94

4CAPÍTULO Geometria

analítica: a circunferência

A boca do copo nos dá ideia de circunferência.

Você já estudou no Ensino Fundamental que o conjunto dos pon-

tos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo (centro) é

o que chamamos circunferência. Ela está presente em nossa vida em

quase tudo.

Veja como, na roda de um carro, podemos observar sua propriedade

fundamental: a equidistância de seus pontos ao centro.

Colocada em um sistema de eixos perpendiculares que formam

o plano cartesiano, a circunferência é vista como uma figura geomé-

trica e como tal pode ser representada algebricamente. Assim como

fizemos no capítulo anterior com o ponto e a reta, determinaremos

agora essa representação para a circunferência, estendendo nosso

estudo às suas posições relativas aos pontos e às retas do plano

cartesiano.

Antes de começarmos, vamos relembrar como se calcula a dis-

tância entre dois pontos. Para isso, junte-se a um colega e res-

pondam às questões a seguir. Se precisar, retomem esse tópico

do capítulo 3 deste volume.

a) Qual é a distância entre o ponto A(6, 7) e o ponto B(2, 4)?

b) Qual é a distância entre o ponto A(x, y) e B(a, b)?

«

A roda de um carro

lembra uma circunferência.

Tra

ton

g/S

hu

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ck/G

low

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ag

es

Giv

ag

a/S

hu

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w Images

95Capítulo 4 • Geometria analítica: a circunferência

1 Definição e equaçãoUma circunferência com centro O(a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano equidis-

tantes de O, ou seja:

d(P, O) � (     )    (     )    x a y b r� � � �2 2

0

b

a

y

x

P(x, y)

r

O(a, b)

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

(x � a)2 � (y � b)2 � r2

(equação da circunferência de centro (a, b) e raio r)

Observação: No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, ou seja, a � b � 0, a equação

da circunferência de raio r é x2 � y2 � r2 .

Equação geral da circunferênciaAo desenvolver a equação da circunferência (x � a)2 � (y � b)2 � r2 obtemos o que se chama equação

geral ou normal da circunferência:

x2 � 2ax � a2 � y2 � 2by � b2

� r2 � 0, ou seja, x2 � y2 � 2ax � 2by � (a2 � b2 � r2) � 0

É muito comum na prática que as circunferências sejam representadas por sua equação geral, como, por exemplo, a circunferência x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0. À primeira vista, essa equação não nos permite identificar nem o centro nem o raio da circunferência em questão. Precisamos, portanto, aprender a obter o raio e o centro de uma circunferência a partir de sua equação geral. Temos dois métodos que podem ser utilizados:

1o) Método de completar os quadrados

Nesse método, o objetivo é obter os quadrados perfeitos (x � a)2 e (y � b)2 a partir das informações apresentadas na equação geral.

Vejamos como ele funciona com a equação geral x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0:

• agrupam-se na equação geral os termos em x e os termos em y, isolando no outro membro o termo independente. É interessante deixar um espaço depois dos termos em x e dos termos em y, e dois espaços no outro termo:

x2 � 2x � _____ � y2 � 4y � _____ � 4 � _____ � _____

• somam-se a ambos os termos da equação valores convenientes, de modo que os termos em x e os termos em y se transformem, cada qual, em um quadrado perfeito. Na prática, usamos os espaços vagos para escrever esses números. O número que completa o quadrado perfeito em x é o quadrado da metade do coeficiente de x, se o coeficiente de x2 for 1. Assim, como o coeficiente de x é �2, metade de �2 é �1 e o quadrado de �1 é 1, somamos 1 em ambos os membros:

x2 � 2x � 1 � y2 � 4y � _____ � 4 � 1 � _____

Fique atento!Às vezes referimo-nos ao raio como sendo o segmento de reta e às vezes a sua medida, dependendo do contexto.

96 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

Exercícios resolvidos

• da mesma forma, o número que completa o quadrado perfeito em y é o quadrado da metade do coefi-

ciente de y, se o coeficiente de y2 for 1. Assim, como o coeficiente de y é 4, metade de 4 é 2 e o quadrado

de 2 é 4, somamos 4 em ambos os membros:

x2 � 2x � 1 � y2 � 4y � 4 � 4 � 1 � 4

Assim, temos os seguintes quadrados perfeitos:

x x

x

y y

y

2

2

22 1

1

4 4       

(     )

           

(  

� �

�

� � �� ��� ���

��

� � �

�   )

           

2

4 1 4

32 2

� ��� ��� � �� ��

��

Portanto, a equação x2 � y2 � 2x � 4y � 4 � 0 representa uma circunferência de centro (1, �2) e raio 3.

Observação: Se os coeficientes de x2 e y2 não forem 1, basta dividir toda a equação geral por um número

conveniente de forma a torná-los 1.

2o) Método da comparação

Nesse método, devemos comparar os coeficientes dos termos das duas equações: a equação teórica e a

equação dada:

x2 � y2 � 2ax � 2by � (a2 � b2 � r2) � x2 � y2 � 2x � 4y � 4

Dessa forma:

�2a � �2 ⇒ a � 1

�2b � 4 ⇒ b � �2

a2 � b2 � r2 � �4 ⇒ 12 � (�2)2 � r2 � �4 ⇒ 1 � 4 � r2 � �4 ⇒ r2 � 9 ⇒ r � 3 (não existe raio negativo)

Então, o centro da circunferência é (1, �2) e o raio é 3.

O método de completar quadrados é mais conveniente, pois não envolve memorização da forma teóri-

ca da equação geral e oferece a possibilidade de trabalhar da mesma forma com outras equações (não só a

da circunferência). Mas fica a seu critério a escolha do método para resolver os exercícios.

1. Determine a equação de uma circunferência com centro no ponto O(�3, 1) e raio 3.

Resolução:

Nesse caso, temos:a � �3

b � 1r � 3Usando a equação, vem:(x � a)2 � (y � b)2 � r2 ⇒ (x � 3)2 � (y � 1)2 � 32 ⇒⇒ x2 � y2 � 6x � 2y � 1 � 0Logo, a equação é (x � 3)2 � (y � 1)2 � 9 ou x2 � y2 � 6x � 2y � 1 � 0.

Fique atento!(x � 3)2 � (y � 1)2 � 9 é a equação da circunferência na forma reduzida e x2 � y2 � 6x � 2y � 1 � 0 é a equação na forma geral.

2. Determine a equação da circunferência com centro no ponto A(1, �2) e que passa pelo ponto P(2, 3).

O 2

�2

r

P

1

A

3y

x

« passo a passo: exercício 6

97Capítulo 4 • Geometria analítica: a circunferência

Resolução:

Pela figura, r � d(P, A).

Então:

d(P, A) � ( ) ( )( )( ) ( )( )2 2( )( )( )� �( )( )( )( )2 22 2� �( )( )( )( )2 2( )( )( )( ) 1 25� �1 21 25

� �� �26� �� � 26⇒� �� �r� �� �

Pela equação (x � a)2 � (y � b)2 � r2, temos:

(x � 1)2 � (y � 2)2 � 2

( )( )26 ⇒

⇒ (x � 1)2 � (y � 2)2 � 26 ⇒

⇒ x2 � y2 � 2x � 4y � 21 � 0

Logo, a equação é (x � 1)2 � ( y � 2)2 � 26 ou

x2 � y2 � 2x � 4y � 21 � 0.

Generalizando: Em uma circunferência de centro

C(a, b) e raio r seus pontos satisfazem a equação

(x � a)2 � ( y � b)2 � r2. Reciprocamente, uma

equação de variáveis x e y escrita nessa forma

representa uma circunferência de centro C(a, b)

e raio r � 0.

3. Verifique se a equação x2 � y2 � 4x � 8y � 19 � 0 representa uma circunferência.

Resolução:

Usando o processo conhecido como “completa-mento de quadrados” e lembrando quex2 � 2ax � a2 � (x � a)2, temos:

x2 � y2 � 4x � 8y � 19 � 0 ⇒

⇒ x2 � 4x � _____ � y2 � 8y � _____ �

� �19 � _____ � _____ ⇒

⇒ x x2x xx x4 4x xx x� �x xx x4 44 4x xx x� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� y y2y yy y8 1y yy y 6� �y yy y8 18 1y yy y� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� � �19� �� �4 1� 6� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

(x � 2)2 � ( y � 4)2 � 1 ⇒

⇒ (x � 2)2 � (y � 4)2 � 12

Logo, a equação inicial representa uma circunfe-

rência de centro C(2, 4) e raio 1.

4. Verifique se a equação x2 � y2 � 2x � 2y � 6 � 0

representa uma circunferência. Em caso afirmati-

vo, determine as coordenadas do centro e o raio.

Resolução:

x2 � y2 � 2x � 2y � 6 � 0 ⇒ x2 � 2x � y2 � 2y � �6 ⇒

⇒ x2 � 2x � 1 � y2 � 2y � 1 � �6 � 1 � 1 ⇒

⇒ (x � 1)2 � (y � 1)2 � �4

Como (x � 1)2 é sempre positivo ou nulo, bem

como ( y � 1)2, a soma (x � 1)2 � ( y � 1)2 nunca é

negativa; então, não há ponto que satisfaça a

relação (x � 1)2 � ( y � 1)2 � �4.

Logo, a equação x2 � y2 � 2x � 2y � 6 � 0 não

representa uma circunferência.

Devemos sempre lembrar que:

Uma equação nas variáveis x e y representa uma circunferência se, e somente se, puder ser escrita na forma:

(x � a)2 � ( y � b)2 � r2

com a � IR, b � IR, r � IR e r � 0.

5. Obtenha o raio e o centro da circunferência x2 � y2 � 6x � 4y � 12 � 0.

Resolução:

1a maneira: Método de completar quadrados

x2 � 6x � ____ � y2 � 4y � ____ �

� 12 � ____ � ____

x x y y2 2x y� �2 22 2

� �x yx y2 22 2x yx y � �6 9x yx y2 22 2x yx y� �� �x yx y2 22 22 2x yx y 4 4y � �� �� �� �� � ������ �� � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

12 9 4� �9 49 4� �� �� � ����� �� � ��

(x � 3)2 � ( y � 2)2 � 52

Portanto, a equação x2 � y2 � 6x � 4y � 12 � 0 re-presenta uma circunferência de centro (�3, 2) e raio 5.

2a maneira: Método da comparação

x2 � y2 � 2ax � 2by � (a2 � b2 � r2) �

� x2 � y2 � 6x � 4y � 12 � 0 (circunferência de

centro (a, b) e raio r)

�2a � 6 ⇒ a � �3

�2b � �4 ⇒ b � 2

a2 � b2 � r2 � �12 ⇒ (�3)2 � 22 � r2 � �12 ⇒

⇒ 9 � 4 � r2 � �12 ⇒ r2 � 25 ⇒

⇒ r � 5 (não existe raio negativo)

Então, o centro da circunferência é (�3, 2) e o raio é 5.

Ç Resolvido passo a passo

6. (UEL-PR-adaptada) Na decoração de uma escola in-fantil são usadas placas com formas de figuras geo-métricas. Uma dessas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x2 � y2 � 8x � 8y � 28 � 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em metros. Essa placa vai ser pintada usando duas cores, cuja separação é definida pela reta y � x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a esco-la vai fazer 12 dessas placas e que é necessária uma lata de tinta para pintar 3 m2 de placa, serão neces-sárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha?

a) 12

b) 24

c) 26

d) 32

e) 48

98 Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência

1. Lendo e compreendendo

a) O que é dado no problema?

É dado o formato da placa pela equação x2 � y2 � 8x � 8y � 28 � 0; é dada a reta

( y � x) que delimita a parte vermelha da placa; é dada a quantidade de placas (12); é dada a área que uma lata de tinta cobre (3 m2).

b) O que se pede? O número necessário de latas de tinta ver-

melha para pintar as 12 placas.

2. Planejando a solução

Devemos usar a equação dada e descobrir qual é o formato da placa, bem como os elementos que definem sua localização e tamanho. Em seguida, devemos fazer a intersecção da curva que define a placa com a reta para descobrir que parte será vermelha. Sabendo que parte de cada placa será vermelha, descobrimos o total multiplicando por 12 placas e fazemos a conver-são para o número de latas de tinta.

3. Executando o que foi planejado

A equação x2 � y2 � 8x � 8y � 28 � 0 define uma circunferência. Assim, é importante deter-minarmos seu centro e raio. Faremos isso por completamento de quadrados.Agrupam-se na equação normal os termos em x e os termos em y, isolando no outro membro o termo independente. É interessante deixar um espaço depois dos termos em x e dos termos em y, e dois espaços no outro termo:x2

� 8x � ____ � y2 � 8y � ____ � �28 � ____ � ____

Somam-se a ambos os termos da equação va-lores convenientes de modo que os termos em x e os termos em y se transformem, cada qual, em um quadrado perfeito. O número que com-pleta o quadrado perfeito em x é o quadrado da metade do coeficiente de x, pois o coeficiente de x2 é 1. Assim, como o coeficiente de x é �8, a metade de �8 é �4 e o quadrado de �4 é 16, somamos 16 a ambos os membros:x2 � 8x � 16 � y2 � 8y � _____ � �28 � 16 � _____

Da mesma forma, o número que completa o quadrado perfeito em y é o quadrado da metade do coeficiente de y, pois o coeficiente de y2 é 1. Assim, como o coeficiente de y é �8, a metade de �8 é �4 e o quadrado de �4 é 16, somamos 16 a ambos os membros:x2 � 8x � 16 � y2 � 8y � 16 � �28 � 16 � 16

Assim, temos os seguintes quadrados perfeitos:

x x y y2 2x xx x8 1x xx x2 22 26 8y yy y2 22 2 16 28x xx x2 2x x8 18 1x xx x2 22 22 2x xx x 6 86 8y yy y2 22 2y yy y � �16 �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

16 16

( 4) (2) () (

� �16

� �( 4) () () () (

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

x y( 4( 4) () (� �( 4( 4) () () () ( 4) 22 22� �4)2 22 2

Portanto, a equação x2 � y2 � 8x � 8y � 28 � 0 representa uma circunferência de centro (4, 4) e raio 2. E a equação x2 � y2 � 8x � 8y � 28 � 0 representa toda a região interna à circunferência de centro (4, 4) e raio 2, incluindo a própria cir-cunferência.Um método alternativo para obter o centro e o raio é por comparação da equação normal dada com a equação normal genérica.�2a � �8 ⇒ a � 4

�2b � �8 ⇒ b � 4

a2 � b2 � r2 � 28 ⇒ 42 � 42 � r2 � 28 ⇒

⇒ 16 � 16 � r2 � 28 ⇒ r2 � 4 ⇒ r � 2Então o centro da circunferência é (4, 4) e o raio é 2.A reta y � x intersecta a circunferência, delimi-tando uma região que será pintada de vermelho e outra que será pintada de verde. Devemos notar que o centro da circunferência pertence à reta y � x, pois, no centro, x � 4 e y � 4, respeitando a equação y � x. E, se o centro pertence à reta dada, essa reta passa por um diâmetro da placa, dividindo-a em duas semicircunferências exatas, uma cuja área in-terna será vermelha e outra verde.Dessa forma, teremos 12 semicírculos vermelhos, equivalentes a 6 círculos. A área de cada círculo é A � �r2, de forma que a área total a ser pin-tada de vermelho será A � 6(�22) � 24� m2.

Como cada lata de tinta cobre 3 m2, então para

pintar os 24� m2 precisamos de 24

3

� � 8� latas.

Usando � � 3,14, obtemos o valor de 25,12 latas. Assim, o mínimo necessário será 26 latas.

4. Emitindo a resposta

A resposta é a alternativa c.

5. Ampliando o problema

a) Suponha que entre a parte vermelha e a ver-de será pintada uma faixa branca de 1 cm de largura. Qual será a área total de tinta bran-ca nas 12 placas em m2?

b) Discussão em equipe

Quando se fala em decoração, frequentemen-te entra-se no campo da arte, mais especifi-camente no campo da pintura de quadros.

Discuta com seus colegas o que, na opinião de cada um, faz determinados quadros terem alto valor de mercado, isto é, quando postos em leilão, as pessoas aceitam pagar por eles incrí-veis somas em dinheiro. Por exemplo, em 2004, o quadro Garçon à la pipe, de Pablo Picasso, foi vendido por 104,1 milhões de dólares.

99Capítulo 4 • Geometria analítica: a circunferência

1. Dê as coordenadas do centro e o raio das circunfe-rências representadas pelas equações:a) (x � 5)2 � (y � 4)2 � 1

b) (x � 2)2 � (y � 6)2 � 5

c) (x � 2)2 � y2 � 4

d) (x � 3)2 � (y � 1)2 � 16

e) x2 � (y � 4)2 � 1

f ) x2 � y2 � 10

2. Determine uma equação da circunferência que tem:a) centro em C(2, 5) e raio 3;

b) centro em M(�1, �4) e raio 2 ;

c) centro em Q(0, �2) e raio 4;

d) centro em D(4, 0) e raio 5.

3. Obtenha o raio e o centro das circunferências a seguir.a) 2x2 � 2y2 � 8x � 12y � 6 � 0

b) x2 � y2 � 6x � 2y � 6 � 0

c) x2 � y2 � 4x � 8y � 16 � 0

d) x2 � y2 � 12x � 4y � 9 � 0

e) x2 � y2 � 8x � 11 � 0

f) x2 � y2 � 6x � 8y � 5 � 0

g) x2 � y2 � 4y � 0

h) x2 � y2 � 2x � 2y � 0

4. Verifique quais das equações abaixo representam circunferência:a) x2 � y2 � 8x � 6y � 1 � 0

b) x2 � y2 � xy � 4x � 6y � 3 � 0

c) 2x2 � y2 � 4x � 2y � 1 � 0

d) 3x2 � 3y2 � 12x � 15y � 6 � 0

e) 4x2 � 4y2 � 0

f) (x � 5)2 (y � 3)2 � �5

5. Verifique entre os pontos A(0, 3), B(7, 2) e C(�1, 3) quais pertencem à circunferência de equação (x � 3)2 � (y � 1)2 � 25.

6. O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(2, �5) e B(�2, �3). Se o raio dessa circunferência é 2 , determine a sua equação.

7. Verifique se a equação x2 � y2 � 2x � 2y � 2 � 0 representa uma circunferência. Em caso afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio da circunferência.

8. Uma circunferência de centro no ponto Q(2, 0) pas sa pelo ponto de encontro das retas r e s de equações x � y � 2 � 0 e x � y � 6 � 0, respectivamente. Qual é a equação dessa circunferência?

9. Os pontos A(4, �2) e B(2, 0) são as extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro C(a, b) e raio r. Determine uma equação dessa circunferência.

10. Quais são os valores que k pode assumir para que a equação x2 � y2 � 2x � 10y � 13k � 0 represente uma circunferência?

11. Determine a equação de cada circunferência abaixo:a)

0 2

O

1

1

2

3

y

x

3 4

4

b) 2

O

1

�1

�2

�3

yx3 4

�4

�5

�6

0

12. ATIVIDADE

EM DUPLA (PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunfe-rência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calculem o valor da coordenada b.

13. ATIVIDADE

EM DUPLA (FEI-SP) Quais são o centro e o raio da circun-ferência de equação x2 � y2 � 2(x � y) � 1?

14. ATIVIDADE

EM DUPLA (FGV-SP) Determinem uma equação da re-ta que passa pelo centro da circunferência de equa-ção x2 � y2 � 4x � 4y � 4 � 0 e é paralela à reta r, de equação 2x � 3y � 0.

15. ATIVIDADE

EM DUPLA (Vunesp-SP) Considerem o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à cir-cunferência de equação x2 � y2 � 6x � 4y � 12 � 0. Determinem as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado.

16. ATIVIDADE

EM DUPLA Determinem uma equação da circunferên-cia que passa pelos pontos A(5, 0), B(4, 3) e C(�4, �3).(Sugestão: chamem o centro de O(a, b) e usem o fato de que d(A, O) � d(B, O) � d(C, O) � r)

Para refletir

Dados três pontos, qual a condição para que

exista uma circunferência que passe pelos três?

ATENÇÃO!Não escreva no

seu livro!Exercícios