Carlos Ferreira 1 O que é uma equação do 2º grau? Chama-se equação do 2º grau em x a toda a...
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Carlos Ferreira1
O que é uma equação do 2º grau?
Chama-se equação do 2º grau em x a toda a equação redutível à forma
a, b e c são números reais
Forma canónica
Carlos Ferreira2
Não te esqueças que para ser uma equação do 2º grau Se a for 0A equação é do 1º grau
Carlos Ferreira3
Qual é o valor de p de modo que a equação
Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero
seja do 2º grau?
Carlos Ferreira4
p – 1 0 p 1
Para ser do 2º grau o coeficiente de x2 tem de ser diferente de zero
logo
portanto para p 1 a equação é do 2º grau
Carlos Ferreira5
Termo independente
Termo em x
Termo em x2
Coeficiente de x2
Coeficiente de x
Carlos Ferreira6
EquaçãoCoeficiente
do termo em x2
Coeficiente do termo
em x
Termo independe
nte
Completa/Incompleta
2x2 – x + 3 = 0 2 – 1 3 Completa
5x2 + 7x = 0 5 7 0 Incompleta
– 3x2 – 2 = 0 – 3 0 – 2 Incompleta
– 8x2 = 0 – 8 0 0 Incompleta
1 13 1 x2 + x + 13 = 0 Completa
Vamos ver os coeficientes dos termos de algumas equações do 2º grau
Carlos Ferreira7
Resumindo:
As equações do 2º grau podem ser:
Completas
Carlos Ferreira8
ou
Incompletas
Carlos Ferreira9
Como resolver equações do 2º grau?
Equações incompletas
ficha síntese
PowerPoint (plataforma moodle)
Carlos Ferreira10
Vamos aprender a resolver equaçõescompletas do 2º grau
Por exemplo:
x – 3 = 16(x – 3)2 = 16 pela noção de raiz quadrada
x – 3 = 4 Atenção
Carlos Ferreira11
Obtemos a disjunção de duas condições
x – 3 = - 4x – 3 = 4
x – 3 = 4
resolvendo as duas equações obtidas
x = - 4 + 3x = 4 + 3
x = - 1x = 7
S = { -1, 7 }
Carlos Ferreira12
Vamos resolver a mesma equação usandooutro método
x2 – 6x + 9 = 16
(x – 3)2 = 16 aplico o caso notável
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
x2 – 6x – 7 = 0 igualamos a zero
a equação encontra-se na forma canónica
ax2 + bx + c = 0
Carlos Ferreira13
x2 – 6x – 7 = 0
Quando a equação se apresenta na forma
ax2 + bx + c = 0aplicamos a FÓRMULA RESOLVENTE
Carlos Ferreira14
x2 – 6x – 7 = 0
Primeiro identificamos o valor dos parâmetros a, b e c
ax2 + bx + c = 0
a = 1 b = -6
c = -7
1ATENÇÃO
AOSSINAIS
Carlos Ferreira15
Agora basta substituí-los na fórmularesolvente a = 1 b = - 6 c = -7
x = - ( )
- 6
( )2 – 4 ( ) ( )
- 6 1 1
2 ( )
-7
Os parênteses no 1 não eram necessários mas é para se lembrarem quando os parâmetros forem negativos
Carlos Ferreira16
Efectuando os cálculos
x = - (- 6 ) (- 6 )2 – 4 1 (-7 )
2 1
x = 6 642
x = 6 8
2
x = 6 + 8
2 x = 6 - 8
2
Carlos Ferreira17
x = 6 + 8
2 x = 6 - 8
2
x = 7 x = - 1 S = { -1, 7 }Como é óbvio a
solução é a mesma
Cuidado com a identificação dosparâmetros e seus sinais e com a
substituição na fórmula, o resto são cálculos
Carlos Ferreira18
Método mais indicado para resolver equações do 2º grau
Equações incompletas
ax2 = 0
Usamos a noção de raiz quadrada
Tem uma solução única nula
Carlos Ferreira19
ax2 + c = 0
Usamos a noção de raiz quadrada
Tem soluções simétricas se a e c têm sinais diferentes
É impossível se a e c têm o mesmo sinal
Carlos Ferreira20
ax2 + bx = 0
Factorizamos os termos comuns eaplicamos a lei do anulamento do produto
Tem duas soluções uma nula e
outra positiva se a e b têm sinais diferentes ou
outra negativa se a e b têm o mesmo sinal
Carlos Ferreira21
ax2 + bx + c = 0
Aplicamos a fórmula resolvente
O número de soluções dependedo valor do binómio discriminante
= b2 – 4ac
Carlos Ferreira22
Se
= b2 – 4ac > 0
a raiz quadrada de um número positivo existe, e é diferente de zero, pelo que a equação tem duas raízes reais distintas
Carlos Ferreira23
Se
= b2 – 4ac = 0
a raiz quadrada de zero é zero, pelo que a equação tem um único número real como raiz (tem uma raiz dupla)
Carlos Ferreira24
Se
= b2 – 4ac < 0
não há raízes quadradas reais de números negativos, logo a equação não tem raízes reais a equação é impossível
Carlos Ferreira25
Vamos ver se há alguma relação entre as soluções (raízes) das equações e os coeficientes a, b e c na forma canónica
Recorda que a equação
x2 – 6x – 7 = 0
tinha como solução os valores 7 e -1
Consegues ver alguma relação?
Carlos Ferreira26
Se resolveres a equação
x2 – 5x +6 = 0as soluções são 2 e 3
Consegues, agora, ver alguma relação?
Não?
Qual é o produto e a soma das raízes nas duas equações?
Carlos Ferreira27
x2 – 5x +6 = 0
P = 2 3 = 6
Agora já consegues ver a relação?
Pois é
x2 – 6x – 7 = 0
Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7
P = -1 7 = -7
S = 2 + 3 = 5 S = -1 + 7 = 6
Carlos Ferreira28
P = 2 3 =
Repara onde aparece o produto das raízes
E as somas
x2 – x = 0
Raízes 2 e 3 Raízes -1 e 7
P = -1 7 =
S = 2 + 3 = S = -1 + 7 =
6
6
- 7
– 7
5
x2 – x + = 05 6
6
Carlos Ferreira29
Portanto podemos concluir que quando a equação está na forma
O S representa a soma das raízes
x2 – Sx + P = 0
e o P representa o produto das raízes
Carlos Ferreira30
E se a equação estiver na forma canónica?
Como a 0 podemos dividir ambos osmembros da equação por a
ax2 +bx + c = 0
obtendox2 + bx + c = 0 __ __
a a
Carlos Ferreira31
Relacionando as duas expressões anteriores
obtemos
x2 + bx + c = 0 __ __ a a
x2 – Sx + P = 0
S = - b/a P = c/a
Carlos Ferreira32
Espero ter contribuído para uma melhor
compreensão sobre o conteúdo
apresentado
FIM