – p.5/11
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一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
� ��の特性関数 �����
確率変数の特性関数 – p.5/11
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一般に
� �� � � � ��:独立な確率変数
� ��の特性関数 �����
� �� � � � ����の特性関数
���� � ����� � � ������
確率変数の特性関数 – p.5/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は
���� � ����� � � ������ ��� � ����
��
確率変数の特性関数 – p.6/11
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応用
� �� � � � ��:独立な確率変数
� �� �と に値をとる確率変数
� ��� � �� ��� � �� �� �� � ��
� �� � �
� ��の特性関数
����� � �������� � ������ � ���� � � � ����
� 確率変数 � �� � � � ���� は何か2項分布(���)に他ならない特性関数は
���� � ����� � � ������ ��� � ����
��
� ��の分布をベルヌーイ分布と呼ぶ確率変数の特性関数 – p.6/11
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特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
確率変数の特性関数 – p.7/11
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特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
確率変数の特性関数 – p.7/11
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特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
確率変数の特性関数 – p.7/11
![Page 27: 確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは 復習 確率変数 の特性関数とは の確率密度が確率密度関数](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052612/5f0cf7747e708231d43803cb/html5/thumbnails/27.jpg)
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
� もし微分と無限和が交換可能ならば
����� ����
�����������
確率変数の特性関数 – p.7/11
![Page 28: 確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは 復習 確率変数 の特性関数とは の確率密度が確率密度関数](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052612/5f0cf7747e708231d43803cb/html5/thumbnails/28.jpg)
特性関数と期待値
� 離散的な確率変数�
� 取る値�� �� �� � � � (ただし
�� �� � �� �� ��)
� �� � ��� � ��
� �の特性関数 ���� ����
�� �������
� もし微分と無限和が交換可能ならば
����� ����
�����������
����� ������
�� �� �������
確率変数の特性関数 – p.7/11
![Page 29: 確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは 復習 確率変数 の特性関数とは の確率密度が確率密度関数](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052612/5f0cf7747e708231d43803cb/html5/thumbnails/29.jpg)
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
確率変数の特性関数 – p.8/11
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特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
確率変数の特性関数 – p.8/11
![Page 31: 確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは 復習 確率変数 の特性関数とは の確率密度が確率密度関数](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052612/5f0cf7747e708231d43803cb/html5/thumbnails/31.jpg)
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
������� ����
��������� �
����������
確率変数の特性関数 – p.8/11
![Page 32: 確率変数の特性関数 - Keio Universityweb.econ.keio.ac.jp/staff/tose/cours/2005/prob/prob1111...復習–特性関数とは 復習 確率変数 の特性関数とは の確率密度が確率密度関数](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052612/5f0cf7747e708231d43803cb/html5/thumbnails/32.jpg)
特性関数と期待値No2
� 微分と無限和が次々と交換できるとすると
������� ����
��������������
������� ����
��������� �
����������
� 無限和と微分の交換のための十分条件���
������ � � ��
確率変数の特性関数 – p.8/11
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解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
確率変数の特性関数 – p.9/11
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解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
�����
������ � ��
かつ
�����
� ���� � ��
確率変数の特性関数 – p.9/11
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解析の準備 No1
� 開区間 �� ��上の微分可能な関数列 �����
�����
������ � ��
かつ
�����
� ���� � ��
�
���
�����
����� ����
��� �����
確率変数の特性関数 – p.9/11
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具体例
� 幾何分布 ��
確率変数の特性関数 – p.10/11
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具体例
� 幾何分布 ��
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確率変数の特性関数 – p.10/11
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具体例
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具体例
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確率変数の特性関数 – p.11/11
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確率変数の特性関数 – p.11/11
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確率変数の特性関数 – p.11/11
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確率変数の特性関数 – p.11/11
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