CAPITULOII gradiente
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INGENIERÍA ECONÓMICA
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MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• Relación prestamista - prestatario.
• Formas de pago de un préstamo.
• Pago único.
• Serie uniforme.
• Amortización constante.
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MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• Serie gradiente.
• Serie gradiente porcentual.
• Equivalencias para formas de pago.
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RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO
• Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo.
• Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo.
Elementos de un préstamo: Magnitud o monto. Valor de la tasa de interés. Plazo.
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RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO
Forma de pago. Garantía o fiador. Requisitos de capacidad de pago. Periodo de gracia: tiempo durante el cual se
pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.
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Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses.
RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO
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FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• SERIE UNIFORME:
Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.
P
A A A A A
0
1 2 3 4 n
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FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE:
El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.
A2
AnA3
P
1 2 3 n
A1
0
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FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE:
El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).
1 2 n
A1A2
An
P
3
A3
0
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FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE PORCENTUAL:
El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).
A1 A2
An
P
1 2 n0
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PAGO ÚNICO
F = P(1+i)n
P
F
1 2 n0
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PAGO ÚNICO
Demostración de la formula de valor futuro, donde:P: préstamoi: tasa de interésn: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período KTotal intereses: I = Total pagado-Total prestado
I = F-P (1)
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PAGO ÚNICOFIN DE
PERÍODOINTERESES DEL PERÍODO
SALDO AL FINALDEL PERÍODO
0 0 P1 i.P P + iP = P(1. + i)
2 i.P(1+i)P(1 + i) + iP(1 + i)= p(1 + i)2
3 IP(1 + i)2 P(1 + i)2 + iP(1 + i)2
= P(1 + i)3
-- -- ---- -- ---- -- --K -- Sk = P(1 + i)k (2)-- -- ---- -- ---- -- --n -- F = P(1 + i)n (3)
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PAGO ÚNICO
EJEMPLO:
Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?
Valor futuro: F = P(1+i)n (3)Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´)Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01
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SERIE UNIFORMEP
A A A A A
0
1 2 3 4 n
A = P * i (1+i)n (1+i)n -1
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SERIE UNIFORME
Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde:
A: cuota uniforme. ak: abono o parte de la cuota que amortiza la deuda.Ik: parte de la cuota que cubre intereses.
Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.
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SERIE UNIFORME
P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas.
Pk = A * (1+i)-k según formula (3)P = Pk por principio N°2P = A * (1+i)-k
P = A * (1+i)-k P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*)
P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)
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SERIE UNIFORME
Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A.
A = P * i (1+i)n (4) (1+i)n -1
El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n)
Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)
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SERIE UNIFORME
Despejando P de (4) tendremos:
Para las tablas:
P = A * (P/A,i,n) (4’’’)
(1+i)n - 1 i (1+i)n
P = A * (4’’)
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P
1 2
........ ...
3 4
SK
k+1 n
K PAGADAS
(n-k)
PENDIENTES
0k
A A AA A A A A
SERIE UNIFORME
Saldo o deuda:
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SERIE UNIFORME
Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes.
Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)
Sk = A (1+i)n-k -1 i (1+i)n-k (5)
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SERIE UNIFORME
En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses?
ak = Sk-1 - Sk (6)
Ik = i S(k-1) (7) Ik= A- ak
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Comportamiento del saldo (Sk) para la forma de pago serie uniforme
0 1 2 3 4 . . . nk
Sk
P
En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.
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SERIE UNIFORMEEjemplo:Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual?
Solución:P
A A A A A
0
1 2 3 24
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SERIE UNIFORME
A =1000000 0.005 (1+0.005)24
(1+0.005)24 -1= $44.320,61
•Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes.
Solución:Se debe transladar el préstamo a un periodoantes con la formula de pago único y luegoaplicamos la formula de A.
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SERIE UNIFORME
P
0
0´ 1 2 3 4 23 24
A A A A A
F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87
A = 1000000 0.005 (1+0.005)23 (1+0.005)23 -1
= $ 44.100
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SERIE UNIFORME
•Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19.
Solución: S19
$1000.000
1 2 3
.......
24
19 PAGADAS
(24-19)
019
A A A A A A A A
i:0.5%
![Page 28: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/28.jpg)
SERIE UNIFORME
S19 = 44.320,61 (1+0.005)24-19 -1 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399
• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés?
Solución:a19 = S18 – S19
S18 = 44.320,61 (1+0.005)24-18 -1 0.005 (1+0.005)6
= $261.331,35
![Page 29: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/29.jpg)
a19=$43.013,9I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66
•Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados?
Solución:
I = total de intereses pagados – total pagado
I= n A-P = $63.644,40
SERIE UNIFORME
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CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
A: Ahorro
A A A A......
F = ?
0 1 2 3 n Periodos
Interés = i
![Page 31: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/31.jpg)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Dados A, i y n se deberá calcular F.
F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme.
F = P (1+i)n aplicando (3)
Pero:(1+i)n - 1 i (1+i)n
P = A aplicando (4’’)
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CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
(1+i)n - 1 i (1+i)n
F = A * (1+i)n
Entonces:
(1+i)n - 1 i
F = A * (8)
Para el uso de tablas:
F = A * (F/A, i, n) (8´)
![Page 33: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/33.jpg)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Ejemplo:
Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años.¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?
![Page 34: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/34.jpg)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
0´ 0 1 2 59 60 meses
200.000
F = ?
i = 2% ef. mensual
![Page 35: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/35.jpg)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Solución:
F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59.F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)F59 = 200.000 (114.051539)F59 = 22’810.307,8F = F59 (1.02)1
F = (22’810.307,8) (1.02)F = 23’266.513,96F = 23’266.513,96
![Page 36: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/36.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
1 2 3 n
A2
AnA3
P
A1
0
Ak= i P +
1 - (k - 1) P n n
![Page 37: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/37.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Demostración de la formulas para amortización constante, donde:
Ak: cuota al final del periodo k.
Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.
Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:
a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)
![Page 38: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/38.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTEA1 = i P + (P/n)
Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)
S1 = P 1 - 1n
A2 = i S1 + (P/n) i P 1 - +1n
Pn
S2 = P - = P 1 - 2n
2P n
Entonces:
![Page 39: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/39.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ak = i P 1 - +(k-1) n
Pn
Sk = P 1 - kn
Ik = i P 1 -
(k-1) n
(10)
(11)
(12)
![Page 40: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/40.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?
![Page 41: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/41.jpg)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE
A3= 0.031000000 1 - +
(3 - 1) 1000000 10 10
A3=124.000
S3 = 1000000 1 - = 7000000 310
A1=0.031000000 1 - + (1- 1) 1000000 10 10
A1=130.000
Solución:
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SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
1 2 3 n
A1A2
An
P
A3
0
AK = A1 + (K - 1)*g
1)1(
11)1(
)1(1 nn
n
in
ig
iii
PA
![Page 43: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/43.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)Esta forma de pago se compone por la suma de dos Esta forma de pago se compone por la suma de dos
series, una que se comporta de manera uniforme y otra series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo.que sufre un cambio aritmético para cada periodo.
Demostración de la formula para serie gradiente, donde:g : aumento aritmético de la cuota.Ak seria:A1 = A1
A2 = A1 + gA3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g AK = A1 + (k - 1) g (en funciòn de A1) (13)
![Page 44: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/44.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes.
At=A1+Ag (14)
A1:serie parte uniforme.Ag:serie uniforme equivalente a parte
gradiente.At :serie uniforme total equivalente a la serie
gradiente original.
P
1 2 3 n-1 n
. . .
. . .
0 A1
+Ag
![Page 45: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/45.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ag se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría:
1)1(
1ng i
n
igA
Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)
(15)
![Page 46: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/46.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
De (14) tenemos: A1= At - Ag
Por tabla seria:
A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16’)
(16)
1)1(
11)1(
)1(1 nn
n
in
ig
iii
PA
![Page 47: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/47.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Para uso de tablas:
P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’)
1)1(
11)1(
)1(1 nn
n
in
igA
iii
P (17)
Partiendo de (16) se obtiene:
![Page 48: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/48.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.
P Sk = ?n - k
Pendientes 1 2 3 4 k
k-1
k pagados Ak
0
Ak + 1
An
. . .
. . .
![Page 49: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/49.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Utilizando (17) con "A1" = Ak+1
Y remplazando en (13) tenemos:
Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde
"A1" = A1 + kg
De lo anterior:
),,/(
),,/(1
kniPA
knigAggkAS k
(18)
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SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?
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Solución:
A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)
A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)
A1 =112.519
A5 = A1 + (5 - 1)*$200
A5 =112.519+ 4*$200
A5 = 912.519
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
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SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
•Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.
Solución:
P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519
)35%,30,/(
)35%,30,/(2002003519.1123
PA
gAS
S3 = 1.088,05
![Page 53: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/53.jpg)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
PARA LA SERIE GRADIENTE PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN DECRECIENTE SE UTILIZAN
LAS MISMAS FÓRMULAS QUE LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE EN LA CRECIENTE, PERO SE
REEMPLAZA REEMPLAZA gg POR POR -g-g..
![Page 54: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/54.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Ak = A1 (1+ ig)k-1
A1 A2
An
P
1 2 n-1 n
0
An-1
![Page 55: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/55.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde:ig :incremento porcentual en las cuotas.
A1 = A1 A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2
A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3
Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1) (19)
![Page 56: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/56.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:
Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k
nk
kkPP
1
pero Pk = Ak (1+i)-k
nk
k
kkg iiAP
1
11 )1()1(
Para obtener Al se debe llevar el valor de cada cuota al presente (Pk) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.
![Page 57: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/57.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Expandiendo la sumatoria:
P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)
+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*)
Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1
tendremos:
P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+
(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1 (2*)
nk
k
kkg iiAP
1
11 )1()1(
![Page 58: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/58.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
El factor del corchete solo será válido para iig, pues el denominador no puede ser cero.
n
g
g
i
i
iiPA
1
11
1 (20)
Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar
para obtener:
![Page 59: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/59.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
g
n
g
ii
i
i
AP1
11
1(20’)
iig
De la fórmula (20) podemos despejar P:
Partiendo de esta fórmula se puede hallar Sk.
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SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
P
A1 A2 Ak Ak+1
An
Sk = ? Pendientes
n-k cuotas
1 2 k k+1 n 0
k Pagadas
El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k).
![Page 61: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/61.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos:
Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde
"A1" = A1(1+ig)k
De lo anterior:
g
kn
g
kgk ii
i
i
iAS1
11
)1(1 (18)
iig
![Page 62: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/62.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.
![Page 63: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/63.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Solución:
19.303$
3.01
2.011
2.03.0000.1
51
A
A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69
![Page 64: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/64.jpg)
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
•Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?
Solución:
ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19
018,775$2.03.0
3.01
2.011
)2.01(19,303
35
33
S
![Page 65: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/65.jpg)
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
![Page 66: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/66.jpg)
Análisis de los tres intervalos.
Intervalo I:
El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P
No hay amortización: ak = 0
La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik
La cuota es inferior a los intereses generados en el período: Ak = Ik < i. Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
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Intervalo II:
El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1
No hay amortización: ak = 0
La cuota es intereses: Ik = Ak
La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
![Page 68: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/68.jpg)
Intervalo III:
El saldo es decreciente pero inferior a P:
P > Sk-1 > Sk
Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk
Los intereses contenidos en la cuota son:
Ik = Ak - ak
Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
![Page 69: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/69.jpg)
Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III:
Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización contenida en Ak será: ak = P - Sk
Recordemos que se amortiza sólo lo que abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak
No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
![Page 70: CAPITULOII gradiente](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050906/5571f98c49795991698fd69d/html5/thumbnails/70.jpg)
EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO