CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

CAPTULO 3

ESTRATGIAS DE CLCULO11 DE AGOSTO DE 2008

REVISO

ENGENHARIA DE PROCESSOSSeqncia de etapas responsveis pela transformao de uma matria prima num produto de interesse industrial. Conceito abrangente: inclui todas as transformaes qumicas espontneas, por ao de catalisadores ou de microrganismos.PROCESSO ???Aplicvel aos 4 Cursos da Escola de Qumica

rea da Engenharia Qumica dedicada ao Projeto de Processos QumicosENGENHARIA DE PROCESSOS

O conjunto de aes desenvolvidas Desde A deciso de se produzir um determinado produto qumicoAtUm plano bem definido para a construo e a operao da instalao industrial. um conjunto numeroso e diversificado de aes !!!1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUMICOS

1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto(a) previso do desempenho do sistema.(b) avaliao do desempenho do sistema.(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definio da estrutura do sistema.PROJETO = SNTESE ANLISEDenominao genrica atribuda ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas criao de um sistema.Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:SNTESEANLISE

SELEO DE ROTAS QUMICASSNTESEANLISE

Equipamentos disponveis para a gerao do fluxograma do Processo IlustrativoA Sntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausveis em busca do melhor.Um problema com multiplicidade de soluesMULTIPLICIDADE NA SNTESE

EXPLOSO COMBINATRIA !!!

MULTIPLICIDADE NA ANLISEProblema: determinar o melhor par de valores Dificuldade: infinidade de solues viveisCada par (x1,x2) uma soluo vivel

1.3 SISTEMAS 1.3.6 OtimizaoFonte da complexidade: multiplicidade de solues nos trs nveis.Nvel Tecnolgico: determinar a melhor rota qumica.Nvel Paramtrico (Anlise): determinar as dimenses timas de equipamentos e correntes.Nvel Estrutural (Sntese): determinar a estrutura tima.O Projeto de Processos um problema complexo de otimizao.Multiplicidade de SoluesExige a busca da OtimizaoA multiplicidade de solues, tanto na Sntese como na Anlise, conduz ao conceito de Otimizao.Soluo timaatravs da

Nvel TecnolgicoSeleo de uma RotaFluxograma ?Dimenses ?Nvel EstruturalSntese de um FluxogramaDimenses ? Lucro?Nvel ParamtricoAnlise do FluxogramaDimensionamentodos Equipamentos e das Correntes. Lucro.Soluo tima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4RaizRota Qumica ?Fluxograma ?Dimenses ?Decomposio, Representao e Resoluo do Problema de Projeto por Busca Orientada por rvore de Estados

Nvel TecnolgicoSeleo de uma RotaFluxograma ?Dimenses ?Nvel EstruturalSntese de um FluxogramaDimenses ? Lucro?Nvel ParamtricoAnlise do FluxogramaDimensionamentodos Equipamentos e das Correntes. Lucro.Soluo tima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimenses.RaizRota Qumica ?Fluxograma ?Dimenses ?Soluo do Problema de Projeto por Busca OrientadaVantagemVarre todas as solues sem repeties sem omitir a timaDesvantagemExploso Combinatria (outros mtodos)

2. INTRODUO ANLISE DE PROCESSOS

2.2 Etapas Preparatrias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemtica 2.2.3 Propriedades Fsicas e Coeficientes Tcnicos2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulao 2.3.1 Informaes Relevantes: condies conhecidas, metas de projeto e de operao 2.3.2 Balano de Informao: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execuo: dimensionamento, simulao, otimizao 2.3.4 Mdulos Computacionais: Estratgia de Clculo, Avaliao Econmica Preliminar, Otimizao Paramtrica2.4 Um Programa Computacional para Anlise de Processos2.1 Objetivo e Procedimento Geral

2.1 OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERALBola de CristalObjetivo da AnlisePrever e avaliaro desempenho fsico e econmicoou ainda inexistente (em fase de projeto)de um processo j existente (em operao)

Consiste em (a) prever as dimenses dos principais equipamentos e as condies das correntes, necessrias para atender s especificaes tcnicas estabelecidas para o projeto. BaseModelo MatemticoPrever e avaliar o desempenho FSICO(b) prever o comportamento do processo em condies diferentes daquelas para qual foi dimensionado.(???)

Consiste em Verificar se o processo atende aos critrios econmicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operao.BaseCritrio EconmicoPrever e avaliar o desempenho ECONMICO(???)

Dimensionamento(c) seleo de mtodos para a estimativa das propriedades e dos parmetros fsicos e econmicos.(b) modelagem matemtica(a) reconhecimento do processoA Anlise se inicia com as seguintes etapas preparatrias:Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da anlise:Simulao

Resumo da Anlise de ProcessosCorrespondncia dos Captulos com os Mdulos Computacionais

MOTIVAO PARA O CAPTULO 3

Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo (Captulo 2)Forma Geral dos Modelos Matemticos de Processosf1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 024. Balano Material da gua: W11 - W12 = 025. Balano Material do Benzeno: W10 - W13 = 026. Balano de Energia na Corrente de gua: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 027. Balano de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 028. Equao de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 029. Definio do T Mdio Logartmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

Modelo do Processo01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. f13 - k (f23/f32) f12 = 0 05. f13 - k (f23/f32) f12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 Td = 0 10. T3 Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 T7)] - Qe = 015. Qe [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 0 18. T4 Te = 0 19. T5 Te = 020. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e EquipamentosConsiste em utilizar tcnicas de processamento de informao na resoluo dos modelos em problemas de dimensionamento, simulao e otimizao.Competem ao Engenheiro Qumico(a) a Formulao (Modelagem Matemtica): (b) a Resoluo : para representar o processo matematicamente. pr-requisito para esta Disciplina.Formulao e Resoluo !!!Formulao e Resoluo dos Modelos

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prvio de uma Estratgia de ClculoTema deste CaptuloFontes de complexidade:Em geral, os modelos de processos so muito complexos.(c) presena de reciclos nos processos(b) no-linearidades em muitas equaes(a) grande nmero de equaes e de variveisDesafio: como viabilizar a resoluo de modelos to complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possvel ???

Objetivo de uma Estratgia de Clculominimizar o esforo computacional envolvido na resoluo dos modelos (problemas de dimensionamento, simulao e otimizao de processos).

FINALIDADE DO CAPTULO 3Familiarizao com modelos matemticos de processos: - sua estrutura - os mtodos de resoluo - aplicaes na anlise de processos complexos.Base dos softwares comerciais

3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.1 Equaes No-Lineares

3.1 EQUAES NO LINEARES A resoluo dos modelos passa pela resoluo de equaes do tipo f (x1*, x2*,, xi,, xn*) = 0

em que a incgnita xi calculada a partir dos valores conhecidos das demais variveis xj*.Motivao para o estudo de equaes no-lineares isoladasMtodos de resoluo de equaes sero invocados adiante na resoluo de sistemas de equaes.

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.1.1 Representao

A equao f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,, xM*) = 0

pode ser vista como um processador de informao assim representado graficamente:3.1 EQUAES NO LINEARES 3.1.1 Representao

A dificuldade da resoluo de

f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,, xM*) = 0

depende da sua forma funcional.Se a incgnita fr x2: x1* x2 + ln x1* = 0Se a incgnita fr x1: x1 x2* + ln x1 = 0A resoluo pode ser analtica simples: x2 = - (ln x1*)/x1*A resoluo tem que ser numrica por tentativas (inmeros mtodos).Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao

3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.1.2 Resoluo

Mtodos de Aproximaes SucessivasH duas famlias importantes de mtodos numricos para a resoluo de equaes no-lineares.Mtodos deReduo de IntervalosPor diferentes raciocnios lgicos, promovem a reduo do intervalo at que se torne menor do que uma tolerncia pr-estabelecida.Por diferentes raciocnios lgicos, testam novos valores at que a diferena relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerncia pr-estabelecida.Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior)Partem de um valor inicial.3.1.2 Resoluo

Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi . Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como soluo.(a) Mtodos de Reduo de Intervalos3.1.2 ResoluoEste reduzido sucessivamente at se tornar menor do que uma tolerncia pr-estabelecida: xs - xi .

Um mtodo tpico de Reduo de IntervalosMtodo da Bisseo ou Busca BinriaA cada iterao, o intervalo de incerteza reduzido metade.

f(x)xALGORITMO SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTO Soluo = xi SENO Soluo = xsf(x)xxixsxEstabelecer xi, xs, (tolerncia)Calcular fi em xiCalcular fs em xsREPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em xSe Sinal (f) = Sinal (fs): atualizar : xs = x : fs = fSe Sinal (f) = Sinal (fi): atualizar : xi = x : fi = fAT xs - xi

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0Soluo para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 10,00005 -11,51 0,5 0,3070,5 0,307 0,375 -0,2310,5 0,3070,25 -0,880,375 -0,2310,4375 0,0480,5 0,3070,25 -0,880,375 -0,2310,43750,0480,50,250,1250,0625f = x1 x2* + ln x1Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1 Tolerncia: = 0,1Com 6 clculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%. Com 9, o intervalo reduzido a menos de 1%

3.1.2 ResoluoAtribui-se um valor inicial para a incgnita. (b) Mtodos de Aproximaes Sucessivasx1x2x3Esse valor atualizado sucessivamente at que o erro relativo entre duas aproximaes sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerncia pr-estabelecida.x4

Um mtodo tpico de Aproximaes SucessivasMtodo da Substituio DiretaEm cada iterao, o valor arbitrado para xi o valor de F(xi - 1) obtido na iterao anterior.A incgnita explicitada parcialmente: f(xi ) = 0 xi = F(xi)A soluo o valor de xi em que F(xi) = xi .

ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerncia)F = xinicialREPETIR x = F Calcular a Funo F em xAT Convergirxsoluo = FCondio para Convergncia : |F(x)| < 1Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)F(x) > 0: Comportamento Monotnico F(x) < 0: Comportamento OscilatrioModos de Convergncia

(c)F'(x) < 0|F'(x)| < 1convergncia oscilanteF(x)xx1x2x3F(x)x(a)F'(x) > 0|F'(x) < 1convergncia monotonicax1x2x3xsoluo = FConvergir = |(F - x)/x| < ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerncia)F = xinicialREPETIRx = FCalcular a Funo F em xAT Convergir

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0x1 = e - x1 x2* F(x1) = e - x1 x2*x1 = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = - (1/ x2*) ln x1Duas formas de explicitar a incgnita:

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0x1 = F(x1)(x2* = 2 : x1 inicial = 0,5)F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x1 x2*Divergncia Oscilatria F(x1) = - 1,17Convergncia Oscilatria F(x1) = - 0,85 Soluo: x = 0,4263 x F 0,50,3460,3080,3460,5290,5290,5290,3170,4000,3170,5730,8060,5730,2780,515 x F 0,50,3670,2640,3670,4790,3020,4790,3830,1990,3830,4640,2100,4640,3950,149

Em resumo:Equaes No-Lineares podem ser resolvidas por mtodos: reduo de intervalos (ex.: bisseo) aproximaes sucessivas (ex.: substituio direta)Esses mtodos sero evocados a seguir em Sistemas de Equaes.

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas

3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares3.2.1 Estrutura e representao

A equao f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,, xM) = 0 representada como um processador de informao3.2 SISTEMAS DE EQUAES NO LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representao

Estrutura dos Sistemas de Equaes As equaes de um modelo ser interligadas pelas variveis comuns (conexes) formando um sistema.Os sistemas de equaes podem assumir as mais variadas estruturas.Estruturas Bsicas

Quanto mais complexa a estrutura, mais difcil a resoluo do sistema.Estrutura acclica: resoluo trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer varivel conhecida (xo, por exemplo).Estrutura cclica: soluo somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o clculo de x1 depende de x3 ainda no calculada).

Caractersticas Especiais na Engenharia de Processos(a) o nmero de variveis em cada equao pequeno: nem todas as variveis figuram em todas as equaes.(b) em problemas de simulao corretamente formulados, o nmero de equaes igual ao de incgnitas.(c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o nmero de incgnitas pode ser igual ou superior ao de equaes. Quando maior otimizao.

Um Sistema de Equaes Tpico de um Modelo de Processo1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0

EstruturaMatrizes Esparsas !1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0Representao Matricial

Estrutura1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0Representao Grfica (Grafo)Ciclo !

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao

3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.2.2 Resoluo

3.2.2 ResoluoOs sistemas de equaes podem ser resolvidos por - mtodos simultneos- mtodo seqencial.

Mtodos Simultneos Todas as variveis so alteradas simultaneamente. Diversos mtodos so descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Mtodos Numricos.Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...

Mtodo Seqencial Elementos importantes:

(a) partio(b) abertura(c) Algoritmo de Ordenao de EquaesAproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforo computacional.

Decomposio em sub-sistemasPARTIO1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0Uma estratgia para resolver o SistemaResoluo seqencial dos sub-sistemas soluo do Sistema

Um instrumento fundamental para a resoluo de problemasALGORITMO

ALGORITMO uma seqncia inequvoca de aes bem definidas que conduzem sempre soluo de um problemaAssim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegar sempre soluo do problema.O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo uma receita culinria. Um outro no campo da matemtica o da extrao da raiz quadrada de um nmero.Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iteraes) ou exigir decises (lgica e comparaes).Algoritmos podem ser programas em computadoresExistem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligncia Artificial)

Algorithm

Definition: A computable set of steps to achieve a desired result.

Note: The word comes from the Persian author Abu Ja'far Mohammed ibn Ms al-Khowrizm who wrote a book with arithmetic rules dating from about 825 A.D.. www.nist.gov/dads/HTML/algorithm.html Origem dos AlgoritmosAn algorithm (pronounced AL-go-rith-um) is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.

AlgorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaFlowcharts are often used to graphically represent algorithms.In mathematics and computing, an algorithm is a procedure (a finite set of well-defined instructions) for accomplishing some task which, given an initial state, will terminate in a defined end-state. Informally, the concept of an algorithm is often illustrated by the example of a recipe, although many algorithms are much more complex; algorithms often have steps that repeat (iterate) or require decisions (such as logic or comparison). Algorithms can be composed to create more complex algorithms.

Um instrumento importante para a resoluo de sistemas de equaesALGORITMO DE ORDENAO DE EQUAES

um algoritmo de atribuio de tarefas: a cada equao atribuda a tarefa de calcular uma das variveis do sistema.3. Em problemas com graus de liberdade, indica as variveis de projeto compatveis com o esforo computacional mnimo.1. Organiza as equaes segundo a seqncia lgica, minimizando o esforo computacional seqncia de clculo.2. Efetua naturalmente a partio do sistema em conjuntos cclicos e acclicos de equaes, minimizando o nmero de equaes envolvidas em clculos iterativos.Algoritmo de Ordenao de Equaes (A.O.E.)Propriedades do Algoritmo (antecipando)4. Em problemas com ciclos, indica as variveis de abertura.

ELEMENTOS BSICOS DO ALGORITMOEquaes de Incgnita nicaVariveis de Freqncia UnitriaCiclos

Equaes de Incgnita nicaExemplo: equao 1 no sistema f1 (xo*, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0Equaes em que todas as variveis tm os seus valores conhecidos, menos uma!Pela lgica: as primeiras a serem resolvidas !

Varveis de Freqncia UnitriaVariveis que pertencem a uma s equaoExemplo: x8 na equao 8 f7 (x6, x7) = 0 f8 (x7, x8) = 0Pela lgica: s podem ser calculadas por esta equaes e depois de todas que as antecedem.

Ciclosx6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)Conjuntos cclicos de equaes em que cada varivel vem a ser funo dela mesma.

METAProduzir uma sequncia de clculo

Estruturao intuitiva simples do Algoritmo

Algoritmo de Ordenao de Equaes (A.O.E.)Etapa 1Ordenar, na sequncia direta as equaes de incgnita nica (EIU)1.f1(xo*, x1) = 02.f2 (x1, x2) = 03.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0No h mais EIU ! 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1)2.f2 (x1, x2) = 0

Estgio da Formao da Seqncia de Clculo

Etapa 2 Ordenar, na seqncia inversa as equaes com variveis de frequncia unitria (VFU) 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1)3.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0No h mais VFU ! 8. x8 = f8 (x7) 7. x7 = f7 (x6)

As equaes remanescentes formam um ciclo !!!Estgio da Formao da Seqncia de Clculo

Preparao do sub-sistema cclico para resoluo por tentativas(d) Estabelecer o esquema de convergncia (a) Selecionar uma Equao Final(b) Retornar Etapa 2 (VFU)(c) Identificar a Varivel de Abertura (no atribuda a qualquer equao)

Algoritmo de Ordenao de Equaes

Algoritmo de Ordenao de EquaesEnquanto houver equaes

APLICAO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -

Seqncia

Seqncia1 - x12 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -

1 - x12 - x23 -4 -5 -6 -7 -8 -Seqncia

12XO*X1X2

Seqncia1 - x12 - x23 -4 -5 -6 -7 -8 -

1 - x12 - x23 -4 -5 -6 -7 -8 - x8Seqncia

1 - x12 - x23 -4 -5 -6 -7 - x78 - x8Seqncia

Ciclo!1 - x12 - x23 -4 -5 -6 -7 - x78 - x8Seqncia

Equao Final: 61 - x12 - x23 -4 -5 -6 final7 - x78 - x8Seqncia

1 - x12 - x23 -4 -5 -6 - final7 - x78 - x8Seqncia

1 - x12 - x23 -4 -5 - x56 - final7 - x78 - x8Seqncia

1 - x12 - x23 -4 - x45 - x56 - final7 - x78 - x8Seqncia

1 - x12 - x23 - x34 - x45 - x56 - final7 - x78 - x8Seqncia

Varivel de Abertura: x61 - x12 - x23 - x34 - x45 - x56 - final7 - x78 - x8x6Seqncia

Resoluo do Ciclo (a) Selecionar uma Equao Final (b) Retornar Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Varivel de Abertura (d) Estabelecer o esquema de convergncia x6

Esquemas de resoluo do subsistema cclico por abertura(a) BisseoA cada iterao:- arbitra-se x6a segundo o mtodo da bisseo equaes 3 e 6. resolve-se sucessivamente as equaes 3, 4 e 5. pela equao 6 calcula-se f6 (x5, x6). avalia-se a convergncia pelo critrio do mtodo da bisseo.f(x)xxixsx

Esquemas de resoluo do subsistema cclico por abertura(b) Substituio DiretaArbitra-se x6c inicial.A cada iterao: toma-se x6a = x6c . resolve-se sucessivamente as equaes 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c. avalia-se a convergncia atravs do erro relativo.

Comparao dos esquemas de resoluo do subsistema cclico

Algoritmo de Ordenao de EquaesEnquanto houver equaes

Uma vez ordenadas, as equaes podem ser resolvidas na seqncia estabelecida, com o mnimo de esforo computacional.

Algoritmo de Ordenao de Equaes

Aplicao a 4 Sistemas tpicos em Engenharia de Processos.

G = 0 : soluo nica, sem varivel de projetoCiclo potencial: pode haver varivel de abertura

Algoritmo de Ordenao de EquaesEnquanto houver equaes com incgnita nica (c) remover a varivel. 4 x4 3 x3 2 x2 1 x1Seqncia de ClculoEquaoVarivelMatriz Incidncia x1 x2 x3 x4 1 * * 2 * * *3 * *4 *XXXX(a) atribuir (vincular) essa incgnita respectiva equao.(b) colocar a equao na primeira posio disponvel na Seqncia de Clculo.

O Sistema 1 como um Problema de Simulao ou de Dimensionamento sem Otimizao - Sequncia Acclica 4 x4 3 x3 2 x2 1 x1Seqncia de ClculoEquaoVarivel

G = 1 : problema de otimizao, com varivel de projeto.Ciclo potencial: pode haver varivel de abertura.

Algoritmo de Ordenao de EquaesEnquanto houver equaes com incgnita nica (a) atribuir (vincular) essa incgnita respectiva equao.(b) colocar a equao na primeira posio disponvel na Seqncia de Clculo.(c) remover a varivel. 4 x5 3 x3 2 x2 1 x1Seqncia de ClculoEquaoVarivelMatriz Incidncia x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * *3 * *4 * *XXXXXEnquanto houver equaes Enquanto houver variveis de freqncia unitria(c) remover a equao.x4 varivel de projeto(a) atribuir (vincular) essa varivel respectiva equao.(b) colocar a equao na ltima posio disponvel na Seqncia de Clculo.

O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimizao - Sequncia Acclicax4 : varivel de projeto

G = 0: soluo nica, sem varivel de projetoCiclos potenciais: podem haver variveis de abertura

4 x4 3 x3 1 x2 2 finalSeqncia de ClculoEquaoVarivelXXXXXXx1: Varivel de Abertura

O Sistema 3 como um Problema Simulao ou de Dimensionamento sem Otimizao - Sequncia Cclicax1 : varivel de aberturaPROCESSOLEE*4321x4x3x2x1AVALIAOECONMICAx1 x2 x3 x4

G = 1: problema de otimizao com varivel de projetoCiclos potenciais: pode haver variveis de abertura

Matriz Incidncia x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * * *3 * *4 * *XXXXX 4 x5 3 x3 1 x2 2 finalSeqncia de ClculoEquaoVarivelXX

O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimizao - Sequncia CclicaE*PROCESSOOTIMIZAOLE321x4x3x42xx15AVALIAOECONMICAx4: varivel de aberturax1 : varivel de projetoMatriz Incidncia x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * * *3 * *4 * *XXXXX 4 x5 3 x3 1 x2 2 finalXXx1x4

COMPARAO DOS 4 PROBLEMAS

PROCESSO*LEEx14321x4x3x2x1x2x3x4AVALIAOECONMICASol.nica sem cicloOtimizao com cicloSol.nica com cicloOtimizao sem ciclo

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAO DOALGORITMO DE ORDENAO DE EQUAES- Variveis discretas- Variveis de clculo direto e iterativo- Variveis limitadas- Ciclos mltiplos- Variveis de abertura e de projeto- Eliminao de ciclos.

Variveis DiscretasSeus valores so limitados a um conjunto finito.

Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- dimetros comerciais de tubos.- nmero de estgios.Em problemas com G > 0 elas tm preferncia como Variveis de Projeto.Assim:

- assumem apenas os valores viveis atribudos pelo otimizador.- no sendo calculadas, no h risco de assumirem valores inviveis.

x = 1 : y = 3 a = 3 (no existe !)a = 0,5 : x = 1 y = 0,5a = 1 : y = 1 x = 1G = 2 (duas variveis de projeto)Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5]Logo: a tem que ser uma das duas variveis de projeto

Variveis de Clculo Direto ou IterativoNesta equao:

- uma varivel de clculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T de clculo iterativo (dado e as demais Ts)As variveis de clculo direto tm preferncia para a condio de calculadas.Variveis de clculo direto so aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equao e calculadas sem necessidade de iteraes.

Varveis LimitadasOs seus valores variam entre limites bem definidos.Exemplos:- fraes mssicas ou molares- temperaturas em trocadores de calorVariveis limitadas devem ter preferncia para atuar como variveis de abertura e de projeto.Durante a execuo do Algoritmo, a atribuio deve ser postergada ao mximo para que essa preferncia seja concretizada.

Ciclos Mltiplos Ciclos em SequnciaPrimeira entrada de x7: eq. 5Primeira entrada de x3: eq. 1Fechar o ciclo com a final mais prximaUm sistema de equaes pode exibir diversos ciclos.

Ciclos AninhadosCiclos MltiplosPrimeira entrada de x7: eq. 7Primeira entrada de x4: eq. 4Fechar o ciclo com a final mais prxima

Variveis de Abertura e de Projeto SimultneasEm problemas com G > 0 e com ciclo, a varivel de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equao Final, um ciclo com o menor nmero de equaes.

Eliminao de CiclosSubstituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica s com x12 como incgnita.Explicitando x12, resulta 02, localizada logo depois de 31. A seqnciafica sem ciclo.

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes

3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulao dos EquipamentosAdquirir familiaridade com os equipamentos antes de integr-los no processo (livres de interaes). Motivao para estudar os equipamentos isolados:Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaoque integram o programa de anlise do processo.Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS

Projeto e Anlise dos Equipamentosde Processo

ReatoresTrocadores de calorSeparadoresTorres de destilaoTorres de absoroExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...Instrumentos de Controle AutomticoTratamento compartimentado!

Fragmentando o Processo ...

01. Balano Material do cido Benzico: f11 - f12 - f13 = 002. Balano Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balano Material da gua: f31 - f32 = 004. Relao de Equilbrio Lquido-Lquido: f13 - k (f23/f32) f12 = 005. Relao de Equilbrio Lquido-Lquido: k (3 + 0,04 Td) = 0 06. Balano de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Equao de Dimensionamento: Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. Frao Recuperada de cido Benzico: r - f13/f11 = 0 09. Fases em Equilbrio T2 Td = 0 10. Fases em Equilbrio T3 Td = 0EXTRATOR34. Vazo Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Frao Mssica na Corrente 1: x11 - f11 /W1 = 036. Vazo Total na Corrente 2: f12 + f22 W2 = 037. Frao Mssica na Corrente 2: x12 - f12/W2 = 038. Vazo Total na Corrente 3: f13 + f23 W3 = 039. Frao Mssica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazo de benzeno necessrios para recuperar 60% do cido benzico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentao, a 25 oC, com um tempo de residncia de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentraes das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno 25 oC. W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31115AlimentaoExtrato3W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATORRafinadoBOMBA2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 hr* = 0,60Vd W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/hW3 = 37.544 kg/h x13 = 0,002T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.424 kg/hf11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/hW15 = 37.425 kg/hW15Vd = 11.855lBalano de Informao V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 !Metas de Projeto Mximo = 2V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

EXTRATOR

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR

Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31

SIMULAO DO RESFRIADOR

Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR

Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac

SIMULAO DO CONDENSADOR

Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAc25T9Biss

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR

EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7

SIMULAO DO EVAPORADOR

EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR

DIMENSIONAMENTO DO MISTURADOR

Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15

SIMULAO DO MISTURADOR

Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac

34*OCorrentes MulticomponentesX27W13

35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2

20XOCondensador11f14

21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12

34XOCorrentes MulticomponentesX28W11

35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

35. f11 = x11 W108. f13 = r f1101. f12 = f11 - f13 34. f31 = W1 - f11 03. f32 = f3136. W2 = f12 + f32 37. x12 = f12 / W2 e = f11 Cp1 + f31 Cp3 : f = f13 f32 * Cp2l / f12 a = 0.04 : b = f / e - 0.04 T1 + 3 : c = 3 T1 + T15 f / e d = (b2 + 4 a c)06. Td = (d - b) / 0.08 (Varivel de Abertura)05. k = 3 + 0.04 Td (Incio do Ciclo)04. f23 = f13 f32 / k / f12 02. W15 = f23 (Final do Ciclo)07. Vd = (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3) 38. W3 = f13 + f2339. x13 = f13 / W309. T2 = Td 10. T3 = TdDimensionar o Extrator

Problema proposto: determinar as vazes e as concentraes das correntes de extrato e de rafinado, a frao recuperada de cido benzico e o tempo de residncia, caso o extrator de Vd = 11.855 l fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e no com os 37.425 kg/h de projeto (as demais condies de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h115AlimentaoExtrato3EXTRATORRafinadoBOMBA2 V*d = 11.855 lW*15 = 50.000 kg/h T*15 =25 oC r = 0,67 = 0,075 hW2 = 99.867 kg/h x12 = 0,0007T2 = 25 oC f12 = 67 kg/h f32 = 99.800 kg/hW3 = 50.133 kg/h x13 = 0,0026T3 = 25 oC f13 = 133 kg/h f23 = 50.000 kg/hSIMULAO DO EXTRATORG = 0 !

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAc25T9Biss

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

02. f23 = W1535. f11 = W1 x11 a = f11 Cp1 + f31 Cp3 b = W15 Cp2l06. Td = (a T1 + b T15) / (a + b) 05. k = 3 + 0.04 Td 09. T2 = Td10. T3 = Td 32. f31 = W1 - f1103. f32 = f31 07. = Vd / (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3)04. f12 = f11 f32 / (f32 + k * f23) (Varivel de Abertura)01. f13 = f11 - f12 (Incio e Final do Ciclo)08. r = f13 / f1136. W2 = f12 + f3237. x12 = f12 / W238. W3 = f13 + f2339. x13 = f13 / W3Simular o Extrator

26. Balano Material da gua: W11 - W12 = 027. Balano Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balano de Energia na Corrente de gua: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balano de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equao de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definio do T Mdio Logartmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0RESFRIADOR


Problema proposto: determinar a vazo de gua de resfriamento e a rea de troca trmica do resfriador necessrias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado at 25 oC. A gua se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAc25T9Biss

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

27. W13 = W10 29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 26. W12 = W11 30. Ar = Qr / (Ur dr ) d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) Dimensionar o Resfriador


Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saida do benzeno e da gua, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invs de 36.345 kg/h, mantidas a vazo e a temperatura da gua de resfriamento. Resultado do dimensionamento

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAc25T9Biss

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

26. W12 = W11 27. W13 = W10 T = T10 - T11 a1 = 1 / (W10 Cp2l): a2 = 1 / (W11 Cp3): e1 = Exp (Ur Ar (a1 - a2))30. Qr = T (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) (Varivel de Abertura)28. T12 = T11 + Qr a2 (Incio do Ciclo) 29. T13 = T10 - Qr a1 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T1131. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) (Fim do Ciclo)Simular o Resfriador

20. Balano Material da gua: W8 - W9 = 021. Balano Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balano de Energia na Corrente de gua: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balano de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 T10)] - Qc = 024. Equao de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definio do T Mdio Logartmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0CONDENSADOR


Problema proposto: determinar a vazo de gua de resfriamento e a rea de troca trmica necessrias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a lquido saturado. A gua se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAc25T9Biss

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8 25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W824. Ac = Qc / (Uc * dc)Dimensionar o Condensador


Problema proposto: determinar a vazo de gua necessria para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invs dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a rea de 119 m2. O condensador conta com um sistema de controle que manipula a vazo de gua de modo a garantir a saida do benzeno como lquido saturado. A gua se encontra a 15 oC.resultado do dimensionamento

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAcBiss25T9

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

21. W10 = W523. Qc = W5 224. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resoluo por Bisseo)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 20. W9 = W8Simular o Condensador

11. Balano Material do cido Benzico: f13 - f14 = 012. Balano Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balano Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balano de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 T7)] - Qe = 015. Balano de Energia na Corrente de Processo: Qe [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equao de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definio da Diferena de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 0 18. Fases em Equilbrio T4 Te = 0 19. Fases em Equilbrio T5 Te = 0EVAPORADOR38. Vazo Total na Corrente 3: f13 + f33 W3 = 039. Frao Mssica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazo Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Frao Mssica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0


Problema proposto: determinar a vazo de um vapor a 150 oC e a rea de troca trmica necessrias para obter um concentrado com 10% de cido benzico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma soluo de 0,32% de cido benzico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como lquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAcBiss25T9

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

15. De = T6 - T35. f13 = W3 x1309. f14 = f1334. f23 = W3 - f1337. W4 = f14 / x1436. f24 = W4 - f1410. W5 = f23 - f2413. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 l212. W6 = Qe / (l3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W614. Ae = Qe / (Ue De)Dimensionar o Evaporador

SIMULAO DO EVAPORADORProblema proposto: determinar as vazes de vapor e de evaporado, a vazo e a concentrao do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de rea de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de soluo e no mais com 37.545 kg/h. O evaporador dotado de um sistema de controle que manipula a vazo de vapor de modo a garantir que esse vapor saia como lquido saturado a 150 oC.resultado do dimensionamento

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAcBiss25T9

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W635. f13 = W3 * x1309. f14 = f1334. f23 = W3 - f1313. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f2437. x14 = f14 / W4Simular o Evaporador

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos

3.4.2 Estratgia Modular3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAO DE PROCESSOS Todas as equaes so consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem. a estratgia mais indicada para dimensionamento.O Algoritmo de Ordenao de Equaes executado como se fosse para um equipamento isolado.3.4.1 ESTRATGIA GLOBALExistem duas estratgias bsicas: - Estratgia Global- Estratgia Modular

Dimensionamento do Processo Estratgia Global01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. f13 - k (f23/f32) f12 = 0 05. f13 - k (f23/f32) f12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 Td = 0 10. T3 Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 T7)] - Qe = 015. Qe [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 0 18. T4 Te = 0 19. T5 Te = 020. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

EXTRATOR


Eq.Var.

1XOX35f11

2OX8f13

3XOk1f12

4XXOXX34f31

5OX3f32

6XXXXXXt36W2

7XXXOXr37x12

8XOXTd5k

9XO4f23

10XO2W15

34XOX6

35OXX7Vd

36XXO38W3

37XXO39x13

38XXO9T2

39XXO10T3

SIMULAO DO EXTRATOR

Eq.Var.

1XXO2f23

2XO35f11

3XOk6Td

4XXXXX5k

5OX9T2

6XXOXXt10T3

7XXXXOr34f31

8XOO3f32

9XO7t

10XOf121f13

34XOX4

35OXX8r

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

RESFRIADOR


Eq.Var

26XO27W13

27XOQr29Qr

28OXXX28W11

29XOXXAr26W12

30XOX30Ar

31XXXXO31


Eq.Var

26XO26W12

27XOQr27W13

28XXXO28T12

29XXXOAr29T13

30XXXQr31

31XXXXO30

CONDENSADOR


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX25

23XOXXAc22W8

24XOX20W9

25XXXXO24Ac


Eq.Var

20XO21W10

21XOQc23Qc

22OXXX24

23XOXXAcBiss25T9

24XXO22W8

25XOXXX20W9

EVAPORADOR


EqVar

11XO17

12XXO18T4

13XOQe19T5

14OXXX39f13

15XXXOXXAe11f14

16XOX38f23

17XXO41W4

18XO40f24

19XO12W5

38XOX15Qe

39OXX16Ae

40XOX14W6

41XOX13W7


EqVar

11XO17

12XOX16Qe

13XOQe14W6

14OXXX13W7

15XXOXXXAe18T4

16OXX19T5

17XXO39f13

18XO11f14

19XO38f23

38XOX15W5

39OXX12f24

40XXO40W4

41XXO41x14

MISTURADOR


Eq.Var.

32XOX32W14

33XXXXXO33T15


Eq.Var.

32XXO32W15

33XXXXXO33T15

PROCESSODIM

EV

1*O*Extrator5k

2O*9T2

3*Ok10T3

4**O**17

5OX18T4

6**XXOt19T5

7***OXr25

8*OX35f11

9XO8f13

10XO1f12

11*OEvaporador11f14

12**O34f31

13*O3f32

14OXX*4f23

15****OX2W15

16*O*6T15

17XXO7Vd

18XO36W2

19XO37x12

20*OCondensador38W3

21*O39x13

22O*XX41W4

23**OX40f24

24*O*12W5

25*XXXO15Qe

26*OResfriador14W6

27*O13W7

28O*XX16Ae

29*XO*21W10

30*O*23Qc

31XXX*O22W8

32*Misturador*O20W9

33**O*X24Ac


35OXX32W14

36**O33T14

37**O31

38**O29Qr

39**O28W11

40*O*26W12

41*OX30Ar

PROCESSOSIM

EV

1XXOExtrator35f11

2XO34f31

3XOk3f32

4XXXXX

5OXf121f13

6XXXXXOt2f23

7XXXXOr32W13

8XXO27W10

9XO21W5

10OX16

11XOEvaporador17Te

12XOX15T3

13XO10Td

14OXXX5k

15XXOXXX4

16XXO6T15

17XOX7t

18XO8r

19XO9T2


21OX12f24

22OXXX14W6

23XXOX13W7

24OXO18T4

25XOXXX19T5

26XOResfriador23Qc

27OX24

28OXXX25T9

29XXXX22W8

30XXO20W9

31XXOXX33T13

32XMisturadorOX30

33XXOXX31T12


35OXX26W12

36XXO36W2

37XXO37x12

38XXO38W3

39XXO39x13

40XXO40W4

41XXO41x14

Dimensionar Processo

(03) T3 = T2(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global

3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.4.2 Estratgia Modular

3.4.2 Estratgia ModularPara cada problema, os mdulos so seqenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo.Havendo a presena de reciclos no fluxograma, torna-se necessria a abertura de um certo nmero de correntes e a insero de um mdulo promotor de convergncia para cada uma. a estratgia mais indicada para simulao.Utiliza mdulos criados previamente para cada equipamento.Cada mdulo contem as equaes j ordenadas para dimensionamento ou simulao (Seo 3.3).

Simulao do Processo Ilustrativo - Estratgia ModularO fluxograma exibe um reciclo.

A cada iterao o mdulo confere a convergncia e atualiza o valor de W5O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.Implementa-se um mdulo promotor de convergncia: no caso, o deSubstituio Direta.Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor nmero possvelde variveis (simplificar o gerenciamento da convergncia): no caso, foi selecionada a corrente 5 ( preciso gerenciar apenas W5).

Simulao do Processo Ilustrativo - Estratgia ModularEXTRATORRESFRIADORMISTURADORCONDENSADOREVAPORADORSS18. W10 20. Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W924. W13 23. W12 25'. Qr 28. T13 27. T12 26. r29. W15 30. T1502. f23 32. f11 31. f31 03. f32 05. T2 07. 06. T3 01' f12 04. f13 08. rW1 T1 x11 f11 f31W15 T15W45 T14W13 T13W10 T10f13 f23 T3W4 T4 x14 f14 f2409. f14 13. T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f24 11. W7 33. W4 34. x14T5T2 f12 f32W5aW5cRepetio at convergir : |W5c W5a| / W5a

SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB

Simulao de Processos com Estrutura ComplexaProcedimento:(a) identificao dos ciclos.(b) seleo das correntes de abertura(c ) construo do algoritmo de simulao

(a) Identificao dos CiclosO procedimento o de Traado de Percursos (labirinto)Trabalha-se com uma Lista Dupla: corrente e equipamento de destino.O resultado lanado na Matriz Ciclo-Corrente (correntes que participam de cada ciclo).Corrente: Destino :

C: D: 1 1 2 2 3 35 4 1 C: 1 2 3 5 D: 1 2 3 47 6 5 8 611 10 4 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 712 9 5 8 611 10 4 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 813 2C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2

(b) Seleo das Correntes de AberturaMatriz Ciclo - CorrenteALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C At C = 0

(c) Construo do Algoritmo de SimulaoAbrir C3REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)AT Convergir C8Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)AT Convergir C3Abrir C8Corrente 1: nica conhecida

3.1 Equaes No-Lineares 3.1.1 Representao 3.1.2 Resoluo: reduo de intervalos e aproximaes sucessivas3.2 Sistemas de Equaes No-Lineares 3.2.1 Estrutura e representao 3.2.2 Resoluo: partio, abertura, ordenao de equaes3.3 Dimensionamento e Simulao de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulao de Processos 3.4.1 Estratgia Global 3.4.2 Estratgia Modular

3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro3. ESTRATGIAS DE CLCULO3.5 Incerteza e Anlise de Sensibilidade

3.5 INCERTEZA E ANLISE DE SENSIBILIDADEFontes de incerteza:

modelos matemticos: aproximaes lineares, coeficientes constantes...A anlise de processos executada em ambiente de muita incerteza.A avaliao dos efeitos da incerteza efetuada atravs daAnlise de Sensibilidade(b) parmetros fsicos e econmicos: valores incertos (aproximados e variveis).

(b) questionamento do desempenho futuro. Em que grau a incerteza nos parmetros comprometer as metas de projeto ?(a) questionamento do prprio dimensionamento. Em que grau a incerteza nos parmetros compromete o resultado do dimensionamento ?A Anlise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos bvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza.

Fazem parte da Anlise:

as variveis caractersticas do dimensionamento: dimenses. - as variveis caractersticas do desempenho do processo: variveis de sada (metas de projeto). - os parmetros cujos valores so considerados incertos (variveis conhecidas so aqui incorporadas ao conjunto dos parmetros Controle !!!).

F: varivel do processo cujo valor incerto devido incerteza nos parmetros . Exemplo: W3, A.: vetor dos parmetros (fsicos e econmicos) e das variveis especificadas cujos valores so incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.Fundamento da Anlise de SensibilidadeExemplo: Trocador de Calor

F: varivel do processo cujo valor incerto devido incerteza nos parmetros . Exemplo: W3, A.S (F; i): Sensibilidade de F incerteza no parmetro i.: vetor dos parmetros (fsicos e econmicos) e das variveis especificadas cujos valores so incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.Fundamento da Anlise de Sensibilidade

Convenincia: usar variveis adimensionais F/F* e i / i* Anlise de Sensibilidade com Variveis AdimensionaisVantagens: (a) os valores independem das dimenses das variveis e dos parmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parmetro a varivel de interesse mais sensvel, e em que grau.Nova definio de Sensibilidade:

Sensibilidade de F/F* incerteza em i / i*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivadaEm processos complexos impossvel obter a derivada aproximao linear

S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99S(W3;U) = 0

Para um incremento de 1% em todos os parmetros (aproximao da derivada):Ou seja, a Sensibilidade de F incerteza em todos os parmetros a soma das Sensibilidades a cada parmetro:A Sensibilidade de F incerteza em todos os parmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do ProjetoSensibilidades de W3, A e CT incerteza em cada parmetro e varivel especificada e ao conjunto:Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

iS(W3; i)S(A; i)S(CT; i)W1110,93T11,450,451,21T31,010,560,88Cp1110,93Cp3- 10- 0,78U0- 1- 0,13

S(F; )3,462,013,04

Questionamento do ProjetoSensibilidades de W3, A e CT incerteza em cada parmetro e ao conjunto de parmetros:Caso os valores reais de todos os parmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

iS(W3; i)S(A; i)S(CT; i)

S(F; )3,462,013,04

Questionamento do DesempenhoSensibilidades de T2 e T4 incerteza em cada parmetro e varivel especificada, e ao conjunto:Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

iS(T2; i)S(T4; i)W10,800,32T10,480,63T30,480,37W3- 0,12- 0,47A- 0,680,17Cp10,800,32Cp3- 0,12- 0,47U- 0,680,17

S(F; )0,961,04

Questionamento do DesempenhoSensibilidades de T2 e T4 incerteza em cada parmetro e varivel especificada, e ao conjunto:Caso os valores reais de todos os parmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operao do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

iS(T2; i)S(T4; i)

S(F; )0,961,04

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

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