CAPM

Rendimiento - RiesgoDr. Marcelo A. Delfino

RendimientoRendimiento en pesos: Dividendos + Valor del capitalR$ = 18 + 15 = 33Rendimientos porcentuales:

RendimientoEl rendimiento total de un activo financiero se puede dividir en un resultado por tenencia y un resultado financiero.

Rendimiento esperadoLa media es una buena medida del rendimiento esperado cuando se tiene un gran nmero de inversiones.

Probabilidad de ocurrencia

Rendimiento esperado Escenario Rendimiento posible Probabilidad 1 50 % 0.1 2 40 0.2 3 35 0.4 4 30 0.2 5 -10 0.1 1.0 32 %

Rendimientos esperados de una carteraEs razonable asumir que los inversores elegirn entre portafolios sobre la base de su rendimiento esperado y la desviacin estndar de ese rendimiento.

Los factores de ponderacin de cada activo en la cartera equivale al porcentaje del valor total de la cartera invertidos en tal activo

xi= factor de ponderacin y

E(Rp) = X1 E(R1) + X2 E(R2) + .... + Xn E(Rn)

Varianza del rendimiento esperado Probabilidad de ocurrencia

Desviacin estndar

Riesgo de una carteraLa varianza de una cartera no es la simple combinacin de las varianzas de los activos que la integran

CovarianzaProbabilidad de ocurrencia

La covarianza mide la extensin en la cual los retornos de diferentes activos se mueven juntos. El problema que tiene la covarianza es que est expresada en unidades de la media. Se hace difcil hacer comparaciones entre covarianzas para ver si dos pares de activos estn muy o poco relacionados.

Coeficiente de correlacinEstandarizando la covarianza todos los valores de correlacin estarn comprendidos entre -1 y +1 llegando a lo que se denomina coeficiente de correlacin:

Cuanto menor sea la correlacin de los rendimientos entre los activos de un portafolio, stos se podrn combinar de manera ms eficiente para reducir el riesgo.

Correlacin y riesgoDesvo Stndar del Porfolio (%)Retorno esperado del Porfolio (%) = 11< < 1 = -1ED

Frontera Eficiente

Clculo de la frontera eficienteSe necesitan los siguientes datos de los activos:

Rendimiento esperado de cada uno de los activos

Riesgo o desviacin estndar de cada uno de los activos

Matriz de varianzas y covarianzas o matriz de correlaciones entre todos los activos.

Clculo de la frontera eficienteEl clculo de la frontera eficiente surge de resolver un problema de programacin lineal donde:

Funcin objetivo: Minimizacin del riesgo suponiendo un rendimiento dado E(RP)

Incgnitas a resolver: Determinacin de las proporciones (Xi) de cada uno de los activos que componen el portfolio P

Sujeto a las siguientes restricciones:La sumatoria de las ponderaciones debe ser igual a 1

Programa de optimizacin de MarkowitzMinimizar

Con respecto a las participaciones: (X1, X2, X3, .Xk)

Sujeto a las restricciones:

E(Rp ) = XK E(RK) = Constante XK = 1

Cual es el perfil del cliente?RendimientoNivel de RiesgoConservadorConservadorModeradoModeradoAgresivoAgresivoModerado

Estructura del portfolioACCIONES 20%RENTA FIJA L.P. 50%RENTA FIJA C.P. 20%VISTA 10%RendimientoNivel de RiesgoConservadorConservadorModeradoModeradoAgresivoAgresivoModeradoACCIONES A. C. 20%ACCIONES 50%RENTA FIJA L.P. 25%VISTA 5%RENTA FIJA L.P. 50%RENTA FIJA C.P. 30%VISTA 20%

Conocer el perfil del inversorUn aspecto crucial en la administracin y asesoramiento de inversiones, es determinar el perfil de riesgo del inversor o lo que se conoce como el nivel de tolerancia al riesgo del inversor.

Lo que se necesita conocer es la funcin de utilidad del cliente o cual de todos los portfolios de la frontera eficiente es el ms adecuado para el inversor.

El perfil se puede determinar de por lo menos dos maneras: va cuestionario o va clculo matemtico.

El lmite del beneficio de la diversificacin

El riesgo de una cartera bien diversificada esta dado principalmente por las covarianzas entre los activos que la componen

Grfico1

0.20.20.20.2

0.1840.19009471320.19188538250.196

0.1680.18039955650.18395651660.192

0.1520.17095028520.17623847480.188

0.1360.16178998730.16876018490.184

0.120.15297058540.16155494420.18

0.1040.1445544880.15466091940.176

0.0880.13661625090.14812157170.172

0.0720.12924395540.14198591480.168

0.040.11661903790.13114877050.16

0.0240.11160645140.12657013870.156

0.0080.10762899240.12263767770.152

0.0080.10480458010.11941524190.148

0.0240.10322790320.11696153210.144

0.040.10295630140.11532562590.14

0.0560.1040.11454256850.136

0.0720.10632027090.1146298390.132

0.0880.10983624170.11558546620.128

0.1040.1144377560.11738824470.124

0.120.120.120.12

Correlation coefficient (r)

-1

0

0,3

1

WD

Standard Deviation (%)

Optimal Risky Portfolio

Hoja1

DebtEquityDE

Expected Return8%13%

Standard deviation12%20%

Covariance72

Correlation Coefficient0.3

WDWECorrelation Coefficient

-100.31

0120.00%20.00%20.00%20.00%

0.050.9518.40%19.01%19.19%19.60%

0.10.916.80%18.04%18.40%19.20%

0.150.8515.20%17.10%17.62%18.80%

0.20.813.60%16.18%16.88%18.40%

0.250.7512.00%15.30%16.16%18.00%

0.30.710.40%14.46%15.47%17.60%

0.350.658.80%13.66%14.81%17.20%

0.40.67.20%12.92%14.20%16.80%

0.50.54.00%11.66%13.11%16.00%

0.550.452.40%11.16%12.66%15.60%

0.60.40.80%10.76%12.26%15.20%

0.650.350.80%10.48%11.94%14.80%

0.70.32.40%10.32%11.70%14.40%

0.750.254.00%10.30%11.53%14.00%

0.80.25.60%10.40%11.45%13.60%

0.850.157.20%10.63%11.46%13.20%

0.90.18.80%10.98%11.56%12.80%

0.950.0510.40%11.44%11.74%12.40%

1012.00%12.00%12.00%12.00%

Hoja2

N acciones en el portfolioCantidad de Covarianzas

22

36

1090

1009,900

1,000999,000

Hoja3


El riesgo especfico de cada ttulo puede eliminarse mediante la diversificacin, pero no puede eliminarse el riesgo de mercado.

El riesgo de mercado es la covarianza media de todos los ttulos, y este marca un lmite a los beneficios de la diversificacin


Si tenemos N activos e invertimos la misma proporcin en cada uno de ellos 1/N, la varianza del portfolio es:

Entonces si N : 1/N = 0 y (N-1)/N = 1 El lmite del beneficio de la diversificacin


La contribucin de las varianzas de los activos individuales a la varianza del portfolio es 0 (primer parte de la frmula).

Sin embargo, la contribucin de las covarianzas, a medida que crece N se asemeja a la media de las covarianzas.

El riesgo individual de cada activo se puede eliminar o diversificar: riesgo no sistemtico; pero la contribucin al riesgo total provocado por las covarianzas no, riesgo sistemtico o de mercado

Esto implica que la mnima varianza se obtiene para portfolios bien diversificados y es igual a la covarianza promedio entre todos los activos de la poblacin.


Riesgo %N Activos FinancierosRiesgo No SistemticoRiesgo Sistemtico

Prima de riesgo sistemticoEl riesgo sistemtico se origina en el hecho de que existen factores macroeconmicos que afectan (hacia arriba o hacia abajo) a todas las empresas de la economa. Sin embargo, esta influencia no afecta a todas las acciones por igual

Hay empresas ms o menos sensibles que el mercado a los cambios de expectativas

Esta volatilidad relativa al mercado es el riesgo sistemtico, i.e., independiente de la empresa

Combinando activos riesgosos con libres de riesgo

Short Selling (una sola tasa)Capital Market Line

Capital Market LineRc = (1 - X) Rf + X RM

Como f = 0 c = (X2 2M )1/2. Resolviendo: X = c / M Precio del riesgoCantidad de riesgo

Contribucin al riesgo del portafolioEl riesgo de una accin incluida en un portafolio no es el riesgo de la accin por separado, sino que es el riesgo de mercado del ttulo

El riesgo de mercado del ttulo representa la contribucin marginal de un ttulo individual al riesgo de una carteraShort Selling (dos tasas)

Contribucin al riesgo del portafolioEl riesgo que aporta una accin cualquiera j al portafolio, depende de la cantidad relativa invertida en el mismo (Xj) y de su covarianza con el portafolio:

Tambin podemos medir la contribucin proporcional al riesgo del portafolio, dividiendo la contribucin proporcional por la varianza del portafolio:

Beta de la accin

El cociente entre la covarianza de los rendimientos de un activo y del portafolio, y la varianza del portafolio (jM /2M ), nos dice como reacciona la accin j a las variaciones en el rendimiento del portafolio.

Clculo del beta de la accinEl clculo del Beta se realiza va anlisis de regresin:Ri = i + i RM + i

Security Market Line (SML)Ahora tenemos una expresin simple para el rendimiento esperado de un activo o un portafolio:

Ri = Rf + i [E(RM) - Rf]

La prima por riesgo de mercado de un activo individual es una funcin de la contribucin de ste al riesgo del portafolio.

Para un activo individual mantenido en conjunto con otros activos, el nico riesgo relevante es el riesgo sistemtico, que es medido por beta.Prima de riesgo de mercado

Security Market Line (SML)Rendimiento Esperado (%)Portfolio de MercadoSecurity Market Line (SML)RmRf1Risk Premium

CAPM

Que determina el rendimiento esperado de un activo?

El rendimiento libre de riesgo (que compensa el valor tiempo del dinero)

El premio por el riesgo de mercado (que debera compensar el riesgo sistemtico

El beta del activo (que representa la medida del riesgo sistemtico presente en el activo)El Capital Asset Pricing Model (CAPM) es un modelo de valuacin de activos de capital que plantea un tradeoff entre riesgo y rendimiento. El modelo busca encontrar el precio justo de cada activo que asegure al inversor un retorno que compense el riesgo de dicho activo siempre que sea mantenido en una cartera bien diversificada.

Supuestos del CAPMEste modelo se apoya en la Teora de la Cartera de Markowitz, pero agrega los siguientes supuestos:

Los inversores eligen sus carteras sobre la base del retorno esperado y el riesgo nicamente.

Los inversores son aversos al riesgo y buscan maximizar el valor esperado de los rendimientos.

Todos los inversores tienden al mismo horizonte de decisin en cuanto a las inversiones

Supuestos del CAPMEn el mercado hay competencia perfecta, no existen costos de transaccin ni impuestos a la renta, capitales y transferencia de ttulos, todos los activos son infinitamente divisibles, la informacin es gratuita y esta al alcance de todos los inversores y estos pueden endeudarse y prestar a la misma tasa sin limitaciones.

Existe homogeneidad en las expectativas y en el conjunto de inversiones factibles

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