CAPITULO 7 Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio Teoría de Circuitos I.
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CAPITULO 7
Estudio de Circuitos en Régimen Transitorio
Teoría de Circuitos I
Estudiaremos el comportamiento dinámico de los circuitos cuando se producen perturbaciones, originadas por apertura o cierre de llaves, o por variaciones súbitas en la alimentación.
Circuito Dinámico: Incluye Capacitores, Inductores, o ambos. La energía no se disipa en forma de calor, sino que queda almacenada en el campo eléctrico (en C) o magnético (en L).
El comportamiento de las formas de onda de tensión y corriente quedará definido por ecuaciones diferenciales cuyo orden depende del número de almacenadores que tenga el circuito.
Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo
• Memoria:
i(t) C v(t)
0
0 0
0 0
0
Si conocemos el valor ( ) con t , luego:
1 1 1( )
t t t
t t
v t t
v t i d i d v t i dC C C
Considerando ( ) 0
1( )
t
v
v t i dC
+
v(t) L
i(t)
0
0
Por dualidad, para el inductor tendremos:
1( )
t
t
i t i t v dL
Condiciones
iniciales
• Memoria: Las condiciones inciales son equivalentes, desde el punto de vista externo, a los siguientes cicuitos:
C
C v1
v0
i
+
-
+
-L
ii1
i0
i
Es importante tener en cuenta la polaridad/sentido de circulación de la condición inicial para el modelo !!!
• Continuidad:
Propiedades básicas de los capacitores e inductancias invariantes en el tiempo
is(t)vC(t)
+
-
C = 5 F
is
vc(t) (V)
(a) t(s)
10
-10
01 2 3
(b)
(c)
t(s)
01 2 3
2
(A)
Si la forma de onda de corriente ic(t) en un capacitor lineal ( ten-sión vL(t) en un inductor ) permanece acotada en un intervalo ce-rrado [ta, tb], entonces la tensión vc(t) en el capacitor ( corriente iL(t) en un inductor ) es una función continua en el intervalo abierto (ta, tb).
• Continuidad: Una forma de demostrar matemáticamente esta propiedades a partir de las relaciones VA de los respectivos elementos
CAPACITOR INDUCTOR
( )( ) C
C
d v ti t C
dt
( )( ) L
L
d i tv t L
dt
0 0Segunda ley de conmutación ( ) ( )C Cv t v t
Para que exista la derivada la tensión vC(t) en el capacitor y la corriente iL(t) en un inductor deben variar en forma continua.Luego,
0 0Primera ley de conmutación ( ) ( )L Li t i t
Por LKT sabemos que:
Planteo de ecuaciones en regímenes transitorios
vS(t) : Excitación o función forzante (puede ser cte o vble en el tiempo)
Las ecuaciones diferenciales por sí mismas, no permiten obtener la so-lución real del problema, sino que deben complementarse con las con-diciones iniciales, o condiciones de conmutación vistas anteriormente.
S R L
S
v t v t v t
di tv t R i t L
dt
+
R L
vs(t)
i(t)
EDO lineal de primer orden
Problema de
condiciones iniciales
- Sistema de ecuaciones diferenciales
- Condiciones Iniciales
Como ya sabemos la solución para una variable cualquiera x(t) para una ecuación diferencial lineal tendrá la forma:
Régimen transitorio, libre y forzado
Para los circuitos se puede demostrar que la ecuación homogénea aso-ciada sólo puede tener raices reales negativas o complejas con parte real negativa y las soluciones serán del tipo:
h px t x t x t Solución
Homogénea
Solución
Particular
k t
k t
e
e sen t
o sus combinaciones lineales
lim 0ht
x t
Solución Homogénea
o de Régimen Libre
Solución Homogénea
o de Régimen Libre
Solución Particular
o de Régimen Forzado
Respuesta en
Régimen Transitorio= +
Circuitos constituidos por resistencias e inductancias o resistencias y capacitores. Gráficamente,
Régimen transitorio en circuitos de primer orden
Aplicando T. de Thevenin o de Norton podemos reemplazar N, tal que:
N
iC
vcCN
vL
iL
L
vcC
iC
++
vth(t)
Rth
vL
L
+
iN(t)
iL
GN
Aplicando LKT en la malla Aplicando LKC en un nudo
( ) ( ) ( )C C th
th th
d v t v t v t
dt R C R C
( ) ( ) ( )L L N
N N
d i t i t i t
dt G L G L Ecuación de
Estado
Cuando la red N contiene solo fuentes de continua, vth(t) = Vth y iN(t) = iN son constantes podemos escribir
Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección
Pero como ya sabemos esta ecuación tendrá una solución de la forma:
Para el caso del capacitor, x(t)= Vc(t):
( ) ( ) ( )d x t x t x t
dt
libre forzadax t x t x t
/1 /
1
tc libre t
cc forzada fuente
v t k ev t k e v
v t V v
(0)conocida x
1 1(0) ( ) (0) ( )c cv k v k v v Reemplazando
en ( )cv t
La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda unívocamente determinada por tres parámetros: estado inicial x(0), estado final o de equilibrio x(), y constante de tiempo
Circuitos alimentados con fuentes de valor cte. Método de inspección
/0 tx t x x x e
El método puede usarse para hallar la tensión entre cualquier par de nudos j y k, o la corriente en cualquier rama j, en una red lineal de primer orden alimentada por fuentes de continua.
Observación:Solo puede utilizarse en circuitos donde el equivalente de Thevenin o Norton exista y posea Rth 0 o GN 0 respectivamente.
Propiedades de las ondas exponenciales
/0 tx t x x x e
La evolución de la variable de estado ( vC(t) o iL(t) ) queda tendrá un comportamiento estable o no dependiendo de la constante de tiempo
Diremos que es estable si la solución homogénea tiende asintóticamen-te a cero cuando t tiende a infinito. Caso contrario, podrá ser inesta-ble o marginalmente estable.
Caso estable > 0
Propiedades de las ondas exponenciales
ec. homogenea asoc ?
+
-++
-
vx
v2 H1, 1 vx
2 W
i(t)
1,1
1,1 2 2 2 0
x x Lv t v t v t
di ti t i t
dt
Por LKT :
-
(0 ) 10 Ai
• Caso marginalmente estable
• Caso inestable < 0
1 2
11 1
2 0
1
c c
tc
c
v t R i t v t
dv tv t RC i d
dt C
Por LKT :
2
1 11 2
2
1c cdv t d v tRC i t
dt dt C
Derivando
21 1 11
1 22
c c cdv t d v t dv tCRC
dt dt C dt
1 F2 F
v1v2
+
--
+
v1 v23/8 W
1
2
(0 ) 12 V
(0 ) 0 V
c
c
v
v
i(t)
C1C2
Cálculo del tiempo transcurrido entre dos instantes dados
A partir de la ecuación deducida para el metodo de inspección sabemos que cualquier punto de la evolución verifica que:
x(t0+)
?
0
0
it t
ix t x x t x e
Con lo cuál podemos calcular el intervalotranscurrido entre 2 instantes planteando esta ecuación para 2 instantes, diviendo miembro a miembro y tomando el logaritmo. Así, se obtiene que:
22 1 2 1
1
lnx t x
t t con t tx t x
L
R
i(t)
S
E
Con C.I. nulas, por el método de inspección:
0R
tLE E
i t i eR R
i t
Si a su vez i(0) = 0, tenemos:
1tE
i t eR
Representación gráfica de la respuesta
Luego, por la ley de Ohm:
1t
Rv t R i t E e
/
t
L
di tv t L E e siendo L R
dt
Representación gráfica de la respuesta
0
1
cuanto mayor la relación más rápido llega al valor final
t t
t
d i tE E Ri t e e
R dt R L
d i t E
dt L
iR
vR
vL
t0
E
E/R
u, i
0,37
t
libre
libre
Ei t e
R
E Ei t e
R R
: constante de tiempo
( tiempo que tarda la ilibre, en reducirse a un valor
igual a 1/e )
Determinación gráfica de t
+
E
r f
S
R
L i = R + r
E = ) 0( i = ) 0( i inicial
f
+-
Aplicando inspección y suponiendo que transcurrió un tiempo largo antes de cerrar S, tenemos:
ifinal = 0
Luego, la evolución temporal en la malla que se cortocircuito será:
/
t
f
Ei t e
r R
con L R
vX (t) 4 W 0,8 H
i(t)
16 V
+
3.vX(t)
–
6 W
3 W
Pag 16 Ej 1) Determinar la corriente i(t) y la tensión vx(t) para t 0, siendo i(0-) = 1 A
Pag 17 Ej 5) En el siguiente circuito, la llave se abre en t = 0, exci-tando la red con un escalón de corriente IDC. Obtener y graficar v0(t).
IDC
+
C
vo(t)
–
R2
R1 t=0
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
iC iR iL +
-
viL0
+
-
vC0 R LC +
vC0
-
iL0
LR
Ci
- Respuesta libre:
Hallar v(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en
ambas
Hallar i(t) debido a la liberación de energía almacenada en L, en C o en
ambas
- Respuesta forzada:
+
-
vR LCI
t = 0
I
LR
Ci
+
V
t = 0
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
+
vs
vR vL
vCC
R L
i+ - -
-
+
+
Por LKT en la malla tenemos:
2
2
L R C S
c cc S
u t u t u t v t
d u t d u tLC RC u t v t
dt dt
cC
LL
L C R
d u ti t C
dtd i t
u t Ldt
i t i t i t
Como tenemos ahora una EDO de orden 2 necesitaremos 2 condicio-nes iniciales, que podrán ser independientes o depenmdientes
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
- Calculo de respuesta libre
0c lib c lib c libLC u t RC u t u t
2 1 0LC RC
El polinomio asociado resulta:
1 21 2
t tc libu t K e K e
LCL
R
L
R
LC
LCRCRC 1
222
4)( 2
2,1
02
2
Ojo, vale solo para serie RLC
Circuitos de 2do orden RLC paralelo
Por LKC en el nudo:
0
2
2
0
1 10
1 10
C R L
tc
C C
C cC
i t i t i t
d u tC u t u d
dt R L
d u t d u tC u t
dt R dt L
cC
LL
L C R
d u ti t C
dtd i t
u t Ldt
u t u t u t
iC iR iL +
-
viL0
+
-
vC0 R LC
2 1 0L
LCR
02
2 2
1,2
/ / 4 1 1 1
2
L R L R LC
LC RC RC LC
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
1. Si > 0 > 0 ambas raíces son reales, negativas y distintas y la respuesta se denomina sobreamortiguada, estando representada por la suma de dos exponenciales decrecientes, con constantes de tiempo 1 y 2
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15 20 25-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
tt eKeKtx 2121
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
2. Si = 0 ambas raíces serán reales e iguales, y se dice que la respuesta posee amortiguamiento crítico
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
tetKKtx 21
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
3. Si 0 < < 0 ambas raíces son complejas conjugadas una de otra, y la respuesta se denomina subamortiguada, estando representada por una senoide que decae exponencialmente.
0 5 10 15 20 25-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
( ) costdx t K e t
Régimen transitorio en circuitos de 2do orden
4. Si = 0 y o > 0 la respuesta será sin pérdidas, es decir, una senoide pura con una frecuencia angular de oscilación igual a o
0 5 10 15-3
-2
-1
0
1
2
3
tKtx 0cos
Análisis solución completa RLC serie
h px t x t x t
Al igual que para primer orden la solución completa puede pensarse como la superposición de la respuesta libre y la forzada:
• Régimen sobreamortiguado
> o > 0 ambas raíces son reales y distintas 1 ≠ 2
a) Análisis respuesta libre
tt eKeKti 2121
0210 LiKKi
0000000 CLLLCR vRivvvv
Análisis solución completa RLC serie
• Régimen sobreamortiguado
b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)
tt eKeKti 2121
2121 00 KKKKi
EvvvvE LLCR 0000
0 5 10 15-1
0
1
2
3
4
5
6
vR(t)
vL(t)
E
vC(t) ?
Pag 24 Ej 2) Luego de haber estado en la posición 1 un tiempo sufi-cientemente largo, la llave L conmuta en t=0 a la posición 2.
Hallar y graficar la evolución vC(t) para t 0.
Análisis solución completa RLC serie
• Amortiguamiento crítico
= o ambas raíces reales e iguales 1= 2 =
a) Análisis respuesta libre
1 2( ) ti t K K t e 1
2
R
L LC
b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)
EvvvvE LLCR 0000
1(0) 0i K
0 5 10 15-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
vR(t)
vL(t)
E
Determinar la tensión de salida vc(t) para t>0 seg.
Suponer que el circuito ha alcanzado el régimen permanente en t = 0-.
+
W FW
0,8H
t = 06 V
vc
+
-
Forma general de las constantes de integración para regimen libre
tt eKeKti 2121
1 2 1 2
0 1 1 2 2
(0) (0) 1
0 0 2L C
i K K K i K
v Ri v K K
• Regimen Sub o Sobreamortiguado
01 2 0
1 2
02 1 0
2 1
1
1
LC
LC
iK v
C
iK v
C
1 2 0 02 1
2 1 0 01 2
1
1
L C
L C
K R i v
K R i v
Reemplazando (1) en (2), tenemos:
Para la tensión en el capacitor:
1 21 2
1 2 1 2
1 1 2 2
( )
(0) (0) 1
0 0 2
t tc
c c
C
u t K e K e
u K K K u K
i C K K i
Reemplazando (1) en (2), tenemos:
Análisis solución completa RLC serie
• Regimen subamortiguado
0 < < o raíces complejas conjugadas 12 = - j d
a) Análisis respuesta libre
01 2 0
1 2 *1 2
02 1 0
2 1
1
1
LC
LC
iK v
CK K
iK v
C
Como ya sabiamos:
Trabajando matemáticamente y utilizando la igualdad de Euler:
1 21 2
t tcu t K e K e
*1 1
1 2 1 2
cosd dj t j t tc d du t K e K e e A t B sen t
con A K K B j K K
b) Análisis respuesta forzada (c.i. nulas)
Análisis solución completa RLC serie
tseneBti
Ai
tBsentAeti
dt
ddt
000Como
cos
dd
LdL
LL
LCLR
L
E
L
uBBLu
dt
tidLtu
EuEtututu
0
0
0 :malla laen LKTPor
tseneL
Eti d
t
d
022
0
20
con
1
2
d
LCL
R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
i(t)
C = 0,1 F L = 0,1 H E = 10 VR = 0,1 WR = 1 WR = 2 WR = 5 WR = 10 W
Pag 32 Ej 2) La llave en el siguiente circuito se abre en t = 0 seg, luego de haber permanecido cerrada un tiempo suficientemente largo.Calcular iL(t) para t 0.
En t = 0 seg las llaves S y S´ están en la posición 1. En t = 1 mseg conmutan a la posición 2. Calcular la evolución temporal de vR(t)
W
1F
+ W10V vR(t)
+
W W
20V1H
1 2
12S
S´t=0 t=0
Pag 32 Ej 4) En t = 0 los almacenadores están descargados y la llave en la posición 1. El sistema evoluciona hasta t = 0,5 s y la llave conmuta a la posición 2. Calcular y graficar cualitativamente iL(t) para t 0.