CAPITULO 4.- Aplicaciones de las representaciones de...
Transcript of CAPITULO 4.- Aplicaciones de las representaciones de...
1
CAPITULO 4.- Aplicaciones de las representaciones de Fourier.
4.1 Introducción.4.2 Respuesta en frecuencia de sistemas LTI.4.3 Representaciones de señales periódicas mediante la
transformada de Fourier.4.4 Convolución y modulación con mezclas de señales de
distintas clases.4.5 Representación mediante la transformada de Fourier
para señales en tiempo discreto.4.6 Muestreo.4.7 Reconstrucción de señales en tiempo continuo a partir de sus muestras.4.8 Procesamiento en tiempo discreto de señales en tiempo
continuo.
4.6 MUESTREO. (submuestreo)* Muestreo de señales continuas
( )
πωωω
πωωωω
ωωδπωπ
ωωπ
ω
πωδπωω
δδ
δδδ
ωδ
δ
δ
δδ
δ
δ
δ
2;|)()(][
2;)(1)(
)(2*)(21)(*)(
21)(
)2(2)(;)()()()(
)()()(
)()(;)()()(
)()()()(;)(][)(
)(][)(
/ =Ω⇒==⎯⎯ →←
=−=
−==
−=⎯→←=
⇒=
⇒−=−=
−=−−=
⎯→←=⎯⎯⎯ →⎯
Ω=Ω
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∑
∑
∑
∑∑
∑
sTjDTFT
ss
ks
s
ks
s
k ss
FT
ns
ns
ssssn
FTs
muestreo
sijXeXnx
TkjX
TjX
kT
jXjPjXjX
Tk
TjPjXtptxtx
impulsosmediantemuestreotptxtx
impulsosdetrennTttpnTttxtx
nTtnTxnTttxnTtnxtx
nTxnxtx
s
2
Figure 4.22 (p. 364)The FT of a sampled signal for different sampling frequencies. (a) Spectrum of continuous-time signal. (b) Spectrum of sampled signal when ωs = 3W. (c) Spectrum of sampled signal when ωs = 2W. (d) Spectrum of sampled signal when ωs = 1.5W.
( )∑∞
−∞=
−=k
ss
kjXT
jX )(1)( ωωωδ
πωδ
↔↔↔
pvd
“aliasing” = traslape
Figure 4.23 (p. 365)The DTFTs corresponding to the FTs depicted in Fig. 4-22
(b)-(d). (a) ωs = 3W. (b) ωs = 2W. (c) ωs = 1.5W.
πωδ
↔↔↔
pvd
( )∑∞
−∞=
−=k
ss
kjXT
jX )(1)( ωωωδ
3
Ejemplo 4.9 Muestreo de una sinusoideConsidere el efecto de muestrear la señal sinoidal :Determine la FT de la señal muestreada para los siguientes intervalos :b) T=1/4 , c) T=1 , d) T=3/2.
)cos()( ttx π=
( )
( )
3/4);2);82)
)()()(
)(1)(
)()()()cos()(
πωπωππω
ωπωδωπωδπω
ωωω
πωπδπωπδωω
δ
δ
====
−−+−+=
−=
−++=⎯→←=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
sss
s
kss
s
ks
s
FT
dcT
b
kkT
jX
kjXT
jX
jXttx
Figure 4.24(p. 367)(a) Original signal and FT. (b) FT for Ts= ¼. (c) FT for Ts = 1. (d) FT for Ts = 3/2. A cosine of frequency π/3 is shown as the dashed line.
πωδ
↔↔↔
pvd
4
4.7 Reconstrucción de señales en tiempo continuo a partir de sus muestras
4.7.1 Teorema de muestreo
Condiciones que deben cumplirse para reconstruir en forma únicauna señal en tiempo continuo partiendo de sus muestras.
Herramienta : FT
Las muestras no nos dicen nada acerca del comportamiento de laseñal entre los tiempos de muestreo.
)()(][ 21 ss nTxnTxnx ==
4.7 (cont)
)()( ωjXtx FT⎯→←
Restricciones para la señal en tiempo continuo :•transiciones suaves entre muestras –frecuencia máxima de la señal
•banda limitada•prevenir el efecto de traslape
Teorema de muestreo
Correspondencia biunívoca representaciones dominios (t) y (ω)
“Si representa una señal limitada en banda tal que
es la frecuencia de muestro, entonces x(t) está determinada únicamente por sus muestras “
ssmsm TjX /2donde,2Si.para,0)( πωωωωωω =>>=
L,2,1,0),( ±±=nnTx s
2ωm = velocidad de muestreo de Nyquist
ωs = frecuencia de Nyquist (real) Filtro antitraslape : paso baja
5
Ejemplo 4.12
πωπω
ωππ10010,1
)()/()10()( >≤
=⎯→←= jXttsentx FT
)/()10()( ttsentx ππ=Supongamos que :Determine el periodo de muestreo Ts, tal que x(t) esté unívocamenterepresentada por la señal en tiempo discreto x[n]=x(n Ts)
1.0101
202210
=<
=>
=
s
ms
m
T
Tπωπ
πω
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
4.7 (cont_2)4.7.2 Reconstrucción ideal
( )
idealbandaenitadaerpolaciónnTtsencnxtx
nTthnxnTtnxthtxthtx
jXjHjXjXjXT
tsenct
tsenTth
TjHjHth
kjXT
jXjXjX
jXtxjXtx
ss
srsrr
r
ss
s
ss
r
s
ssrr
FTr
ks
s
FTFT
limint)(2
][)(
)(][)(][*)()(*)()(
)()()(:)()(
2;2
2)(
2,02,
)(:)()(
)(1)(:)()(
)()(:)()(
∑
∑∑
∑
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
−∞=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=−==
=⇒•
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
>≤
=⎯→←
−=⇒•
⎯→←⎯→←
πω
δ
ωωωωω
πωπω
π
ω
ωωωω
ωω
ωωωωω
ωω
δ
δδ
δδ
δδ
Sistema no causal, no puede implementarse
6
Figure 4.35 (p. 376)Ideal reconstruction. (a) Spectrum of original signal.
(b) Spectrum of sampled signal. (c) Frequency response of reconstruction filter.
Figure 4.36 (p. 377)Ideal reconstruction in
the time domain.
7
4.7 (cont_3)4.7.3 Reconstrucción práctica – Retenedor de orden cero
restoTt
th s
,00,1
)( 0
<<=
ω
ωω
ωωω
δ
ω
δ
δ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎯→←
=
=−=−=
−
∞
∞−
∞
∞−∑∑
22)()(
)()()(
)(*)()(][*)()(][)(
2/00
00
0000
s
TjFT
ss
TsenejHth
jXjHjX
txthnTtnxthnTthnxtx
s
Figure 4.39 (p. 379)Effect of the zero-order hold in the frequency
domain. (a) Spectrum of original continuous-time signal.
(b) FT of sampled signal. (c) Magnitude and phase
of Ho(jω). (d) Magnitude spectrum of signal reconstructed using zero-order hold.
8
4.7 (cont_4)
El retenedor de orden cero introduce tres formas de modificación :1. Corrimiento en fase lineal correspondiente a un retardo de Ts/2 2. La curvatura del lóbulo principal de H0(jω) distorsiona Xδ(jω)
entre –ωm y ωm3. Versiones distorsionadas y atenuadas de X(jω) aparecen en kωs
Al retener cada valor de x[n] por Ts estamos introduciendo uncorrimiento de Ts/2 en x0(t)
Las transiciones abruptas en x0(t) sugieren la presencia de componentes de alta frecuencia (3.)
Las modificaciones (1.) y (2.) se reducen incrementando ωs
Filtro antiimagen causal (de compensación)
Figure 4.40 (p. 380)Frequency response of a compensation filter used to eliminate some of the distortion introduced by the zero-order hold.
Figure 4.41 (p. 380)Block diagram of a practical reconstruction system.
9
4.8 Procesamiento en tiempo discreto de señales entiempo continuo
Sistema básico de procesamiento de señales en tiempo discreto
Métodos de FourierVentajas (poder y flexibilidad de los computadores) :1. Facilidad manipular señales2. Fácil implementación ( programa de ordenador )3. Cambios en tiempo real
Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)
Periódica (k,Ω)
Discreta [n]
No periódica
(k,ω)
Continua (t)
No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo
[ ] tjk
k
ekXtx 0)( ω∑∞
−∞=
=
[ ] dtetxT
kX tjkT0
0)(1 ω−∫=
Tπω 20 =⇒x(t) periodo T
FS FT
DTFS DTFT
njk
Nnenx
NkX 0][1][ Ω−
=∑=
njk
NkekXnx 0][][ Ω
=∑=
Nπ2
0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N
( ) Ω= Ω
−
Ω∫ deeXnx njjπ
ππ21][
( ) nj
n
j enxeX Ω−∞
−∞=
Ω ∑= ][
( )ΩjeX tiene periodo 2π
∫∞
∞−= ωω
πω dejXtx tj)(
21)(
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
10
4.3 y 4.4 (res.)
)(][2)(][][ 0
1
0
0 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑∑∞
−∞=
ΩΩ−
=
kkXeXekXnxk
jDTFTnjkN
kδπ
* Relación entre la FT y la FS
[ ] [ ] )(2)()( 00 ωωδπωω kkXjXekXtx
k
FTtkj
k−=⎯→←= ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
* Relación entre la DTFT y la DTFS
* Convolución de señales periódicas y no periódicas
∑∞
−∞=
−=⎯→←=k
FT kkXjkHjYthtxty )(][)(2)()(*)()( 00 ωωδωπω
)(][)(2)(][*][][ 00 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑
∞
−∞=
ΩΩ kkXeHeYnhnxnyk
kjDTFT δπ
* Modulación de señales periódicas y no periódicas
)(][)()()()( 0ωωω kGkXjYtxtgtyk
FT −=⎯→←= ∑∞
−∞=
)(][)(][][][ )( 0Ω−Ω
=
Ω ∑=⎯⎯ →←= kj
Nk
jDTFT eGkXeYngnxny
Problema 4.17
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= nsennnx
58cos][ ππ
Calcular la representación DTFT de la siguiente señal periódica :
Relación entre la DTFT y la DTFS )(][2)(][][ 0
1
0
0 Ω−Ω=⎯⎯ →←= ∑∑∞
−∞=
ΩΩ−
=
kkXeXekXnxk
jDTFTnjkN
kδπ
π/8=5 2 π/80π/5=8 2 π/80
11
Problema 4.17
Problema 4.16
* Relación entre la FT y la FS [ ] [ ] )(2)()( 00 ωωδπωω kkXjXekXtx
k
FTtkj
k
−=⎯→←= ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
π=1 2 π/22 π =2 2 π/2
12
Problema 4.22