Capítulo 5 Hidrodinámica
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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FÍSICA 2
CÁPITULO 5:
HIDRODINAMICA
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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HIDRODINAMICAEstudia los fluidos en movimiento; en un primer caso fluidos ideales es decir :
No tiene fricción interna (viscosidad).
Laminar: Cada partícula del fluido sigue una trayectoria contenida en una capa; laslíneas de flujo no se cruzan. Esto se produce para ajas velocidades
s!a"#$: !a velocidad del fluido en cada punto permanece constante en el tiempo.
Incom%r$si"#$: !a densidad del fluido es constante.
Lin$as d$ '(o: "on las trayectorias #ue sigue unelemento de fluido atraves de una misma linea con
la misma velocidad #ue el elemento anterior$
manteni%ndose &estacionario'
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Flujolaminar
Flujoturbulento
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T'"o d$ '(o: Es la agrupación de varias líneasde flujo
c'aci)n d$ con!in'idad
efine al transporte del fluido como constante es
decir #ue el caudal #ue atraviesa dos puntos dee
conservarse
Como la densidad es constante$ luego la masa #ue
ingresa al sistema es igual a la masa #ue sale de %l:
*dm dm=
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* * A v dt A v dt ρ ρ = * * A v A v=
Q1 = Q2 es decir en una tueria$ el caudal se mantiene constante m+,s
!a relación de la velocidad fluido y el
-rea #ue atraviesa es inversa$ es decir en
areas pe#ueas las líneas de flujo son
mas densas y poseen mayor velocidad y
viceversa; un ejemplo es la salida de un
li#uido atraves de una manguera
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c'aci)n d$ *$rno'##ic'aci)n d$ *$rno'##i
/sando el teorema de la energía mec-nica:
W neto = ΔE
* * * p A ds p A ds K U − = ∆ + ∆
etermina la presión de un fluido a traves de
un recorrido de -rea transversal variale. En
la figura el elemento de flujo se traslada del
punto al *$ sometido a diferentes presiones.
( ) ( )**
*
**
*
y ydVg vvdV dV pdV p −+−=− ρ ρ
( ) ( )**
*
***
y ymg vvmdV pdV p −+−=−
-
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tecons gyv p gyv p gyv p tan*
*
* **
***
* =++⇒++=++ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
( ) ( )
cahidrostati presioncinematica presion
absoluta presion
y y g vv p p
*
*
*
*
**
−+−=− ρ ρ
!a Ecuación de 0ernoulli se deriva del 1rincipio de Conservación de la Energía
2ec-nica. Es v-lida solamente para fluidos incompresiles$ (la densidad es
constante)$ no dee e3istir ganancia o perdida de energía del sistema$ (tampocotransferencia de calor adentro o fuera del sistema) ni dee e3istir friccion.
4plicando 0ernoulli a la sustentacion del aire en un ala de avion
justifica como este puede volar. !a presión en la parte superior del
ala es menor #ue en la parte inferior. Esto produce en el ala una
fuerza neta 5acia arria.
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A%#icacion$s d$ #a c'acion d$ *$rno'##i
6 T$or$ma d$ Torric$##i "e tiene un dispositivo cerrado en el se
uica un fluido de densidad 7$ el li#uidoes desalojado por un orificio pe#ueno$
aplicando la ecuacion de 0ernoulli: .
( ) gh p pvv a*
**
*
* +−+=
ρ
e la figura y1 = h; y2 =0; p1 = p; p2= pa
*
*
**
*
*
)
*
) gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++
1or la ecuacion de continuidad 4 v 8 4* v*
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( )( )
−
+−=⇒+−=
−
*
*
*
**
*
**
*
**
**
A A
gh P P
v gh P P A
Av
a
a
ρ
ρ
( ) gh P P v a **
* +−=
ρ
ghv **
=
"i 4** 99 4
*
6 "i el deposito es aierto y 181a
6 "i el deposito es cerrado y 1 1a P v
ρ
** =
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6 T'"o d$ +$n!'riEl $&$c!o +$n!'ri consiste en unacorriente de un fluido dentro de
un conducto cerrado disminuye la
presión del fluido al aumentar lavelocidad cuando atraviesa por
una zona de sección menor. "i en
este punto del conducto se
introduce el e3tremo de otro
conducto (de menor area)$ se produce una aspiración del fluido
contenido en este segundo
conducto.
*
*
**
*
*
*
gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++
4plicando la ecuacion de 0ernoulli
p1 - p2 = gh
p1
= p0
! gh1
p2 = p0 ! gh2
**
*
**
*
como
*
*
v Av A
v pv p
=
+=+ ρ ρ *
*
*
*
ghv
A
A
=−
h1h2
y1 = y2 = 0
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6 T'"o d$ Pi!o! Este dispositivo est- perforado con pe#ueos orificios laterales
suficientemente alejados del punto de
parada o estancamiento (punto del flujo
donde se anula la velocidad) para #ue las
líneas de corriente sean paralelas a la
pared. una sonda$ cominada con una
detector de presión de impacto
(perpendicular a la dirección de flujo)$
forma una sonda de presión cin%ticallamada tuo de 1itot
4plicando la ecuacion de 0ernoulli
*
*
**
*
*
*
gyv p gyv p ρ ρ ρ ρ ++=++
2
1
-
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como y1 = y2 y adicionalmente
v1 =0 "luido
p pvv p p
ρ ρ
)(*
*
**
*
**
−=⇒+=
pero p1 - p2 = #p = mercurio g#h
"luido
mercurio ghv ρ
ρ ** =
Este dispositivo se emplea a menudo en aeron-utica: situado en un lugar de poca
turulencia$ permite medir la velocidad de avance de un avión con respecto al aire.
ami%n se usa en la medición del flujo de lí#uidos y gases en tuerías
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+ISCOSIDAD"e denomina viscosidad a la fricción interna #ue e3iste entre capas adyacentes del fluido$ conforme se
deslizan una sore otra. El movimiento de un fluido viscoso es an-logo al esfuerzo cortante y a la
deformación unitaria por cizalladura.
Como el flujo es laminar$ las capas se deslizan una sore otra. En un instante tiene
la forma a b c d y posteriormente a b c$d$ la cual es deformada continuamente
deido a la fuerza tangencial constante; por lo tanto la deformacion unitaria por
cizalladura ser-:
%
dd <
=β
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!a deformación es m-3ima si: ( ) %
v
dt
d =
β
%v
A &
=η
!a relación del esfuerzo respecto a la deformación unitaria m-3ima se define por:
' es el coeficiente de viscosidad (dinamico)$ poise gr,cm=s
( = ') es el coeficiente de viscosidad (cinematico)
despejando la fuerza
fluidoelenaretardador fuerza dy
dv A &
%
Av & η
η −=⇒=
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L$, d$ Pois$'i##$
!
r
>
1?r * 1*?r
*
En un tuo circula un li#uido
viscoso @ de radio > y longitud
!$ tomando un cilindro interiorcual#uiera de radio r.
dr r
d& = *P 1 + P 2 ,r 2
( )dr
dvr%
dr
dv Ad& π η η *−=−=
( ) ( ) ( ) ( )
c %
r P P r vdvdr %
r P P
dr
dvr%r P P +
−−=⇒−=
−⇒−=− η η π η π A)(**
*
****
4plicando condiciones iniciales r 8 > y v 8 B ( ) ( )***
A
)( r .
%
P P r v −
−=
η
-
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vma3ima
vB
vB"e aprecia la relación cuadr-tica #ue depende del
radio$ es m-3imo en el centro (r 8 B) y mínimo en
los e3tremos (r 8 >)
Como el volumen es dV = vdAdt
( ) ( )( )dt rdr
%
r . P P vdAdt π
η *
A
**
* −−=
( ) ( )( ) %
rdr r . P P
dt
dV
η
π
A
**** −−=
( ) %
P ./dr r rdr .
%
P P d/
. .
η
π
η
π
DA
*A
B
+
B
**) ∆
=⇒
−
−= ∫ ∫ ∫
Es el caudal #ue
atraviesa un fluido
conocida como !ey
de 1oiseuille
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L$, d$ S!o-$s
alida solo para una esfera de radio > est- cayendo dentro de
un fluido. !a fuerza viscosa ( & ') se opone a la velocidad (v) de
la esfera. "i ' es el coeficiente de viscosidad del fluido$ se
cumple: & ' = r'v
Esta ley permite determinar el coeficiente de viscosidad de un
lí#uido$ midiendo la velocidad terminal de una esfera cayendo
en el fluido.
1or la * ley de NeFton mg + & ' + = ma cuando ad#uiere velocidad terminal
a 8 B
mg + & ' + = 0 3 & ' = mg + 3 r'v = es"eraVg - li4uidoVg
como V es"era = V li4uido 3 r'v =5)6 *es"erar 6 g + li4uidor
6 g,
( )li4uidoes"era g r
v ρ ρ η −= G* * velocidad limite de una esfera en un fluido
viscoso
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N'm$ro d$ R$,no#ds
Es un numero adimensional #ue caracteriza el movimiento de un fluido relaciona la
densidad$ viscosidad$ velocidad del fluido y la dimension de la tueria
)(con>e >e ρ
η γ
γ η
ρ ===
v7v7
"i el numero de >eynolds es menor o igual a *BBB$ el flujo es laminar o regular
"i se encuentra en el intervalo de *BBB H +BBB el flujo es inestale
"i el numero es mayor o igual a +BBB el flujo es turulento
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6 1or una tuería inclinada
circula agua a razón de G m+,min$
como se muestra en la figura: Ena el di-metro es +B cm y la
presión es de If,cm*. JCu-l es
la presión en el punto saiendo
#ue el di-metro es de K cm y
#ue el centro de la tuería se
5alla KB cm m-s ajo #ue en aL
Entre los puntos a y se cumple 44 v4 8 40 v0 8 C
( ) ( ) sm
m
sm
A
8 v
9
9 ,++$DBMK$B
,NB
G
*$)Am,smB$)K?
,smNB
G
4
Cv
**
+
**
+
4
4 ======π
Ejercicios
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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4plicando 0ernoulli para calcular la presión en :
( ) ( )****
*
*
*
9 9 A A 9 9 9 9 A A A vvhh g P P v gh P v gh P −+−+=⇒++=++ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
( ) ( ) ( )( ) Pa P P 9 9 MBGBB NGN$ABBB*
K$BD$GBBBGDBBB =⇒−++=
-
8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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6 El tan#ue de agua de la figura est- cerrado por arria y el
aire comprimido entre la superficie del agua y la tapa tiene
una presión manom%trica de + atm cuando el nivel del agua
est- a K m de su ase. !a o#uilla de la manguera est-
apuntando verticalmente 5acia arria. Considere #ue el -reade la sección transversal de la o#uilla de la manguera es muy
pe#uea en comparación con la del tan#ue y #ue la densidad
del agua es BBB Og,m+. etermine la m-3ima altura 5 #ue
puede alcanzar el c5orro de agua y la velocidad con la #ue
sale.
: Nivel del agua en l tan#ue *: !a o#uilla +: 4ltura m-3ima
c5orro de agua
4plicando 0ernoulli a los puntos y +
gh P g P P
v gy P v gy P
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
+=++
++=++
BBB
*
+++
*
K+
*
*
-
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4plicando 0ernoulli a los puntos y *
m g
P h gh g P AK
+ K+ BB =+=⇒=+
ρ ρ ρ
+=
+=++
++=++
g P
v
v P g P P
v gy P v gy P
K+
*
*
K+
*
*
B*
*
*
*BBB
*
***
*
ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
smv ,+B* =
-
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6 /n tan#ue cilíndrico de $DB m de di-metro
descansa sore una plataforma de una torre a m de
altura$ como se muestra en la figura. Pnicialmente$ el
tan#ue est- lleno de agua$ 5asta la profundidad 5B 8
+ m. e un orificio #ue est- al lado del tan#ue y en
la parte aja del mismo$ se #uita un tapón #ue cierra
el -rea del orificio$ de cm*. Con #u% velocidad
fluye inicialmente el agua del orificioL Cu-nto
tiempo necesita el tan#ue para vaciarse por
completoL.consideraremos #ue la altura 5 del lí#uido disminuye
en d5 durante un intervalo de tiempo dt$ entonces$ la
velocidad con #ue aja el fluido en el tan#ue varia
en el tiempo
1or continuidad v 4 8 v* 4* y como la velocidad puntualmente varia v8d5,dt
** A
Av
dt
dh=−
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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6 "ore una mesa 5ay un recipiente en cuya pared lateral y a una altura de K cms
sore el fondo se uica un tuo capilar con radio interior es mm y su longitud es
cm. El recipiente contiene aceite (78GBB Og,m+) y @8B$K Og,m=s; si el nivel del
aceite se mantiene 58KB cms sore el tuo capilar$ a #ue distancia del tuo capilar
caer- el c5orro sore la mesa.
pr
l t
l
pt r l r
l
pr
t
V
l
pr /
∆=⇒
∆=⇒
∆=⇒
∆=
*
*A
*
AAD
DDD
η
η
π π
η
π
η
π
( ) ( )( ) ( )( )
st :
:t BG$B
)K$B(D$GBGBB
BK$BD
A
=⇒= −−
( ) ( ) smvv ghv ,GD$B BK$BD$G* * orricelli porlado$otropor ==⇒=
( )( ) cmseomeevt e G BG$B B$BGGD$B como ===⇒=
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8/16/2019 Capítulo 5 Hidrodinámica
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6 etermine si un fluido de B$K Og y densidad M$K Og,m+ #ue se desplaza por un
tuo de diametro *cm en un tiempo de media 5ora y cuya viscosidad cinetica
e#uivale a $++3B= m*,s e#uivale a un movimiento laminar.
Avt
V // =⇒= dcontinuida por *
K)BD$+
)DBB
BND$B BND$B
K$M
K)$B −=⇒=⇒⇒== :
t
V
t
V mV
ρ
( ) ( ) B B AA* v : Av : Ar A −− ==⇒= π π π
( ) smvv : : Avt V
,*$B BBD$+ comoAK
==⇒= −−
π
( )( )DBA>e
B++$
*$BB*>e >e
*
=⇒=⇒== −−
:
:v7 7v
γ η
ρ
El flujo es laminar