CAPITULO 3 DEFINICIÓN Y ECUACIONES DEL...
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CAPITULO 3
DEFINICIÓN Y ECUACIONES DEL SISTEMA
3.1 Introducción
En el capítulo anterior se pudo observar varios métodos de balanceo. A
continuación se muestra en la figura 3.1, el sistema rotor-elementos libres que es
propuesto en esta tesis con el cual se expondrá el método de autobalanceo.
Figura3.1. Sistema rotor-elementos libres
A partir de la figura 3.1:
2,1 RR – Radio de los tambores
yxyx kkkk 2211 ,,, – Coeficiente de rigidez en dirección x, y de los rodamientos
yxyx nnnn 2211 ,,, – Coeficiente de amortiguamiento en dirección x,y de los rodamientos
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Debe tomarse en cuenta que los valores de 222111 ,, nnn mmm corresponden a los
valores de masa necesarios para representar el desbalanceo estático y dinámico.
3.2 Ejes de coordenadas
Para poder llevar a cabo el análisis del sistema, es necesario utilizar tres sistemas de
coordenadas para poder encontrar las ecuaciones diferenciales para cada grado de
libertad. Los ejes coordenados son los siguientes:
ZYX ,, –Eje de coordenadas fijo (no gira con el rotor). Su origen es el punto O que
representa el c.g.
zyx ,, – Eje de coordenadas móvil el cual vibra con el rotor mas no gira con él. Su origen
es el punto O’. Dicho punto representa la nueva ubicación del c.g. cuando el sistema se
encuentra vibrando.
111 ,, zyx – Eje de coordenadas que gira con el rotor.
En la figura 3.2 se muestran los ejes coordenadas fijos y móviles.
Ahora, para poder obtener las ecuaciones que rigen el movimiento del sistema, es
necesario aclarar que dichas ecuaciones están basadas en los ejes x, y, z ya que a partir
de estos ejes tenemos la seguridad que se mueven según vibre el sistema.
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Otro punto importante es que los valores de desplazamiento y velocidad para x, y
deben ser proyectados en los ejes x, y, z ya que éstos se encuentran expresados en
términos de los ejes fijos X, Y, Z.
Figura 3.2 Ejes de coordenadas fijos (X,Y,Z) y móvil (x,y,z)
Según la figura 3.2 se obtiene:
oooo xxyxx sen.....
coscos ==+= yyy (3.1)
oooo yyyxy sen.....
coscos =Q=Q+-= y (3.2)
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Según las ecuaciones anteriores se puede observar que el desplazamiento y
velocidad para x,y es aproximadamente el mismo para los dos sistemas coordenados
debido a que la magnitud de los ángulos con que rotan los ejes es muy pequeña.
Figura3.3 Ejes coordenados móviles y rotacionales
ia = ángulo de posición del elemento libre
tw = ángulo de rotación
3.3 Grados de libertad
En el sistema se tienen 8 grados de libertad, 4 del rotor y los restantes
corresponden a cada uno de los elementos libres. Para el sistema propuesto en esta tesis,
se tienen 2 elementos libres en cada tambor, a menos que se indique algo diferente.
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qT = ],,,,[ iyx ay Q ,i=1,2,3…n (3.3)
donde ),( yx representan las coordenadas del c.g. del rotor
3.4 Ecuación de Lagrange
El uso de la ecuación de Lagrange es sumamente útil para el análisis dinámico del
sistema debido a que facilita el trabajo al no tener que estar buscando la magnitud y
sentido de cada una de las fuerzas que actúan tanto sobre el rotor como en cada uno de
los elementos libres. En la referencia [16] se puede observar todo el desarrollo para
obtener la ecuación de Lagrange:
FQ iiii
iq
V
q
T
q
T
dt
d-=
∂
∂+
∂
∂-
˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
∂
∂.
(3.4)
3.4.1 Energía Cinética
La energía cinética total está formada por la energía del rotor y la energía de los
elementos libres.
Â+==
=
4
1
n
iirotor TTT (3.5)
29
( )2222.2.*
2
1
2
1
2
1yxzrotor BAyxMT www +++˜
¯
ˆÁË
Ê+= (3.6)
=*
M Masa del rotor y los tambores
A = Momento de inercia del rotor y los tambores con respecto al eje z
B = Momento de inercia del rotor y los tambores con respecto al eje x,y
Â=
+=n
iimMM
1
* (3.7)
..cos Q@Q= ywx (3.8)
.yw =y (3.9)
wywyww ªQ+@Q+=..
senz (3.10)
Sustituyendo tenemos:
˙˚
˘ÍÎ
Ș¯
ˆÁË
Ê+Q++˜
¯
ˆÁË
Ê+= 2.2.22.2.*
2
1yw BAyxMTrotor (3.11)
Ahora, para los elementos libres:
30
2
21
iii VmT = (3.12)
rVV iio ¥W+=ÆÆÆ
(3.13)
kji iirrr
˜¯
ˆÁË
Ê++˜
¯
ˆÁË
Ê+˜
¯
ˆÁË
ÊQ=W
Æ ...awy (3.14)
( )[ ] ( )[ ] kzjtsenRitRr iiiiiirrrr ⋅+⋅++⋅+= awawcos (3.15)
ri - Vector de posición del i-ésimo elemento libre
( )iii tRx aw += cos (3.16)
( )iii tsenRy aw += (3.17)
lz ii = (3.18)
Por lo tanto, las componentes del vector de posición
( )iix tRr aw += cos (3.19)
( )iiy tsenRr aw += (3.20)
31
zr iz = (3.21)
La representación del vector de posición queda delimitada como:
kji rrrr zyxirrrr ++= (3.22)
De la velocidad de translación se obtiene:
kjyixV o
rrrr⋅+⋅+⋅= 0
.. (3.23)
2222 VVVV ziyixii ++= (3.24)
Por lo tanto:
( ) ( ) iiiii
ii
ztsenRtR
kji
kjyixV
awaw
awy
++
˜¯
ˆÁË
Ê+Q+⋅+⋅+⋅=
Æ
cos
0.....
rrr
rrr (3.25)
( )( )iiiixi tsenRzxV awawy +˜¯
ˆÁË
Ê+-+=
... (3.26)
( )( ) ztRzyV iiiiiyi
....cos Q-+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+= awawy (3.27)
32
( ) ( )iiiizi tRtsenRV awaw +Y-+Q= cos..
(3.28)
Por lo tanto,
2222 VVVV ziyixii ++= (3.29)
Â+==
=
4
1
n
iirotor TTT (3.30)
( )( )
( )( )
( ) ( )
Â
ÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔ
Ì
Ï
˙˘
ÍÎ
È+-+Q
+˙˚
˘ÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+
+˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+
+˙˚
˘ÍÎ
Ș¯
ˆÁË
Ê+Q++˜
¯
ˆÁË
Ê+=
=
n
i
iiii
iiiii
iiii
i
tRtsenR
ztRzy
tsenRzx
m
BAyxMT
1
2..
2....
2...
2.2.22.2.*
cos
cos2
1
2
1
awyaw
awawy
awawy
yw
(3.31)
3.4.2 Energía Potencial
33
Las siguientes 4 ecuaciones corresponden a los desplazamientos de los soportes
en dirección x y dirección y. Se puede ver que debido a los ángulos de vibración son
pequeños, los desplazamientos son aproximados.
Q-ª 11 zyy o (3.32)
Q-ª 22 zyy o (3.33)
y11 zxx o +ª (3.34)
y22 zxx o -ª (3.35)
[ ]ykxkykxkV yxyx222
222
211
2112
1+++= (3.36)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]222
222
211
2112
1Q-+++Q-++= zxkzxkzykzxkV yxyx yy (3.37)
3.3.3 Fuerzas conservativas y no conservativas
34
Las 2 ecuaciones siguientes corresponden a las fuerzas generadas por el
desbalanceo estático y dinámico respectivamente.
2wMePo = (3.38)
2wMdM o = (3.39)
tsenPPox w= (3.40)
tPPoy wcos= (3.41)
( )ew -= tsenMM oox (3.42)
( )ew -= tMM ooy cos (3.43)
La ecuación (3.44) muestra el vector de fuerzas generalizadas producidas por el
desbalanceo estático y dinámico.
[ ]MMPPQ oyoxoyoxT ,,,= (3.44)
La ecuación (3.45) presenta las fuerzas de amortiguamiento, las cuales, son
obtenidas de la energía disipada en el sistema en la ecuación (3.46)
35
˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
Q∂
∂
Y∂
∂
∂
∂
∂
∂=
....,,,
DD
y
D
x
DRT (3.45)
 Â= =
+˙˙
˚
˘
ÍÍ
Î
È
˜˜¯
ˆÁÁË
ÊQ-+˜
˜¯
ˆÁÁË
Ê+=
2
1 1
2.2..2..
21
21
j
n
iiiijyjjxj Rnznzn yxD ay (3.46)
.
1q
DFi
∂
∂= (3.47)
3.5 Ecuaciones del sistema
Para xq =1 :
( )( )Â=
*
Ô
Ô˝¸
ÔÓ
ÔÌÏ
˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-++=
∂
∂ n
iiiiii tsenRzxmxM
x
T
1
....
.awawy (3.48)
( )( ) ( )Â=
*
˙˙
˚
˘
ÍÍ
Î
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-+-++=
˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
∂
∂ n
iiiiiiiii tRtsenRzxmxM
x
T
dt
d
1
2.........
.cos)( awawaway
(3.49)
( ) ( )yy zxkzxkxV
xx 2211 +++=∂∂
(3.50)
36
0=∂∂
xT
(3.51)
˜¯
ˆÁË
Ê++˜
¯
ˆÁË
Ê+=
∂
∂ .
2
.
2
.
1
.
1.yy zxnzxn
x
Dxx (3.52)
tMeQ ww cos21 = (3.53)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Â˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê++++=+
+++++++Â+˜¯
ˆÁË
ÊÂ+
=
==
*
n
iiiiiixx
xxxxxxn
iii
n
ii
ttsenRmtMezkzk
znznkkxnnxzmxmM
1
2...22211
2211
.
2121
.
1
....
1
coscos awawawawwy
yy
(3.54)
Para yq =2 :
( )( )˛˝¸
ÓÌÏ
˙˚
˘ÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁË
Ê++Â+=
∂
∂
=
* ...
1
2.
cos ztRymyMy
Tiiiii
n
iawaw (3.55)
37
( )( )
( )
Â
ÔÔÔ
˛
ÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔ
Ó
ÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔ
˛
ÔÔ
˝
¸
ÔÔ
Ó
ÔÔ
Ì
Ï
Q-+˜¯
ˆÁË
Ê+
-+˜¯
ˆÁË
Ê+
+=˜
˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
∂
∂
=
* n
i
iiii
iii
i
ztsenR
tRymyM
y
T
dt
d
1 ..2.
....2..
.
cos
awaw
awa (3.56)
( ) ( )Q-+Q-=∂∂
zykzykyV
yy 2211 (3.57)
0=∂
∂
y
T (3.58)
˜¯
ˆÁË
ÊQ-+˜
¯
ˆÁË
ÊQ-=
∂
∂ .
2
.
2
.
1
.
1. zynzyny
Dyy (3.59)
tsenMeQ ww 22 = (3.60)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) +˜¯
ˆÁË
Ê++Â +-=
+Q-+Q-++++Â Q-˙˘
ÍÎ
ÈÂ+
==
==
*
n
iiiii
n
iiiii
yyyyyyyyn
iiii
n
i
tsenRmtRmtsenMe
zkzkznznykkynnzmymM
1
2.
1
..2
22112211
.
21
.
211
....
1
cos awawawaww
(3.61)
Para Q=q3 :
38
( )
( )( ) [ ]
( ) ( )
( )[ ]
Â
ÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔ
Ì
Ï
+
˙˘
ÍÎ
È+-+Q
+-˙˚
˘ÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁË
Ê++
+Q+˜¯
ˆÁË
ÊQ+=
Q∂
∂
=
n
i
ii
iiii
iiiii
i
tsenR
tRtsenR
zztRy
mBAT
1
..
...
..
.cos
cos
aw
awyaw
awaw
yyw
(3.62)
( )( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ]
Â
ÔÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
+
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
+˜¯
ˆÁË
Ê+++
-+˜¯
ˆÁË
Ê+Q-+Q
+-
˙˙˚
˘
ÍÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+˜
¯
ˆÁË
Ê+
+Q+˜¯
ˆÁË
Ê=
˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê
Q∂
∂
=
n
i
ii
iiii
iiii
i
iiiiii
i
tsenR
tsenRtR
tRtsenR
z
ztsenRtRy
mBAT
dt
d
1
....
....
.2.....
...
.
cos
cos
cos
aw
awawyawy
awawaw
awawawa
yw
(3.63)
( )( ) ( )( )222111 zzykzzykV
yy -Q-+-Q-=Q∂
∂ (3.64)
0=Q∂
∂T (3.65)
( ) ( )2
.
2
.
21
.
1
.
1.zzynzzyn
Dyy -˜
˜¯
ˆÁÁË
ÊQ-+-˜
˜¯
ˆÁÁË
ÊQ-=
Q∂
∂ (3.66)
39
( )eww -= tMdQ cos23 (3.67)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê+˜
¯
ˆÁË
Ê+-++-=
+Q++-˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ ++˜
¯
ˆÁË
Ê+
-˙˚
˘ÍÎ
È++Â +˜
¯
ˆÁË
Ê+Q++
-Â +-˙˘
ÍÎ
ÈÂ ++Q+Â-
=
=
=
===
n
iiiiiiii
yyyyn
iiiii
yyn
iiiiiyy
n
iiii
n
iiiiii
n
i
tsentRzmtMd
zkzkzkzkyAtRm
znzntsenRmznzny
tsenRmtsenRzmBzmy
1
2...2
222
2112211
1
.2.
222
211
1
.2.
2211
.
1
2..
1
2221
..
1
..
coscos
2cos
2
25.0
awawawaeww
wawawy
awaw
awyaw
(3.68)
Para y=q4 :
( )( ) ( )
( ) ( )Â
ÔÔÔ
˛
ÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔ
Ó
ÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔ
˛
ÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔ
Ó
ÔÔÔ
Ì
Ï
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
˙˘
ÍÎ
È+-+Q
+-+˜¯
ˆÁË
Ê+-+
+=Q∂
∂
=
n
i iiii
iiiiii
ii tRtsenR
tRtsenRzx
zmB
T
1..
...
.
. cos
cos
awyaw
awawawy
y
(3.69)
40
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ] ( )
( ) ( )
Â
ÔÔÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
˙˘
ÍÎ
È+-+Q
˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+++-
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
+˜¯
ˆÁË
Ê+-+
++Q˜¯
ˆÁË
Ê+++Q
+
˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+-+
+=˜
˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
∂
∂
=
n
i
iiii
iiiii
iiiii
iiiii
iiiiiii
i
tRtsenR
tsenRtR
tsenRtR
tRtsenR
tRtsenRzxz
mBT
dt
d
1
..
.
....
....
2.......
..
.
cos
cos
cos
cos
cos
awyaw
awawaw
awyawawy
awawaw
awawaway
yy
(3.70)
( )( ) ( )( )22211 zzxkzzxkV
xix Q-+-=Q∂
∂y (3.71)
˜¯
ˆÁÁË
ÊQ=
Q∂
∂ .wA
T (3.72)
( ) ( )2
.
2
.
21
.
1
.
1.zzxnzzxn
Dxx ˜
¯
ˆÁÁË
Ê-+˜
¯
ˆÁÁË
Ê-=
Q∂
∂yy (3.73)
( )eww -= tsenMdQ 24
(3.74)
41
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê-˜
¯
ˆÁË
Ê++++-=
++++˙˚
˘ÍÎ
È+Â ˜
¯
ˆÁË
Ê+-+
+˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ +˜
¯
ˆÁË
Ê++Q-+
+˙˘
ÍÎ
È+Â +-+Â +Q-Â
=
=
=
===
n
iiiiiiii
xxxxiiin
iixx
n
iiiiixx
n
iiiii
n
iiii
n
iii
ttsenRzmtsenMd
zkzkzkzkxtsenRmznzn
tRmAznznx
BtRzmtsenRmzmx
1
2...2
222
2112211
2
1
.222
211
.
1
..
2211
.
1
222..
1
2..
1
..
)cos()(
2
2cos
cos25.0
awawawaeww
yawawy
awaww
awyaw
(3.75)
4...3,2,1,4 ===+ niq ii a
( )[ ] ( )( )
( )[ ] ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ÔÔ˛
ÔÔ˝
¸
ÔÔÓ
ÔÔÌ
Ï
+Q
-˜¯
ˆÁË
Ê+++-+++-
=Â
ÔÔÔ
˛
ÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔ
Ó
ÔÔÔ
Ì
Ï
ÔÔÔ
˛
ÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔ
Ó
ÔÔÔ
Ì
Ï
˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍ
Î
È
˙˚
˘ÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁË
Ê+-++
+˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-++-
=∂
∂
=
iii
iiiiiiiii
i
n
iiiiiiii
iiiiii
i
i
tRz
RtsenRztRytsenRxm
ztRzytR
tsenRzxtsenR
mT
aw
awawyawaw
awawyaw
awawyaw
a
cos
cos
coscos
.
2....
1
.
....
...
.
(3.76)
42
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )ÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
+Q˜¯
ˆÁÁË
Ê+++Q-
+˜¯
ˆÁÁË
Ê+++++˜
¯
ˆÁÁË
Ê+
-+++˜¯
ˆÁÁË
Ê+-+-
=˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
∂
∂
iiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiii
i
i
tsenRztRzR
tRztsenRztsenRy
tRytRxtsenRx
mT
dt
d
awawawa
awyawawyawaw
awawawaw
a....
2..
...
....
......
.
cos
cos
coscos
(3.77)
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ÔÔÔÔÔÔ
˛
ÔÔÔÔÔÔ
˝
¸
ÔÔÔÔÔÔ
Ó
ÔÔÔÔÔÔ
Ì
Ï
˙˚
˘ÍÎ
È+-+Q
˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+++Q˜
¯
ˆÁÁË
Ê+
+˙˚
˘ÍÎ
ÈQ-+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-+
˙˙
˚
˘
ÍÍ
Î
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-
+˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-+
˙˙
˚
˘
ÍÍ
Î
È+˜
¯
ˆÁÁË
Ê+-
=
∂
∂
iiii
iiiiii
iiiiiiii
iiiiiii
i
tRtsenR
tsenRtR
ztRzytsenR
tsenRzxtR
T
awyaw
awyawawaw
awawyawaw
awawyawaw
a
cos
cos
cos
cos
..
....
....2.
...2.
(3.78)
0=∂∂
i
Va
(3.79)
irivi FFF += (3.80)
.2iiiiv RnF a= (3.81)
43
iiiiiir rRfmF /2.˜¯
ˆÁË
Ê+= aw (3.82)
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) iiiiiiiiii
iiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiii
iiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiii
FttsenRmtRm
tsenRmttsenRm
ttsenRmttsenRm
tsenRzmtsenRzm
tRzmtRzm
ytsenRmtsenRm
xtRmtRmtzm
tsenzmytRmxtsenRmRm
-˙˚
˘ÍÎ
È++˜
¯
ˆÁË
Ê++Q˙
˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+
+Q˙˚
˘ÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-Q˙
˚
˘ÍÎ
È++˜
¯
ˆÁË
Ê+
-++˜¯
ˆÁË
Ê++++˜
¯
ˆÁË
Ê+
+Q˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+++˜
¯
ˆÁË
Ê+
-˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+˜
¯
ˆÁË
Ê+
+˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+++˜
¯
ˆÁË
Ê+
+˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+-+˜
¯
ˆÁË
Ê++Q++
+++++=
2.2...2.
..2.2.2.
23.2
3.
.2..
.2..
.2..
.2....
........2
coscos
cos
coscos
coscos
coscoscos
cos
yawawawyawaw
yawawawawaw
awawawawawaw
awawawaw
yawawawaw
awawawaw
awawawawaw
yawawawa
(3.83)
44
En resumen:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Â˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê++++=+
+++++++Â+˜¯
ˆÁË
ÊÂ+
=
==
*
n
iiiiiixx
xxxxxxn
iii
n
ii
ttsenRmtMezkzk
znznkkxnnxzmxmM
1
2...22211
2211
.
2121
.
1
....
1
coscos awawawawwy
yy
(3.84)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) +˜¯
ˆÁË
Ê++Â +-
=+Q-+Q-++++Â Q-˙˘
ÍÎ
ÈÂ+
==
==
*
n
iiiii
n
iiiii
yyyyyyyyn
iiii
n
i
tsenRmtRmtsenMe
zkzkznznykkynnzmymM
1
2.
1
..2
22112211
.
21
.
211
....
1
cos awawawaww
(3.85)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê+˜
¯
ˆÁË
Ê+-++-=
+Q++-˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ ++˜
¯
ˆÁË
Ê+
-˙˚
˘ÍÎ
È++Â +˜
¯
ˆÁË
Ê+Q++
-Â +-˙˘
ÍÎ
ÈÂ ++Q+Â-
=
=
=
===
n
iiiiiiii
yyyyn
iiiii
yyn
iiiiiyy
n
iiii
n
iiiiii
n
i
tsentRzmtMd
zkzkzkzkyAtRm
znzntsenRmznzny
tsenRmtsenRzmBzmy
1
2...2
222
2112211
1
.2.
222
211
1
.2.
2211
.
1
2..
1
2221
..
1
..
coscos
2cos
2
25.0
awawawaeww
wawawy
awaw
awyaw
(3.86)
45
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) Â
˜˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁÁ
Ë
Ê
-˜¯
ˆÁË
Ê+
+++-=+
+++˙˚
˘ÍÎ
È+Â ˜
¯
ˆÁË
Ê+-+
+˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ +˜
¯
ˆÁË
Ê++Q-+
+˙˘
ÍÎ
È+Â +-+Â +Q-Â
=
=
=
===
n
iii
ii
iiixx
xxiiin
iixx
n
iiiiixx
n
iiiii
n
iiii
n
iii
t
tsenRzmtsenMdzkzk
zkzkxtsenRmznzn
tRmAznznx
BtRzmtsenRmzmx
12.
..
2222
211
22112
1
.222
211
.
1
..
2211
.
1
222..
1
2..
1
..
)cos(
)(
2
2cos
cos25.0
awaw
awaewwy
awawy
awaww
awyaw
(3.87)
3.6 Simplificación de las ecuaciones (3.84-3.87) por medio de la sustitución
twt =
Para hacer el análisis numérico mucho más sencillo, en todas las ecuaciones
obtenidas, se introduce twt = además de dividir cada una por 2w .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Â˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê++++=+
+++++++Â+˜¯
ˆÁË
ÊÂ+
=
==
*
n
iiiiiixx
xxxxxxn
iii
n
ii
senRmMezkzk
znznxkkxnnzmxmM
1
2.
2
..
22112
.
2211212
.
21
..
1
..
1
cos11
cos1
111
ataw
atatyw
ywww
y
(3.88)
46
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Â˙˙˚
˘
ÍÍÎ
È+˜
¯
ˆÁË
Ê+++-=Q+
-Q+-++++Â Q-˙˘
ÍÎ
ÈÂ+
=
==
*
n
iiiiiiiyy
yyyyyyn
iii
n
ii
senRmMesenzkzk
znznykkynnzmymM
1
2.
2
..
22112
.
2211212
.
211
....
1
11
cos1
111
ataw
atatw
www
(3.89)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )˜˜
¯
ˆ
ÁÁ
Ë
Ê+˜
¯
ˆÁË
Ê+-++-=
Q+++-˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ ++˜
¯
ˆÁË
Ê+
-Q˙˚
˘ÍÎ
È++Â +˜
¯
ˆÁË
Ê+++
-Â +-Q˙˘
ÍÎ
ÈÂ +++Â-
=
=
=
===
n
iiiiiiii
yyyyn
iiiii
yyn
iiiiiyy
n
iiii
n
iiii
n
iii
senRzmMd
zkzkyzkzkARm
znznsenRmyznzn
senRmsenRzmBzmy
1
2.
2
..
222
211222112
.
1
.2
.222
211
1
.2.
2211
1
2....
1
2221
1
..
11
coscos
112cos1
1
2111
25.0
ataw
ataet
wwywata
w
ataww
atyat
(3.90)
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) Â
˜˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁÁ
Ë
Ê
-˜¯
ˆÁË
Ê+
+++-=+
+++˙˚
˘ÍÎ
È+Â ˜
¯
ˆÁË
Ê+-+
+Q˙˚
˘ÍÎ
ÈÂ +˜
¯
ˆÁË
Ê++-+
+˙˘
ÍÎ
È+Â +-+Â +Q-Â
=
=
=
===
n
iii
ii
iiixx
xxiiin
iixx
n
iiiiixx
n
iiiii
n
iiii
n
iii
senRzmsenMdzkzk
xzkzksenRmznzn
RmAxznzn
BRzmsenRmzmx
12.
2
..
222
2112
22112
.2
1
.222
2112
.
1
.
22211
.
2
1
222..
1
2..
1
..
)cos(11
)(1
121
1
2cos111
cos25.0
ataw
ataety
w
wyata
w
atawww
atyat
(3.91)