ABORDAGENS SOBRE A DEMONSTRAO DE REGRA DA CADEIA

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Abordagens sobre Regra da Cadeia:

Uma discusso aCerca de sua demonstraoSandra Malta Barbosa

UNESP - Rio Claro - SP

sbarbosa@uel.br

1.Introduo

No mbito da Educao Matemtica, diversos so os estudos acerca de contedos nos quais os estudantes apresentam dificuldades na aprendizagem do Clculo (Villarreal, 1999, Cabral, 1998, dentre outros). Como professora de Clculo, pude observar que a Regra da Cadeia um dos temas em que isso tambm acontece. Cury (2004) argumenta que os erros cometidos, ao se estudar esse conceito, pelos estudantes, parecem se encontrar no prprio conceito da funo composta, que muitas vezes representa uma frmula a mais que o estudante apenas memoriza.Ainda, na busca de trabalhos, em Educao Matemtica, com consultas feitas em sites de busca, bibliotecas, artigos e peridicos, que tratam sobre o ensino de Regra da Cadeia no encontrei referncias. Nas pginas dos sites que se pode encontrar sobre este assunto, pude observar que abordam o tema Regra da Cadeia de maneira semelhante aos livros de Clculo.

Sendo assim, este artigo tem por objetivo apresentar uma discusso sobre algumas das abordagens que autores de diversos livros de Clculo, bem como alguns autores de sites, trazem para demonstrao de Regra da Cadeia e como tratam este tema junto aos estudantes que esto ingressando no ensino superior, sejam eles de Administrao, Matemtica, Engenharia, dentre outros.Desta forma, fez-se necessrio uma padronizao das letras, que representam as funes e que so utilizadas nas demonstraes, com o intuito de facilitar a leitura de modo que o leitor no se perca.

Inicialmente, apresento consideraes sobre Derivada e Funo Composta, para posteriormente abordar a derivada de funo composta. Ou como alguns autores trazem: "Regra da Cadeia para Derivao de Funo Composta" (Guidorizzi, 2001, p. 171) ou ainda "Derivadas de funes compostas: A Regra da Cadeia" (Santos e Bianchini, 2002, p. 177).

2.Derivada

Alguns autores de Clculo I (Flemming, 1992, Swokowski, 1994, dentre outros), e sites, apresentam a seguinte definio para derivada em um ponto: A derivada de uma funo no ponto de seu domnio, denotado por , o limite dado pela seguinte frmula , se este limite existir.

Outros autores (Santos e Bianchini, 2002, Anton, 2000a, Guidorizzi, 2001, dentre outros) trazem outra frmula para expressar a definio de derivada, , que equivalente a anterior se considerarmos , e quando temos que .

Apesar de serem equivalentes, essas frmulas trazem abordagens distintas, dependendo do curso ao qual destinado o livro. Isso fica evidente quando o mesmo autor, Guidorizzi, ao escrever para o curso de Matemtica (GUIDORIZZI, 2001) e para o curso de Administrao (GUIDORIZZI, 2002) apresenta diferentes frmulas para cursos distintos.

Para o curso de Administrao, Guidorizzi (2002) introduz derivada da seguinte maneira: "A derivada da funo a funo dada por ." (Guidorizzi, 2002, p. 114). Podemos observar aqui, que para o curso de Administrao ele no traz derivada num ponto, mas funo derivada e ainda explica que esta frmula tambm pode ser escrita da seguinte forma:

, onde .

Pode-se observar que o autor se utiliza da notao de Leibnitz, e no por acaso, pois ao se referir taxa de variao ele tem a seguinte explicao:

Para suficientemente pequeno aproximadamente a taxa mdia de variao de y entre x e , ou seja, que equivalente a . O que significa que no nvel de x, uma estimativa para a variao em y, correspondente variao em x, com suficientemente pequeno. (GUIDORIZZI, 2002, p. 135)

Para explicar diferencial, para o curso de Administrao, o autor se utiliza da notao de Leibnitz, , mas diz que "h uma tentao muito grande de olhar esta notao como um quociente" (GUIDORIZZI, 2002, p. 135). Embora essa notao no seja um quociente, o autor argumenta que os matemticos gostariam de olh-la como um quociente e ento criaram uma funo usando como variveis as notaes dx e dy, e chamaram-na de diferencial. Assim, , que a notao de Leibnitz para derivada, poderia ser vista como quociente. Isto ,

se queremos que a notao vire um quociente, nada mais natural do que a seguinte definio: Diferencial de uma funo: Seja uma funo derivvel. A funo dada por denomina-se diferencial da funo . Nesta funo, a varivel dy depende das variveis x e dx. Leibnitz chamava dy de diferencial de y e dx de diferencial de x. (...) Com esta definio, a notao de Leibnitz para a derivada pode ser olhada como um quociente: o quociente da diferencial de y pela diferencial de x. Dessa forma, os matemticos conseguiram fazer a notao virar um quociente! (GUIDORIZZI, 2002, p. 135).

Para o curso de Matemtica, Guidorizzi (2001) apresenta a frmula , dizendo que um limite que ocorre de modo natural tanto na geometria quanto na fsica. E a partir de uma interpretao geomtrica, acerca da reta tangente e seu coeficiente angular, Guidorizzi (2001) defini derivada de uma funo, erro de aproximao por uma reta tangente e diferencial.

Uma interpretao geomtrica da definio de derivada num ponto, que pode ser vista nos grficos da Figura 1, a inclinao da reta tangente que passa pelo ponto .Figura 1 - Interpretao Geomtrica da Derivada num ponto.

Pelo grfico, a inclinao da reta secante S, ou coeficiente angular de S dado pela , onde e .

Se mantivermos o ponto P fixo e movermos o ponto Q em direo ao ponto P, ento a inclinao de S se modificar. medida que o ponto Q, dinamicamente, aproxima-se do ponto P, a inclinao da reta S varia cada vez menos, ou seja, a taxa de variao, entre e , tende para um valor constante que chamamos inclinao da reta tangente curva no ponto P. Assim se denominarmos m como sendo essa inclinao ento e a essa inclinao denominamos derivada da funo no ponto .

At aqui apresentamos a definio de derivada em um ponto. Generalizando, podemos dizer que uma funo f uma funo derivvel, ou diferencivel, se for derivvel em cada ponto de seu domnio. Lembrando, que neste caso, a funo necessariamente contnua.

Ao observarmos o grfico de uma funo diferencivel, localmente parece uma linha reta, no entanto, apesar de no ser uma linha reta, sua variao da reta to pequena que no poderia ser detectado a olho nu, como podemos observar na Figura 2.

Figura 2 - Aproximao pela reta Tangente

A essa reta que pensamos ver ao observarmos bem de perto o grfico da funo em tem coeficiente angular igual derivada , de modo que essa equao . Pelo fato do grfico parecer uma linha reta significa que uma boa aproximao de . Isto , para valores prximos a , a aproximao de pela reta tangente . A expresso chamada de linearizao local de f prximo de . Assim o erro nesta aproximao definido por .

Alguns autores (Guidorizzi, 2001, Hughes-Hallet et al., 2004, Anton, 2000b, FINNEY et al., 2002) apresentam uma interpretao geomtrica para este erro , ou erro na aproximao, que se comete na aproximao de f pela reta tangente T em , como podemos observar no grfico da Figura 3.Figura 3 - Erro de Aproximao

Podemos notar que o incremento de y, , diferente do diferencial de y, . Para observamos essa diferena devemos atribuir s variveis (incremento de x) e (diferencial de x) o mesmo valor. Assim, para , temos .

Desta forma, ao dividimos por , obtemos . O primeiro membro desta igualdade, , representa a inclinao da reta secante S, e a primeira parcela do segundo membro, , a inclinao da reta tangente T, assim se provarmos que a segunda parcela do segundo membro, , tende a zero, podemos dizer que a inclinao da reta secante tende para a inclinao da reta tangente. Para isso chamaremos .

Assim, devemos mostrar que .

Lembremos que , onde , e .

Assim pode ser reescrito da seguinte forma:

, isto , .

Da,

Notemos que uma funo que depende de x e se definirmos , ento essa funo ser contnua em , pois . Isto ,

Este resultado, que pode ser encontrado em Guidorizzi (2001), Hughes-Hallet et al (2004) e Anton, (2000a), ser necessrio para a demonstrao da Regra da Cadeia posteriormente.

3.Funo Composta

Assim como operamos com nmeros (adio, subtrao, multiplicao e diviso) podemos operar com funes , cujo domnio a interseco das funes dadas. Uma outra operao com funo, distinta das quatro anteriores, a composio de funo. Ou seja, dada duas funes h e g, a funo composta de h com g, denotada por , definida por .

Pode-se observar pelo esquema ilustrado na Figura 4 que essa composio uma nova funo, isto , e que o domnio da funo f igual ao domnio da funo g, , desde que .

Figura 4 - Esquema de Composio de Funo

Alguns autores, dentre eles Hughes-Hallet et al. (2004), Anton (2000a) e Moise (1977), coloquialmente, interpretam funo composta como uma "funo de uma funo" (Hughes-Hallet et al., 2004, p. 15), ou "funo de dentro" (funo g) e "funo de fora" (funo h) (ANTON, 2000a, p. 51, Moise, 1977, p. 148).

A ordem na qual as funes so compostas pode fazer diferena no resultado final, pois para a composio de funo nem sempre vale a propriedade comutativa. As composies de funes podem, tambm, ser definidas para trs ou mais funes, por exemplo, . Anton (2000a) sugere um procedimento para decomposio de funo, isto , dada uma funo composta , achar as funes componentes e , mais simples, que compem a funo dada.

Graficamente, podemos indagar qual seria o grfico da funo composta dada a partir dos grficos das funes componentes e . Na Figura 5 so dados os grficos das funes e , respectivamente, ento como obter o grfico da funo ?Figura 5 - Grficos das Funes Componentes e , respectivamente.

Uma maneira de pensarmos o grfico da funo composta , a partir dos grficos das funes componentes, pode ser encontrada no site http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/0/compositions.6/index.html.

Considere os grficos de g, h e funo identidade () num mesmo plano cartesiano. A partir de um ponto do domnio da funo g, e sua imagem, , marcar o ponto no grfico de g. Traar a reta at interceptar a funo identidade, e portanto, o ponto a interseco desta reta com a identidade, e com essa abscissa , definir sua imagem por h, isto , , determinando assim o ponto . Trace a reta at interceptar a reta , obtendo assim o ponto . Tomando o ponto , o conjunto de pontos formaria o grfico da funo .

Obtendo assim o grfico da funo composta f a partir dos grficos das funes componentes g e h. Podemos visualizar esse raciocnio no grfico da Figura 6.

Figura 6 - Raciocnio para obteno do grfico da funo composta f, a partir do grfico de suas funes componentes g e h.

Podemos observar at aqui, que diferentes autores abordam a funo composta de forma algbrica ou na forma de um esquema como visto a Figura 4. Nenhum autor, dentre os que pesquisei, aborda um raciocnio grfico ou geomtrico. Apenas um site, que envolve uma tecnologia dinmica, foi possvel observar uma abordagem que fosse possvel compreender como obtido o grfico de uma funo composta a partir dos grficos de suas funes componentes, como pode ser visualizado nos grficos da Figura 6.

Penso que essa abordagem grfica uma alternativa abordagem unicamente algbrica apresentada nos diversos livros de Clculo.

Concluindo os temas Derivada e Funo Composta, passo agora, a apresentar e discutir o enunciado e demonstrao do Teorema da Regra da Cadeia, como , geralmente, encontrado nos livros de diversos autores de Clculo.

4.Regra da Cadeia

Swokowski (1994) e Lang (1965) argumentam que as regras de derivao, da soma, da diferena, do produto e do quociente se aplicam a uma gama limitada de funes, pois s podem ser usadas para derivar funes que envolvem , , etc. e que no h uma regra, dentre essas, que possa ser aplicada diretamente s expresses como ou . Para essas funes seriam necessrias algumas transformaes, por exemplo, funo seria transformada em e ento seria aplicado a regra do produto.

Isto ,

Dessa forma os autores buscam motivar o aluno a procurar um mtodo mais direto para achar a derivada de e tambm nos casos em que no possvel fazer essa transformao, por exemplo, . "A chave consiste em encarar y como uma funo composta de x." (Swokowski, 1994, p. 174).

Hughes-Hallet et al (2004) descrevem a funo composta , com h sendo a "funo de fora" e g a "funo de dentro" e escrevem e , logo , e apesar de no demonstraram a Regra da Cadeia formalmente, enunciam-na a partir de pequenas variaes, isto , "uma pequena variao em x, digamos , gera uma pequena variao em z, , que por sua vez, gera uma pequena variao em y, . Se e forem diferentes de zero, temos ." (Hughes-Hallet et al., 2004, p. 106). Para esses autores, como , ento, no limite, quando , e ficam cada vez menores, temos a Regra da Cadeia . Ainda, como , e , fazendo as devidas substituies temos . "Em palavras: A derivada de uma funo composta o produto das derivadas das funes "de fora" e "de dentro". A derivada da funo "de fora" tem de ser calculada na "funo de dentro"." (Hughes-Hallet et al., 2004, p. 107).

Finney et al. (2002) tambm se referem Regra da Cadeia como Regra do Externo-Interno e traduzem em palavras, "derive a funo 'externa' h, calcule-a na funo 'interna' g(x) isolada, multiplicando-a depois pela derivada da 'funo interna'" (Finney et al., 2002, p. 181). Estes mesmos autores se referem Regra da Cadeia, quando existe mais de uma funo, como a 'Cadeia' de trs elos.

Quanto ao modo de se referir Regra da Cadeia, Guidorizzi (2002) fala de Regra em Cadeia, referindo-se ao encadeamento de derivadas. Do ingls Lang (1965) temos, The Chain Rule, significando tambm encadeamento.

Enunciados para o Teorema da Regra da Cadeia podem ser encontrados em autores como Leithold (1990), Anton (2000a), Swokowski (1994), Santos e Bianchini (2002), Flemming e Gonalves (1992), Guidorizzi (2001) e Finney et al. (2002) dentre outros. Alguns desses autores se utilizam da notao de Leibnitz e outros da notao de Newton, dependendo da convenincia para sua demonstrao. Em Anton (2000a), podemos encontrar uma explicao para este fato, pois

Quando Newton e Leibnitz publicaram independentemente as suas descobertas do Clculo, cada um usou uma notao para derivada, e, por mais de 50 anos, houve uma intensa batalha sobre qual era a melhor notao. No final, venceu a notao de Leibnitz, , pois produzia frmulas corretas de forma natural. Um bom exemplo a regra da cadeia . (ANTON, 2000a, p. 211).

Embora, Anton (2000a) refira-se a notao de Leibnitz, como sendo melhor que a de Newton, em seu enunciado da Regra da Cadeia, utiliza-se da notao de Leibnitz, porm logo em seguida argumenta que "embora til, s vezes de difcil manejo, pois envolve muitas variveis independentes." (ANTON, 2000a, p. 205). O enunciado da Regra da Cadeia aparece em Anton (2000a), porm a demonstrao s aparece no Apndice A de Anton (2000b).

Para este artigo, padronizei as letras, que representam as funes, e as notaes, utilizando, quando conveniente, a notao de Newton e em outros momentos a notao de Leibnitz. Assim temos:

Teorema: A Regra da Cadeia: Sejam e duas funes derivveis, com e consideremos a funo composta . Ento f derivvel e , para todo .

Por hiptese, existem: (pelo fato da funo g ser derivvel) e (pelo fato da funo h ser derivvel).

A tese a ser demonstrada que f derivvel e que ela pode assim ser calculada para todo , ou seja, que existe e que , para todo .

Demonstrao:Precisamos mostrar que existe o seguinte limite:

Sendo , colocamos . Ento, depende de e, quando , temos . Temos assim, e podemos escrever:

e

.

Logo, .

Suponhamos que . Ento,

(*)

Quando , temos , e utilizando a hiptese, temos:

, o que completa a prova no caso em que .

Entretanto, essa prova no geral, segundo a maioria dos autores, porque para valores arbitrariamente pequenos de poderia acontecer do acrscimo , isto , uma pequena mudana em x poderia no causar nenhuma mudana em u, o que invalida a ltima passagem de (*).

Porm, isso se verifica para um grande nmero de funes, mas no para todas. Ento, quando seria possvel que ? Se g for constante a condio acima no satisfeita. Como afirmam as autoras Flemming e Gonalves (1992), "neste caso, podemos provar a frmula facilmente. De fato, se , ento e constante. Assim, ." (Flemming e Gonalves, 1992, p. 175-176).

Mas ser que existe outro caso que isso acontea? Isso pode ocorrer se a funo no for constante? Ou apenas no caso em que a funo constante ? A no ser por essas autoras, nenhum outro autor, dentre os que pesquisei, menciona tal argumento.Uma demonstrao para o caso geral que evite a referida passagem pode ser feita, atravs de outro argumento.

Da definio de derivada , temos que: = ( se .Mas isso equivalente a dizer que , onde , quando , ou ainda que, multiplicando por , temos

.

(**)Pode-se observar que comeamos supondo que o acrscimo , mas a ltima equao (**) vlida mesmo no caso em que . A partir dela, dividindo ambos os membros por , que, com certeza no zero pela definio de derivada da funo g, temos:

e, fazendo , no limite, e j que ,

obtemos a Regra da Cadeia.

Alguns autores, como Lang (1965) e Anton (2000) apresentam esta expresso como um outro teorema, sendo mais rigorosos em termos da expresso

. (**)

Teorema: Se h for diferencivel em u e se , ento onde , quando e se .

Prova:Vamos definir

Podemos observar que esta funo a mesma que Guidorizzi (2001) apresentou quando aborda derivada e erro de aproximao pela reta tangente.

Se , tem-se que

(***)

Mas , e assim (***) pode ser escrita como

ou

Se , a expresso acima ainda vlida, logo vlida para todos os valores de . Resta mostrar que quando . Mas isso segue a partir da hiptese de que h diferencivel em u, uma vez que .Guidorizzi (2001) apresenta uma outra demonstrao para a Regra da Cadeia, que parece ser mais grfica.

Suponha derivvel em , derivvel em , com e , seja, . Vamos provar que .

Para isto consideremos a funo T (reta tangente) dada por e como ento , conforme ilustrado no grfico da Figura 7.

Figura 7 - Ilustrao da reta tangente funo dada.

Podemos observar que o grfico de T a reta tangente ao grfico de h, em , temos ou

,

(****)

onde o erro que se comete ao aproximar por e , onde .

Substituindo em (****) , e dividindo ambos os membros por , , obtemos

Aplicando o limite para a igualdade acima, temos que o primeiro membro representa a derivada da funo composta , no ponto , isto ,

No segundo membro, a primeira parte fica

Por outro lado, de , segue .

Temos .

Da,

Portanto, .

Podemos notar, que a no ser pela autoras Flemming e Gonalves (1992), os demais autores que aparecem nesta pesquisa abordam a demonstrao da Regra da Cadeia considerando o erro de aproximao da reta Tangente ao grfico da funo dada. E, dentre estes autores, apenas Guidorizzi (2001) faz uma tentativa de uma abordagem grfica para a demonstrao de Regra da Cadeia.

Outros autores (GUIDORIZZI, 2002, FINNEY et al., 2002) enunciam a Regra da Cadeia a partir da derivada de . "Se n um inteiro e , as Regras da Potenciao afirmam que . Se u uma funo derivvel de x, podemos aplicar a Regra da Cadeia, ampliando-a para a Regra da Cadeia para Potncias: " (FINNEY et al., 2002, p. 184). "Sendo f(x) derivvel, vlida a seguinte regra para a derivada de , onde um real qualquer. " (GUIDORIZZI, 2002, p. 159).

Como exemplo Guidorizzi (2002) pede para justificar o caso n = 2 e n = 3 usando a regra do produto, isto ,

Para n = 2

Assim

Para n = 3

Assim

Num exemplo, Guidorizzi (2002) pede para calcular a derivada de .

Soluo:

, segue que

E portanto,

Nosso objetivo a seguir estabelecer uma regra, denominada regra da cadeia, para a derivada da funo composta . Esta funo pode ser reescrita da seguinte forma:

e

Sabemos que e .

Pois bem, a regra da cadeia para o clculo da derivada de y em relao a x :

Observe que o clculo de realizado em cadeia: primeiro calcula-se , em seguida, calcula-se e por ltimo multiplica-se por para obter . (GUIDORIZZI, 2002, p. 160)

Assim o mesmo exemplo usando, agora, regra da cadeia fica da seguinte forma

Soluo:Precisamos desmembrar a funo em funes que saibamos derivar.

equivalente a e .

Temos e portanto , por outro lado .

Pela regra da cadeia, .

Simplificando e substituindo u por resulta que o resultado obtido no exemplo anterior.

Podemos notar, que alguns dos autores citados (Guidorizzi, 2001, Anton, 2000a, Anton, 2000b) abordam a Regra da Cadeia de uma forma algbrica bastante forma, porm tentando trazer alguns grficos na demonstrao, pois seus livros esto voltados para cursos de Matemtica. Outros autores (Leithold, 1990, Swokowski, 1994, Santos e Bianchini, 2002, Finney et al., 2002, Flemming e Gonalves, 1992) trazem uma abordagem algbrica, porm no tm a preocupao de serem to formais, procurando enfatizar a aplicabilidade, pois estes livros so adotados em cursos como Engenharia. J Guidorizzi (2002) traz uma abordagem aplicada Administrao, no tendo a preocupao com demonstrao, a no ser de modo intuitivo.

Desta forma, de acordo com o curso, onde adotado o livro, as abordagens de Regra da Cadeia e sua demonstrao so distintas. Porm, podemos observar que quando a abordagem traz uma conotao grfica, a demonstrao algbrica no fica isolada e, consequentemente, o conceito vai sendo produzido utilizando-se de vrias abordagens, no s a algbrica.4.Consideraes Finais

Este artigo tem por objetivo apresentar um levantamento que alguns autores de Clculo trazem em seus livros sobre Regra da Cadeia e discusses acerca de sua demonstrao. Foi necessrio trazer outros elementos, tais como derivada, diferencial, linearizao parcial, Funo Composta e suas representaes algbrica e grfica, para que finalmente pudssemos discutir Regra da Cadeia e sua demonstrao.

Ao fazer esse levantamento podemos notar uma forte abordagem algbrica em detrimento da abordagem grfica. Minha proposta, que foge ao escopo desde artigo, consiste em investigar como os estudantes, ao fazerem uma abordagem grfica, produzem conhecimento acerca de Regra da Cadeia, buscando uma alternativa abordagem estritamente algbrica. Apesar de no ser uma abordagem encontrada nos livros, acredito que a abordagem grfica, para Regra da Cadeia pode auxiliar no seu entendimento e sua demonstrao.

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Q

Q

((x)

(x

(y

dy

S

T

f(x)

f(x0)

x=x0 + (x

x0

y = x

Dy

Dy

P

P

(

(

(x

x0

(x

x0 + (x

x0

x0 + (x

T

T

S

S

f

f

HYPERLINK "http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/index.htm" www.cepa.if.usp.br/e-calculo/index.htm.

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