Capítulo 2 Sistemas Lineales - CINVESTAV Sistemas... · 2020. 5. 10. · Sistemas no homogéneos y...
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Sistemas de ecuaciones lineales y combinaciones lineales de vectores
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 2
Otra forma de representar el sistema de ecuaciones lineales (2)
n
n
n
m m mmn
aa a b
a a a bx x x
a a ba
1 2 1 2
1 1 2 2
Sea un vector es una combinacion lineal de
vectores , ,..., en , con escalares , ,..., tal que
... =
m
m
n n
n n
v k
u u u k
u u u v
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Sistemas de ecuaciones lineales y combinaciones lineales de vectores
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 2
Otra forma de representar el sistema de ecuaciones lineales (2)
n
n
n
m m mmn
aa a b
a a a bx x x
a a ba
1 1 2 2 ... = n nu u u v
Entonces el sistema de ecuaciones lineales (2) y la ecuación vectorial equivalente
tienen solución si el vector columna de constantes (i.e.v.) es una combinación
lineal de las columnas de la matriz de coeficientes (i.e. familia de u’s)
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Teorema
Un sistema Ax=B de ecuaciones lineales tiene solución si y solo si Bes una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes A.
1 2 3
1 2 3
Ejemplo:
Escribir (1, 2,5) como una combinacion de vectores
(1,1,1), (1,2,3), (2, 1,1),
i.e.
, , incognitas que buscamos
v
u u u
v xu yu zu
x y z
Desarrollando,
1 1 1 2
2 1 2 1
5 1 3 1
x y z
1 2
2 2
5 3
x y z
x y z
x y z
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Ejemplo (representación de vectores como combinación lineal de un conjunto
de vectores)
1
2
3
Considerar (1, 1, 1)
(1, 3, 2)
(5, 1, 4)
u
u
u
3vectores en
1 2 3 1 2
1 3
2 3
, , son ortogonales i.e = 0
= 0
= 0
u u u u u
u u
u u
1 2 3Queremos escribir (4, 14, 9) como combinacion lineal de , y v u u u
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5 4
3 14
2 4 9
x y z
x y z
x y z
ero1 Eliminacion hacia adelante
5 4
-4 6 10
9 13
x y z
y z
y z
2 Sustitucion hacia atrasdo
•Método 1. Encontrar el sistema de ecuaciones lineales y resolver
5 4
9 13
4 6 10
x y z
y z
y z
5 4
9 13
-42 42
x y z
y z
z
1 2 3
1
4
3
3 4
z
y
x
v u u u
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Método 2. (explotando la ortogonalidad de los vectores aritmética más sencilla)
Queremos resolver
(4,14, 9) (1,1,1) (1, 3,2) (5, 1, 4) (a)x y z
1Producto punto de (a) con
(4,14, 9) (1,1,1) (1,1,1) (1,1,1)
4 14 9 (1 1 1)
9 3
3
u
x
x
x
x
Mismo para los demás productos punto. Resultado y=-4 , z=1
Podemos generalizar para esta forma de representar la combinación lineal de
Vectores cuando sabemos que son mutuamente ortogonales
n
Los otros dos sumandos son cero porque los vectores son ortogonales
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1 1 1 1 2 2 1 1... n nv u a u u a u u a u u
1 2
n
1 21 2
1 1 2 2
Teorema.
Sean , ,..., vectores mutuamente ortogonales diferentes
de cero en (i.e. 0)
Entonces para cualquier vector
...
n
i i
n
nn
n n
u u u
u u
v
v uv u v uv u u u
u u u u u u
n
1 2
1 1 2 2
1 2
Prueba
Suponer como combinacion lineal de vectores , ,...,
Entonces ... (*)
donde , ,..., o
n
n n
n
v u u u
v a u a u a u
a a a
0
1 1 1 1 2 2 1 1... n nv u a u u a u u a u u 0
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2 1 1 2 2 2 2 2... n nv u a u u a u u a u u
11
1 1
v ua
u u
0
2 1 1 2 2 2 2 2... n nv u a u u a u u a u u 0
22
2 2
v ua
u u
repetir hasta n y sustituir en (*)
1
1 1
21 2
2 2
... nn
n n
v uv uv u u u
u
v u
u u u u u
Coeficiente de Fourier
de v con respecto a ui
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Sistemas Homogéneos y no Homogéneos de Ecuaciones Lineales
• Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si y solo si el vector columna de constantes es cero. Esto es Ax=0
• Sistema siempre con solución trivial (vector cero)
• En que condiciones tiene Ax=0 otras soluciones?
2 2
11 1 12 2 1
2 2
Sistema homogeneo en forma escalonada
... 0
0
... 0 r r
n n
j j n n
rj j rn n
a x a x a x
a x a x
a x a x
, numero de ecuaciones
, numero de incognitas
r
n
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Si r = n solo solución trivial (sistema triangular)
Si r < n solución diferente de cero (debido a variables libres)
No se da el caso de r > n en forma escalonada.
De hecho, si comenzamos con mas incógnitas que ecuaciones, entonces
en forma escalonada, r < n se mantiene.
Esto se muestra en el siguiente teorema:
Teorema
El sistema homogéneo Ax=0 con más incógnitas que ecuaciones tiene al
menos una solución diferente de cero.
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Base de la solución general de un sistema homogéneo
1 2
Sea la solucion general de un sistema homogeneo 0.
| es una combinacion lineal de vectores base
Una base para es un conjunto de vectores solucion , ,...,
si cada vector solucion se
s
W Ax
W w W w
W u u u
w W
1 2
1 2 1 1 2 2
puede expresar como una com-
binacion lineal de los vectores , ,..., . Esto es, existen esca-
lares , ,..., tal que ...
s
s s s
u u u
a a a w a u a u a u
s, número de vectores de la base es igual al número de variables libres.
s, dimensión de W dim(W)=s
Si 0 , solucion cero, se define dim 0w W
¿cómo encontrar esa base?
Siguiente teorema nos lo dice
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1 2Sea , ,..., soluciones haciendo la variable libre igual
a una constante (i.e. a 1) y el resto a cero.
su u u i
1 2Entonces dim y la base es , ,..., sW s u u u
Ojo: la solución general puede tener muchas bases!!!
Este teorema nos da solo una base.
Teorema
Sea W la solución general del sistema homogéneo Ax=0.
Suponer que la forma escalonada del sistema Ax=0 tiene s variables libres
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Sistemas no homogéneos y sistema homogéneo asociado
Sea Ax=B sistema no homogéneo
Ax=0 sistema homogéneo asociado
0 0
0
0
Teorema
La solucion general de esta dada por |
donde es una solucion particular y W es la solucion general del sistema
homogeneo. En otras palabras añadimos a cada elemento de
Ax B u v w v w w W
v
v
W.
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