CAPITULO VIII : MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
-
Upload
carlos-levano -
Category
Documents
-
view
828 -
download
4
Transcript of CAPITULO VIII : MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
-Introducción
-La proyección de un movimiento armónico simple
-Elementos del Movimiento Armónico Simple
-Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
-Ley de Hooke
-Periodo de Oscilación
-Energía del Oscilador
CONTENIDOS TEMÁTICOS
INTRODUCCIÓN
Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo. Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.
Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si
en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto
del espacio siempre con las mismas características de
posición velocidad y aceleración.
LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR SOBRE UN EJE
RADIO VECTOR
Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar sobre el eje Y.
ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE
Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa.
Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones
f = 1/Tcompletas efectuadas en la unidad de tiempo.
Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio.
Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.
Frecuencia angular(): = 2ƒ
Movimiento Armónico Simple
Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
ω t + :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN
: es la fase inicial (t = 0)
x = A cos( t +)
x = A sin( t +)
Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
Si x = A sin ωt
v= dx/dt = A ω cos ωt
a= dv/dt= -A ω2 sin ωt
a = - 2 x
22 xAv
Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx
LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico.
La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación.
Fm = -k x
Periodo de las Oscilaciones
Tomando a= -x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y PERIODO son respectivamente:
El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:
Fm = m a - k x = m a
T = 2 m / kmk
ENERGIA CINETICA
Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
Ec = 1/2 k (A2 –x2 )
La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza
conservativa, porque el trabajo que realiza un
muelle no depende del camino seguido.
FUERZAS CONSERVATIVAS
Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema.
En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía.
ENERGIA POTENCIAL
Epelástica = ½ K x2
ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR ARMONICO
xdxwmFdxEB
A
B
Ap2
B
A
B
A
xmwxdxmw
2
222
22
22ab
p
xK
xKE
REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL
Se toma como referencia, energía potencial cero
aquella donde x = 0
ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
22
21
21
kxmvET
M.A.S. angular
La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:
Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio. = -K Θ
El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)
Movimiento Periódico Movimiento Armónico
POSICIÓN VERSUS TIEMPO
VELOCIDAD VERSUS TIEMPO
ACELERACION VS TIEMPO
Posición, velocidad y aceleración vs tiempo
Descripción del Movimiento Armónico Simple
M.A.S. verticalColgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio.
Fuerza recuperadora -> F=kl
En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl
k=mg/l -> f= 1/2 k/m
Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple
x = A cos (t + φ) = A cos (2ƒt + φ)x = A sen(t + β) = A sen (2ƒt + β)
Periodo del péndulo:
T = 2 L / |g|
(grado
s)
(radian
es)
Sen Diferencia (%)
0 0,0000 0,0000 0,00
2 0,0349 0,0349 0,00
5 0,0873 0,0872 0,11
10 0,1745 0,1736 0,52
15 0,2618 0,2588 1,15
20 0,3490 0,3420 2,01
25 0,4363 0,4226 3,14
EJERCICIOS
1.-Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima.
Datos Fórmulasr = 0.15 m F = 1/TT = 4 seg a) Y = r cos 2 π F ta) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F tb) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°.c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2F2 Ymáx
d) a máx= ¿
Sustitución y resultados:
F = ¼ s = 0.25 ciclos/sa) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65
radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°. cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073 Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros.
b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86° sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901. V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/s
c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/s
d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s2.
2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm,
Datos FórmulasSustitución
l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4
m/ 9.8 m/s2T = 1.27 s
F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/sg = 9.8 m/seg2.T = ¿F = ¿
GRACIAS