Cascas - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~pgamboa/pessoal/7641/apontamentos/03_cascas.pdf · • Cascas...

Plac

as e

Cas

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cas

Pedro V. Gamboa - 2009

Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior

CascasCascas

Placas e Cascas – 76413º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica

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• Uma casca é um corpo tridimensional com:– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial não é nula.

• Exemplos de cascas:– Reservatórios de pressão;– Asas de avião;– Tubos;– Exterior de foguetes;– Pneus;– Lâmpadas.

1. Tensões de Membrana em Cascas1. Tensões de Membrana em Cascas

superfície média

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1.1. Introdução1.1. Introdução• Consideram-se cascas finas quando a razão da sua espessura pelo

raio de curvatura é inferior a 1/20;• Cascas finas de interesse prático têm esta razão inferior a 1/1000;• A análise de cascas inclui, normalmente, duas teorias distintas:

– Teoria de membra:• Usualmente, aplica-se uma grande área da casca;• Uma membrana não resiste a momentos ou forças de corte;• Uma membrana suporta esforços de tracção ou compressão.

– Teoria de flexão:• Inclui os efeitos da flexão;• Permite ter em conta descontinuidades na distribuição de tensão numa área

limitada da placa;• Esta teoria, geralmente, engloba uma solução de membrana corrigida nas

áreas com efeitos de descontinuidade pronunciados e, por isso, permite ter em conta forças nas arestas e forças concentradas.

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1.2. Comportamento Geral de Cascas1.2. Comportamento Geral de Cascas

É importante notar que as forças de membrana são independentes da flexão e são totalmente definidas pelas condições de equilíbrio estático.Na derivação da teoria de membrana as propriedades do material não são usadas e, por isso, ela é válida para todas as cascas independentemente do material utilizado.No caso da teoria de flexão isto já não é verdade.É necessário coinsiderar alguns pressupostos cinemáticos básicos associados àdeformação de cascas finas usados na análise de pequenas deflexões.

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1.2. Comportamento Geral de CascasPressupostos:

1. A razão da espessura da casca pelo raio de curvatura da superfície média é pequena comparada com a unidade.

2. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a espessura da casca.

3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem planas e ficam normais à superfície deformada após a flexão. Isto indica que as extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis. Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento transversal pode ser omitido.

4. A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as outras componentes e pode ser desprezada.

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1.3. Resistência da Casca ao Carregamento1.3. Resistência da Casca ao Carregamento

O mecanismo de suporte de cargas das cascas não é igual ao das vigas ou das placas finas.Por exemplo, uma casca de ovo ou uma lâmpada incandescente suportam elevadas forças normais apesar da sua fragilidade (um ovo de galinha tem um raio r=20mm e uma espessura t=0,4mm – t/r=1/50).Este comportamento contrasta com o de materiais idênticos na forma de viga ou placa.Uma casca é curva e, assim, pode desenvolver forças no plano que formam a acção primária de resistência para além das forças que que existem numa viga ou numa casca.

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1.3. Resistência da Casca ao Carregamento

Para descrever o fenómeno, considere-se parte de uma casca esférica de raio r e espessura t sujeita a uma pressão uniforme p.A condição das forças verticais ser igual a zero é

ou

0sin2 200 =− rpNr πφπ

2sin20 prprN ==φ

onde N é a força no plano por unidade de circunferência.Esta relação é válida em qualquer posição na casca, uma vez que N não varia com φ.Ao contrário das placas, nas cascas o carregamento é suportado pela superfície média.

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1.4. Geometria de Cascas de Revolução1.4. Geometria de Cascas de Revolução

Considere um tipo de casca particular descrito por uma superfície de revolução: por exemplo a esfera, o cilindro ou o cone.A superfície média de uma casca de revolução é gerada pela rotação do meridiano em torno de um eixo no seu plano.Um ponto na placa é localizado pelas coordenadas θ, φ e r0 e a superfície elementar ABCD é definida por dois meridianos e dois paralelos.

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1.4. Geometria de Cascas de Revolução

Nesta descrição assume-se que os raios de curvatura principais r1 e r2 são constantes conhecidas. No caso de os raios de cuvatura não serem constantes usa-se a equação que define a forma da casca.

Os planos associados com os raios de curvatura principais r1 e r2 em qualquer ponto na superfície média da casca são o plano meridiano e o plano paralelo no ponto em questão, respectivamente.Os raios de curvatura r1 e r2 estão, assim, relacionados com os lados CD e AC.O raio principal r2 gera a superfície da casca na direcção perpendicular àdirecção da tangente da curva meridiana.Os dois raios r0 e r2 estão relacionados por

φsin20 rr =

φθφθ drLdrdrL CDAC 120 sin ===

Daqui vê-se que os comprimentos do elemento curvilíneo da casca são

Plac

as e

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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)

Nos problemas axi-simétricos com cascas de revolução não existem forças de corte e existem apenas duas forças de membrana por unidade comprimento, Nθe Nφ.As equações que governam estas forças são derivadas a partir de duas condições de equilíbrio.

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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)

Devido à condição de simetria tanto o carregamento como as forças de membrana não variam com θ.As forças externas por unidade de área são representadas pelas componentes pye pz nas direcções y e z, respectivamente.O equilíbrio na direcção z requer que se considerem as componentes em z do carregamento e as forças que actuam em cada aresta do elemento.O carregamento distribuído na direcção z na área do elemento é

φθddrrpz 10

A força que actua na aresta superior do elemento é Nφr0dθ.Desprezando os termos de ordem superior, a força na aresta inferior é também Nφr0dθ.A componente destas forças na direcção z é, assim, Nφr0dθsin(dφ/2).

Plac

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Cas

cas




Esta força é quase igual a Nφr0dθdφ/2, dando a força seguinte para a resultante das duas arestas

φθφ ddrN 0

Destas três forças, com

A força em cada um dos lados do elemento é Nθr1dφ.A resultante na direcção do raio do plano paralelo para as duas forças éNθr1dφdθ que produz na direcção z

φθφθ sin1 ddrN

0=∑ zF

tem-se

0sin 1010 =++ rrprNrN zφθφ

Plac

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Cas

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Esta expressão pode ser simplificada dividindo por r0r1 e substituindo r0 por r2sinφ.Desta forma, uma das relações básicas para cascas com carregamentos axi-simétricos é

O equilíbrio de forças na direcção da tangente meridional, na direcção y, é

( ) 0cos 0110 =+− θφφθφθφφ θφ drdrpddrNddrNdd

y

O primeiro termo representa a soma das forças normais nas arestas AC e BD.O segundo termo é a componente, na direcção y, da força radial resultante Nθr1dφdθ que actua nas faces AB e CD.O terceiro termo é a componente do carregamento.

zprN

rN

−=+21

θφ

Plac

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cas




Dividindo esta equação por dθdφ, a equação do equilíbrio das forças em y fica

Pode notar-se que outra equação de equilíbrio pode ser usada em vez desta isolando a parte da casca interceptada pelo ângulo φ.Substituindo a resultante de todas as forças externas aplicadas neste corpo livre por F e lembrando que da simetria as forças Nφ são constantes em redor da aresta, o equilibrio das forças verticais é

( ) 0110 cos rrprNrNdd

y−=− φφ θφ

0sin2 0 =+ FNr φπ φ

ou

φπφ sin2 0rFN −=

Plac

as e

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Cas

cas




Estas equações são suficientes para determinar a força de hoop Nθ e a força meridional Nφ.A partir destas forças as tensões são obtidas directamente.Valores negativos indicam tensões de compressão.Devido à liberdade de movimento na direcção z, para a casca de revolução com carregamente axi-simétrico considerada, são produzidas extensões que garantem a consistência com o campo de tensões e a compatibilidade entre as extensões e as tensões.Esta é a diferença base entre um problema de membrana da casca e um de tensão plana. Neste último é preciso aplicar a equação de compatibilidade.Também é claro que quanto a casca está sujeita a carregamentos de superfície concentrados ou tem as extremidades constrangidas a teoria da membrana não cumpre as condições de deformação em todos os lados.A solução completa precisa da teoria de flexão.

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as e

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Cas

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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)

As tensões de membrana em qualquer casca de revolução com um carregamento axi-simétrico pode ser determinado pelas equações de equilíbrio obtidas anteriormente.Em seguida alguns elementos estruturais comuns são apresentados.

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as e

Cas

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Cas

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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)

Casca EsféricaNas cascas esféricas pode considerar-se o raio médio a=r1=r2.Assim, as equações de equilíbrio ficam

apNN z−=+ θφ

φπφ 2sin2 aFN −=

O caso mais simples é uma casca esférica sujeita a uma pressão interna constante p, como um balão.Temos p=-pz, φ=90º e F=-πa2p.Como qualquer que seja a secção considerada obtém-se um corpo livre idêntico, Nφ=Nθ=N.

Plac

as e

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Cas

cas




A tensão fica

( ) tpa

atpa

tN

22/sin2 2

2

=−

−==ππ

πσ

onde t é a espessura da casca.A expansão da esfera, aplicando a Lei de Hook,

( )yxx Eνσσε −=

1

é

( )ννδ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1

2

2

Etpa

tN

tN

Ea

s

Plac

as e

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Cas

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Casca CónicaNeste caso típico o ângulo φ é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado como coordenada do meridiano.Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.Desta forma, o comprimento de um elemento meridional é ds=r1dφ e

dsdr

dd

1=φ

Também se tem

sNNsrsr === φφφ cotcos 20

Introduzindo estas relações nas equações de equilíbrio obtém-se

( ) spNsNdsd

ys −=− θ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




e

onde r0 é o raio médio na base.As cargas py e pz estão nas direcções s e radial, respectivamente.A soma das duas equações anteriores dá

A força meridional, depois da integração desta expressão, é

φφ

φ θθ

sincot

cot0

1

rpspNpsN

rN z

zzs −=−=⇔−=+

0

( ) ( )sppsNdsd

zys φcot+−=

( ) dsspps

N zys ∫ +−= φcot1

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Uma forma alternativa da primeira equação pode ser obtida usando a segunda forma da segunda equação de equilíbrio.As forças de membrana ficam

Pode ver-se que, dada uma distribuição de carregamento exterior, as tensões de hoop e meridional podem ser calculadas independentemente.

φπ sin2 0rFNs −=

φθ sin0rpN z−=

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Casca Cilíndrica CircularPara obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as equações da casca cónica colocando φ=π/2, pz=pr e o raio médio a=r0=constante.Assim, as equações acima ficam

Para um cilindro com as extremidades fechadas sujeito a uma pressão interna constante tem-se p=-pr e F=-πa2p.

aFNN xs π2

−==

apN r−=θ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




As tensões axial e de hoop ficam

Da Lei de Hooke, a extensão do raio do cilindro sujeito a estas tensões é

tpa

x 2=σ

tpa

=θσ

( ) ( )ννσσδ θ −=−= 22

2

Etpa

Ea

xc

Soluções para outros casos de interesse podem ser derivadas usando umprocedimento idêntico.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



1.7. Deformação Axi-Simétrica1.7. Deformação Axi-Simétrica

Vamos ver os deslocamentos numa casca de revolução com carregamento simétrico considerando um elemento AB com comprimento r1dφ no meridiano duma casca sem extensão.Consideremos os deslocamentos na direcção tangente ao meridiano v e os deslocamentos na direcção normal à superfície média w.Depois de sofrer extensão, AB desloca-se para A’B’.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



1.7. Deformação Axi-Simétrica

Nesta análise vamos utilizar a aproximação de deformações pequenas e desprezar termos infinitesimais de ordem superior.A deformação sofrida por um elemento de comprimento infinitesimal r1dφ pode ser considerada como sendo composta de um aumento de comprimento(dv/dφ)dφ devido aos deslocamentos tangenciais e uma redução do comprimento wdφ produzido pelo deslocamento radial.A extensão meridional εφ, a deformação total por unidade de comprimento do elemento AB, é assim

11

1rw

ddv

r−=

φεφ

A deformação de um elemento de um círculo paralelo pode ser obtida de forma similar.Pode ser mostrado que o aumento no raio r0 do círculo, produzido pelos deslocamentos v e w é vcosφ-wsinφ.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Como a circunferência do paralelo expande em proporção directa com o raio, então

( )φφεθ sincos10

wvr

−=

Relembrando que r0=r2sinφ, a extensão de hoop é

( )wvr

−= φεθ cot12

Eliminando w destas equações ficamos com a equação diferencial em v

θφ εεφφ 21cot rrvddv

−=−

As extensões estão relacionadas com as tensões de membrana pela lei de Hooke

( ) ( )φθθθφφ νσσενσσε −=−=EE11

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Usando estas relações na equação diferencial obtém-se

Pode observar-se que as deformações simétricas da casca de revolução podem ser obtidas integrando esta expressão quando as tensões de membrana são conhecidas.Colocamos

( ) ( )[ ]12211cot rrrrE

vddv νσνσφφ θφ +−+=−

Esta equação tem a solução( ) φφφφ sin

sin ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ += ∫ cdfv

( )φφφ

fvddv

=− cot

onde a constante de integração c se obtém das condições de fronteira.Conhecendo v, w pode ser facilmente calculado.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Exemplo 3.1Considere um telhado semi-esférico com apoios simples, raio a, espessura t e sujeito ao seu peso p por unidade de área.a) Determine as tensões no telhado;b) Assumindo que o telhado é feito em betão de 70mm de espessura, com densidade de 23KN/m3, e um diâmetro de 56m determine a capacidade do telhado resistir à fractura. A tensão de ruptura à compressão é σu=21Mpa e o módulo de elasticidade é E=20GPa.c) Verifique a existência de instabilidade.d) Determine os deslocamentos no telhado.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

φ , graus

tens

ão n

orm

al /

(pa/

t)


φ

θ51,1º

Plac

as e

Cas

cas

Cas

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1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)

Na flexão de cascas de revolução com carregamentos não simétricos, não estão presentes apenas as forças normais Nφ e Nθ nos lados de um elemento mas também as forças de corte Nφθ e Nθφ.O equilíbrio de momentos implica que Nθφ=Nφθ, o que acontece sempre numa casca fina.O carregamento na superfície tem componentes px, py e pz.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)

Vamos ver as forças na direcção x.A força

φθθθ ddrN

1∂∂

deve-se à variação de Nθ.A componente horizontal das forças Nθφr1dφ que actuam nas faces AB e CD do elemento faz um ângulo dθ e, por isso, têm a seguinte resultante em x

θφφφθ ddrN cos1

A diferença das forças de corte que actuam nas faces AC e BD do elemento são

θφφ

θφ θφθφ

θφ drNdddrrd

NN 0

00 −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




ou

Logo, o equilíbrio na direcção x fica

( ) φθφ

θφφ

θφφ θφ

θφθφ ddNrddr

Ndd

ddrN 00

0

∂∂

=∂∂

+

A componente da força externa éφθddrrpx 10

( ) 0cos 10110 =++∂∂

+∂∂ rrprNrNddNr xφ

φφθ

φ θφθ

θφ

À expressão do equilíbrio em y obtida na secção 1.5 é necessário adicionar a força

φθφθφ ddrN

1∂∂

devido à diferença das forças de corte nas faces AB e CD.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Uma vez que a projecção das forças de corte no eixo z desaparece, as equações de equilíbrio em y e z ficam, respectivamente,

Estas equações permitem determinar as forças de membrana numa casca de revolução com carregamento não simétrico que pode, em geral, variar com θ e φ.Da mesma forma que para os carregamentos axi-simétricos se obteram expressões para o equilíbrio de cascas esféricas, cónicas e cilíndricas, também se podem obter expressões para carregamentos não simétricos.

( ) 0cos 01110 =+−∂∂

+ rrprNrN

rNdd

yφθφ θθφ

φ

zprN

rN

−=+21

θφ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



1.9. Cascas Cilíndricas 1.9. Cascas Cilíndricas

Uma casca cilíndrica é formada por um linha recta, a geratriz, que se desloca ao longo de uma trajetória fechada paralela.Um elemento de uma casca cilíndrica está compreendido por duas geratrizes e dois planos normais ao eixo axial x, distanciadas de dx.Este elemento é posicionado pelas coordenadas x e θ.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



1.9. Cascas Cilíndricas

Vamos assumir que um carregamento não uniforme actua nesta casca cilíndrica.Neste caso, um corpo livre de um elemento da membrana contém as forças aplicadas (figura anterior).As componentes em x e θ das forças externas são px e pθ com sentido positivo no sentido positivo dos respectivos eixos.A componente normal ou radial do carregamento, pr, actua no sentido positivo para dentro.O equilíbrio de forças nas direcções x, θ e r são, respectivamente,

0=+∂∂

+∂∂ θθ

θθ θ dxrdpdxdNdxrd

xN

xxx

0=+∂∂

+∂∂ θθ

θθ

θ θθθ dxrdpdxrdNdxdN x

0=+ θθθ dxrdpdxdN r

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Dividindo estas expressões por dxrdθ obtêm-se as equações de equilíbrio para cascas cilíndricas.Assim,

θθθ

θpN

rxNx −=

∂∂

+∂∂ 1

xxx pN

rxN

−=∂∂

+∂∂

θθ1

rpN r−=θ

Estas equações também podiam ser obtidas a partir das equações gerais.Pode ver-se que estas equações são simples e que podem ser resolvidas uma de cada vez.Para um dado carregamento, Nθ é obtido da primeira equação.Nxθ e Nx são, depois, obtidas integrando as outras duas.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Então,

( )θθθ

θθ 11 fdxNr

pNx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= ∫

rpN r−=θ

onde f1(θ) e f2(θ) são funções de integração arbitrárias que dependem das condições nas arestas.Estas funções resultam da integração das derivadas parciais.

( )θθθ

21 fdxNr

pN xxx +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= ∫

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Exemplo 3.2Uma tubagem longa e cilíndrica está apoiada como mostra a figura e contém um líquido com peso específico γ.Determinar as forças de membrana nas seguintes condições:a) existem juntas de expansão nas duas extremidades;b) ambas as extremidades estão rigidamente fixas.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2. Tensões de Flexão em Cascas2. Tensões de Flexão em Cascas2.1. Introdução2.1. Introdução

• Foi visto anteriormente que a teoria de membrana não consegue fornecer soluções compatíveis com as condições reais de deformação em todas as situações.

• Também nas fronteiras e em certas partes da casca esta teoria não consegue prever o estado de tensões.

• Estas limitações são ultrapassadas pela introdução da teoria de flexão que tem em conta forças de membrana, forças de corte e momentos que actuam na estrutura da casca.

• Para desenvolver as equações diferenciais para os deslocamentos da superfície média u,v e w que definem a geometria e a cinemática da deformação procede-se da mesma forma que para as placas.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



• Primeiro derivam-se as relações básicas entre as tensões e as deformações de cascas de geometria genérica.

• A teoria de flexão completa é matematicamente intrincada e as primeiras soluções de tensões de flexão de cascas datam de 1920.

2.1. Introdução

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.2. Resultantes das Tensões na Casca2.2. Resultantes das Tensões na Casca

Para derivar uma expressão para as resultantes das tensões, isto é, as forças e momentos resultantes que representam as tensões internas, considera-se um elemento infinitesimal.Este elemento é definido por dois pares de planos normais à superfície média da casca.A origem do sistema de eixos coordenados é localizada num canto do elemento com os eixos x e y tangentes às linhas de curvatura principal e o z perpendicular à superfície média.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.2. Resultantes das Tensões na Casca

Devido à curvatura da casca, os comprimentos dos arcos afastados de uma distância z da superfície média não são apenas dsx e dsy, os comprimentos medidos na superfície média, mas sim

( ) ( )y

yy

yyx

xx

xx dsrz

rzrds

dsrz

rzrds

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− 11

onde rx e ry são os raios de curvatura principais nos planos xz e yz, respectivamente.As tensões que actuam nas faces planas do elemento são σx, σy, τxy, τxz e τyz.Se Nx representar a força normal resultante que actua na face yz por unidade de comprimento tem-se, usando o arco real,

∫− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

21

t

t yy

xyx dzdsrzdsN σ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Dividindo pela distância arbitrária dsy tem-se

Da mesma forma, podem derivar-se expressões para as outras resultantes de tensão.Assim,

( )∫∫ −−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2

2

211

t

t yx

t

ty

xx dzzkdzrzN σσ

( )( )( )( )( )( )

∫−

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−−−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

2

2

111111

t

t

xyz

yxz

xyx

yxy

xy

yx

y

x

yx

xy

y

x

dz

zkzkzkzkzkzk

QQNNNN

ττττσσ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




e

A convenção dos sinais é a mesma das placas.Destas equações pode conclui-se que, apesar de τxy=τyx, as forças de corte Nxy e Nyx e os momentos torsores Mxy e Myx não são, geralmente, iguais.Isto ocorre porque rx≠ry.No entanto, para cascas finas (são estas que nos interessam) t é pequeno em comparação com rx e ry e, por isso, z/rx e z/ry podem ser desprezados em comparação com a unidade.Neste caso Nxy=Nyx e Mxy=Myx.

( )( )( )( )

∫−⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧2

2

1111

t

t

xyx

yxy

xy

yx

yx

xy

y

x

zdz

zkzkzkzk

MMMM

ττσσ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Assim, as resultantes de tensão são descritas com as mesmas expressões das placas, isto é

∫− ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧2

2

t

t

xy

y

x

xy

y

x

zdzMMM

τσσ

∫−

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

2

2

t

t

yz

xz

xy

y

x

y

x

xy

y

x

dz

QQNNN

τττσσ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.3. Força, Momento e Deslocamento2.3. Força, Momento e Deslocamento

Para relacionar as resultantes de tensão com as deformações da casca, as tensões σx, σy e τxy têm que ser calculadas em termos das extensões.De acordo com os pressupostos, a tensão na direcção z é desprezada, σz=0.A lei de Hooke fica, então,

( ) ( ) xyxyxyyyxx GEE γτνεεν

σνεεν

σ =−−

=−−

= ;1

;1 22

Temos que determinar as extensões que aparecem nestas expressões.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.3. Força, Momento e Deslocamento

O elemento deformado da casca da figura, tem os lados mn e m’n’ rectos de acordo com o pressuposto 3.A superfície média está esticada e o lado mn está rodado em relação àconfiguração original.O alongamento unitário εx de uma fibra lf, posicionada no plano xz a uma distância z da superfície média, é dado por

f

fx l

lΔ=ε

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Aqui, Δlf é o alongamento sofrido por lf.Assim,

( ) ( ) fx

xxfxxf lrzdslzdsl −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−+=Δ−= 111 0εκ

onde εx0 representa a deformação unitária na superfície média, r’x é o raio de curvatura depois da deformação e dsx é o comprimento da fibra na superfície média.Substituindo estas equação na equação da extensão tem-se

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−′−−

−−

=xxxxx

xx rrrz

zrz

11

111 0

0

εεε

onde rx é a curvatura antes da deformação.Uma vez que temos t«rx, z/rx pode ser omitido.Por outro lado a influência de εx0 na curvatura é desprezável.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Desta forma, a expressão acima fica

onde χx representa a variação da curvatura da superfície média.O alongamento unitário em qualquer distância normal à superfície média está, assim, relacionado com o esticar da superfície média e a mudança da curvatura associada à deformação.Para a direcção y obtém-se uma expressão idêntica

xxxx

xx zrr

z χεεε −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′

−= 0011

Falta determinar a distribuição da extensão de corte γxy.

yyyy

yy zrr

z χεεε −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−′

−= 0011

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Considera-se γxy0 a extensão de corte na superfície média.Devido à rotação da aresta AB em torno do eixo x e γxy0, e referindo à equação das placas

tem-sexyxyxy zχγγ 20 −=

Aqui, χxy designa a torção da superfície média.Isto representa o efeito da rotação dos elementos da casca em torno da normal àsuperfície média.

xyxy zκγ 2−=

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Finalmente, desprezando os termos z/rx e z/ry, como anteriormente, e substituindo as tensões nas expressões das resultantes de tensão obtém-se

Substituindo estes resultados nas equações das tensões tem-se

( )[ ]yxyxx zE νχχνεεν

σ −−+−

= 0021

( )[ ]xyxyy zE νχχνεεν

σ −−+−

= 0021

( )xyxyxy zG χγτ 20 −=

( )0021 yxxEtN νεεν

+−

=

( )0021 xyyEtN νεεν

+−

=

( ) 012 xyyxxyEtNN γν+

==

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




D=Et3/[12(1-ν2)] define a rigidez de flexão da casca, à semelhança do obtido para a placa.Estas equações são as equações constitutivas para cascas.Nas condições em que a flexão pode ser desprezada, a análise das tensões simplifica-se bastante uma vez que Mx, My e Mxy=Myx desaparecem.O que sobra são as forças de membrana Nx, Ny e Nxy=Nyx.

e

( )yxx DM νχχ −−=

( )xyy DM νχχ −−=

( ) xyyxxy DMM χν−−== 1

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.4. Tensões Compostas nas Cascas2.4. Tensões Compostas nas Cascas

Estamos, agora, em condições para escrever as tensões compostas numa casca produzidas por forças e momentos.Para isso, substitui-se as extensões e deformações obtidas das equações das resultantes de tensão nas equações das tensões, o que dá

312tzM

tN xx

x +=σ

Os primeiros termos nestas expressões representam as tensões de membrana e os segundos as tensões de flexão.Pode observar-se que a distribuição das componentes da tensão σx, σy e τxy na espessura é linear.

3

12tzM

tN yy

x +=σ

3

12tzM

tN xyxy

xy +=τ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.4. Tensões Compostas nas Cascas

Também pode ser verificado, à semelhança das placas, que as tensões de corte vertical têm uma distribuição parabólica.

Estes valores são pequenos quando comparados com as outras tensões planas, tal como eram no caso da placa.Pode concluir-se que as relações de tensão fundamentais são idênticas para as vigas, as placas e as cascas.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2412

3tz

tQx

xzτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2412

3tz

tQy

yzτ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)

Tubos, tanques e outros contentores sugeitos a pressão interna são alguns exemplos de cascas cilíndricas com carregamentos axi-simétricos.Devido à simetria, um elemento cortado de um cilindro de raio a terá as resultantes de tensão Nθ, Mθ, Nx e Qx.A força e o momento em torno da circunferência, Nθ e Mθ, não variam com θ.Assim, o deslocamento na circunferência v desaparece e só é necessário considerar os deslocamentos em x e y, u e w, respectivamente.Desta forma, apenas três das seis equações de equilíbrio do elemento da casca têm que ser satisfeitas.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)

Supondo que o carregamento externo é como mostrado na figura, os equilíbrios nas direcções x e z resultam em

0=⋅⋅+⋅ dxadpaddxdxdN

xx θθ

0=⋅⋅+⋅+⋅ θθθ θ addxpddxNaddxdxdQ

rx

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




O equilíbrio de momentos em torno de y é dado por

0=⋅⋅−⋅ dxadQaddxdxdM

xx θθ

0=+ xx p

dxdN

Dividindo todas as equações por dx.adθ obtém-se

01=++ r

x pNadx

dQθ

0=− xx Q

dxdM

É interessante notar que a última equação é a relação básica das vigas: a força de corte é a primeira derivada do momento flector.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Da primeira equação a força axial Nx é

cdxpN xx +−= ∫onde c é uma constante de integração.Pode ver-se que as incógnitas Qx, Nθ e Mx não podem ser determinadas das duas últimas equações e, por isso, é necessário examinar os deslocamentos da superfície média.Uma vez que v=0, as relações extensão-deslocamento são, da simetria,

dxdu

x =ε

( )aw

adaddwa

−=−−

=θ

θθεθ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Aplicando a lei de Hooke, tem-se

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=+

−=

aw

dxduEtEtN xx ν

ννεε

ν θ 22 11de onde se tira

02

2

=dywd

awN

Etdxdu

x νν+

−=

21

Logo, da lei de Hooke

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=+

−=

dxdu

awEtEtN x ν

ννεε

ν θθ 22 11

As relações entre momento flector e deslocamentos são as mesmas que para um plano dobrado numa superfície cilíndrica.Assim, como,

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




tem-se

xx MMdxwdDM νθ =−= 2

2

onde D é a rigidez de flexão da casca.Usando as duas últimas equações de equilíbrio e eliminando Qx obtém-se

Finalmente, quando esta expressão é combinada com as equações anteriores, tem-se

012

2

=++ rx pNadx

Mdθ

011

1 2

22

2

2

2

=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− rx p

awN

EtawEt

adxwdD

dxd ννν

ν

024

4

=−−+ rx pNa

waEt

dxwdD ν

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Uma forma mais conveniente desta expressão é

onde

e o parâmetro geométrico β tem dimensão L-1.Esta equação juntamente com a equação de du/dx representam as condições de deslocamento que governam uma casca cilíndrica com carregamento simétrico.Quando não existe carga axial, Nx=0, estas equações ficam

( )22

2

24 13

4 taDaEt νβ −

==

Dp

aDNw

dxwd rx =−+

νβ 44

4

4

Dpw

dxwd r=+ 44

4

4β

aw

dxdu ν=

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




A primeira equação dá u depois da integração.A segunda é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes.Ela também representa a equação de uma viga com rigidez de flexão D, sobre apoios elásticos e sujeita a um carregamento pr.A solução homogénia desta equação é dada por

em que c1, c2, c3 e c4 são constantes e m1, m2, m3 e m4 são raízes da expressão

xmxmxmxmh ececececw 4321

4321 +++=

04 44 =+ βm

Esta expressão pode ser escrita, somando e subtraindo 4m2β2, como

( ) 042 22222 =−+ ββ mm

Daqui

ββ mm 22 22 ±=+

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




cuja solução é

Daqui segue-se que

( ) ( )xixixxixixh ececeececew ββββββ −−− +++= 4321

Se f(x) representar a solução particular wp, a solução geral da equação em causa é

onde C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração arbitrárias, obtidas com base nas condições de fronteira.Pode notar-se que os resultados da teoria de membrana podem ser sempre considerados como as soluções particulares das equações da teoria de flexão.

( )im ±±= 1β

( ) ( ) ( )xfxCxCexCxCew xx ++++= − ββββ ββ sincossincos 4321

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)

Consideremos um problema de flexão de um cilindro com o comprimento muito grande comparado com o diâmetro, um cilindro infinito, sujeito a uma carga Puniformemente distribuída ao longo da secção circular.Uma vez que não existe pressão pr distribuída sobre a superfície da casca Nx=0 e f(x)=0.A solução deste problema fica

( ) ( )xCxCexCxCew xx ββββ ββ sincossincos 4321 +++= −

Devido à simetria da casca, as condições de fronteira para a metade direita são deduzidas do facto de quando x→∞, a deflexão e todas as derivadas de w com respeito a x desaparecem.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)

Como Nx=0

aEtwN −=θ

Estas condições são cumpridas quando C3=C4=0.Assim

( )xCxCew x βββ sincos 21 += −

e

3

3

2

2

2

2

dxwdD

dxdMQ

dxwdDM

dxwdDM x

xx −==−=−= νθ

As condições aplicáveis imediatamente à direita da carga são

023

3

=−=−=dxdwp

dxwdDQx

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




DpCC 321 8β

==

A primeira condição indica que cada metade do cilindro suporta metade da carga externa.A segunda condição indica que o declive do deslocamento é zero ao centro do cilindro devido à simetria.Introduzindo estas condições na equação do deslocamento, com x=0, obtém-se

O deslocamento fica

( )xxD

pewx

βββ

β

cossin8 3 +=

−

Ou, noutra forma,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−

4sin2

8 3πβ

β

β

xD

pewx

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ′−=

=″−=′==

″−=′=−=

′−==

+=

−

−

−

−

41

'''132234

1223

12

1

14

12

121cos

211sincos

21sin

sincos

fxf

fffxexf

ffxxexf

fxexf

xxexf

x

x

x

x

ββ

βββββ

βββββ

βββ

βββ

β

β

β

β

Pode observar-se que a defleção atenua com a distância como uma onda sinusoidal amortecida exponencialmente.As funções seguintes são usadas para representar de uma forma mais conveniente as expressões da deflexão e resultantes de tensão:

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




A tabela mostra valores numéricos destas funções para vários valores de βx.O termo βx é adimensional.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Substituindo a equação de w nas equações das resultantes de tensão tem-se

( )

( )

( )

( )

( )xfPQ

xfPM

xfPM

xfDa

EtPN

xfDPw

x

x

β

ββ

ν

ββ

ββ

ββ

θ

θ

4

3

3

13

13

2

4

4

8

8

−=

=

=

−=

=

As expressões são válidas para x≥0.Para a metade esquerda do cilindro, toma-se o x na direcção oposta à da figura.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




A deflexão máxima e momento máximo ocorrem em x=0:

β

ββ

4

8

max

2

3max

PM

eEtPa

DPw

=

==

Os valores máximos das tensões ocorrem em x=0 e z=t/2:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=

=

22max,

2max,

34

23

ttaP

tP

x

βνβσ

βσ

θ

que são as tensões máximas axiais e da circunferência, respectivamente.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Da tabela anterior pode ver-se que cada função diminui à medida que βxaumenta.Assim, na maior parte das aplicações de engenharia, o efeito de cargas concentradas pode ser desprezado em posições em que x>π/β.Conclui-se, desta forma, que a flexão tem um carácter local.Uma casca com comprimento L=2π/β, carregada ao meio, sofre uma deflexão máxima e um momento máximo quase iguais aos existentes numa casca longa.As equações anteriores usadas com o princípio da superposição permitem determinar a deflexão e tensões em cilindros longos sujeitos a outros tipos de carregamentos.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Exemplo 3.3Um cilindro muito longo de raio a está sujeito a um carregamento uniforme p ao longo de uma distância L.Derive uma expressão para a deflexão para um ponto arbitrário O dentro da distância L.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)

Considere-se um corpo na forma geral de uma casca de revolução sujeito a cargas rotacionais simétricas.A esfera, o cone e o cilindro circular são geometrias simples nesta categoria.Primeiro, é necessário definir o estado de tensão num ponto destas cascas, representado pelo elemento infinitesimal da figura.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




As condições de simetria indicam que apenas as resultantes Qφ, Mθ, Mφ, Nθ e Nφexistem e que as forças normais Nθ e os momentos flectores Mθ não variam com θ.A notação para os raios de curvatura é igual à usada na teoria de membrana.A derivação das equações de equilíbrio num elemento ABCD da casca éidêntica à realizada anteriormente.A condição de que a soma das forças na direcção y é igual a zero é dada por

O primeiro, segundo e quarto termos são os mesmos do caso da membrana.O terceiro termo deve-se à força de corte Qφr0dθ nas faces AC e BD do elemento.Estas faces formam um ângulo dφ entre elas.

( ) 0cos 01010 =+−− θφφθφφθφθφ φθφ drdrpddrQddrNddrNdd

y

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




A condição de equilíbrio na direcção z obtém-se da equação da membrana e adicionando a força de corte Qφr0dθ.Assim,

A equação do equilíbrio de momentos em torno de x é

( ) 0sin 01010 =+++ θφφθφ

φθφφθ φθφ drdrpddrQddddrNddrN z

( ) 0cos1100 =−− θφφφθφθφ θφφ ddrMdrdrQddrMdd

Os termos desta equação são:O primeiro é o incremento do momento Mφr0dφ:O segundo representa o momento da força de corte Qφr0dφ;O terceiro é a resultante dos momentos Mθr1dφ.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Os dois momentos Mθr1dφ que actuam nas faces AB e CD do elemento não são paralelos.As suas componentes horizontais Mθr1dφcosφ formam uma ângulo dθ entre eles resultando no último termo.Dividinto todos os termos por dθdφ obtêm-se as equações de equilíbrio.

( ) 0sin 01010 =+++ rrprQddrNrN zφθφ φ

φ

( ) 0cos1100 =−− φφ θφφ rMrrQrMdd

( ) 0cos 01010 =+−− rrprQrNrNdd

yφθφ φφ

As equações que governam as cascas de revolução comuns sujeitas a carregamentos axi-simétricos podem ser derivadas a partir destas expressões.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



Casca EsféricaNas cascas esféricas pode considerar-se que o raio da superfície média é a=r1=r2e que r0=a.sinφ.Assim, as equações de equilíbrio ficam

2.8. Casos Típicos (Cascas de Revolução)2.8. Casos Típicos (Cascas de Revolução)

( ) φφφ

φφ φθφ sinsinsinsin apQddNN z−=++

( ) 0sincossin =−− φφφφ φθφ aQMMdd

( ) φφφφφ φθφ sinsincossin apQNNdd

y−=−−

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Casca CónicaNeste caso o ângulo φ é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado como coordenada do meridiano.Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.Desta forma,

As equações de equilíbrio ficamss MMNNdsdrsr ==== φφφφ 12 cot

( ) φφθ cotcot spsQdsdN zs −=+

( ) 0=+− θMsQsMdsd

ss

( ) spNsNdsd

ys −=− θ

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Casca CilíndricaPara obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as equações da casca cónica colocando s=x=r2tanφ, φ=π/2 e o raio médio a=r2=constante.Fazendo isto as equações ficam iguais a

Se nestas equações retirarmos os termos com forças de corte e momentos, elas ficam iguais às equações obtidas pela teoria de membrana.

0=+ xx p

dxdN

01=++ r

x pNadx

dQθ

0=− xx Q

dxdM

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.9. Elementos Finitos em Cascas2.9. Elementos Finitos em Cascas

Os factores que complicam a análise de problemas de cascas podem, geralmente, ser reduzidos a irregularidades na forma ou espessura da casca e não uniformidade na carga aplicada.Substituindo a geometria real da estrutura e a configuração da carga por aproximações de elementos finitos apropriados não se perde muito na precisão do resultado.Considere-se o caso de uma casca com espessura variável e forma arbitrária.Existem várias formas de obter uma casca equivalente que não comprometa significativamente a resposta elástica.Por exemplo, pode substituir-se a casca por uma série de elementos triangulares curvos ou planos, ou elementos finitos de outra forma, ligados nas suas arestas e cantos.Independentemente da configuração do carregamento, este é reduzido a uma série de forças concentradas ou distribuídas aplicadas a cada elemento finito.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.9. Elementos Finitos em Cascas

Quando uma casca de revolução é sujeita a uma carga não uniforme, a forma de elemento finito usual é substituir um elemento da casca por dois elementos planos, um sujeito às resultantes de forças directas e o outro sujeito às resultantes de momentos.A carga aplicada pode ser convertida em forças uniformes ou concentradas que também actuam nos elementos.Os efeitos no plano e os de flexão podem, assim, ser analisados em separado e sobrepostos.Desta forma, um elemento de casca pode ser desenvolvido como umacombinação de um elemento de membrana e um elemento de placa com a mesma forma.A casca fica, assim, idealizada como uma montagem de elementos planos.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.9. Elementos Finitos em Cascas

Já foram propostos elementos curvos para se obterem aproximações melhoradas das cascas mas a análise na sua aplicação é mais complexa que no caso da utilização de elementos planos.No tratamento geral de cascas com carregamentos axi-simétricos que se descreverá em seguida vão ser usados elementos planos.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)

Uma casca com carregamento axi-simétrico pode ser representada por uma série de troncos de cone.Cada elemento é um anel gerado pelo segmento de recta compreendido entre dois círculos paralelos ou “nós”, i e j.A espessura pode variar de elemento para elemento.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas



2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)

Como anteriormente, o deslocamento de um ponto na superfície média éespecificado por duas componentes v e w na direcção meridional e normal, respectivamente.As relações extensão-deslocamento são dadas por

{ } ( )

( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

rdsdwdswd

rvwdsdv

s

s

φ

φφ

χχεε

ε

θ

θ

sin

sincos22

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




As relações tensão-extensão são

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θ

θ

θ

θ

χχεε

νν

νν

ν s

s

s

s

tttt

Et

MMNN

12120012200

001001

122

222

ou

[ ]{ }ε

θ

θ D

MMNN

s

s

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

onde [D] é a matriz de elasticidade da casca com carregamento axi-simétrico.

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Para cada nó são escolhidos três deslocamentos.Assim, os deslocamentos nodais são

Onde v, w e β representam o movimento axial, o movimento radial e a rotação, respectivamente.Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são

{ } [ ]{ }eNwv

f δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

Estes são determinados a partir de {δ}e e a posição s.O declive e o deslocamento são mantidos ao longo de todo o elemento.A matriz [N] é uma função da posição a definir mais à frente.

{ } { }Tjjjiiij

ie wvwv ββ

δδ

δ =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Quando se avaliam v e w nos nós i e j, podemos relacioná-los com {δ}e através de uma matriz de transformação.Por exemplo, no nó i tem-se

As expressões seguintes para {f} contêm seis constantesOs deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são

36

2543

21

sssw

sv

αααα

αα

+++=

+=

Para determinar os valores destas constantes, a coordenada s dos pontos nodais é substituída nas funções do deslocamento.

( )[ ]{ }i

i

i

i

i

i

i

wv

dsdwwv

δλβ

φφφφ

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1000cossin0sincos

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Isto vai gerar seis equações em que as únicas incógnitas são os coeficientes.Assim, pode resolver-se para α1 até α6 em termos dos deslocamentos vi, ..., wi e obter-se finalmente

onde

( )10 11 ≤≤= shss

( ) ( ) ( )( )

( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−+−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

j

j

j

i

i

i

dsdwwvdsdwwv

hsssshsssssss

wv

1211

21

2111

31

21

11

123021231000001

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Representando a matriz de 2x6 como [P] pode escrever-se

A equação das extensões ficaOs deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são

onde

[ ] [ ][ ] { } [ ][ ] [ ][ ][ ]{ } [ ]{ }eejie PPPP

wv

δδλλδλ

λ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

{ } [ ]{ } [ ][ ] [ ][ ][ ]{ }ejie BBB δλλεε ==

[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−−+−+−−

−

=

rsshrsshshs

rsshsrssrsh

Bi

φφ

φφφ

sin341sin1603222160

cos31cos231sin1001

21111

12

1

2111

31

211

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




e

A matriz de rigidez para o elemento é dada por

Aqui a área do elemento é

[ ] [ ] [ ][ ]∫=A

Te dABDBk

[ ] ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−+−+−−

=

rsshrsshshs

rshsrssrsh

Bj

φφ

φφφ

sin32sin1603122160

cos1cos23sin001

1111

12

1

1211

211

122 rhdsrdsdA ππ ==

E a matriz de rigidez fica

[ ] [ ] [ ][ ]∫=1

0 12 rdsBDBhk Te π

Plac

as e

Cas

cas

Cas

cas




Nesta equação, r tem que ser expresso em função de s antes de se proceder àintegração.Os passos 1 até 3 do processo geral da solução dos elementos finitos descrito nas placas pode ser aplicado para se obterem os deslocamentos nodais da casca.Depois determinam-se as extensões, as resultantes de tensão e as tensões com as equações descritas acima.Nas cascas de revolução com carregamento axi-simétrico, as forças “concentradas” ou “nodais” são, de facto, cargas daxi-simétricas distribuídas em torno da casca.Pode observar-se que, se apenas for desejada a solução de membrana, as grandezas χs, χθ, β, Ms e Mθ são ignoradas e as expressões aqui descritas ficam mais simplificadas.

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