Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais...
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Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias 0. Introdução
Muitos fenómenos nas áreas das ciências, engenharias, economia, etc., são
modelados por equações diferenciais. Suponha-se que se quer determinar a posição
de um corpo em movimento, e que apenas se conhece a sua velocidade ou a sua
aceleração. No fundo, quer determinar-se uma função desconhecida, utilizando certos
dados, relacionados por uma equação que contém, pelo menos, uma das derivadas
dessa função. Estas equações chamam-se equações às derivadas ou equações
diferenciais.
Tal como acontece com o cálculo do integral de uma função, os métodos analíticos
para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de
problemas. Por isso recorre-se com frequência ao uso de métodos numéricos para
obter a solução de uma equação diferencial sujeita a uma dada condição.
1. Definição e conceitos básicos de equações diferenciais Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida
(incógnita) e suas derivadas.
Definição: Seja y uma função de x e n um número inteiro positivo, então uma
relação de igualdade que envolva x, y, y’, y’’,...,y(n) é chamada uma equação
diferencial ordinária (EDO).
Exemplo: 122
2
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
dxdy
dxyde y
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Se a função desconhecida depende de mais do que uma variável, as derivadas que
aparecem na equação diferencial são derivadas parciais, e a equação chama-se
equação diferencial parcial (EDP).
Exemplo: 042
2
2
2
2=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
dxyd
dtyd
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais elevada da função
incógnita presente na equação.
Exemplos:
Equação Diferencial Ordinária
Ordem
São do tipo
y’=x2+y2 1 y’=f(x,y)
5xdxdyy
dxdy3y
dxyd 5
373
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 2
y’’=f(x,y, y’)
(y’’’)4-x2(y’’)5+4xy=xex 3 y(3)=f(x,y,y’,y’’)
x3 y’=( y(4) )3 –1 4 y(4)=f(x,y,y’,y’’,y(3))
M
M M
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável
independente x é uma função y(x) que verifica a equação para todo o x.
Exemplo: )xcos(c)x(senc)x(y 2221 += (com 21 c,c constantes arbitrárias) é
solução da equação diferencial 04 =+ yy '' .
Sendo, )xcos(c)x(senc)x(y 22 21 +=
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)x(senc)xcos(c)x(y' 2222 21 −=⇒
)xcos(c)x(senc)x(y '' 2424 21 −−=⇒
substituindo na equação diferencial, vem que
( ) ( ) 02242424 2121 =++−− )xcos(c)x(senc)xcos(c)x(senc , isto é,
verificam a equação.
Uma solução particular (ou integral particular) de uma equação diferencial é
qualquer solução da mesma. A solução geral (ou integral geral) de uma equação
diferencial é o conjunto de todas as soluções.
Exemplo:
)xcos(c)x(senc)x(y 22 21 += com IRc,c ∈21 , é a solução geral da equação
diferencial 04 =+ yy '' ; enquanto )xcos()x(sen)x(y 22 += é uma solução
particular com .cc 121 ==
Um problema de valor inicial (PVI) consiste numa equação diferencial, juntamente
com condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo
valor da variável independente.
Exemplo: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==+
2)0(
0)0(04
'
''
y
yyy
PVI de 2ª ordem.
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Uma solução de um PVI é uma função y=f(x) que satisfaz a equação diferencial e
todas as condições relativas à função incógnita.
Vamos, a seguir, ver métodos numéricos para a resolução de EDO’s.
2. Métodos Numéricos para a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
Definição do problema
Neste capítulo consideraremos o problema de determinar a função y=y(x) que
satisfaz simultaneamente a equação diferencial (1ª ordem) e a condição inicial:
[ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈
ba,0 x ,0y=)0y(x(7.1)
ba, x y(x)),f(x,=(x)y'
Este é chamado um problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem.
Existência e unicidade de solução
Teorema:
Seja f definida e contínua em D={(x,y): IRyb,xa ∈≤≤ } com a e b
finitos. Seja dydf contínua e limitada em D. Então [ ] IR0y e ba,0x ∈∈∀ , o
problema (7.1) tem solução única continuamente diferenciável para [ ]ba,x ∈ . ■
Estudaremos métodos, chamados métodos de variável discreta, para resolver
problemas de valor inicial da forma (7.1).
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Assim, estes métodos determinam aproximações para a solução y(x) num conjunto
discreto de pontos x0, x1, x2, ..., da variável independente. Isto é, a solução
aproximada obtida é apresentada por uma tabela de valores
( xn, yn ), n=1,2, ...,
onde
yn ≅ y(xn).
Para obter a solução y(x) em pontos x∈[a,b] diferentes de xn (n = 0, 1, ...) pode usar-
se interpolação.
Vamos considerar apenas o caso em que o passo h é constante, tendo-se
xn+1 = xn + h = x0 + (n+1)h, n = 0, 1,....
Apresentaremos apenas métodos da classe de métodos de passo único, isto é, o valor
de yn+1 pode ser calculado se apenas yn é conhecido.
Suponhamos que o PVI (7.1) satisfaz as condições de existência e unicidade de
solução, vai tentar-se encontrar uma solução numérica para o problema.
Considerem-se m subintervalos de [a, b], (m≥1), e seja xj = x0 + jh onde m
abh −= ,
j=0,...,m e xj∈[a,b]. Ao conjunto Ih={x0,x1,...,xm} obtido da forma anterior chama-se
rede ou malha de [a,b].
O objectivo dos métodos numéricos é o cálculo das aproximações y1, y2, ..., ym para
as soluções exactas y(x1), y(x2),..., y(xm).
Notação: y(xj), j=0,...,m ⎯ solução exacta do PVI nos pontos xj∈Ih
y(xj) ≅ yj ⎯ significa que yj é aproximação para y(xj), xj∈Ih.
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2.1. Método de série de Taylor
2.1.1. Método de Taylor de 1ª ordem ( método de Euler )
O método de Euler é um método de passo único e o mais simples de todos os
métodos numéricos para problemas de valor inicial.
Consideremos então o problema definido por (7.1).
Se y é continuamente diferenciável até à segunda ordem em [a,b] e xn, xn+1∈[a,b],
então, pela fórmula de Taylor,
Donde, da equação diferencial de (7.1) e de (7.2) concluimos que
).(y2
h))y(x,h.f(x)y(x)y(x n''
2nnn1n ξ++=+
Se h é “pequeno” o termo )(y2
hn
''2
ξ será também “pequeno” e podemos escrever
O método de Euler consiste, então, em calcular recursivamente a sucessão {yj}
através das fórmulas:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=
=
+ 10,...,j ),y,h.f(xyy(7.3)
)y(xy
jjj1j
00
m.
(7.2) x xonde ),(y2
h)(xh.y)y(x)y(x 1nnnn''
2
n'
n1n .++ <<++= ξξ
)).y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+
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Exemplo
Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨⎧
=+−=
202
)(yyx'y
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler.
Resolução:
Tem-se que x0=0 e y0=2.
Além disso, 41- 50.2
01h
ab =⇒=−=−= mm .
A fórmula de recorrência será:
0,1,2,3,4.j ),y,h.f(x y y
2y
jjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=
+
( )
0,1,2,3,4.j , y-x*0.2 y y
2y
jjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=⇔
+ 2
1ª iteração
y1 = y0 + 0.2*(x0 - y0 + 2) ⇔ y1 = 2 + 0.2*(0 – 2 + 2) ⇔ y1 = 2
x1 = 0 + 0.2 = 0.2
2ª iteração
y2 = y1 + 0.2*(x1 - y1 + 2) ⇔ y2 = 2 + 0.2*(0.2 – 2 + 2) ⇔ y2 = 2.04
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
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3ª iteração
y3 = y2 + 0.2*(x2 - y2 + 2) ⇔ y3 = 2.04 + 0.2*(0.4 - 2.04 + 2) ⇔ y3 = 2.112
x3=0.4+0.2=0.6
4ª iteração
y4 = y3 + 0.2*(x3 - y3 + 2) ⇔ y4 = 2.112+0.2(0.6-2.112+2) ⇔ y4 = 2.2096
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8
5ª iteração
y5 = y4 + 0.2*(x4 - y4 +2) ⇔ y5 = 2.2096+0.2*(0.8-2.2096+2) ⇔ y5=2.3277
x5 = 0.8 + 0.2 = 1
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são
{ 2 , 2.04 , 2.112 , 2.2096 , 2.3277 }.
Erros de discretização
Supondo que se conhece exactamente o valor de y(xn), ao aproximar
introduz-se um erro, chamado erro de truncatura (ou discretização) local.
Este erro é igual a ( ) ] [1nnn''
2x,xξ ξy
2h
+∈, , e é o erro de truncatura
introduzido no passo de xn para xn+1.
Contudo, ao calcular uma aproximação para y(xn+1) pelo método de Euler (7.3), o
valor yn usado é uma aproximação para y(xn). O valor yn foi calculado usando uma
))y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+
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aproximação yn-1 para y(xn-1) e assim sucessivamente. Assim, no cálculo da
aproximação yn+1 para y(xn+1) tem-se não só o erro de discretização local
introduzido nesse passo mas também o erro resultante da acumulação de erros de
discretização local introduzido nos passos anteriores.
A ( ) nnn yxy −=e chama-se erro de truncatura (ou discretização) global.
Convergência do método de Euler
A aproximação da solução num ponto xn converge para a solução exacta nesse
ponto, y(xn), quando o passo h tende para zero, isto é,
( )nn
nxxh
0h xy ylim
0n
=−=
→ .
Comentários
O método de Euler não é muito usado uma vez que os resultados obtidos têm,
em geral, pouca precisão, a não ser que se seleccione uma valor para o passo
demasiado pequeno o que torna o processo demasiado lento.
O método foi deduzido truncando o desenvolvimento dado pela fórmula de
Taylor de segunda ordem antes do termo em h2.
2.1.2. Método de Taylor de 2ª ordem
Consideremos o problema de valor inicial (7.1) e sejam [ ]ba,x,x 1nn ∈+ .
Então, se y tem derivadas contínuas até à terceira ordem em [a,b], pela fórmula de
Taylor,
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Tem-se então, se h = xn+1 - xn é pequeno,
).(xy2
h)(xh.y)y(x )y(x n''
2n
'n1n ++≅+
Define-se o método de Taylor de 2ª ordem pela fórmula
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=
+ 1.- 0,1,...,j ),y,(xf 2
h)y,h.f(xyy
)y(xy
jj'
2jjj1j
00
m
onde: ( ) ( ) ( ) ( ).jjjjjjjj' y,x.fy,x
yfy,x
xfy,xf
∂∂+
∂∂=
Exemplo
Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨⎧
=+−=
202
)(yyx'y
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Taylor de 2ª ordem.
. xx
),(y6
h)(xy2
h)(xh.y)y(x)y(x
1nnn
n'''
3n
''2
n'
n1n
+
+
<<
+++=
ξ
ξ
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Resolução
Tem-se que x0=0 e y0=2.
Além disso, 41- 50.2
01h
ab =⇒=−=−= mm .
método de Taylor de 2ª ordem
A fórmula de recorrência será:
( ) ( )
0,1,2,3,4.j ,)yx-2y-x*0.2 y y
2y
jjjjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++++=
=
+ 1*02.0
0,1,2,3,4.j , 0.18x 0.82y y
2y
jj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=⇔
+ 38.0
1ª iteração
y1 = 0.82*y0 + 0.18*x0 + 0.38 ⇔ y1 = 0.82*2 + 0.18*0 + 0.38 ⇔ y1 = 2.02
x1 = 0 + 0.2 = 0.2
2ª iteração
y2 = 0.82*y1 + 0.18*x1 + 0.38 ⇔ y2 = 0.82*2.02 + 0.18*0.2 + 0.38 = 2.0724
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
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3ª iteração
y3 = 0.82*y2 + 0.18*x2 + 0.38 ⇔ y3 = 0.82*2.0724 + 0.18*0.4 + 0.38 = 2.151368
x3= 0.4 + 0.2 = 0.6
4ª iteração
y4 = 0.82*y3 + 0.18*x3 + 0.38 ⇔ y4 = 0.82*2.151368 + 0.18*0.6 + 0.38
⇔ y4 = 2.25212176
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8
5ª iteração
y5 = 0.82*y4 + 0.18*x4 + 0.38 ⇔ y5 = 0.82*2.25212176 + 0.18*0.8 + 0.38
⇔ y5 = 2.370739843
x5 = 0.8 + 0.2 = 1
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são { 2.02 ,
2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.
De modo similar se define o método de Taylor de 4ª ordem:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
++++=
=
+
1.-0,1,...,j
),y,(xf 24h)y,(xf
6h)y,(xf
2h)y,h.f(xyy
)y(xy
jj'''
4jj
''3
jj'
2jjjj
00
m
1
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2.2. Métodos de Runge-Kutta
Os métodos de Runge-kutta foram desenvolvidos com o objectivo de produzirem
resultados com a mesma precisão que os obtidos pelo método de Taylor, mas
evitando o cálculo das derivadas.
Limitar-nos-emos a apresentar as fórmulas.
2.2.1. Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem
As fórmulas têm a forma geral
( )
( ) ( )( )[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++=
=
+ . 1-0,1,...,j y,x.h.fy.h,xfy,xfhyy
xy y
jjjjjjj1j
00
m,.b.a βα
sendo as constantes βα e ,b,a escolhidas de modo a que o erro de truncatura local
do método seja proporcional a h3 tal como no método de Taylor de
2ª ordem.
Tal condição implica ⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=
b
,ba
21
- 1
βα , sendo b arbitrário.
Substituindo na fórmula anterior e βα,a , obtemos
( ) ( ) ( ). 1-0,1,...,j
y,x.h.f21y.h,
21xfy,xf1hyy jjjjjjj1j
m
,bb
.bb
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−+=+
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Apresentaremos aqui os dois métodos mais conhecidos de Runge-Kutta de
2ª ordem.
2.2.1.1. Método de Euler melhorado ( ou método de Heun )
Corresponde à escolha ,b21 =
( )
( )
( )( )
1 ..., 0,1,j ,
h.y ,h xf
y,xf
2hyy
xy y
1jj2
jj1
21j1j
00
.m
kk
k
kk
−=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
=
++=
=
+
Exemplo:
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨⎧
=+−=
202
)(yyx'y
na malha [0,1] com h=0.2, usando
o método de Euler melhorado.
Resolução:
Tem-se que x0=0 e y0=2.
Além disso, 41- 50.2
01h
ab =⇒=−=−= mm .
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A fórmula de recorrência será:
( )
( )( )
81y*0.8x8020y 20xf
2y-xyxf0,1,2,3,4.j
, *0.1 y y2y
jj1jj2
jjjj1
21j1j
0
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=++=
+===
++==
+
.*.k*.,.k
,k
kk
1º iteração:
y1 = y0 + 0.1*(k1+ k2)
k1 = x0 - y0 + 2 ⇔ k1 = 0 – 2 + 2 ⇔ k1 = 0
k2 = 0.8x0 – 0.8y0 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0 – 0.8*2 + 1.8 ⇔ k2 = 0.2
donde y1 = 2 + 0.1*(0 + 0.2) = 2.02
e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2
2º iteração:
y2 = y1 + 0.1*(k1+ k2)
k1 = x1 - y1 + 2 ⇔ k1 = 0.2 – 2.02 + 2 ⇔ k1 = 0.18
k2 = 0.8x1 – 0.8y1 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.2 – 0.8*2.02 + 1.8 ⇔ k2 = 0.344
donde y2 = 2.02 + 0.1*(0.18 + 0.344) = 2.0724
e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
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3º iteração:
y3 = y2 + 0.1*(k1+ k2)
k1 = x2 – y2 + 2 ⇔ k1 = 0.4 – 2.0724 + 2 ⇔ k1 = 0.3276
k2 = 0.8x2 – 0.8y2 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.4 – 0.8*2.0724 + 1.8 = 0.46208
donde y3 = 2.0724 + 0.1*(0.3276 + 0.46208) = 2.151368
e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6
4º iteração:
y4 = y3 + 0.1*(k1+ k2)
k1 = x3 – y3 + 2 ⇔ k1 = 0.6 – 2.151368 + 2 ⇔ k1 = 0.448632
k2 = 0.8x3 –0.8y3 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*0.6 – 0.8*2.151368 + 1.8 = 0.5589056
donde y4 = 2.151368 + 0.1*(0.448632 + 0.5589056) = 2.25212176
e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8
5º iteração:
y5 = y4 + 0.1*(k1+ k2)
k1 = x4 – y4 + 2 ⇔ k1 = 0.8 – 2.25212176 + 2 ⇔ k1 = 0.54787824
k2 =0.8x4 –0.8y4 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*(0.8 -2.25212176)+1.8 = 0.638302592
donde y5 = 2.25212176+ 0.1*(0.54787824 + 0.638302592)
⇔ y5 = 2.370739843
e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1
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As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são:
{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.
2.2.1.2. Método de Euler modificado
Corresponde à escolha ,b 1 =
( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
==
+=
=
+
1jj2
jj1
2j1j
00
2hy,
2hxf
y,xf1.- ..., 0,1,j
h.yy
xy y
kk
km
k
.
,
Exemplo:
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨⎧
=+−=
202
)(yyx'y
, na malha [0,1] com h=0.2, usando
o método de Euler modificado.
Resolucão:
Tem-se que x0=0 e y0=2.
Além disso, 41- 50.2
01h
ab =⇒=−=−= mm .
Página 18 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
A fórmula de recorrência será:
( )
91y*0.9x9010y 10xf
2y-x0,1,2,3,4.j
, *0.2 y y2y
jj1jj2
jj1
2j1j
0
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=++=
+==
+==
+
.*.k*.,.k
k
k
1º iteração:
y1 = y0 + 0.2*k2
k2 = 0.9*(x0 - y0) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0 – 2) + 1.9 ⇔ k2 = 0.1
donde y1 = 2 + 0.2*0.1 = 2.02
e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2
2º iteração:
y2 = y1 + 0.2*k2
k2 = 0.9*(x1 - y1) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.2 – 2.02) + 1.9 ⇔ k2 = 0.262
donde y2 = 2.02 + 0.2*0.262 = 2.0724
e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
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3º iteração:
y3 = y2 + 0.2*k2
k2 = 0.9*(x2 - y2) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.4 - 2.0724) + 1.9 = 0.39484
donde y3 = 2.0724 + 0.2*0.39484 = 2.151368
e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6
4º iteração:
y4 = y3 + 0.2*k2
k2 = 0.9*(x3 - y3) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.6 –2.151368) + 1.9 = 0.5037688
donde y4 = 2.151368 + 0.2*0.5037688 = 2.25212176
e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8
5º iteração:
y5 = y4 + 0.2*k2
k2 = 0.9*(x4 - y4) + 1.9 ⇔ k2 = 0.9*(0.8 - 2.25212176) + 1.9
⇔ k2 = 0.593090416
donde y5 = 2.25212176+ 0.2*(0.593090416) = 2.370739843
e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1
Página 20 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são:
{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }.
2.2.1.3. Métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem Fórmulas de Runge-Kutta de ordem superior podem ser desenvolvidas com o mesmo
objectivo. A mais usada é a que corresponde ao método conhecido por método de
Runge-Kutta de 4ª ordem
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
==
++++=
=
+
)hkyh,f(xk
)k2hy,
2hf(xk
),k2hy,
2hf(xk
)y,f(xk 1.-0,...,j
)k2k2k(k6hyy
)y(xy
3jj4
2jj3
1jj2
jj1
4321j1j
00
m
Exemplo:
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨⎧
=+−=
202
)(yyx'y
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler modificado.
Página 21 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
Resolucão:
Tem-se que x0=0 e y0=2.
Além disso, 41- 50.2
01h
ab =⇒=−=−= mm .
A fórmula de recorrência será:
( )
( )
( )
( )
8181y*8180x8180k20y 20xfk
911y*0.91x910k10y 10xfk
91y*0.9x90k10y 10xfk
2y-xk0,1,2,3,4.j
, kk2k2k6
0.2 y y
2y
jj3jj4
jj2jj3
jj1jj2
jj1
4321j1j
0
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+−=++=
+−=++=
+−=++=
+==
++++=
=
+
..*.*.,.
.*.*.,.
.*.*.,.
*
Cálculos auxiliares:
( )2
,
+−=
=
jj
jj1
yx
y x fk
( )( )( )
( )( )
( )9.1*9.0
22.0*1.01.0
2.0*1.0,1.0
2.0*1.0*1.0,1.0
2*1.0,1.0
*1.0,1.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
1jj2
y*0.9x
xy*0.9x
xy*0.9 x f
y xy x f
y xy x f
y x f kk
Página 22 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
( )( )( )
( )( )
( )91.1*91.0
219.0*09.01.0
19.0*09.0,1.0
19.0*09.0*09.0,1.0
9.1*1.0,1.0
*1.0,1.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
2jj3
y*0.91x
xy*0.91x
xy*0.91 x f
y xy x f
y*0.9 x*0.9y x f
y x f kk
( )( )( )
( )( )
( )818.1*818.0
2382.0*182.02.0
382.0*182.0,2.0
382.0*182.0*182.0,2.0
91.1*2.0,2.0
*2.0,2.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
3jj4
y*0.818x
xy*0.818x
xy*0.818 x f
y xy x f
y*0.91 x*0.91y x f
y x f kk
Então,
( )
( ) ( )(( ) ( ))
( )
3,4. 2, 1, 0, j 3812666660x*60.18126666 y*40.81873333y
43811y4385x43856
0.2 y
8181y*0.818x8180911y*0.91x9102
91y*0.9x9022y-x6
0.2 y
kk2k2k6
0.2 y y
jj1j
jjj
jjjj
jjjjj
4321j1j
=++=
+−+=
+−++−+
+−+++=
++++=
+
+
,.
.*.*.*
.*..*.
.*.*
*
1º iteração:
y1 = 0.818733334*y0 + 0.181266666*x0+0.381266666
Página 23 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
= 0.818733334*2 + 0.181266666*0+0.381266666 = 2.018733335
x1 = 0 + 0.2 = 0.2
2º iteração:
y2 = 0.818733334*y1 + 0.181266666*x1+0.381266666
= 0.818733334*2.018733335 + 0.181266666*0.2+0.381266666
= 2.070324273
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4
3º iteração:
y3 = 0.818733334*y2 + 0.181266666*x2+0.381266666
= 0.818733334*2.070324273+ 0.181266666*0.4+0.381266666
= 2.148816828
x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6
4º iteração:
y4 = 0.818733334*y3 + 0.181266666*x3 + 0.381266666
= 0.818733334*2.148816828+ 0.181266666*0.6+0.381266666
= 2.249334632
Página 24 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8
5º iteração:
y5 = 0.818733334*y4 + 0.181266666*x4 + 0.381266666
= 0.818733334*2.249334632+ 0.181266666*0.8+0.381266666
= 2.367885242
e,
x5 = 0.8 + 0.2 = 1
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são:
{ 2.018733335, 2.070324273, 2.148816828, 2.249334632, 2.367885242 }.